Bài tập nâng cao Toán 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>BAØI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN. 3. Tìm x, biết: 8(x – 2) – 2(3x – 4) = 2. 4. Tìm hệ số của x2 trong đa thức : Q = 5x( 3x2 – x + 2) – 2x2( x – 2) + 15(x – 1).. A(B + C) = AB + AC B. BÀI TẬP Bài 1: 1. Tính : a./ (- 4xy)(2xy2 – 3x2y) b./ (- 5x)(3x3 + 7x2 – x) 2. Rut gọn: A = x2(a – b) + b(1 – x) + x(bx + b) – ax(x + 1) B = x2(11x – 2) + x2(x – 1) – 3x(4x2 - x – 2) 3. Tìm hệ số của x3 và x2 trong đa thức sau: Q  x 3  3 x 2  2 x  1 x 2  x 2 x 2  3 x  1 Bài 2: 3 1  4  1) Tính :  a 3b 2  ab 4   a 3b  4 2  3  2) Rut gọn và tính giá trị biểu thức: 12 Q  3 x x  4 y   y  y  5 x , cho x  4, y  5 5 3) Tìm x, biết : 2x3(2x – 3) – x2(4x2 – 6x + 2) = 0 4) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y: M = 3x(x – 5y) + (y – 5x)(- 3y) – 3(x2 – y2) – 1. 5) Cho S = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5.Cm : xS – S = x6 - 1 Bài 3: 1. Tính (3a3 – 4ab + 5c2)(- 5bc). 2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức: A = 4a2( 5a – 3b) – 5a2(4a + b),với a = -2,b = -3. 3. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x: B = x(x2 + x + 1) – x2( x + 1) – x +5. 4. Tìm x,biết : x(x – 1) – x2 + 2x = 5 5. Tìm m,biết: ( x2 – x + 1)x – ( x + 1)x2 + m = - 2x2 + x + 5. Bài 4: 1. Rút gọn: 9y3 – y(1 – y + y2) – y2 + y 2. Tìm hệ số của x2 trong đa thức: 3. Q  5 x 2  a( x  a)   3(a 2  x 2 )  2ax    2ax  4(a  2ax 2 ) . 4. 5. 6. Bài 5: 1. 2.. BAØI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN.  A  B C  D   AC  AD  BC  BD B. BÀI TẬP Bài 1: 1. Tính : ( 2a – b)(4a2 + 2ab + b2). 2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức: 3 4 3. Tìm x, biết : (3x + 2)(x – 1) – 3(x + 1)(x – 2) = 4 4. Tìm hệ số của x4 trong đa thức: P = ( x3 - 2x2 +x – 1)( 5x3 – x). Bài 2: 1. Chứng minh: với a = - 3,5 giá trị biểu thức A  a  39a  8   2  a (9a  1) bằng – 29. Q  x  4 ( x  2)  ( x  1)( x  3), cho x  1. 2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: Q  3 x  5 2 x  11  2 x  33 x  7 . 3. Biết (x – 3)(2x2 + ax + b) = 2x3 – 8x2 + 9x – 9 .Tìm a,b. Bài 3: 1. Tính : a./ (2 + x)(2 – x)(4 + x2) b./ ( x2 – 2xy + 2y2)(x – y)(x + y) 2. Tìm x,biết : x(x – 4) – ( x2 - 8) = 0 3. Tìm m sao cho: 2x3 – 3x2 + x + m = (x + 2)(2x2 – 7x + 15). Bài 4: 1. Rút gọn : A = ( 5x – 1)(x + 3) – ( x – 2)(5x – 4) B = (3a – 2b)( 9a2 + 6ab + 4b2). 2. Chứng minh biểu thức : n( 2n – 3) – 2n( n + 2) luôn chia hết cho 7,với mọi số nguyên n. 3. Biết : x4 – 3x +2 = ( x – 1)(x3 + bx2 + ax – 2). Tìm m, biết: 2 – x2(x2 + x + 1) = - x4 – x3 – x2 + m. Bài 5: Chứng minh : khi a = 10, b = -5 giá trị biểu thức : 1. Tìm m,biết : x4 – x3 + 6x – x + m = (x2 – x + 5)(x2 A = a( 2b + 1) – b(2a – 1) bằng 5. + 1). Tìm x,biết: 10( 3x – 2) – 3(5x + 2) + 5( 11 – 4x) = 2. Rút gọn : ( 2x – 1)(3x + 2)(3 – x). 25. 3. Chứng minh: ( x – y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4) = x5 – y5. Tính : ( -a4x5)(- a6x + 2a3x2 – 11ax5). Tính biểu thức : A = mx( x – y) + y3(x + y) tại x = -1,y = 1 Lop8.net 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> CMR: nếu a + b + c = 2p thì b2 + c2 + 2bc – a2 = 4p(p – a). CMR nếu a2 + b2 + c2 = ab +bc + ca thì a = b = c. Tìm x,y biết : x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 0.. 1. BAØI 3+4+5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ. 2. 3. Bài 6: 1. Chứng minh : (a + b)3 – 3ab(a +b) = a3 + b3 2. Tính x3 + y3,biết x + y = 3 và xy = 2 3. Cho a + b = 1.Chứng minh : a3 + b3 = 1 – 3ab. Bài 7: 1. Chứng minh : (a – b)3 + 3ab(a - b) = a3 + b3 2. Rút gọn: (x – 3)3 – (x + 3)3. 3. Cho a - b = 1.Chứng minh : a3 - b3 = 1 + 3ab. Bài 8 :. . KIẾN THỨC CƠ BẢN.   A  B   A2  2 AB  B 2 2.   A  B   A2  2 AB  B 2 2.  A2  B 2   A  B  A  B    A  B   A3  3 A2 B  3 AB 2  B 3 3.   A  B   A3  3 A2 B  3 AB 2  B 3 3.  A  B   A  B A  AB  B 3. 3. 2. 2.  A3  B 3   A  B A2  AB  B 2. 3.  . B. BÀI TẬP Bài 1: 1. Chứng minh : ( a + b)2 – (a – b)2 = 4ab 2. Rút gọn: ( a +2)2 – ( a + 2)(a – 2) 3. Tìm x,biết : ( 2x + 3)2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49 4. Tìm giá trị biểu thức: Q  x  3  x  3( x  3)  2( x  2)( x  4), cho x  2. 1 2. 3. 1  1  1. Rút gọn :  a  b    a  b  . 2  2  3 2. Tìm x,biết : x – 3x2 + 3x – 1 = 0. 3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 3 4 x  1  4 x  316 x 2  3 Bài 9 : 1. Rút gọn biểu thức : (x + 5)3 – x3 – 125. 2. Tìm x, biết : (x – 2)3 + 6(x + 1)2 - x3 + 12 = 0 3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 3 x  1  x3  3x 2  3x  1. Bài 2: 1. Rút gọn biểu thức : A  (4 x 2  y 2 )(2 x  y )(2 x  y ) Bài 10: 2. Chứng minh: (7x + 1)2 – (x + 7)2 = 48(x2 – 1) 1. Tìm x,biết : x3 + 6x2 + 12x +8 = 0 3. Tìm x,biết : 16x2 - (4x – 5)2 = 15 2. Cho a +b +c = 0.Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3abc. 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 + 2x + 3. Chứng minh rằng: (a + 2)3 – (a +6)(a2 +12) + 64 = 3 0,với mọi a. Bài 3: Bài 11 : 1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc 1.Rút gọn biểu thức : vào m: A = (m – n)(m2 + mn + n2) - (m + n)(m2 - mn + A  (2m  5) 2  (2m  5) 2  40 n2) 2. Chứng minh rằng hiệu của hai số nguyên liên tiếp 2.Chứng minh: (a – 1)(a – 2)(1 + a + a2)(4 + 2a + a2) = là một số lẻ a6 – 9a3 + 8 3. Rút gọn biểu thức : P = (3x +4)2 – 10x – (x – 4)(x 3. Tìm x, biết : (x +2 )(x2 – 2x + 4) – x(x -3)(x + 3) = +4). 26. 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x2 – 4x +5. Bài 12 : Bài 4: 1. Tính giá trị biểu thức: 1. Chứng minh rằng: (x – y)2 – (x + y)2 = - 4xy A = x(x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x2 + 3x +9),với 2. Chứng minh: (7n – 2)2 – (2n – 7)2 luôn luôn chia 1 x hết cho 9, 4 với mọi n là giá trị nguyên 2. Tìm x,biết ( 4x + 1)(16x2 – 4x +1) – 16x(4x2 – 5) 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = - x2 + 6x = 17. +1. 3. Rút gọn : Q = (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 +a +1). 4. Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + Bài 13: by)2 1. Tính giá trị biểu thức : thì ay – bx = 0 Bài 5: Lop8.net 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Q = (2x – 1)(4x2 + 2x +1) – 4x(2x2 – 3),với x = 1 2 2. Tìm x, biết : (x – 3)(x2 + 3x +9) – (3x – 17) = x3 – 12. 3. Cho x + y = 1 và xy = -1.Tính x3 + y3. Bài 14 : 1. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x. A  x  1x 2  x  1 x  1x 2  x  1. 2. Tìm x,biết: 5x – (4 – 2x + x2)(x + 2) + x(x – 1)(x + 1) = 0. 3. Cho x + y = 1.Tính giá trị biểu thức:Q = 2(x3 + y3) – 3(x2 + y2). Bài 15 : 1. Rút gọn biểu thức : A = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) 2. Tìm x, biết: (4x2 + 2x + 1)(2x – 1) – 4x(2x2 – 3) = 23. 3. Cho a – b = 1 và ab = 6.Tính a3 – b3. Bài 16: Ruùt goïn: a) 2m5m  2  2m  33m  1 b) 2 x  4 8 x  3 4 x  1. 2. c) 7 y  2   7 y  17 y  1 2. d) a  2   a.a  3 3. 2. Bài 17: CM các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y: 2 a) 2 x  52 x  5 2 x  3  12 x b) 2 y  1  2 y.2 y  3  6 y 2 y  2  c) x  3 x 2  3 x  9  20  x 3 d) 2 2 3 y. 3 y  2   3 y  1 9 y 2  3 y  1   6 y  1 3. Bài 18: Tìm x:. 2. . . . . . a) 2 x  52 x  7   4 x  3  16 2. . . . . 