Bài giảng môn học Hình học lớp 7 - Xoay quanh một bài toán hình học

<span class='text_page_counter'>(1)</span>XOAY QUANH MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC Bài toán : Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy hai điểm D, E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng nếu Đ BAD = Đ CAE thì tam giác ABC là tam giác cân. Cách 1 : (Vũ Cao Ân). Từ D vẽ DF // AC, từ E vẽ EG // AB ta chứng minh được DF/EG = AC/AB (1) ; ΔADF đồng dạng với ΔAEG (g. g) => DF/EG = AD/AE (2) Từ (1) và (2) có AC/AB = AD/AE => ΔADC đồng dạng với ΔAEB (c. g. c). => Đ ABC = Đ ACB. Cách 2 : (Trương Sơn Ca). Giả sử Đ B > Đ C => AC > AB => AC/AB > 1. Vẽ M thuộc AD sao cho Đ ABM = Đ ACE. Có Đ M1 = góc E1 => Đ M2 = Đ E2 ; góc D1 > Đ E2 = Đ M2 . => BM > BD => BD/BM < 1 . (1) ΔABM đồng dạng với ΔACE => AB/AC = BM/EC => EC/BM = BD/BM = AC/AB > 1 . (2) (1) và (2) mâu thuẫn. Từ đó ta có đpcm. Cách 3 : (Nguyễn Quang Hùng). Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Từ D và E lần lượt vẽ DF vuông góc với AB ; EG vuông góc với AC. BD = CE => SABD = SACE => AB.DF = AC.EG => DF/EG = AC/AB (1). ΔADF đồng dạng với ΔAEG => DF/EG = AD/AE (2) Từ (1) và (2) => AC/AB = AD/AE , cho ta ΔABE đồng dạng với ΔACD => Đ ABE = Đ ACD. Cách 4 : (Minh Quân). Vẽ hình bình hành ABEF => BE = AF. Chứng minh được tứ giác ADCF là hình bình hành => Đ EFC = Đ BAD = Đ EAC (gt). ΔAEG đồng dạng với ΔFCG (g. g) => AG/FG = EG/CG (1) Do AG/GC = FG/GE (AF // EC) => AG/FG = EG/CG (2) Từ (1) và (2) có EG = GC cân tại G => ΔGEC cân tại G => Đ FEC = Đ ACE => Đ ABC = Đ ACB. Cách 5 : (Đỗ Đăng Trí). Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Vẽ BH, CK là các đường cao của các tam giác ABD, ACE. BD = CE => SABD = SACE => BH/CK = AE/AD ΔABH đồng dạng với ΔACK => BH/CK = AB/AC ΔABE đồng dạng với ΔACD ( Đ BAE = Đ CAD , AB/AC = AE/AD) => Đ ABE = Đ ACD => Δ ABC cân tại A. Cách 6 : (Bảo Linh). Qua B vẽ đường thẳng song song AC cắt AD tại M, qua C vẽ đường thẳng song song AB cắt AE tại N. ΔABM đồng dạng với ΔACN (g. g) => AB/AC = BM/CN (1) ΔADC có BM // AC => AC/BM = BE/BD ΔABE có CN // AB => AB/CN = BE/EC Do đó có AB/AC = CN/BM (2) Từ (1) và (2) có AB/AC.AB/AC = BM/CN.CN/BM => AB2/AC2 = 1 => AB = AC.. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM ĐỒNG QUY Các bạn đã học qua lớp 7 chắc chắn đều biết về các đường đồng quy của tam giác : Định lí 1 : Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm ; Định lí 2 : Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm ; Định lí 3 : Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm ; Định lí 4 : Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. SGK Toán 7 tập 2 đã sử dụng cùng một phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy để chứng minh định lí 2, định lí 3. Phương pháp chứng minh này có thể mô tả khái quát như sau : Ba đường thẳng a, b, c đồng quy nếu : - Mọi điểm thuộc c đều có tính chất C và ngược lại. - Chứng tỏ giao điểm của a và b thỏa mãn tính chất C. Các bạn cần lưu ý, quỹ tích các điểm thỏa mãn tính chất C chính là đường thẳng c. Như vậy mấu chốt của phương pháp này chính là việc phát hiện ra tính chất C.. