Các bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ DẠNG 1. BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y = f(x) và y = g(x) PHƯƠNG PHÁP: Xét phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) Số giao điểm của 2 đồ thị chính bằng số nghiệm của phương trình (*) BÀI 1. Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của hai đồ thị hàm số sau.  x2  x  2 1. y  và y  2 x 2  x  1 x2 ĐS: A(0; 1) và B(1; 2) 3 2 2. y  x  2 x  2 x  2 và y  1  x BÀI 2. Tìm m để đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  mx  1 cắt đường thẳng y = 1 – 2x tại ba điểm phân biệt.  3 3 ĐS: m    ;  \ {0}  2 2 BÀI 3*. Cho hàm số y  x 3  3ax 2  4a 3 (Ca) với a là tham số 1. Tìm a để các điểm CĐ, CT của đồ thị (Ca) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. 2 2 2. Tìm a để đường thẳng y = x cắt đồ thị (Ca) tại ba 2 ĐS: a= 0; a =  điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC 2 2 x  6 x  3m BÀI 4. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số y  và x2 đường thẳng y =mx KL: nếu m = 1 hoặc m = -16/3 thì có 1 giao điểm Nếu m  1 và m  -16/3 thì có 2 giao điểm pb 2 x  x 1 BÀI 5. Cho hàm số y  có đồ thị là (C). x 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Xác định m để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân ĐS: m = -3 biệt A, B sao cho AB = 12 hoặc m = 5 2 x  2x  9 BÀI 6. Cho hàm số y  có đồ thị là (C). x2 1. Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = k tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương. ĐS: k > 8 2. Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = kx + 10 – 5k tại 2 k   ĐS: hai điểm phân biệt nhận I(5; 10) làm trung điểm. 3 2x  1 BÀI 7. Cho hàm số y  có đồ thị là (C). x2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 2. Xác định m để đường thẳng y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB ngắn nhất ĐS: m = 0. VM-TD-BN/T10-2008. 1 Lop12.net. ĐS: a = .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> DẠNG 2. BIỆN LUẬN THEO m SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH: f(x) = m (*) PHƯƠNG PHÁP: Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và biện luận số giao điểm với đường thẳng y = m BÀI 1. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  2 có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình ĐS: m>2 hoặc m<-2: pt có 1 n0 m=2 hoặc m=-2: pt có 2 n0. x 3  3x 2  2  m -2<m<2: pt có 3 n0 phân biệt 3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình ĐS: a>4 hoặc a<-4: pt có 1 n0 3 2 a=4 hoặc a=-4: pt có 2 n0. a  x  3x  0 -4<a<4: pt có 3 n0 phân biệt 4. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x 3  3 x 2  k 3  3k 2 DẠNG 3. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHƯƠNG PHÁP: Giả sử cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). 1. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số y  f (x) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên trục Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox, qua trục Ox + Bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox (Đồ thị hàm số y  f (x) luôn nằm trên trục hoành ) 2. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số y  f  x  như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (bỏ phần đ/t nằm bên trái Oy) + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy, qua trục Oy (Đồ thị hàm số chẵn y  f  x  luôn nhận trục Oy làm trục đối xứng ) 3. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số y  f (x) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (bỏ phần nằm dưới trục Ox) + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox, qua trục Ox (Đồ thị hàm số y  f (x) luôn nhận trục Ox làm trục đối xứng vì M(x0; y0) và M’(x0; y0) cùng thuộc đồ thị h/s ) 4. Từ đồ thị hàm số y = f(x) = u(x).v(x) suy ra đồ thị hàm số y = u ( x) v( x) như sau: u ( x).v( x) khi u(x)  0 Ta viết: y  u ( x) v( x)     u ( x).v( x) khi u(x)  0 + Giữ nguyên phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x)  0) + Lấy đối xứng qua trục Ox, phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x) <0) BÀI 1. Cho hàm số y  x 3  3x 2 có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:  x 3  3 x 2  m. ĐS: m<0: vô n0; m=0: có 3 n0; 0<m<2: có 6 n0; m=2:có 4 n0; m>2: có 2 n0 VM-TD-BN/T10-2008. 