2. b) 8 x 2  3 8 x 2  3  8 x 2  1  22 c) 49 x 2  14 x  1  0 3 2 d) x  1  x.x  2   x  2   0 Bài 19:Chứng minh biểu thức luôn dương: a) A= 16 x 2  8 x  3. c) C  2 x 2  2 x  2 d) D  9 x 2  6 x  25 y 2  10 y  4 Bài 20: Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau: a) M  x 2  6 x  1 b) N  10 y  5 y 2  3 Bài 21:Thu goïn: a) 2  1 2 2  1 2 4  1 . . . . . 2 32  1  2 64 b) 5  3 5 2  3 2 5 4  3 4 . . . . ..  . 5. 64. . . . . . . . 3 2 ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. (Thùc hiÖn trong 6 tiÕt).  364 . 128. 5. 128. A. ThÕ nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ? Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. Bµi to¸n 1. Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ?T¹i sao nh÷ng c¸ch biÕn đổi còn lại không phải là phân tích đa thức thành nhân tử ? 2x2 + 5x – 3 = x(2x + 5) - 3 (1) 3 2x2 + 5x – 3 = x(2x + 5 ) (2) x 5 3 2x2 + 5x – 3 = 2(x2 + x ) (3) 2 2 2x2 + 5x – 3 = (2x - 1)(x - 3) (4) 2x2 + 5x – 3 = 2(x -. 1 )(x + 3) 2. (5). B. Những phương pháp nào thường dùng để phân tích ®a thøc thµnh nh©n tö? - Phương pháp đặt nhân tử chung. - Phương pháp dùng hằng đẳng thức. - Phương pháp nhóm nhiều hạng tử. Một số phương pháp khác như : - Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tö. - Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. - Phương pháp giảm dần luỹ thừa của số hạng có bËc cao nhÊt. - Phương pháp đặt ẩn phụ(đổi biến). - Phương pháp hệ số bất định. - Phương pháp xét giá trị riêng. - Phương pháp tìm nghiệm của đa thức. Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung. b) B  y 2  5 y  8. . Lop8.net 3. Nội dung cơ bản của phương pháp đặt nhân tử chung là gì ? Phương pháp này dựa trên tính.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> = (2x + chÊt nµo cña c¸c phÐp to¸n vÒ ®a thøc? Cã thÓ y)(4x y). nêu ra một công thức đơn giản cho phương pháp VÝ dô 2 nµy kh«ng ? a, (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3  NÕu tÊt c¶ c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cã mét nh©n tö HD: nhãm 2 h¹ng tö ®Çu  a3 + b3 chung thì đa thức đó biểu diễn được thành một tích = 3(x – z)(x- y)(z – y) của nhân tử chung đó với một đa thức khác. 2 +y2)3 + (z2- x2) – (y2 + z2)3 b, (x  Phương pháp này dựa trên tính chất phân phối của = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x – z)(x + z) phép nhân đối với phép cộng các đa thức. c, a3 + b3 + c3 – 3abc C«ng thøc : AB + AC + … + AF = A(B + C +… + = (a + b)3 + c3 – 3ab(a +b + c) F) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)  Phương pháp: Tìm nhân tử chung. d, x3 + y3 – z3 + 3xyz - LÊy ¦CLN cña c¸c hÖ sè. = (x + y)3 – z3 – 3xy( x + y – z) = ..... - LÊy c¸c biÕn chung cã mËt trong tÊt c¶ c¸c h¹ng tö. - §Æt nh©n tö chung ra ngoµi ngoÆc theo c«ng thøc Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử AB + AC + … + AF = A(B + C +… + F)  Nội dung cơ bản của phương pháp nhóm nhiều  Chó ý: h¹ng tö lµ g× ? - Phương pháp này áp dụng khi các hạng tử của đa thức Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách hợp lí để cã nh©n tö chung. có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng được hằng đẳng - Nhiều khi muốn có nhân tử chung ta phải đổi dấu các thức đáng nhớ. sè h¹ng b»ng c¸ch ®­a sè h¹ng vµo trong ngoÆc hoÆc  Chó ý: đưa vào trong ngoặc đằng trước có dấu cộng hoặc trừ. - Mét ®a thøc cã thÓ cã nhiÒu c¸ch nhãm VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. Sau khi nhóm ta có thể áp dụng phương pháp đặt a) 3x2 + 12xy. nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức để xuất b) 5x(y + 1) - 2(y + 1). c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 - 3y). hiện nhân tử chung mới hoặc hằng đẳng thức mới. Gi¶i VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) 3x2 + 12xy = 3x(x + 4y). a) x2 - 2xy + 5x - 10y. b) x(2x -3y) - 6y2 + 4xy. c) 3 2 3 2 b) 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2). 8x + 4x - y - y c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y) Gi¶i = 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2) a) x2 – 2xy + 5x – 10y = ( x2 – 2xy) + ( 5x – 10y) = (3y - 2) (14x2 + 35x - 28y). = x(x – 2 y) + 5 (x – 2y) = (x – 2 y)(x + 5) Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức b) x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy = x(2x – 3y) + (4xy - 6y2  Nội dung cơ bản của phương pháp dùng hằng = x(2x – 3y) + 2y(2x - 3y) = (2x – 3y)(x + 2y) đẳng thức là gì ? 3 + 4x2 – y3 – y2 = (8x3 - y3) + (4x2 – y2) c) 8x Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào = (2x -y)( x2 + xy + y2) + (2x – y)( đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức 2x +y) nµy thµnh mét tÝch c¸c ®a thøc. = (2x -y)( x2 + xy + y2 + 2x +y).  Phương pháp dùng hằng đẳng thức: - Nhận dạng các hằng đẳng thức. Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp - Kiểm tra xem có phải đúng là hằng đẳng thức không.  Khi cÇn ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö,  Chú ý: Nhiều khi phải đổi dấu mới áp dụng được chỉ được dùng riêng rẽ từng phương pháp hay hằng đẳng thức. có thể dùng phối hợp các phương pháp đó ? Có thể dùng phối hợp các phương pháp đã biết. VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 2 3 3 a) x – 4x + 4. b) 8x + 27y . VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. c) 9x2 - (x - y)2. a) a3 - a2b - ab2 + b3 b) ab2c3 + 64ab2 Gi¶i c) 27x3y - a3b3y. a) x2 – 4x + 4 = (x - 2)2 Gi¶i b) 8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) a) a3 – a2b – ab2 + b3 = a2(a – b) – b2(a - b) = c) 9x2 – (x - y)2 = [3x – (x –y)][3x + (x - y)] = (3x (a - b)(a2 - b2) = (a - b) 2 (a + b). –x +y)(3x + x - y) Lop8.net 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3+64) = ab2(c3+ 43) = c) a2b2(b – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a) ab2(c + 4)(c2 – 4c + 16). = a2b2(b- c + c – a) + 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 c) 27x y – a b y = y(27x – a b ) = y(3 - ab) b c (c – b) – a c ( c – a) (9x2 – 3ab + a2b2). =...................... = (b – c) (a – c)(b- a) (ab + bc + ca) KiÕn thøc N©ng cao. Phương pháp 7: Đặt biến phụ. Phương pháp 5: Phương pháp tách . Khi ph©n tÝch ®a thøc : ax2 + bx + c thµnh nh©n tö. C¸ch 1:. T¸ch. ax2 + bx + c = a x2 + b1x + b2x + c. Víi b = b1+ b2 vµ b1.b2 = a.c C¸ch 2:. T¸ch. ax2 + bx + c = X2 - B2. VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) 2x2 - 3x + 1. b) 6x2 + x - 2 c) x2 - 2x - 3 Gi¶i a) 2x2 – 3x + 1 = 2x2 – 2x – x + 1 = 2x(x – 1) – (x – 1) = (x – 1)(2x – 1). b) 6x2 + x – 2 = 6x2 + 4x – 3x – 2 = 2x(3x + 2) – (3x + 2) = (3x + 2) (2x – 1) c) x2 – 2x - 3 = x2 + x – 3x – 3 = .... VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x2 – 2x – 3 b) x2 - 10x + 16 a)x2. x2. Gi¶i – 2x + 1 – 4 = (x- 1)2 – 22 =. – 2x – 3 = (x – 3)(x+1) b)x2 – 10x + 16 = x2 – 10x + 25 – 9 = (x – 5)2 – 32 = (x – 8)(x – 2) Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) y4 + 64. b) x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) c) a2b2(b -a) + b2c2(c - b) - a2c2( c - a) Gi¶i 4 4 2 2 a) y + 64 = y +16y + 64 - 16y = (y2 + 8) 2 - (4y) 2 = (y2 + 8 - 4y) (y2 + 8 + 4y). b) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2 + x2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2) + x(x2 – z2) - y(x2-z2 ) - z( y2 – x2) = (y2- x2) ( x – z) + (x2 2 – z )(x – y) = (y – x)( x – z) (y +x – x – z). . Trong ®a thøc cã biÓu thøc xuÊt hiÖn nhiÒu lÇn ta đặt biểu thức đó làm biến phụ đưa về đa thức đơn gi¶n. Sau khi ph©n tÝch ®a thøc nµy ra nh©n tö råi l¹i thay biÕn cò vµo vµ tiÕp tôc ph©n tÝch VÝ dô 1: A , (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 B , (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x - 3) -5 C , ( x2 - 2x + 2)4 - 20x2(x2 - 2x + 2)2 + 64 x4 D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15 E , (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 F , (x2 + x)(x2 + x + 1) - 2. Gi¶i A.