Ôn tập Lượng giác - Gv : Phan Hữu Huy Trang

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Gv : Phan Hữu Huy Trang. LƯƠNG GIÁC A.Các Hằng Đẳng Thức Lượng Giác Cơ Bản:  sin 2   cos2   1   R .     tan .cot   1    k ,k  Z  2   1      1  tan 2      k,k  Z  2 cos  2   1   1  cotg2    k,k  Z  2 sin  B. Giaù Trò Caùc Cung Goùc Lieân Quan Ñaëc Bieät: 1. Cung – Góc đối nhau:  và  : . cos     cos  ; sin      sin . . tan      tan  ; cot      cot . 2. Cung – Goùc buø nhau:    vaø   sin       sin  ; . cos        cos . . tan        tan  ;. . cot        cot  3. Cung – Goùc phuï nhau:.    vaø  2.      = cos ; 2     cos     = sin 2      tan     = cot ; 2     cot     = tan 2  4. Cung– Goùc hôn keùm  :    vaø   sin        sin  ;  sin .  cos        cos  . tan       tan  ;. . cot       cot . 5. Cung – Goùc hôn keùm       cos  2    cos       sin   2     tan       cot  2     cot       tan  2   sin . C. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng: Với mọi cung có số đo a, b ta có:  cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb  cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb  sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb  sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb    . =. 2. Công thức nhân đôi:  sin2a = 2sina.cosa  cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2 sin2a . tan2a. =. 2 tan a 1 tan 2 a. . c ot2a =. cot 2 a - 1 2 cot a. 3. Công thức nhân ba:  sin3a = 3sina – 4sin3a  cos3a = 4cos3a – 3cosa  . 3tan a  tan3 a tan3a = 1  3tan 2 a cot 3 a  3cot a cot3a  3cot 2 a  1. 4.Công thức hạ bậc:   .   :   vaø  2 2. tan a  tan b 1 tan a.tan b tan a  tan b tan(a + b) = 1 tan a.tan b cota.cotb  1 cot(a – b) = cotb  cota cota.cotb  1 cot(a + b) = cotb  cota tan(a – b).   . 1  cos 2a 2 1  cos 2a sin2a = 2 1 sina.cosa  sin 2a 2 1  cos2a tan 2 a  1  cos2a  s in3a  3sin a sin3 a  4 cos3a  3cos a cos3 a  4 cos2a =. 5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan ( Gsử: x    k 2 , đặt t = tan. -1 Lop12.net. x ) 2. x : 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Gv : Phan Hữu Huy Trang  Phöông trình sinx = a coù nghieäm khi vaø chæ khi – 1 ≤ a ≤ 1 hay a ≤ 1 vaø voâ nghieäm khi. LƯƠNG GIÁC 1 t 2t  cosx = 2 1 t2 1 t  2t  tanx = ( x   k , k  Z ) 2 1 t 2 2.  sinx =. a  1 hay a >1. a  1. vaø chæ khi . 6. Công thức biến đổi tổng thành tích       .  a b  ab cos a  cos b  2 cos   cos    2   2   a b  ab cos a  cos b  2sin   sin    2   2   a b  ab sin a  sin b  2sin   cos    2   2   a b  ab sin a  sin b  2 cos   sin    2   2  sin(a  b)  tan a  tan b  ( a , b   k , k  Z ) cos a.cos b 2 sin(a  b) cot a  cot b  ( a , b  k , k  Z ) sin a.sin b  sin(a  b) cot a  cot b  ( a , b  k , k  Z ) sin a.sin b.  A sin x  B cos x . Với co s  . A  B .sin( x   ) 2. 2. A2  B 2 .co s( x   ) B ; sin   A2  B 2 A2  B 2  A.   4 4    sin a  cos a  2 sin(a  )   2cos(a  ) 4 4    cos a  sin a  2cos(a  )   2 sin(a  ) 4 4  sin a  cos a  2 sin(a  )  2cos (a  ). Các trường hợp đặc biệt :  sinx = 0  x = k   + k 2p 2   sinx = – 1  x = – + k 2p . 2.  sinx = 1  x =.  Cho a  [ 1; 1] thì arcsina laø goùc        2 ; 2  sao cho sin = a Khi đó phương    x  arcsin a  k.2 trình sinx = a    x    arcsin a  k.2. Lưu ý: Đối với phương trình sin u   sin v , ta làm mất dấu (-) theo công thức sau: sin u   sin v  sin  v  (do: sin  v    sin v )  Để giải bài toán sinu = cosv, ta biến đổi   nhö sau: sin u  cos v  sin   v  2   Ưu tiên giữ lại bên trái đối với cung lượng giác có hệ số đối với x lớn DAÏNG 2 : cosu = cosv  u =  v + k2   Nếu u, v tính bằng độ thì : cosu = cosv  u =  v + k.360o  Phöông trình cosx = a coù nghieäm khi vaø chæ khi – 1 ≤ a ≤ 1 hay a ≤ 1 vaø voâ nghieäm khi a  1. vaø chæ khi  hay a >1. a  1. 7. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos a.cos b   cos(a  b)  cos(a  b)  2 1 sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b)  2 1 sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  2 D. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC : u  v  k 2. DAÏNG 1 : sinu = sinv   u    v  k 2  Nếu u, v tính bằng độ thì : u  v  k .360. sinu = sinv  . 0. 0 0 u  180  v  k .360.  Cho a  [ 1; 1] thì arccosa laø goùc    ;  sao cho cos = a. Khi đó  x  arccosa  k.2. phöông trình: cosx = a    x   arccosa  k.2  Các trường hợp đặc biệt :.  + k 2  cosx = 1  x = k2   cosx = – 1  x =  + k2 .  cosx = 0  x =. Đối với phương trình cos u   cos v , ta làm mất dấu    theo công thức sau:. cos u   cos v  cos    v  (do cos    v    cos v ) DAÏNG 3 : tanu = tanv  u = v + k   Nếu u, v tính bằng độ thì -2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Gv : Phan Hữu Huy Trang. LƯƠNG GIÁC tanu = tanv  u = v + k.180o  Phöông trình tanx = a luoân luoân coù nghiệm với mọi giá trị của a.  Cho a baát kyø, kyù hieäu arctana laø goùc. .     . thuoäc     ;  sao cho tan = a. 2 2 Khi đó, phương trình tanx = a  x = arctana + k. Lưu ý: Để chuyển đổi từ tanu thành cotu và ngược lại ta làm theo công thức:     tan   u   cot u hay : cot   u   tan u 2  2  2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Là các phương trình lượng giác có dạng sau: at2 + bt + c = 0 (1) , trong đó t là một trong caùc haøm soá: sinu; cosu; tanu; cotu. Với a;b;c  R; a  0. Và u: biểu thức chứa ẩn (u=u(x)).Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều kiện của ẩn phụ: + t=sinu , t=cosu : t  1 + t=tanu (u . .  k ) ; t=cotu (u  k ) 2 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx Là phương trình lượng giác có dạng: asinx + bcosx = c (2) (a,b,c  R, a, b  0) Trường hợp: a  0 , b= 0 hoặc a  0 , b  0 thì phương trình (2) trở về dạng PTLG cơ bản Ta xét trường hợp a;b;c  0 .Chia hai vế của. PT cho. a 2  b2 , a b c sin x  cos x  a 2  b2 a 2  b2 a 2  b2. (1) . (ĐK để PT (2) có nghiệm: a 2  b 2  c 2 )  sin x.cos   cos x.sin   sin   sin( x   )  sin . Trong đó: cos  . a. ; sin  . b. ; sin  . c. a b a b a  b2 4. Phöông trình ñaúng caáp baäc hai: Là phương trình lượng giác có dạng: a.sin2u+b.sinu.cosu+c.cos2u = 0 (3) (hoặc vế phaûi = d  0) 2. 2. 2. 2. 2. Cách 1: Dùng công thức nhân đôi để hạ bậc, PT (3) trở thành : 1  cos 2u sin 2u 1  cos 2u a.  b.  c. 0 2 2 2  b sin 2u  (c  a ) cos 2u  a  c , đã biết caùch giaûi. Caùch 2: Neáu u . .  k khoâng thoûa phöông 2 trình neân ta chia 2 veá cuûa phöông trình cho cos2u  0. Ta coù PT baäc 2 theo tanu: atan2 u+btanu+c = 0 5. Phương trình lượng giác đối xứng: Là phương trình lượng giác có dạng: a(sinx  cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4) ; (a,b,c  R, a, b  0) Nếu a= 0, hoặc b= 0 thì PT (4) trở về dạng PT cơ bản mà ta đã biết cách giải.Ta chỉ xét trường hợp a,b  0.. . Ñaët t = sin x  cos x  2 sin( x . . 4. ); ÑK :.  2 t  2..  sin x cos x  . t2 1 . Thế vào PT (4) ta được : 2. t2 1 at  b.