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Nếu ta phát hiện ra nhiều tính chất của đường thẳng c thì cũng có nghĩa là sẽ có nhiều cách chứng minh a, b, c đồng quy. Ta sẽ áp dụng phương pháp này để chứng minh các định lí trên. * Chứng minh định lí 1 : Cách 1 : - Bổ đề 1 : Trong một tam giác, quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng nối hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh khác nhau, song song với cạnh thứ ba là trung tuyến thuộc cạnh thứ ba đó. - Gọi AM, BN, CK lần lượt là các trung tuyến của ∆ABC ; G = BN ∩ CK. Qua G dựng DE // BC, FR // AB, PQ // AC (hình 1).. Theo bổ đề 1 ta có GF = GR ; GP = GQ. Từ đó dễ thấy ∆DQG = ∆FGP ; ∆FGP = ∆GRE (g.c.g) => ∆DQG = ∆GRE => DG = GE=> G Є AM (theo bổ đề 1). Vậy AM, BN, CK đồng quy tại G. Định lí 1 được chứng minh. Cách 2 : (hướng dẫn) - Bổ đề 2 : Quỹ tích các điểm nằm trong một tam giác với các cạnh a, b, c, có tỉ số khoảng cách tới hai cạnh b, c là c/b là trung tuyến thuộc cạnh a. - Gọi AM, BN, CK lần lượt là các trung tuyến của ∆ABC ; G = BN ∩ CK. Dựng GD  AB, GE  AC, GF  BC. Theo bổ đề 2 suy ra : GD/GF = BC/AB ; GF/GE = AC/BC ; => GD/GE = GD/GF . GF/GE = BC/AC . AC/BC = AC/BC ; * Chứng minh định lí 2 : (sử dụng kết quả khác với SGK) - Bổ đề 3 : Trong ∆ABC, DE // BC (D Є AB, E Є AC), quỹ tích điểm I thuộc DE sao cho ID/IE = AB/AC là đường phân giác AA1. - Gọi AA1, BB1, CC1 lần lượt là các phân giác của ∆ABC ; I = BB1 ∩CC1. Qua I dựng DE // BC, FR // AB, PQ // AC (hình 2). Từ bổ đề 3 suy ra : IF/IR = BC/AC ; IQ/IP = AB/BC ;. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Mặt khác, ta nhận thấy các tam giác IFP, RIE, QDI đôi một đồng dạng => ID/IE = ID/FP . FP/IE = IQ/IP . IF/IR = AB/BC . BC/AC = AB/AC. => ID/IE = AB/AC => I Є AA1 (theo bổ đề 3). Vậy AA1, BB1, CC1 đồng quy tại I. Định lí 2 được chứng minh. * Chứng minh định lí 4 : - Bổ đề 4 : Cho ∆ABC, N thuộc đường cao BB’ và K thuộc đường cao CC’ sao cho DE // BC (D Є AB, E Є AC). Quỹ tích điểm H thuộc DE sao cho HD/DE = BK2/CN2 là đường cao AA’. Hướng dẫn : (hình 3). Hai tam giác vuông ANC và AKB có NB’ ∩ AC ; KC’ ∩ AB => AN2 = AB’.AC ; AK2 = AC’.AB (1). Hai tam giác vuông AB’B và AC’C đồng dạng vì có chung  BAC => AB’.AC = AC’.AB (2). Từ (1) và (2) => AN = AK. Gọi M Є AA’ sao cho  BMC = 90o tương tự ta có : AN = AK ; BM = BK ; CM = CN (3). Xét tam giác vuông BMC, MA’  BC => BM2 = BA’.BC và CM2 = CA’.BC => BA'/CA' = BM2/CM2 = BK2/CN2 = HD/HE (theo bổ đề 3) => nếu H’ = DE ∩ AA’ thì H'D/H'E = BA'/CA' = HD/HE => H’ ≡ H. Trở lại định lí 4 (hình 4). Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> - Gọi M, N, K lần lượt nằm trên các đường cao AA’, BB’, CC’ của ∆ABC sao cho  BMC =  ANC =  AKB = 90o, H = BB’ ∩ CC’. Qua H dựng DE // BC, FR // AB, PQ // AC.. Từ bổ đề 4 suy ra : HQ/HP = AK2/CM2 ; HF/HR = BN2/AN2 Mặt khác, ta nhận thấy các tam giác HFP, RHE, QDH đôi một đồng dạng nên : HD/HE = HD/FP . FP/HE = HQ/HF . HF/HR = AK2/CM2 . BM2/AN2 => HD/HE = BM2/CM2 (Do AK = AN) => H Є AA’ (theo bổ đề 4). Vậy AA’, BB’, CC’ đồng quy tại H. Định lí 4 được chứng minh. * Đề nghị bạn đọc chứng minh các bổ đề 1 ; 2 ; 3 và làm bài tập sau. Bài tập : Trong một tam giác, đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến qua đường phân giác cùng xuất phát từ một đỉnh được gọi là đường đối trung của đỉnh đó. Chứng minh rằng trong tam giác, ba đường đối trung đồng quy. Như vậy thông qua hai chứng minh định lí của SGK, ta đã rút ra được một phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy rất hiệu quả. Tôi hi vọng các bạn sẽ thành công trong nhiều trường hợp khác.. TẬP "LỘI NGƯỢC" ... KHI GIẢI TOÁN “Lội ngược dòng” là một cụm từ quen thuộc trong thể thao, dùng để chỉ những