Chuyên đề Khảo sát hàm số 12 (phần 2)

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Khaûo saùt haøm soá. VII. MỘT SỐ BAØI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HAØM SỐ 1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 1. Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm). Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị. 2. Đồ thị hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt  Phöông trình ax 3  bx 2  cx  d  0 coù 3 nghieäm phaân bieät.  Hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d có cực đại, cực tiểu và yCĐ .yCT  0 . Bài 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:.  x2 3  y    3 x  2 2 a)  x 1 y    2 2.  2x  4 y  b)  x 1  y   x 2  2 x  4. 3  c)  y  4 x  3 x y   x  2.  y  x 4  x 2  1 d)  2  y  4 x  5.  y  x 3  5 x 2  10 x  5 e)  2  y  x  x  1. 2  y  x f)  x 1  y  3 x  1. Bài 2. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau: 3  a)  y  x  3 x  2  y  m( x  2).  x3 x2   2x  y  3 2 b)   y  m  x  1   13  2  12 . 3   y   x  3x c)  3  y  m( x  3).  2x  1  d)  y  x  2  y  2 x  m.  x 1  e)  y  x  1  y  2 x  m. 2  y  x  6x  3 f)  x2  y  x  m.  1  g)  y   x  3  1  x h)  y  mx  3 Bài 3. Tìm m để đồ thị các hàm số: a) y . 2   y  x  3x  3  x 2  y  mx  4m  1.  y  2 x 3  x  1 i)  2  y  m( x  1). ( x  2)2  1 ; y  mx  1 caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät. x2. 2 x 2  3x  m ; y  2 x  m caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät. b) y  x 1. c) y . mx 2  x  m ; y  mx  2 cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu. x 1. d) y . x2  4x  5 ; y  mx  2 cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu. x2. e) y . ( x  2)2 ; y  mx  3 caét nhau taïi hai ñieåm thuoäc hai nhaùnh khaùc nhau. 1 x. Trang 21 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Khaûo saùt haøm soá mx 2  x  m cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. x 1 Bài 4. Tìm m để đồ thị các hàm số:. f) y . a) y  x 3  3 x 2  mx  2m; y   x  2 caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. b) y  mx 3  3mx 2  (1  2m) x  1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. c) y  ( x  1)( x 2  mx  m 2  3) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. d) y  x 3  2 x 2  2 x  2m  1; y  2 x 2  x  2 caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. e) y  x 3  2 x 2  m 2 x  3m; y  2 x 2  1 caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. Bài 5. Tìm m để đồ thị các hàm số: a) y  x 4  2 x 2  1; y  m caét nhau taïi boán ñieåm phaân bieät. b) y  x 4  m(m  1) x 2  m3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. c) y  x 4  (2m  3) x 2  m 2  3m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Bài 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số: 3x  1 ; y  x  2m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn a) y  x4 AB ngaén nhaát. 4x 1 ; y   x  m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn b) y  2 x AB ngaén nhaát. x2  2x  4 ; y  mx  2  2m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính x 2 AB theo m. Bài 7. Tìm m để đồ thị của các hàm số:. c) y . a) y  x 3  3mx 2  6mx  8 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp soá coäng. b) y  x 3  3 x 2  9 x  1; y  4 x  m cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của đoạn AC. c) y  x 4  (2m  4) x 2  m 2 cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp soá coäng. d) y  x 3  (m  1) x 2  (m  1) x  2m  1 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thaønh moät caáp soá nhaân. e) y  3 x 3  (2m  2) x 2  9mx  192 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành moät caáp soá nhaân.. Trang 22 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Khaûo saùt haøm soá. 2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ  Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) = Soá giao ñieåm cuûa (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)  Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về moät trong caùc daïng sau: Daïng 1: F(x, m) = 0  f(x) = m (1) y (C) Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ c. (d) : y = m m A c. giao điểm của hai đường: yCÑ c. c. c. (C): y = f(x) d: y = m  d là đường thẳng cùng phương với trục hoành. xA x y CT  Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm c. của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1) Daïng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2) Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k. Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m. y d1 y = kx Daïng 3: F(x, m) = 0  f(x) = kx + m (3) c. b1 c.d (k: không đổi) d Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ M1 giao điểm của hai đường: (C): y = f(x) O d: y = kx + m x M2 m  Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương (C) A với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m). c. c. c.  Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán d1, d2, … cuûa (C) b2 coù heä soá goùc k.  Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, … để biện luận. Daïng 4: F(x, m) = 0  f(x) = m(x – x0) + y0 (4) m = + Khi đó (4) có thể xem là phương trình y hoành độ giao điểm của hai đường: d3 c. m>0 I (C) (C): y = f(x) d c. M (+) d: y = m(x – x0) + y0 y0 M1 d1 m=0  d quay quanh ñieåm coá ñònh M0(x0; y0). c. (–) IV m < 0 M2  Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán d1, d2, … 0 x0 x cuûa (C) ñi qua M0.  Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận. d2. m = –. Chuù yù:  Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện:   x   thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) với   x  .  Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m. Trang 23 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Khaûo saùt haøm soá VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị. Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo. m soá nghieäm cuûa phöông trình: a) y  x 3  3 x  1; x 3  3 x  1  m  0. b) y   x 3  3 x  1; x 3  3 x  m  1  0. c) y  x 3  3 x  1; x 3  3 x  m 2  2m  2  0. d) y   x 3  3 x  1; x 3  3 x  m  4  0. x4  2 x 2  2; x 4  4 x 2  4  2m  0 f) y  x 4  2 x 2  2; x 4  2 x 2  m  2  0 2 Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m soá nghieäm cuûa phöông trình:. e) y  . x 2  5x  7 ; a) y  x 3. x 2  (m  5) x  3m  7  0. b) y . 2x2  4x  2 ; 2x  3. 2 x 2  2(m  2) x  3m  2  0. c) y . x2  1 ; x. (m  1) x 2  2 x  1  0. x2  2x  4 ; x 2  2(m  1) x  4(m  1)  0 2x  4 Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m soá nghieäm cuûa phöông trình:. d) y . a) y . 2x2 ; 2x 1. 2sin2   2m cos   m  2  0 (0     ). b) y . 2 x 2  3x ; x 2. cos 2  (m  3) cos   2m  1  0 (0     ). c) y . x 2  3x  3 ; x2. cos2   (3  m) cos   3  2m  0 (0     ). d) y  x 3  3 x 2  6; cos3 x  3cos2 x  6  m  0 Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: a) y . x 2  5x  7 ; x 3. x2  x  1 ; b) y  x 1. c) y . 2 x 2  5x  4 ; x 1. 2t  (3m  7)2t  m  5 2t  (m  1)2t  m  1 2e2t  (5  m)et  4  m  0. x 2  5x  4 ; e2t  (5  m)et  4  0 x Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (T). Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:. d) y . Trang 24 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Khaûo saùt haøm soá. x 2  3x  6 x 2  3x  6 x 2  3x  6 a) (C ) : y  ; (T ) : y  ;  2m  0 x 1 x 1 x 1 b) (C ) : y . x 2  5x  4 x 2  5x  4 x 2  5x  4 ; (T ) : y  ; m2  0 x x x. c) (C ) : y  x 3  3 x 2  6; (T ) : y  x 3  3 x 2  6 ; x 3  3 x 2  6  m  3  0 3. 3. d) (C ) : y  2 x 3  9 x 2  12 x  4; (T ) : y  2 x  9 x 2  12 x  4; 2 x  9 x 2  12 x  m  0 e) (C ) : y  ( x  1)2 (2  x ); (T ) : y  ( x  1)2 2  x ;( x  1)2 2  x  (m  1)2 (2  m). x2  1 x2  1 ; (T ) : y  ; (m  1) x 2  2 x  1  0 x x x2 Baøi 6. Cho haøm soá y  f ( x )  . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x  3y  0 . c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình: f) (C ) : y . 3 x 2  (m  2) x  m  2  0 x 1 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x  2 y  0 . c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:. Baøi 7. Cho haøm soá y  f ( x ) . 