Ôn tập môn Toán 8 - Phần I: Số học

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường. :. THCS §inh X¸. Phaàn I: SOÁ HOÏC MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1/ nếu a1 ,a2, a3... đều chia hết cho b Thì : a/ a1+ a2 + a3 +… chia heát cho b b/ a1n + a2.n + a3.n … chia heát cho b * HEÄ QUAÛ :. a1  b a1 + a 2  b. Thì a2  b. 2/ b1\ a1 , b2 \ a2 , b3 \ a3 thì b1.b2 .b3 \ a1.a2.a3 * HEÄ QUAÛ: b\ a thì bn \ an 3/ bc\ ac  b \ a 4/ Neáu. ab a c ( b,c) = 1. và b.c \ a.c ( với mọi n  N, c  0 , c  Z ). ( c  0).  a  b.c. 5/ Nhị thức Niu-Tơn: a/. an - bn = ( a-b)(an-1b0 + an-2b + an-3b2+…+a0bn-1) với n  N, và a  b. b/ an + bn = ( a+ b)(an-1b0 - an-2b + an-3b2 – an-4b3 +…-abn-2 + a0bn-1) với n  N, n leû vaø a  -b c/. ( a+ b+ c)2 = a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc. d/. (a  b  c)  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc. 6/ Định lý BRu ( mở rộng chia hết trong đa thức ) Neáu f(x) coù nghieäm laø x0 thì f(x) = ( x-x0)g(x) hoïaêc f(x)  ( x-x0). Noùi caùch khaùc f(x)  (x- a) khi f(a) = 0 [ c hệ số của đa thức f(x) bằng 0 thì f(x) có  CHUÙ YÙ:a/ Neáu toång caù [ nghieäm baèng 1 . Hay f(x)  (x-1) 1 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Trường. :. THCS §inh X¸. b/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì f(x) coù nghieäm x = -1 . Hay f(x)  (x+1) 7/ CHIA HEÁT – CHIA COÙ DÖ :  Ngòai các điều kiện chia hết học ở lớp 6 , ta cần nhớ thêm các điều kieän sau: + Mọi số chẵn đều chia hết cho 2 + ĐK chia hết cho 4 ( họăc 25) : Số có 2 chữ số tận cùng lập thành một số có 2 chữ số chia hết cho 4 (hoặc 25) thì số ấy chia hết cho (4 họăc 25). + ĐK chia hết cho 8 ( họăc 125) : số có 3 chữ số tận cùng lập thành một số có 3 chữ số chia hết cho 8 (hoặc 125) thì số ấy chia hết cho 8 (hoặc 125) + Tích 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8 + Với a,b  Z ; b  0 luôn tồn tại một cặp số nguyên q, r sao cho a  b.q  r (0  r < b ). Ta goïi r laø soá dö , q laø thöông trong pheùp chia a cho b + Định lý BRu mở rộng ( Tham khảo) : Phần dư của phép chia f(x) cho nhị thức g(x) = x-a laø moät haèng soá baèng giaù trò cuûa f(a) + Löôïc ñoă Hooc-Ne ( Tính heô soẩ cụa ña thöông vaø dö trong pheùp chia Đa thức f(x) = an x n  an 1 x n 1  an 2 x n 2  ...  a1 x  a0 cho nhị thức x   an. . an-1. bn=an bn 1   .bn  an 1. an-2. …. bn  2   .bn 1  an  2. …. a1. b1   .b2  a1. a0 r   .b1  a0. ( Dòng thứ 2 : giá trị ở ô cuối cùng là số dư, giá trị ở mỗi ô còn lại là hệ số của đa thức thương) + Tam giaùc PASSCAN: 1. 2 2 Lop8.net. 1 1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Trường. :. THCS §inh X¸. 1 1 1 1 1. 3 4. 6. 5 6. 7. 3. 10 15. 21. 1 4. 1. 10 20. 35. 5. 1. 15 35. 6 21. 1 7. 1. 