cố gắng đảo ngược kết quả của một trận đấu. Còn “lội ngược dòng” khi giải toán là quá trình phân tích đi lên từ kết quả để tìm ra lời giải. Với mỗi hướng “lội ngược dòng” ta sẽ có thể tìm ra một cách giải. Ta xét bài toán sau : Bài toán : (định lí Py-ta-go) Cho ∆ABC vuông tại A, BC = a, AC = b, AB = c. Chứng ming rằng : a2 = b2 + c2 (*) Hướng 1 : Từ a2, b2, c2 ta liên hệ đến diện tích của các hình vuông có cạnh là a, b, c. Nếu dựng về phía ngoài của ∆ABC các hình vuông có cạnh lần lượt là BC, CA, AB thì (*). Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> tương đương với diện tích hình vuông cạnh BC bằng tổng diện tích của hai hình vuông có cạnh CA, AB. Ta tiếp tục đặt vấn đề : liệu có thể chia hình vuông cạnh BC thành hai hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích của hai hình vuông còn lại không. Từ đó ta phát hiện ra đường HH’, trong đó H là chân đường vuông góc hạ từ A của ⇼ABC. Cách 1 : Dựng về phía ngoài của ∆ABC các hình vuông AEFB, BMNC, CPQA (hình 1). Đường cao AH  BC cắt MN tại H’ (H Є BC). Đặt BH = c’ và CH = b’. Ta cần chứng minh : SCNH’H = SCPQA ; SBMH’H = SAEFB hay a.b’ = b2 ; a.c’ = c2 (**). Thật vậy, vì hai tam giác vuông ABC và HBA có chung nên ∆ABC đồng dạng với ∆HBA suy ra : AB/HB = BC/AB => AB2 = HB.BC => c2 = a.c'.. Tương tự ta có b2 = ab’. Định lí được chứng minh và nếu biết trước (**) thì ta cũng không cần vẽ thêm các hình vuông phụ. Hướng 2 : Ta có : a2 = b2 + c2 = (b + c)2 - 2bc <=> a2 + 4. 1/2 bc = (b + c)2 : (1). Liên hệ với các công thức tính diện tích, ta nhận thấy a2 và (b + c)2 là diện tích các hình vuông có cạnh a và b + c ; 1/2 bc là diện tích tam giác có hai cạnh bên là b và c. Từ đây ta thử tìm cách dựng hình phụ và chứng minh. Cách 2 : Dựng hình vuông ADEF có độ dài cạnh là b + c ; B Є AD ; C Є AF (hình 2). Lấy I Є EF ; K Є DE sao cho IF = KE = b. Ta nhận thấy ∆ABC = ∆DKB = ∆EIK = ∆FCI ;. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> BCIK là hình vuông. => SBCIK + SABC + SDKB + SEIK + SFCI = SADEF <=> SBCIK + 4.SABC = SADEF <=> a2 + 4. 1/2 bc = (b + c)2 <=> a2 = b2 + c2. Hướng 3 : Thay đổi cách nhìn một chút so với cách 2, ta thấy : (*) <=> 1/2(b + c)(b + c) = 1/2a2 + 2. 1/2bc , trong đó vế trái là diện tích của hình thang có hai đáy là b, c và có đường cao là b + c. Cách 3 : Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = c ; Dựng điểm D thuộc nửa mặt phẳng có bờ AE, chứa điểm B, DE  AE, DE = b (hình 3).. Ta nhận thấy ABDE là hình thang vuông có hai đáy AB = c, DE = b, đường cao AE = b + c ; ∆ABC = ∆ECD ; ∆BCD vuông cân tại C có cạnh là a. => SABDE = SBCD + SABC + SECD <=> SABDE = SBCD + 2.SABC <=> 1/2(b + c)(b + c) = 1/2a2 + 2. 1/2bc <=> a2 = b2 + c2. Hướng 4 : Tiếp tục biến đổi (*) theo hướng khác, a2 = b2 + c2 = (b - c)2 + 2bc <=> a2 = (b - c)2 + 4. 1/2bc. Cách 4 : Không mất tính tổng quát, giả sử b > c. Dựng hình chữ nhật ABA’C ; hình vuông BCED (chứa A’) ; trên BA’ lấy điểm B’ sao cho BB’ = c ; trên DB’ lấy điểm C’ sao cho DC’ = c ; CA’ ∩ EC’ = D’ (hình 4).. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Ta chứng minh được những kết quả sau : ∆ABC = ∆A’CB = ∆B’BD = ∆C’DE = ∆D’EC và A’B’C’D’ là hình vuông có cạnh là b c. => SBCED = SA’B’C’D’ + SA’BC + SB’BD + SC’DE + SD’EC <=> SBCED = SA’B’C’D’ + 4.SABC <=> SBCDE = SA'B'C'D' + 4.SABC <=> a2 = (b - c)2 + 4. 