Đặt y = x2 + 4x + 8 rồi dùng phương pháp tách phân tÝch KÕt qu¶: A = (x2 + 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4) B. đặt y = x2 + 3x +1 B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4) C.§Æt y = x2 – 2x + 2 C = (x2 + 2)(x2 – 4x + 2)(x2 – 6x + 2)(x2 + 2x + 2) D = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) F. (x2 + x)(x2 + x + 1) – 2. (*) §Æt(x2 + x) = y Th× (*) trë thµnh: y(y + 1) – 2 = y2+ y - 1 – 1 = (y2 - 1) + (y – 1) = (y + 1)(y – 1) + (y – 1) = (y – 1)(y + 2). (**) Thay trë l¹i vµo (**) ta cã : (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2). VËy(x2 + x)(x2 + x + 1) – 2 = (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2). VÝ dô 2: a. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 b. 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) - 3x2 c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 HD: c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 = 4x (x+y+z) (x+y) (x+z)+ y2z2 = 4 (x2 +xy+xz)(x2 +xy 2 2 +xz +yz)+ y z (§Æt t = x2 +xy+xz) = 4t (t + yz) + y2z2 = (2t + yz)2 Ví dụ 3: Giải phương trình a. (2x2 + x)2 - 4(2x2 + x) + 3 = 0 b. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 = 0. Lop8.net 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> HD: Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö, ®­a Pt vÒ d¹ng PT Ta cã f(2) = 0 => x = 2 lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) tÝch => f (x) (x  2) a.  (t - 1)(t- 3) = 0 => f(x) = (x - 2)(x2 + 2x + 2) *. t = 1  2x2 + x = 1  (x +1)(2x-1)= 0 VÝ dô 3: g(x) = 4x3 - 7x2 -x - 2 2 *. t = 3  2x + x = 3 (x -1)(2x+ 3)= 0 = (x - 2)(4x2 + x +1) VÝ dô 4 : H(x) = x3 - x2 - 14x + 24 Phương pháp 8: Phương pháp xét giá trị riêng = (x-2)(x - 3)(x + 4)  KiÕn thøc: VÝ dô 5 1. x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x)  f(a) = 0 P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y). 2. x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) => P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y). f (x) (x  a) Ta thÊy nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× ®a thức P không thay đổi.  Lược đồ Hoor ne Do đó đa thức P có dạng: P = k(x - y)(y - z)( z - x). . Sơ đồ Hoóc - ne 3 2 NÕu ®a thøc bÞ chia lµ a0x + a1x + a2x + a3, ®a (k lµ h»ng sè). thứ chia là x - a ta được thương là b0x2 + b1 x + b2. Theo => P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)( z x). Đúng với mọi x, y, z, nên ta cho các biến x, y, z giá trị sơ đồ Hoóc - ne ta có: riªng, a0 a1 a2 a3 ch¼ng h¹n x = 2, y = 1, z = 0 (gi¸ trÞ riªng cña c¸c biÕn x, a b0 = a0 b1 = ab0 + b2 = ab1 + r = ab2 + y, z tuú chän sao cho (x - y)(y - z)( z a1 a2 a3 x)  0). Ta ®­îc: k = -1 VËy P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = - (x céng y)(y - z)( z - x) = (y - x)(y a nh©n z)( z - x).  Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích được Ví dụ 6 A = x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) thµnh nh©n tö. Gi¶i §èi víi tam thøc bËc hai d¹ng ax2 + bx + c, muèn xÐt +.NÕu x = y => A = 0 => A  (x - y) xem ®a thøc nµy cã ph©n tÝch ®­îc thµnh nh©n tö hay +.V× vai trß cña x,y,z nh­ nhau không thường dùng phương pháp sau: =>A  (y-z); (z-x) - TÝnh  = b2 – 4ac. =>A  (x - y)(y-z)(z-x) - NÕu   0 th× ph©n tÝch ®­îc. +.V× cã bËc cao nhÊt lµ 3 cßn bËc cña (x - y)(y-z)(z-x) - NÕu  < 0 th× kh«ng ph©n tÝch ®­îc. lµ 3 3 2 VÝ dô 1: f(x) = x -x - 4 => A = k (x - y)(y-z)(z-x) đúng với mọi x, y, z Lần lượt kiểm tra với ước của – 4 là 1, - 1, 2, Cho x = 0; y = 1; z = 2 thay vào => k = 1 2, - 4, 4. VËy A = (x - y)(y-z)(z-x) f(-1) = (-1)3 - (-1)2 - 4 = - 4 => x= -1 kh«ng ph¶i VÝ dô 7 lµ nghiÖm. P = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a) f(1) = (1)3- (1)2 - 4 = - 4 => x = 1 kh«ng ph¶i lµ HD: làm tương tự như VD6, thay a = 2; b = 1; c = o tìm nghiÖm. ®­îc k = -1 f(2) = 23 - 22 - 4 = 0. f(-2) = -16 => x = - 2 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. Phương pháp 9: Phương pháp hệ số bất định f(4) = 44 => x = 4 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. VÝ dô 1: Ph©n tÝch : x3 – 15x – 18 thµnh ®a thøc bËc f(- 4) = - 48 => x = - 4 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. Đa thức có nghiệm x = 2 do đó đa thức chứa thừa số (x nhất và bậc hai – 2). Gi¶i Sử dụng lược đồ Hoor ne ta có: f(x) = (x – 2)(x2 – x + Gi¶ sö ®a thøc trªn ®­îc ph©n tÝch th× 2). x3 – 15x – 18 = (x+ a)(x2 + bx + c)  x3 – 15x – 18 = x3 + (a+b)x2 + (ab+ c)x + ac VÝ dô 2: Ph©n tÝch f(x) = x3 - 2x - 4 Gi¶i Lop8.net 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> §ång nhÊt 2 ®a thøc ë 2 vÕ ta ®­îc: a  b  0(1)  ab  c  15(2) ac  18(3)  Tõ (3)chän a = 3; th× c = -6; b = -3 tho¶ m·n (2) VËy: x3 – 15x – 18 = (x + 3) (x2 – 3x – 6) VÝ dô 2 Ph©n tÝch : x3 – 19x - 30 thµnh ®a thøc bËc nhÊt vµ bËc hai Gi¶i Gi¶ sö ®a thøc trªn ®­îc ph©n tÝch th× x3 – 19x - 30 = (x + a) (x2 + bx + c)  x3 – 19x - 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab+ c)x + ac a  b  0(1)  §ång nhÊt 2 ®a thøc ta cã ab  c  19 (2) ac  30(3)  Tõ (3) chän a = 2 th× c =- 15; b = -2 tho¶ m·n (2) VËy x3 – 19x - 30 = (x +2)(x2 – 2x - 15) VÝ dô 3 x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3. Gi¶i Ta thÊy x  1; 3 kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc  ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn, kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ,  nªn ®a thøc cã d¹ng §Ó ph©n tÝch ®a thøc nµy thµnh thõa sè th× ph¶i cã d¹ng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a+c)x3 + (ac + b 2 +d)x +(ad + bc)x + bd. Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta được hệ điều kiÖn:  ac6 a  2  a  c  6 ac  b  d  12  b3        ac  8   a  3c  14  ad  bc  14 c  4    d  1 bd  3 VËy ®a thøc x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 - 4x 2 + 1)(x - 2x + 3). C¸ch 2 x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 – 4x3 – 2x3 + x2 + 8x2 + 3x2– 2x - 12x + 3 = x2 (x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1) = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3). VÝ dô 4 a. x3 + 4x2 + 5x +2 b. 2x4 - 3x3 -7x2 + 6x + 8 Gi¶i. a.ta cã x = - 1; x = -2 lµ nghiÖm cña ®a thøc => x3 + 4x2 + 5x +2  (x+1);(x+2) => x3 + 4x2 + 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b) .............................. b = 1 b.Ta cã x = 2; x = -1 lµ nghiÖ cña ®a thøc => 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8  (x+1);(x-2) => 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8= (x+1)(x-2)(2x2 + a x+ b) §ång nhÊt 2 ®a thøc ta cã a = -1; b =- 4 Phương pháp 10: Phương pháp hạ bậc VÝ dô 1: a) a5 + a +1. a) 1). a5. Gi¶i + a +1= + – + a3 – a3 + a2 – a2 + a + 1 = (a5 + a4 + a3 ) – ( a4+a3 + a2) + ( a2 + a + 1) = a3( a2 + a + 1) – a2( a2 + a + 1) + ( a2 + a + a5. a4. a4. = ( a2 + a + 1) (a3– a2 + 1).. C. øng dông ViÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã thÓ cã Ých cho viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ t×m nghiÖm cña ®a thøc, chia ®a thøc, rót gän ®a thøc. I. T×m x Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a) 2(x + 3) - x(x + 3) = 0 b) x3 + 27 + (x + 3)(x - 9) = 0 c) x2 + 5x = 6. Gi¶i a) 2(x + 3) – x(x + 3) = 0  (x + 3)(2 – x) = 0 x3 0 x  3     2 x  0 x2 S ={-3; 2}. b) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0  (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) = 0  (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) = 0  (x + 3)(x2 - 3x + 9 + x – 9) = 0  (x + 3)(x2 - 2x) = 0  x(x + 3)(x - 2) = 0 x0 x0     x  3  0   x  3 S ={-3; 0; 2}.  