<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo

<b>Hướng dẫn học</b>

Để học tốt bài này,sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:

 Học đúng lịch trình của mơn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia
thảo luận trên diễn đàn.

 Đọc tài liệu:

1. Giáo trình <i>Tốn cao cấp cho các nhà kinh tế</i>, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại
học KTQD, 2012.

2. Bộ mơn tốn cơ bản, 2009, <i>Bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế</i>, NXB
Thống kê.

3. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, <i>Toán cao cấp 1</i>, NXB
Giáo dục.

4. Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third
edition, Mc. Graw–Hill, Inc.

5. Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S,
2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts,
London, England.

 Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặc
qua email.

 Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học.

<b>Nội dung </b>

 Phép nhân ma trận với ma trận;

 Ma trận nghịch đảo;

 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo.

<b>Mục tiêu </b>

 Sinh viên nắm được định nghĩa phép hệ phương trình Cramer.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo

<b>T</b>

<b>ình huống dẫn nhập </b>

<b>Tính doanh thu của một cửa hàng </b>

Một cửa hàng gạo chuyên kinh doanh ba mặt hàng: gạo Bắc Hương, gạo Tám Điện Biên và gạo
Tám Thái Lan với giá tương ứng là 18.000 đồng/1kg; 20.000 đồng/1kg và 19.000 đồng/1kg.
Trong 3 tháng đầu năm, cửa hàng bán được số lượng cụ thể như sau:

<i>Đơn vị: kg </i>

<b>Tháng </b>
<b>Loại gạo </b>

<b>1 </b> <b>2 </b> <b>3 </b>

Bắc Hương 345 340 350

Tám Điện Biên 315 330 370

Tám Thái Lan 430 425 425

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo

<b>5.1. </b> <b>Phép nhân ma trận với ma trận </b>
<b>5.1.1. </b> <b>Định nghĩa phép nhân hai ma trận </b>

Cho hai ma trận:

11 12 1p

11 12 1n

21 22 2p

21 22 2n

n1 n2 np

m1 m1 mn

b b ... a
a a ... a

b b ... a
a a ... a

A = , B =

... ... ... ...
... ... ... ...

b b ... a
a a ... a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Trong đó ma trận A có số cột bằng số dịng của ma trận B.

<b>Định nghĩa</b>: Tích của ma trận A và ma trận B là một ma trận cấp m×p, ký hiệu là AB
và được xác định như sau

11 12 1p

21 22 2p

m1 m2 mp

c c ... c
c c ... c
AB =

... ... ... ...
c c ... c

 

 

 

 

 

 

 

Trong đó:

cij = ailblj + ai2b2j + … + ainbnj
(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p)

Để thực hiện phép nhân ma trận với ma trận theo định nghĩa trên bạn cần lưu ý mấy
điểm sau đây:

Tồn tại tích AB khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước (ma trận A) bằng số dòng
của ma trận đứng sau (ma trận B);

Cấp của ma trận AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dịng bằng số dòng của ma trận
A và số cột bằng số cột của ma trận B.

Tính các phân tử của ma trận AB; Phần tử cij thuộc dòng i và cột j của ma trận AB là
tích của dòng thứ i của ma trận A với cột thứ j của ma trận B theo quy tắc nhân một
dòng với một cột như sau:

1
2

1 2 n 1 1 2 2 n n

y
y

[x x ... x ] = x y + x y + + x y

 
 
 

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo
Ma trận AB là một ma trận cấp 3×4:

11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34

c c c c
AB = c c c c
c c c c

 

 

 

 

 

Để tính các phần tử thuộc dịng thứ nhất của AB ta lấy dòng thứ nhất của A nhân lần
lượt với các cột của B theo quy tắc nhân một dòng với một cột:





11

0

c = 3 1 2 1 = 3.0 + 1.1 + ( 2).( 5) = 11
5
 
 
 _{ }  
 
 





