Giáo trình Lý thuyết mạch điện: Phần 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1 MB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Lý thuyết Mạch điện Nguyễn Thành Nam
Chương 3

Dùng số phức để giải mạch xoay chiều

Bài 3.1.Những vấn đề cơ bn v s phc

1, Khái niệm mở đầu.

Mỗi lượng hình sin a = Am sin (t + ), ngoài tần số , ta cần biết biên độ
Am(hoặc trị hiệu dụng A) và góc pha đầu. Như vậy cần dùng hai thơng số để biểu
diễn lượng hình sin có tần số biết trước. Ta đã biết trong toán học mỗi số phức
được đặc trưng bởi 2 số thực ( phần thực và phần ảo, hoặc mô đun và acgumen).
Như vậy dùng số phức có thể biểu diễn cả hai thơng số của lượng hình sin.

Việc dùng số phức để biểu diễn các lượng hình sin và tính tốn mạch điện tỏ
ra rát tiện lợi . Nó cho phép biểu diễn các mối quan hệ trong mạch điện một cách
đơn giản, gọn gàng, phát biểu các định luật dưới dạng chung cho cả mạch điện 1
chiều và xoay chiều. Do đó ta có thể áp dụng các định luật và phương pháp giải
mạch điện 1 chiều vào mạch điện xoay chiều, bằng cách chuyển các đại lượng
thực thành các đại lượng phức.

2. Kh¸i niƯm vỊ sè phøc .

Đơn vị ảoký hiệu là i, là một số mà bình phương bằng -1:

i2 = - 1

Trong kỹ thuật điện, để tránh nhầm với dòng điện người ta dùng chữ j để ký
hiệu đơn vị ảo : j2 = -1

Số ảo : Tích của số thực b với đơn vị ảo j gọi là số ảo

VÝ dô 3j ; - 5j ; 2,4j là các số ảo.

S phức Z : Là 1 lượng gồm thành phần thực a và thành phần ảo jb: Z = a +

jb. Cần chú ý là thành phần thực a và ảo jb khác hẳn nhau về bản chất, không
thể bù trừ nhau được.

Vớ d : 3 – j4; -1,5 + j2,6 ... là các số phức. Do đó, hai phức bằng nhau khi 
và chỉ khi phần thực của chúng bằng nhau và phần ảo của chúng bằng nhau.

BiĨu diƠn sè phøc b»ng h×nh häc.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Lý thuyết Mạch điện Nguyễn Thành Nam
Mỗi số phức Z = a + jb được biểu diễn như sau: Phần thực a đặt trên trục
thực, còn phần ảo jb đặt trên trục ảo. Điểm M có tọa độ (a,b) là điểm biểu diễn
số phức Z. Cũng có thể dùng véc tơ OM để biểu diễn số phức Z. Chiều dài véc tơ
OM =z gọi là mô đun ( độ lớn) của số phức Z, cịn góc  tính từ trục thực đến
véc tơ OM theo chiều dương ( là chiều ngược với kim đồng hồ) gọi là acgumen(
góc) của s phc Z.

Các dạng biểu diễn số phức:

* Dạng đại số: Dạng Z = a+ jb gọi là dạng đại số của số phức, a là phần
thực, jb là phần ảo.

* Dạng lượng giác: Từ cách biểu diễn hình học ta có:
a = z cos  ; b = z sin 

Suy ra: Z = z cos  + j z sin  = z(cos +j sin )
* Dạng mũ: Dùng công thức ¥le (Euler):

cos  + j sin  = ej 

.
Suy ra: Z = z. ej 

Trong đó e = 2,718 là cơ số của logarit tự nhiên.

Như vậy, mỗi số phức đều có 2 cách biểu diễn cơ bản: biểu diễn bởi phần
thực a và phần ảo jb, hoặc biểu diễn bởi mơ đun z và acgumen . Bốn lượng đó
là 4 thành phần của tam giác vuông OaM, a và b là hai cạnh góc vng, z là cạnh
huyền,  là góc nhọn . Giữa bốn thành phần đó, có các quan hệ chặt chẽ (quan

O a +1

b
+j

jb
z



Z= a + jb

BiĨu diƠn sè phøc b»ng

h×nh häc

+1
+j

o
-3 -2 -1

1
2
3
4

1 2 3

Z= 3+ j4
Z= -3+ j2

BiÓu diễn các số phức:
Z= 3+j4 và Z= -3+j2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Lý thuyết Mạch điện Nguyễn Thành Nam
hệ tam giác lượng). Nếu biết hai lượng, sẽ tìm được hai lượng còn lại ,chẳng hạn,
nếu biết phần thực và phần ảo, ta tính được mơ đun và ácgumen:

z



a



b

2 ; tg =

a
b

Ngược lại, nếu biết mơdun và acgumen ta tính được phần thực và phần ảo:
a = zcos; b = zsin

