Chuyên đề Phương pháp diện tích trong chứng minh hình học

<span class='text_page_counter'>(1)</span> CHUYÊN ĐỀ :. PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC I-MUÏC TIEÂU: -Cung gấp cho HS phương pháp sử dụng công thức diện tích các hình(tam giác ,tứ giác ,đa giác ) để chứng minh các quan hệ về các độ dài các đoạn thẳng -Rèn luyện cho HS kỉ năng biểu thị độ dài đoạn thẳng ,tỉ số độ dài các đoạn thẳng,tích các độ dài các đoạn thẳng …theo đoạn thẳng để giải quyết yêu cầu của từng bài toán . -Rèn luyện cho HS về phương pháp vẽ thêm đường phụ ,chọn phương án giải quyết phù hợp với đề bài ,rèn luyện tính linh hoạt sáng tạo trong giải toán II-THỜI LƯỢNG: 8 tiết III-PHAÀN THÖC HIEÄN: Hoạt động 1: Tieát 1 I-CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ TA LET VAØ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIAÙC BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP DIEÄN TÍCH : A Ví duï: Chứng minh định lý Ta –Let : AD AE  Cho tam giaùc ABC ,neáu DE //BC thì : E D AB AC Có thể chứng minh định lý trên bằng cách sử dụng công thức diện tích B cuûa tam giaùc . Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Hình 1 Nếu hai tam giác có chung đường cao thì tỉ số hai cạnh đáy tương ứng bằng tỉ số diện tích của hai tam giaùc. Chứng minh: Gọi S1và S2 lần lượt là diện tích của hai tam giác có chiều cao h và có độ dài hai cạnh đáy tương ứng là a1,a2 1 a1 h S1 a 1 1 2 S 2  a 2 h Neân Ta coù: S1  a1 h;   1 2 2 S2 1 a2 a2 h 2 Bây giờ ta chứng minh định lý ta let: Các tam gáic AED và ABE có chung đường cao kẻ từ E nên theo bổ đề trên ta có AD S ADE  (1) AB S ABE Các tam gáic AED và ACD có chung đường cao kẻ từ D nên theo bổ đề trên ta A coù : AE S ADE  ( 2) AC S ACD E D Ta lại có SBEC = SBDC (Chung đáy BC,các đường cao tương ứng bằng nhau) neân ; B SABC –SBEC = SABC - SBDC. 1 Lop7.net. C. C.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Hình 2. =.> SADE = SACD. (3). Từ (1);(2) và (3) suy ra. AD AE  (ñpcm) AB AC. A. Hoạt động 2: DB AB  DC AC Chứng minh:Các tam giác ABD và ADC có chung đường cao kẽ từ A đến DB S ABD B BC nên theo bổ đề trên ta có (1)  DC S ADC. Ví dụ 2: Cho ABC có AD là phân giác BAC chứng minh :. D. C. Hình 3 Keõ DH  AB vaø DK  AC thì DH = DK ta coù SADB = … A SADC = … S AB K Neân ABD  ...  (2) H S ADC AC DB AB  Từ (1) và (2) => DC AC B D C Tieát 2: Hình 4 Hoạt động 3: Ví du3: Cho tam gáic ABC cân tại A Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đáy BC .Gọi MH , MK theo thứ tự là các đường vuông góc kẽ từ M đến AB , AC .Gọi BI là đường cao của tam giác A ABC .Chứng minh rằng :MH+MK = BI  Cách giải không dùng diện tích (tự giải)  Caùch giaûi duøng dieän tích: I 2 S AMB 2 S AMB Ñaët AB = a .Ta coù MH =  H AB a K 2 S AMC 2 S AMC B MK =  C AC a M 2 S ABC 2 S AMB 2 S AMC Hình 5 Do đó : MH +MK =   ...   BI a a a Ghi nhớ : 2S Đường cao h của tam giác có diện tích S được biểu thị bằng :h = (với a là cạnh a đáy tương ứng) Cách giải trên ta còn diễn đạt khác : Ta coù :SAMB + SAMC = SABC 1 1 1 1 1 1 => AB.MH  AC.MK  AC.BI => a.MH  a.MK  a.BI 2 2 2 2 2 2 1 1 => aMH  MK   a.BI  MH  MK  BI 2 2 Hoạt động 4: Đọc tiếp mục III và trả lời các câu hỏi nêu trong mục III. 2 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> III-PHÖÔNG PHAÙP DIEÄN TÍCH Các công thức diện tích cho ta quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng .Do đó để chứng minh về các quan hệ về các độ dài của các đoạn thẳng ,ta có thể sử dụng công thức diện tích của các hình .Đó là nội dung của phương pháp trong chứng minh.  