12
2

c = 3 1 2 3 = 3.2 + 1.3 + ( 2).( 1) = 11
1
 
 
 _{ }  
 
 





13
5

c = 3 1 2 0 = 3.( 5) + 1.0 + ( 2).4 = 23

4

 
 
 _{ }   
 
 





14
1

c = 3 1 2 1 = 3.1 + 1.( 1) + ( 2).1 = 0
1
 
 
 _{ }  
 
 

Để tính các phần tử thuộc dòng thứ hai của AB ta lấy dòng thứ hai của A nhân lần
lượt với các cột của B:

21
22
23
24

c = 2.0 + 5.1 + 4.( 5) = 15
c = 2.2 + 5.3 + 4.( 1) = 15
c = 2.( 5) + 5.0 + 4.4 = 6

c = 2.1 + 5.( 1) + 4.1 = 1

 






Để tính các phần tử thuộc dịng thứ ba của AB ta lấy dòng thứ ba của A nhân lần lượt
với các cột của B

31
32
33
34

c = ( 1).0 + 0.1 + ( 3).( 5) = 15
c = ( 1).2 + 0.3 + ( 3).( 1) = 1
c = ( 1).( 5) + 0.0 + ( 3).4 = 7
c = ( 1).1 + 0.( 1) + ( 3).1= 4

  

  

   

   

Kết quả là:

11 11 23 0
AB = 15 15 6 1
15 1 7 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo

<b>Ví dụ 2</b>: Cho 2 ma trận:

2 1 1 1 2 0
A = 0 8 5 , B = 4 7 1
5 6 2 5 2 1



   

 _   _ _ 

   

     

   

Hai ma trận đã cho là hai ma trận vng cấp 3. Theo quy tắc nhân ma trận thì AB và
BA cũng có nghĩa và cả hai tích đó đều là ma trận vng cấp 3. Bạn hãy tự tính tốn
các phần tử của các ma trận tích và đối chiếu với các kết quả sau đây:

3 13 0 2 15 9

AB = 7 66 3 , BA = 2 66 41 .

19 36 4 5 5 3



   

 _ _   _ 

   

      

   

<i>Chú ý</i>: Trong phạm vi các ma trận vng cùng cấp ta có thể nhân hai ma trận bất kỳ
và tích của hai ma trận vng cấp n là một ma trận vuông cấp n. Tuy nhiên, ngay cả
trong phạm vi các ma trân vuông cùng cấp phép nhân ma trận khơng có tính chất giao
hốn (ví dụ trên là một trường hợp AB ≠ BA).

<b>5.1.2. </b> <b>Các tính chất cơ bản của phép nhân hai ma trận </b>

Phép nhân ma trận với ma trận có các tính chất cơ bản sau đây. Chúng tơi bỏ qua phần
chứng minh. Bạn cần đọc kỹđể hiểu chính xác nội dung của các tính chất đó.

(1) Tính chất kết hợp:

(AB)C = A(BC)

Trong đó A, B, C là ba ma trận bất kỳ thỏa mãn điều kiện: số cột của A bằng số
dòng của B và số cột B bằng số dòng của C. Do phép nhân có tính chất kết hợp,
khi viết tích của ba hoặc nhiều ma trận ta có thể bỏ các dấu ngoặc.

(2) Tính chất phân phối của phép nhân hai ma trận đối với phép cộng:
A(B + C) = AB + AC, (B + C)D = BD + CD

Trong đó B và C là hai ma trận cùng cấp có số dịng bằng số cột của ma trận A và
số cột bằng số dòng của ma trận D.

