Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong chương trình Đại số lớp 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1. PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên và đời sống thì toán học luôn là một ngành giữ vai trò rất quan trọng nó đòi hỏi sự suy luận và trí thông minh cao, chứa đựng rất nhiều những thử thách tác động đến bộ não của chúng ta. Nói đến Toán học là nói đến sự rõ ràng và logic, kiến thức toán học bao gồm cả một quá trình tri thức rất phong phú: tư duy trừu tượng, phân tích tổng hợp, suy lý, quy nạp, khái quát hoá, … Giải Toán là một bộ phận không thể thiếu được của quá trình tri thức vì nó đảm bảo cho học sinh hiểu biết sâu sắc lý thuyết, ứng dụng lý thuyết vào thực hành; thực tiễn cuộc sống; tạo điều kiện tốt để nghiên cứu, đi sâu vào các môn học và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác. Toán học còn là môn học hình thành nhân cách cho học sinh: rèn luyện khả năng tư duy trừu tượng, óc phân tích tổng hợp, tính hệ thống, khái quát hoá và góp phần hình thành các đức tính cần cù, nhẫn nại, chính xác, biết suy nghĩ, khai thác các vấn đề trong cuộc sống. Trong thực tế dạy và học, bên cạnh một số ít học sinh khá giỏi thì hiện nay thực trạng học sinh học yếu môn Toán đã và đang là vấn đề trăn trở của nhiều giáo viên đứng lớp và là nỗi lo chung của toàn ngành, toàn xã hội. Là người giáo viên đã và đang nghiên cứu Toán học trong chương trình Toán bậc Trung học cơ sở, chúng tôi nhận thấy một số bài toán chưa hoặc không có giải thuật đòi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ thật tốt mới tìm ra được lời giải. Chính vì thế đòi hỏi mỗi giáo viên phải có năng lực, kinh nghiệm và những phương pháp giải đúng đắn để truyền thụ và hướng dẫn cho học sinh. Trong chương trình Đại số 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung hết sức quan trọng, nó góp phần xây dựng một nền tảng vững chắc cho các em học sinh trong suốt quá trình học tập ở bậc phổ thông. Đặc biệt hơn,. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có rất nhiều ứng dụng đối với các dạng toán khác có liên quan như: Rút gọn phân thức, giải phương trình, chứng minh đẳng thức, giải bất phương trình, … Xuất phát từ những vấn đề đã nêu trên, việc nghiên cứu những phương pháp chọn lọc về việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp học sinh tiếp thu bài dễ hơn, củng cố các kiến thức đã học, rèn kỹ năng cho các em trong quá trình giải Toán nhằm nâng cao chất lượng dạy và học ngày càng được tốt hơn. Vì những lý do trên nhóm chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong chương trình Đại số 8” để nghiên cứu trong khóa luận này.. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử một cách có hệ thống nhằm làm nổi bật các ưu, khuyết điểm của từng phương pháp. Tìm hiểu, đi sâu vào một số ứng dụng của nó qua một số dạng toán cụ thể. Qua đó, giúp học sinh có hệ thống về việc phân tích đa thức thành nhân tử và lựa chọn đúng đắn các phương pháp phân tích vào việc giải toán sau này.. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận về phân tích đa thức thành nhân tử. - Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập vận dụng thích hợp cho từng dạng phương pháp. - Liên hệ được ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử vào giải một số dạng toán. - Tiến hành thực nghiệm sư phạm và đúc kết kinh nghiệm.. 4. Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 8 với các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó; một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao.. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3. 