x20  x2 c) x2 + 5x = 6  x2 + 5x – 6 = 0  x2 - x + 6x – 6 = 0  (x2 - x) + (6x – 6) = 0  x (x - 1) + 6(x – 1) = 0. Lop8.net 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  (x + 6)( x – 1) = 0  . x60 x 1  0. . x  6 x 1. 6; 1}. Ví dụ 2. Giải các phương trình sau a. (x2 + 2x)2 - x2 - 2x - 2 = 0 b. x4 - x3 - x2 - x - 2 = 0 [ (x+1)(x-2)(x2+1)= 0] c. x3 - 2x2 - 9x +18 = 0 [(x-3)(x+3)(x-2) = 0 ] VÝ dô 3. T×m c¸c cÆp sè (x; y) tho¶ m·n a. x2 + y2 = 0 b. (x-1)2 + (y+2)2 = 0 c. 4x2 + y2 - 2(2x+y - 1) = 0 d. x2 + 2y2 + 2y(1-x) = -1 e. 2x2 (1 - y) + y(y + xy -2x) = 0 HD: A  0 §­a vÒ d¹ng A2 + B2 = 0   B  0. 3. 2. x - 9x + 27x - 27 víi x = 13 S = {- e) E = g). G. x -1 - 4x x -1x +1 + 3x -1x 3. 3. + x +1v. =. íi x = - 2. . . h) H = x -1x - 2  x + x +1 4 + 2x + x 2. 2.  víi x =. 1. VÝ dô 3 : Cho x - y = 7 . TÝnh A = x(x + 2) + y(y - 2)- 2xy + 37 B = x2(x + 1) - y2 (y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1) - 95 ( = (x-y)3 + (x -y)2 - 95 = 297 ) VÝ dô 4: x  y  0  x  y  0 a) Cho x + y = 7, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. 2 2 2 e.(x -y) + x (y +1) = 0   2 hoÆc  M = (x + y)3 + 2x2 + 4xy + 2y2 y  1  0 x  0   M = (x + y)3 + 2(x + y)2 = 441. Ví dụ 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình b) Cho x - y = - 5, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. a.x+ xy + y + 2 = 0 N = (x - y)3 - x2 + 2xy - y2 b. x + y = xy N = (x - y)3 - (x - y)2 = - 150 c. x2 + 21 = y2 VÝ dô 5 HD: Biến đổi về dạng X.Y = a (const) => X, Y  ¦(a) Chøng minh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc Ví dụ 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình vµo gi¸ trÞ cña biÕn. a. x2 + 21 = y2 a) P = (x + 2)3 + (x - 2)3 - 2x(x + 12) b.(x + 1)y - 2x = 8 P=0 HD: a.  (y- x)(y+ x) = 21 > 0 b) Q = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6x(x + 1)(x - 1)  y +x > y – x > 0 Q=-8 y  x  7  y  x  21 c) A = y(x2 - y2)(x2 + y2) - y(x4 - y4)   hoÆc  A=0 y  x  3 y  x  1 II.TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc d) B = (x - 1)3 - (x - 1)(x2 +x + 1) - 3(1 - x)x Phương pháp : Thu gọn biểu thức B=2 T×m gi¸ trÞ cña biÕn thay vµo 1  3 1  1  2 2 VÝ dô 1: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc e) M =  + 2x  4x - x     8x   3 9  27  A = (x2 + 2)2 – (x+ 2)(x - 2)(x2 + 4) víi x = 3  1/2 2 M= +. Rót gän A = 4x2 + 20 27 +.Thay A = 21 D. Bµi tËp ¸p dông VÝ dô 2. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc. Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) (3x - 1)2 - (5x + a) A = 9x2 +42x + 49 víi x = 1 3)2 1 2 1 2 b) (2x + y b) B = 5x - 2xy + y víi x=  : y = - 5 2 - (x + y - z)2 4z) 25 5 c) ( x2 + 3 2 2 3 x x y xy y xy)2 - (x2 - xy - 2y2)2 c) C = víi x = - 8; y = 6 + + + 8 4 6 27 d) x4 - x23 2 2x-1 d) D = x + 15x + 75x + 125 víi x = - 10 Bµi 2. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: a) A = 2x2 + 4x + xy + 2y. víi x=88 vµ y=-76. Lop8.net 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 3 2 vµ y= 2 4 5. b) B = x2 + xy -7 x - 7y. Bài 16. Tìm giá trị của x để phân thức sau bằng 0.. 3x 2  5 x  2 b) 3x 2  7 x  2 Bµi 3. ( x 2  7 x  12) 2 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x2 - (a + b)xy + aby2 ( x  4) 4  ( x  3) 2 b) ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2) c) (xy + ab)2 + (ay - bx)2 Bµi 17. Cho biÓu thøc: A= d) a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) 2 2  2 4x   x  2 2  3x x  4  Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. x  2 .  3 .    x  4   2x  4 x  4x x  2   a) - 6x2 - 5y + 3xy + 10x b) x2 + y2 - 2xy - x + y c) (x - z)2 - y2 + 2y - 1 d) x3 + y3 + 3y2 + a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu 3y + 1 thức được xác định. Bµi 5. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: b) TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt 2 x  1  3 A = x2 - 5x - 2xy + 5x + y2 + 4, biÕt x - y = 1 2 B = x2(x + 1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1), biết Bài 18 a) Tìm x để 2 x  10 x  12  0 . x - y = 7. x3  4 x Bµi 6. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. b) T×m c¸c sè nguyªn x để 4 a) (1 + x2)2 - 4x(1 - x + x2) b) x2 - y2- 2yz - z x  16 2 cã gi¸ trÞ nguyªn. 4 3 2 x  4 x  8 x  16 x  16 c) 3a2 - 6ab + 3b 2 - 12c2 d) x2 - 2xy + y2 Bµi 19. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x2 + 25 +10x 2 2 m + 2mn - n - y2 - 2y – 1 Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. b) x2 + 4y2 a) a 2- 10a + 25 - y2 - 4yz - 4z2 b) x4 - 2x3 + 4xy - z2 + 6z - 9 2x - 1 ROI Bµi 20. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng c) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 d) x3 + 4x2 + phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña c¸c biÕn: (x + y – z 5x + 2 t)2 - (z + t – x - y)2. Bµi 8. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: a) A = x2- 5x - 2xy + 5y + y2 + 4, biÕt x - y=1 Chuyên đề: một số phương pháp phân tích đa thức b) B = x2(x +1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x - y +1), mét biÕn thµnh nh©n tö. biÕt x - y=7 Các phương pháp: Bµi 9. Cho x = y = z = 0. Chøng minh r»ng x3+ x2y - y2x - T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö. xyz + y3 = 0 - Thªm, bít cïng mét h¹ng tö. Bµi 10. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ba c¹nh cña mét - §æi biÕn sè. tam gi¸c th×. - Hệ số bất định. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 - b4 - c4 > 0. - XÐt gi¸ trÞ riªng (§èi víi mét sè ®a thøc nhiÒu Bµi 11. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. biÕn). a) 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 I) Phương ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng b) 5x4 + 9x3 - 2x2 - 4x - 8 tö: Bµi 12. T×m c¸c hÖ sè a,b,c,d sao cho ®a thøc: §èi víi c¸c ®a thøc mµ c¸c h¹ng tö kh«ng cã nh©n 4 3 2 f(x) = x + ax + bx - 8x + 4 là bình phương đúng tö chung, khi ph©n tÝch ra nh©n tö ta thường phải tách cña một hạng tử nào đó ra thành nhiều hạng tử khác để nhóm ®a thøc g(x) = x2 + cx + d hạng tử đã có trong đa thức để cho trong 2 2 Bµi 13. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) (x - 8) + 36. víi c¸c c¸c nhãm cã nh©n tử chung, từ đó giữa các nhóm có b) 81x4 + 4. nhân tử chung mới hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức c) x5 + x + 1 quen thuéc. Bµi 14. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: A = (x2 + 2x)2 + 9x2 +18 + 20 f(x) = 2x2 - 3x + 1. B = x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 4y - 35 Gi¶i: C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 2 2 2 2 C¸ch 1: T¸ch h¹ng tö thø hai: -3x = -2x - x. D = (x + 4x + 8) + 3x( x + 4x + 8) + 2x Ta cã f(x) = (2x2 - 2x) - (x - 1) = 2x(x - 1) - (x - 1) Bµi 15. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. = (x - 1)(2x - 1). a) (x2 + x +1)(x2 + x + 2) - 12 C¸ch 2: b) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24. víi x= 7. a). Lop8.net 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Ta cã f(x) = (x2 - 2x + 1) + (x2 - x) = (x - 1)2 + x(x - 1) = (x - 1)[(x - 1) + x]. 1 5 1 Trë vÒ vÝ dô 3: XÐt c¸c sè  ; , ta thÊy lµ 3 3 3 nghiệm của đa thức, do đó khi ph©n tÝch ra nh©n tö, = (x - 1)(2x - 1). ®a thøc chøa nh©n tö 3x - 1. Tæng qu¸t: §Ó ph©n tÝch tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + Từ đó: f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = (3x3 - x2) - (6x2 bx + c ra nh©n tö, ta t¸ch h¹ng tö bx thµnh b1x + - 2x) + (15x - 5) b2x sao cho b1b2 = ac = x2(3x - 1) Bµi tËp 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: 2x(3x - 1) + 5(3x - 1) a) 4x2 - 4x - 3; c) 3x2 - 5x - 2; = (3x - 1)(x2 2 2 b) 2x - 5x - 3; d) 2x + 5x + 2. 2x + 5). VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: Bµi tËp 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: f(x) = x3 - x2 - 4. a) 6x2 - x - 1; e) 2x3 - 5x2 + 5x - 3 2 Gi¶i: b) 6x - 6x - 3; f) 2x3 + 3x2 + 3x + 1; c) 15x2 - 2x - 1; g) 3x3 - 2x2 + 5x + 2; Ta lần lượt kiểm tra với x = 1; 2; 4 ta thấy f(2) 3 2 d) 2x - x + 5x + 3; h) 27x3 - 27x2 + 18x = 0. 4; Đa thức f(x) có nghiệm x = 2, do đó khi phân tích §¸p sè: ra nh©n tö, f(x) chøa nh©n tö x - 2. Từ đó: f(x) = x3 - x2 - 4 = (x3 - 2x2) + (x2 - 2x) + a) (2x - 1)(3x + 1); e) (2x - 3)(x2 - x + 1); (2x - 4) b) (2x + 3)(3x - 1); f) (2x + 1)(x2 + x + = x2(x - 2) + x (x - 2) + 2 1); c) (3x + 1)(5x - 1); (x - 2) d) (2x + 1)(x2 - x + 3); g) (3x + 1)(x2 - x +2); = (x - 2)(x2 + x + 2). h) (3x - 1)(9x2 - 6x + 4); n n-1 Tæng qu¸t: NÕu ®a thøc f(x) = anx + an-1x + … + a1x II) Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử: + a0 cã nghiÖm nguyªn lµ Mục đích: Thêm, bớt cùng một hạng tử để nhóm x = x0 th× x0 lµ mét ­íc cña hÖ sè tù do a0, khi ph©n víi c¸c hạng tử đã có trong đa thức nhằm xuất hiện nhân tÝch f(x) ra nh©n tö th× f(x) cã tö chung mới hoặc xuất hiện hằng đẳng thức, đặc biệt là chứa nhân tử x - x0. Vì vậy đối với những đa thức xuất hiện hiệu của hai bình phương. mét biÕn bËc cao, ta nªn t×m lÊy một nghiệm của nó để định hướng việc phân tích III) Phương pháp đổi biến: ra nh©n tö. Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa Bµi tËp 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: về đa thức có bậc thấp hơn để thuận tiện cho việc phân a) x3 + 2x - 3; e) x3 - 9x2 + 6x + 16; tích ra nhân tử, sau khi phân tich ra nhân tử đối với đa 3 b) x - 7x + 6; f) x3 - x2 - x - 2; thøc míi, thay trở lại biến cũ để được đa thức với 3 c) x - 7x - 6; (NhiÒu g) x3 + x2 - x + 2; biÕn cò. c¸ch) h) x3 - 6x2 - x + 30. VÝ dô 4: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 3 2 d) x + 5x + 8x + 4; f(x) = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 128. f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5. Gi¶i: Gi¶i: Ta cã: f(x) = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128. Theo vÝ dô 2, ta thÊy c¸c sè 1; 5 kh«ng lµ §Æt x2 + 10x + 12 = y, ®a thøc trë thµnh: nghiÖm cña ®a thøc. Nh­ vËy ®a thøc kh«ng cã f(y) = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y nghiÖm nguyªn, tuy vËy ®a thøc cã thÓ cã nghiÖm h÷u tØ - 4)(y + 4) kh¸c. = (x2 + 10x + 8)( x2 + 10x + 16) = (x + Ta chøng minh ®­îc ®iÒu sau ®©y: 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8). Tæng qu¸t: NÕu ®a thøc f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 cã nghiÖm h÷u tØ lµ x =. p (d¹ng tèi gi¶n) th× p lµ mét ­íc cña q. hệ số tự do a0 còn q là ước dương của hệ số cao nhất an. Khi ph©n tÝch f(x) ra nh©n tö th× f(x) cã chøa nh©n tö qx - p.. VÝ dô 4’: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1. Gi¶i: 4 C¸ch 1: f(x) = x + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) = 4 2 x + 2x (3x - 1) + (3x - 1)2.. Lop8.net 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> = (x2 + 3x - 1)2. C¸ch 2: Gi¶ sö x ≠ 0; Ta cã: 1 6 1 f(x) = x2(x2 + 6x + 7 -  2 ) = x2[(x2 + 2 ) + x x x 1 6(x - ) + 7]. x 1 1 Đặt x - = y, suy ra: x2 + 2 = y2 + 2. Do đó đa x x thøc trë thµnh: f(x; y) = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 2 3x) = 1 [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x - 1) 2. x Bµi tËp 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: a) (x2 + x)2 d) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12; 2 2(x + x) e) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 15; 4a) + a4; 2 b) (x + x + 1)( f) (x2+y2+z2)(x+y+z)2 + 2 x + x + 2) (xy+yz+zx)2; 12; c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; g) A = 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.. VÝ dô 5: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3. Gi¶i: NhËn xÐt: C¸c sè 1; 3 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) nªn ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn, còng kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ. Nh­ vËy nÕu f(x) ph©n tÝch ®­îc thµnh nh©n tö th× ph¶i cã d¹ng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d), víi a, b, c, d  Z. Khai triÓn d¹ng nµy ra ta ®­îc ®a thøc: x4 + 3 (a+c)x + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd. §ång nhÊt ®a thøc nµy víi f(x) ta ®­îc hÖ ®iÒu kiÖn:. a  c  6 ac  b  d  12   ad  bc  14 bd  3. XÐt bd = 3, víi b, d  Z, b  {1; 3}. Víi b = 3 th× d = 1, hÖ ®iÒu kiÖn trë thµnh:. a  c  6  ac  8 a  3c  14.  Từ đó tìm được: a = -2; c = -4. Vậy f(x) = (x2 - 2x + 3)( - 4x + 1). Ta tr×nh bµy lêi gi¶i nh­ sau: f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x4 - 4x3 + x2) 3 (2x + 8x2 - 2x) + (3x2 -12x +3) = x2(x2 - 4x + 1) 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1) = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x +3). x2. §¸p sè: a) §Æt + x = y. Ta ph©n tÝch ®­îc thµnh: (x2 + x 5)(x2 + x + 3). b) §Æt x2 + x + 1 = y. §¸p sè: (x2 + x + 5)(x+2)(x1). c) Biến đổi thành: (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24; Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử, dùng §Æt x2 + 7x + 11 = y. §¸p sè: (x2 + 7x + 16)(x + phương pháp hệ số bất định: 1)(x + 6). a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + c) x4 - 8x + 63; d) §Æt x + y = z. §¸p sè: (x + y + 3)(x + y -4) 2x + 1; d) (x+1)4 + (x2 + x 2 2 2 2 2 4 3 2 e) §Æt x + 5ax + 5a = y. §¸p sè: (x + 5ax +5a ) . +1)2. b) x - 7x + 14x 2 2 2 f) §Æt x +y +z = a; xy + yz + zx = b. Ta ®­îc: a(a 7x + 1; 2 2 + 2b) + b = (a + b) = … g) Đặt các biểu thức đối xứng: x4 + y4 + z4 = a; x2 + §¸p sè: 2 2 y2 + z2 = b; x + y + z = c. a) (2x + x + 1) . Có thể dùng phương pháp tách: 5x2 = 2 2 4 2 2 Ta cã: A = 2a - b -2bc + c = (2a - 2b ) + (b 4x2 + x2. 