Hãy xem lại các công thức về diện tích tam giác và diện tích của tứ giác trong chương II.  Ta thường gặp các bổ đề sau: Bổ đề 1:Nếu hai tam giác có hai đường cao bằng nhau thì tỉ số hai cạnh đáy tương ứng bằng tæ soá dieän tích cuûa hai tam giaùc. Bổ đề 2: hai tam giác có hai cạnh đáy bằng nhau thì tỉ số hai cạnh đường cao tương ứng baèng tæ soá dieän tích cuûa hai tam giaùc ?1 -Ñieàn vaøo choã troùng trong caùc caâu sau: a)Tam giác có diện tích S ,cạnh đáy a ,đường cao tương ứng h thì S =… a=… h=…. b)Hình chữ nhật có diện tích S, các kích thước a và b thì :S =… a=… b=… c)Hình bình hành có diện tích S ,cạnh đáy a ,đường cao tương úng h thì : S=… a= … h=… d) Hình thang có diện tích S ,các cạnh đáy a ,b ,chiều cao h thì : S = … a =… b=… h=… e) Hình thoi có các đường chéo m, n thì S =… f) Hình vuoâng coù dieän tích S .caïnh a thì : S = … a =… Tieát 3,4,5,6,7. LUYEÄN TAÄP Bài 1:Chứng minh rằng tổng các khoảng cách ừ một điểm M bất kỳ trong tam giác đều ABC đến 3 cạnh của tam giác bằng chiều cao của tam giác đó . Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A điểm M thuộc tia đối của tia BC .Chứng minh rằng hiệu các khoảng cách từ M đến các đường thẳng AC và AB bằng đường cao úng với cạnh bên của tam giaùc ABC Bài 3:Cho tam giác ABC (AC > AB ),đường cao BI .Gọi D là điểm nằm giữa B và c .Gọi BH và CK theo thứ tự là các đường vuông góc kẽ từ B và C đường thẳng AD .Chứng minh rằng: a)AD < AC b)BH + CK > BI Bài 4: Cho hình bình hành ABCD .Các điểm M,N theo thứ tự thuộc các cạnh AB ,BC sao cho AN = CM .Gọi K là giao điểm của AN và CM .Chứng minh rằng KD là tia phân giác của AKC Baøi 5:Goïi O laø moät ñieåm baát kyø naèm trong tam giaùc ABC .caùc tia AO ,BO,CO caét caùc caïnh BC,AC ,AB theo thứ tự ở A’B’C’ .Chứng minh rằng : OA' OB' OC '   1 AA' BB' CC ' Baøi 6: Goïi O laø moät ñieåm baát kyø naèm trong tam giaùc ABC .caùc tia AO ,BO,CO caét caùc caïnh BC,AC ,AB theo thứ tự ở A’,B’,C’ .Chứng minh rằng: AC ' BA' CB ' . . 1 C ' B A' C B' C. 3 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài 7:Cho tam giác ABC có các đường cao AA’,BB’,CC’ cắt nhau tại H .Cho biết AH BH CH   ,Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều AA' BB' CC ' Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD) ,các đường chéo cắt nhau tại O .Qua O vẽ một đường thẳng // hai đáy , cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại E và F .Chứng minh rằng OE = OF Baøi 9: Cho hình thang ABCD (AB //CD,AB < CD).caùc ñöông thaúng AB vaø CD caét nhau taïi O .Goïi F laø trung ñieåm cuûa CD ,E laø giao ñieåm cuûa OF vaø AB a) Hãy chứng minh AE = EB b) Từ kết quả trên có nhận xét gì về các trung điểm của hai đáy và giao điểm cảu các đường thẳng chứa hai cạnh bên của hình thang. Baøi 10:Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A ,caùc tia phaân giaùc cuûa caùc goùc B vaø C caét nhau taïi I keõ IK vuông góc với BC .Chứng minh rằng : 1 KB.KC = AB.AC 2 Baøi 11: Goïi O laø moät ñieåm baát kyø naèm trong tam giaùc ABC .caùc tia AO ,BO,CO caét caùc caïnh BC,AC ,AB theo thứ tự ở M,N,P.Chứng minh rằng : OM ON OP    T Toång Tkhoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm O. a) AM BN CP b)Chứng minh rằng trong ba tỉ số : OA OB OC ; vaø Coù ít nhaát moät tæ soá khoâng nhoû hôn 2 vaø coù ít nhaát moät tæ soá khoâng OM ON OB lớn hơn 2. A H. K M. B. HD:Gọi a là độ dài cạnh của tam giác đều ABC .h là độ dài đường cao .Ta có : a a a a SMBC +SMAC +SMAB =SABC <=> MD  ME  MF  h <=>…<=> MD+ME+MF = h 2 2 2 2. 4 Lop7.net. C.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>