Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức THCS

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (310.42 KB, 20 trang )

(1)==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==. Tr. phßng GD & §T huyÖn yªn thµnh trường THCS Mã Thành. Một số phương pháp chứng minh. Bất Đẳng Thức THCS. Gi¸o viªn biªn so¹n: NguyÔn B¸ Phóc. ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 1.

(2) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==. Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức THCS Bất đẳng thức là một trong những kiến thức trọng yếu của chương trình Toán TH. Đối với chương trình Toán THCS các em học sinh thường gặp dạng Toán này trong các kì thi “lớn” như HSG hoặc vào các trường chuyên. Song trong quá trình giãng dạy của mình, Tôi nhận thấy rằng, đa số học sinh thường rất yếu về dạng Toán này. Chính vì thế mà bài viÕt nµy T«i muèn göi tíi toµn thÓ c¸c em Häc Sinh nh÷ng g× mµ T«i nghÜ lµ gÇn gòi víi các em nhất, với mong muốn phần nào đó giúp các em nắm vững hơn các kiến thức, rồi từ đó giải thành thạo giạng Toán này. PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn nhí. A  B  A  B  0 A  B  A  B  0. 1) §inhnghÜa . 2) TÝnh chÊt +) A > B  B < A +) A > B vµ B > C  A > C +) A > B  A + C > B + C +) A > B vµ C > D  A + C > B + D +) A > B vµ C > 0  A.C > B.C +) A > B vµ C < 0  A.C < B.C +) 0 < A B > 0  An > Bn Víi mäi gi¸ trÞ n. +) A > B  An > Bn víi n lÎ. +) A  B  An > Bn víi n ch½n. +) m > n > 0 vµ A > 1  Am > An +) m > n > 0 vµ 0 < A < 1  Am < An +) A 0 . 1 1  A B. 3) Một số bất đẳng thức cơ bản. +) A 2  0 víi  A (dÊu = x¶y ra khi A = 0) +) A 2 n  0 víi  A (dÊu = x¶y ra khi A = 0) +) A  0 víi  A (dÊu = x¶y ra khi A = 0) +)  A  A  A +) A  B  A  B (dÊu = x¶y ra khi A.B > 0) +) A  B  A  B (dÊu = x¶y ra khi A.B < 0) Phần II : một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B Ta chøng minh A – B > 0 2 Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M  0 luôn đúng với mọi M VÝ dô 1 Víi mäi sè thùc x, y, z chøng minh r»ng : ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 2.

(3) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==. a) x + y + z  xy+ yz + zx 2 2 2 b) x + y + z  2xy – 2xz + 2yz 2 2 2 c) x + y + z +3  2(x + y + z) 2. 2. 2. Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu:. x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx =. 2zx) =. . 1 .(2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2. . 1 x  y 2  ( y  z )2  ( z  x)2  0 (*) 2. V× (x – y)2  0 víi mäi x ; y DÊu b»ng x¶y ra khi x = y (y – z)2  0 víi mäi y ; z DÊu b»ng x¶y ra khi y = z (z – x)2  0 víi mäi z; x DÊu b»ng x¶y ra khi z = x  Bất đẳng thức (*) luôn đúng với mọi x; y; z  R 2 2 2 VËy x + y + z  xy + yz + zx DÊu b»ng x¶y ra khi x = y = z 2 2 2 b)Ta xÐt hiÖu: x + y + z – ( 2xy – 2xz + 2yz ) = x2 + y2 + z2– 2xy + 2xz – 2yz = (x – y + z)2  0 luôn đúng với mọi x; y; z  R Vậy x2+ y2+ z2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x; y; z  R. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z. 2 2 2 2 2 2 c) Ta xÐt hiÖu: x + y + z + 3 – 2( x + y + z ) = x – 2x + 1 + y – 2y + 1 + z – 2z +1 2 2 2 = (x – 1) + (y – 1) +(z – 1)  0 DÊu (=) x¶y ra khi x = y = z = 1 VÝ dô 2: Chøng minh r»ng : a2  b2  a  b  a)   2  2 . 2. a2  b2  c2  a  b  c  b)   3 3  . 2. c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n gi¶i a) Ta xÐt hiÖu:. 2. a b 2(a  b ) a 2  2ab  b 2 ab     2 4 4  2  1 = 2a 2  2b 2  a 2  2ab  b 2 4 1 = a  b 2  0 víi mäi a; b. 4 2. 2. 2. 2. . . 2. a2  b2  a  b  VËy   DÊu b»ng x¶y ra khi a = b. 2  2  2. b)Ta xÐt hiÖu:. . . a2  b2  c2  a  b  c  1 2 2 2    (a  b)  (b  c)  (c  a )  0 víi mäi a; b. 3 3 9   2. a2  b2  c2  a  b  c  VËy   DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c 3 3  . c)Tæng qu¸t ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 3.

