Ôn thi Đại học & Cao đẳng môn Toán - Chương VI: Phương trình đẳng cấp

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHÖÔNG VI. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP. a sin2 u + b sin u cos u + c cos2 u = d Caù c h giaû i : π • Tìm nghiệ m u = + kπ ( lú c đó cos u = 0 và sin u = ±1) 2 • Chia hai vế phương trình cho cos2 u ≠ 0 ta đượ c phương trình :. (. atg 2u + btgu + c = d 1 + tg 2u. ). Ñaë t t = tgu ta coù phöông trình : ( a − d ) t 2 + bt + c − d = 0 Giả i phương trình tìm được t = tgu Baø i 127 : Giaû i phöông trình cos2 x − 3 sin 2x = 1 + sin2 x ( *) Vì cosx = 0 khoân g laø nghieä m neân Chia hai vế củ a (*) cho cos2 ≠ 0 ta được ( *) ⇔ 1 − 2 3tgx = 1 + tg 2 x + tg 2 x. (. ). Ñaë t t = tgx ta coù phöông trình : 2t 2 + 2 3t = 0. ⇔ t = 0∨ t = − 3 Vaäy ( * ) ⇔ tgx = 0 hay tgx = − 3 ⇔ x = kπ hay x = −. π + kπ, k ∈ ] 3. Baø i 128 : Giaû i phöông trình. cos3 x − 4 sin 3 x − 3 cos x sin 2 x + sin x = 0 ( *). π + kπ thì cos x = 0 vaø sin x = ±1 2 thì (*) voâ nghieä m • Do cos x = 0 khoâ n g laø nghieä m neâ n chia hai veá cuûa (*) cho cos 3 x ta coù (*) ⇔ 1 − 4tg 3 x − 3tg 2 x + tgx (1 + tg 2 x ) = 0. • Khi x =. ⇔ 3tg 3 x + 3tg 2 x − tgx − 1 = 0. (. ). ⇔ ( tgx + 1) 3tg 2 x − 1 = 0 3 3 π π ⇔ x = − + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ ] 4 6 ⇔ tgx = −1 ∨ tgx = ±. Baø i 129 : Giaû i phöông trình 3 cos4 x − 4 sin 2 x cos2 x + sin 4 x = 0 ( * ). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Do cosx = 0 khoâ n g laø nghieäm neân chia hai veá cuûa (*) cho cos4 x ≠ 0 Ta coù : (*) ⇔ 3 − 4tg 2 x + tg 4 x = 0. ⇔ tg 2 x = 1 ∨ tg 2 x = 3 ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⇔ tgx = ±1 = tg ⎜ ± ⎟ ∨ tgx = tg ⎜ ± ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠ π π ⇔ x = ± + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ ] 4 3 Baø i 130 : Giaû i phöông trình sin 2x + 2tgx = 3 ( * ) Chia hai vế củ a (*) cho cos2 x ≠ 0 ta được 2 sin x cos x 2tgx 3 + = (*) ⇔ 2 2 cos x cos x cos2 x ⇔ 2tgx + 2tgx 1 + tg 2 x = 3 1 + tg 2 x. (. ). (. ). ⎧t = tgx ⇔⎨ 3 2 ⎩2t − 3t + 4t − 3 = 0 ⎧⎪t = tgx ⇔⎨ 2 ⎪⎩( t − 1) 2t − t + 3 = 0 ⇔ tgx = 1. (. ⇔x=. ). π + kπ, k ∈ ] 4. Baø i 131 : Giaû i phöông trình sin x sin 2x + sin 3x = 6 cos3 x ( * ). ( *) ⇔ 2 sin2 x cos x + 3sin x − 4 sin3 x = 6 cos3 x • Khi cos x = 0 ( sin x = ± 1 ) thì ( * ) voâ nghieä m • Chia hai vế phương trình (*) cho cos3 x ≠ 0 ta được. 2sin2 x 3sin x 1 sin3 x + . − 4 =6 cos2 x cos x cos2 x cos3 x ⇔ 2tg 2 x + 3tgx 1 + tg 2 x − 4tg 3 x = 6. ( *) ⇔. (. ). ⇔ tg 3 x − 2tg 2 x − 3tgx + 6 = 0. (. ). ⇔ ( tgx − 2 ) tg 2 x − 3 = 0 ⇔ tgx = 2 = tgα ∨ tgx = ± 3 ⇔ x = α + kπ ∨ x = ±. π + kπ, k ∈ ] ( vớ i tgα = 2) 3. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bà i 132 : (Đề thi tuyển sinh Đạ i họ c khố i A, nă m 2003) Giaû i phöông trình cos 2x 1 cot gx − 1 = + sin2 x − sin 2x ( *) 1 + tgx 2 Ñieà u kieän sin 2x ≠ 0 vaø tgx ≠ −1. (. ). 2 2 cos 2x cos2 x − sin2 x cos x cos x − sin x = = Ta coù : sin x 1 + tgx cos x + sin x 1+ cos x = cos x ( cos x − sin x ) ( do tgx = −1 neâ n, sin x + cos x ≠ 0 ). cos x 1 − 1 = cos2 x − sin x cos x + sin2 x − sin 2x sin x 2 cos x − sin x ⇔ = 1 − sin 2x sin x. Do đó : ( *) ⇔. (. ). ⇔ ( cos x − sin x ) = sin x ( cos x − sin x ). 2. ⇔ cos x − sin x = 0 hay 1 = sin x ( cos x − sin x ) (**). ⎡ tgx = 1 ( nhậ n so vớ i tgx ≠ −1) ⇔⎢ 1 sin x ⎢ = − tg 2 x ( do cos x ≠ 0 ) 2 ⎢⎣ cos x cos x π ⎡ x = + kπ, k ∈ ] ⎢ 4 ⇔ ⎢ 2 ⎢⎣2tg x − tgx + 1 = 0 ( voâ nghieä m ) π + kπ, k ∈ ] ( nhaä n do sin 2x ≠ 0 ) 4 Löu yù : coù theå laø m caùc h khaùc 1 1 ( * *) ⇔ 1 − sin 2x + (1 − cos 2x ) =0 2 2 ⇔ 3 = sin 2x + cos 2x ⇔x=. π⎞ ⎛ ⇔ 3 = 2 sin ⎜ 2x + ⎟ : voâ nghieä m 4⎠ ⎝ Baø i 133 : Giaû i phöông trình sin 3x + cos 3x + 2 cos x = 0 ( * ). ( *) ⇔ ( 3sin x − 4 sin 3 x ) + ( 4 cos3 x − 3 cos x ) + 2 cos x = 0 ⇔ 3sin x − 4 sin3 x + 4 cos3 x − cos x = 0 Vì cosx = 0 khoân g laø nghieä m neâ n chia hai veá phöông trình cho cos3 x ≠ 0 ta được ( *) ⇔ 3tgx (1 + tg 2 x ) − 4tg 3 x + 4 − (1 + tg 2 x ) = 0. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ⇔ − tg 3 x − tg 2 x + 3tgx + 3 = 0 ⎧ t = tgx ⇔⎨ 3 2 ⎩ t + t − 3t − 3 = 0 ⎪⎧ t = tgx ⇔⎨ 2 ⎪⎩( t + 1) t − 3 = 0. (. ). ⇔ tgx = −1 ∨ tgx = ± 3 π π ⇔ x = − + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ ] 4 3. Baø i 134 : Giaû i phöông trình 6sin x − 2 cos3 x =. 