Ta suy ra rằng hai phức bằng nhau thì mơ đun của chúng bằng nhau và
acgumen của chúng hơn kém nhau k2, và ngược lại Z1 = Z2 khi và chỉ khi: z1 =
z2 và 1 = 2 + 2k, k = 0; -1; - 2; +1; +2...

Ví dụ: Cho số phức Z = 4 +j3, hãy tìm mơđun và acgumen của phức Z, viết
phức Z di dng lng giỏc v dng m.

Giải:

Mô ®un vµ acgumen cđa phøc Z:

z



a



b



4 

3 

5

0,75

4
3






tg , suy ra  36050'

Dạng lượng giác và dạng mũ của phức Z:

Z = 5(cos 360 50’ + j sin 360 50) = 5ej36050

Phức liên hợp:

Hai phức gọi là liên hợp, nếu chúng có phần thực bằng nhau và phần ảo đối
nhau. Phức liên hợp của phức Z ký hiệu là



Z ( đọc là Z sao, hoặc Z mũ, Z liên
hợp )

NÕu Z = a +jb th×



Z

= a - jb

NÕu Z = z(cos  +j sin ) th×



Z

= z (cos  -j sin )

NÕu Z = z. ej  th×



Z

= z. e -j 

VÝ dụ: Tìm phức liên hợp của các phức sau:

Z1 = - 3 + j5; Z2 = 5(cos300 - j sin300); Z

3 = 1,2

j

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Lý thuyết Mạch điện Nguyễn Thành Nam
Số ảo Z = jb là số phức có phần thực bằng không.

Z = jb = b ) . 2

2
sin
2

(cos



 j

e
b

j 



Số phức có mơ đun bằng đơn vị gọi là toán tử quay hay hệ số quay

Z



e

j



cos





j

sin



Lần lượt cho k ;k 0;k 1;k 2...n

2   

 

 ta cã:

ej0 = cos0 + j sin0 = 1

ej   j  j
2
sin
2

cos

2  



ej    j  )j

2
sin(
)

2
cos(

2  



ej = cos + j sin = -1

Biết j2 = -1, do đó: j3 = j2.j = -j ; j4 = j2. j2 = (-1).(-1) = 1; j5= j4.j = j ; j6 = j5.j = -1
3. Một số phép toán về số phức

- Céng c¸c sè phøc: Muèn céng c¸c sè phøc, ta céng c¸c phần thực với
nhau, các phần ảo víi nhau.

VÝ dơ: Cho hai phøc Z1 = a1 +jb1 ; Z2 = a2 + jb2. Tỉng cđa chóng sÏ lµ :
Z = Z1 + Z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2) = a + jb

Ví dụ: (2 + j 6) + ( 3 – j 2) = (2 + 3) + j (6– 2) = 5 + j 4

- Trõ c¸c sè phøc: Muèn trõ c¸c sè phức , ta trừ các phần thực với nhau,
các phần ảo với nhau.

VÝ dô: Cho hai phøc Z1 = a1 +jb1 ; Z2 = a2 + jb2. HiƯu cđa chóng sÏ lµ :
+1


+j

-1=ej

-j = e-j /2
j = ej /2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Lý thuyÕt M¹ch ®iƯn Ngun Thµnh Nam
Z = Z1 - Z2 = (a1 - a2) + j(b1 - b2) = a + jb

VÝ dô : ( 4 + j 5) – ( 2 +j 3) = (4 – 2) + j (5– 3) = 2 +j 2

Chú ý: Việc cộng và trừ các phức thực hiện bằng dạng đại số. Muốn cộng
hoặc trừ các phức biểu diễn các dạng khác, trước hết cần đổi chúng về dạng đại
số. Sau khi có kết quả, nếu cần ta lại i v cỏc dng khỏc.