2 4 2 2 2 2bc + c ) = 2(a - b ) + (b - c ) . b) (x2 - 3x + 1)(x2 - 4x + 1). Thay a - b2 = -2(x2y2 + x2z2 + y2z2); b - c2 = -2(xy c) (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9). + xz + yz). d) (x2 + 2x + 2)(2x2 + 2x +1). 2 2 2 2 2 2 Ta ®­îc M = -4(x y + x z + y z ) + 4(xy + xz + C¸ch kh¸c: (x+1)4 + (x2 + x +1)2 = (x+1)4 + x2(x 2 yz) +1)2 + 2x(x + 1) + 1 2 2 2 = 8x yz + 8xy z + 8xyz = 8xyz(x + y = (x + 1)2[(x + 1)2 2 2 + z). + x ] + (2x + 2x + 1) = (x2 + 2x + 1)(2x2 2 IV) Phương pháp hệ số bất định: + 2x + 1) + (2x + 2x + 1) x2. Lop8.net 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> = (2x2 + 2x + 1)(x2 + 2x +2). V) Phương pháp xét giá trị riêng: (§èi víi mét sè ®a thøc nhiÒu biÕn, cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh) VÝ dô 6: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y). Gi¶i: NhËn xÐt: NÕu thay x bëi y th× P = 0, nªn P chia hÕt cho x - y H¬n n÷a nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× P không thay đổi (Ta nói đa thức P cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh). Do đó: P chia hết cho x - y thì P cũng chia hết cho y - z vµ z - x. Từ đó: P = a(x - y)(y - z)(z - x); trong đó a là hằng sè, kh«ng chøa biÕn v× P cã bËc 3 đối với tập hợp các biến, còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với tËp hîp c¸c biÕn. Ta có: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x y)(y - z)(z - x) (*) đúng với mọi x, y, z  R nên ta chọn các giá trị riêng cho x, y, z để tìm hằng số a là xong. Chó ý: C¸c gi¸ trÞ cña x, y, z ta cã thÓ chän tuú ý, chỉ cần chúng đôi một khác nhau để tránh P = 0 lµ ®­îc. Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = 0 thay vào đẳng thøc (*), ta t×m ®­îc a = - 1 VËy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z).. f) x8 + x4 + 1; Bµi tËp 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (176): a) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; b) * x3 + 3xy 3 + y - 1. Bµi tËp 5: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (172): A = (a + b + c)3 - 4(a3 + b3+ c3) - 12abc b»ng c¸ch đổi biến: đặt a + b = m, a - b = n. Bµi tËp 6**: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (178): a) x8 + 14x4 + 1; b) x8 + 98x4 + 1. Bµi tËp 7: Chøng minh r»ng tÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp céng thªm 1 lµ mét sè chÝnh phương. (180) Bµi tËp 8*: Chøng minh r»ng: sè A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n nguyên dương. (181) Bµi tËp 9: T×m c¸c sè nguyªn a, b, c sao cho khi ph©n tÝch ®a thøc (x + a)(x - 4) - 7 ra nh©n tö ta ®­îc (x + b)(x + c). <182> Bµi tËp 10: T×m c¸c sè h÷u tØ a, b, c sao cho khi ph©n tÝch ®a thøc x3 + ax2 + bx2 + c thµnh nh©n tö ta ®­îc (x + a)(x + b)(x + c). <183> Bµi tËp 11:(184)Sè tù nhiªn n cã thÓ nhËn bao nhiªu gi¸ trÞ, biÕt r»ng khi ph©n tÝch ®a thøc x2 + x - n ra nh©n tö ta ®­îc (x - a)(x + b) víi a, b lµ c¸c sè tù nhiªn vµ 1 < n < 100 ? Bài tập 12: (185)Cho A = a2 + b2 + c2, trong đó a và b là hai sè tù nhiªn liªn tiÕp vµ c = ab. CMR: A lµ mét sè tù nhiªn lÎ. Chủ đề 1: Tính chia hết trong tập hợp số nguyên. Bµi tËp 6: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b). Gi¶i: NhËn xÐt: víi a = 0 th× Q = 0, cho nªn a lµ mét nhân tử của Q. Do vai trò bình đẳng của a, b, c nên b và c cũng là nhân tử của Q, mà Q có bậc 3 đối với tập hợp các biÕn nªn Q = k.abc. Chän a = b = c = 1 ®­îc k = 4. VËy Q = 4abc.. A. KiÕn thøc c¬ b¶n -. N¾m ®­îc tÝnh chÊt chia hÕt trong tËp hîp sè nguyªn. -. Vận dụng tốt tích chất để làm các bài tập. B. Phương pháp chung I. Chøng minh tÝnh chia hÕt trong tËp hîp sè nguyªn. Bµi tËp tù luyÖn: Bµi tËp 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (173): a) 4x4 - 32x2 + 1; c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 6 + x + 1)2; b) x + 27; d) (2x2 - 4)2 + 9; Bµi tËp 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (174): a) 4x4 + 1; b) 4x4 + y4; c) x4 + 324. Bµi tËp 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (175): a) x5 + x4 + 1; d) x5 - x4 - 1; b) x5 + x + 1; e) x7 + x5 + 1; 8 7 c) x + x + 1; ROI. Gäi A(n) lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n (n  N hoÆc n  Z) Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m, ta thường phân tích A(n) thành thừa số, trong đó có một thừa số là m. Nõu m lµ mét hîp sè ta ph©n tÝch m thµnh tÝch c¸c thõa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó. Lop8.net 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> NhËn xÐt: Trong k sè nguyªn liªn tiÕp bao giê. b) Chứng minh rằng một số chính phương chia cho 4. còng tån t¹i mét béi cña k. chØ cã thÓ cã sè d­ b»ng 0 hoÆc 1 Gi¶i:. VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: A = n3(n2 - 7)2 - 36n chÝ hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn. Gọi A là số chính phương A = n2 (n  N). n. a) Xét các trường hợp:. Gi¶i:. n = 3k (k N)  A = 9k2 chia hÕt cho 3. Ph©n tÝch ra thõa sè: 5040 = 24.32.5.7. n = 3k  1 (k N)  A = 9k2  6k +1 chia. Ta cã:. cho 3 d­ 1 = n[n2(n2 - 7)2 - 36]. A. Vậy số chính phương chi cho 3 chỉ có thể có số dư. = n[(n3 - 7n)2 - 62]. b»ng 0 hoÆc 1. = n(n3 - 7n - 6)(n3 - 7n + 6). b) Xét các trường hợp. Ta l¹i cã: n3. - 7n - 6 = (n + 1)(n + 2)(n - 3). n3. - 7n + 6 = (n - 1)(n - 2)(n + 3). n = 2k (k N) )  A = 4k2 chia hÕt cho 4 n = 2k + 1 (k N)  A = 4k2 + 4k +1 = 4k(k + 1) + 1 chia cho 4 d­ 1. Do đó: A = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n - 3) §©y chÝnh lµ tÝch cña b¶y sè nguyªn liªn tiÕp. Trong b¶y sè nguyªn liªn tiÕp. Vậy số chính phương chi cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoÆc 1 ¸p dông:. -. Tån t¹i mét béi cña 5 nªn A chia hÕt cho 5. -. Tån t¹i mét béi cña 7 nªn A chia hÕt cho 7. -. Tån t¹i hai béi cña 3 nªn A chia hÕt cho 9. -. Tồn tại ba bội của 2, trong đó có một bội của 4 nên. Trong các số sau có số nào là số chính phương không? M = 19922 + 19932 + 19942. A chia hÕt cho 16. N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 Lưu ý: Các hằng đẳng thức hay dùng để chứng minh tính. A chia hết cho các số 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố. chia hÕt cña mét luü thõa.. cïng nhau nªn A chia hÕt cho 5.7.9.16 = 5040. an - bn = (a - b)(an-1 + an-2.b + an-3 .b2 +....+ a.bn-2 + bn-1). ¸p dông:. víi n  N*. Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th×. an + bn = (a + b)(an-1 - an-2.b + an-3 .b2 - .... - a.bn-2 + bn-1). a) a2 - a chia hÕt cho 2. víi mäi n lÎ C«ng thøc Niu-t¬n. b) a3 - a chia hÕt cho 3. (a + b)n = an + c1an-1b + c2an-2b2 + ... + cn-1abn-1 + bn. c) a5 - a chia hÕt cho 5. Các hệ số ci được xác định bởi tam giác Pa-xcan. d) a7 - a chia hÕt cho 7. ¸p dông vµo tÝnh chÊt chia hÕt ta cã:. Gîi ý: Ph©n tÝch thµnh tÝch cña c¸c sè nguyªn liªn. an - bn Chia hÕt cho a - b (a  b). tiếp, khi đó tồn tại các số là bội của 2, 3, 5, 7. a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a  - b) (a + b)n = BS a + bn (BS a lµ béi sè cña a). Ví dụ 2: Số chính phương a) Chứng minh rằng một số chính phương chia cho 3. VÝ dô: Bµi tËp ¸p dông:. chØ cã thÓ cã sè d­ b»ng 0 hoÆc 1 Lop8.net 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 1/ Cho A = 11100 -1. Phương pháp:. Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 10, chia hÕt cho 1000. XÐt sè tù nhiªn A = nk víi n, k  N. 2/ Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16n -. C¸ch 1:. 