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ( Các số ở mỗi dòng của tam giác ứng với các hệ số trong khai triển các lũy thừa của một tổng 2 số hạng) 8/ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN : f(x) = a0 x n  a1 x n 1  a2 x n 2  ...  an 1 x n  a0  Nếu có nghiệm hữu tỷ. p thì : p là ước của an ( an  p ) và q là ước của a0 ( q. a0  q ).  Nếu có nghiệm nguyên x = a thì a là ước của an  Nếu f(x) có nghiệm x = a thì (x- a ) là một nhân tử của f(x) * VD1- Phân tích đa thức: f(x) = x3 – x2 +4 thành nhân tử +4 chia hết cho x2+x+2) +nghieäm nguyeân neáu coù cuûa f(x) thì x = 1;1; 2; 2. ( CMR : x3 – x2. + Thử lại ta có x = 2 là nghiệm . Vaäy f ( x)  ( x  2)( x 2  x  2). (. f ( x)  x2  x  2 ) x2. + x2+x+2 coù  = -7 < 0 ( VN) * VD2 phân tích f(x) = 3x3 + 7x2 + 17x -5 thành nhân tử Nghiệm nguyên nếu có của đa thức thì x  1; 1; 5; 5 Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức thì Thử lại ta có 9/ Phương. 1 1 5 5 x   ;  ;  ;    3. 3. 3. 3. 1 1 laø nghieäm .  f ( x)  3( x  )( x 2  2 x  5) do x2-2x +5 3 3. trình bậc hai : ax 2  bx  c  0 a  0 . Có biệt thức :   b 2  4ac *  < 0 phương trình vô nghiệm. b 2a b   b   , x2  *  > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1  2a 2a. *  = 0 tphương trình có nghiệm kép x1  x2  . 3 Lop8.net. VN.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Trường. VD-. :. THCS §inh X¸. 3x2 – 8x + 4 = 0. 10/ phương pháp chứng minh bằng quy nạp: f(x) = a * CM f(x) đúng với x = 1 * Giả sử f(x) đúng với x = n * Chứng minh f(x) luôn đúng với x = n+1 VD I-PHÉP CHIA HẾT BÀI 1: 1, Cho biểu thức:. A=. 5 n2. a, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số. b, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên. 2, Tìm x biết: a, x chia hết cho cả 12; 25; 30 và 0 ≤ x ≤ 500 b, (3x – 24). 73= 2. 74 c, x  5 16  2.(3) 3, Bạn Hương đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 145. Hỏi bạn Hương đã dùng bao nhiêu chữ số ? Trong những chữ số đã sử dụng thì có bao nhiêu chữ số 0 ? BÀI 2: 1, Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596 a, Chứng minh: S  126 b, Tìm chữ số tận cùng của S 2, Chứng minh A = n(5n + 3)  n với mọi n  Z 3,Tìm a, b  N, biết: a + 2b = 48 ƯCLN (a, b) + 3. BCNN (a, b) = 14 BÀI 2 :a. Chứng minh:. 12n  1 (n  Z) tối giản 30n  2. b.Bạn Hương đánh 1 cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn. c, Bạn Hương cần bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sách đó ? d, Trong dãy số trên thì chữ số thứ 300 là chữ số nào ? e, Tính: 2 2 2 2    .....  1.3 3.5 5.7 99.101 7 . 9  14 . 27  21.36 BÀI 3: 1) Rót gän A  21.27  42.81  63.108 3 3 3 3    n N * 2) Cho S  1.4 4.7 7.10 n(n  3). Chøng minh: S  1 3) So s¸nh:. 2003 .2004  1 2004 .2005  1 vµ 2003.2004 2004.2005. 