(4) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== 2. a12  a 22  ....  a n2  a1  a 2  ....  a n    n n   Tóm lại các bước để chứng minh A  B theo định nghĩa. Bước 1: Ta xét hiệu H = A – B Bước 2: Biến đổi H = (C  D)2 hoặc H =(C  D)2+….+ (E  F)2 Bước 3: Tìm ĐK để dấu “=” xãy ra. Bước 4: Kết luận A  B Ví dụ: Chứng minh rằng Với mọi số thực m, n, p, q ta đều có 2 2 2 2 m + n + p + q +1  m.(n + p + q + 1) (Chuyªn Nga- Ph¸p 98-99) Gi¶i: XÐt hiÖu: H = m 2  n 2  p 2  q 2  1  m.(n  p  q  1) m2  n 2  p 2  q 2  m.n  m. p  m.q  m 4  m2   m2   m2   m2  =   m.n  n 2     m. p  p 2     m.q  q 2     m  1  4   4   4   4 . = 4.. 2. 2. 2. 2. m m m m =   n     p     q     1  0 Víi mäi sè thùc m, n, p, q. 2  2  2  2  m m  2 n 0 n   2  m  p  0  p  m 2 m  2  Hay  DÊu b»ng x¶y ra khi:  2 n  p  q  1 m  q  0  m 2 q  2 m  m  2  1  0 2. Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương. Lưu ý: Nguyên tắc để chứng minh Bất đẳng thức A  B ta phải biến đổi bất đẳng thức đã cho tương đương với một bất đẳng thức đúng hoặc một bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Chú ý: Các hằng đẳng thức sau:. A  B 2  A 2  2 AB  B 2 A  B  C 2  A 2  B 2  C 2  2 AB  2 AC  2 BC A  B 3  A3  3 A 2 B  3 AB 2  B 3. VÝ dô 1: Cho a, b, c, d, e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng: b2  ab 4 b) a 2  b 2  1  ab  a  b c) a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  a(b  c  d  e). a) a 2 . Gi¶i: a) Ta cã: a 2 . b2  ab  4a 2  b 2  4ab 4. ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 4.

(5) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==.  4a 2  b 2  4ab  0  (2a  b) 2  0 (bất đẳng thức này luôn đúng với mọi số thực a; b) b2  ab . DÊu b»ng x¶y ra khi 2a = b 4 b) Ta cã: a 2  b 2  1  ab  a  b  2.(a 2  b 2  1)  2.(ab  a  b)  2a 2  2b 2  2  2ab  2a  2b  0  (a 2  2ab  b 2 )  (a 2  2a  1)  (b 2  2b  1)  0. VËy a 2 .  (a  b) 2  (a  1) 2  (b  1) 2  0 (Bất đẳng này luôn đúng).. VËy a 2  b 2  1  ab  a  b . DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = 1 c) Ta cã: a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  a(b  c  d  e)  4.(a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  4.a (b  c  d  e)  4a 2  4b 2  4c 2  4d 2  4e 2 )  4ab  4ac  4ad  4ae  4a 2  4b 2  4c 2  4d 2  4e 2  4ab  4ac  4ad  4ae  0  (a 2  4ab  4b 2 )  (a 2  4ac  4c 2 )  (a 2  4ad  4d 2 )  (a 2  4ae  4e 2 )  0  (a  2b) 2  (a  2c) 2  (a  2d ) 2  (a  2e) 2  0 (Bất đẳng thức này luôn đúng) VËy a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  a(b  c  d  e) VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: (a 10  b10 ).(a 2  b 2 )  (a 8  b 8 ).(a 4  b 4 ). Gi¶i: Ta cã: (a 10  b10 ).(a 2  b 2 )  (a 8  b 8 ).(a 4  b 4 )  a 12  a 10 .b 2  a 2 .b10  b12  a 12  a 8 .b 4  a 4 .b 8  b12  a 8 .b 2 (a 2  b 2 )  a 2 b 8 (b 2  a 2 )  0  a 2 b 2 (a 2  b 2 )(a 6  b 6 )  0  a 2 b 2 (a 2  b 2 ) (a 2 ) 3  (b 2 ) 3  0  a 2 b 2 (a 2  b 2 ) 2 a 4  a 2 .b 2  b 4  0 (*).  . . . Bất đẳng thức (*) luôn đúng vậy ta có điều phải chứng minh. x2  y2 2 2 VÝ dô 3: Cho x.y =1 vµ x > y. Chøng minh r»ng x y. Gi¶i: Ta cã:. x2  y2 x2  y2  2 2 V×: x > y nªn x – y > 0   2 2  x 2  y 2  2 2 .( x  y ) x y x y.  x 2  y 2  2 2 .x  2 2 . y  0  x 2  y 2  2  2 2 .x  2 2 . y  2  0  x 2  y 2  ( 2 ) 2  2 2 .x  2 2 . y  2 xy  0 (v× x.y =1 nªn 2 = 2xy). (*) BĐT (*) luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh VÝ dô 4: a) Chøng minh: P(x,y) = 9 x 2 y 2  y 2  6 xy  2 y  1  0 x; y  R b) Chứng minh: a 2  b 2  c 2  a  b  c (Gợi ý: Bình phương 2 vế)  (x  y  2)2  0. ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 5.

