Đề thi học sinh giỏi môn Toán 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đề thi học sinh giỏi toán 8. HuyÖn quÕ vâ – bninh Bài 1 (4đ): 1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 3x2 + 6x + 4. 2/ a,b,c là 3 cạch của tam giác. Chứng minh rằng: 4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2 Bài 2 (3đ): Chứng minh rằng nếu x + y = 1 và xy ≠ 0 thì :. x 2( x  y ) y − 3 = 2 2 y 1 x y 3 x 1 3. Bài 3 (5đ): Giải phương trình: x 2  24 x 2  22 x 2  20 x 2  18 1, + = + 2001 2003 2005 2007. 2, (2x − 1)3 + (x + 2)3 = (3x + 1)3 Bài 4 (6đ): Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài ∆ đó ∆ABD vuông cân tại B và ∆ACE vuông cân tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE. Chứng minh rằng: 1, AH = AK 2, AH2 = BH.CK Bài 5 (2đ): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6). đề thi học sinh giỏi Bµi 1: 1) Rót gän biÓu thøc: A =.  x2  6x  5 5 x n  x n 1. víi /x/ = 1. 2) Cho x, y tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy – 4y + 4 = 0 TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: B =. x 2  7 xy  52 x y. ( x  y). Bµi 2: 1) Giải phương trình:(x – 2).(x + 2).(x2 – 10) = 72 2) Tìm x để biểu thức:A = ( x – 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó ? Bµi 3: 1) Tìm số tự nhiên x sao cho: x2 + 21 là số chính phương ? 2) Chứng minh rằng: Nếu m, n là hai số chính phương lẻ liên tiếp thì:(m – 1).(n – 1)  192 Bµi 4:Cho ®o¹n th¼ng AB. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy 1 ®iÓm C sao cho AC > BC. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB vÏ hai h×nh vu«ng ACNM, BCEF. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BN. 1) Chøng minh: M; H; F th¼ng hµng. 2) Chøng minh: AM lµ tia ph©n gi¸c cña  AHN. 3) VÏ AI  HM; AI c¾t MN t¹i G. Chøng minh: GE = MG + CF Bµi 5: 1) Gải phương trình:(x2 + 10x + 8)2 = (8x + 4).(x2 + 8x + 7) 2) Cho a, b, c  R+ vµ a + b + c = 1.Chøng minh r»ng:. 1 1 1    9 a b c. §Ò sè 1 1 3. Bµi 1: (3 ®iÓm)Cho biÓu thøc A   . 3   x2 1     :  2 2 x  3  x  3 x   27  3 x. a) Rút gọn A; b) Tìm x để A < -1. c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bài 2: (2 điểm)Giải phương trình: a). 1 6y 2  2  3 y  10 y  3 9 y  1 1  3 y 2. Lop8.net. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8  6 x 1 x 3 x 1  .  3 2  2 4  3 b) x  2 2. Bµi 3: (2 ®iÓm) Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy. Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD tõ ®iÓm P thuéc ®­êng chÐo AC ta dùng h×nh ch÷ nhËt AMPN ( M  AB vµ N AD). Chøng minh: a) BD // MN. b) BD vµ MN c¾t nhau t¹i K n»m trªn AC. Bµi 5: (1 ®iÓm)Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4). Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương. §Ò sè 2 C©u I: (2®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x 2  4 x  5 b) ab(a  b)  ac(a  c)  bc(2a  b  c) 2) Giải phương trình. 1 1 1 1 4  2  2  2  x  x x  3 x  2 x  5 x  6 x  7 x  12 5 2. C©u II: (2 ®iÓm) 1) Xác định a, b để da thức f ( x)  x 3  2 x 2  ax  b chia hết cho đa thức g ( x)  x 2  x  1 . 2) T×m d­ trong phÐp chia ®a thøc P( x)  x161  x 37  x13  x 5  x  2006 cho ®a thøc Q( x)  x 2  1.. C©u III: (2 ®iÓm) 1) Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 vµ a + b + c = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a2 b2 c2   a2  b2  c2 b2  c2  a2 c2  a2  b2 2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n a  b , b  c, c  a . P. CMR:. a 2  bc b 2  ac c 2  ab   0 (a  b)(a  c) (b  a )(b  c) (c  a )(c  b). C©u IV: (3®iÓm) 1) Cho ®o¹n th¼ng AB, M lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ B. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB. Gäi K lµ giao ®iÓm cña CP vµ NB. CMR: a) KC = KP b) A, D, K th¼ng hµng. c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi. 2) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AA”, BB’, CC’ đồng quy tại H. CMR: C©u V: (1 ®iÓm): biÓu thøc:. Q. HA' HB' HC '   AA' BB' CC '. b»ng mét h»ng sè.. Cho hai số a, b không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của a  ab  b 2 a 2  ab  b 2 2. §Ò sè 3 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a (b  c) 2 (b  c)  b(c  a ) 2 (c  a )  c(a  b) 2 (a  b) 1 1 1 b) Cho a, b, c kh¸c nhau, kh¸c 0 vµ    0 a b c. 2. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 Rót gän biÓu thøc: N . 1 1 1  2  2 a  2bc b  2ca c  2ab 2. Bµi 2: (2®iÓm) a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M  x 2  y 2  xy  x  y  1 b) Giải phương trình: ( y  4,5) 4  ( y  5,5) 4  1  0 Bµi 3: (2®iÓm) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB. Bµi 4: (3®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD. M lµ mét ®iÓm trªn ®­êng chÐo BD. KÎ ME vµ MF vu«ng gãc víi AB vµ AD. a) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng DE vµ CF b»ng nhau vµ vu«ng gãc víi nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất. Bµi 5: (1®iÓm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 2  5 y 2  345 §Ò sè 4 Bµi 1: (2,5®iÓm)Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x5 + x +1 ;b) x4 + 4;c) x x - 3x + 4 x -2 víi x  0 a b 2c   ab  a  2 bc  b  1 ac  2c  2 ab Bµi 3: (2®iÓm)Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a  b  0.TÝnh: P  2 2 4a  b. Bµi 2 : (1,5®iÓm)Cho abc = 2. Rót gän biÓu thøc: A . Bµi 4 : (3®iÓm) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trªn BC lÊy M bÊt k× sao cho BM  CM. Tõ N vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t AB t¹i E vµ song song víi AB c¾t AC t¹i F. Gäi N lµ điểm đối xứng của M qua E F. a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF. BiÕt : AB =7cm b) Chøng minh : AFEN lµ h×nh thang c©n c) TÝnh : ANB + ACB = ? d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của  ABC để cho AEMF là hình vuông. Bµi 5: (1®iÓm)Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n th× : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23. §Ò sè 5 Bµi 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc: M . 