4) T×m sè nguyªn tè P sao cho c¸c sè P + 2 vµ P +10 lµ sè nguyªn tè 5 Tìm giá trị nguyên dương nhỏ hơn 10 của x và y sao cho 3x - 4y = - 21 4 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Trường. :. THCS §inh X¸. 6 Cho ph©n sè: A . n 5 n1. (n  Z ; n   1). a) Tìm n để A nguyên. b) Tìm n để A tối giản . BÀI 4 1) Tìm các giá trị của a để số 123a5 a) Chia hÕt cho 15 b) Chia hÕt cho 45 2/ Chøng minh r»ng: A  10 n  18n  1 chia hÕt cho 27 (n lµ sè tù nhiªn). 3/ Cho A  n 3  3n 2  2n a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 3 víi mäi sè nguyªn n. b) Tìm giá trị nguyên dương của n với n < 10 để A chia hết cho 15. 4/ Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có không quá 130 em tham gia. Sau khi chấm bài thấy số em đạt điểm giỏi chiếm yÕu chiÕm. 1 1 , đạt điểm khá chiếm , đạt điểm 9 3. 1 tổng số thí sinh dự thi, còn lại là đạt điểm trung bình. 14. TÝnh sè häc sinh mçi lo¹i. BÀI 5: 1/ Cho A  3  32  33  ....  32004 a) TÝnh tæng A. b) Chøng minh r»ng A  130 . c) A có phải là số chính phương không ? Vì sao ? 2) Tìm n  Z để n 2  13n  13  n  3 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TỔNG HỮU HẠN Bài 1: a. Cho n là một số nguyên dương. Hãy so sánh: 2 1 1 1 1   1 +  và 1 + 2 2 n n n+1   n+1 b. Tính: 1 1 1+ 2 + 2 + 2 3. 1+. 1 1 + 2 + 2 3 4. 1+. 1 1 + 2 + ... + 2 4 5. Bài 2: Chứng minh rằng: n 1 1 1  1 + + + ... + n  n 2 2 3 2 -1. với n  N và. VÝ dô1(SGK-T8.Tr25) 5 Lop8.net. 1+. 1 1 + 2 2005 20062.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Trường. :. THCS §inh X¸. Chøng minh r»ng: n 3  n chia hÕt cho 6 víi mäi sè nguyªn n. Gi¶i: Ta cã n 3  n =n.(n-1).(n+1). Trong ba sè nguyªn liªn tiÕp n,n-1,n+1 lu«n cómột số chia hết cho 2 , một số chia hết cho 3 và (2,3)=1 .Do đó n 3  n  6 . Qua bài toán trên ta thấy n 3 và n đồng dư khi chia cho các số 2,3 và6 từ đó ta đề xuất một số bài toán tương tự như sau. Bµi1: Chøng minh r»ng : n 3  m 3  6  n  m  6(m, n  Z ) . Gi¶i: Tacã (n 3  m 3 )  (n  m)  (n 3  n)  (m 3  m)  6, (theoVD1 ) Từ đó suy ra điều phải chứng minh.Tổng quát hoá ta được bài toán sau. Bµi2: Chøng minh r»ng: 3. 3. 3. 3. x1  x 2  x3  ...........  x n  6  x1  x 2  x3  ............  x n  6, ( xi  Z , i  1, n). Bµi3: Cho A= 13  2 3  33  .............  98 3  99 3. Hái A cã chia hÕt cho 6 kh«ng? Hướng dẩn: Đặt S=1+2+3+4+............+98+99. Theo bài 2 ta có A-S chia hết cho 6,trong đó S=. 99(99  1)  6.33.25  S  6 . Do đó A  6 . 2. Bµi4:(Thi häc sinh giái T.P-HCM n¨m häc 2003-2004). Chøng minh r»ng: ( x  y  z ) 3  x 3  y 3  z 3  6 víi mäi sè nguyªn x,y,z. Gi¶i:. . . ( x  y  z ) 3  x 3  y 3  z 3  ( x  y  z ) 3  ( x  y  z )  ( x 3  x)  ( y 3  y )  ( z 3  z ) .. Theo VD1 ta thấy các hạng tử của VP đều chia hết cho 6, từ đó suy ra điều phải chøng minh. Bµi5: ViÕt sè 2005 2004 thµnh tæng cña k sè tù nhiªn tuú ý a1 , a 2 , a3 ,.........., a k .T×m sè d­ cña phÐp chia a13  a 2 3  a3 3  .......  