- Nhân các số phức:

Nhân các số phức dưới dạng đại số:

Z = Z1.Z2 = (a1 + jb1)(a2 + jb2) = a.1.a2 + a1.jb2 + jb1.a2 + j2b
1b2
Biết j2 = -1, do đó:

Z =( a1 + jb1)(a2 + jb2) = (a1a2 – b1b2) + j(a1b2 + b1a2)
Nhân các số phức dưới dạng mũ:

Z = Z1.Z2 = z1e
j 1

. z2e
j 2

= z1.z2e

j( 1 + 2)
= zej
Trong đó z = z1.z2 ;  = 1 + 2

Quy tắc: Muốn nhân các số phức ta nhân các mô đun với nhau và cộng các

acgumen với nhau.

Ngha là khi nhân số phức với e+j ta quay véc tơ biểu diễn số phức ấy đi
một góc α ngược chiều chiều kim đồng hồ, khi nhân với e-j ta quay véctơ đi
một góc α cùng chiều kim đồng hồ.

Nhân số phức với ±j .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Lý thuyết Mạch điện Ngun Thµnh Nam

Như vậy, khi nhân một số phức với j ta quay véc tơ biểu diễn số phức đó
đi một góc π/2 ngược chiều kim đồng hồ, nếu nhân với –j ta quay véc tơ cùng
chiều kim đồng hồ một góc π/2.

- Chia c¸c sè phøc:

Chia số phức dạng đại số:

Muốn chia hai phức Z1 = a1 +jb1 và Z2 = a2 + jb2. dưới dạng đại số, ta nhân cả
phức chia và phức bị chia với phức liên hợp của phức chia.

















)

).(

(

)

).(

(

2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1

1
2
1

jb

a

jb

a

jb

a

jb

a

jb

a

jb

a

Z

a

jb

b

a

b

a

b

a

j

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

j

b

a





















2
2
2
2
2

1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2

)

(

)

(

)

(

Chia các số phức dạng mũ:

Quy tc: Muốn chia hai phức dưới dạng mũ, ta chia các mô đun với nhau và trừ

các acgumen với nhau.

   

j
j
j
j

ze

e

z

e

z

e

z

Z



( 1 2)



2
1
2
2
1
1
2
1
Víi
2

1
z
z

z  ;  = 1 + 2

Bài 3.2. Biểu diễn các lượng của mạch điện hình sin dưới

d¹ng phøc.

1. Biểu diễn các lượng giác hình sin dưới dạng phức.

Trong mạch điện hình sin, tần số f hoặc tần số góc  là chung cho các lượng
hình sin , nên mỗi lượng hình sin a = Am sin(t + a) = A 2 sin (t + a) được
đặc trưng bởi 2 thông số: Biên độ Am (hoặc trị hiệu dụng A) và góc pha đầu, mỗi
số phức cũng biểu diễn bởi 2 thành phần mô đun và acgumen (hoặc phần thực và
phần ảo). Do đó có thể dùng số phức để biểu diễn lượng hình sin a. Quy tắc biểu
diễn như sau:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Lý thuyết Mạch điện Nguyễn Thành Nam
a = Am sin(t + a) = A 2 sin (t + a) có mơ đun bằng biên độ Am (hoặc
trị hiệu dụng A), acgumen bằng góc pha đầu a . Để ký hiệu số phức biểu diễn
lượng hình sin ta dùng ký hiệu Am, hoặc A ( có dấu chấm đầu)

Am Amej a







vµ A  Aeja

Như vậy, biết lượng hình sin a, ta có thể biểu diễn nó dưới dạng phức Am
hoặc A suy ra lượng hình sin a:

a = Am sin(t + a)  Am Amej a







a = A 2 sin (t + a) 

a
j

Ae

A  

Về mặt hình học, lượng hình sin a được biểu diễn bởi véc tơ Am quay với tốc
độ góc 

Nếu a = i ta có phức dòng điện:

i

I

m

t

i

I

m

I

m

e

j i











sin(

)



i



I

2

sin (t + i ) IIeji

Nếu a = u ta có phức điện áp:

u Um t u Um Umej u





  

 sin( ) 

u

U

t

u

U

Ue

j u











2 sin(

)



Nếu a = e ta có phức sức điện động:

e

E

m

t

e

E

m

E

m

e

j e













)

sin(

e E t e E Eej e





  





)
sin(

2. Định luật Ôm dưới dạng phức. Phức tổng trở.

Ta xét một nhánh có trở kháng r, x, đặt vào điện áp u = Um sin(t + u )
dòng điện trong nhánh i = I 2 sin (t + i ).