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi n lµ sè ch½n. Muèn t×m ch÷ sè cuèi cïng cña A ta chØ cÇn biÓu. 3/ Chøng minh r»ng víi n  N:. diễn A dưới dạng:. a) 11n+1 + 122n+1 chia hÕt cho 133. A = 10a + b = ab. b) 34n+2 + 2.43n+1 chia hÕt cho 17. Th× b lµ ch÷ sè cuèi cïng cña A. c). 3.52n+1. +. 23n+1. chia hÕt cho 17. Ta viÕt A = nk = (10q + r)k = 10t + rk. II. T×m sè d­ VÝ dô: T×m sè d­ khi chia. Th× ch÷ sè cuèi cïng cña A còng chÝnh lµ ch÷ sè cña cïng 2100. cña rk. a) Cho 9. -. b) Cho 25. NÕu A = 100b + ab = abc th× bc lµ hai ch÷ sè cuèi cïng cña A. c) Cho 125. -. Gi¶i: a) Luü thõa cña 2 s¸t víi béi cña 9 lµ 23 = 8 = 9 - 1 Ta cã: 2100 = 2.(23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 = BS 9 + 7. ................ C¸ch 2: Khi lấy k lần lượt những giá trị tự nhiên khác nhau th× trong biÓu diÔn thËp ph©n cña sè A = nk ch÷ sè cuèi cïng hoÆc mét ch÷ sè cuèi cïng xuÊt hiÖn tuÇn hoµn. Ta. Sè d­ khi chia 2100 cho 9 lµ 7 b) Luü thõa cña 2 s¸t víi mét béi sè cña 25 lµ 210 = 1024 = BS 25 - 1. chỉ cần tìm chu kì của hiện tượng này và A ở trường hợp nào với giá trị k đã cho C¸ch 3: Dïng phÐp chia cã d­. Ta cã: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + 1. VÝ dô: T×m 3 ch÷ sè tËn cïng cña 2100 khi viÕt trong hÖ. VËy sè d­ khi chia 2100 cho 25 lµ 1. thËp ph©n. c) Dïng c«ng thøc Niu-t¬n:. Gi¶i:. 50.49 2100 = (5 - 1)50 = 550 - 50.549 + ... + 2 .52 - 50.5 + 1. Ba ch÷ sè tËp cïng cña 2100 lµ sè d­ cña phÐp chia 2100 cho. Ta thÊy 48 sè h¹ng ®Çu tiªn chøa luü thõa cña 5 víi sè mò lín h¬n 3 nªn chia hÕt cho 125. hai sè h¹ng tiÕp theo còng chia hÕt cho 125, sè h¹ng cuèi cïng lµ 1. 1000 Theo vÝ dô trªn ta cã 2100 = BS 125 + 1, mµ 2100 lµ sè ch½n, nªn ba ch÷ sè t©n cïng cña nã chØ cã thÓ lµ 126, 376, 626 hoÆc 876. VËy sè d­ khi chia 2100 cho 125 lµ 1. Mµ 2100 chia hÕt cho 8 nªn ba ch÷ sè tËn cïng cña nã còng. Bµi tËp ¸p dông:. ph¶i chia hÕt cho 8. Trong bèn sè trªn chØ cã 376 tho¶. a) T×m sè d­ cña phÐp chia Sn = 1n + 2n + 3n + 4n cho 4. m·n ®iÒu kiÖn. b) Chøng minh r»ng: 52n + 5n + 1 chia hÕt cho 31 víi mäi n kh«ng chia hÕt cho 3. VËy ba ch÷ sè tËn cïng cña 2100 lµ 376 Bµi tËp:. III. T×m ch÷ sè cuèi cïng trong biÓu diÔn thËp ph©n cña mét sè Lop8.net 14. 1) T×m 4 ch÷ sè tËn cïng cña 51994 khi viÕt trong hÖ thËp ph©n..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 2) Tìm chữ số hàng đơn vị của số 171983 +. Sè d­ cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho x - a b»ng gi¸. 111983 - 71983. trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x = a. 3) T×m ba ch÷ sè cuèi cïng cña sè A = m100. * §a thøc cã bËc tõ bËc hai trë lªn C¸ch 1: T¸ch ®a thøc bÞ chia thµnh nh÷ng ®a thøc. trong đó m là một số tự nhiên khác 0. chia hÕt cho ®a thøc chia. IV. T×m ®iÒu kiÖn chia hÕt. C¸ch 2: XÐt c¸c gi¸ trÞ riªng. Ví dụ: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết Chó ý:. cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B A = n3 + 2n2 - 3n + 2. an - bn Chia hÕt cho a - b (a  b). B = n2 - n. a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a  - b). Biến đổi. VÝ dô 1: n3 + 2n2 - 3n + 2 = (n2 - n)(n + 3) + 2. Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ. Muốn A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n2 n hay n(n - 1) do đó 2 phải chia hết cho n. sè b»ng 0 th× ®a thøc Êy chia hÕt cho x - 1 Gi¶i:. n. 1. -1. 2. -2. Gäi f(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an. n-1. 0. -2. 1. -3. Theo gi¶ thiÕt: a0 + a1 + .... + an-1 + an = 0. n(n - 1). 0. 2. 2. 6. Sè d­ cña phÐp chia f(x) cho x - 1 lµ. Lo¹i. r = f(1) = a0 + a1 + .... + an-1 + an = 0. Lo¹i VËy n = -1 ; n = 2. VËy f(x) chia hÕt cho x - 1. Bµi tËp:. VÝ dô 2:. 1) Tìm số nguyên dương n để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1. Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ sè luü thõa bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè luü thõa bËc lÎ th×. 2) T×m sè tù nhiªn n sao cho. f(x) chia hÕt cho x + 1. a) 2n - 1 chia hÕt cho 7. 2. Tìm thương và số dư của phép chia các đa thức. b) 2n - 1 chia hÕt cho 7. Phương pháp:. c) n2 - 3n + 6 chia hÕt cho 5. - §Æt phÐp chia. d) n3 - n + 1 Chia hÕt cho 7. - Dùng sơ đồ Hoóc-ne. e) 2.3n + 3 chia hÕt cho 11. §a thøc bÞ chia. f) 10n - 1 chia hÕt cho 81. a0 x n  a1 x n 1  a2 x n 2  ...  an 1 x  x. g) 10n - 1 chia hÕt cho 11 h) 10n -1 chia hÕt cho 121. Đa thức chia là x - a thương là. V. Tính chia hết đối với đa thức 1. T×m sè d­ cña phÐp chia mµ kh«ng thùc hiÖn phÐp chia. b0 x n 1  b1 x n 2  ...  bn 2 x  bn 1 Víi b0 = a0. Phương pháp:. b1 = a.b0 + a1. * §a thøc chia cã d¹ng x - a víi a lµ h»ng sè. b2 = a.b1 + a2 Lop8.net 15. sè d­ r.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> ................... VÝ dô 3:. bn-1 = a.bn-2 + an-1. Chøng minh r»ng f(x) chia hÕt cho g(x). r = abn-1 + an. f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1. 3. Chøng minh mét ®a thøc chia hÕt cho mét ®a thøc. g(x) = x9 + x8 + x7 + .... + x + 1. Phương pháp:. Gi¶i:. * Phân tích đa thức bị chi thành nhân tử, trong đó. f(x) - g(x) = x99 - x9+ x88 - x8 +... + x11 - x. cã mét nh©n tö lµ ®a thøc chia. = x9(x90 - 1) + x8(x80 - 1) + ... +. VÝ dô 1:. x(x10 - 1). Chøng minh r»ng x8n + x4n + 1 chia hÕt cho x2n + xn + 1 víi mäi mét sè tù nhiªn n.. Các biểu thức trong ngoặc đều chia hết cho x10 - 1, mµ x10 - 1 chia hÕt cho g(x). Gi¶i:. VËy f(x) chia hÕt cho g(x) x8n + x4n + 1. = x8n + 2x4n + 1 - x4n. * Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều. = (x4n + 1)2 - (x2n)2. lµ nghiÖm cña ®a thøc bÞ chia. = (x4n + x2n +1) (x4n - x2n. VÝ dô:. +1) x4n + x2n +1. Cho f(x) = (x2 + x - 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 chøng = x4n + 2x2n +1- x2n. ming r»ng f(x) chia hÕt cho x2 - x. = (x2n + 1)2 - (xn)2. Gi¶i:. = (x2n + xn +1) (x2n - xn +1) VËy x8n + x4n + 1 chia hÕt cho x2n + xn + 1. §a thøc x2 - x cã hai nghiÖm lµ x = 0 vµ x = 1. Ta sÏ chøng minh x=0 vµ x = 1 còng lµ nghiÖm cña ®a thøc. * Biến đổi các đa thức chia thành một tổng các đa. f(x). thøc chia hÕt cho ®a thøc chia VÝ dô 2: Chøng minh r»ng x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 1 víi mäi sè tù nhiªn m, n Gi¶i: x3m+1 + x3n+2 + 1 = x3m+1 - x + x3n+2 + 1 - x2 + x2 + x+1 = x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + x2 + x + 1 Ta thÊy x3m - 1 vµ x3n - 1 chia hÕt cho x3 - 1 Do đó x3m - 1 và x3n - 1 chia hết cho x2 + x + 1 VËy x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 1 * Sử dụng các biến đổi tương đương, chẳng hạn để chøng minh f(x) chia hÕt cho g(x), cã thÓ chøng minh f(x) + g(x) chia hÕt cho g(x) hoÆc f(x) - g(x) chia hÕt cho g(x) Lop8.net 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Chủ đề 2: Giải phương trình. a+x a  x 3a   2 a-1 a  1 a  1 x-a x  b x  c b)   3 b+c c  a a  b x-a x  b x  c 3x c)    b+c c  a a  b a  b  c a+b-x a+c-x b+c-x 4x d)    1 c b a abc a). A. KiÕn thøc c¬ b¶n - Nắm được khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu. - Có kỹ năng giải phương trình một cách thành th¹o B. Néi dung I. Phương trình bậc nhất một ẩn VÝ dô 1:. II. Phương trình tích. Giải phương trình a2x + b = a(x + b). §Þnh nghÜa:. Gi¶i:. Phương trình tích một ẩn là phương trình có dạng:. a2x + b = a(x + b). A(x).B(x)... = 0 (1).  