(6) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==  x. y.z  1 c) Cho ba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn:  1 1 1 x  y  z  x  y  z . Chứng minh rằng: Có đúng một trong ba số x, y, z lớn hơn 1. (§Ò thi vµo líp 10 PTTH Chuyªn Lam S¬n – Thanh Ho¸ n¨m häc 96 - 97) Gi¶i: c) XÐt ( x  1)( y  1)( z  1)  xyz  ( xy  yz  zx)  x  y  z  1 1 1 1  ( xyz  1)  ( x  y  z )  xyz    x y z 1 1 1 1 1 1  ( x  y  z )       0 (v×    x  y  z theo gt) x y z x y z.  2 trong 3 số (x – 1), (y – 1), (z – 1) âm, hoặc cả 3 số(x – 1), (y – 1), (z – 1) đều. dương. Nếu cả 3 số(x – 1), (y – 1), (z – 1) đều dương thì x, y, z >1  x.y.z > 1 (trái với giả thiết x.y.z =1). Vì thế, bắt buộc phải xảy ra trường hợp 2 trong 3 số (x – 1), (y – 1), (z – 1) âm, tức là có đúng 1 trong ba số x, y, z là số lớn hơn 1 (đpcm). Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức quen thuộc (Bất đẳng thức phụ) A. Một số bất đẳng thức hay sử dụng. 1) Các bất đẳng thức cơ bản. a) x 2  y 2  2 xy  2 xy . DÊu “=” x·y ra khi x = y. b) x 2  y 2  xy . DÊu “=” x·y ra khi x = y = 0. c) ( x  y ) 2  4 xy . DÊu “=” x·y ra khi x = y. a b   2 . DÊu “=” x·y ra khi x = y. b a a  a  a  ...  a n n 2) Bất đẳng thức Cô sy: 1 2 3  a1 .a 2 .a3 ...a n (Trong đó a1 , a 2 , a3 ,..., a n  0 ) n DÊu “=” x·y ra khi: a1  a 2  a3  ...  a n. d) NÕu a.b > 0 th×. 3) Bất đẳng thức Bunhiacopski. a. 2 2. . .  a22  ....  an2 . x12  x22  ....  2n  a1 x1  a2 x2  ....  an xn . 2. 4) Bất đẳng thức Trê - b - sép: a  b  c a. A  b.B  c.C a  b  c A  B  C  . th× . DÊu “=” x·y ra khi 3 3 3 A  B  C a  b  c a. A  b.B  c.C a  b  c A  B  C  . b) NÕu  th× . DÊu “=” x·y ra khi 3 3 3 A  B  C. a) NÕu . a  b  c  A  B  C a  b  c  A  B  C. B. C¸c vÝ dô VÝ dô 1 Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a + b)(b + c)(c + a)  8abc Gi¶i: 2 Cách 1: (Dùng bất đẳng thức phụ: ( x  y )  4 xy ) Tacã: (a  b) 2  4ab ; (b  c) 2  4bc ; (c  a ) 2  4ca ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 6.

(7) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==.  (a  b) 2 .(b  c) 2 .(c  a ) 2  4ab.4bc.4ca  (8abc) 2.  (a + b)(b + c)(c + a)  8abc.. DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c. VÝ dô 2 1 1 1   9 a b c 2) Cho x, y, z > 0 vµ x + y + z = 1 CMR: x  2 y  z  4(1  x)(1  y )(1  z ) a b c 3    3) Cho a > 0, b > 0, c > 0. CMR: bc ca ab 2. 1) Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = 1. CMR:. 4) Cho x  0,y  0 vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn: 2 x  y  1 . CMR: x  y . 1 5. VÝ dô 3: Cho a > b > c > 0 vµ a 2  b 2  c 2  1 . Chøng minh r»ng:. a3 b3 c3 1    bc ca ab 2. Gi¶i: a 2  b 2  c 2 Do a, b, c đối xứng, giả sử a  b  c   a b c    b  c c  a a  b. ¸p dông B§T Trª- b-sÐp ta cã: a b c a b c  b2.  c2.   2 2 2 bc ca ab  a b c .bc ca ab  1 a  b  c    3 3 3 9bc ca ab (V× a 2  b 2  c 2  1 theo gi¶ thiÕt) a3 b3 c3 1 3 1    .  (®pcm)  bc ca ab 3 2 2 a b c 3    ) (Vì theo Ví dụ 2 ta đã chứng minh được bc ca ab 2 3 3 3 a b c 1 1    . DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c = VËy . bc ca ab 2 3 a2.. VÝ dô 4: Cho a, b, c, d > 0 vµ a.b.c.d = 1. Chøng minh r»ng:. a 2  b 2  c 2  d 2  ab  c  bc  d  d c  a   10. Gi¶i: Ta cã: a 2  b 2  2ab vµ c 2  d 2  2cd  a 2  b 2  c 2  d 2  2ab  2cd  2.(ab  cd ) 1 1 1 V×: a.b.c.d =1 nªn cd   a 2  b 2  c 2  d 2  2.(ab  )  4 (1) (¸p dông B§T: x   2 ) ab ab x. MÆt kh¸c ta l¹i cã:. a (b  c)  b(c  d )  d (c  a )  (ab  cd )  (ac  bd )  (bc  ad ) 1   1   1    ab     ac     bc    2  2  2  6 (2) ab   ac   bc   2 2 2 2 Tõ (1) vµ (2)  a  b  c  d  a(b  c)  b(c  d )  d (c  a)  10. VÝ dô 5:. Cho 4 sè a, b, c, d bÊt kú. Chøng minh r»ng: (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2. ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 7.