5. Phạm vi nghiên cứu Việc phân tích đa thức thành nhân tử trong trường Trung học cơ sở.. 6. Giả thuyết khoa học Nếu trong thực nghiệm chúng ta hướng dẫn tốt những phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh ở từng đối tượng thì sẽ giúp các em hệ thống được những phương pháp giải các dạng toán tương tự, tự mình định hình được cách giải và đưa ra được nhiều cách giải cho một bài toán. Từ đó nâng cao được năng lực tự học của học sinh, giúp các em biết vận dụng từng phương pháp cụ thể vào những dạng toán có liên quan, bởi vì các em nhớ được những phương pháp giải và có một kiến thức khá ổn định. Bên cạnh đó, các em hình thành được cho mình các kĩ năng giải toán, từ đó sẽ dần dần nâng cao được chất lượng học toán của học sinh.. 7. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc SGK, SGV, SBT lớp 8 và các tài liệu liên quan khác phục vụ cho đề tài. - Phương pháp quan sát điều tra: Qua các tiết dự giờ giáo viên dạy, trao đổi với đồng nghiệp dạy Toán 8, tìm hiểu tình hình học tập của học sinh. - Phương pháp trao đổi với giảng viên hướng dẫn và các thành viên trong nhóm. - Phương pháp thực nghiệm giáo dục: Thông qua các buổi báo cáo chuyên đề các tiết dạy tự chọn trên lớp.. 8. Bố cục Đề tài gồm: Phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận.. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4. PHẦN 2. NỘI DUNG CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. ĐA THỨC. 1.1.1 Đơn thức Cho P là một trường (thông thường ta xét các trường số ¤ , ¡ , k. k. Biểu thức dạng: ax1 1 .x2 2 ....xn. kn. £ ).. (1) được gọi là một đơn thức, với 0 ≠ a . P được gọi là hệ số, x1, x2 … , xn được gọi là các ẩn số (hay biến số) lấy các giá trị trên P, và k1, k2, … , kn  ¥ . Nếu a  0, số k = k1 + k2 + … + kn được gọi là bậc của đơn thức (1). k k k k k k Hai đơn thức: ax1 .x2 ....xn n và bx1 .x2 ....xn n được gọi là hai đơn thức 1. 2. 1. 2. đồng dạng (tức chúng chỉ khác nhau ở hệ số, còn các ẩn số như nhau với cùng số mũ tương ứng).. 1.1.2 Đa thức nhiều biến k. k. 1 2 Một tổng hữu hạn các đơn thức dạng: ax1 .x2 ....xn. kn. , ki  ¥ được gọi. là một đa thức nhiều ẩn với các ẩn (hay các biến số) x1, x2, …, xn. Ta có thể kí hiệu các đa thức nhiều ẩn bởi: f(x1, x2,…..xn) =. å. ai x1ki x2ki ...xn kin 1. 2. Mỗi đơn thức được gọi là một số hạng (hay hạng tử) của đa thức. Nếu tất cả các hệ số ai của đa thức đều bằng 0 thì đa thức được gọi là đa thức không. Nếu trong một tổng các đơn thức có những đơn thức đồng dạng thì ta có thể rút gọn chúng. Sau khi rút gọn, ta có thể viết đa thức dưới dạng một tổng của các đơn thức đôi một không đồng dạng. Ta gọi đó là dạng chính tắc của đa thức.. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 5. Bậc của đa thức nhiều ẩn (đã viết dưới dạng chính tắc) là bậc cao nhất trong các bậc của các đơn thức. Đôi khi người ta còn gọi đó là bậc đối với tập thể các ẩn, để phân biệt với bậc của mỗi ẩn có mặt trong đa thức (là bậc cao nhất của ẩn đó trong đa thức). Nếu tất cả các số hạng của đa thức đều có bậc bằng nhau thì ta gọi đa thức đó là đa thức đẳng cấp (hay đa thức thuần nhất).. 1.1.3 Đa thức một biến Một hàm số f(x) được gọi là một đa thức một biến nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn của những đơn thức có cùng một biến, nghĩa là: k k k f(x)= a1 x 1  a2 x 2  ....  an x n. Ở đây a1, a2, …, an là những số bất kỳ, còn k1 , k2, ..., kn là những số nguyên không âm và không bằng nhau. Ta có thể cho rằng tất cả những đơn thức trong cách viết trên là không đồng bậc vì nếu những đơn thức đồng bậc thì ta nhóm chúng thành một đơn thức. Người ta cũng viết f(x) theo chiều tăng (hoặc giảm) những bậc của các đơn thức. Thường thường người ta viết đa thức dưới dạng: k k- 1 f(x) = a0x + a1x + .... + ak - 1x + ak. (*). Với a0 ≠ 0, a1, a2 , ..., ak là những số bất kỳ và không đồng thời bằng 0. Các số a0, a1, a2, ..., ak của đa thức f(x) được gọi là hệ số của đa thức. Số a0 được gọi là hệ số bậc cao nhất, còn số ak gọi là hệ số tự do. Nếu đa thức f(x) được viết dưới dạng (*) ta nói rằng nó được biểu diễn dưới dạng chuẩn tắc và dạng chuẩn tắc này không là duy nhất. Quy ước: Một số cũng là một đa thức và gọi là đa thức bậc 0.. 