1/2bc <=> a2 = b2 + c2. Việc tập “lội ngược dòng” sẽ giúp các bạn tập giải quyết được các bài toán. Các bạn thử tìm lời giải của các bài tập : Bài tập 1 : Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng : SSABCD ≤ 1/2.AC.BD. Bài tập 2 : Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó. Chứng minh rằng :. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Trong chương trình môn Toán THCS, các bạn đã được học và làm quen với phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Bài viết giúp các bạn có một số phương pháp cơ bản để xét phương trình loại này. Phương pháp 1 :1 Phương pháp chia khoảng trên trục số. Ta xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối. Thí dụ 1 : Giải phương trình : |2x - 1| + |2x - 5| = 4. (1) Lời giải : Lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối :. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Từ đó ta xét 3 trường hợp sau : - Xét x< 1/2 : (1) trở thành - 4x + 6 = 4 <=> x < 1/2 không phụ thuộc khoảng đang xét. - Xét. :. (1) trở thành 4 = 4 đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét, tức là - Xét (1) trở thành 4x - 6 = 4 <=> x = 5/2 thuộc khoảng đang xét. Kết luận : Nghiệm của phương trình (1) là. Phương pháp 2 : Phương pháp biến đổi tương đương. Ta áp dụng hai phép biến đổi cơ bản sau :. Thí dụ 2 : Giải phương trình : |x - 1| = |3x - 5| (2) Lời giải : áp dụng phép biến đổi thứ hai ta có :. Kết luận : Phương trình (2) có hai nghiệm : x1 = 2 ; x2 = 3/2 Nhận xét : Ta có thể sử dụng phương pháp 1 để giải phương trình (2). Phương pháp 3 : Phương pháp đặt ẩn số phụ. Thí dụ 3 : Giải phương trình : |x2 - 5x + 5| = -2x2 + 10x - 11. (3) Lời giải : (3) tương đương với : |x2 - 5x + 5| = -2(x2 - 5x + 5) - 1 Đặt x2 - 5x + 5 = t thì phương trình trở thành |t| = -2t - 1.. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Phương pháp 4 : Sử dụng đồ thị. Nguyên tắc : Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) chính là hoành độ điểm chung của hai đồ thị y = f(x) và y = g(x). Thí dụ 4 : Biện luận số nghiệm của phương trình : |x - 1| + |x + 1| + |x| = m. Lời giải : Trước hết vẽ đồ thị hàm số y = |x - 1| + |x + 1| + |x|. + Lập bảng khử dấu trị tuyệt đối :. + Vẽ đồ thị trên từng khoảng, chú ý các điểm đặc biệt A (-1 ; 3) ; B (0 ; 2) ; C (1 ; 3). Số nghiệm của phương trình đúng bằng số điểm chung của đường thẳng y = m với đồ thị vừa vẽ. Từ đồ thị ta có :. Nếu m < 2 thì phương trình vô nghiệm. Nếu m = 2 thì phương trình có một nghiệm duy nhất.. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Nếu m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. Phương pháp 5 : Sử dụng bất đẳng thức. Nguyên tắc : Sử dụng bất đẳng thức để so sánh f(x) và g(x). Từ đó tìm nghiệm của phương trình f(x) = g(x). Thí dụ 5 : Giải phương trình : |x - 2003|5 + |x - 2004|,sup>7 = 1. Lời giải : Kiểm tra ngay x = 2003 và x = 2004 là các nghiệm của phương trình. Nếu x > 2004 thì x - 2003 > 1 nên |x - 2003| > 1 => |x - 2003|5 > 1 => |x - 2003|5 + |x 2004|7 > 1. Chứng tỏ phương trình không có nghiệm thỏa mãn x > 2004. Nếu x < 2003 thì x - 2004 < - 1 nên |x - 2004| > 1 => |x - 2004|7 > 1 => |x - 2003|5 + |x - 2004|7 > 1. Chứng tỏ x < 2003 không là nghiệm. Nếu 2003 < x < 2004 thì : x - 2003 < 1 và - 1 < x < 2004 nên : | x - 2003|5 < |x - 2003| = x - 2003 và | x - 2004|7 < |x - 2004| = 2004 - x Do đó |x - 2003|5 + |x - 2004|7 < (x - 2003) + (2004 - x) = 1. Chứng tỏ 2003 < x < 2004 cũng không thỏa mãn phương trình. Tóm lại phương trình chỉ có hai nghiệm đã kiểm tra. Chú ý : Thí dụ 