(8) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==. Gi¶i: Ta cã: (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  2(ac  bd )  c 2  d 2 áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: a.c  b.d  a 2  b 2 . c 2  d 2  (a  c) 2  (b  d ) 2  (a 2  b 2 )  2 a 2  b 2 . c 2  d 2  (c 2  d 2 ). Hay (a  c) 2  (b  d ) 2  ( a 2  b 2  c 2  d 2 ) 2 2 2 2 2 2 2  (a  c)  (b  d )  a  b  c  d VÝ dô 6: Chøng minh r»ng: a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca. Gi¶i: ¸p dông B§T Bunhiacopski cho 2 cÆp sè (1, 1, 1) vµ (a, b, c) ta cã:. 1. .  12  12 (a 2  b 2  c 2 )  1.a  1.b  1.c   3(a 2  b 2  c 2 )  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca)  2(a 2  b 2  c 2 )  2(ab  bc  ca)  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca (®pcm). DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c 2. 2. Phương pháp 4: Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu 1. Lu ý: A > B vµ B > C th× A > C 2 0 < x < 1 th× x < x VÝ dô 1: Cho a, b, c, d > 0 tháa m·n a > c + d, b > c + d Chøng minh r»ng ab > ad + bc Gi¶i: a  c  d a  c  d  0  b  c  d b  d  c  0  (a – c)(b – d) > cd  ab – ad – bc + cd > cd  ab > ad + bc (®iÒu ph¶i chøng minh). Tacã . 5 3. VÝ dô 2: Cho a, b, c > 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn a 2  b 2  c 2  . Chøng minh r»ng:. 1 1 1 1    a b c abc. Gi¶i: Ta cã : (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)  0  ac + bc – ab   ac + bc – ab . 1 2 (a + b2 + c2) 2 5 1 1 1 1 < 1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta ®îc    (®pcm) 6 a b c abc. VÝ dô 3. Cho 0 < a, b, c, d < 1. Chøng minh r»ng (1 – a).(1 – b).(1 – c).(1 –d) > 1 – a – b – c – d Gi¶i: Ta cã: (1 – a).(1 – b) = 1 – a – b + ab Do a > 0, b > 0 nªn ab > 0  (1 – a).(1 – b) > 1 – a – b (1) MÆt kh¸c: V× c < 1 nªn 1 – c > 0  (1 – a).(1 – b).(1 – c) > 1 – a – b – c  (1 – a).(1 – b).(1 – c).(1 –d) > (1 – a – b – c).(1 – d) = 1 – a – b – c – d + ad + bd + cd ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 8.

(9) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==.  (1 – a).(1 – b).(1 – c).(1 –d) > 1 – a – b – c – d (§iÒu ph¶i chøng. minh) VÝ dô 4 a) Cho 0 < a, b, c < 1 . Chøng minh r»ng: 2a 3  2b 3  2c 3  3  a 2 b  b 2 c  c 2 a b) Chøng minh r»ng : NÕu a 2  b 2  c 2  d 2  1998 th× ac  bd  1998 (Chuyªn Anh n¨m häc 1998 – 1999) a) Gi¶i: Do a  1  a 2  1  1  a 2  0 vµ b  1  1  b  0 Từ đó suy ra: (1  a 2 )(1  b)  0  1  a 2  b  a 2 b  0  1  a 2 b  a 2  b (*) MÆt kh¸c: 0  a; b  1  a 2  a 3 ; b  b 2  b 3 (**) Tõ (*) vµ (**)  1  a 2 b  a 3  b 3 Hay a 3  b 3  1  a 2 b (1) Tương tự : b 3  c 3  1  b 2 c (2) Vµ c 3  a 3  1  c 2 a (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta có : 2a 3  2b 3  2c 3  3  a 2 b  b 2 c  c 2 a. b) Gi¶i: Ta cã: (ac  bd ) 2  (ad  bc) 2  a 2 c 2  b 2 d 2  2abcd  a 2 d 2  b 2 c 2  2abcd  a 2 (c 2  d 2 )  b 2 (c 2  d 2 )  (a 2  b 2 ).(c 2  d 2 )  1998 2 MÆt kh¸c: (ac  bd ) 2  (ac  bd ) 2  (ad  bc) 2  1998 2  ac  bd  1998. 2) Bµi tËp: a) Cho c¸c sè thùc: a1; a2; a3; …; a2003 tháa m·n: a1 + a2 + a3 + …. + a2003 =1. 2 Chøng minh r»ng: a12  a 22  a32  ...  a 2003 . 1 2003. (§Ò thi vµo líp 10 PTTH Chuyªn Nga Ph¸p 2003- 2004 Thanh Hãa) b) Cho a; b; c  0 tháa m·n: a + b + c = 1 1 1 1 Chøng minh r»ng:   1.  1.  1  8 a. b. c. . ........................................................................ Phương pháp 5: Dïng tÝnh chÊt cña tû sè KiÕn thøc 1) Cho a, b, c là các số dương thì a ac  b bc a ac  b bc a c a ac c  2) NÕu b, d > 0 vµ  th×  b d b bd d a  1 th× b a b) NÕu  1 th× b. a) NÕu. VÝ dô 1:. Cho a, b, c, d > 0. Chøng minh r»ng: ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 9.

(10) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== 1. a b c d    2 abc bcd cd a d ab. Gi¶i : Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã. MÆt kh¸c:. a a ad 1  abc abc abcd a a  abc abcd. (1) (2). Tõ (1) vµ (2) ta cã:. Tương tự ta có:. a a ad   abcd abc abcd b b ba   abcd bcd abcd c c bc   abcd cd a abcd d d d c   abcd d ab abcd. (3) (4) (5) (6). Céng vÕ theo vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã:. a b c d     2 (®iÒu ph¶i chøng minh) abc bcd cd a d ab a c a ab  cd c  VÝ dô 2: Cho  vµ b, d > 0. Chøng minh r»ng  2 b d b b d2 d a c ab cd a ab ab  cd cd c   Gi¶i: Tõ   2  2   2  2 b d b b b d b d2 d2 d a ab  cd c  VËy  2 (®iÒu ph¶i chøng minh) b b d2 d 1. Ví dụ 3: Cho a; b; c;d là các số nguyên dương thỏa mãn : a + b = c + d = 1000.. a b  c d a b a m Gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö:  . ¸p dông tÝnh chÊt “NÕu  th× c d b n a am m a ab b a   ” ta cã:     1 (v× a + b = c + d) b bn n c cd d c b a b a) NÕu: b  998 th×  998    999 d c d a b 1 999 b) NÕu: b = 998 th× a = 1     §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d = 1; c = 999 c d c d a b 1 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P =   999  khi a = d = 1; c = b = 999 c d 999. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: P =. Phương pháp 6: Phương pháp làm trội Lu ý: Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng h÷u h¹n hoÆc tÝch h÷u h¹n. (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S  u1  u 2  u 3  ...  u n Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 10.

