Đề thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 môn thi: Toán – Khối B

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường THPT Chuyên LƯƠNG VĂN CHÁNH PHÚ YÊN Đề số 15. ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN – Khối B Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề). I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = f ( x) = x 3 - mx 2 + 2m (1) ( m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại duy nhất một điểm. Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: 2) Giải hệ phương trình:. 2sin 2 x + 3 sin 2 x + 1 = 3 sin x + cos x ìï 3 ( x - y ) = 2 xy í 2 ïî2 x - y = 8 p 6. Câu III (1 điểm): Tính tích phân:. I=. sin x. ò cos 2 x dx 0. Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên có độ dài bằng a và các mặt bên hợp với mặt đáy góc 450 . Tính thể tích của hình chóp đó theo a.. æ1 1ö 9 4 £ ( x + y)ç + ÷ £ èx yø 2. Câu V (1 điểm): Cho các số thực x , y thuộc đoạn [ 2; 4] . Chứng minh rằng:. II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1 :2 x + 5 y + 3 = 0 ;. d 2 :5 x - 2 y - 7 = 0 cắt nhau tại. A và điểm P(-7;8) . Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua P tạo với d1 , d 2 thành tam giác cân tại A và có diện tích bằng. 29 . 2. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng mặt phẳng Oxy và mặt phẳng (P): z = 2 lần lượt cắt (S) theo hai đường tròn có bán kính bằng 2 và 8.. a 2 1 a3 2 a n +1 n 127 Câu VII.a (1 điểm): Tìm a và n nguyên dương thỏa : aC + Cn + Cn + ...... + Cn = và An3 = 20n . 2 3 (n + 1) 7 0 n. 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng () đi qua gốc tọa độ và cắt đường tròn (C) có phương trình : x 2 + y 2 - 2 x + 6 y - 15 = 0 thành một dây cung có độ dài bằng 8. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng ():. x -1 y z = = và tạo với mặt 1 -1 -2. phẳng (P) : 2 x - 2 y - z + 1 = 0 góc 600. Tìm tọa độ giao điểm M của mặt phẳng (a) với trục Oz.. (. ). Câu VII.b (1 điểm): Tìm giá trị của tham số m để cho phương trình x - m.3 x .2 ============================. Trần Sĩ Tùng Lop12.net. (1+ x)(2- x ). = 0 có nghiệm..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Hướng dẫn: I. PHẦN CHUNG Câu I: 2) y¢ = 3x 2 - 2mx = x (3 x - 2m) · Khi m = 0 thì y¢ = 3x 2 ³ 0 Þ (1) đồng biến trên R Þ thoả yêu cầu bài toán. · Khi m ¹ 0 thì (1) có 2 cực trị x1 = 0 , x2 =. 2m 3. Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi f ( x1 ). f ( x2 ) > 0 Û 2m(2m -. 