a k 3 cho3. Gi¶i: §Æt N= a13  a 2 3  a3 3  .......  a k 3 vµ 2005 2004  a1  a 2  a3  ............  a k . Ta cã N- 2005 2004  (a13  a1 )  (a 2 3  a 2 )  (a3 3  a3 )  ...........  (a k 3  a k ) 3 ,(VD 1 ) Mặt khác 2005 2004 chia cho 3 dư 1, do đó N chia cho 3 dư 1. Kết hợp với hằng đẳng thức đã học VD1 được phát triển thành các bài toán thú vị sau. Bµi 6: Cho P  (a 2  ab  1) 3  (b 2  3ab  1) 3  (a  b) 2 . Chøng minh r»ng P chia hÕt cho 6 víi mäi sè nguyªn a,b. Gi¶i: Đặt x  a 2  ab  1; y  b 2  3ab  1  x  y  (a  b) 2 . Khi đó ta có P= x 3  y 3  ( x  y )  ( x 3  x)  ( y 3  y )  6 . 6 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Trường. :. THCS §inh X¸. Bµi7: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn x,y th×: ( x 3  3 xy 2 ) 3  ( y 3  3 x 2 y ) 3  x  y 3 . Gîi ý: §Æt a  x3  3xy 2 ; b  y 3  3x 2 y  a  b  ( x  y)3 ,: Ta cã a 3  b 3 3  a  b 3( BT1 )  ( x  y ) 3 3  x  y 3 (v× 3 lµ sè nguyªn tè). Bµi8: Cho c¸c sè nguyªn x, y , z tho¶ m·n : x+y+z= 3.2006 2007 Chøng minh r»ng: M= ( x 2  xy  yz ) 3  ( y 2  xy  xz ) 3  ( z 2  yz  xz ) 3 chia hÕt cho 6. Gi¶i: §Æt a  x 2  xy  yz; b  y 2  xy  xz; c  z 2  yz  xz  M  a 3  b 3  c 3 Ta cã: a  b  c  x 2  y 2  z 2  2( xy  yz  zx)  ( x  y  z ) 2  6(Theo  gt ) . Do đó M  6 (theo-BT 2 ) KÕt hîp vÝ dô 1 víi bµi to¸n t×m nghiÖm nguyªn ta cã mét sè bµi to¸n sau. Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình sau: a) ( x  y ) 3  ( y  z ) 3  x  2 y  z  2005 3 (1) b) ( x 2  y 2  1) 3  (2 xy  1) 3  189 (2) Gi¶i: a) (1)  ( x  y ) 3  ( x  y ) ( y  z ) 3  ( y  z ) 2005 3 (3) DÔ thÊy VT cña (3) chia hÕt cho 6 (theo-VD1).Nh­ng 2005 3 kh«ng chia hÕt cho 6,do đó phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. b) Đặt p  x 2  y 2  1; q  2 xy  1  p  q  ( x  y ) 2 . Khi đó phương trình (2) trở thành : p 3  q 3  189 . Vì 189 3 nên p 3  q 3 3  p  q 3(theo  BT1 ) .Từ đó suy ra p+q là số chính phương chia hết cho 3. Mặt khác p 3  q 3  189  ( p  q)( p 2  pq  q 2 )  9.3.7 .Do đó p+q chỉ có thể bằng 9  ( x  y ) 2  9  x  y  3( x, y  Z  ) , từ đó suy ra phương trình có hai nghiÖm (x,y)=(1,2)hoÆc (2,1). Thö l¹i thÊy tho· m·n.. Bµi 10 trang 14 (S¸ch bµi tËp tãan 9 tËp I ) chøng minh r»ng n 1  n . 1 n 1  n. víi n lµ sè tù nhiªn.. Chøng minh : ( n  1  n )( n  1  n )  n  1  n  1 . n 1  n . 1 n 1  n. Ph¸t biÓu c¸ch kh¸c : 7 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Trường. :. THCS §inh X¸. 1. Chøng tá víi mäi sè tù nhiªn n th× ( n  1  n ) vµ ( n  1  n ) lµ hai sè nghịch đảo. 2.. 1. (víi n lµ sè tù nhiªn).  n 1  n. n 1  n. Bµi 12: TÝnh 1. a.. 2 1 1. b.. 2 1. 1. . 3 2 1. . 3 2. 1. . 4 3 1. . 4 3.  ... . 1 100  99.  ... . 1 n  n 1. víi n  1. Gi¶i : a. =. 1 2 1. 1 3 2. . 1 4 3. 1.  ... . 