(11) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==. u k  a k  a k 1. Khi đó: S  u1  u 2  u 3  ...  u n  (a1  a 2 )  (a 2  a3 )  (a3  a 4 )  ...  (a n  a n 1 )  a1  a n 1. (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn P  u1 .u 2 .u3 ....u n Biến đổi các số hạng uk về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: u k . ak a k 1. a1 a2 a3 an a . . ...  1 a2 a3 a4 an1 an1 VÝ dô 1: Víi mäi sè tù nhiªn n > 1 chøng minh r»ng: P  u1 .u 2 .u3 ....u n . Khi đó:. 1 1 1 1 1    ...   n 1 n  2 n  3 2n 2. Gi¶i:. 1 1 1   víi k = 1, 2, 3, …, n – 1 n  k n  n 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1    ...      ...    Do đó: n 1 n  2 n  3 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2. Ta cã. VÝ dô 2:. 1. Chøng minh r»ng: 1 . 2. . 1 3. . 1 4. 1.  ... . n.  2( n  1  1) (Víi n lµ sè. nguyªn) Gi¶i : 1. Ta cã:. k. . 2 2 k. . 2 k  k 1.  2( k  1  k ). Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có 1  2( 2  1) 1  2( 3  2) 2 1  2( 4  3 ) 3. ……………… 1 n.  2( n  1  n ). Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 1  VÝ dô 3: Chøng minh r»ng:. n. 1. k k 1. 2. 2. 1 2. . 1 3. . 1 4.  ... . 1 n.  2( n  1  1). n  Z. Gi¶i: Ta cã:. 1 1 1 1    2 k (k  1) k  1 k k. Cho k chạy từ 2 đến n ta có: ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 11.

(12) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== 1 1  1 2 2 2 1 1 1   32 2 3 1 1 1   42 3 4. ............ 1 1 1   2 n 1 n n 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1  1  2  2  2  ...  2  1            ...      1  1 n 2 3 4 n  2  2 3 3 4  n 1 n  n 1 VËy  2  2 n  Z . k 1 k. VÝ dô 4:. Chøng minh c¸c B§T sau : 1 1 1 1 1    ...   1.2 3.5 5.7 (2n  1)(2n  1) 2 1 1 1 1   ...  2 b) 1   1.2 1.2.3 1.2.3.4 1.2.3...n. a). Gi¶i : a) Ta cã:. 1 1 (2k  1)  (2k  1) 1  1 1   .  .   (2k  1)(2k  1) 2 (2k  1)(2k  1) 2  2k  1 2k  1 . Cho k chạy từ 1 đến n. Sau đó cộng lại ta có 1 1 1 1 1 2  1    ...   .1  (®pcm)  1.2 3.5 5.7 (2n  1)(2n  1) 2  2n  1  2 1 1 1 1 1 1 1 1   ...   1    ...  b) Ta cã: 1   1.2 1.2.3 1.2.3.4 1.2.3...n 1.2 2.3 3.4 (n  1).n 1 1  1 1 1 1 1  1  1  1            ...      2   2 (®pcm) n  2  2 3 3 4  n 1 n . Phương pháp 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác Lưu ý: Nếu a; b; c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì : a; b; c > 0 Vµ b  c  a  b  c ; a  c  b  a  c ; a  b  c  a  b Ví dụ1: Cho a; b; c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh rằng: a) a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) b) abc > (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) Gi¶i a) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có 2 0  a  b  c a  a (b  c)  2  2 2 2 0  b  c  a  b  b(c  a )  a  b  c  2(ab  bc  ca) 0  c  a  b c 2  c(a  b)   2 b) Ta cã: a  b  c  a  a 2  (b  c) 2  0. b). b  c  a  b 2  b 2  (c  a ) 2  0 ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 12.

(13) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==. c  a  b  c 2  c 2  ( a  b) 2  0. Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:. . . . a 2 .b 2 .c 2  a 2  (b  c) 2 . b 2  (c  a ) 2 . c 2  (a  b) 2  a 2 .b 2 .c 2  (a  b  c) 2 .(b  c  a ) 2 .(c  a  b) 2  a.bc  (a  b  c).(b  c  a ).(c  a  b). . VÝ dô 2: 1) Cho a, b, c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca) 2) Cho a, b, c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng 2. Chøng minh r»ng a 2  b 2  c 2  2abc  2 Phương pháp 8: Đổi biến số (phương pháp đặt ẩn phụ) VÝ dô1: Cho a, b, c > 0 Chøng minh r»ng: Gi¶i :. a b c 3    (1) bc ca ab 2. §Æt x = b + c; y = c + a; z = a + b ta cã: a =. yzx ; 2. b=. zx y x yz ; c= 2 2. b  c  x   c  a  y a  b  z  yzx zx y x yz 3    2x 2y 2z 2 yzx zx y x yz    3 x y z y z z x x y   1  1  1  3 x x y y z z  y x  z x  z y              6  x y x z  y z. Khi đó: (1) . V×:.  y x  z y  z x     2 ;     2 vµ     2 x z  x y y z  y x  z x  z y              6 . DÊu b»ng x¶y ra khi x = y = z. (®pcm)  x y x z  y z. VÝ dô2:. Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c < 1. Chøng minh r»ng: 1 1 1  2  2 9 a  2bc b  2ac c  2ab 2. (1). Gi¶i: §Æt x = a 2  2bc  0 ; y = b 2  2ac  0 ; z = c 2  2ab  0 Ta cã: x  y  z  (a  b  c) 2  1 (*) 1. 1. 1. L¹i cã: ( x  y  z )     9 x y z. (**).   1 1 1 Tõ (*) vµ (**)     9 . DÊu b»ng x¶y ra khi x = y = z. x y z ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 13.