a2x + b = ax + ab. Trong đó A(x), B(x), ... là các đa thức.  a2x - ax = ab - b. C¸ch gi¶i:.  ax(a - 1) = b(a - 1) (1). Giải từng phương trình A(x) = 0, B(x) = 0, .... rồi. Nếu a  0, a  1thì phương trình có nghiệm duy nhất. x. lÊy tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña chóng.. b a. Chó ý: ViÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã vai trß. Nếu a = 1 thì (1) có dạng 0x = 0, phương trình nghiệm. quan trọng trong việc đưa phương trình về dạng phương. đúng với mọi x. trình tích. Ngoài ra ta còn dùng phương pháp đặt ẩn phụ. Nếu a = 0 thì (1) có dạng 0x = -b, phương trình nghiệm. VÝ dô 1:. đúng với mọi x nếu b = 0, vô nghiệm nếu b  0. Giải phương trình:. KÕt luËn:. (x + 3)3 - (x + 1)3 = 56. Nếu a  0, a  1thì phương trình có nghiệm duy nhất. Gi¶i: (x + 3)3 - (x + 1)3 = 56. b x a.  x3 + 9x2 + 27x + 27 - x3 - 3x2 - 3x- 1 = 56. Nếu a = 1 hoặc a = 0 và b = 0, phương trình nghiệm đúng.  6x2 + 24x -30 = 0. víi mäi x.  6(x2 + 4x - 5) = 0. Nếu a = 0 và b  0, phương trình vô nghiệm.  x2 - x + 5x - 5 = 0  x(x - 1) + 5(x - 1) = 0. Bµi tËp ¸p dông: Giải phương trình:.  (x - 1)(x + 5) = 0 KÕt luËn: S = {1; -5} Chó ý:. Lop8.net 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> b) x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1 = 0. Có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ x + 2 = y (x Gi¶i:. + 2 lµ trung b×nh céng cña x + 3 vµ x + 1). a) Biến đổi phương trình thành:. Ví dụ 2: Giải phương trình:. (x + 1)(x + 2)(2x + 1) = 0. (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16 Gi¶i: Đặt x - 7 = y, phương trình trở thành:. Phương trình có ba nghiệm: x1 = -1 ; x2 = -2 ;. (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16 +. 6y2. 1 2. b) C¸ch 1:. Rót gän ta ®­îc: y4. x3  . Đưa phương trình về dạng: (x + 1)2(x2 - x + 1) = 0. -7=0. §Æt y2 = z (z  0), ta cã z2 + 6z - 7 = 0  (z - 1)(z. Phương trình có một nghiệm x = -1 C¸ch 2:. + 7) = 0. Chia cả hai vế của phương trình cho x2 (vì x = 0. Phương trình này cho z1 = 1, z2 = -7 (loại). không là nghiệm của phương trình) ta được:. Víi z = 1, nªn y =  1. 1  2 1   x   3 x  40  x 2   x  . Từ đó x1 = 8 ; x2 = 6 Chó ý: Khi giải phương trình bậc bốn dạng (x + a)4 + (x +. y x b)4 = c ta thường đặt ẩn phụ. ab 2. y x. §Æt. 1 1 x 2  2  y2  2 x x th× , ta ®­îc:. y2 - 3y + 2 = 0 nªn y1 = 1; y2 = 2 Víi y1 = 1, ta cã x2 - x + 1 = 0, v« nghiÖm. áp dụng: Giải phương trình: a) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2. Víi y = 2, ta cã x2 - 2x + 1 = 0 nªn x = 1. b) (x + 1)4 + (x - 3)4 = 82. Bµi tËp ¸p dông: Giải phương trình. c) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 d) (x - 2,5)4 + (x -1,5)4 = 1. a) x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 = 0. * Phương trình đối xứng (các hệ số có tính đối xứng). b) x5 - x4 + 3x3 + 3x2 - x + 1 = 0. 1 Trong phương trình đối xứng nếu a là nghiệm thì cũng a. c) x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1 = 0. lµ nghiÖm. 3. Phương trình chứa ẩn ở mẫu. d) 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5 + 6 = 0 Các bước giải:. + Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có mét trong c¸c nghiÖm lµ x = -1 + Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đưa được về phương trình bậc n bằng cách đặt ẩn phụ y  x . Tìm điều kiện xác định của phương trình. -. Quy đồng mẫu thức ở hai vế của phương trình rồi khö mÉu thøc. 1 x. VÝ dô 3:. -. Giải phương trình vừa nhận được. -. Nghiệm của phương trình là các giá trị tìm được của ẩn thoả mãn điều kiện xác định.. Giải phương trình: a) 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0. -. Ví dụ 1: Giải phương trình:. Lop8.net 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> x 1 x  3 2   (1) x  2 x  4 ( x  2)(4  x ). 1 lượng, bạc giảm 10 trọng lượng. Hỏi chiếc mũ chứa bao. Gi¶i: ĐKXĐ của phương trình là x  2, x  4. nhiêu gam bạc (vật có khối lượng 100 gam trì trọng lượng. Biến đổi phương trình (1) ta được:. b»ng 1 niut¬n). (x - 1)(x - 4) + (x + 3)(x - 2) = -2. Gi¶i: Gọi trọng lượng bạc trong mũ là x (niutơn) (0 < x. Thu gọn phương trình ta được: 2x(x - 2) = 0 (2). < 5). Trọng lượng vàng trong mũ là 5 - x (niutơn). NgiÖm cña (2) x1 = 0 ; x2 = 2. Khi nhúng ngập trong nước, trọng lượng bạc giảm. x1 = 0 tho¶ m·n §KX§; x2 = 2 kh«ng tho¶ m·n §KX§. x 5 x 10 (niutơn), trọng lượng vàng giảm 20 (niutơn). VËy S = {0} Bµi tËp:. x 5 x   0,3 Ta có phương trình: 10 20. Giải phương trình với các tham số a, b. a) b). 1 1 1 1    a b x ab x x+a x  3  2 x+3 x  a. Giải phương trình ta được x = 1 Vậy trọng lượng bạc trong mũ là 1 niutơn. ChiÕc mò chøa 100 gam b¹c. Chó ý:. 4) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:. Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình,. a) Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:. ngoài ẩn đã chọn đôi khi người ta còn biểu thị những đại. Bước 1:. lượng chưa biết khác bằng chữ. Điều lý thú là các chữ đó. -. Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.. -. Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.. -. 1 Biết rằng khi cân trong nước, vàng giảm 20 trọng. Lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.. tuy tham gia vµo qu¸ tr×nh gi¶i to¸n nh­ng chóng l¹i không có mặt trong đáp số của bài toán. VÝ dô 2: Một người đi nửa quãng đường AB với vận tốc 20 km/h, vµ ®i phÇn cßn l¹i víi vËn tèc 30 km/h. TÝnh vËn tèc. Bước 2: Giải phương trình.. trung bình của người đó trên cả quãng đường.. Bước 3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời. Gi¶i:. VÝ dô 1: Vào thế kỉ thứ III trước công nguyên, vua xứ Xira-cút giao cho Ac-si-met kiểm tra xem chiếc mũ bằng. Gäi vËn tèc trung b×nh ph¶i t×m lµ x (km/h). Ta biÓu thÞ mét nöa qu·ng ®­êng AB lµ a km (a > 0). a Thời gian người đó đi nửa đầu quãng đường là 20. vµng cña m×nh cã pha thªm b¹c hay kh«ng. ChiÕc mò cã trọng lượng 5 niutơn (theo đơn vị hiện nay), khi nhúng ngập trong nước thì trọng lượng giảm đi 0,3 niutơn. a giờ, thời gian người đó đi nửa sau quãng đường là 30 giờ, a a 2a   Ta có phương trình: 20 30 x Lop8.net 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Giải phương trình ta được x = 24 Vậy vận tốc trung bình của người đó trên cả quãng ®­êng lµ 24km/h. Bµi tËp: 1) Một khách du lịch đi từ A đến B nhận thấy cứ 15 phút lại gặp một xe buýt đi cùng chiều vượt qua, cứ 10 phút lại gặp một xe buýt chạy ngược lại. Biết rằng các xe buýt đều chạy với cùng một vận tốc, khởi hành sau những kho¶ng thêi gian b»ng nhau vµ kh«ng dõng l¹i trªn ®­êng (trên chiều từ A đến B cũng như chiều ngược lại). Hỏi cứ sau bao nhiêu phát thì các xe buýt lại lần lượt rời bến? 2) Trªn qu·ng ®­êng AB cña mét thµnh phè, cø 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều từ A đến B và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều ngược lại. Các xe này chuyển động đều với cùng vận tốc như nhau. Một khách du lịch đi bộ từ A đến B nhận thấy cứ 5 phót l¹i gÆp mét xe ®i tõ B vÒ phÝa m×nh. Hái cø bao nhiªu phút lại có một xe đi từ A vượt qua người đó?. Lop8.net 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>