2 x 2  (m  1) x  m  1  0 x2 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua ñieåm A(0; 1). c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:. Baøi 8. Cho haøm soá y  f ( x ) . (1  m) x 2  (1  m) x  1  0. VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax 3  bx 2  cx  d  0 (a  0) (1) Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành Daïng 1: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baäc 3  Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm  (C) và Ox có 1 điểm chung  f không có cực trị (h.1a)    f có 2 cực trị (h.1b)    yCÑ .yCT  0. Trang 25 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Khaûo saùt haøm soá y. y. (C). (C) yCÑ A. x0. O. (h.1a). yCT x1 o. A x0. x. x2. x. (h.1b).  Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm  (C) tiếp xúc với Ox  f có 2 cực trị. (h.2).   yCÑ .yCT  0. y. y. (C). (C) yCÑ A x0 o. yCÑ. (H.2) A. B x1. x'0. x. B x2 x0 x1 x'0 o yCÑ. C x"0. x (H.3). (yCT = f(x0) = 0).  Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt  f có 2 cực trị. (h.3).   yCÑ .yCT  0. Daïng 2: Phöông trình baäc ba coù 3 nghieäm cuøng daáu  Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương  f có 2 cực trị  y .y  0   CÑ CT  xCÑ  0, xCT  0 a. f (0)  0 (hay ad  0) y. y. a>0. (C) yCÑ. yCÑ o yCT. A. B x2 xA x1 xB. a<0. C xC. f(0) o. x. yCT. A x1 B xA xB x2. f(0). C xC. x (C).  Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm  f có 2 cực trị  y .y  0   CÑ CT  xCÑ  0, xCT  0 a. f (0)  0 (hay ad  0). Trang 26 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Khaûo saùt haøm soá y. a>0. a<0. (C). (C). f(0) yCÑ A. B x2 xA x1 xB. C xC o yCT. y. yCÑ A x1 B C xA xB x2 xC o yCT f(0). x. x. Bài 1. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:. a) 2 x 3  3(m  1) x 2  6mx  2  0. b) x 3  3 x 2  3(1  m) x  1  3m  0. c) 2 x 3  3mx 2  6(m  1) x  3m  12  0. d) x 3  6 x 2  3(m  4) x  4m  8  0. e) 2 x 3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  2  m  0 f) x 3  3mx  2m  0 Bài 2. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm: a) x 3  (m  1) x 2  (2m 2  3m  2) x  2m(2m  1)  0. b) x 3  3mx  2m  0. c) x 3  (2m  1) x 2  (3m  1) x  (m  1)  0 d) x 3  3 x 2  3(1  m) x  1  3m  0 Bài 3. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) x 3  3mx 2  3(m 2  1) x  (m 2  1)  0. b) x 3  6 x 2  3(m  4) x  4m  8  0. 1 3 x xm 0 3 Bài 4. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:. c) 2 x 3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  2  m  0. d). a) x 3  3mx 2  3(m 2  1) x  (m 2  1)  0. b) x 3  6 x 2  3(m  4) x  4m  8  0. 1 3 5 2 7 x  x  4x  m   0 d) x 3  mx 2  (2m  1) x  m  2  0 3 2 6 Bài 5. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt:. c). a) 2 x 3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  2  m  0. b) x 3  3mx 2  3(m 2  1) x  (m 2  1)  0. c) x 3  3 x 2  9 x  m  0. d) x 3  x 2  18mx  2m  0. Trang 27 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Khaûo saùt haøm soá. 3. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG. 1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0  x0 ; f ( x0 )  . Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0  x0 ; f ( x0 )  là:. y – y0 = f (x0).(x – x0) (y0 = f(x0)) 2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phöông trình sau coù nghieäm:  f ( x )  g( x ) (*)   f '( x )  g '( x ) Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 3. Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau  phöông trình ax 2  bx  c  px  q coù nghieäm keùp.. VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x). Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm M0  x0 ; y0  :.  Neáu cho x0 thì tìm y0 = f(x0).. Neáu cho y0 thì tìm x0 laø nghieäm cuûa phöông trình f(x) = y0.  Tính y = f (x). Suy ra y(x0) = f (x0).  Phöông trình tieáp tuyeán  laø: y – y0 = f (x0).(x – x0) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trước. Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.  Goïi M(x0; y0) laø tieáp ñieåm. Tính f (x0).   coù heä soá goùc k  f (x0) = k (1)  Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của . Caùch 2: Duøng ñieàu kieän tieáp xuùc.  Phương trình đường thẳng  có dạng: y = kx + m.   tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  f ( x )  kx  m (*)   f '( x )  k.  Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của . Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể được cho gián tiếp như sau: +  tạo với chiều dương trục hoành góc  thì k = tan +  song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a Trang 28 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Khaûo saùt haøm soá +  vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a  0) thì k = . 1 a. k a  tan  1  ka Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết  đi qua điểm A( x A ; y A ) .. +  tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc  thì. Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.  Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y0 = f (x0).  Phöông trình tieáp tuyeán  taïi M: y – y0 = f (x0).(x – x0)   ñi qua A( x A ; y A ) neân: yA – y0 = f (x0).(xA – x0). (2).  Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của .. Caùch 2: Duøng ñieàu kieän tieáp xuùc.  Phương trình đường thẳng  đi qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA).   tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  f ( x)  k( x  x A )  yA (*)   f '( x )  k  Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến . Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:. a) (C): y  3 x 3  x 2  7 x  1 taïi A(0; 1). b) (C): y  x 4  2 x 2  1 taïi B(1; 0). 3x  4 2 taïi C(1; –7) d) (C): y  x  1  taïi D(0; 3) 2x  3 2x 1 Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:. c) (C): y . x 2  3x  3 taïi ñieåm A coù xA = 4 x 2 3( x  2) b) (C): y  taïi ñieåm B coù yB = 4 x 1 x 1 c) (C): y  tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung. x 2. a) (C): y . d) (C): y  2 x  2 x 2  1 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung. e) (C): y  x 3  3 x  1 taïi ñieåm uoán cuûa (C). 1 4 9 x  2 x 2  tại các giao điểm của (C) với trục hoành. 4 4 Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra:. f) (C): y . a) (C): y  2 x 3  3 x 2  9 x  4 vaø d: y  7 x  4 . b) (C): y  2 x 3  3 x 2  9 x  4 vaø (P): y   x 2  8 x  3 . c) (C): y  2 x 3  3 x 2  9 x  4 vaø (C’): y  x 3  4 x 2  6 x  7 . Bài 4. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra: 5 x  11 a) (C): y  taïi ñieåm A coù xA = 2 . 2x  3 b) (C): y  x 2  7 x  26 taïi ñieåm B coù xB = 2. Trang 29 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Khaûo saùt haøm soá Bài 5. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một. tam giác có diện tích bằng S cho trước: 2x  m 1 a) (C): y  taïi ñieåm A coù xA = 2 vaø S = . x 1 2 x  3m 9 b) (C): y  taïi ñieåm B coù xB = –1 vaø S = . x2 2 c) (C): y  x 3  1  m( x  1) taïi ñieåm C coù xC = 0 vaø S = 8. Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  có hệ số góc k được chỉ ra: 2x 1 a) (C): y  2 x 3  3 x 2  5 ; k = 12 b) (C): y  ; k = –3 x 2 x 2  3x  4 ; k = –1 d) (C): y  x 2  4 x  3 ; k = 2 x 1 Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  song song với đường thẳng d cho trước:. c) (C): y . a) (C): y . x3  2 x 2  3 x  1 ; d: y = 3x + 2 3. b) (C): y . 2x 1 3 ; d: y   x  2 x 2 4. x2  2x  3 1 3 c) (C): y  ; d: 2 x  y  5  0 d) (C): y  x 4  3 x 2  ; d: y = 4x  6 2 2 –4x + 1 Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  vuông góc với đường thẳng d cho trước:. a) (C): y . x3 x  2 x 2  3 x  1 ; d: y    2 3 8. b) (C): y . 2x 1 ; d: y  x x 2. x2  3 x2  x  1 ; d: y = –3x d) (C): y  ; d: x – 2 x 1 x2 Bài 9. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với chiều dương trục Ox góc :. c) (C): y . x3 x3  2 x 2  x  4;   600  2 x 2  x  4;   750 b) (C): y  3 3 3x  2 ;   450 c) (C ) : y  x 1 Bài 10. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với đường thẳng d một góc :. a) (C): y . a) (C): y . x3  2 x 2  x  4; d : y  3 x  7;   450 3. x3 1  2 x 2  x  4; d : y   x  3;   300 3 2 4x  3 ; d : y  3 x;   450 c) (C ) : y  x 1 3x  7 ; d : y   x;   600 d) (C ) : y  2 x  5. b) (C): y . x2  x  3 ; d : y   x  1;   600 x 2 Bài 11. Tìm m để tiếp tuyến  của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường thẳng d cho trước:. e) (C ) : y . Trang 30 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Khaûo saùt haøm soá a) (C): y . x 2  (2m  1) x  2  m taïi ñieåm A coù xA = 0 vaø d laø tieäm caän xieân cuûa (C). x 1. 2 x 2  mx  1 ; taïi ñieåm B coù xB = 4 vaø d: x – 12y + 1 = 0 . x 3 Bài 12. Tìm m để tiếp tuyến  của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho trước:. b) (C): y . (3m  1) x  m 2  m (m  0) taïi ñieåm A coù yA = 0 vaø d: y  x  10 . xm Bài 13. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  đi qua điểm được chỉ ra:. a) (C): y . a) (C): y   x 3  3 x  2 ; A(2; –4). b) (C): y  x 3  3 x  1 ; B(1; –6). 2.  3 1 4 3 x  3 x 2  ; D  0;   2 2 2 3x  4 f) (C): y  ; F(2; 3) x 1. c) (C): y   2  x 2  ; C(0; 4) e) (C): y . d) (C): y . x2 ; E(–6; 5) x 2. x 2  3x  3 g) (C): y  ; G(1; 0) x 2. x2  x  2 h) y  ; H(2; 2) x 1. VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc 1. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phöông trình sau coù nghieäm:  f ( x )  g( x ) (*)   f '( x )  g '( x ) Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 2. Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau  phöông trình ax 2  bx  c  px  q coù nghieäm keùp. Bài 1. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:. a) (C1 ) : y  x 3  (3  m) x 2  mx  2; (C2 ) : trục hoành b) (C1 ) : y  x 3  2 x 2  (m  1) x  m; (C2 ) : trục hoành c) (C1 ) : y  x 3  m( x  1)  1; (C2 ) : y  x  1 d) (C1 ) : y  x 3  2 x 2  2 x  1; (C2 ) : y  x  m Bài 2. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:. a) (C1 ) : y  x 4  2 x 2  1; (C2 ) : y  2mx 2  m b) (C1 ) : y   x 4  x 2  1; (C2 ) : y   x 2  m 1 9 c) (C1 ) : y   x 4  2 x 2  ; (C2 ) : y   x 2  m 4 4. d) (C1 ) : y  ( x  1)2 ( x  1)2 ; (C2 ) : y  2 x 2  m e) (C1 ) : y . (2m  1) x  m 2 ; (C2 ) : y  x x 1. f) (C1 ) : y . x2  x  1 ; (C2 ) : y  x 2  m x 1. Trang 31 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Khaûo saùt haøm soá VẤN ĐỀ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị (C1): y = f(x) vaø C2): y = g(x) 1. Goïi : y = ax + b laø tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2). u là hoành độ tiếp điểm của  và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của  và (C2).   tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:  f (u)  au  b (1)  f '(u)  a (2)  g ( v )  av  b (3)  (4)  g '(v)  a  Từ (2) và (4)  f (u) = g (v)  u = h(v) (5)  Thế a từ (2) vào (1)  b = (u) (6)  Thế (2), (5), (6) vào (3)  v  a  u  b. Từ đó viết phương trình của . 2. Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 thì một tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) cũng là tiếp tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó. Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị:. a) (C1 ) : y  x 2  5 x  6; (C2 ) : y   x 2  5 x  11 b) (C1 ) : y  x 2  5 x  6; (C2 ) : y   x 2  x  14 c) (C1 ) : y  x 2  5 x  6; (C2 ) : y  x 3  3 x  10 VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước  Goïi M(x0; y0)  (C).  laø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M. Tính f (x0).  Vì  // d neân f (x0) = kd (1) 1 hoặc d neân f (x0) =  (2) kd.  Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x0. Từ đó tìm được M(x0; y0)  (C). Bài 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d cho. trước: a) (C): y . x 2  3x  6 1 ; d: y  x x 1 3. b) (C): y . x2  x  1 ; d laø tieäm caän xieân cuûa (C) x 1. x2  x  1 c) (C): y  ; d là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C). x 1 x2  x  1 ; d: y = x x Bài 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng d cho trước:. d) (C): y . a) (C): y  x 3  x 2  x  10 ; d: y  2 x. b) (C): y  Trang 32 Lop12.net. x2  x  1 ; d: y = –x x.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Khaûo saùt haøm soá VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM)  d.  Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM   tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:  f ( x )  k ( x  x M )  yM (1)  (2)  f '( x )  k.  Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM  Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3). (3). Bài 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):. a) (C ) : y   x 3  3 x 2  2. b) (C ) : y  x 3  3 x  1. Bài 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):. x2  x  2 b) (C ) : y  ; d là trục hoành x 1. x 1 a) (C ) : y  ; d laø truïc tung x 1. 2x2  x x 2  3x  3 ; d: y = 1 d) (C ) : y  ; d: x = 1 x 1 x2 x 3 e) (C ) : y  ; d: y = 2x + 1 x 1 Bài 3. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ít nhất một tiếp tuyến với (C):. c) (C ) : y . x2  6x  9 x 2  3x  3 ; d laø truïc tung b) (C ) : y  ; d laø truïc tung x  2 x 1 2x  1 3x  4 c) (C ) : y  ; d: x = 3 d) (C ) : y  ; d: y = 2 x 2 4x  3 Bài 4. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với (C):. a) (C ) : y . x2  x  2 a) (C ) : y  ; d là trục hoành x2. x2  x  1 b) (C ) : y  ; d laø truïc tung x 1. x 2  3x  3 ; d: y = –5 x2 Bài 5. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến với (C):. c) (C ) : y . a) (C ) : y   x 3  3 x 2  2 ; d: y = 2. b) (C ) : y  x 3  3 x ; d: x = 2. c) (C ) : y   x 3  3 x  2 ; d là trục hoành. d) (C ) : y  x 3  12 x  12 ; d: y = –4. e) (C ) : y  x 4  x 2  2 ; d laø truïc tung e) (C ) : y   x 4  2 x 2  1 ; d laø truïc tung Bài 6. Từ điểm A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C): 4 4 1 a) (C ) : y  x 3  9 x 2  17 x  2 ; A(–2; 5) b) (C ) : y  x 3  2 x 2  3 x  4; A  ;  3 9 3 c) (C ) : y  2 x 3  3 x 2  5; A(1; 4) Bài 7. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng d có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y  x 3  6 x 2  9 x  1 ; d: x = 2. b) (C ) : y  x 3  3 x ; d: x = 2. Trang 33 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Khaûo saùt haøm soá VẤN ĐỀ 6: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau Goïi M(xM; yM).  Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM   tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:  f ( x )  k ( x  x M )  yM (1)  (2)  f '( x )  k.  Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3)  Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.  Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  f (x1).f (x2) = –1. Từ đó tìm được M. Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục (3) coù 2 nghieäm phaân bieät hoành thì   f ( x1 ). f ( x2 )  0 Bài 1. Chứng minh rằng từ điểm A luôn kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với. nhau. Viết phương trình các tiếp tuyến đó:  1 a) (C ) : y  2 x 2  3 x  1; A  0;    4. x2  x  1 ; A(1; 1) b) (C ) : y  x 1. x2  2x  2 ; A(1; 0) c) (C ) : y  d) x 1 Bài 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau:. a) (C ) : y  x 3  3 x 2  2 ; d: y = –2. b) (C ) : y  x 3  3 x 2 ; d là trục hoành. 2x2  x  1 c) (C ) : y  ; d laø truïc tung x 1. x2  2x  1 d) (C ) : y  ; d laø truïc tung x 1. x 2  3x  2 ; d: x = 1 x Bài 3. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau:. e) (C ) : y . a) (C ) : y .  x2  x  m ; d: y = –1 2x  m. b) (C ) : y . x 2  mx  8 ; d là trục hoành xm. x 2  2mx  m c) (C ) : y  ; d là trục hoành xm Bài 4. Tìm m để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành; x2 ; A(0; m) a) (C ) : y  b) x 1. VẤN ĐỀ 7: Các bài toán khác về tiếp tuyến Baøi 1. Cho hypebol (H) vaø ñieåm M baát kì thuoäc (H). Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai tieäm caän.. Tieáp tuyeán taïi M caét 2 tieäm caän taïi A vaø B. Trang 34 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Khaûo saùt haøm soá 1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB. 2) Chứng minh diện tích của IAB là một hằng số. 3) Tìm điểm M để chu vi IAB là nhỏ nhất. 2x 1 x 1 4x  5 a) ( H ) : y  b) ( H ) : y  c) ( H ) : y  x 1 x 1 2 x  3 Baøi 2. Cho hypebol (H) vaø ñieåm M baát kì thuoäc (H). Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai tieäm caän. Tieáp tuyeán taïi M caét 2 tieäm caän taïi A vaø B. 1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB. 2) Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là không đổi. 2) Chứng minh diện tích của IAB là một hằng số. 3) Tìm điểm M để chu vi IAB là nhỏ nhất. x 2  3x  4 x 2  3x  3 x2  2x  2 b) ( H ) : y  c) ( H ) : y  2x  2 x 1 x 1 Bài 3. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc hypebol (H) cắt hai đường tiệm cận taïo thaønh moät tam giaùc coù dieän tích baèng S: 2mx  3 ; S 8 a) ( H ) : y  xm Bài 4. Tìm điểm M thuộc hypebol (H) tại đó tiếp tuyến cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B sao cho OAB vuoâng caân:. a) ( H ) : y . x2  x  1 a) ( H ) : y  x 1. 2 x 2  5x b) ( H ) : y  x2. x 2  3x  3 c) ( H ) : y  x2. 2x2  x  1 . Chứng minh rằng trên đường thẳng d: y = 7 có 4 điểm sao x 1 cho từ mỗi điểm có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 450. Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích S cho trước: Baøi 5. Cho (C): y . 1 a) (C ) : y  x  ; S  4 x. b) (C ) : y . x3  1 1 ;S x 2. Trang 35 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Khaûo saùt haøm soá. 4. HỌ ĐỒ THỊ Cho họ đường (Cm): y = f(x, m) (m là tham số). M(x0; y0)  (Cm)  y0 = f(x0, m) (1) Xem (1) laø phöông trình theo aån m. Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M.  Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M. Khi đó, M được gọi là điểm cố định của họ (Cm).  Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (Cm) đi qua M.  Nếu (1) vô nghiệm thì không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M. VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) Caùch 1:  Goïi M(x0; y0) laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) cuûa hoï (Cm). M(x0; y0)  (Cm), m  y0 = f(x0, m), m  Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:.  Daïng 2: (1)  Am 2  Bm  C  0 , m.  Daïng 1: (1)  Am + B = 0, m   A  0 B  0. (1). A  0   B  0 C  0. (2a). (2b).  Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm cố định.. Chuù yù: Caùc heä (2a), (2b) laø caùc heä phöông trình coù 2 aån x0, y0. Caùch 2:  Goïi M(x0; y0) laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) cuûa hoï (Cm). M(x0; y0)  (Cm), m  y0 = f(x0, m), m (1)  Đặt F(m) = f(x0, m) thì F(m) = y0 không đổi.  F (m) = 0 (3)  Giải (3) tìm được x0. Thay x0 vào (1) tìm được y0. Từ đósuy ra được các điểm cố định. Bài 1. Tìm các điểm cố định của họ đồ thị (Cm) có phương trình sau:. a) y  (m  1) x  2m  1. b) y  mx 2  2(m  2) x  3m  1. c) y  (m  1) x 3  2mx 2  (m  2) x  2m  1. d) y  (1  2m) x 2  (3m  1) x  5m  2. e) y  x 3  mx 2  9 x  9m. f) y  (m  2) x 3  mx  2. g) y  2mx 4  x 2  4m  1. h) y  x 4  mx 2  m  5 Trang 36 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Khaûo saùt haøm soá x  3m  1 (m  2) x  4m. i) y . (m  1) x  2 (m  1, m  2) xm. k) y . l) y . x 2  5mx  7 mx  2. m) y . n) y .  2  m    3 . x 2  (m  1) x  m. 2 x 2  (m  2) x  m (m  0) 2x  m. 2 x 2  6 x  4m. o) y . 2 x 2  (5m  2) x  6 x 2  2mx  2m  1 Bài 2. Chứng minh rằng họ đồ thị (Cm) có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó:. a) y  (m  3) x 3  3(m  3) x 2  (6m  1) x  m  1 b) y  (m  2) x 3  3(m  2) x 2  4 x  2m  1 c) y  (m  4) x 3  (6m  24) x 2  12mx  7m  18 d) y  (m  1) x 3  (2m  1) x  m  1 VẤN ĐỀ 2: Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua  Gọi M(x0; y0) là điểm mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua. M(x0; y0)  (Cm), m  y0 = f(x0, m) voâ nghieäm m (1)  Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:   Daïng 1: (1)  Am + B = 0 voâ nghieäm m   A  0 (2a) B  0  A  B  0  C  0 2  Daïng 2: (1)  Am  Bm  C  0 voâ nghieäm m    (2b)  A  0   B 2  4 AC  0 . Chú ý:  Kết quả là một tập hợp điểm.  Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị khoâng ñi qua. Bài 1. Tìm các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua:. m 1. m2. a) y  (m  2) x  m 2  2m. b) y . c) y  mx 2  2(1  m) x  1  m (m  0). d) y  x 2  m3 x  m 2  2. e) y  2 x 3  3mx 2  m3  5m 2  4. f) y  mx 3  m 2 x 2  4mx  4m 2  6. g) y . (m  2) x  m 2  2m  4 xm. h) y . x 2  mx  8  m i) y  x 1. l) y . m2  m  1. x. m2  m  1. (3m  1) x  m 2  m xm. x 2  2mx  m  2 k) y  xm. x 2  mx  2m  4. m) y . x 2  (3m  1) x  10. x2  2x  5 x 2  3x  2 Bài 2. Tìm các điểm thuộc (L) mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua: a) (Cm): y  mx 3  m 2 x 2  4mx  4m 2  6 ; (L) là trục hoành. b) (Cm): y  2 x 3  3(m  3) x 2  18mx  6 ; (L): y  x 2  14 . Trang 37 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Khaûo saùt haøm soá c) (Cm): y . x 2  mx  m 2  m  1. ; (L) laø truïc tung. mx  m 2  m  1 (m  1) x 2  m 2 x  1 d) (Cm): y  ; (L): x = 2. xm e) (Cm): y . m2 x 2  1 ; (L): y = 1. x. VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua  Ta coù: M(x0; y0)  (Cm)  y0 = f(x0, m) (1)  Biến đổi (1) về một trong các dạng sau: Am + B = 0 (2a) hoặc Am 2  Bm  C  0  Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (Cm) đi qua M.. (2b). Bài 1. Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua:.  x 2  mx  m 2 b) (Cm): y  ; k = 2. xm. 2mx  m 2  2m a) (Cm): y  ; k = 1. 