( )  c  0   bt 2  2at  2c  b  0 (4’) 2 Giải PT (4’) ta sẽ tìm được giá trị t , thế vào tính tieáp nghieäm x cuûa PT (Löu yù ñieàu kieän t) 6. Moät soá caùch ñaët aån phuï toång quaùt : Phương pháp: Ta cố gắng biến đổi đưa phương trình về một hàm số lượng giác duy nhất, đó chính laø aån cuûa phöông trình. Coù theå choïn aån soá baèng quy taéc sau: +Nếu phương trình không thay đổi khi ta thế: x bởi  x , chọn ẩn là cosx ; x bởi   x , chọn ẩn là sinx ; x bởi   x , chọn ẩn là tanx + Nếu cả ba cách đều thực hiện được , chọn aån laø cos2x + Nếu cả ba cách đều không thực hiện được x , choïn aån laø tan . 2. Daïng naøy coù hai caùch giaûi:. -3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Gv : Phan Hữu Huy Trang. LƯƠNG GIÁC 1. Giaûi caùc phöông trình sau: 2.(cos 6 x  sin 6 x)  sin x. cos x 1) 2  2. sin x. 33).  0. 3) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 4) cos3x.cos3x – sin3x.sin3x = 2  3. 2. 8. 6. . (2sin2x. 6) – 1).tg22x + 3.(2.cos2x – 1) = 0 7) cos2x + (1 + 2cosx).(sinx – cosx) = 0 8) cos3x + sin3x + 2.sin2x = 1 9) 4sin3x + 4.sin2x + 3.sin2x + 6.cosx = 0 10) cos23x.cos2x – cos2 x = 0 11) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0   3 12) cos 4 x  sin 4 x  cos x  . sin  3x     0 4  4 2    13) 2 2 . cos 3  x    3 cos x  sin x  0 4   cos 2x  1 14) tan  x    3.tan 2 x  2 cos 2 x  15) sinx.cos2x + cos2x.(tan2x – 1) + 2.sin3x = 0 16) 2sinx.cos2x + sin2x.cos2x = sin4x.cosx sin x  3   2 17) tan   x    2  1  cos x 18) sin2x + cos2x + 3.sinx – cosx – 2 = 0 19) 5.sinx – 2 = 3.(1 – sinx).tan2x 20) (2.cosx – 1).(2.sinx + cosx) = sin2x – sinx 21) sin4x.sin7x = cos3x.cos 6x 22) 1  sin x  1  cos x  1 23) 4.(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx 1  24) 1 cos x. . sin x.  2 2 cos( x . 4. = 1. cos 2 x.(cos x  1)  2(1  sin x) sin x  cos x 2.cos4x 35) cotx = tanx + sin2x 2 2 36) sin 3x – cos 4x = sin25x – cos26x sin 4 x + cos4 x 1 1 = cot2x 37) 5.sin2x 2 8.sin2x. 34). x 2) cot gx  sin x.(1  tgx.tg )  4 2. 5) 2.sin  2 x    + 4.sinx + 1 = 0. x  (2 - 3)cosx - 2sin 2  -  2 4 2cosx -1. ). 25) sinx + sin2x = 3 (cosx + cos2x) 26) sin2x – 2 2 (sinx + cosx) – 5 = 0 cos 2x 1  sin 2 x  .sin 2x 27) cot x  1  1  tan x 2 2 28) cotx – tanx + 4sin2x = sin 2 x x  x  29) sin 2    .tan 2 x  cos 2  0 2 2 4 30) 3 – tanx.( tanx + 2sinx ) + 6.cosx = 0 31) cos2x + cosx. ( 2tan2x – 1) = 2 32) 3.cos4x – 8.cos6x + 2.cos2x + 3 = 0. Lop12.net. 2 38) tan4x + 1 = (2  sin 24x) sin 3x. cos x. 39) tanx + cosx – cos2 x = sinx.( 1 + tanx.tan. x ) 2. 1 = sinx 8.cos2 x 41) (1 + sin 2 x)cosx +(1 + cos 2x)sinx = 1 + sin 2x 42) 2sin 2 2x + sin 7x – 1 = sin x. 40). 2. x x  43)  sin + cos  + 3cosx = 2 2 2  44) 3tan2x – 4tan3x = tan23x.tan2x 45) sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 46) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 47) cos4x + sin3x.cosx = sinxcos3x 3 48) cos4x + sin4x – sin2x + sin2x = 0 4 49) tan2x + cot2x + 2( tanx + cotx) = 6 50) cos4x + sin6x = cos2x 51) tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 6 52) 2cos3x + cos2x + sinx = 0 1 1  53) sin5x – cos5x = cos x sin x 2 54) cos10x + 2cos 4x + 6cos3x.cosx = cosx +8cosx.cos33x 1 1 2  55) cos x sin 2x sin 4x 56) cos3x.tan5x = sin7x 57) tan5x.tan2x = 1   58) 2sin 3x  = 1  8sin 2x.cos2 2x 4  59) 4cosx – 2cos2x – cos4x = 1 60) 3sin3x – 3 cos9x = 1 + 4sin 3 3x 17  10x) 61) sin22x – cos28x = sin( 2 2 62) cos 3x.cos3x + sin3x.sin3x = 4 63) cos 34x = cos3x.cos3x + sin3x.sin3x.