Đề thi học sinh giỏi Toán 9 vòng 2 năm học 2010 – 2011
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (171.02 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường THCS Nghĩa Đồng Nhãm To¸n (mong bạn đọc góp ý: ) §Ò thi häc sinh giái to¸n 9 vßng 2.N¨m häc 2010 – 2011 Thêi gian 120 phót. Câu 1: ( 8 điểm) 1) Giải phương trình:. x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 4x 4x 2 4x 2 12x 9 Câu 2: ( 4 điểm) 3 8 15 n2 1 S ... 2 ( Víi n N ; n 2 ) 4 9 16 n. a) Chøng minh r»ng S < n -1 b) Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n 2 thì S không thể là một số nguyên. . Câu 3: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. Câu 4: ( 4,0 điểm) Cho tam gi¸c gi¸c nhän ABC. KÎ c¸c ®êng cao AD, BK. Gäi H lµ trùc t©m, G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. a) Chøng minh r»ng: tgB.tgC =. AD HD. b) Chøng tá r»ng: HG // BC tgB.tgC = 3. Ngµy 26 th¸ng 10 n¨m 2010 GV NguyÔn Hång T©m. Lop8.net.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm Bài Nội dung Điểm Câu 1 1) (4 điểm) (8đ) 5 Điều kiện: x 0,5 2 Khi đó, phương trình đã cho tương tương với phương trình:. ( 2x 5 3)2 ( 2x 5 1)2 4. 2x 5 3 . 2x 5 1 4. 1,0 0,5. 1 2x 5 . 2x 5 1. 05. Do đó: 1 2x 5 0 x 3. 0,5. Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có:. 0,5. 5 x3 2 5 Vậy tập nghiệm của phương trình là mọi x: x 3 2 2) (4 điểm) Ta có: P = 1 2x 3 2x Mà: 1 2x 3 2x 1 2x 3 2x 4 Nên P 4 Vậy: P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi (1+ 2x)(3-2x) 0 1 3 x 2 2 Câu 2 a) (2đ) (4đ) 22 1 32 1 42 1 n2 1 2 2 ... 2 S= 22 3 4 n 1 1 1 1 S = (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) ... (1 2 ) 2 3 4 n 1 1 1 1 S = n – 1 – ( 2 2 2 ... 2 ) < n – 1 2 3 4 n Vậy: S < n – 1 (1) b(2đ) Ta chứng minh: S > n – 2 Thật vậy:. Lop8.net. 0,5 1,5 1,5 0,5 0,5. 0,5 0,5 0,5 0,5.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 2 ... 2 < 2 1.2 2.3 3.4 (n 1).n 2 3 4 n 1 1 1 1 1 1 1 ) < (1 ) ( ) ( ) ... ( 2 2 3 3 4 (n 1) n 1 <1n 1 1 Do đó: S > n – 1 – (1 - ) = n – 2 + > n -2 n n Vậy: S > n – 2 (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: n – 2 < S < n – 1 với mọi số nguyên dương n 2. Mà: n – 2 và n – 1 là hai số nguyên liên tiếp. Nên: S không là số nguyên.. Câu 3 Đặt AC = AB = x, BC = y. (4,0đ) Ta có: tam giác AHC đồng dạng với tam giác BKC ( vì có góc nhọn C chung) nên: AH BK AC BC Hay AH.BC = BK.AC Vậy: 5y = 6x (1) Mặt khác: trong tam giác AHC vuông tại H ta có: AC2 AH 2 HC2 2. y Hay x 10 (2) 2 25 Từ (1) và (2) ta suy ra: x = , y = 15. 2 25 Vậy: AB = AC = cm, BC = 15cm 2 2. Vẽ hình đúng. 0,25. 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5. 0,5 0,5 0,5 0,5. 0,5. 2. 0,5 0,5. A. 0,5. K. H. B. Lop8.net. C.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> Câu 4 (4đ) 1(2đ). Xét ACD có tg C = tgB.tg C =. 0,25. AD . BC AD DC. Xét ABD có : tgB =. 0,25. AD 2 (1) BD.CD. Ta có BDH : ADC (gg) =>. 0,25 0,5. BD DH AD DC. 0,25. BD.CD =DH.AD (2) Từ (1) và (2) => tgB.tgC =. AD HD. 0,5. b (2đ) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên. AM 3 GM. Do đó, xét ADM có: AM. AD. HG // BC HG // MD GM HD A tgB.tgC = 3. K H. C. D. M. Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Ngày 26 tháng 10 năm 2010 Gv: Nguyễn Hồng Tâm. Lop8.net. 0,5 0,5 0,5. G. B. 0,5.
<span class='text_page_counter'>(5)</span>