1 1 1 1  2  2  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 2. 1) Rót gän M. 2) Tìm giá trị x để M > 0. Bài 2: (2điểm) Người ta đặt một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước chảy ra ở lưng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước. Còn nếu đóng vòi chảy ra mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rưỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra. 1) Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra. 2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiªu. Bµi 3: (1®iÓm) T×m x, y nguyªn sao cho: x 2  2 xy  x  y 2  4 y  0. 3. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD cố định, có độ dài cạnh là a. E là điểm di chuyển trên ®o¹n CD (E kh¸c D). §­êng th¼ng AE c¾t BC t¹i F, ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¸t CD t¹i K. 1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK. 2) Gäi I lµ trung ®iÓm KF, J lµ trung ®iÓm cña AF. Chøng minh r»ng: JA = JB = JF = JI. 3) Đặt DE = x (a  x > 0) tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x. 4) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất. Bµi 5: (1®iÓm)Cho x, y, z kh¸c 0 tho¶ m·n:. x2 y2 z2 1 1 1      0 . TÝnh N  yz zx xy xy yz zx. §Ò sè 6 C©u I: (5 ®iÓm) Rót gän c¸c ph©n thøc sau: 1). x 1  x  x. 3x 2  4 x  1 (a  1) 4  11(a  1) 2  30 2) 3(a  1) 4  18(a 2  2a )  3. C©u II: (4 ®iÓm) 1) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d­ 2 vµ b chia cho 13 d­ 3 th× a 2  b 2 chia hÕt cho 13. 2) Cho a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n abc = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a b c   1  a  ac 1  b  bc 1  c  ac x 2  2x  1 x 2  2x  2 7   3) Giải phương trình: 2 x  2x  2 x 2  2x  3 6 A. C©u III: (4 ®iÓm)§Ó thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp ®oµn TNCS Hå ChÝ Minh (26/3). Hai tổ công nhân lắp máy được giao làm một khối lượng công việc. Nếu hai tổ lµm chung th× hoµn thµnh trong 15 giê. NÕu tæ I lµm trong 5 giê, tæ 2 lµm trong 3 giê th× lµm ®­îc 30% c«ng viÖc. NÕu c«ng viÖc trªn ®­îc giao riªng cho tõng tæ th× mçi tæ cÇn bao nhiªu thời gian để hoàn thành. Câu IV: (3 điểm)Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD. 1) Tø gi¸c DFBE lµ h×nh g× ? v× sao ? 2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA. 3) Chøng minh AC 2  AB. AH  AD. AK 2002 2003  x  2003 1 Câu V: (2 điểm)Giải phương trình: x  2002 §Ò sè 7 C©u I: (2®iÓm) 1. Thực hiện phép chia A  2 x 4  x 3  x 2  x  2 cho B  x 2  1 . Tìm x  Z để A chia hết cho B. 2. Phân tích đa thức thương trong câu 1 thành nhân tử. C©u II: (2®iÓm) 1. So s¸nh A vµ B biÕt: A  5 32  1 vµ B  6(5 2  1)(5 4  1)(58  1)(516  1) 2. Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hÕt cho 44. C©u III: (2®iÓm) 1. Cho mét tam gi¸c cã ba c¹nh lµ a, b, c tho¶ m·n: (a  b  c) 2  3(ab  bc  ca) . Hái tam giác đã cho là tam giác gì ? 2. Cho ®a thøc f(x) = x100  x 99  ...  x 2  x  1 . T×m d­ cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho ®a thøc x 2  1 .. 4. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 Câu IV: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiÕu cña H lªn AB vµ AC. Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE. 1. Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? T¹i sao ? 2. Chøng minh AB. CF = AC. AE 3. So s¸nh diÖn tÝch tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch tam gi¸c BMC. Câu V : (1 điểm)Chứng minh nghiệm của phương trình sau là một số nguyên: x  2 x  3 x  4 x  2005 x  2004 x  2003      2005 2004 2003 2 3 4. §Ò sè 8 C©u 1: (2®iÓm) a) Cho x 2  2 xy  2 y 2  2 x  6 y  13  0 .TÝnh N . 3x 2 y  1 4 xy. b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dương. A  a 3  b 3  c 3  3abc. C©u 2: (2 ®iÓm)Chøng minh r»ng nÕu a + b + c = 0 th×: a b   a  b b  c c  a  c A      9 a b  a  b b  c c  a   c. C©u 3: (2 ®iÓm) Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E. Tõ A kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc v¬i AE c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i F. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF. AI c¾t CD t¹i M. Qua E dùng ®­êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N. a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi. b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC. Câu 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 6  3x 2  1  y 4 §Ò sè 9 Bµi 1: (2 ®iÓm) 6. 1  6 1   x   x  6 2 x  x  Cho M   3 1 1  3 x    x  3 x x . a) Rót gän M. b) Cho x > 0, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M. Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt : (2 x  5) 3  ( x  2) 3  ( x  3) 3 b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 và n - 65 là hai số chính phương. Bµi 3: (2 ®iÓm) a) Cho x vµ y tho¶ m·n: 4 x 2  17 xy  9 y 2  5 xy  4 y  2 .TÝnh H  x 3  y 3  xy b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a  b  c  abc Chøng minh: a(b 2  1)(c 2  1)  b(a 2  1)(c 2  1)  c(a 2  1)(b 2  1)  4abc Bài 4: (4 điểm)Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I là giao điểm của AC và BD. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. a) Chøng minh IM = IN.. 5. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 b) Chøng minh:. 1 1 2   AB CD MN. c) Gäi K lµ trung ®iÓm cña DC, vÏ ®­êng th¼ng qua M song song víi AK c¾t DC, AC lần lượt tại H và E. Chứng minh HM + HE = 2AK. d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2). TÝnh S(ABCD) theo a vµ b. C©u 1: (2 ®iÓm). §Ò sè 10 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:. 2 a) x  x  12 ; b). x 8  x  1 ; c) ( x 2  3x  2)( x 2  11x  30)  5. C©u 2: (2 ®iÓm) 32 1) So s¸nh A vµ B biÕt: A  5 vµ B  24(5 2  1)(5 4  1)(58  1)(516  1) 2) Cho 3a 2  2b 2  7 ab vµ 3a  b  0 . 2005a  2006b TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P  2006a  2007b C©u 3: (2 ®iÓm). 1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A  2 x 2  9 y 2  6 xy  6 x  12 y  1974 2) Giải phương trình: y  4  2 y  2 2. x. x 1. 20. 8 8 8 8 2 2 2 2 3) Chøng minh r»ng: a  b  c  d  4a b c d. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi E lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC (E kh¸c B vµ C). Qua A kÎ Ax vu«ng gãc víi AE, Ax c¾t CD t¹i F. Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K. §­êng th¼ng kÎ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G. a) Chøng minh tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi. b) Chøng minh AF2 = FK. FC. c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho ®a thøc f(x) cã c¸c hÖ sè nguyªn. BiÕt r»ng f(1) vµ f(2) lµ c¸c sè lÎ. Chøng minh r»ng ®a thøc f(x) kh«ng cã nghiÖm nguyªn. §Ò sè 11 C©u 1: (2 ®iÓm)  4 1  4 1   4 1  1   3  ...19   4  4  4 a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A    4 1  4 1   4 1   2   4  ... 20   4  4  4 . b) Chøng minh r»ng: TÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp céng víi 1 lµ mét sè chÝnh phương. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho xyz = 2006.Chøng minh r»ng:. 2006 x y z   1 xy  2006 x  2006 yz  y  2006 xz  z  1. b) Tìm n nguyên dương để A = n3 + 31 chia hết cho n + 3. c) Cho a  2b  3c  14 . Chøng minh r»ng: a 2  b 2  c 2  14 .  3x 2  3 x 1 1  x 1  . 2 C©u 3: (2 ®iÓm)Cho ph©n thøc: B   3  2   x  1 x  x  1 x  1  2 x  5x  5. a) Rót gän B. b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho M lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn ®o¹n th¼ng AB. Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ AB vÏ c¸c h×nh vu«ng AMCD vµ BMEF.. 6. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 a) Chøng minh: AE  BC. b) Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC, chøng minh r»ng: D, H, F th¼ng hµng. c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trªn ®o¹n th¼ng AB. C©u 5: (1 ®iÓm) 1 1 1 1 1  3  3  3 ...  3  2 3 2 3 4 5 n b) Giải phương trình: ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4). a) Chøng minh r»ng víi n  N vµ n > 3 th×: C  1  §Ò sè 12. C©u 1: (2 ®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x 2  7 x  6 ;b) ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24 ;c) x 4  4 2) Rót gän: A . 1 1 1 1  2  2  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 2. C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x-2 th× d­ 2, f(x) chia cho x-3 th× d­ 7, f(x) chia cho x2 - 5x + 6 thì được thương là 1-x2 và còn dư. 2) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau là số nguyên. A. 2x3  x 2  2x  5 2x  1. Câu 3: (2 điểm)Giải phương trình:. x 1 x  3 x  5 x  2 x  4 x  6      99 97 95 98 96 94 2 2 2 b) ( x  x  1)  ( x  x  1)  12  0. a). Câu 4: (3 điểm)Một đường thẳng d đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC lần lượt tại E, K, G. Chứng minh rằng: 1) AE 2  EK . EG 2). 1 1 1   AE AK AG. 3) Khi ®­êng th¼ng d xoay quanh ®iÓm A. Chøng minh: BK. DG = const. C©u 5: (1 ®iÓm) 16 x 2  4 x  1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt nÕu cã cña biÓu thøc sau: B  2x. (víi x > 0). §Ò sè 13 C©u 1: (6 ®iÓm)Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö; 2 2 a) 2 x  2 y  x 2  2 xy  y 2 ;b) 2 xy  2 x  y 2  y ;c) x  2 xy  y  3x  3 y  10 C©u 2C© C©UU 22 (4 ®iÓm)Cho a  b  c  0 vµ abc  0 . Chøng minh r»ng:. C© C©UU 33C©u 3 (4 ®iÓm)Cho biÓu thøc Q . x4  x 2 x 2  3x  1  1  x 1 x2  x 1. ( x  1 ). a) Rót gän biÓu thøc Q. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Q. C©u 4: (6 ®iÓm) Vẽ ra phía ngoài tam giác nhọn ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và CE. H là hình chiếu của N trên AC, từ H kẻ đường th¼ng song song víi AB c¾t BC t¹i I. a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác HIN.. 7. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 b) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c MNI. c) Gi¶ sö gãc BAC = 900 , AB = a, AC = b. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c MIN theo a, b.. §Ò sè 14 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch thµnh thõa sè: (a  b  c) 3  a 3  b 3  c 3 2 x 3  7 x 2  12 x  45 3 x 3  19 x 2  33 x  9 C©u 2: (2®iÓm)Chøng minh r»ng: A  n 3 (n 2  7) 2  36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè t/ nhiªn n.. b) Rót gän:. C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mình thì máy bơm A hút hết nước trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B. Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước. b) Giải phương trình: 2 x  a  x  2a  3a (a là hằng số). C©u 4: (3 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C (CA > CB), mét ®iÓm I trªn c¹nh AB. Trªn nöa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N. a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN. b) So s¸nh hai tam gi¸c ABC vµ INC. c) Chøng minh: gãc MIN = 900. d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC. C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng sè: 22499 .......... .......... ... 09 là số chính phương. ( n  2 ).   9100    n-2 sè 9. n sè 0. §Ò sè 15 C©u 1: (2 ®iÓm)Cho P . a  4a  a  4 a 3  7 a 2  14a  8 3. 2. a) Rót gän P. b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương cña chóng chia hÕt cho 3. b) Tìm các giá trị của x để biểu thức: P  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. C©u 3: (2 ®iÓm) a) Giải phương trình:. 1 1 1 1  2  2  x  9 x  20 x  11x  30 x  13 x  42 18 2. b) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng; A. a b c   3 bca acb abc. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy 0 bằng 60 quay quanh điểm M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D vµ E. Chøng minh: a) BD.CE . BC 2 4. b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.. 8. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 Câu 5: (1 điểm)Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi.. 9. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 §Ò sè 16 Bµi 1: (2 ®iÓm) a, Giải phương trình. ( x 2  6 x  9) 3  (1  x 2 ) 3  (6 x  10) 3  0 b) Cho x, y tho¶ m·n: x 2  2 y 2  2 xy  6 x  2 y  13  0 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: H . x 2  7 xy  52 x y. x2  3y y 2  3x 1  Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho víi x, y  0 ; x, y  ; x  y . x(1  3 y ) y (1  3 x) 3 1 1 8 Chøng minh r»ng:   x  y  . x y 3 4x  3 Bài 3: Tìm x nguyên để biểu thức y có giá trị nguyên.Với y  2 x 1. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho ∆ABC c©n t¹i A (AB = AC > BC). Trªn c¹nh BC lÊy M sao cho MB < MC. Tõ M kÎ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t AB ë E, kÎ ®­êng th¼ng song song víi AB cắt AC ở F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng EF. a) Cho AB =1002,5 cm. TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF. b) Chøng minh tø gi¸c ANEF lµ h×nh thang c©n. c) AN c¾t BC t¹i H. Chøng minh HB. HC = HN. HA Bµi 5: (1 ®iÓm)Cho ®a thøc f ( x)  x 3  ax 2  bx  c T×m a, b, c biÕt f (1)  5 ; f (2)  7 ; f (3)  9 §Ò sè 17 Bµi 1: (2 ®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x 8  x 7  1 ;b) (4 x  1)(12 x  1)(3x  2)( x  1)  4 2) Cho a  b  c  0 vµ a 2  b 2  c 2  1 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M  a 4  b 4  c 4 Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: M . x2 y2 x2 y2   ( x  y )(1  y ) ( x  y )(1  x) (1  x)(1  y ). a) Rót gän M. b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7. Bài 3: (2điểm)Người ta đặt một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước chảy ra ở lưng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước. Còn nếu đóng vòi chảy ra mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rưỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra. 1) Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra. 2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiªu. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi E lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC (E kh¸c B vµ C). Qua A kÎ Ax vu«ng gãc víi AE, Ax c¾t CD t¹i F. Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K. §­êng th¼ng kÎ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G. a) Chøng minh AE = AF vµ tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi. b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF và AF2 = FK. FC c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi. Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho a lµ mét sè gåm 2n ch÷ sè 1, b lµ mét sè gåm n + 1 ch÷ sè 1, c lµ mét sè gồm n chữ số 6 (n là số tự nhiên, n  1 ).Chứng minh rằng: a  b  c  8 là số chính phương.. 10. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 §Ò sè 18 C©u 1: (2 ®iÓm) Giải các phương trình sau: a) x 4  4 x 2  5 ;b) x  1  2 x  3  5 C©u 2: (2 ®iÓm)Cho biÓu thøc: A . x4  x x2  x. a) Rót gän biÓu thøc A. b) Tìm x để A > 1. C©u 3: (2 ®iÓm) Hai anh em Trung và Thành cùng cuốc một mảnh vườn, và sẽ hoàn thµnh trong 5 giê 50 phót. Nh­ng sau 5 giê lµm chung Trung bËn viÖc kh¸c nªn kh«ng lµm nữa, một mình anh thành phải làm tiếp trong 2 giờ nữa mới cuốc xong mảnh vườn. Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi anh ph¶i lµm trong bao l©u?. Câu 4: (3 điểm)Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD. Qua A vẽ đường thẳng AK song song víi BC. Qua B vÏ ®­êng th¼ng BI song song víi AD c¾t AC ë F, AK c¾t BD ë E. Chøng minh r»ng: a) EF song song víi AB. b) AB2 = CD. EF C©u 5: (1 ®iÓm)Chøng minh r»ng biÓu thøc: 10 n  18n  1 chia hÕt cho 27 víi n lµ sè tù nhiªn. §Ò sè 19 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x 4  3x 2  4 x  12 b) TÝnh: A . 1 1 1 1    ...  1.3 3.5 5.7 2003.2005. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho a, b, c lµ hai sè kh¸c nhau vµ kh¸c 0 tho¶ m·n: 3a 2  b 2  4ab . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A . ab ab. b) Giải phương trình: x  2   1  3 C©u 3: (2 ®iÓm)Cho A  n 3  3n 2  2n (n  N) a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 3. b) Tìm n với n < 10 để A chia hết cho 15. Câu 4: (3 điểm)Cho ABC vuông tại A và điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB, AC. a) Chøng minh E, A, F th¼ng hµng. b) Chøng minh BEFC lµ h×nh thang. c) Tìm vị trí của H trên BC để BEFC là hình thang vuông, hình bình hành. C©u 5: (1 ®iÓm). Cho. a 3  3ab 2  14 .  3 b  3a 2 b  13. TÝnh gi¸ trÞ cña : P  a 2  b 2. §Ò sè 20 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Cho x > 0, y > 0 tho¶ m·n: x 2  2 xy  3 y 2 .TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  b) Víi x  1 . Rót gän biÓu thøc: B .  x 2  6x  5 5 x n  x n 1. Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ nguyªn cña x th× biÓu thøc. 11. Lop8.net. x y x y.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 P ( x)  1985.. x3 x2 x  1978.  5. 3 2 6. cã gi¸ trÞ nguyªn.. Bài 3: (2 điểm) Một người đi xe đạp, một người đi xe máy, một người đi ô tô cùng đi từ A về B khởi hành lần lượt lúc 6 giờ, 7 giờ, 8 giờ với vận tốc thứ tự là 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều người đi xe đạp và xe máy. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän (AB  AC ) cã O lµ giao ®iÓm cña ba ®­êng trung trùc, vÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c hai h×nh vu«ng ABDE, ACGH. BiÕt OE = OH. TÝnh sè ®o gãc BAC ? Bài 5: (1 điểm) Giải phương trình: ( x 2  6 x  11)( y 2  2 y  4)   z 2  4 z  2 §Ò sè 21 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Rót gän biÓu thøc: A . a 2  a  2  (a  2) 2  a 2 3  .    a n 1  3a n  4a 2  4 a2  a . b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: B  x19  5 x18  5 x17  5 x16  ...  5 x 2  5 x  1886 víi x = 4. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 3  5 x  12 y  4 . b) Cho a, b, c lµ c¸c sè tù nhiªn kh«ng nhá h¬n 1. Chøng minh r»ng:. 1 1 2   2 2 1 a 1  b 1  ab. Câu 3: (2 điểm) Một ô tô vận tải đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Sau đó một thời gian một ô tô con cũng đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp ô tô t¶i t¹i B. Nh­ng ngay sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng AB, xe t¶i gi¶m bít 5 km/h nªn hai xe gÆp nhau t¹i C c¸ch B 30 km. TÝnh qu·ng ®­êng AB. Câu 4 : (3 điểm) Một đường thẳng d đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thø tù ë E, K, G. Chøng minh r»ng: a, AE2 = EK. EG;. b,. 1 1 1   AE AK AG. c, Khi đường thẳng thẳng d thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG = Const C©u 5: (1 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M  §Ò sè 22. x 2  2 x  2005 x2. C©u 1: (2 ®iÓm) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có: x5 x 4 7 x3 5x 2 x     luôn luôn là số nguyên dương. 120 12 24 12 5 x 24  x 20  x16  ....  x 4  1 b) Rót gän: B  26 x  x 24  x 22  ....  x 2  1 A. C©u 2: (2 ®iÓm)B¹n A hái b¹n B: “ n¨m nay bè mÑ cña anh bao nhiªu tuæi ?” B tr¶ lêi: “ bè tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây khi tổng số tuổi của bố mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi của ba anh em chóng t«i lµ 14; 10 vµ 6. HiÖn nay tæng sè tuæi cña bè mÑ t«i gÊp 2 lÇn tæng sè tuæi cña ba anh em t«i”. TÝnh xem tuæi cña bè mÑ b¹n B lµ bao nhiªu ? C©u 3: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu: x  y  z  t (x, y, z, t  Z ) th× sè : A  x 2  y 2  z 2  t 2 là tổng các bình phương của ba số nguyên. b) Tìm số tự nhiên N từ ba điều kiện sau: Trong đó có 2 điều kiện đúng, 1 điều kiện sai: 1. N + 45 là bình phương của một số tự nhiên.. 12. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 2. N cã ch÷ sè tËn cïng lµ 7. 3. N - 44 là bình phương của một số tự nhiên. C©u 4: (3 ®iÓm) Hai ®­êng chÐo AC vµ BD cña h×nh thoi ABCD c¾t nhau t¹i O. §­êng trung trùc cña AB c¾t BD vµ AC t¹i O1 vµ O2 . §Æt O2A = a ; O1B = b . TÝnh diÖn tÝch ABCD theo a, b. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m x, y, z  Z tho¶ m·n: (2 x  5 y  1)(2 x  y  x 2  x)  105 §Ò sè 23 C©u 1: (2 ®iÓm) 3k 2  3k  1 a) Cho a k  víi k  N*.TÝnh tæng S = a1  a2  a3  ....  a2007 (k 2  k ) 3. b) Chøng minh r»ng: A  n 3 (n 2  7) 2  36n chia hÕt cho 7 víi mäi n nguyªn. C©u 2: (3 ®iÓm) a) Cho ba số x, y, z thoả mãn đồng thời: 2 z 2  2x  1  0 x  2y 1 0 ; y2  2z  1  0 ; TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  x 2005  y 2006  z 2007 b) Chøng minh r»ng víi x, y  Z th× P  ( x  y )( x  2 y )( x  3 y )( x  4 y )  y 4 là một số chính phương. c) T×m sè d­ trong phÐp chia: ( x  1)( x  3)( x  5)( x  7)  2007 cho x 2  8 x  1 Câu 3: ( 2 điểm)Phương và Hưng có 110.000 đồng. Hai người cùng rủ nhau đi chợ. Phương tiªu mÊt 1/5 sè tiÒn cña m×nh. H­ng tiªu mÊt 1/6 sè tiÒn cña m×nh. Sè tiÒn cßn l¹i cña H­ng nhiều hơn số tiền còn lại của Phương là 10.000 đồng. Hỏi mỗi người có bao nhiêu tiền. Câu 4: (3 điểm)Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD. 1) Tø gi¸c DFBE lµ h×nh g× ? v× sao ? 2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA. 3) Chøng minh AC 2  AB. AH  AD. AK §Ò sè 24 Câu 1: (2 điểm) Giải phương trình: 1  1 1 1     ...  .x 2 3 4 2005    2005 a) 2004 2003 2002 1    ....  