(14) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== 1 1 1  2  2  9 . DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c. (®pcm) a  2bc b  2ac c  2ab 1 VÝ dô3: Cho x  0, y  0 tháa m·n ®iÒu kiÖn 2 x  y  1 . CMR: x  y  . 5. Hay. 2. Gîi ý: §Æt x  a  0 ,. y b  0. 1 5. Từ đó Bài Toán trở thành: Cho 2a  b  1 . CMR: a 2  b 2  .Thế (1) vào(2) Ta có đpcm Bµi tËp. 1) Cho a > 0, b > 0, c > 0. CMR:. 25a 16b c   8 bc ca ab. 2) Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b > 0. Chøng minh r»ng: ma nb pc 1    ( m n bc ca ab 2. p ) 2  (m  n  p). =============================================================== Phương pháp 9: Dïng tam thøc bËc hai Lu ý : Cho tam thøc bËc hai: f ( x)  ax 2  bx  c NÕu  < 0 th× a.f(x) > 0 x  R b (xR) a  x  x1 NÕu  > 0 th× a.f(x) > 0    x  x2 Vµ a.f(x) < 0  x1  x  x 2. NÕu  = 0 th× a.f(x) > 0 x . (Trong đó x1; x2 là hai nghiệm của đa thức f(x) và x1 > x2) VÝ dô 1: Chøng minh r»ng : f(x, y) = x 2  5 y 2  4 xy  2 x  6 y  3  0 Gi¶i: Ta cã: (1)  x 2  2(2 y  1).x  5 y 2  6 y  3  0. (1).   2 y  1  5 y 2  6 y  3  4 y2  4 y 1 5y2  6 y  3 2.  y  1  1  0 2. VËy f(x, y) > 0 víi mäi x, y. VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: f(x, y) = x 2 y 4  2( x 2  2). y 2  4 xy  x 2  4 xy 3 Gi¶i: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x 2 y 4  2( x 2  2). y 2  4 xy  x 2  4 xy 3  0  ( y 2  1) 2 .x 2  4 y (1  y ) 2 .x  4 y 2  0 Ta cã: '  4 y 2 (1  y ) 2  4 y 2 ( y 2  1) 2  16 y 2  0 V× a = ( y 2  1) 2  0 vËy f(x, y) > 0. x, y  R (®pcm). =============================================================== Phương pháp 10: Dùng quy nạp toán học KiÕn thøc: ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 14.

(15) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==. Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  n0 ta thực hiện các bước sau : 1) Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n  n0 . 2) Giả sử BĐT đúng với n = k (thay n = k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiÕt quy n¹p) 3) Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 (thay n = k + 1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4) Kết luận BĐT đúng với mọi n  n0 1 1 1 1 1  2  2  ...  2  2  (1) 2 n 1 2 3 n. VÝ dô1: Chøng minh r»ng: Gi¶i : 1 4. Víi n = 2 ta cã: 1   2 . 1 2. n  N , n  1. (đúng). Vậy BĐT (1) đúng với n = 2 Giả sử BĐT (1) đúng với n = k . Tức là. 1 1 1 1 1  2  2  ...  2  2  2 k 1 2 3 k. Bây giờ ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k + 1. ThËt vËy khi n = k + 1 th×: (1) . 1 1 1 1 1  2  2  ...   2 2 2 k 1 1 2 3 (k  1). Theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã: 1 1 1  1 1 1 1   2    (*)  2  2  2  ...  2   2 k  k 1 2 3 k  (k  1) 1  1 1 1 1  2  2 V×:  2    (**) k  k 1 k (k  1) k 1  1 1 1 1 1  2 Tõ (*) vµ (**)  2  2  2  ...   BĐT (1) cung đúng với n = k + 1. 2 k 1 1 2 3 (k  1). Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. n. ab an  bn VÝ dô2: Cho n  N vµ a + b > 0. Chøng minh r»ng:     2 . 2. (1). Gi¶i: Ta thấy BĐT (1) đúng với n = 1. k. ab ak  bk Giả sử BĐT (1) đúng với n = k. Tức là ta có:     2 . 2. Bây giờ Ta phải chứng minh BĐT (1) củng đúng với n = k + 1 ThËt vËy víi n = k + 1 ta cã: ab   2 . (1)   ab   2 . V×: VT  . k. k 1. k. . k 1 k 1 a k 1  b k 1 ab ab a b   .  2 2  2   2 . (2). k k k 1 k k k 1 a k 1  b k 1  a  b  a  b a  b a  ab  a b  b = VP .  .    2 2 4 2  2 .  BĐT (1) đúng với n = k + 1.. Vậy BĐT (1) luôn đúng. Ta có (đpcm) =============================================================== Ph¬ng ph¸p 11: Chøng minh ph¶n chøng Lu ý: ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 15.