1.1.4 Hằng đẳng thức Các khái niệm bộ giá trị thừa nhận được, giá trị của đa thức, miền xác định của một đa thức nhiều ẩn được định nghĩa bằng cách xem chúng như những. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 6. biểu thức toán học. Hai đa thức của cùng một số ẩn x1, x2, … , xn được gọi là hằng đẳng (hoặc có khi gọi là đồng nhất) nếu chúng có giá trị bằng nhau tại mọi bộ giá trị thừa nhận được lấy trong miền xác định của các đối số, chúng lập thành một hằng đẳng thức (hay đồng nhất thức). Sau đây là một số hằng đẳng thức đáng nhớ: 1. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 2. (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 3. x2 – y2= (x + y)(x – y) 4. (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 5. (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 6. x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) 7. x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) 2. 2.  x y  x y 8.      xy  2   2 . 9. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 10. x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz) 11. xn – yn = (x – y) (xn-1 + xn-2y + … + xyn-2 + yn-1) 12. x2k – y2k = (x – y) (x2k-1 – x2k-2y + x2k-3y2 – … – y2k-1). (x1 + x2 + … + xn)2 = x12 + x22 + … +xn2 + 2x1x2 + 2x1x3 + … + xn-1xn 13. Nhị thức Newton. x  y . n. n.  C x  C x y  ...  C y   C kn x n k y k 0 n. n. 1 n. n 1. n n. n. k 0. trong đó Cnk . n(n  1)...(n  k  1) n!  1.2...k k !(n  k )! 0 n Đặc biệt Cn  Cn  1. Lop8.net. với k = 0, 1, …, n..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 7. 1.2. Phân tích đa thức thành nhân tử. 1.2.1 Đa thức bất khả quy * Định nghĩa: Giả sử f(x). Î. P[x] là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói f(x). là bất khả quy trên trường P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của f(x). Trái lại thì đa thức được gọi là khả quy hoặc phân tích được trên P. Chú ý: Tính chất bất khả quy phụ thuộc vào trường cơ sở. Chẳng hạn x2 – 2 2 bất khả quy trên ¤ nhưng khả quy trên ¡ : x - 2 = (x +. 2)(x -. 2) .. * Tính chất a) Mọi đa thức bậc nhất đều bất khả quy trên mọi trường số. b) Đa thức f(x) là bất khả quy khi và chỉ khi mọi ước của nó đều là đa thức bậc 0 hoặc là đa thức có dạng a.f(x) với a ≠ 0, a  P. c) Đa thức f(x) là bất khả quy trên P khi và chỉ khi với mọi đa thức p(x) P[x] thì hoặc f ( x) p ( x) , hoặc (f(x), p(x)) = 1.. 1.2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử a) Định nghĩa 1 + Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử. + Với bất kì đa thức (khác 0) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân tử khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy: anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c(. an c. xn +. an - 1 n – 1 x c. + …..+. a0 c. ) (với c ¹ 0, c ¹ 1). b) Định nghĩa 2 Giả sử f(x). Î. P[x] là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói f(x) là bất khả quy. trên trường P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của f(x). Trường hợp trái lại thì f(x) được gọi là khả quy hoặc phân tích được trên P.. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 8. 1.2.3 Một số định lí cơ bản  Định lí 1: Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành các đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và nhân tử bậc không.  Định lí 2: (Tiêu chuẩn bất khả quy trên trường số phức và số thực) a) Trên trường số phức £ , một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất. Vậy mọi đa thức trên £ có bậc lớn hơn 0 đều phân tích được thành tích các đa thức bậc nhất. b) Trên trường số thực ¡ , một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức   0 . Vậy mọi đa thức trên ¡. có bậc lớn. hơn 0 đều phân tích được thành tích các đa thức bậc nhất hoặc bậc 2 với   0 .  