1 2 3 2004 b) x  1  x  3  4. C©u 2: (2 ®iÓm) Tìm tỉ lệ ba đường cao của một tam giác. Biết nếu cộng lần lượt độ dài từng cặp hai cạnh của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5 : 7 : 8. C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®­îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: P( x)  (2004  2005 x  x 2 ) 2004 . (2004  2005 x  x 2 ) 2005 b) Tìm số tự nhiên n để n 4  n 2  1 là số nguyên tố.. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AH. Gọi C’ là điểm đối xứng của H qua AB, B’ là điểm đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B’C’ với AC và AB là I và K. Chøng minh IB, CK lµ ®­êng cao cña tam gi¸c ABC. C©u 5: (1 ®iÓm)Cho a, b, c 0; 1 vµ a  b  c  2 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P  a2  b2  c2. 13. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 §Ò sè 25 C©u 1: ( 2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x 9  x 7  x 6  x 5  x 4  x 3  x 2  1 .  1 3y2 y x2       . y  2 4 3 x 3  x 2 y  xy 2   x  y   x  xy x  xy. b) Rót gän biÓu thøc: . C©u 2: (2 ®iÓm) a) Có tồn tại một cặp số tự nhiên (x, y) nào để số 4 x 4  y 4 là một số nguyên tố không. b) Giải phương trình:. y2  2 y  3 . 6 x  2x  4 2. Câu 3: (2 điểm) Một người đi từ A đến B rồi đi tử B về A mất 3 giờ 17 phút, đoạn đường AB dài 8 km gồm một đoạn lên dốc, tiếp đó là một đoạn đường bằng, cuối cùng là một đoạn xuống dốc. Hỏi đoạn đường bằng dài bao nhiêu km. Nếu vận tốc của người đó lúc lên dốc là 4km/h, lóc ®i ®o¹n ®­êng b»ng lµ 5 km/h, lóc xuèng dèc lµ 6 km/h. C©u 4: (3 ®iÓm)Cho h×nh vu«ng ABCD, M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®­êng chÐo BD. KÎ ME vu«ng gãc víi AB, MF vu«ng gãc víi AD. a) Chøng minh: DE = CF vµ DE  CF. b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 5: (1 điểm)Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: 1  §Ò sè 26 C©u 1: (2 ®iÓm) Cho ph©n thøc: A . x 4  x3  x 2  2 x  2 x 4  2 x3  x 2  4 x  2. a b c   2 ab bc ca. (víi x  Z). a) Rót gän A. b) Xác định x để A có giá trị nhỏ nhất. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho x, y, z lµ c¸c sè nguyªn kh¸c 0.Chøng minh r»ng nÕu: x 2  yz  a ; y 2  zx  b ; z 2  xy  c Th× tæng ax  by  cz chia hÕt cho tæng a  b  c . b) Cho ®a thøc f(x) khi chia cho x-2 th× d­ 5, khi chia cho x-3 th× d­ 7, cßn khi chia cho 2 x  5 x  6 thì được thương là 1  x 2 và còn dư. Tìm đa thức f(x). Câu 3: (2 điểm) Giải phương trình: x 3  x 2  x . 1 3. Câu 4: (3 điểm)Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia AD lấy điểm F sao cho AF = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AD. Gọi N là giao điểm của FC với AB vµ M lµ giao ®iÓm cña EC vµ AD. a) Chøng minh MD = BN. b) KÎ BH  AC, gäi I lµ trung ®iÓm cña AH, K lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh r»ng BH  IK. C©u 5: (1 ®iÓm) Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho tổng các nghịch đảo của các chữ sè cña mçi sè b»ng 1.. 14. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 §Ò sè 27 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Cho y  x  0 vµ. x 2  y 2 10  . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc xy 3. M. x y x y.  4 1  4 1   4 1  1   3  ....11   4  4  4 b) Rót gän biÓu thøc A    4 1  4 1   4 1   2   4  ....12   4  4  4 . C©u 2: (2 ®iÓm) a) Giải phương trình: x 4  4 x 3  19 x 2  106 x  120  0 x4 y4 1 x 2004 y 2004 2 2 2   b) Cho vµ x  y  1 .Chøng minh r»ng: 1002  1002  a b ab a b (a  b)102. Câu 3: (2 điểm) Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đi đến nhà bình với vận tốc 4 km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bình cũng rời nhà mình để đi đến nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bình trên đường rồi cả hai cùng đi về nhà Bình. Khi trở về đến nhà mình An tính ra quãng đường mình đi dài gấp bốn lần quãng đường Bình đã đi. Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình. Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD, một góc vuông xAy qoay quanh đỉnh A của hình vuông, cạnh Ax cắt các đường thẳng BC, CD lần lượt tại M, N; cạnh Ay cũng cắt các đường thẳng đó tại P và Q. a) Chøng minh r»ng ANP vµ AMQ vu«ng c©n. b) BiÕt QM c¾t PN ë R; I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña PN, QM. Tø gi¸c AKRI lµ h×nh g× ? c) Chứng minh 4 điểm: B, D, K, I cùng thuộc một đường thẳng, từ đó suy ra đường thẳng IK cố định khi góc vuông xAy quay quanh đỉnh A. C©u 5: (1 ®iÓm)Cho p 3  q 3  2 . Chøng minh r»ng: 0  p  q  2 §Ò sè 28 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Giải phương trình: ( x 2  4 x  4)3  (2  x 2 )3  (4 x  6)3  0 b) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: x 4  2004 x 2  2003x  2004 C©u 2: (2 ®iÓm) Cho a  b  c  0 ; x  y  z  0 ;. a b c   0 x y z. Chøng minh: ax 2  by 2  cz 2  0 Câu 3: (2 điểm) Tìm số nguyên dương A; Cho biết trong ba mệnh đề P, Q, R dưới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai: P = “A+ 45 là bình phương của một số tự nhiên”. Q = “A tËn cïng lµ ch÷ sè 7”. R = “A - 44 là bình phương của một số tự nhiên”. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD; M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn BD, ME AB; MF  AD (E  AB, F  AD). a) Chứng minh DE, BF, CM đồng quy. b) Tìm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF là lớn nhất. Bài 5: (1 điểm)Tìm x nguyên để y nguyên: y . 15. Lop8.net. 2x  3 x2  1.