100  99. 2  1  3  2  4  3  ...  100  99  100  1  9 1. b. =. . 2 1. . 1 3 2. . 1 4 3.  ... . 1 n  n 1. víi n  1. 2  1  3  2  4  3  ...  n  n  1  n  1. Bµi 13: TÝnh a. A = b. B =. 1 1 2 1 1 2. . . Định hướng : 1  2 . 1 2 3 1 2 3. . . 1 1 2. 1 3 4 1 3 4.  ... .  ... . 1 20005  2006 1 2k  2k  1. hay n  n  1  8 Lop8.net. 1 n  n 1.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Trường. :. THCS §inh X¸. Gi¶i : a. A =. 1 1 2. . 1 2 3. . 1 3 4. 1.  ... . 20005  2006. =  ( 1  2 )  ( 2  3 )  ( 3  4 )  ...  ( 2005  2006 ) =  1  2  2  3  3  4  ...  2005  2006 =  ( 1  2006 ) b. B =. 1 1 2. . 1 2 3. . 1 3 4. 1.  ... . 2k  2k  1. B =  ( 1  2 )  ( 2  3 )  ( 3  4 )  ...  ( 2k  2k  1) =  1  2  2  3  3  4  ...  2k  2k  1 = ( 2k  1  1) ëBµi 71, thay 1 = x  N ta cã bµi to¸n 3 Bµi 14 Chøng minh: Víi x>0,n  0 Ta cã:. n x  n . x n x  n. Bµi15 TÝnh a. C = b. D =. 3 4 1 1 3 1. . . 3 7 4 1 5 4. . . 3 10  7 1 7 5.  ... .  ... . 3 16  13 1 2k  1  2k  1. Víi k lµ sè tù nhiªn  1 Gi¶i a. ¸p dông bµi 3 vµo bµi bµi 4 a. ( 4 ) 2 - 12 = 3 , ë ®©y x = 3 Ta cã:. 9 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Trường. : 3. C =. 3. . 4 1. THCS §inh X¸ 3. . 7 4. 3. … +. 10  7. 16  13. = 4  1  7  4  10  7  ...  16  13 = 16  1  4  1  3 b. ¸p dông bµi3vµo bµi bµi 4b ( 3 ) 2 - ( 1 ) 2 = 2, ë ®©y x = 2 Do đó ta đưa về dạng bài toán 4a như thế nào ? ( Nhân 2 vào 2 vế ) 2 2 2 2    ...  3 1 5 3 7 5 2k  1  2k  1. 2D =. 2D = 3  1  5  3  7  5  ...  2k  1  2k  1 2k  1  1 2. 2D = 2k  1  1  D = Bµi 16: TÝnh a. E =. 1 2 1 1 2. n n  1  (n  1) n. n. = 1b.P . 1. =. n n 1. 1 = n 1  n. .. 1 25 24  24 25. =? n 1  n n. n  1. 1. . n 1 1. E=. 3 22 3.  ... . n n  1  (n  1) n. 1. 1. 1. 1. Định hướng :. =. . 1 1 25. . 1 2.  1. . 1 2. . 1 3.  ... . 1 24. . 1 25. 1 4  5 5. 3 3 3   ...  5 2 2 5 8 5 5 8 2006 2003  2003 2006. 10 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Trường. :. THCS §inh X¸. 3(5 2  2 5) 3  Ta cã (5 2  2 5)(5 2  2 5) 5 22 5. . 3(5 2  2 5) 5 2  2 5 5 2 2 5 1 1  = = =  30 10 10 10 2 5 1 1 1 1 1 1     ...   2 5 5 8 2003 2006 1 1 P  2 2006 P. Bµi 17: Kh«ng dïng m¸y tÝnh h·y so s¸nh A = 2007  2006 vµ B = 2006  2005 Gi¶i : ap dông bµi 71 A= B=. 1 2007  2006 1 2006  2005.  A < B do . 2007  2005. 2007  2006  2006  2005. Bµi 18: Tæng qu¸t tõ bµi 6 ta cã : n  1  n  n  n  1 víi n  1. ¸p dông bµi 71 (bµi tËp to¸n 9 tËp I) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. Bµi 8 : Thay 1 = x ë bµi 7 ta cã : Víi n  x >1 A = n x  n B = n  nx ta cã : A < B 11 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Trường. :. THCS §inh X¸. tõ bµi to¸n 6 ta cã bµi to¸n sau: Bµi 19:. So s¸nh C vµ D. C = m p  m D = n p  n Víi m > n > 0 ,p > 0 Ta cã C=. p m p  m. p. D=. n p  n. V× m > n  C < D *ap dụng bài 71 chứng minh bất đẳng thức Bµi 20 : a. b.. Chøng minh n  1  n  1  2 n (Víi n  1) n  x  n  x  2 n (víi n> x  0). Chøng minh a.. n 1  n 1  2 n.  n 1  n  n  n 1. Bất đẳng thức này đã chứng minh ở bài 7 b.. n x  nx  2 n.  n x  n  n  nx. §· chøng minh ë bµi 8 Bµi 21 : Chøng minh : 2m  2m  2  2 2m  1 12 Lop8.net. víi m  -1.