2( x  m). c) (Cm): xy  2my  2mx  m 2 x  4m  0 ; k = 1. Bài 2. Tìm các điểm thuộc (L) sao cho có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua: a) (Cm): y  x 3  (m 2  1) x 2  4m ; (L): x = 2; k = 1. b) (Cm): y  x 3  (m 2  1) x 2  4m ; (L): x = 2; k = 2. c) (Cm): y  x 3  (m 2  1) x 2  4m ; (L): x = 2; k = 3. Bài 3. Chứng minh rằng các điểm thuộc (L) có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua: a) (Cm): y . mx 2  (m 2  m  1) x  m 2  m  2 ; (L): x > 1; k = 2. xm. (m  1) x 2  m 2 b) (Cm): y  ; (L): x > 0; k = 2. xm. c) (Cm): y  x 4  2mx 2  m 2  1 ; (L): y = 1; k = 1. d) (Cm): y  x 3  (m  1) x 2  (2m3  3m  2) x  2m(2m  1) ; (L): x = 1, y > –2; k = 2.. Trang 38 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Khaûo saùt haøm soá. 5. TẬP HỢP ĐIỂM Bài toán: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất .  Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phương trình của tập hợp điểm đó. Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M. 1) Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M. 2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m. Có các trường hợp xảy ra:  x  f (m ) Trường hợp 1: M   y  g(m) Khử tham số m giữa x và y, ta có một hệ thức giữa x, y độc lập với m có dạng: F(x, y) = 0 (goïi laø phöông trình quó tích)  x  a (haèng soá ) Trường hợp 2: M   y  g(m) Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng x = a.  x  f (m ) Trường hợp 3: M   y  b (haèng soá ) Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng y = b. 3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) của m (ở bước 1), ta tìm được điều kiện của x hoặc y để tồn tại điểm M(x; y). Đó là giới hạn của quĩ tích. 4) Kết luận: Tập hợp các điểm M có phương trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a, hoặc y = b) với điều kiện của x hoặc y (ở bước 3). Dạng 2: Trong trường hợp ta không thể tính được toạ độ của điểm M theo tham số m mà chỉ thiết lập được một hệ thức chứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử tham số m trong hệ thức để tìm được hệ thức dạng F(x, y) = 0. Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trình F(x, y) = 0 mà không cần tìm giới hạn của quĩ tích. Bài 1. Tìm tập hợp các điểm đặc biệt của họ đồ thị đã cho.. a) (Pm): y  2 x 2  (m  2) x  2m  4 . Tìm tập hợp các đỉnh của (Pm). b) (Cm): y  x 3  3mx 2  2 x  3m  1 . Tìm tập hợp các điểm uốn của (Cm). c) (Cm): y  2 x 3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1 . Tìm tập hợp các điểm cực đại của (Cm). Trang 39 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Khaûo saùt haøm soá d) (Hm): y . (m  1) x  1 . Tìm tập hợp các tâm đối xứng của (Hm). mx  1. 2 x 2  3mx  5m e) (Hm): y  . Tìm tập hợp các điểm cực đại của (Hm). x 2 Bài 2. Cho (C) và (C). Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng. 1) Tìm m để (C) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. 2) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng AB.. a) (C): y  x 3  3 x 2  mx  1 vaø (C’): y  x 3  2 x 2  7 . b) (C): y  x 2  mx  3 vaø (C): y  mx  2 . c) (C): y . x 1 vaø (C): 2 x  y  m  0 x 1. d) (C): y . ( x  2)2 và (C) là đường thẳng đi qua A(0; 3) và có hệ số góc m. 1 x. x2  4x  3 e) (C): y  vaø (C): y  mx  1 . x2 Bài 3. Cho (C) và (C).Tìm tập hợp các điểm. 1) Tìm m để (C) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C (trong đó xC không đổi). 2) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng AB.. a) (C): y  x 3  3 x 2 vaø (C): y  mx . b) (C): y  x 3  2(m  1) x 2  (m 2  1) x  m 2 vaø (C): y  3mx  m . c) (C): y  x 3  6 x 2  9 x vaø (C): y  mx . d) (C): y  ( x  2)( x  1)2 và (C) là đường thẳng đi qua C(–2; 0) và có hệ số góc m. Bài 4. Cho (C). Tìm tập hợp các điểm từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến của (C) vuông góc với nhau. a) (C): y  x . 1 x. b) (C): y . x2  x  1 x 1. Baøi 5.. x 2 . Tìm tập hợp các điểm trên trục tung mà từ đó có thể kẻ được x 1 tiếp tuyến với (C).. a) Cho (C): y . b) Cho (C): y   x 3  3 x 2  2 . Tìm tập hợp các điểm trên đường thẳng y = 2 mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).. Trang 40 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>