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3. 3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: 3a  x  3 x 2. x2  x  2 BÀI 2. Cho hàm số y  có đồ thị là (C). x3 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số x2  x  2 m 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3. 3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:. x2  x  2 x 3.  3a. x2  x  2 k  4. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x3 2 5. Biện luận theo t số nghiệm của phương trình:. x2  x  2 x3. t. ( x  1)( x  2) có đồ thị là (C). x2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Tìm k để đường thẳng y = kx – 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương x  1 ( x  2) 3. Tìm m để phương trình:  m có đúng 3 nghiệm phân biệt x2 x 2  2x  3 BÀI 4. Cho hàm số y  có đồ thị là (C). x 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số k 1 2 ( x  1) 2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x  2 x  3  2 2 3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:  x  2 x  4m x  1  3. BÀI 3. Cho hàm số y . BÀI 5. [ĐH.2006.A] Cho hàm số y  2 x 3  9 x 2  12 x  4 có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Tìm m để phương trình: 2 x 3  9 x 2  12 x  m có 6 nghiệm phân biệt. ĐS:4<m<5 BÀI 6. Cho hàm số y  x  3 x  2 có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 3. 2. 2 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x  2 x  2 . m x 1. BÀI 7. Cho hàm số y  x 4  5 x 2  4 có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2 2 2. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x  4 ( x  1)  a  2. x2  x  1 BÀI 8. Cho hàm số y  có đồ thị là (C). x 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số VM-TD-BN/T10-2008. 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> x2  x  1. k x 1 3. Tìm tất cả các giá trị của m để trên đồ thị (C) có hai điểm A(xA; yA) , B(xB; yB) xA  yA  m khác nhau thỏa mãn điều kiện:   xB  yB  m x2  4x  5 BÀI 9. Cho hàm số y  x2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương ĐS: m<-5/2 hay m=  2: có 2 n0. 2 5/2<m<-2hay m>2: có 4 n0. trình: x  (4  m) x  5  2m  0 m=-5/2: có 3 n0. -2<m<2: vô n0. DẠNG 4. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y = f(x) PHƯƠNG PHÁP: Áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; y0) ta có: y  y 0  f ' ( x0 )( x  x0 ) hay y  y 0  y ' ( x0 )( x  x0 ) Trong đó: M(x0; y0) là tiếp điểm; y0 = f(x0) ; k = f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến 1. Nếu cho hoành độ x0 thì tính y0 = f(x0) và hệ số góc k = f’(x0) 2. Nếu cho tung độ y0 thì giải pt: f(x) = y0 suy ra hoành độ x = x0 từ đó tính k = f’(x0) 3. Nếu cho hệ số góc k = k0 thì có 2 cách: Cách 1. Giải pt: f’(x) = k0  x = x0  y0 = f(x0) Cách 2. Pt tiếp tuyến có dạng: y = k0x + m (  ) (cần tìm m)  f ( x)  k 0 x  m (  ) tiếp xúc với (C)  hệ pt sau có nghiệm:   x ? m ?  f ' ( x)  k 0 4. Nếu cho một điểm N(a; b) thuộc tiếp tuyến thì Cách 1. Gọi tiếp điểm M ( x0 ; y 0 ) . Ta có y 0  f ( x0 ) và y  y 0  f ' ( x0 )( x  x0 )  b  f ( x0 )  f ' ( x0 )(a  x0 )  x0  PT tiếp tuyến Cách 2. Đường thẳng đi qua N(a; b) với hệ số góc k có phương tình dạng: y  b  k ( x  a )  y  kx  ka  b ( )  f ( x)  kx  ka  b ( ) tiếp xúc với (C)  hệ pt sau có nghiệm:   x?  k?  f ' ( x)  k BÀI 1. Cho hàm số y  x 4  4 x 2  3 có đồ thị là (C) 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng - 8 BÀI 2. Cho hàm số y   x 3  3 x 2  4 x  2 có đồ thị là (C) 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc bằng -1 1 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết nó vuông góc với đường thẳng y= x  3 4. 2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:. BÀI 3. Cho hàm số y  x 2  2 x có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) VM-TD-BN/T10-2008. 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> biết nó đi qua điểm N(1; -2)? BÀI 4. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  2 có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A(. x2  x  1 BÀI 5. Cho hàm số y  có đồ thị là (C). x2 1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên. ĐS: y = 2x; y = 2x -4 23 ; 2 ) 9. ĐS: y = -2; y= 9x-25 5 61 x y= 3 27. ĐS: y   x  2 2  5. và y   x  2 2  5 2. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) đều không đi qua điểm I(-2; -3) x 2  5x  4 BÀI 6. Cho hàm số y  có đồ thị là (C). x2 1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song ĐS: y  3 x  3 song với đường thẳng y = 3x + 2008. và y  3 x  11 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên. BÀI 7. [HVBCVT. 2000] Cho hàm số y   x 3  3 x 2  2 (*) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô (*) 2. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ được một tiếp tuyến với đồ thị hàm số (*) ĐS: A(1; 0) 2 2 x  (a  1) x  3 BÀI 8. [ĐHGTVT.00] Cho hàm số y  có đồ thị là (Ca). xa 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô khi a = 2 2. Xác định a để đường tiệm cận xiên của đồ thị (Ca) tiếp xúc với parabol y = x2 + 5. ĐS: a = -3 4 2 BÀI 9. [ĐHKT.00] Cho hàm số y  kx  (k  1) x  1  2k với k là tham số Xác định k để đồ thị của hàm số chỉ có một điểm cực trị ĐS: 1. k  (;0]  [1; ) 1 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô khi k = . Gọi đồ thị khi đó là (C) 2 3. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm O. 1 x ĐS: y=0; y   3 3 x2  x  2 BÀI 10. Cho hàm số y  có đồ thị là (C). x2 1. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong  x 2  3x  6 ĐS: y  (C) qua đường thẳng y = 2. x2 2. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong (C) qua điểm I(1; -2) BÀI 11. Cho hàm số y  x 3  3 x có đồ thị là (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). VM-TD-BN/T10-2008. 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> BÀI 12. [ĐHVinh.00] Cho hàm số y  (m  1) x 3  (2m  1) x  m  1 có đồ thị (Cm). 1. CMR: với mọi m đồ thị (Cm) luôn có 3 điểm 1 5 5  5 , ĐS: A0(-1;1), A1,2( ) cố định thẳng hàng 2 2. 2. Với giá trị nào của m thì trên (Cm) có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đi qua 3 điểm cố định ĐS: m < -1 hoặc m > 0 4 2 BÀI 13. Cho hàm số y  x  mx  (m  1) có đồ thị (Cm). 1. Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm) ĐS: A1,2(  1;0) 2. Gọi A là điểm cố định với hoành độ dương của (Cm). Hãy tìm các giá trị của m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng y = 2x. ĐS: m =1 3 2 2 BÀI 14. Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  m có đồ thị (Cm). 1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại x=2 ĐS: m=1 2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến ĐS: y = 9x + 6 đi qua A(0; 6) BÀI 15. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  1 có đồ thị (Cm). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3 2. Chứng minh với mọi m đồ thị (Cm) luôn cắt đồ thị hàm Quỹ tích: 3 2 3 2 số y = x +2x +7 tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ y  4 x  4 x  18 x  19 tích trung điểm I của đoạn AB. 3. Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba 9  65 điểm phân biệt C(0; 1) D và E sao cho các tiếp tuyến ĐS: m  8 tại D và E vuông góc với nhau. 2 x  xm BÀI 16. Cho hàm số y  có đồ thị là (Cm) (m là tham số khác 0) x 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 2. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại A, B vuông góc với nhau 3. Tìm m để tam giác tạo bởi một tiếp tuyến bất kỳ của (Cm) và hai đường tiệm cận có diện tích nhỏ hơn 2 (đvdt) x2  x  2 BÀI 17. Cho hàm số y  có đồ thị là (C) x2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d:5x - 9y –4 = 0 3. Tìm những điểm M trên Oy để từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến hai nhánh của (C) BÀI 18. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  1 có đồ thị là (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 3 2 2. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x  1  3 x  1  1  a -----------------------------------------------o0o-----------------------------------------------VM-TD-BN/T10-2008. 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>