Đề thi thử đại học môn Toán - Số 13

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tr−êng T.H.P.T NguyÔn Trung Ng¹n. Tæ to¸n – Tin. Đề thi thử đại học năm 2009 M«n to¸n - Khèi A Thời gian 180 phút ( không kể giao đề ). PhÇn A : Dµnh cho tÊt c¶ c¸c thi sinh .. Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (c) của hàm số : y = x3 – 3x2 + 2 m 2 2) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh : x − 2 x − 2 = x −1 C©u II (2,0 ®iÓm ) 1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : cos  11π − 5 x  + sin  7π − x  = 2 sin  3 x + 2009π  2  2   4  4 2  2  30 x 2 − 9 x 2 y − 25 y = 0 2) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :  30 y 2 − 9 y 2 z − 25 z = 0  2 2  30 z − 9 z x − 25 x = 0. C©u III(2,0 ®iÓm ) 1) TÝnh tÝch ph©n :. 3. ( x + 4)dx. −1. 3 x +1 + x + 3. ∫. 2) Cho x , y , z lµ ba sè thùc tháa mAn : 2-x + 2-y +2-z = 1 .Chøng minh r»ng :. 4x 4y 4z + + 2x + 2y+z 2y + 2z+x 2z + 2x+y. ≥. 2x + 2y + 2z 4. C©u IV ( 1,0 ®iÓm ) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 600 . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =. a 3 , mÆt ph¼ng ( BCM) c¾t c¹nh SD t¹i N . TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.BCNM . 3. PhÇn B ( ThÝ sinh chØ ®−îc lµm mét trong hai phÇn ( phÇn 1 hoÆc phÇn 2). PhÇn 1 ( Dµnh cho häc sinh häc theo ch−¬ng tr×nh chuÈn ). Câu V.a ( 2,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đ−ờng thẳng : x −7 y −2 z x − 2 y z +1 = = = = d1 : ; d2 : −6 9 12 4 −6 −8 1) Chøng minh r»ng d1 vµ d2 song song . ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P) qua d1 vµ d2 . 2) Cho điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I trên đ−ờng thẳng d1 sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất 2 C©u VI.a (1.0®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : log 9 ( x + 1) + log. 3. 2 = log. 3. 4 − x + log 27 ( x + 4)3. PhÇn 2 ( Dµnh cho häc sinh häc ch−¬ng tr×nh n©ng cao ) Câu V.b (2,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đ−ờng thẳng : x − 2 y −1 z = = , D1 : 1 −1 2.  x = 2 − 2t  D2 :  y = 3 z = t . 1) Chøng minh r»ng D1 chÐo D2 . ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng vu«ng gãc chung cña D1 vµ D2 2) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã ®−êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña D1 vµ D2 2 2 C©uVI.b ( 1,0 ®iÓm) Cho ph−¬ng tr×nh : log5 x + 2 log5 x + 1 − m − 2 = 0 , ( m lµ tham sè ) .. Tìm các giá trị của tham số m để ph−ơng trình đA cho có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;5. ……………………………….HÕt ………………………………………… Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm .. Lop12.net. 3.  .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> H−íng dÉn gi¶i : PhÇn A : Dµnh cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh Câu I : 1) ( Thí sinh tự khảo sát và vẽ đồ thị ) 2) §å thÞ hµm sè y = ( x 2 − 2 x − 2) x − 1 , víi x ≠ 1 cã d¹ng nh− h×nh vÏ :. 