(3) Với A, B là hai ma trận sao cho tích AB có nghĩa và α là một số bất kỳ ta ln có:
α(AB) = (αA)B = A(αB)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo

<i>Chú ý: </i>

Tính chất thứ sáu có thể mở rộng cho tích của một số hữu hạn các ma trận vuông
cùng cấp:

1 2 n 1 2 n

A A ...A = A . A ... A

Đối với ma trận vng, ta có thể sử dụng ký hiệu lũy thừa nguyên dương như sau:
A2 = AA, A3 = AAA, An = AA…A (n lần)

Từ tính chất 6 suy ra:

n
n

A = A

<b>5.2. Ma trận nghịch đảo </b>

<b>5.2.1. Khái niệm ma trận nghịch đảo </b>

Như ta đã biết, trong tập hợp tất cả các số thực số 1 giữ vai trò phần tử trung hòa của
phép nhân (a.1 = a, a  R) và được gọi là sốđơn vị. Trong tập hợp tất cả các ma trận
vuông cùng cấp, ma trận đơn vị E cũng có vai trị tương tự:

AE = EA = A

Trong số học, số nghịch đảo của một số thực a ≠ 0 là số thực a–1 thỏa mãn điều kiện
a.a–1_{= 1. Khái ni}_ệ_{m ma tr}_ậ_{n ngh}_ị_ch_đả_{o c}_ủ_{a ma tr}_ậ_{n vuông c}_ũ_ng_đượ_c_đị_{nh ngh}_ĩ_a
tương tự.

<b>Định nghĩa</b>: Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A là một ma trận vuông X

(cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện:
AX = XA = E

Chú ý rằng khái niệm ma trận nghịch đảo chỉ áp dụng cho ma trận vuông.

Từđịnh nghĩa ta suy ra rằng nếu ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo thì nó chỉ có
một ma trận nghịch đảo duy nhất.

Thật vậy, giả sử X và Y cùng là ma trận nghịch đảo của ma trận A, tức là:
AX = XA = E và AY = YA = E

Khi đó ta có:

X(AY) = XE = X và (XA)Y = EY = Y

Do phép nhân ma trận có tính chất kết hợp nên từ hai đẳng thức này suy ra X = Y
Như vậy, nếu ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo thì ma trận nghịch đảo của nó
được xác định duy nhất. Ta sẽ dùng ký hiệu A–1để chỉ ma trận nghịch đảo của ma trận
A. Theo định nghĩa ta có:

AA–1_{= A}–1_{A = E}

Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì ta cịn nói A là ma trận khơng suy biến.

<b>5.2.2. Ma trận phụ hợp của ma trận vuông </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo

11 12 1n
21 22 2n

n1 n2 nn

a a ... a
a a ... a
A=

... ... ... ...

a a ... a

 
 
 
 
 
 

là ma trận vng cấp n, ký hiệu là A*, có phần tử thuộc dòng i và cột j là phần bù đại
số của phần tử aji của ma trận A:

11 21 n1

12 22 n2

* *
ij n x n

1n 2n nn

A A ... A
A A ... A
A = a =

... ... ... ...
A A ... A

 
 

 
 
  _ _
 
 
(5.1)

Để lập ma trận phụ hợp A* của ma trận vuông A ta phải tính phần bù đại số Aij của tất
cả các phần tử aij và xếp Aij vào dòng j, cột i của A*_.

<b>Ví dụ</b>: Lập ma trận phụ hợp của ma trận

3 2 2
A = 1 2 5
7 6 2


 
_ 
 
   
 

<i><b>Gi</b><b>ả</b><b>i:</b></i> Trước hết ta tính phần bù đại số của tất các các phần tử

11 12 13

2 5 1 5 1 2

A = + = 26, A = = 33, A = + = 8

6 2 7 2 7 6

 

 

   

21 22 23

2 2 3 2 3 2

A = = 16, A = + = 20, A = = 4

6 2 7 2 7 6

 

   

   

31 32 33

2 2 3 2 3 2

A = = 14, A = = 17, A = + = 4

2 5 1 5 1 2

 

  

 

Ma trận phụ hợp của ma trận A là:

11 21 31
*

12 22 32
13 23 33

A A A 26 16 14
A = A A A = 33 20 17

A A A 8 4 4

</div>

<!--links-->