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 §Ò sè 29 C©u 1: (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: a) A . x2  x x. 3x 2  8 x  4 2 3 4 1  2  2  b) B  2 x  2 x x  7 x  10 x  14 x  15 x  9. C©u 2: (2 ®iÓm). a) Cho 3a 2  b 2  4ab vµ b > a > 0. TÝnh P . ab ab. b) T×m x, y biÕt: x 2  y 2  xy  3x  3  0 C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh r»ng nÕu a chia cho 19 d­ 3, b chia cho 19 d­ 2 2 th× a  b 2  ab chia hÕt cho 19. b) Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là số chính phương. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän. C¸c ®­êng cao AA’, BB’ , CC’ c¾t nhau t¹i H, gäi M lµ trung ®iÓm cña BC vµ G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Trªn tia HG lÊy ®iÓm O sao cho OG =. 1 OH; AO vµ HM c¾t nhau t¹i D. 3. a) Chøng minh OM  BC.;b) Tø gi¸c BHCD lµ h×nh g× ? c) Gọi A1 , B1 , C1 là các điểm đối xứng của H qua các cạnh BC, CA, AB. Tính AA1 BB1 CC1   AA' BB' CC '. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P  ( x  8) 4  ( x  6) 4 §Ò sè 30 C©u 1: (2 ®iÓm) Cho ®a thøc A  2a 2b 2  2b 2c 2  2a 2c 2  a 4  b 4  c 4 a) Ph©n tÝch ®a thøc A thµnh nh©n tö. b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì A> 0. C©u 2: (2 ®iÓm) 2 a) Giải phương trình: x 2  y 2   4 xy  1 a b c   0. bc ca ab a b c   TÝnh P  2 2 (b  c) (c  a ) ( a  b) 2. b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và. C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho m, n lµ c¸c sè tho¶ m·n: 3m 2  n  4m 2  n . Chứng minh (m-n) và (4m + 4n + 1) đều là số chính phương. b) Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 tho¶ m·n x  y  z  xyz vµ TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A . 1 1 1    m. x y z. 1 1 1  2  2 theo m. 2 x y z. C©u 4: (3 ®iÓm)Cho ABC , träng t©m G, trªn BC lÊy ®iÓm P, ®­êng th¼ng qua P theo thø tù song song CG vµ BG c¾t AB, AC t¹i E, F; EF c¾t BG, CG theo tø tù t¹i I, J. a) Chøng minh: EI = IJ = JF b) Chøng minh PG ®i qua trung ®iÓm cña EF. c) Một đường thẳng P ở ngoài tam giác. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ ba đỉnh của tam giác ABC xuống đường thẳng d gấp 3 lần khoảng cách từ trọng tâm đến đthẳng d.. 16. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 C©u 5: (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c sè cã hai ch÷ sè ab sao cho:. ab lµ sè nguyªn tè. ab. §Ò sè 31 C©u 1: (2 ®iÓm)Cho biÓu thøc: M . x2 y2 x2 y2   ( x  y )(1  y ) ( x  y )(1  x) (1  x)(1  y ). a) Rót gän M. b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7. C©u 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi n lµ sè tù nhiªn ch½n th× biÓu thøc: A  20 n  16 n  3n  1 chia hÕt cho 323 b) Cho x, y, z kh¸c 0 vµ x  y  z  0 . Chøng minh r»ng: NÕu. 1 1 1 1 1 1 1 1    th× 2007  2007  2007  2007 2007 x y z x y  z 2007 x y z x yz. C©u 3: (2 ®iÓm) Trong mét cuéc ®ua m« t« cã ba xe cïng khëi hµnh mét lóc. Mét xe trong một giờ chạy chậm hơn xe thứ nhất là 15 km và nhanh hơn xe thứ ba 3 km, đến đích chậm hơn xe thø nhÊt 12 phót vµ sím h¬n xe thø ba 3 phót. Kh«ng cã sù dõng l¹i trªn ®­êng ®i. T×m vËn tèc mçi xe, qu·ng ®­êng ®ua vµ xem mçi xe ch¹y mÊt bao nhiªu thêi gian. Câu 4: (2 điểm)Cho hình vuông ABCD, gọi K, O, E, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD vµ DA. C¸c ®o¹n th¼ng AO, BE, Cn vµ DK c¾t nhau t¹i L, M, R, P. TÝnh tØ sè diÖn tÝch S(MNPR) : S(ABCD). C©u 5: (1 ®iÓm)TÝnh tæng S . 1 1 1 1    ....  1.2.3 2.34 3.4.5 n(n  1)(n  2). §Ò sè 32 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch a 4  4 thµnh nh©n tö. b) TÝnh : A . 2 4  4 6 4  4 10 4  4 14 4  4 184  4 . . . . 4 4  4 84  4 12 4  4 16 4  4 20 4  4. C©u 2: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  x15  7 x14  7 x13  7 x 2  ...  7 x 2  7 x  5 víi x = 6 b) Tìm n nguyên để n - 1 chia hết cho n 2  n  1 C©u 3: ( 2 ®iÓm) a) Cho ®a thøc f ( x)  x100  x 99  ...  x 2  x  1 .T×m d­ cña phÐp chia f(x) cho x 2  1 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: B  xy( x  2)( y  6)  12 x 2  24 x  3 y 2  18 y  2004. Câu 4: (3 điểm)Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu cña H lªn AB vµ AC. Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE. a) Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? T¹i sao ? b) Chøng minh AB. AE = AC. AF. c) So s¸nh diÖn tÝch tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch tam gi¸c BMC. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho x 2  y 2  xy  x  y T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A  x 3  y 3. 17. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 §Ò sè 33 C©u 1: (2 ®iÓm) 1. Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: a) x10  x 2  1 b) ( x 2  3x  2)( x 2  7 x  12)  15 2. Cho a, b lµ c¸c sè tho¶ m·n a 2  b 2  ab  2005 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P. a 4  b 4  ( a  b) 4 a 2  b 2  ( a  b) 2. C©u 2: ( 2 ®iÓm) ) Cho p vµ p2 + 2 lµ c¸c sè nguyªn tè. Chøng minh r»ng p3 + 2 lµ sè nguyªn tè. b) Tìm các số dương x, y, z thoả mãn: x  y  xyz và x  y  z  4 C©u 3: (2 ®iÓm) Trªn qu·ng ®­êng AB cña mét thµnh phè, cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiều từ A đến B và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều ngược lại. Các xe này chuyển động đều với cùng vận tốc như nhau. Một khách du lịch đi bộ từ A đến B nhận thấy cứ 5 phót l¹i gÆp mét xe buýt ®i tõ B vÓ phÝa m×nh. Hỏi cứ bao nhiêu phút lại có một xe đi từ A vượt qua người đó. C©u 4: (3 ®iÓm) a) Cho hình bình hành ABCD. Lấy E thuộc BD, Gọi F là điểm đối xứng với C qua E. Qua F kÎ Fx song song víi AD, c¾t AB t¹i I, Fy song song víi AB, c¾t AD t¹i K. Chøng minh