1. 1- 3. 2. -2. 1+ 3. y=m. m. Dựa vào đồ thị ta có : *) Nếu m < -2 : Ph−ơng trình vô nghiệm *) NÕu m = - 2 : Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm *) NÕu – 2 < m < 0 : Ph−¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt *) nÕu m ≥ 0 : Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt C©u II : 1) cos  11π − 5 x  + sin  7π − x  = 2 sin  3 x + 2009π  ( 1) 2  2   4  4 2  2 ( 1) ⇔ sin . 5x π  3x π 3x 3x  3π x   ⇔ -2 cos  x +  cos −  − sin  −  = 2 cos = 2 cos 2 4 2 2  2 4  4 2  3x π 2 ⇔ cos = 0 hoÆc cos( x + ) = − . Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n t×m ®−îc nghiÖm : 2 4 2. x=. π 3. +. k 2π 3. , x=. π. + k 2π , x = k2π. 2.  30 x 2 y =  9 x 2 + 25   30 x 2 − 9 x 2 y − 25 y = 0  30 y 2 2) Ta cã  30 y 2 − 9 y 2 z − 25 z = 0 ⇔  z = 2 9 y + 25   2 2 30 z − 9 z x − 25 x = 0   30 z 2 x = 2 9 z + 25 . ( 2). Tõ hÖ ta cã x, y, z kh«ng ©m. *) NÕu x = 0 th× y = z = 0 suy ra ( 0;0;0 ) lµ nghiÖm cña hÖ *) NÕu x>0, y> 0 , z > 0 . XÐt hµm sè : f(t) = Ta cã f’(t) =. 1500t. ( 9t. 2. + 25. ). 2. 30t 2 ,t>0 9t 2 + 25. > 0 víi mäi t > 0 .. Do đó hàm số f(t) đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) y = f ( x)  HÖ (2) ®−îc viÕt l¹i  z = f ( y ) .  x = f ( z) . Từ tính đồng biến của hàm f ta dễ dàng suy ra x= y = z . Thay vào hệ ph−ơng trình Ta ®−îc nghiÖm x = y = z =. 5 . 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> . 5 5 5 . NghiÖm cña hÖ lµ ( 0;0; 0 ) ,  ; ;   3 3 3 . . C©u III 1) TÝnh tÝch ph©n I =. ∫. ( x + 4)dx. 3. −1. 3 x +1 + x + 3 2. 2. 2 20t + 12 20t + 12 2 2 dt dt = ( t − 6t ) 0 + ∫ 2 2 t + 3t + 2 t + 3t + 2 0 0. x + 1 . Ta cã I = ∫ ( 2t − 6 )dt + ∫. §Æt t =. 0 2. =-8+. . 28. 2. 8. ∫ t + 2 dt − ∫ t + 1 dt 0. = - 8 + 28ln2 – 8 ln3. 0. 2) Cho x , y , z lµ ba sè thùc tháa mAn : 2-x + 2-y +2-z = 1 .Chøng minh r»ng :. 4x 4y 4z + + 2x + 2y+z 2y + 2z+x 2z + 2x+y. 2x + 2y + 2z ≥ 4 x y z §Æt 2 = a , 2 =b , 2 = c . Tõ gi¶ thiÕt ta cã : ab + bc + ca = abc Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng : ( *) ⇔. a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ ( *) a + bc b + ca c + ab 4. a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 a + abc b + abc c + abc 4 3 3 a b c3 a+b+c + + ≥ ⇔ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) 4. Ta cã. a3 a+b a+c 3 + + ≥ a (a + b)(a + c) 8 8 4. ( 1). ( Bất đẳng thức Cô si). b3 b+c b+a 3 + + ≥ b ( 2) T−¬ng tù (b + c)(b + a) 8 8 4 3 c c+a c+b 3 + + ≥ c ( 3) . (c + a)(c + b) 8 8 4 Cộng vế với vế các bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy ra điều phải chứng minh C©u IV : S H. N M. D A. B. C. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SBCMN ( BCM)// AD nªn mÆt ph¼ng nµy c¾t mp( SAD) theo giao tuyÕn MN // AD  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ BM . Tø gi¸c BCMN lµ h×nh thang vu«ng cã BM lµ ®−êng cao  BC ⊥ SA. Ta cã : . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> a 3 a 3− MN SM MN 3 =2 = ⇔ = Ta cã SA = AB tan600 = a 3 , AD SA 2a 3 a 3 4a 2a . BM = DiÖn tÝch h×nh thang BCMN lµ : Suy ra MN = 3 3 4a    2 a + 3  2a 10a2 BC + MN S = BM =  =  2 2   3 3 3   H¹ AH ⊥ BM . Ta cã SH ⊥ BM vµ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH . VËy SH ⊥ ( BCNM) ⇒ SH lµ ®−êng cao cña khèi chãp SBCNM AB AM 1 = . Trong tam gi¸c SBA ta cã SB = 2a , = SB MS 2 0 VËy BM lµ ph©n gi¸c cña gãc SBA ⇒ SBH = 30 ⇒ SH = SB.sin300 = a. 10 3a3 1 Gäi V lµ thÓ tÝch chãp SBCNM ta cã V = SH .( dtBCNM ) = 27 3. PhÇn B. (ThÝ sinh chØ ®−îc lµm phÇn I hoÆc phÇn II) PhÇn I. (Danh cho thÝ sinh häc ch−¬ng tr×nh chuÈn) ur C©u V.a.1) VÐc t¬ chØ ph−¬ng cña hai ®−êng th¼ng lÇn l−ît lµ: u1 (4; - 6; - 8) uur u2 ( - 6; 9; 12) ur uur +) u1 vµ u2 cïng ph−¬ng +) M( 2; 0; - 1) ∈ d1; M( 2; 0; - 1) ∉ d2 A VËy d1 // d2 r *) VÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña mp (P) lµ n = ( 5; - 22; 19) (P):uuu5x – 22y + 19z + 9 = 0 H r d 1 2) AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d1 I Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d1 Ta cã: IA + IB = IA1 + IB ≥ A1B A1 IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B Khi A1, I, B th¼ng hµng ⇒ I lµ giao ®iÓm cña A1B vµ d Do AB // d1 nªn I lµ trung ®iÓm cña A1B.. B. 36 33 15 *) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A lªn d1. T×m ®−îc H  ; ; .  29 29 29 . A’ đối xứng với A qua H nên A’ . 43 95 28  ; ;−   29 29 29  65 −21 −43  I lµ trung ®iÓm cña A’B suy ra I  ; ;   29 58 29 . C©u VI a) log9(x + 1)2 + log 3 2 = log. 3. 4 − x + log 27 ( x + 4)3 (1).  −4 < x < 4  x ≠ −1. § K: . (1) ⇔ log3(x + 1) + log34 = log3(4 – x) + log3(x + 4) ⇔ log34 x + 1 = log3(16 – x2) ⇔ 4 x + 1 = 16 – x2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh t×m ®−îc x = 2 hoÆc x = 2 - 24 PhÇn II. ur uur C©u V. b. 1) C¸c vÐc t¬ chØ ph−¬ng cña D1 vµ D2 lÇn l−ît lµ u1 ( 1; - 1; 2) vµ u2 ( - 2; 0; 1) *) Cã M( 2; 1; 0) ∈ D1; N( 2; 3; 0) ∈ D2 ur uur uuuur XÐt u1 ; u2  .MN = - 10 ≠ 0 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> VËy D1 chÐo D2 *) Gäi A(2 + t; 1 – t; 2t) ∈ D1 B(2 – 2t’; 3; t’) ∈ D2. D1 ur u1. uuurur 1   AB.u1 = 0 t = − ⇒  3  uuur uur  AB.u2 = 0 t ' = 0 5 4 2 ⇒ A  ; ; −  ; B (2; 3; 0) 3 3 3. A. B. uur u2. D2. §−êng th¼ng ∆ qua hai ®iÓm A, B lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña D1 vµ D2. Ta cã ∆. x = 2 + t :  y = 3 + 5t  z = 2t . *) Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu nhËn ®o¹n AB lµ ®−êng kÝnh cã d¹ng: 2. 2. 2. 11   13   1  5  x − 6  +y − 6  +z+ 3 = 6      . b.2) §Æt t = log52 x + 1 ta thÊy nÕu x ∈ 1;5 3  th× t ∈ [1;2] Ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: t2 + 2t – m – 3 = 0; t ∈ [1;2] ⇔ t2 + 2t – 3 = m ; t ∈ [1;2 ] LËp bÊt ph−¬ng r×nh hµm f(t) = t2 + 2t – 3 trªn [1;2] ta ®−îc 0 ≤ f(t) ≤ 5 § K cña m lµ: 0 ≤ m ≤ 5. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>