4m3 2m 2 ) > 0 Û 4m2 (1 )>0 27 27. ìm ¹ 0 ï Ûí 3 6 3 6 <m< ïî 2 2 æ 3 6 3 6ö ; ÷ thì đồ thị của (1) cắt Ox tại duy nhất một điểm. ç 2 2 ÷ø è. Kết luận: khi m Î ç Câu II: 1) PT Û. é. Û ê. êë. (. 3 sin x + cos x ) = 3 sin x + cos x Û 2. (. 3 sin x + cos x )( 3 sin x + cos x - 1) = 0. é 3 p é tan x = x = - + kp ê ê 3 sin x + cos x = 0 3 6 Û ê Û ê ê æ pö p 3 sin x + cos x - 1 = 0 ê x = k 2p ; x = 2p + k 2p êsin ç x + ÷ = sin êë 3 6ø 6 ë è. ìï 3 ( x - y ) = 2 xy. (1). 2 ïî2 x - y = 8. (2). 2) í. . Điều kiện : x. y ³ 0 ; x ³ y. Ta có: (1) Û 3( x - y )2 = 4 xy Û (3 x - y )( x - 3 y ) = 0 Û x = 3 y hay x = · Với x = 3 y , thế vào (2) ta được : y 2 - 6 y + 8 = 0 Û y = 2 ; y = 4. ì x = 6 ì x = 12 ;í îy = 2 îy = 4. Þ Hệ có nghiệm í. y , thế vào (2) ta được : 3 y 2 - 2 y + 24 = 0 Vô nghiệm. 3 ì x = 6 ì x = 12 Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là: í ;í îy = 2 îy = 4 · Với x =. p 6. p. 6 sin x sin x Câu III: I = ò dx = ò dx . Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx cos 2 x 2 cos 2 x - 1 0 0. Đổi cận: x = 0 Þ t = 1; x =. Ta được I = -. 3 2. ò 1. p 3 Þt = 6 2 1. 1 1 2t - 2 dt = ln 2 2t - 1 2 2 2t + 2. = 3 2. 1 2 2. ln. 3- 2 2 5-2 6. · = 450 . Câu IV: Kẻ đường cao SH, gọi I là trung điểm BC. Giả thiết cho SIH Gọi x là độ dài cạnh của DABC. Suy ra : AI =. x 3 x 3 x 3 , AH = , HI = 2 3 6. æx 3ö SAH vuông tại H Þ SH = SA - AH = a - ç ç 3 ÷÷ è ø 2. 2. 2. 2. 2. Trần Sĩ Tùng Lop12.net. y 3.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x 3 6. SHI vuông cân tại H Þ SH = HI = 2. 2. æx 3ö æx 3ö 2 15a 2 Suy ra: ç = a ÷ çç ÷÷ Þ x = ç 6 ÷ 5 è ø è 3 ø 1 1 5a 2 3 3a 2 a 3 15 . Do đó: VS . ABC = SH .dt ( ABC ) = . = 3 3 5 5 25 æ1 1ö æx yö x 1 Câu V: Gọi A = ( x + y ) ç + ÷ = 2 + ç + ÷ . Đặt t = thì A = f (t ) = 2 + t + y t èx yø è y xø ì2 £ x £ 4 1 x ï é1 ù Với x, y Î [ 2; 4] Þ í 1 1 1 Þ £ £ 2 Þ t Î ê ; 2 ú 2 y ë2 û ï4 £ y £ 2 î 1 t 2 -1 é1 ù Ta có: f ¢ (t ) = 1 - 2 = 2 ; f ¢ (t ) = 0 Û t = 1Î ê ; 2ú t t ë2 û 9 9 æ1ö f ç ÷ = f (2) = ; f (1) = 4 Þ 4 £ A £ (đpcm) 2 2 è 2ø II. PHẦN TỰ CHỌN 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) Ta có A(1; -1) và d1 ^ d 2 . Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d1 , d 2 là: D1: 7 x + 3 y - 4 = 0 và D2: 3 x - 7 y - 10 = 0. d3 tạo với d1 , d 2 một tam giác vuông cân Þ d3 vuông góc với D1 hoặc D2.. Þ Phương trình của d3 có dạng: 7 x + 3 y + C = 0 hay 3 x - 7 y + C ¢ = 0 Mặt khác, d3 qua P (-7;8) nên C = 25 ; C¢ = 77 Suy ra : d3 : 7 x + 3 y + 25 = 0 hay d3 :3 x - 7 y + 77 = 0 Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích bằng. 29 Þ cạnh huyền bằng 2. 58. 