(16) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==. 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng, ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G  K” phép toán mệnh đề cho ta : Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó. Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau : A. Dùng mệnh đề phản đảo : K  G B. Phủ định rồi suy trái giả thiết : C. Phủ định rồi suy trái với điều đúng D. Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau E. Phủ định rồi suy ra kết luận : VÝ dô 1: Cho ba sè a,b,c tháa m·n a + b + c > 0 , ab + bc + ac > 0, abc > 0 Chøng minh r»ng a > 0, b > 0, c > 0 Gi¶i : Giả sử a  0 thì từ abc > 0  a  0 do đó a < 0 Mµ abc > 0 vµ a < 0  cb < 0 Tõ ab + bc + ca > 0  a(b + c) > – bc > 0 V× a < 0 mµ a(b + c) > 0  b + c < 0 a < 0 vµ b + c < 0  a + b +c < 0 tr¸i gi¶ thiÕt a + b + c > 0 VËy a > 0. Tương tự ta có: b > 0 , c > 0 VÝ dô 2: Cho 4 sè a , b , c ,d tháa m·n ®iÒu kiÖn ac  2.(b + d) .Chøng minh r»ng cã Ýt nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a 2  4b , c 2  4d Gi¶i : Giả sử 2 bất đẳng thức : a 2  4b , c 2  4d đều đúng khi đó cộng vế theo vế ta được (1) a 2  c 2  4(b  d ) Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b + d)  2ac (2) Tõ (1) vµ (2)  a 2  c 2  2ac hay (a  c) 2  0 (v« lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức a 2  4b , c 2  4d có ít nhất một các bất đẳng thức sai VÝ dô 3: Cho x, y, z > 0 vµ xyz = 1. Chøng minh r»ng: 1 x. 1 y. NÕu x  y  z   . 1 th× trong 3 sè x, y, z cã mét sè lín h¬n 1. z. Gi¶i : Ta cã (x – 1).(y – 1).(z – 1) = xyz – xy – yz – zx + x + y + z – 1 1. 1. 1. = x  y  z      x y z. (v× xyz = 1).   1 1 1 V× theo gi¶ thiÕt th× x  y  z    nªn (x – 1).(y – 1).(z – 1) > 0 x y z. Trong ba số (x – 1), (y – 1) và (z – 1) chỉ có một số dương Thật vậy nếu cả ba số dương thì x, y, z > 1  xyz > 1 (trái giả thiết) Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x – 1).(y – 1).(z – 1) < 0 (vô lý) ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 16.

(17) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==. VËy cã mét vµ chØ mét trong ba sè x, y, z lín h¬n 1. =============================================================== PhÇn iii : c¸c bµi tËp n©ng cao 1) Dùng định nghĩa a2  b 2  c 2  ab  bc  ca . 3. 1) Cho abc = 1 vµ a 3  36 . Chøng minh r»ng Gi¶i. a2 a2 a2 2 2  b  c  ab  bc  ca    b 2  c 2  ab  bc  ca Ta cã hiÖu: 3 4 12  a2  a2    b 2  c 2  ab  ac  2bc    3bc  4  12 2. a 3  36abc a     b  c   0 (v× abc = 1 vµ a3 > 36 2 12 a  . nªn VËy:. a>0). a2  b 2  c 2  ab  bc  ca . §iÒu ph¶i chøng minh 3. 2) Chøng minh r»ng a) x 4  y 4  z 2  1  2 x.( xy 2  x  z  1) b) a 2  5b 2  4ab  2a  6b  3  0 (Víi mäi sè thùc a, b, c) c) a 2  2b 2  2ab  2a  4b  2  0 (Víi mäi sè thùc a, b, c) Gi¶i : a) XÐt hiÖu H = x 4  y 4  z 2  1  2 x 2 y 2  2 x 2  2 xz  2 x  ( x 2  y 2 ) 2  ( x  z ) 2  ( x  1) 2  0. (x, y, z ).  H  0 (x, y, z ) . Từ đó ta có điều phải chứng minh.. b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = (a  2b  1) 2  (b  1) 2  1  H > 0 (a, b, c) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh c) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = (a  b  1) 2  (b  1) 2  H  0 (a, b, c) . Từ đó, ta có điều phải chứng minh. Ii. Dùng biến đổi tương đương. 1) Cho x > y vµ x.y = 1. Chøng minh r»ng: Gi¶i : Ta cã:. (x 2  y 2 )2 8 ( x  y) 2. x 2  y 2  ( x  y ) 2  2 xy  ( x  y ) 2  2. . . (v× x.y = 1). 2.  ( x 2  y 2 ) 2  ( x  y) 2  2  ( x  y ) 4  4.( x  y ) 2  4. Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với ( x  y ) 4  4.( x  y ) 2  4  8.( x  y ) 2  ( x  y ) 4  4.( x  y ) 2  4  0 ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 17.