5sin 4x.cos x ( *) 2 cos 2x. Ñieà u kieän : cos 2x ≠ 0 ⇔ cos2 x − sin2 x ≠ 0 ⇔ tgx ≠ ±1. 10 sin 2x cos 2x cos x ⎧ 3 ⎪6 sin x − 2 cos x = Ta coù : (*) ⇔ ⎨ 2 cos 2x ⎪⎩cos 2x ≠ 0 ⎧6 sin x − 2 cos3 x = 5 sin 2x cos x ⇔⎨ ⎩ tgx ≠ ±1 ⎧⎪6 sin x − 2 cos3 x = 10 sin x cos2 x ( * *) ⇔⎨ ⎪⎩tgx ≠ ±1 Do cosx = 0 khoâ n g laø nghieäm cuûa (**), chia hai veá phöông trình (**) cho cos3 x ta được ⎧ 6tgx − 2 = 10tgx ( * *) ⇔ ⎪⎨ cos2 x ⎪⎩tgx ≠ ±1 ⎧⎪t = tgx vớ i t ≠ ±1 ⇔⎨ 2 ⎪⎩6t 1 + t − 2 = 10t ⎧ t = tgx vớ i t ≠ ±1 ⎧t = tgx vớ i t ≠ ±1 ⇔⎨ 3 ⇔⎨ 2 ⎩3t − 2t − 1 = 0 ⎩(t − 1) (3t + 3t + 1) = 0 ⎧ t = tgx vớ i t ≠ ±1 ⇔⎨ : voâ nghieä m ⎩t = 1. (. ). Baø i 135 : Giaû i phöông trình sin x − 4 sin 3 x + cos x = 0 ( * ). • Vì cosx = 0 khoâ n g laø nghieäm neân chia hai veá phöông trình cho cos3 x thì ( *) ⇔ tgx (1 + tg 2 x ) − 4tg 3 x + 1 + tg 2 x = 0. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ⎧t = tgx ⇔⎨ 3 2 ⎩−3t + t + t + 1 = 0 ⎧⎪t = tgx ⇔⎨ 2 ⎪⎩( t − 1) 3t + 2t + 1 = 0 ⇔ tgx = 1. (. ⇔x=. ). π + kπ, k ∈ ] 4. Baø i 136 : Giaû i phöông trình tgx sin 2 x − 2 sin 2 x = 3 ( cos 2x + sin x cos x ) ( * ) Chia hai veá cuû a phöông trình (*) cho cos2 x 3 cos2 x − sin 2 x + sin x cos x 3 2 ( *) ⇔ tg x − 2tg x = cos2 x ⇔ tg 3 x − 2tg 2 x = 3 (1 − tg 2 x + tgx ). (. ). ⇔ tg 3 x + tg 2 x − 3tgx − 3 = 0 ⎧ t = tgx ⇔⎨ 3 2 ⎩ t + t − 3t − 3 = 0 ⎧⎪ t = tgx ⇔⎨ 2 ⎪⎩( t + 1) t − 3 = 0. (. ). ⇔ tgx = −1 ∨ tgx = ± 3 ⇔x=−. π π + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ ] 4 3. Baø i 137 : Cho phöông trình ( 4 − 6m ) sin 3 x + 3 ( 2m − 1) sin x + 2 ( m − 2 ) sin 2 x cos x − ( 4m − 3) cos x = 0 ( *) a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 ⎡ π⎤ b/ Tìm m để phương trình (*) có duy nhấ t mộ t nghiệ m trê n ⎢ 0, ⎥ ⎣ 4⎦ π Khi x = + kπ thì cosx = 0 vaø sin x = ±1 neâ n 2 (*) thaø n h : ± ( 4 − 6m ) ± 3 ( 2m − 1) = 0. ⇔ 1 = 0 voâ nghieä m chia hai veà (*) cho cos x ≠ 0 thì 3. ( *) ⇔ ( 4 − 6m ) tg 3 x + 3 ( 2m − 1) tgx (1 + tg 2 x ) + 2 ( m − 2 ) tg 2 x − ( 4m − 3) (1 + tg 2 x ) = 0 ⎧⎪t = tgx ⇔⎨ 3 2 ⎪⎩t − ( 2m + 1) t + 3 ( 2m − 1) t − 4m + 3 = 0 ( * *). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ⎧⎪t = tgx ⇔⎨ 2 ⎪⎩( t − 1) t − 2mt + 4m − 3 = 0. (. ). ⎧⎪t = tgx a/ Khi m = 2 thì (*) thaø n h ⎨ 2 ⎪⎩( t − 1) t − 4t + 5 = 0 π ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ, k ∈ ] 4. (. ). ⎡ π⎤ b/ Ta coù : x ∈ ⎢ 0, ⎥ thì tgx = t ∈ [ 0,1] ⎣ 4⎦ Xeù t phöông trình : t 2 − 2mt + 4m − 3 = 0 ( 2 ) ⇔ t 2 − 3 = 2m ( t − 2 ). t2 − 3 ⇔ = 2m (do t = 2 khoâ n g laø nghieä m ) t−2 t2 − 3 Ñaë t y = f ( t ) = ( C ) vaø (d) y = 2m t−2 t 2 − 4t + 3 Ta coù : y ' = f ( t ) = 2 ( t − 2). Do (**) luô n có nghiệm t = 1 ∈ [ 0,1] trên yêu cầu bà i toán ⎡( d ) y = 2m khô ng có điể m chung vớ i ( C ) ⇔⎢ ⎢⎣( d ) caé t ( C ) taï i 1 ñieå m duy nhaá t t = 1 3 ⇔ 2m < ∨ 2m ≥ 2 2 3 ⇔ m< ∨m≥1 4 Caù c h khaù c : Y C B T ⇔ f(t) = t 2 − 2mt + 4m − 3 = 0 ( 2 ) voâ nghieä m treâ n [ 0,1 ) . ⎧Δ ≥ 0 ⎪af (0 ) ≥ 0 ⎪⎪ Ta coù (2) coù nghieä m ∈ [ 0,1] ⇔ f (0). f (1) ≤ 0 hay ⎨af (1) ≥ 0 ⎪ ⎪0 ≤ S ≤ 1 ⎪⎩ 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ⎧m2 − 4 m + 3 ≥ 0 ⎪ 3 ⎪4m − 3 > 0 ⇔ ( 4 m − 3) (2m − 2) ≤ 0 hay ⎨ ⇔ ≤ m ≤1 4 ⎪ 2m − 2 > 0 ⎪⎩0 ≤ m ≤1 3 Do đó (2) vô nghiệm trê n [ 0,1 ) ⇔ m < hay m >1 hay f (1) = 0 4. ⇔m<. Lop12.net. 3 ∨m≥1 4.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> BAØI TAÄP 1. Giaû i caùc phöông trình sau : a/ cos3 x + sin x − 3sin2 x cos x = 0 b/ sin 2 x ( tgx + 1) = 3sin x ( cos x − sin x ) + 3 c/ 2 cos2 x + cos 2x + sin x = 0 1 − cos3 x d/ tg 2 x = 1 − sin3 x e/ sin3 x − 5sin2 x cos x − 3sin x cos2 x + 3cos3 x = 0 f/ cos3 x + sin x − 3sin2 x cos x = 0 g/ 1 + tgx = 2 2 sin x h/ sin3 x + cos3 x = sin x − cos x k/ 3tg 2 x + 4tgx + 4 cot gx + 3cot g 2 x + 2 = 0 3(1 + sin x) π x m/ 3tg 2 x − tgx + − 8 cos 2 ( − ) = 0 2 cos x. n/. sin x + cos x =1 sin 2x. 4. 2. 2. Cho phöông trình : sin 2 x + 2 ( m − 1) sin x cos x − ( m + 1) cos2 x = m a/ Tìm m để phương trình có nghiệ m b/ Giaû i phöông trình khi m = -2 ( ÑS : m ∈ [ −2,1]). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>