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Gv : Phan Hữu Huy Trang 6x 8x 93) 2 cos2 1 3 cos 5 5 6 94) 3cosx + 4sinx + =6 3cos x 4sin x 1 95) 1 + sinx + cosx + sin2x + 2cos2x = 0 96) sin3x + cos3x = sinx – cosx 97) sin2x.cosx – cos2x+sinx – cos2x.sinx – cosx = 0 98) sin3x.sin6x = sin9x 1  sin 2x 99) 1 + tan2x = cos2 2x 100) 2cos2x.sin2x = 2(sinx + cosx) 101) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x 102) cotx – tanx = sinx + cosx 103) 4cos2x + 3tan2x – 4 3 cosx +2 3 tanx + 4 = 0 104) cos2x – cos6x + 4(3sinx – 4sin3x + 1) = 0 105) sinx + cosx = 2 (2 – sin3x) 106) sin2x.cos8x = 1 108) cos13x + sin14x = 1 109) cosx = 1 + x. LƯƠNG GIÁC 64) tan2x + cot2x = 2sin4x 65) 2cot2x – 3cot3x = tan2x 3 1 66) 8cosx = + sin x cos x x x  cos4 2 2 – tan2 x.sinx = 1  sin x + tan2x 67) 2 1  sin x 3  cos2x  cot 2x  68) – 2sin2x = 2 cot 2x  cos2x cos x cos 5x  69) = 8sinx.sin3x cos3x cos x 2 70) 3tan3x + cot2x = 2tanx + sin 4x 71) cos x 2sin 2x cos3x = 1 + 2 sinx – cos2x sin 4. 72) tan2x =. 1  cos x 1  sin x. 73) 2cosx – sin x = 1 74) sin x + cos3x = 0 1  cos x 1 cos x  4sin x cos x 76)sin3x(1 + cotx)+ cos3x (1 + tanx)=2 sin x.cos x 77) cos 2x  sin 4x = sinx – cosx. 75). 78) 4cos2x – 2( 3 – 1)cosx – 3 = 0 1 79) sinx = (3 – 3 cosx) 3 80)5(sinx +cosx) + sin3x – cos3x =2 2 (2 + sin2x) 81) sin3x – 5sin2x.cosx – 3sinx.cos2x + 3cos3x = 0 29 82) sin10x + cos10x = cos42x 16 2 4 83) 2(cos2x + ) + 9( – cosx) – 1 = 0 2 cos x cos x x 84) 3sinx + cosx – 4cot +1 = 0 2 1 1 10  sin x 85) cosx + cos x sin x 3 86) sin x  cos x + 4sin2x = 1 87) 2(tanx – sinx) + 3(cotx – cosx) + 5 = 0 88) cos4x – cos2x + 2sin6 x = 0 17 89) sin8x + cos8x = cos22x 16  1 90) sin4x + cos4(x + )  4 4 5sin 4x.cos x 91) 6sinx – 2cos3x = 2 cos 2x 1 1 92) sin2x – sinx + =0  2 sin x sin x. 110) cos3x + 2  cos2 3x = 2(1 + sin22x) 111) sin3x + cos3x = (2 – sin4x) 112) 4cosx – 2 cos2x – cos4x = 1 113) tan2x + tan2y + cot2 (x + y) = 1 114) 4sin2x + sin23x = 4 sinx.sin2 3x 1 115) 2sinx = sinx + sin x 116) tanx + cotx = 2sin2x 117) 2log3(cotx) = log2(cosx) 118) sin3x + cos3x = 2(sinx +cosx) – 1 119) 4(sin4x +cos4x) + sin 4x – 2 = 0 120) 4(sin3x + cos3x ) = cosx + 3sinx 2. Cho pt: sinx + cosx = m 1  sin x.cos x a) Định m để phương trình có nghiệm 2 3 b) Giải phương trình với m = 3 3. Định m để phương trình : 1 sin4x +cos4x + msin4x – (2m+1)sin2xcos2x = 0 ] 4  có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( ; ) 4 2 4. Định a để phương trình : sin6x + cos6x = a(sin4 x + cos4x) coù nghieäm 2 5.Cho pt: 2 + 2tan2x +(2m + 3)(tanx + cotx)+4 = 0 sin x a) Giaûi phöông trình khi m = 1 b) Định m để phương trình có nghiệm. sin 6 x  cos6 x  2m tan 2x 6. Cho phöông trình : cos2 x  sin 2 x. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Gv : Phan Hữu Huy Trang. LƯƠNG GIÁC 1 8 b) Định m để phương trình có nghiệm 1 7. Cho pt: + cot2x + m(tanx + cotx) + 2 = 0 2 cos x 5 a) Giaûi phöông trình khi m = 2 b) Định m để phương trình có nghiệm 2 8. Cho phöông trình ( 1 – a)tan2x – + 13a = 0 cos x 1 a) Giaûi phöông trình khi a = 2 b) Định m để phương trình có nhiều hơn một  nghiệm trong khoảng (0 ; ) 2 6 sin x  cos6 x m 9. Cho phöông trình :   tan(x  ).tan(x  ) 4 4 1 a) Giaûi phöông trình khi m = – 4 b) Định m để phương trình có nghiệm 10. Cho phöông trình: (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 – 4cos2x a) Giaûi phöông trình khi m = 1 b) Định m để phương trình có đúng hai nghiệm thuoäc  0 ; . a) Giaûi phöông trình khi m =. 11. Định m để phương trình :. 17. a) Giaûi pt : 3cosx + cos2x – cos3x +1 = 2sinx.sin2x b) Tìm các giá trị của m để phương trình trên tương đương với phương trình sau: mcos3x + (4 – 8m)sin2x + (7m –4)cosx + 8m – 4 = 0. 