58 = d ( A, d3 ) 2 58 · Với d3 : 7 x + 3 y + 25 = 0 thì d ( A; d3 ) = ( thích hợp) 2 87 · Với d3 : 3 x - 7 y + 77 = 0 thì d ( A; d3 ) = ( loại ) 58 Suy ra độ dài đường cao A H =. 2) Theo giả thiết mp(Oxy) và (P): z = 2 vuông góc với trục Oz , cắt mặt cầu theo 2 đường tròn tâm O1 (0, 0, 0) , bán kính R1 = 2 và tâm O2 (0, 0, 2) , bán kính R2 = 8 . Suy ra tâm mặt cầu (S) là I (0, 0, m) Î Oz.. ìï R 2 = 22 + m 2 2 2 R là bán kính mặt cầu thì : í Þ 4 + m = 64 + m - 2 Û m = 16 2 2 2 ïî R = 8 + m - 2 Þ R = 2 65 , I ( 0; 0;16 ) Vậy phương trình mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + ( z - 16)2 = 260 Câu VII.a: An3 = 20n Û n(n - 1)(n - 2) = 20n Û n 2 - 3n - 18 = 0 Û n = 6 và n = – 3 ( loại ) a2 1 a7 127 .C6 + .... + C66 = 2 7 7 6 0 1 2 2 3 3 Ta có : (1 + x ) = C6 + C6 x + C6 x + C6 x + C64 x 4 + C65 x 5 + C66 x 6. Khi đó: a.C6 + 0. a. a. a. 7 é x2 ù é (1 + x)7 ù a2 1 a7 6 6 éx ù 0 Nên ò (1 + x) dx = C [ x ]0 + C ê ú + ... + C6 ê ú Û ê ú = a.C6 + 2 .C6 + .... + 7 C6 ë 2 û0 ë 7 û0 ë 7 û0 0 a. 6. 0 6. a. 1 6. Trần Sĩ Tùng Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Û. (1 + a )7 1 127 - = Þ (1 + a)7 = 128 Þ (1 + a )7 = 27 Û a = 1 7 7 7. Vậy a = 1 và n = 6 . 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) (C) có tâm I (1; -3) và bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm dây cung AB thì AH = 4 và IH =. R 2 - AH 2 = 52 - 4 2 = 3 hay d ( I , D) = 3 (*). () qua gốc tọa độ nên phương trình có dạng: Ax + By = 0 ; A2 + B 2 ¹ 0. A - 3B. = 3 Û A(4 A + 3B) = 0 Û A = 0 hay 4 A + 3B = 0 A2 + B 2 · Với 4 A + 3B = 0 , chọn A = 3; B = – 4 Þ Phương trình của (): 3 x - 4 y = 0 Từ (*) cho :. · Với A = 0, chọn B = 1 Þ Phương trình của (): y = 0 . Kết luận : PT của () là 3 x - 4 y = 0 hay y = 0 .. ur. r uuuur ur uuuur ur Giao điểm M(0;0;m) cho AM = (-1;0; m) . (a) có VTPT n = é AM , u ù = (m; m - 2;1) ë û 2) () qua điểm A(1;0;0) và có VTCP u = (1; -1; -2) . (P) có VTPT n¢ = (2; -2; -1) . (a) và (P): 2 x - 2 y - z + 1 = 0 tạo thành góc 600 nên :. r r 1 cos n , n¢ = Û 2. (. ). 1. =. 1 Û 2m 2 - 4m + 1 = 0 Û m = 2 - 2 hay m = 2 + 2 2. 2m - 4m + 5 Kết luận : M (0; 0; 2 - 2) hay M (0; 0; 2 + 2) ì -1 £ x £ 2 ì -1 £ x £ 2 ï Ûí Câu VII.b: PT Û í x x .3 = 0 x m î ïîm = 3x 2. x 1 - x.ln 3 1 ; f ¢ ( x) = 0 Û x = Î [ -1; 2] , f ¢ ( x) = x x 3 3 ln 3 2 1 1 æ 1 ö f (-1) = -3 ; f (2) = ; f ç Þ -3 £ f ( x ) £ ; x Î [ -1; 2] ÷= 9 e.ln 3 è ln 3 ø e.ln 3 1 Kết luận : Khi -3 £ m £ thì PT có nghiệm . e.ln 3 Đặt : f ( x ) =. =====================. Trần Sĩ Tùng Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>