1 có thể giải như sau : |2x - 1| + |2x - 5| = |2x - 1| + |5 - 2x| |2x - 1 + 5 - 2x| = 4. Đẳng thức xảy ra tương đương với (2x - 1)(5 - 2x) 0 tương đương với 1/2 < x< 5/2. Dưới đây xin gửi tới các bạn một số bài tập : Bài 1 : Giải các phương trình : 1) 3|x - 1| - 2|x - 2| - |x| + |x + 1| = |x + 2| 2) |x + 1| = |x2 + x| 3) |x - 2| / (|x - 1| - 1) = 1 Bài 2 : Tìm m để phương trình : x2 - 2x - m|x - 1| + m2 = 0 có nghiệm. Bài 3 : Với giá trị nào của tham số m, phương trình sau có nghiệm duy nhất : |x + 3| - |2x - m| = 1.. CHỦ ĐỘNG SÁNG TẠO KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Một vấn đề đặt ra là nên cấu tạo đề bài tập toán như thế nào (với mục đích vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kiểm tra năng lực toán học. v.v...) để phù hợp phương pháp dạy học đổi mới theo định hướng tích cực, độc lập, sáng tạo. Câu trả lời đã trở nên rõ ràng nếu chú ý nhận xét tính đa dạng và phong phú của hệ thống bài tập trong sách giáo khoa mới. Trong khuôn khổ một bài báo, do không thể phân tích hết ưu nhược điểm của từng thể loại bài tập toán nhằm giúp học sinh học tập chủ động, sáng tạo, tác giả xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp về vấn đề này thông qua một số ví dụ về bài tập hình học. Thí dụ 1 : Bài tập kích thích mạnh mẽ tư duy học sinh là loại bài tập tình huống. Ta hãy xét bài tập sau (lớp 7).. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Cho điểm M trên trang giấy và hai đường thẳng d, d’ cắt nhau nhau ngoài trang giấy. Hãy vẽ đường thẳng d’’ đi qua điểm M và giao điểm của d, d’. Nói cách vẽ và giải thích vì sao vẽ được như vậy.. Tình huống của bài tập này là : Học sinh phải vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm, trong đó một điểm đã cho trước, còn điểm thứ hai thì chưa xác định được. Hướng giải quyết bài toán không phải là vẽ giao điểm của hai đường thẳng d và d’ mà là tìm quan hệ giữa đường thẳng phải vẽ (đường thẳng d’’ đi qua điểm M) với những đường thẳng khác có thể vẽ được trên trang giấy. Quá trình mò mẫm dẫn đến cấu hình ba đường cao đồng quy trong tam giác, từ đó => cách vẽ. Lời giải (tóm tắt) mong đợi là như sau : Cách vẽ : Vẽ đường thẳng a đi qua M và vuông góc với d’, a cắt d tại A. Vẽ đường thẳng b đi qua M và vuông góc với d, b cắt d’ tại B. Vẽ đường thẳng d’’ đi qua M và vuông góc với AB, d’’ là đường thẳng phải vẽ, nó đi qua giao điểm của d và d’ (giao điểm này nằm ngoài trang giấy) vì ba đường cao d, d’, d’’ của tam giác MAB đồng quy.. Cũng có thể giải thích như sau : Giả sử giao điểm của d và d’ là C (nằm ngoài trang giấy). Trong tam giác ABC, hai đường cao a và b cắt nhau tại M. Thế thì đường thẳng d’’ đi qua M (trực tâm của tam giác ABC) và vuông góc với AB phải là đường cao thứ ba, vậy d’’ đi qua C. Thí dụ 2 : Ta hãy xét bài tập sau (lớp 8). Cho hình vuông ABCD, I là trung điểm của AB, J là trung điểm của BC và K là trung điểm của IB. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống IC. Chứng minh rằng hai đường thẳng HJ và HK vuông góc với nhau.. Tình huống đặt ra đối với học sinh ở bài tập này là : Với kiến thức đã học, nên chọn phương pháp nào để chứng minh hai đường thẳng HJ và HK vuông góc với nhau. Học sinh có thể nghĩ tới các hướng chứng minh sau : Đ HKJ = 90o (?) HK và HJ là hai tia phân giác của hai góc kề bù (không thể được !). Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Δ KHJ = Δ KBJ (?) Định lí Py-ta-go thuận và đảo (?) v.v ... Học sinh loại dần hướng chứng minh sai, và thử các hướng chứng minh có triển vọng. Lời giải (tóm tắt) mong đợi là như sau : Tính HJ2 : Trong tam giác vuông BHC, HJ là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Gọi cạnh hình vuông là a, ta có : HJ = BC/2 = a / 2, từ đó HJ2 = a2 / 4 HK = IB/2 = a / 4 , từ đó HK2 = a2 / 16 Tính HK 2 : Trong tam giác vuông BHI : Tính JK2 : Trong tam giác vuông BJK : JK2 = BJ2 + BK<SUP.2< sup> , từ đó JK2 = a2/4 + a2 . Từ các kết quả trên => JK2 = HJ2 + HK2 và theo định lí Py-ta-go đảo thì tam giácJHK vuông góc tại H, tức là HJ vuông góc với HK. Cũng có thể chứng minh theo hướng : Δ KHJ = Δ KBJ (vì HK = HB, HJ = BJ, KJ chung) => Đ H = Đ B bằng 90o, tức là HJ vuông góc với HK. Chú ý rằng, theo chương trình mới, học sinh lớp 7 chưa học định lí : Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Thí dụ 3 : Ta hãy xét bài tập sau (lớp 7). Trên hình vẽ, người ta đã cho biết : AE = CE, BE // CD, Đ ABC = 88o, Đ BCE = 31o. a) Tính Đ ECD. b) Tính Đ EDC c) Trong tam giác CDE thì cạnh nào lớn nhất ?. Đây là một bài tập dễ, vận dụng nhiều kiến thức và có nhiều cách giải khác nhau. Nếu đề kiểm tra cuối năm phần hình học lớp 7 được ra theo kiểu này thì chắc chắn học sinh sẽ bộc lộ rõ ràng mức độ nắm vững kiến thức cơ bản, kĩ năng cơ bản của mình và ngay cả học sinh trung bình, yếu cũng hi vọng giải được hầu hết các câu hỏi của bài toán. Lời giải (tóm tắt) : a) Đ BCD = Đ ABE = 88o (hai góc đồng vị). Đ ECD = Đ BCD - Đ BCE = 88o - 31o = 57o b) Vì tam giác EAC cân nên Đ EAB = Đ ECB = 31o. Trong tam giác ABE : Đ AEB = 180o - 88o + 31o = 61o. Đ EDC = Đ AEB - 61o (hai góc đồng vị). c) Trong tam giác CDE : Đ DEC = 180o - (57o + 61o) = 62 Vậy cạnh CD lớn nhất. Cách giải khác : a) Vì tam giác EAC cân nên Đ EAB = Đ ECB = 31o. Trong tam giác AEB : Đ ABE = 61o. Với tam giác BEC : góc ABE = 88o là góc ngoài ở đỉnh B nên góc BEC = 88o - 31o = 57o. Vì BE // CD nên Đ ECD = Đ BEC = 57o (hai góc so le trong) b) Vì BE // CD nên Đ EDC = Đ AEB = 61o (hai góc đồng vị). Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> c) Trong tam giác CDE : Đ DEC = 180o - (57o + 61o) = 62o Vậy cạnh CD lớn nhất.. BÀI TOÁN CON CÁ Theo các tác giả SGK, nội dung SGK mới rất quan tâm tới yếu tố vui học, gắn bài học với thực tế, đưa vào các mẩu chuyện về lịch sử Toán học nhằm tạo ra sự gần gũi, thân thiết, gây hứng thú học tập, từ đó giúp học sinh đạt kết quả học tập cao nhất. Việc tạo được niềm say mê, hứng thú trong học tập, bằng cách này hay cách khác chắc chắn sẽ đem lại kết quả học tập tốt hơn nhiều cho mỗi bạn. Các bạn có thể tự tạo hứng thú từ những nhận xét, phát hiện “nho nhỏ” trong quá trình học toán. Bài toán “con cá” là một ví dụ như vậy. Trong sách Bài tập toán 7 (tập 1, trang 99) có bài tập số 13, nội dung như sau : “Trên hình vẽ có Ax song song với By,  CAx = 50o,  CBy = 40o. Tính  ACB bằng cách xem nó là góc ngoài của một tam giác.” (xem hình 1) Lời giải của bài toán này xin nhường cho bạn đọc. ở đây tôi muốn trao đổi với các bạn một bài toán tổng quát hơn mà tôi thường gọi là bài toán “đầu cá”.. Bài toán 1 (bài toán “đầu cá”) : Hình 2 cho biết  CAB >  CAx, Ax // By. Chứng minh rằng :  ACB =  CAx +   CBy. Lời giải : Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa tia CB, vẽ tia Cm // Ax. Vì Ax // By => Cm // By =>  CAx =  C1 ;  CBy =  C2 (so le trong). Vậy :  CAx +  CBy =  C1 +  C2 (1). Theo giả thiết,  ACB >  CAx =>  