(18) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==. . . 2.  ( x  y) 2  2  0. BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh. 2) Cho x.y  1. Chøng minh r»ng:. 1 1 2   2 2 1  xy 1 x 1 y. Gi¶i : Ta cã:. 1 1 2   2 2 1  xy 1 x 1 y.  1 1   1 1    0        2 2 1  xy 1  xy 1  x 1  y     2 2 xy  x xy  y   0 2 (1  x )(1  xy ) (1  y 2 )(1  xy ) x( y  x) y( x  y)   0 2 (1  x )(1  xy ) (1  y 2 )(1  xy ). . ( y  x) 2 ( xy  1) 0 (1  x 2 )(1  y 2 )(1  xy ). BĐT cuối này đúng do x.y > 1. Vậy ta có điều phải chứng minh Iii. dùng bất đẳng thức phụ. 1) Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b + c =1 Chøng minh r»ng: a 2  b 2  c 2 . 1 3. Gi¶i : ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1, 1, 1) vµ (a, b, c) Ta cã:. (1.a  1.b  1.c) 2  (1  1  1)(a 2  b 2  c 2 )  (a  b  c) 2  3.(a 2  b 2  c 2 ) 1  a2  b2  c2  (v× a + b + c =1 ) (®pcm) 3. 2) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:  1 1 1 (a  b  c).     9 a b c. (1). Gi¶i : a a b b c c b c a c a a a b a c  b c     3        9 b a c a c b a b a c  b c         6 b a c a c b x y ¸p dông B§T phô   2 Víi x, y > 0 y x. Ta cã: (1)  1     1     1  9. Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng VËy (a  b  c).     9. 1 1 1 a b c Iv. dùng phương pháp bắc cầu. (®pcm). ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. 18.

(19) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@==. 1) Cho 0 < a, b, c < 1. Chøng minh r»ng: 2a 3  2b 3  2c 3  3  a 2 b  b 2 c  c 2 a . Gi¶i: Do a  1  a 2  1 vµ b  1  b 2  1 Nªn (1  a 2 )(1  b 2 )  0  1  a 2 b 2  a 2  b 2  0 Hay 1  a 2 b 2  a 2  b 2 (1) MÆt kh¸c: V× 0 < a, b < 1  a 2  a 3 vµ b  b 2  b 3 (2) Tõ (1) vµ (2)  1  a 2 b  a 3  b 3 Hay a 3  b 3  1  a 2 b (*) Tương tự ta củng chứng minh được: b 3  c 3  1  b 2 c (**) Vµ c 3  a 3  1  c 2 a (***) Céng vÕ theo vÕ cña (*), (**) vµ (***) ta ®îc: 2a 3  2b 3  2c 3  3  a 2 b  b 2 c  c 2 a (®pcm) 11 14 2) So s¸nh 31 vµ 17 . Gi¶i : Ta cã: 3111  3211  (2 5 )11  2 55  2 56 (1) 56 4.14 4 14 14 14 MÆt kh¸c: 2  2  (2 )  16  17 (2) 11 14 Tõ (1) vµ (2)  31  17 V. Dïng tÝnh chÊt tØ sè. 1) Cho a, b, c, d > 0 .Chøng minh r»ng: 2. Gi¶i :. ab bc cd d a    3 abc bcd cd a d ab. V× a, b, c, d > 0 nªn ta cã:. ab abcd bc abcd cd abcd d a abcd. ab abd  abc abcd bc bca   bcd abcd cd cd b   cd a abcd d a d ac   d ab abcd . (1) (2) (3) (4). Cộng vế theo vế của 4 bất đẳng thức trên ta có : 2. ab bc cd d a    3 abc bcd cd a d ab. (®pcm). 2) Cho a, b, c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c. Chøng minh r»ng: 1. a b c   2 bc ca ab. Gi¶i : V× a, b, c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã a, b, c > 0 Vµ a (20) ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành – Trường THCS Mã Thành ==@== a a 2a   abc bc abc b b 2b   Tương tự ta củng có: abc ca abc c c 2c   Vµ abc ab abc. Tõ (*) vµ (**). (1). . (2) (3). Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: 1. a b c    2 (®pcm) bc ca ab. PhÇn iv: ứng dụng của bất đẳng thức 1. Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị Lu ý - NÕu f(x)  A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A. - NÕu f(x)  B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B. VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P  x  1  x  2  x  3  x  4 Gi¶i: Ta cã: x  1  x  4  x  1  4  x  x  1  4  x  3 (1) DÊu “=” x·y ra khi ( x  1)(4  x)  0  1  x  4 . Tương tự: x  2  x  3  x  2  3  x  x  2  3  x  1 (2) DÊu “=” x·y ra khi ( x  2)(3  x)  0  2  x  3 . Tõ (1) vµ (2)  P  x  1  x  2  x  3  x  4  3  1  4 1  x  4  2  x  3. 2  x  3. DÊu “=” x·y ra khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là 4 đạt được khi 2  x  3 VÝ dô 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: S = xyz.(x + y).(y + z).(z + x) víi x, y, z > 0 vµ x + y + z =1 Gi¶i : V× x, y, z > 0 nªn ¸p dông B§T C«si cho 3 sè x, y, z ta cã: 1  x  y  z  3.3 xyz  3 xyz . 1 1  xyz  (1) 3 27. DÊu “=” x·y ra khi x = y = z =. 1 . 3. Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương (x + y); (y + z) và (x + z) ta có: 2 3 8  ( x  y ).( y  z ).( z  x)  27. 2  ( x  y )  ( y  z )  ( z  x)  3.3 ( x  y )( y  z )( z  x)  3 ( x  y )( y  z )( z  x) . DÊu “=” x·y ra khi x = y = z = Tõ (1) vµ (2)  S = xyz.(x + y).(y + z).(z + x) . 1 . 3. 1 8 8 .  . 27 27 729. ===@@@=== Gi¸o viªn: NguyÔn B¸ Phóc ===@@@=== Lop1.net. (2). 20.

(21)

Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức THCS

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về