Hành trang du học

<span class='text_page_counter'>(1)</span>********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** Tuaàn 4 -Tieát 13. Chủ đề 7. : NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN. MUÏC TIEÂU : - Tìm được nguyên hàm của hàm số cho trước - Tính tích phaân vaø caùc phöông phaùp tích phaân - Tính dieän tích hình phaúng vaø theå tích troøn xoay ■ Kyõ naêng : - Nắm được các thuật toán để giải được các bài tập cơ bản - Từ các bài toán cơ bản phát huy tính sáng tạo để làm những bài toán nâng cao CHUAÅN BÒ : - Giáo viên củng cố lại các kiến thức đã học - Học sinh xem trước các kiến thức về nguyên hàm và tích phân. NOÄI DUNG OÂN TAÄP :. PHAÀN I : NGUYEÂN HAØM VAØ HOÏ NGUYEÂN HAØM CUÛA HAØM SOÁ. Noäi dung Bài 1 : Tính đạo hàm của F(x)=xlnx– x Hãy tìm nguyeân haøm cuûa lnx . Giaûi Với  x > 0, F’(x) = lnx + 1 – 1 = ln x Vaäy nguyeân haøm cuûa f(x) = lnx laø F(x) + C = xlnx – x + C (C : haèng soá ). Hoạt động thầy và trò - GV gọi HS viết các công thức nguyeân haøm cuûa haøm soá : ●  dx  x  C ●. Baøi 3 : Cho y = ex(2x2 – 3x) Chứng tỏ rằng : y’’ – 2y’ + y = 4ex Suy ra raèng 4ex + 2y – y’ laø moät nguyeân haøm cuûa y. Giaûi x 2 x  R , y’ = e (2x – 3x) + ex(4x – 3) = ex(2x2 + x – 3) y’’ = ex(2x2 + 5x – 2) Vaäy : y’’– 2y’+y = ex(2x2 + 5x – 2) - 2 ex (2x2 + x – 3) + ex(2x2 – 3x) = 4ex (ñpcm) Ñaët F(x) = 4ex + 2y – y’. dx.  x  ln x  C ●  e dx  e  C ●. Bài 2 :Tính đạo hàm của G(x)=(x – 2) ex Suy ra nguyeân haøm f(x) = (x – 1) ex Giaûi x  R : G’(x) = ex (x – 1) = f(x) Vaäy nguyeân haøm cuûa f(x) = (x – 1) ex laø G(x) + C = (x – 2) ex + C (C : haèng soá). x  1 C  1.   x dx . x.   1 x  0. x. ax 0  a  1 C ln a ●  cos xdx  sin x  C. ●  a x dx . ●  sin xdx   cos x  C dx. ●.  cos. ●.  sin. ●.  ax  b  a ln ax  b  C. 2. x. dx 2. x.  tgx  C   cot gx  C. dx. 1. 1 ax e C a 1 ●  sin axdx   cos ax  C a. ●  e ax dx . ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 26 **********************************************************************************************************************************. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** 1 Ta cần chứng minh : F’(x) = y cos axdx  sin ax  C ●  a Thaät vaäy : F’(x) = 4ex + 2y’ – y’’ dx 1  y = 4ex + 2y’ – y’’  tgax  C ● 2 x cos ax a Vaäy 4e + 2y – y’= F(x) laø moät nguyeân haøm    cuûa y .  x   k ; k  Z  2   2 -2x dx 1 Baøi 4 : Cho 2 soá : F(x)= (ax + bx + c)e vaø   cot gax  C ● f(x) = - (2x2 – 8x + 7)ex. Tìm a, b, c để F(x) là a sin 2 ax x  k ; k  Z  nguyeân haøm cuûa f(x). Giaûi x F’(x) = (2ax + b)e + ex(ax2 + bx + c) - GV hướng dẫn HS làm các bài tập = [ax2 + (2a + b)x + b + c]ex nguyeân haøm vaø hoï nguyeân haøm. Để F(x) là nguyên hàm của f(x) - GV goïi HS leân baûng aùp duïng laøm.  F’(x) = f(x) - GV hướng dẫn HS tính F’(x) a  2 a  2   - GV goïi HS nhaéc laïi ñònh nghóa  2 a  b  8  b  12 nguyeân haøm. b  c  7 c  5   HS:F(x)laø nguyeân haøm cuûa f(x)  f(x) = F’(x) 1 1 (Tương tự) Baøi 5 : Cho 2 haøm soá F(x) = x  sin 2 x 2 4 Ta coù nguyeân haøm cuûa f(x) laø F(x) + C vaø f(x) = cos2x 1 1 = x  sin 2 x + C a. CMR: F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) 2 4      b. Tìm nguyeân haøm f(x) bieát raèng : F   = F  = 0 4 4 0 1 1   / 4  sin  / 2  C  0 1 1  1 2 4 Vaäy : F(x) = x  sin 2 x   2 4 8 4  2   C  0 8 8  2  C  0 8  1 C  8 4. ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 27 **********************************************************************************************************************************. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** Tuaàn 4 Tieát 14-15-16 PHAÀN Noäi dung. II : TÍCH PHAÂN. Hoạt động thầy và trò. Daïng 1 : b.  f ( x)dx baèng ñònh nghóa. Tính I . a. Phöông phaùp : - Biến đổi f(x) thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết nguyên haøm. - Tìm nguyeân haøm cuûa f(x) vaø aùp duïng ñònh nghóa b. b. a. a.  f ( x)dx  F ( x).  F (b)  F (a ). VD1 : Tính tích phaân 1. . 1. . . 5 13 x 2 1  x4  x3   4x 0 3 2 5 13 11  1   4  3 2 6. Giaûi. . . 0. 0. 1. - GV gọi HS đọc đề và nêu các hàm  HS : (x2 – x + 3)(4x – 1) = 4x3 – 5x2 + 13x – 4. I   4 x 3  5 x 2  13 x  4 dx. I   x  x  3 4 x  1dx 2. - GV đặt vấn đề : Nếu ta tính tích phân được thì biểu thức dưới dấu tích phaân nhö theá naøo ?  HS : Phải là một tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản.. . I   4 x 3  5 x 2  13 x  4 dx 0. 5 3 13 x 2 1 x  x   4x 0 3 2 5 13 11  1   4  3 2 6 4. VD2 : Tính tích phaân 2 x 2  4x I  dx x3 1. - GV goïi HS leân baûng laøm x2  4x  1 4   HS : =   2 x3 x x . Giaûi. 2. Ta coù : 2. 2. 4 1 4   I     2 dx   ln x   x x  x1  1. 2. 2. 2 1 4 4 I   dx   2 dx  ln x 1  x x1 1 1 x  ln 2  2  4  ln 2  2.  ln 2  2  4  ln 2  2 - GV goïi HS leân baûng laøm - HS : 1 cos 3 x cos 5 x = cos 2 x  cos 8 x  2. VD3 : Tính tích phaân. ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 28 **********************************************************************************************************************************. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** .  4. I   cos 3 x cos 5 xdx. I. 0. 1 1 1  /4  /4  . sin 8 x 0  sin 2 x 0 2 8 4 1 1 1  .0  .1  16 4 4. Giaûi . 14 I   cos 2 x  cos 8 x dx 20 . 14 cos 2 x  cos 8 x dx 2 0. 1 1 1  /4  /4 sin 2 x 0  sin 8 x 0  4 16 4. Daïng 2 :. - GV goïi HS nhaéc laïi caùc phöông phaùp tính tích phaân.. b. Tính I   f ( x)dx bằng phương pháp đổi a. bieán soá kieåu 1 Phöông phaùp : - Ñaët x = u(t)  dx = u’(t)dt - Đổi cận : . x = a  u(t) = a  t =  . x = b  u(t) = b  t =  .  I   f u t  dt u’(t) VD1 : Tính tích phaân 1 dx I  4  x2 0 Giaûi Ñaët : x = 2sint  dx = 2costdt .x=0  t=0     t  0;  .x=1  t= 6  6  6. I 0.  6. 2 cos tdt 4  4 sin 2 t.  0. GV goïi HS aùp duïng laøm VD1 - HS : Ñaët :x=2sint  dx = 2costdt .x=0  t=0     t  0;  .x=1  t= 6  6 -. . .  6. I 0. 2 cos tdt 4  4 sin t 2. 6.   dt  0.  6. 2 cos tdt 2 cos 2 t.  6.  /6.   dt  t 0 0. .  6.  Chuù yù : n. ♦ Neáu I   a 2   Ax  B  dx 2. m.    Ñaët Ax + B = asint  t   ;   2 2. ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 29 **********************************************************************************************************************************. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** n. dx. ♦ Neáu I  . a 2   Ax  B . m. 2.    