ACB >  C1 hay tia Cm nằm giữa hai tia CA và CB, do đó :  ACB =  C1 +  C2 (2). Từ (1) và (2) suy ra  ACB =  ACx +  CBy. Lời bình : + Bài toán 1 cho biết mối quan hệ giữa hai góc  CAx,  CBy với  ACB, không phụ thuộc vào số đo của các góc như ở bài toán đặt vấn đề. + Mấu chốt của lời giải là việc kẻ thêm đường phụ Cm song song với Ax. + Đối với học sinh lớp 7 mới được tập dượt chứng minh hình học, nhất là với kiến thức ở chương I - Đường thẳng vuông góc - Đường thẳng song song, thì đây là một bài toán khá hay. Khai thác bài toán, ta có nhiều bài toán tương tự khá thú vị. Bài toán 2 (bài 57 trang 104 SGK Toán 7, tập 1) : Cho hình vẽ (a // b), hãy tính số đo x của góc O (xem hình 3).. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Gợi ý : Sử dụng kết quả của bài toán “đầu cá”, ta chỉ cần tính  OBb. Từ đó dễ dàng giải được bài toán sau : Bài toán 3 (bài 3, trang 91, SGK Toán 7, tập 2) : Xem hình 4, cho a // b,  C = 44o,  D = 132o. Tính số đo góc  COD.. Chú ý : Tương tự các bạn có thể giải được một bài trong bài toán 5, trang 92, SGK Toán 7, tập 2. Bài toán 4 (bài toán “thân cá”) : Cho hình 5, biết Ax // By và  CAx +  ACB > 180o. Chứng minh rằng :  CAx +  ACB +  CBy = 360o.. Gợi ý : + Kẻ tia đối Ax’ của tia Ax và tia đối By’ của tia By. Sử dụng kết quả của bài toán “đầu cá”. + Cách khác : Kẻ Cm // Ax và chứng minh tương tự bài toán “đầu cá”. Bài toán 5 : Cho hình 6, biết Ax // By và  CBy >  ACB. Chứng minh rằng :  CBy =  xAC +  ACB.. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Gợi ý : Kẻ tia Cm // Ax và chứng minh tương tự bài toán “đầu cá”. Bài toán 6 : Cho hình 7, biết Ax // By và  CBy >  ACB. Chứng minh rằng :  CAx +  CBy -  CAB = 180o.. Gợi ý : Kẻ Cm // Ax. * Từ bài toán 1 đến bài toán 6 đều có các bài toán đảo thú vị đang chờ các bạn tiếp tục khám phá. Sau khi học bài “Tổng ba góc trong một tam giác” của chương II, nếu thay đổi giả thiết của bài toán “đầu cá” : Ax không song song với By thì ta có bài toán sau. Bài toán 7 (bài toán “đuôi cá”) : Cho hình 8. Chứng minh rằng :  ACB =  MAC +  MBC +  AMB.. Gợi ý : Nối MC kéo dài về phía C, sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác. Kết hợp các bài toán trên, ta được bài toán “con cá” hoàn chỉnh. Bài toán 8 (bài toán “con cá”) : Cho hình 9. Tính các góc x, y, z.. Lời giải bài toán 8 dành cho bạn đọc.. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Con đường đi đến bài toán “con cá” thật đơn giản nhưng rất lí thú phải không các bạn ? LTS : Xuất phát từ bài 57 trang 104 SGK Toán 7, tập 1), thầy giáo Nguyễn Đức Tấn (TP. HCM) cũng đã tổng quát mối liên hệ giữa ba góc  OAa,  AOB,  OBb (xem hình 3). Từ đó hình thành loạt bài toán tính số đo của một góc biết số đo của hai góc còn lại và các bài toán đảo.. MỘT PHƯƠNG PHÁP THÚ VỊ GIẢI BÀI TOÁN TÍNH GÓC Các bài toán về tính số đo góc rất đa dạng, xuất hiện nhiều trong các kì thi. Để giải quyết tốt dạng toán này có khi phải vẽ hình phụ. Trong bài viết này, tôi xin giới thiệu với các em phương pháp vẽ thêm hình phụ là tam giác đều trong bài toán tính số đo góc. Bài toán 1 : Cho tam giác ABC cân tại A,  A = 200. Trên AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính  BDC. Lời giải : Cách 1 : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam giác đều BCE (hình 1).. Vì tam giác ABC cân tại A,  A = 200 nên  ABC =  ACB = 800. Vậy E thuộc miền trong tam giác ABC, suy ra  ACE = 200 (1). Dễ thấy ∆ABE = ∆ACE (c.c.c) nên  BAE =  CAE =  A / 2 = 100 (2). Từ (1) suy ra  A =  ACE = 200 suy ra ∆DAC = ∆ECA (c.g.c), kết hợp với (2) suy ta  ACD =  CAE = 1010. Ta có  BDC là góc ngoài của ∆DAC nên  BDC =  DAC +  DCA = 200 + 100 = 300. Cách 2 : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, chứa điểm C, dựng tam giác đều ABI (hình 2).. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Vì ∆ABC cân tại A,  A = 200 nên AI = AB = AC ;  CAI = 400 ;  IBC = 200 suy ra  ACI = 700(∆ACI cân tại A) suy ra  BCI = 1500 Lại có ∆ADC = ∆BCI (c.g.c) Suy ra  ADC =  BCI = 1500 suy ra  BDC = 300. Bài toán 2 (đề thi vô định toán Nam Tư năm 1983) : Cho tam giác ABC cân tại A,  A = 800. Ở miền trong tam giác lấy điểm I sao cho  IBC = 100 ;  ICB = 300. Tính  AIB. Lời giải : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam giác đều BCE (hình 3).. Vì ∆ABC cân tại A, nên  A = 800 nên  ABC =  ACB = 500 suy ra  ABE =  ACE = 100 ; điểm A thuộc miền trong tam giác BCE. Dễ dàng chứng minh được ∆AEB = ∆ICB (g.c.g) suy ra BA = BI suy ra ∆ ABI cân tại B, có  ABI = 500 - 100 = 400 suy ra  AIB = 700. Bài toán 3 : Cho tam giác ABC cân tại A,  A = 1000. Trên cạnh AB kéo dài về phía B, lấy điểm E sao cho AE = BC. Tính  AEC. Lời giải : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AE, chứa điểm C, dựng tam giác đều AEF (hình 4).. Vì ∆ABC cân tại A,  A = 1000 nên  ABC = 400 ; tia AF nằm giữa hai tia AE, AC Suy ra  CAF = 400 suy ra ∆ABC = ∆CAF (c.g.c) Suy ra AC = FC suy ra ∆AEC = ∆FEC (c.c.c) Suy ra  AEC =  FEC = 1 / 2  AEF = 600 / 2 = 300. Qua một số bài toán nêu trên có thể thấy, việc vẽ thêm hình phụ là tam giác đều tỏ ra rất hiệu quả đối với bài toán tính số đo góc bởi vì nó đã tạo ra các góc 60o ; tạo ra nhiều mối quan hệ bằng nhau giữa các cạnh, các góc, các tam giác, .... Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Các bạn hãy làm thêm bài toán sau : Bài toán 4 : Cho tam giác ABC cân tại A,  A = 800. Trên AC lấy điểm E, trên BC lấy điểm F sao cho  ABE =  CAF = 300. Tính  BEF.. ĐỊNH LÍ PY - TA - GO MANG ĐẾN NHIỀU BÀI TOÁN THÚ VỊ Khi hỏi một bạn học sinh lớp 8 năm học 2003-2004 : “Nếu một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1 thì cạnh huyền bằng bao nhiêu ?”, chắc bạn đó sẽ lúng túng. Điều đó cũng dễ hiểu vì trong chương trình môn toán thì năm học 2003-2004 trở về trước, học sinh lớp 8 chưa học căn bậc hai. Nhưng nếu đặt câu hỏi đó cho một học sinh lớp 7 vào cuối học kì I của năm học 20032004 thì bạn đó sẽ trả lời : - Quá dễ ! 12 + 12 = 2, đáp số là chứ gì ! Định lí Py-ta-go và căn bậc hai trong sách giáo khoa Toán 7 mới giúp ta có thêm nhiều khả năng tiếp cận những bài toán thú vị. 1. Bài toán tính độ dài đoạn thẳng Ví dụ 1 : Tính các độ dài x, y trên hình 1.. Lời giải : áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông AHC, AHB ta có : x2 = 162 + AH2 ; y2 = 92 + AH2. Do đó : x2 - y2 = (162+ AH2) - (92 + AH2) = 175 (1) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông BAC : x2 + y2 = (9 + 16)2 = 625 (2) Từ (1) và (2) suy ra x2 = 400 ; y2 = 225. Do đó : x = 20 ; y = 15. Ví dụ 2 : Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 3 và 8, góc xen giữa bằng 60o. Tính độ dài cạnh còn lại. Lời giải : (hình 2) Xét tam giác ABC có AB = 8 ; AC = 3. Kẻ đường cao AH. Tam giác vuông AHB có ĐA = 60o nên AH = AB : 2 = 8 : 2 = 4. Do AC = 3 nên C nằm giữa A và H và CH = AH - AC = 4 - 3 = 1.. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>