18. Bieän luaän theo m soá nghieäm x thuoäc (0 ; ) cuûa phöông trình : cos2x + (1 – m)cosx + m – 1 = 0 19. Tìm a để phương trình sau có nghiệm: sin 6x + cos6x = a sin 2x 20. Định m để phương trình sau có nghiệm: (2m +1)(sinx–cosx) – (sinx+cosx) +2m2+2m+2 = 0 21. Định m để phương trình sau vô nghiệm: cos4x + (m – 2)sin2x + 4 = 0 22. Định m để phương trình sau có đúng hai ngiệm   thuộc khoảng (– ; ) 2 2 mcos2x – 4(m – 2) cosx + 3(m – 2) = 0 23. a) Giaûi pt sau : (cos4x – cos2x)2 = 5 + sin3x b) Định a để phương trình sau có nghiệm: (cos4x – cos2x)2 = (a2 + 4a +3)(a2 +4a +6) + 7sin3x. 2. sin x  cos x  1  a sin x  2. cos x  3 a) Giaûi phöông trình khi a = 1/3 b) Tìm a để phương trình có nghiệm 25.Tìm m để pt 2.(sin4x + cos4x ) + cos4x + 2sin2x –. 24.Cho phöông trình :. m = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn  0 ;   . mcos3x + 4(1 –2m)sin2x + (7m – 4)cosx + 8m–4 = 0. có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng (0 ; 2  ) 12. Định m để pt: cos3x – cos2x + mcosx – 1 = 0  có đúng bảy nghiệm thuộc khoảng (– ; 2) 2 13. a) Giaûi pt : sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x (1) b ) Tìm các giá trị của a để (1) tương đương với phöông trình sau : sin3x = asinx + (4 – 2a)sin2x 1 14. a) Giaûi pt: sinx.cos2x = sin2x.cos3x – sin5x (1) 2 b) Định a để pt: acos2x + a cos4x + cos6x = 1 tương đương với (1) 15. Cho hai phöông trình : cos2x + sin x – 1 = 0 vaø msin3x +(m – 2)cos2x – (m+2)sinx +2 – m = 0 Tìm các giá trị của m để hai PT tương đương. 16. Tìm các giá trị của m để hai pt tương đương : 2 cosx.cos2x = 1+ cos2x + cos3x 4cos2x – cos3x = mcosx + (4 – m) (1 + cos2x). 2 . 26.Tìm nghiệm thuộc đoạn  0 ; 14  của phương trình : cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 27. Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0 ; 2  ) của phương cos3x  sin 3x   trình : 5  sin x    cos 2x  3 1  2sin 2x   28.Tìm nghiệm thuộc khoảng  0 ,   của ph/trình : x 3   4 sin 2  3 cos 2 x  1  2. cos 2  x   2 4   m 29.Cho phöông trình : msinx + (m + 1) cosx = cosx 1 a) Giaûi phöông trình khi m = 2 b) Tìm m để phương trình có nghiệm 30. Cho phöông trình : cos2 x - cos3x -1 , x  1; 70 cos2x – tan2x = cos2 x Tính toång caùc nghieäm cuûa phöông trình treân. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Gv : Phan Hữu Huy Trang. LƯƠNG GIÁC. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN : Loại 1: Giải các phương trình lượng giác sau: 1  1/ sin 2x = 2/ cos (2x + ) + cosx = 0 2. 3/ cos(2x +.  6. 3. )=.   2 cos  3x    1  0 3  6/ sin 5x – sinx = 0  8/ tan(2x + ) = 1. 2 2. 4/. 5/ 2cos(x  5o )  3  0 7/ 2sinx  1 = 0 9/ 2cos(2x +.  4. 5. )+ 3 =0. 10/ sin(8x + 600) + sin2x = 0.   2 cos  2x    1 5  14/ sin(2x –1 ) = sin(3x +1) 16/ 2sinx + tanx = 0.  3  11/ sin  3x    6 2  13/ (1 + 2cosx)( 2  2sin x)  0 15/ sin(3x  2)  1. 12/.  3 19/ sin 3x  cos 2x  0. 3 3 20/ cos5x  sin 2x  0. 17/ tan(2x  3)  tan 21/ sin2x . 18/ cot(45o  x) . 1 =0 4. 22/ 2cos2x = 1.   23/ cot 2x  cot  x   4 . 2   24/ sin  x    cos3x 3   x 26/ 4cos 2  3  0 2  28/ tan[ (cosx  sinx)] = 1 4 30/ cos(sinx) = 1. 25/ tan 8x  cot 2x 1  cos x 1  cos x 29/ sin(tanx) = cos(tanx)     31/ tan  x   .tan  x    1 6 3   33/ sin 3x.sin 3 x  cos3x.cos3 x  1 35/ cosx + cos 2x = sin x – sin 2x 37/ sin(x2  4x) = 0 tan x  1  cot 2x  0 39/ tan x  1   41/ cot 2x.cot  x    1 4 . 27/ tan2x =. 32/ sin 3x.cot 5x  cos 7x 34/ cos x.cos 2x  cos3x 36/ tan x 2  1 38/ cos2x – 3cos2x – 4 = 0 2    2x 40/ sin 2  5x    cos      0 5   4        42/ cos 2  x    sin 2  x    cos  x   6 6 3   .   