Ñaët Ax + B = asint  t   ;   2 2 n dx ♦ Neáu I   2 2 m a   Ax  B     Ñaët Ax + B = atgt  t   ;   2 2 (a > 0 ; A; B : haèng soá). Daïng 3 :. - GV : Chuùng ta coù bao nhieâu daïng đổi biến ?  HS : Coù 2 daïng - GV : Daïng 2 laø nhö theá naøo ?. . Tính tích phaân I   f u  x .u '  x dx baèng . phương pháp đổi biến kiểu 2. Phöông phaùp : - Ñaët t = u(x)  dt = u’(x)dx - Đổi cận :  x    t  u    a   x    t  u    b. - GV goïi HS leân baûng aùp duïng giaûi.  HS : Ñaët t = cosx. b. I   f (t )dt a.  dt = sintdt  t  0;1. 0. 1. 1. 0. 1. I    et dt   et dt  et  e  1. VD1 : Tính tích phaân . 0. 2. I   e cos x sin xdx 0. Giaûi dt = -sintdt. Ñaët t = cosx  Đổi cận : x=0  t=1 x.  2.  t  0;1. t 0. 0. 1. I    e dt   e dt  e t. 1. t. 0. t 1 0. - GV gọi HS lên bảng sửa  HS :.  e 1. Ñaët t =. x 2  2  t2 = x2 + 2. ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 30 **********************************************************************************************************************************. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học **********************************************************************************************************************************  x2 = t2 – 2  2tdt = 2xdx x  0 t  2   VD2 : Tính tích phaân  x  2 t  2 I   x 2  2 x 3 dx. 2. 2. Giaûi Ñaët t = x  2  t2 = x2 + 2  2tdt = 2xdx x  0 t  2   x  2 t  2. . . I   t t 2  2 .tdt  2. 2.  t. 4. 2. =. t 2t    2t 2 dt    3  5. . 5. 3. VD3 : Tính tích phaân . I . dx sin 4 x. 4. Giaûi . . 2. 2 dx 1   1 I   2 . 2 dx 2 2   sin x sin x   sin x sin x  4. 4. .   1  cot g 2 x . . 2.  t. 4. .  2t 2 dt. - GV goïi HS leân baûng laøm. 2. 2.  HS : Ta coù : 1 =1 + cotg2x sin 2 x Ñaët t = cotgx 1  dt   2 dx sin x    x  4  t  1  x    t  0  2 0. . . 1. . . I    1  t 2 dt   1  t 2 dt 1. 0. 1.  t3  1 4   t    1   3 0 3 3 .  2. . 2. 2. 32 16 4 2 4 2 16 8 2       5 3 5 3 15 15. 2. . I   tx xdx =  t t 2  2 .tdt. 2. 2. 2. 2. 1 dx sin 2 x. 4. Ñaët t = cotgx  dt   0. 1 dx sin 2 x. . . 1. . . I    1  t dt   1  t 2 dt 2. 1. 0. 1.  t3  1 4   t    1   3 0 3 3   Chuù yù : ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 31 **********************************************************************************************************************************. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** . I   f a cos x  b sin xdx ñaët t = acosx + b  . I   f a sin x  b  cos xdx ñaët t = asinx + b . I . f a cot gx  b  dx sin 2 x. I . f atgx  b  dx cos 2 x. ñaët t = atgx + b. I . f a ln x  b  dx x. ñaët t = alnx + b. .  .  .  . . ñaët t = acotgx + b. . I   f ax n  b x n 1 dx. ñaët t = axn + b.   x  ' x dx. ñaët t = n  ( x).  . I f. n. . Daïng 4 : Tích phân từng phần Phöông phaùp : u  u ( x) du  u ' ( x)dx - Ñaët   dv  v' ( x)dx v  v( x) b. b. - Khi đó  udv  uv a   vdu b. a. a.  Chuù yù :. u  p ( x) ñaët  dv  eexdx. b.  p ( x )e. x. dx. a. b.  px sin xdx a. b.  px cos xdx a. b.  px ln xdx a. u  p x  ñaët  dv  sin xdx u  p x  ñaët  dv  cos xdx. u  ln x ñaët  dv  pxdx p(x) là đa thức theo x GV goïi HS leân baûng laøm baøi taäp. VD1 : Tính tích phaân. ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 32 **********************************************************************************************************************************. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** 1  HS : I   xe 2 x dx du  dx 0 u  x   Ñaët  1 2x 2 x Giaûi dv  e dx v  e 2  du  dx u  x  - GV hướng dẫn HS làm và chỉ ra kết  Ñaët  1 2x 2x v  e dv  e dx  quaû  2 1. 1. 1. 1 1 I   xe dx  xe 2 x   e 2 x dx 2 20 0 0 2x. . e2 1 2 x 1 e2  e2 1  e2 1  e        0 2 4 2  4 4 4 4. - GV goïi HS leân baûng laøm baøi taäp. VD2 : Tính tích phaân . 2. u  x 2 - HS : Ñaët  dv  cos xdx - Cho lớp nhận xét và GV sửa chữa. I   x cos xdx 2. 0. Giaûi. u  x du  2 xdx Ñaët   dv  cos xdx v  sin x 2. . I  x 2 sin x. . 2. 0. 2.  2  x sin xdx 0. . . 2 4. 2.  2  x sin xdx 0. u  x du  dx Ñaët  1  1 dv1  sin xdx v1   cos x . . . 2. 4.  2 x cos x  0.  /2. 2.   cos xdx  0. 2 4. 2. VD3 : Tính tích phaân. - Lặp lại lần nữa : u  x Ñaët  1 dv1  sin xdx. 5. I   2 x ln  x  1dx 2. Giaûi. - GV goïi HS leân baûng laøm baøi taäp. ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 33 **********************************************************************************************************************************. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** dx  u  ln x  1 du  u  ln  x  1  Ñaët  x 1  HS : Ñaë t dv  2 xdx  2  v  x dv  2 xdx . I  x ln  x  1 2. 5 2. - GV ñaët caâu hoûi : Neáu chuùng ta ñaët ngược lại thì có được không ?. 5. x2  dx x 1 2. 5. 5. 2. 2.  25 ln 4    x  1dx  . 1 dx x 1. - GV khẳng định lại lần nữa : “Chỉ có caùch ñaët naøy laø duy nhaát”. 5. 5  x2   25 ln 4    x   l n x  1 2  2 2. 27  25   25 ln 4    5  2  2   ln 4  24 ln 4  2  2   Baøi taäp veà nhaø : Tính caùc tích phaân sau : e 1  ln x a. I   dx x 1 . 0. a..   2 sin x  1.  3. 0. b. 2.  6. I   1  4 sin x cos xdx 0.  . 6 cos x  1 sin xdx.  . . d.. 3. d. I   x sin xdx 0. 1. d.. 0.  1. e.. 1.  2. g. I   e cos xdx 0. . h. I   e cos x  x sin xdx. x2  8.  x  2  dx. x 0. x. . 3. 0. e. f. I   ln xdx. 2. x. a.. tgxdx 3 x.  cos 0.  2. b..  sin . 2. x cos3 xdx. 6. . sin 2 xdx 0 cos4 x  sin4 x 6. 2 tgx. e dx 0 cos2 x 4. 3.  4x  5. . b.. dx 2 x 1. . xdx. 19. e. I   x 2 e  x dx. e 1. dx c.  x  3 ln x  2  1. . 3 cot gx  1 sin 2 x. 4. e. . dx. 2. 6. . c.. . cos xdx. 6. 2. b. I   sin 3 x cos xdx. c.. . c.. 0. ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 34 **********************************************************************************************************************************. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** Tuaàn 5 Tieát 17 PHAÀN III : DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG VAØ THEÅ TÍCH Noäi dung Hoạt động thầy và trò 1. Dieän tích hình phaúng cuûa hình thang cong giới hạn bởi các đường x = a, x = b, Ox vaø haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a; b] b. S   f  x dx. - GV gọi HS nhắc lại công thức tính diện tích hình thang cong. - GV hướng dẫn HS để tìm ra và nhớ lại công thức.. a. 