Định lí 3: (Tiêu chuẩn Eisentein về các đa thức bất khả quy trên trường số hữu tỉ) Giả sử f(x) = a0 + a1x + … + anxn, n > 1, an  0, là một đa thức với hệ số nguyên. Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của an nhưng p là ước của tất cả các hệ số còn lại và p2 không phải là ước của các số hạng tự do a0. Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên ¤ . Như vậy trên trường số hữu tỉ ¤ , có những đa thức bất khả quy bậc bất kì. Chẳng hạn, đa thức f(x) = x20 + 6x10 – 18x4 + 42x2+12 là bất khả quy trên ¤ , bằng cách dùng tiêu chuẩn Eisentein với số nguyên tố p = 3.  Chú ý: Tiêu chuẩn Eisentein chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện ắt có. 4 2 Chẳng hạn x - 2x + 9 là bất khả quy trên. chuẩn Eisentein.. Lop8.net. ¤. nhưng không thỏa mãn tiêu.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 9. 1.3 Mục đích, yêu cầu của việc phân tích đa thức thành nhân tử - Giúp HS có hệ thống cách giải bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử, rèn luyện để quan sát, nhìn nhận cách giải một bài toán tốt hơn, phân dạng được bài tập một cách hợp lý. - Như đã nêu ở trên, việc phân tích đa thức thành nhân tử đóng góp một vai trò rất lớn trong quá trình thực hành giải một số dạng toán. Nó đòi hỏi người phân tích phải học thuộc những hằng đẳng thức, có óc quan sát, nhận xét vấn đề để đưa ra một phương pháp giải đúng đắn. Sau khi nắm được các phương pháp phân tích trên thì người học cần biết cách phân biệt cách giải cho từng dạng toán cơ bản đến nâng cao.. 1.4. Thực trạng dạy và học vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử 1.4.1. Phương pháp dạy học của giáo viên và phương pháp học. tập của học sinh * Những khó khăn chung Hiện nay trong chương trình lớp 8 vẫn còn tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình, do lười nhác trong học tập, ỷ lại, trông nhờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn và ý thức học tập chưa cao. Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập khó, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất cho bài toán đã đặt ra. Ngoài ra một trong những yếu tố quan trọng là các em thường hay quên những hằng đẳng thức đáng nhớ, hay các em nhớ lầm giữa hằng đẳng thức này và hằng đẳng thức khác.. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 10. Đối với giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, vẫn tồn tại theo lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp mới còn mơ hồ. Sự lôgic giữa các phương pháp chưa cao, chưa vạch rõ được cho học sinh nên ưu tiên phương pháp nào cho những dạng toán phù hợp. Phụ huynh HS chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà.. * Thực trạng vấn đề: Qua quá trình tìm hiểu hiểu khảo sát chất lượng đầu năm học và trao đổi trực tiếp cùng học sinh và giáo viên bộ môn chúng tôi thấy có một số vấn đề sau: - Việc nắm bắt các phương pháp cơ bản như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử,… các em hiểu chưa thật sự rõ trọng tâm. - Việc phân biệt các phương pháp để áp dụng còn lún túng chưa phân được dạng nào nên áp dụng phương pháp nào cho từng loại toán nào. - Các phương pháp khác như: phương pháp chia liên tiếp, phương pháp dùng nghiệm phức, phương pháp xét giá trị riêng, phương pháp dùng hệ số bất định được đặt ra hầu hết các em chưa biết đến trong quá trình học tập. - Các em chưa hiểu rõ về những ứng dụng của các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.. 1.4.2. Những khó khăn trong thực tiễn giảng dạy. Qua những năm trực tiếp giảng dạy chúng tôi nhận thấy đa số HS chưa có ý thức tự học, tự rèn. Học sinh vùng nông thôn sâu còn nghèo, thiếu thốn nhiều về dụng cụ học tập và hạn chế về thời gian do phải phụ giúp gia đình. Chính vì lẽ đó mà học sinh ít tự rèn luyện kĩ năng, chưa cọ xát nhiều với việc giải toán ảnh hưởng không ít đến việc tổ chức giảng dạy của giáo viên trên lớp như chậm về tiến trình, mất nhiều thời gian để rèn luyện kĩ năng cho học sinh… dẫn đến việc phân phối thời gian không hợp lí cho tiết học. Một số em học sinh. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 11. bị hỏng kiến thức từ những lớp dưới dẫn đến các em học yếu môn toán làm cho các em có cảm giác sợ môn toán. Bên cạnh đó đối với giáo viên chúng tôi còn thiếu một lượng sách tham khảo tại trường.. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 12. CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ ỨNG DỤNG CỦA VIỆC PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 2.1 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.1.1 Phương pháp cơ bản thường dùng 2.1.1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung a/ Nội dung phương pháp - Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác. - Tìm nhân tử chung là tìm những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử: + Tìm nhân tử chung của các hệ số (tức là ta tìm ước chung lớn nhất của các hệ số có trong đa thức). + Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất). - Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng). b/ Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Ví dụ 1: x3 – x2 + 3x Giải: x3 – x2 + 3x = xx2 – xx + 3x (Nhận thấy có x là nhân tử chung) = x(x2 – x + 3) (Đặt nhân tử chung x ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử x2– x+3 vào trong dấu ngoặc, ta được kết quả) Ví dụ 2: 12x3y2 – 3xyz Giải: 12x3y2 – 3xyz = 3.4xx2yy – 3xyz (Nhận thấy có 3xy là nhân tử chung). Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 13. = 3xy(4x2y – z) (Đặt nhân tử chung 3xy ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử 4x2y – z vào trong dấu ngoặc, ta được kết quả). Ví dụ 3: 5x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 Giải:. 5x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 5xx(y – 2z) – 3.5x(y – 2z)(y – 2z). (Nhận thấy có 5x(y – 2z) là nhân tử chung) = 5x(y – 2z)[x – 3(y – 2z)] (Đặt nhân tử chung 5x(y – 2z) ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại x – 3(y – 2z) vào trong dấu ngoặc, ta được kết quả) = 5x(y – 2z)(x – 3y + 6z) (Rút gọn lại, ta được kết quả) Ví dụ 4: 8x2(x – y) – 2y( y – x) Giải:. 8x2(x – y) – 2y( y – x) = 2.4x2(x – y) + 2y(x – y). (Ta đổi dấu hạng tử y – x thành – (x – y) để xuất hiện nhân tử chung cho bài toán là 2(x – y)) = 2(x – y)(4x2 + y) (Đặt nhân tử chung 2(x – y) ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại 4x2 + y vào trong dấu ngoặc, ta được kết quả) Ví dụ 5: 9x(x – y) + 4x2( y – x)2 Giải: 9x(x – y) + 4x2( y – x)2 = 9x(x – y) + 4xx(x – y)2 (vì (x – y)2 = (y – x)2, nhận thấy có x(x – y) là nhân tử chung) = x(x – y)[9 + 4x(x – y)] (Đặt nhân tử chung x(x – y) ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại 9 + 4x(x – y) vào trong dấu ngoặc). = x(x – y)(4x2 – 4xy + 9). (Rút gọn ta được kết quả). Ví dụ 6: xm+2 – xmy + 2xm+1 Giải: xm+2 – xmy + 2xm+1 = xmx2 – xmy + 2xmx. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 14. (Nhận thấy có xm là nhân tử chung) = xm (x2 – y + 2x) (Đặt nhân tử chung xm ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử x2 – y + 2x vào trong dấu ngoặc, ta được kết quả). c/ Ưu - khuyết điểm: Ưu điểm : Nhận dạng dễ dàng những nhân tử chung. Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (theo chiều ngược lại). Hạn chế : Trong một số trường hợp để làm xuất hiện được nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử. d/ Bài tập vận dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Bài tập 1:. a/ 21x2y + 14xy2 Kết quả: 7xy(3x + 2y) b/ 4x3 + 2x2 + 8x Kết quả: 2x(2x2 + x + 4) c/ x2y2z + xy2z2 + x2yz2 Kết quả: xyz(xy + yz + xz). Bài tập 2:. a/ (x – y)2 – 2(x – y) Kết quả: (x – y)(x – y – 2) b/ 16x2( y – 1) – 4x3(1 – y) Kết quả: 4x2(y – 1)(4 + x) c/ 3x( 4x – 5) + 4x – 5 Kết quả: (4x – 5)(3x + 1). Bài tập 3:. a/ 7(a – b)2 – (a + b)(b – a) Kết quả: 2(a – b)(4a – 3b) b/ (x2 + 3xy)( x + y) + (x2 + 3xy)( x – y) Kết quả: 2x(x2 + 3xy). Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 15. 2.1.1.2 Phương pháp dùng hằng đẳng thức. a/ Nội dung phương pháp Phương pháp này là phương pháp dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích một đa thức về dạng tích hoặc lũy thừa bậc 2, bậc 3 của một đa thức khác. Các hằng đẳng thức thường dùng là: 1. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 2. (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 3. x2 – y2 = (x + y)(x – y) 4. (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 5. (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 6. x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) 7. x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) Ngoài ra, ta có thể hướng dẫn HS sử dụng một số hằng đẳng thức đặc biệt khác.. b/ Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. Ví dụ 1: 4x2 – 12x + 9 Giải:. 4x2 – 12x + 9 = (2x)2 – 2.2x.3 + 32. (Nhận ra hằng đẳng thức bình phương của một hiệu) = (2x – 3)2 (Đưa ngay về dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu với hai hạng tử là 2x và 3, ta được kết quả). Ví dụ 2: (x – 2)2 – 9x2 Giải:. (x – 2)2 – 9x2 = (x – 2)2 – (3x)2. (Nhận ra hằng đẳng thức hiệu hai bình phương) = (x – 2 + 3x)(x – 2 – 3x) (Đưa ngay về dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương) = (4x – 2)(–2x – 2). Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 16. (Rút gọn và ta nhận thấy vẫn còn nhân tử chung ở hai nhân tử) = – 4(2x – 1)(x + 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung ta được kết quả) Ví dụ 3: 8 – 27x3 Giải:. 8 – 27x3 = 23 – (3x)3. (Ta nhận thấy đa thức đã cho có dạng lập phương của một hiệu) = (2 – 3x)(4 + 6x + 9x2) (Đưa ngay về dạng lập phương của một hiệu, ta được kết quả). Ví dụ 4: x2 + 2x + 1 – y2 + 2y – 1 Giải: x2 + 2x + 1 – y2 + 2y – 1 = x2 + 2x + 1 – (y2 – 2y + 1) (Ta nhận thấy đa thức đã cho có dạng hai hằng đẳng thức bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu) = (x + 1)2 – (y – 1)2 (Sau khi đưa về dạng hằng đẳng thức bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu, ta chưa được kết quả mà làm xuất hiện tiếp dạng hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương) = (x + y)(x – y + 2) (Đưa ngay về dạng hiệu hai bình phương, rút gọn lại ta được kết quả). Ví dụ 5: x3 + 9x2 + 27x + 27 Giải: x3 + 9x2 + 27x + 27= x3 + 3x2.3 + 3x32 + 33 (Nhận thấy đa thức đã cho có dạng hằng đẳng thức lập phương của một tổng) = (x + 3)3 (Đưa ngay về dạng lập phương của một tổng, ta được kết quả phân tích). Ví dụ 6: 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 Giải: 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3= (2x)3 – 3(2x)2y + 3.2xy2 – y3 (Nhận thấy đa thức đã cho có dạng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu) = (2x – y)3. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 17. (Đưa ngay về dạng lập phương của một hiệu, ta được kết quả phân tích).. c/ Ưu - khuyết điểm Ưu điểm: Đưa ngay đa thức đã cho về dạng tích, hoặc lũy thừa bậc hai, bậc ba từ dạng tổng. Hạn chế: Trong một số trường hợp, ta cần đổi dấu một số hạng tử mới áp dụng được phương pháp này.. d/ Bài tập vận dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Bài tập 1:. a/ x2 – 25 Kết quả: (x + 5)(x – 5) b/ x2y4 – 1 Kết quả: (xy2 + 1)(xy2 – 1) c/ 16x2 – 49(x + y)2 Kết quả: (11x + 7y)(7y – 3x) d/ (x – y)2 – (x + y)2 Kết quả: – 4xy. Bài tập 2:. a/ (a + b)3 + (a – b)3 Kết quả: 2a(a2 + 3b2) b/ a6 – b6 Kết quả: (a + b)(a – b)(a2 + b2 + ab)(a2 + b2 – ab) c/ (a3 + 8) + (a2 – 4) Kết quả: (a + 2)(a2 – a + 2) d/ (x – y)4 – (x + y)4 Kết quả: – 8xy(x2 + y2). Bài tập 3:. a/ 125x3 – 75a2 + 15a – 1 Kết quả: (5x – 1)3 b/ 27x3 + 54a2 + 36a + 8 Kết quả: (3x + 2)3. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 18. 