3 2   43/ sin(x  24o )  cos(x  144o )  cos 20o 44/ 2sin  x    cos  x    4 4 2   o o 4 4 45/ 2(cos x  sin x)  sin x  cos x 46/ cos(3x  20 )  sin(70  3x)  1  0 47/ tan 2 x  3 tan x  49/ tan. 1 20 cos 2 x. 48/ cos. 3x    7  3 với   x  5 2 6. x 2 với 2  x  4  2 3.    2  50/ sin  2x    với   x  3 6 6 5 . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Gv : Phan Hữu Huy Trang. LƯƠNG GIÁC. Loại 2: Các bài toán có chứa tham số: 1/ Định m để các phương trình sau có nghiệm : x x a) (4m  1)sinx = 2sin cos + 8m b) sinx.sin3x + (5 + 4m)cos2x = 8m +5 2 2 2/ Giải và biện luận pt: msin x  2m  1  0 . B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: Loại 1: Giải các phương trình lượng giác sau: 1/ sin2x + 3sinx +2 = 0 2/ tan2x  ( 3  1)tanx = 3 3/ 1 + cos4x = cos2x 4/ cos 2 x  sin x  1  0 x 5/ cosx  2 sin = 1 6/ cos2x +3sinx + 4 = 0 2 7/ cot4x  4cot2x +3 = 0 8/ cos2x + cosx  2= 0 2 9/ 6cos x  5cos x  1 10/ 3sin 2 2x  7 cos 2x  3  0 11/ cos 2x  cos x  1  0. 12/ 6sin 23x  cos12x  7. 13/ 4sin 4 x  12cos 2 x  7. 14/ cos3x  4cos 2x  3cos x  4  0. 15/ (1  tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx. 16/ 4cos 2 x  2( 3  1) cos x  3  0. 17/ cos3x + 3cos2x + 2cosx = 0. 18/ cot 2 x  ( 3  1) cot x  3. 19/ 5(1 + cosx) = 2 + sin4x  cos4x 1 1  cos x  21/ sin x  sin x cos x 3 23/ sin 2 2x  2cos 2 x   0 4 2 1  tan x 25/ cos4x  3. 20 1  tan 2 x 1 1 16 27/   2 2 1  cos x 1  sin x 11 5 29/ sin 4 x  cos 4 x  1 3 4 31/ sin 2x  cos 4 2x  sin 2x cos 2x. 20/ (3  cot x) 2  5(3  cot x)   5 22/ cos 2(x + ) + 4cos(  x) = 2 3 6   24/ cos 2 (x  )  4cos(x  )  4 3 6   26/ cos2(2x + ) – cos22x –3cos( - 2x )+ 2 = 0 2 2 x 28/ cos 2x  3cos x  4cos 2 2 1 30/ sin 4 x  cos 4 x  sin 2x  2 32/ 2sin 3x.sin x  (3 2  1) cos 2x  3. 33/ 4cos x  2cos 2x  cos 4x  1. 34/. 3 tan 2 x  ( 3  3) tan x  3  0. 1  2sin 2 x  3 3 sin x  sin 2x 37/ 1 2sin x cos x  1 3 39/  2 3 cot x  6  0 sin 2 x.  4   2  36/ 2  cos 2 x   9  cos x   1 2  cos x   cos x   2 cos x(2sin x  3 2)  2cos x  1 38/ 1 1  sin 2x sin 4 x  cos 4 x 1 1  cot 2x  40/ 5sin 2x 2 8sin 2x. 41/ 4sin 2 2x  6sin 2 x  9  3cos 2x  0. 42/ 2(sin 4 x  cos 4 x)  cos 4x  2sin 2x  2  0. 43/ 2cos 2 2x  3 sin 2x  1  0. 44/ 4cos 2 x  cos3x  cos x  5(1  cos 2x). 45/ 3cos 2x  4cos3 x  cos3x  0. 46/ 2sin 2 2x  2sin 2 x  3. 47/ 1  sin x  cos x  0. 48/ cos 4x  2sin 2 2x  6cos 2x  5  0   50/ cos(2x  )  sin(2x  )  (4  2 2)sin x  2  4 4 4. 35/ sin 2 x . 1 1  sin x  4 2 sin x sin x. 49/ cos 2x  cos x(2 tan 2 x  1)  2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Gv : Phan Hữu Huy Trang. LƯƠNG GIÁC. Loại 2: Các bài toán có chứa tham số: 1/ Định m để phương trình sau có nghiệm: a/ tan2x  2mtanx + (m + 1).4 = 0 b/ cos2x  2mcosx + 4(m  1) = 0 2/ Định m để phương trình: cos2x + (2m + 1)sinx + m = 0 có nghiệm   0,  3/ Định m để phương trình: 1 + mcosx = m2  cos2x vô nghiệm. 4/ Cho phương trình: cos2x + (2m +1)sinx + m = 0 a/ Giải pt khi m = 1 b/ Định m để pt có nghiệm x   0,  . 5/ Cho phương trình: cos4x + 6sinx.cosx = m a/ Giải pt khi m = 1 17   b/ Định m để pt có 2 nghiệm phân biệt trên đoạn 0;  . ĐS: 2  m  8  4 2  1  3a  0 6/ Cho phương trình: (1  a) tan 2 x  cos x 1 a/ Giải pt khi a  ; b/ Tìm tất cả các giá trị của a để pt trên có nhiều hơn 1 nghiệm trong 2 1 1   khoảng  0;  . ĐS:  a  1  a  3 2  2 C. PHƯƠNG TRÌNH : asinu + bcosu = c : Loại 1: Giải các phương trình lượng giác sau: 1/ sinx + 3 cosx = 2 2/ sinx  cosx = 1 3/ 3 sinx  cosx =  2 4/ 3sinx + cosx = 1 5/ cos3x + 3 sin3x =  3 6/ 3 sin2x + cos2x = –1 7/ sinx  3 cosx = 0 8/ (2cos x  1)(2sin x  cos x)  sin 2x  sin x 10/ ( 3  1) cos 2x  ( 3  1)sin 2x  3  1  0. 