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = a, x = b, hàm số y = f1(x), y=f2(x) lieân tuïc treân [a; b] b. S   f1  x   f 2  x dx a. VD1 : Tính diện tích của hình phẳng giới x 2  6x  5 hạn bởi đường cong C  : y  vaø 2x  1 truïc Ox Giaûi Lập phương trình hoành độ giao điểm x  1 x2  6x  5 =0  2x 1 x  5. - GV goïi HS neâu caùch giaûi  HS :  Lập phương trình hoành độ giao điểm  Giải phương trình để tìm cận  Aùp dụng công thức tính diện tích hình phaúng. - GV goïi HS neâu caùch laøm VD2 : Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong C  : y  x 3  3 x  1 và đường thẳng (d):y=3 Giaûi Lập phương trình hoành độ giao điểm : x3 – 3x + 1 = 3  x3 – 3x – 2 = 0 x  2   x  1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (d) : 2. S. x. 3.  3 x  2 dx. 1.  HS :  Lập phương trình hoành độ giao điểm cuûa (C) vaø (d) 3 x – 3x + 1 = 3 (*)  Giaûi phöông trình (*). Tìm caän cuûa tích phaân. - GV gọi HS lên bảng áp dụng để tính dieän tích - GV goïi HS nhaän xeùt - GV đánh giá và sửa chữa. ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 35 **********************************************************************************************************************************. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** 2. . .    x 3  3 x  2 dx 1. 2.  x 4 3x 2       2 x  2  4  1 1 3   4  6  4     2  4 2  13 11  (ñvdt ) 4 4 VD3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn x 2  4x  4 bởi C  : y  , tieäm caän xieân cuûa 1 x (C) và hai đường thẳng x=2, x=4 Giaûi Ta coù : Tieäm caän xieân : y = -x + 3 Vaäy dieän tích hình phaúng caàn xaùc ñònh laø : 4  1   S    x  3    x  3   dx 1  x   2  6. 4. - GV gọi HS lên bảng để vẽ hình - GV goïi HS cho bieát caùch tính dieän tích.  HS :  Xaùc ñònh tieäm caän xieân  Áp dụng công thức tính diện tích hình thang cong - GV goïi HS leân baûng laøm baøi taäp. 2. dx dx  1 x 4 1 x 2.  .  ln 1  x. 2.  ln 3 (ñvdt). 4. VD4 : Tính theå tích cuûa vaät theå troøn xoay y = sinx ; y = 0 ; x = 0 ; x =  4 Giaûi Ta coù : . V    sin 2 xdx. a. 0. b. Hay V    f 2 ( x)dx. . . b. V    S ( x)dx. 4. . - GV goïi HS leân baûng veõ hình minh hoïa   - GV : x  0;   4  sin x  0 x - GV gọi HS nhắc lại công thức tính thể tích  HS :. 4. 1  cos 2 x dx 2. a. 0. . . 1 4   x  sin 2 x  2 2 0 . . 2. 8. .  4. .  8. - GV gọi HS nhắc lại công thức tính thể tích cuûa (E) khi quay quanh truïc Ox  HS :.   2. ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 36 **********************************************************************************************************************************. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** b. VD5 : Tính theå tích vaät theå troøn xoay sinh x2 y2 ra bởi (E) : 2  2  1 khi nó xoay quanh a b truïc Ox Giaûi 2 b (E) : y 2  2 a 2  x 2 a b y a2  x2 a. . V    y 2 dx a. . . b2 2 a  x2 a2  HS : áp dụng công thức tính thể tích. Maø. y2 . . a.  V    y 2 dx a. a. . 2. . b a 2  x 2 dx 2 a a.  .  .  a. 2. a. b. 2. 2. .  x 2 dx. a.  .b 2  a2.  a. a. x3  4ab 2  a x    3  a 3  2. ********************************************************************************************************************************** Giaùo Aùn Oân Thi Toát Nghieäp Giaûi Tích 12 Trang 37 **********************************************************************************************************************************. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>