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Trường. :. THCS §inh X¸. Chøng minh: Víi n = 2 m +1, thay vµo bµi 10a th× ta ®­îc : 2m  2m  2  2 2m  1. Bµi 12:Kh«ng dïng m¸y tÝnh vµ b¶ng sè h·y chøng tá 101  99  0,1 Gi¶i 101  99 . 2 101  99. V× 0 < 101  99  2 100 ( Suy ra tõ bµi 10a ) . 2 101  99. . 2.  100  99  0,1. 2 100. Bµi 22: a. Chøng minh r»ng víi mäi n  N* 1 2 n 1.  n 1  n. b. Chøng minh: 2( n  1  n ) . 1.  2( n  n  1). n. Gi¶i 1. a.. 2 n 1. . 1 2 n 1.  n 1  n 1. . n 1  n.  2 n 1 >. ( Ap dông bµi 71 trang 14 ). n  1 + n (hiển nhiên đúng ). b. 2( n  1  n ) . 1 n.  2( n  n  1). * Chøng minh : 2 ( n  1 - n ) < 0< . 1 n 1  n. n 1 +. <. 1 n. 1 2 n. n >2. n. 13 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Trường. :. . THCS §inh X¸. n 1 >. n. Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng *. Chøng minh 1 n. 0<. 1 2 n.  2( n  n  1). <. 1 n  n 1.  2 n > n + n 1 . n > n 1. Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng  Bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Bµi 23 : Cho S = 1+. 1 2. . 1 3. . 1 4. … +. 1 100. Chøng minh 18 < S < 19 Chøng minh Áp dông bµi 13b ta cã : 2( n  1  n ) . 1 n. Thay n = 2,3,4,......100 ta cã: 2 ( 3 2) <. 1. 2 ( 4  3) <. 1. 2. 3. < 2 ( 2  1) < 2 ( 3 2). 2 ( 5  4)  2( 4  3) ……………………….. 14 Lop8.net.  2( n  n  1).

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Trường. :. THCS §inh X¸. 2( 101  100 ) . 1 100.  2( 100  99 ). Céng vÕ víi vÕ ta cã 1 + 2 ( 3  2  4  3  ...  101  100 )< S < 1 + 2( 2  1 + 3  2 + 4  3 + 100  99 )  1+2 ( 100  2 ). < S <. 1+2 ( 100  1 ).  1+2 ( 10 -1,5 ). < S <. 1+2 (10-1). VËy ta cã :. 18 < S < 19. Chú ý : Cũng có thể thay đổi nội dung bài này như sau : C¸ch 1: Chøng minh S kh«ng ph¶i lµ sè tù nhiªn C¸ch 2: T×m phÇn nguyªn cña S Bµi 24 So s¸nh A vµ B A = 2 ( 2  4  ...  2006 )  2008 ; B = 2 ( 1  3  ...  2007 ) Áp dông bµi 11 . 2m  2m  2  2 2m  1. víi m  -1. Cho m = 0 , 1, 2 , …,1003 ta cã: 0 22 1 2 42 3. …………….. …………….. …………….. 2006  2008  2 2007. Céng vÕ víi vÕ ta cã:  2( 2  4  ...  2006 )  2008  2( 1  3  ...  2007 ). 15 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Trường. :. THCS §inh X¸. A < B. Bµi 25 : Chøng minh r»ng : 1. 1+. 2. . 1 3. . 1 4.  ... . 1 2500.  100 1. Chøng minh : Tõ bµi 13 b ta còng cã :. n 1.  2( n  1  n). Lần lượt cho n = 0 , 1 , 2 , 3…, 2499 ta có 1<2 1 2 1 3.  2( 2  1).  2( 3  2 ). ……………….. 1 2500.  2( 2500  2499 ). Céng vÕ víi vÕ ta cã: 1+. 1 2.  1.  1.  1 2 1 2. 1 3 . .  