2 sin 4x  2 cos 4x  1 sin 2x 11/ sin2x + =1 2 2sin x  cos x  1 1  13/ sin x  2cos x  3 3 9/. 12/ (sin x  3cos x  2)(1  2cos x)  4sin 2 x  3. 15/ 3sin 3x  3 cos9x  1  4sin 33x sin x  2 cos x  2  1  2cos x 1  2sin x 19/ (sin x  3 cos x)(1  cos x)  sin 2 x. 17/. 21/ 4sin 2x  3cos 2x  12sin x  3 23/. 3 sin 5x  cos5x  2sin 3x.   )  2 cos(2x + ) = 2 2 3 3  16/ 3 cos2x + sin2x + 2sin(2x ) = 2 2 6. 14/ 6 sin(2x +. 18/ 6cos x(1  sin x)  2sin 2 x  9sin x  7  0 20/ 4(cos 4x  sin 4x)  7  4(cos 4 x  sin 4 x) 2 22/ 3cosx  4sinx + =3 3cos x  4sin x  6 5 24/ 12cosx + 5sinx + +8 = 0 12cos x  5sin x  14.  x  (2  3) cos x  2sin 2      2 4  1 25/ 26/ sin( +2x) + 3 sin(  2x) = 1 2 2cos x  1 Loại 2: Các bài toán có chứa tham số: 1/ Định m để các phương trình sau có nghiệm: a/ cosx + 2 2 sinx = m  1 b/ (3m  1)sinx + (m+3)cosx = 2 5 c/ 2sinx + mcosx = 1 – m Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Gv : Phan Hữu Huy Trang. LƯƠNG GIÁC. 2/ Giải và biện luận phương trình sau: a/ (m  1)sinx + (m+1)cosx = m 2 b/ (m+2)sinx  2mcosx = 2(m+1) , x   0,   3/ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a/ y  (2  3)sin 2x  cos 2x b/ y  (sin x  cos x) 2  2cos 2x  3sin x cos x 2cos x  2 c/ y  d/ y  (sin x  2cos x)(2sin x  cos x)  1 cos x  sin x  2 cos3x  sin 3x  1 cos x  2sin x  3 e/ y  f/ y  cos3x  2 2cos x  sin x  4  3  4/ Tìm các giá trị x thuộc   ;   thỏa mãn pt sau với mọi m:  4  2 2 2 m sin x  msin x  m cos x  m cos 2 x  cos x  sin x 5/ Tìm m để pt: (cos   3sin   3)x 2  ( 3 cos   3sin   2)x  sin   cos   3  0 có nghiệm x = 1. 6/ Tìm m để pt: (2sin   cos 2  1)x 2  ( 3 sin )x  2cos 2   (3  3)sin   0 có nghiệm. x 3. D. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SIN VÀ COS: Loại 1: Giải các phương trình lượng giác sau: 1/ sin2x  3sinxcosx + 2cos2x = 0 2/ sin2x + 3 sin2x + cos2x + 1 = 0 3/ 4sin2x + 3 3 sin2x  2cos2x = 4 4/ sin3x + 2sin2xcosx  3cos3x = 0 5/ sin2x  3sinxcosx =  1 6/ 4cos2x + sinxcosx + 3sin2x  3 = 0 7/ 5sin2x + 6 3 sinxcosx  cos2x = 5 8/ 4sin2x  2sin2x  2cos2x = 3 9/ 3cos 2 x  2sin 2x  sin 2 x  2  3 10/ 3sin 2x  cos 2x  2 3 sin x cos x  1 11/ sin 2x  cos 2x  sin 2 x  1  0 1 13/ sin x  cos x  cos x 3 3 sin x  cos x  cos 2x 15/ 2cos x  sin x 17/ sin 2 x  8sin x cos x  7 cos 2 x  0. 12/ 5cos 2 x  3 sin 2x  3sin 2 x  4 1 14/ 4sin x  6cos x  cos x 16/ 9.sin3x – 5 sin x + 2cos3x = 0 18/ 3 sin 2 x  (1  3)sin x cos x  cos 2 x  3  1. 19/ ( 3  1)sin 2 x  2 3 sin x cos x  ( 3  1)cos 2 x  0.   4  sin 2 (  x)  2sin(  x).sin x  sin 2 x  3 2 2 Loại 2: Các bài toán có chứa tham số: 1/ Giải và biện luận phương trình : a/ 2cos2x  sinxcosx  sin2x = m  3 b/ (m2 + 2)cos2x + 2msin2x = m2 + 3 c/ (m  2)sin 2 x  (m  3)sin x cos x  1  0 2/ Tìm m để phương trình có nghiệm: a/ sin2x + sin2x  2cos2x = m b/ 2cos 2 x  m.sin x.cos x  (m  1)sin 2 x  1 20/. c/ (m  5) cos 2 x  (m  4)sin 2x  1  0 3/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : a/ y = 3cos2x  8sinxcosx + 5sin2x b/ y = 3sin2x  4sinxcosx  5cos2x + 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Gv : Phan Hữu Huy Trang. LƯƠNG GIÁC. 5sin2x. cos2x. c/ y = + 3sinxcosx + E. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX : Loại 1: Giải các phương trình lượng giác sau: 1/ 2(sin x + cos x) + 3 sinx .cos x – 2 = 0 2/ 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0  3/ 5 sin2x – 12 2 .sin(x  ) +12 = 0 4/ 2 sin2x – 3 6 sinx + cosx+ 8 = 0 4 3 5/ 1 + sin32x + cos32x = .sin 4x 6/ sin3x + cos3x = 2(sinx + cosx) –1 2 7/ sin x  cos x  sin 2x  1  0 8/ 2sin2x + sin4x  1 = 2cos2x 9/ 2 (sinx + cosx) = tanx + cotx 10/ 2cos3x + cos2x + sinx = 0 11/ cos x  sin x  sin x cos x  1  0 12/ sin3x + cos3x = cos2x sin 2x  x  13/ 1 + sinx + cosx = 2 cos    14/ sin3x + cos3x = 1  2 2 4 1  cos x 1 1 10  sin x   15/ tan 2 x  16/ cos x  1  sin x cos x sin x 3 1 1 17/ tan x  2 2 sin x  1 18/ sin x  cos x  tan x  cot x   2 sin x cos x 19/ (1  sin 2x)(cos x  sin x)  cos 2x 20/ 1  (sin 2x  cos 2x)(1  sin 2x.cos 2x)  3sin 2x.cos 2x Loại 2: Các bài toán có chứa tham số: 1/ Định m để phương trình sau có nghiệm :  a/ sin 2x + 4m.sin(x  ) = 4m – 1 b/ sin 2x (sinx + cosx) = 3m 4 1 1   2m 2/ Cho phương trình : cos x sin x a/ Giải pt khi m = 2 . b/ Chứng minh phương trình luôn có nghiệm m. 3/ Giải và biện luận phương trình : 2(sinx + cosx) + 2sinx.cosx + m –1 = 0. F. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC: Giải các phương trình lượng giác sau: 1/ 2.sin17x – 3 cos 5x + sin 5x = 0 2/ 2sinxcos2x +sin2x.cos2x = sin4x.cosx 2 2 2 2 3/ sin 4x + sin 3x = sin 2x + sin x 4/ cos x + cos 2x + cos 3x = 0 5/ 2.sin x.cos 2x + 2.cos 2x –1 –sinx = 0 6/ 3 + 2.sinx.sin 3x = 3cos 2x  7/ 2cos3x = sin 3x 8/ tg cos5x  sin 5x  4sin 2 x  2  0 3 9/ sinx + sin2x + sin3x = 0 10/ sin3x  cosx + cos2x = 0 11/ (2cosx  1)(sinx + cosx) = 1 12/ cos2x. 1  sin 2 2x = 1 +sin2 x 13/ sin5x  cos3x  sinx = 0 14/ cos2x  4cosx  2x.sinx + x2 + 3 = 0 15/ sinx.sin 2x + sin3x = 6.cos3x 16/ cos4x + sin4x = cos 2x 4x x 3x x 3x 1  sin x.sin .sin  17/ cos = cos2x 18/ cos x .cos .cos 3 2 2 2 2 2 5 cos4x = 0 3 17 21/ sin8x + cos8x = .cos22x 16. 19/ 1  sin4x . 20/ cos4x – cos2x + 2sin6x = 0 22/ 1 + sin Lop12.net. x x  x .sin x  cos .sin2x = 2cos2 (  ) 2 2 4 2.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Gv : Phan Hữu Huy Trang. LƯƠNG GIÁC 2. cos x  3cos x  2  1  cos x 3cos x  2 26/ sin2x + cos2x + sin3x = cos3x 28/ 3 1 30/ 8sinx =  cos x sin x. 23/ (2sin2x – 1) tan2x +3(2cos2x – 1) = 0 24/ 25/ sin2x + cos22x = sin5x + cos5 2x 27/ 29/ 31/ (1 + tan. 7 1 ) .sin2x = sin22x 2 24. 32/ 4cos2x +3tan2x + 4 3 cosx + 2 3 tanx +4=0 34/ sin( x . 33/ sin 2x + sin 3x = 2 1 sin23x = sinx .sin23x 4 37/ sinx + cosx = 2 (2 –sin3x).  ).sin 4x = 1 3. 35/ sin2x +. 36/ cos2003x + sin2004x = 1. 39/. 38/ x2 + 2x.sin(xy) + 1 = 0 40/ sin 4x – 4 sinx – (cos 4x – 4cosx) = 1. 41/ sin2x + sin2y + sin2(x+y) =. 9 4. 42/ cos 3x +. 2  cos3 3x = 2(1+ sin22x). 43/ 2.sin5x + 3.cos5x = 5 45/ 1  sin x  cos x  0 cos 2x 1  sin 2 x  sin 2x 47/ cot x  1  1  tan x 2 x  x  49/ sin 2    .tan 2 x  cos 2  0 2 2 4 1  sin x  cos x  sin 2x  cos 2x 0 51/ tan 2x. 44/ (cos 4x – cos 2x)2 = 5 + sin 3x 46/ cos x + sin x = 2 (2 – sin32x). 53/ 1  2sin x.cos 2x  sin x  cos 2x. 54/ 1  tan 2x . 55/ sin x  sin 3x  sin 5x  0 57/ 3cos 4 x  4cos 2 x.sin 2 x  sin 4 x  0 59/ sin x  cos x  sin x  cos x  2 61/ sin 4x  sin 2x  sin 3x  0 1 2 1 65/ 2cos 2x  8cos x  7  cos x  67/ tan 3 (x  )  tan x  1 4 x 69/ sin .cos x  1 2. 63/ sin 2 x  sin 2 2x  sin 23x . 48/ (2sinx –1) .(2cos2x +2sin2x+1) = 3 – 4cos2x. sin 3x  cos3x   50/ 5  sin x    cos 2x  3 1  2sin 2x   52/ sin 6 x  cos 6 x  sin 4 x  cos 4 x. 1  sin 2x cos 2 2x 56/ tan 2x  tan 3x  tan 5x  tan 2x.tan 3x.tan 5x sin 3x  sin x 58/  cos 2x  sin 2x , x  (0;2) 1  cos 2x 60/ sin x  sin x cos x  1  cos x  cos 2 x 1 62/ sin x.sin 2x.sin 3x  sin 4x 4. 64/ cos x  cos3x  cos 7x  cos9x  0 66/ 3cos 4x  8cos 6 x  2cos 2 x  3  0 68/ sin 2x.cos8x  1 70/ sin 2x  3cos3x . ----- HẾT -----. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>