r»ng ba ®iÓm I, K, E th¼ng hµng. b) Cho ®o¹n th¼ng AB song song víi ®­êng th¼ng d. T×m ®iÓm M (d vµ M n»m kh¸c phÝa víi AB) sao cho c¸c tia MA, MB t¹o víi ®­êng th¼ng d mét tam gi¸c cã diÖn tÝch nhá nhÊt. Câu 5: (1 điểm)Giải phương trình: x  a 2 x . b2 x2  a  b2  x2 x2  b2. §Ò sè 34 C©u 1: (2 ®iÓm). x4  x2  1 a) Cho x  4 x  1  0 .TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  x2 x2  8 b) Tìm số tự nhiên x để là số chính phương. x8 2. C©u 2: (2 ®iÓm) 2 a) Giải phương trình: x 2  1  4 x  1 b) Giải bất phương trình:. x 1 1 2x. C©u 3: ( 2 ®iÓm)ViÖt (hái): B¹n ë sè nhµ bao nhiªu ? Nam (tr¶ lêi): M×nh ë sè nhµ lµ mét sè cã ba ch÷ sè, mµ hai ch÷ sè ®Çu còng nh­ hai chữ số cuối lập thành một số chính phương và số này gấp bốn lần số kia ? Việt: Sau một lúc suy nghĩ đã tìm ra số nhà của Nam. Hái sè nhµ cña Nam lµ bao nhiªu ? C©u 4: ( 3 ®iÓm) 1) Cho hai điểm A và B nằm cùng phía đối với đường thẳng a. Hãy tìm trên đường thẳng a một điểm P sao cho tổng độ dài AP + PB là bé nhất. 2) Cho góc nhọn xOy và 1 điểm A ở miền trong góc đó. Hãy tìm trên hai cạnh Ox, Oy các điểm tương ứng B và C sao cho chu vi tam giác ABC bé nhất. C©u 5: (1 ®iÓm)T×m c¸c sè x, y, z, t tháa m·n: x 2  y 2  z 2  t 2  x( y  z  t ). 18. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 §Ò sè 35 C©u 1: ( 2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) (a  b  c) 3  (a  b  c) 3  (b  c  a) 3  (c  a  b) 3 b) ( x 2  y 2 ) 3  ( z 2  x 2 ) 3  ( y 2  z 2 ) 3 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho f(x) = ax 2  bx  c .Chøng minh r»ng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3) b) Tìm các số x, y nguyên dương thoả mãn: x 2  y 2  2 y  13 C©u 3: ( 2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng n 5  5n 3  4n chia hÕt cho 120 víi mäi n nguyªn. b) Cho tam giác có độ dài hai đường cao là 3 cm và 7 cm. Hãy tìm độ dài đường cao thứ ba, biết rằng độ dài đường cao đó là một số nguyên. C©u 4: (3 ®iÓm) a) Chứng minh tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng độ dài các đường chéo của ngũ giác đó. b) Cho tam giác ABC . Trong các hình chữ nhật có hai đỉnh nằm trên cạnh BC và hai đỉnh còn lại lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Câu 5: (1 điểm).Tìm tất cả các số thực dương x, y thoả mãn: x 3  y 3  xy  §Ò sè 36. 1 27. C©u 1: ( 2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: n 5  n chia hÕt cho 30 víi mäi sè nguyªn n. b) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x 3  y 3  6 xy  8 C©u 2: (2 ®iÓm) 1 1 1 x  y  z  2  a) T×m x, y, z tho¶ m·n:   2 1 4  xy z. b) Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: A. 1 1 1   2 2 ( a  b) (b  c) (c  a ) 2. lµ mét sè h÷u tØ.. C©u 3: ( 2 ®iÓm)  a) Cho x, y > 0 tho¶ m·n x + y =1. Chøng minh r»ng:  x   1 1 1 1  b) Chøng minh r»ng:   ....  2 2 5 13 n  (n  1) 2. 2. 2. 1  1  25    y    x  y 2. C©u 4: (2 ®iÓm)Cho ®a thøc P(x)  x 4  ax 3  bx 2  cx  d víi a, b, c , d lµ h»ng sè. BiÕt P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 . TÝnh P(12) + P(-8). C©u 5: ( 2 ®iÓm)T×m c¸c sè x, y nguyªn tho¶ m·n: x 2 y 2  x 2  8 y 2  2 xy §Ò sè 37 Bµi 1: (4 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: A  x 4  4 b) Tìm số nguyên a để biểu thức P . 19. a2  a  3 nhËn gi¸ trÞ nguyªn. a 1. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 Bµi 2: (4 ®iÓm) §a thøc P(x) khi chia cho x -3 d­ 7, khi chia cho x + 5 d­ -9 cßn khi chi cho x2 - 5x + 6 thì được thương là x2 + 1 và còn dư. Tìm đa thức P(x). Bµi 3: (6 ®iÓm) a) Biết x là nghiệm của phương trình: T×m x ë d¹ng thu gän. b) Rót gän biÓu thøc: M . x  ab x  ac x  bc   abc ab ac bc. (23  1)(33  1)(43  1)....(503  1) (23  1)(33  1)(43  1)....(503  1). Bµi 4: (6 ®iÓm) a) Trên tia Ox của góc xOy cho trước một điểm A. Hãy tìm trên tia Oy của góc đó một điểm B sao cho OB + BA = d (với d là độ dài cho trước. b) Cho tam gi¸c ABC cã 2 trung tuyÕn kÎ tõ B vµ C lµ BE vµ CF. Chøng minh r»ng BE vu«ng gãc víi CF khi vµ chØ khi: AC2 + AB2 = 5BC2 . §Ò sè 38 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: x 4  3x 2  2 x  3 b) Giải phương trình: x 3  3x 2  3x  1  0  a  2 a  2 a 1  .  a 1 a 1  a. Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: P  . a) Rót gän P. b) Tìm a để P nguyên. Bµi 3: (3 ®iÓm) a) T×m c¸c sè nguyªn x, y, z biÕt r»ng: y  z 1 x  z  2 x  y  3 1    x y z x yz. b) Cho ®a thøc f(x) = ax 2  bx  c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. BiÕt r»ng f(0), f(1), f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn. Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän víi ba ®­êng cao AA’, BB’, CC’. Gäi H lµ trùc HA' HB' HC '   1 AA' BB' CC ' T×m c¸c h»ng sè a vµ b sao chob ®a thøc x 2  ax  b chia cho (x + 1) th× d­. t©m cña tam gi¸c ABC.. Chøng minh r»ng:. Bµi 5: (1 ®iÓm) 7, chia cho (x-3) th× d­ -5.. §Ò sè 39 Bµi 1: (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: a) P  (a  b  c) 2  (a  b  c) 2  (a  b  c) 2  (b  c  a) 2 b) Q . 1 1 1   2 x  y x  y x  y2. Bµi 2: ( 2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (a  b  c)(ab  bc  ca)  abc b) T×m x, y biÕt: x 2  y 2  x  3 y . 5 0 2. c) Cho A  (n  1)(n 2  3n  1) . Tìm số tự nhiên n để giá trị của A là một số nguyên tố. Bài 3: ( 2 điểm) Giải phương trình:. x  13 x  11 x  9 x  7 x  5 x  117 x  119 x  121 x  123 x  125          117 119 121 123 125 13 11 9 7 5. 20. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>