1 3 1 3. 1 4 . .  ...  1 4 1 4. 1 2500.  ... .  ... .  2(1  2  1  3  2  2500  2499 ). 1 2500 1 2500.  2 2500.  100. ( §iÒu ph¶i chøng minh ) C. Khai thác ứng dụng của bài 71 trong giải phương trình Bài 26 : Giải phương trình 1 x3 x2. . 1 x  2  x 1. . 1 x 1  x. 16 Lop8.net.  1 víi x  0.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Trường. :. THCS §inh X¸. Gi¶i: 1 x3 x2. . 1 x  2  x 1. . 1 x 1  x. 1.  ( x  3  x  2 )  ( x  2  x  1)  ( x  1  x )  1  ( x  3  x  1)  ( x  3  x  2 x  3) x  1  2 x  2  2 x 2  3x  x  1  x 2  3x  x 2  2 x  1  x 2  3x  x  1. Bài 27: Giải phương trình : x. =9. x. 2 2. ( 18 ). x 2  ......... 2. x 1 1 x. ( Cã 2007 sè 2 ) Gi¶i : Víi x  -1 ta cã : x 1 1 x. Ta cã : 2 +.  1  x  1 ( Tương tự bài 7 ). x 1 1 x.  2  1 x 1  1 x 1. Phương trình (18). 17 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Trường. . :. THCS §inh X¸. x 1 1  9.  x  1  10  x  1  100  x  99. Bài 28 : Giải phương trình : ( 2  3)x  ( 2  3)x  4. ( 19 ). Gi¶i : §Æt y = (. 2  3)x  ( 2  3)x . 1 y. Phương trình (19)  y. 1 4 y.  y2  4y 1  0 /  4  1  3  y1  2  3 y2  2  3. Thay l¹i Èn x ta cã : ( 2  3)x  ( x2. 3  2)2. ( 2  3)x  2  3  ( 2  3)x . 1 ( 2  3)x.  ( 2  3 ) x  ( 2  3 ) 2  x  2. Vậy phương trìmh đã cho có nghiệm x=±2 Bài 29 :Giải phương trình (20). (9  4 5 ) x  ( 9  4 5 ) x  18. 18 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Trường. :. THCS §inh X¸. Gi¶i: §Æt y = (9  4 5 ) x => (9  4 5 ) x . 1 y. Phương trình (20) . 1  y  18 y.  y2 - 18y + 1 = 0. Cã '  81  1  80 y1 = 9 + 80 = 9 + 4 5 y1 = 9 - 80 = 9 - 4 5 Thay l¹i Èn x nÕu: y = 9 + 4 5 => (9  4 5 ) x = (9  4 5 ) 2 NÕu y = 9 - 4 5. => x=-2. Vậy phương trình có hai nghiệm:. x=±2. *.Bµi tËp : Bµi 1: TÝnh a. A . 2 2 2 2 2     ...  3 7 7  11 11  15 15  19 2003  2007. b.B . 4 4 4 4    ...  9  13 13  17 17  21 221  225. c.C . 1 1 1   ...  6 1  1 6 11 6  6 11 2006 2001  2001 2006. 19 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Trường. :. THCS §inh X¸. Bµi2:Chøng minh S = 1+. 1 2. . 1 3. . 1 4. … +. 1 kh«ng ph¶i lµ sè tù nhiªn 40000. Bài 3:Giải phương trình: 1 1 1 1     2 víi x  -1 x 1  x  3 x3  x5 x5  x7 x7  x9. III – PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN PhÇn 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC, PHÂN THỨC Phần 1: Biến đổi các biểu thức chứa số. 1) Rút gọn các biểu thức sau: a) A  6  2 5  29  12 5 . b) B  8  8  20  40 .. 4 12   15 c) C      ( 6  11) . 6  2 3 6   6 1 . 2) Thu gọn P . 2 3 6 84 . 2 3 4. 3) Tính giá trị của biểu thức A . 4) Chứng minh rằng 3 1  5) Rút gọn biểu thức A . 6) A =. 3- 3 2-. 3+ 2 2. +. 1 1 1 1  với a  . ,b  a 1 b 1 2 3 2 3. 84 3 84  1 là một số nguyên. 9 9 3 5 10  3  5. 3 5. . 3+ 3 2+ 3 - 2 2. 10  3  5. .. 20 Lop8.net. ..

<span class='text_page_counter'>(21)</span>