2.1.1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử. a/ Nội dung phương pháp - Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng. - Lựa chọn các hạng tử thích hợp để lập thành nhóm nhằm làm hiện một trong hai dạng: hoặc là nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức. - Để thực hiện được phương pháp này, ta thường dựa vào các quan hệ sau: + Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán. + Mỗi nhóm đều có thể phân tích được. + Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử ở bài toán phải tiếp tục thực hiện được.. b/ Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. Ví dụ 1: xy + 5y + 2x + 10 Giải: xy + 5y + 2x + 10 = (xy + 5y) + (2x + 10) = y( x + 5) + 2(x + 5) (Ta nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung) = (x + 5)(y + 2) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta được kết quả) Ví dụ 2: x2 + xy – x – y Giải: x2 + xy – x – y = x(x + y) – (x + y) (Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung) = (x + y)(x – 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta được kết quả) Ví dụ 3: x2 – 2x + 1 – 4y2 Giải:. x2 – 2x + 1 – 4y2. = (x2 – 2x + 1) – 4y2 (Nhóm hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức) = (x – 1)2 – (2y)2 (Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình phương). Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 19. = (x + 2y – 1)(x – 2y – 1) (Đưa ngay về dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta được kết quả) Ví dụ 4: 2x3 – 3x2 + 2x – 3 Giải: 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = x2(2x – 3) + (2x – 3 ) (Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung) = (2x – 3)(x2 + 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta được kết quả) Ví dụ 5: x6 + x4 + x2 +1 Giải:. x6 + x4 + x2 +1 = x4(x2 + 1) + x2 +1 (Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung) = (x2 + 1)(x4 + 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta được kết quả). Ví dụ 6: xm+2 – xm+3 + x – 1 Giải: xm+2 – xm+3 + x – 1 = xm+2(1 – x) + x – 1 (Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung) = (1 – x)(xm+2 – 1) (Tiếp tục đặt nhân tử chung, ta được kết quả). c/ Ưu - khuyết điểm Ưu điểm: Sử dụng trực tiếp phương pháp đặt nhân tử chung và phương pháp dùng hằng đẳng thức. Hạn chế: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm mà quá trình phân tích thành nhân tử không thực hiện được nữa thì ta phải thực hiện lại.. d/ Bài tập vận dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Bài tập 1:. a/ 3x + 3y – z(x + y) Kết quả: (x + y)(3 – z) b/ x( 2x – 5) – 10x + 25 Kết quả: (x – 5)(2x – 5) c/ x2 – (2x – y)y – 9z2 Kết quả: (x – y + 3z)(x – y – 3z). Bài tập 2:. a/ x2 – (y +2)x +2y. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 20. Kết quả: (x – y)(x – 2) b/ 16xy – 4x2 + 4y – x Kết quả: (4y – x)(4x + 1) c/ 3x2 +3y2 – x2z + z – y2z – 3 Kết quả: (3 – z)(x2 + y2 – 1) d/ ax2 – ay2 – bx2 +by2 Kết quả: (a – b)(x + y)(x – y) Bài tập 3:. a/ x4 + 2x3 – x2 – 2x Kết quả: x(x + 1)(x – 1)(x + 2) b/ x5 – x3 + x2 – 1 Kết quả: (x + 1)2(x – 1)(x2 – x + 1). 2.1.1.4 Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp. a/ Nội dung phương pháp - Phương pháp này là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp: nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán một cách cụ thể và mối quan hệ giữa các hạng tử để tìm hướng phân tích thích hợp. - Thông thường ta nên chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên: + Phương pháp nhân tử chung; + Phương pháp dùng hằng đẳng thức; + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.. b/ Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. Ví dụ 1: 3x3 – 6x2 + 3x Giải: 3x3 – 6x2 + 3x = 3x(x2 – 2x + 1) (Đặt nhân tử chung, làm xuất hiện dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu) = 3x(x – 1)2. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>