+ 1


m
A


+ j

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Lý thuyết Mạch điện Ngun Thµnh Nam

Nhánh xoay chiều có trở kháng (a). Sơ đồ phức tương đương (b). Đồ thị véc
tơ (c)

Trong đó : 2 2

x
r

U
z

U
I





 = u - i ; = arctg
r
x

là góc lch pha giữa u và i ( hình c).
 Tng tr phc.

Ta cã: U Ueju, I Ieji

Chia hai phøc cho nhau

BiÕt z

I
U

 là tổng trở nhánh, u - i = là góc lệch pha giữa u và i.

T ú có: ze Z

I

U j


 




ở đây Z gọi là phức tổng trở nhánh. Biểu thức trên có dạng định luật Ôm với
các đại lượng là số phức , nên gọi là định luật Ôm dạng phức, phát biểu như sau:

Trong nh¸nh xoay chiỊu, phøc dòng điện nhánh bằng phức điện ¸p nh¸nh 
chia cho phøc tỉng trë nh¸nh.

Z
U
I






Ta cã:

Z = zej  = z ( cos + j sin) = z cos + j zsin

Từ tam giác tổng trở ta có:

U
I


U



I Z= r +jx

+ j

+ 1
I

U


i

u

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Lý thuyết Mạch đin NguyƠn Thµnh Nam
z cos = r là điện trở hoạt động của mạch

zsin = x là điện kháng của mạch.

Tõ đó:

Z = zej  = r + jx = r + j (L - 
C
.
1
 )

NghÜa lµ phøc tổng trở mạch có phần thực bằng điện trở , và phần ảo bằng
điện kháng mạch.

Đối với nhánh thuần điện trở: Z = r = rej 0
Đối với nhánh thuần điện cảm: x = xL nên cã:

Z = jx = jxL = xL. 2

j

e

Đối với nhánh thuần điện dung: x = -xC nªn cã:

Z = jx = - jxC = xC.



j

e



3. Phøc tæng dÉn nh¸nh

Định nghĩa: Nghịch đảo của phức tổng trở nhánh gọi là phức tổng dẫn
nhánh, ký hiệu là Y:

Z

Y 1

Thay giá trị của Z = r + jx vµ thùc hiƯn phÐp chia:

Phức tổng dẫn nhánh có phần thực là điện dẫn tác dụng của nhánh, phần ảo
là điện dẫn phản kháng của nhánh nhng ngc du.

Thay giá trị Z = zej

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Lý thuyết Mạch điện Ngun Thµnh Nam






j
j

j

j e

z
ze

e
ze

Y  1 1. 1 

BiÕt y

z 

là tổng dẫn nhánh. Do đó:

Y = y.e-j
Nªn ta cã:

YU

Z
U

I 


   .
Đó là định luật Ơm dưới dạng phức tổng dẫn.

4. Phøc c«ng st

Định nghĩa: Tích của phức điện áp nhánh với lượng liên hợp của phức dòng
điện nhánh gọi là phức công suất, ký hiệu S~ :

S~U.I

Thay giá trị j u

Ue

U  



; I Ieji



 vµo, ta cã:

ju ji ju i j j

Se
Ie

U
Ie

U
I

Ue

S~ .   . (  )  . 

Phøc công suất nhánh có mô đun bằng công suất toàn phần của nhánh,
acgumen bằng góc lệch pha giữa dòng và áp nhánh.

i v dng i s:

Công suất phức có phần thực là cơng suất tác dụng P, phần ảo là công
suất phản kháng Q của mạch.

5. Biểu diễn phép tính đạo hàm và tích phân lượng hình sin dng phc

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Lý thuyết Mạch điện Ngun Thµnh Nam

`Như vậy, đạo hàm theo thời gian của dòng điện tương ứng với phép nhân
dạng phức với thừa số jω.

Như vậy, Tích phân theo thời gian của dòng điện tương ứng với với phép
chia dạng phức cho jω.

Bài 3.3. Định luật kirchooff dưới dạng phức

1. Hai định luật kirchooff dưới dạng phức.

Ta xÐt mạch điện gồm 3 nhánh như sau:

e2

e1

C3

r1

L1

r3 r2

A

i1 i2

i3

A

Z1

Z3

Z2 
1

I 2

I

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Lý thuyết Mạch điện Ngun Thµnh Nam

Mạch gồm hai nhánh có nguồn e1 , và e2 và nhánh tải r3 - C3. Các phương
trình kirchooff viết cho mạch là:

+ Phương trình Kirchooff 1: i1 + i2 - i3 = 0
+ Cỏc phng trỡnh Kirchooff 2:

- Đối với vòng 1- 3: e1 = i1r1 + i3r3 + L1i

1 + i dt

C3

- Đối với vòng 2- 3: e2 = i2r2 + i3r3 + i dt
C3



Chuyển sang dạng phức, ta có 3 phương trình tương ứng:
i1 + i2 - i3 = 0 suy ra 1 2 3 0






I
I
I

Cã e1 = i1r1 + i3r3 + L1i’1 + i dt
C3



Suy ra ( ) ( 1 )

3
3

3
1
1

1
1

C
j
r
I
L

j
r
I
E


  









= I1Z1 I3Z3




E2 = I2Z2 I3Z3






Từ các phương trình dạng phức ta vẽ được sơ đồ phức của mạch. Khi
chuyển từ sơ đồ đầu sang phức , ta thay các sđđ , dòng điện và điện áp các nhánh

bằng các phức s đ đ dòng điện và điện áp tương ứng, trở kháng các nhánh thay
bằng phức tổng trở nhánh.

Với cách chuyển sang sơ đồ phức như trên, ta có thể dễ dàng thành lập
phương trình Kirchooff dưới dạng phức. Các định luật Kirchooff dưới dạng phức
như sau.

Định luật Kirchooff 1: Tổng đại số các phức dòng điện đến một nút bằng

kh«ng



 0

nut

I

Định luật Kirchooff 2: Đi theo một vịng kín, tổng đại số các phức s đ đ 
bằng tổng đại số các phức điện áp đặt vào các phức tổng trở nhánh

E I Z

vong
vong



  

2. Giải mạch xoay chiều bằng phương pháp dòng nhánh.

Gồm các bước sau:

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Lý thuyết Mạch điện Nguyễn Thành Nam
Bước 2: Thành lập hệ phương trình dịng nhánh gồm (m-1) phương trình nút,
viết theo luật Kirchhoff 1 và M = n - (m-1) phương trình vịng viết theo định luật
Kirchhoff 2. Trong đó: m là số nút, n là số nhánh.

Bước 3: Giải hệ phương trình phức để tìm ra dịng nhánh. Từ kết quả đã tính
suy ra trị số và góc pha dịng và áp, cũng như cụng sut ca nhỏnh.

Bài tập ví dụ1

Cho mạch ®iƯn nh h×nh vÏ a. BiÕt e1 = 284 sin t (V) ; e2 = 298 sin t (V)
x1 = x2 = 0,1  ; x3 = 0,5  ; r3 = 1 .

Tìm dòng điện trong nhánh

Bài giải

Chuyn cỏc lng thực sang dạng phức

200

2
284

1  



E V ; 210

2
298

2  



E V

Z1 = Z2 = j 0,1  ; Z3 = (1 + j 0,5) .

Sơ đồ phức tương tự như hình b. Với ẩn là I1, I2, I3

Mạch điện có hai nút, nên có một phương trình nút (viết cho nút A hình b).
1







0





I

(a )

Phương trình vòng Z1-Z3:
E1 I1Z1 I3Z3








 hay j 0,1






3

(

1 j

0 ,

5 )

I

= 200 (b)

Phương trình vịng Z2-Z3:
3
3
2
2

2 I Z I Z

E








 hay j 0,1






 3

2 (1 j0,5)I

I = 210 (c)

Giải hệ này như sau:

- T phng trình b và c rút ra:

x1 x3 x2

e1 r3 e2

i1 i3 i2

A
Z1 
Z3 
Z2 
B
1

I 2

I
3

I
1

E 2

E

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Lý thuyết Mạch điện Ngun Thµnh Nam
j

I
j
I
j
j
j
I
j

I 2000 ( 10 5) (10 5) 2000

1
,
0
)
5
,
0
1
(
200
3
3
3

1       










j I j

j

I
j

I (10 5) 2100

1
,
0
)
5
,
0
1
(
210
3
3

2   









Thay vµo (a)

0 2100

5

10 2000

5

10

3



3





3



3



3









I

j

I

j

I

j

(-11+ 20j )


I = 4100j


I = 157,4 86,6 179,5 29 ( )

20
11
)
20
11
.(
4100
20
11
4100 0
2

2 j A

j
j

j
j























j
j
j
j
I

j

I1 ( 5 10) 3 2000 ( 5 10)(157,4 86,6) 2000
= 78,7 +j6,6 = 78,84050’ (A).

)

(

50

122

4 ,

93

7 ,

78 2100

)

10

5 (

3 0

j

I

j

A

I





Giá trị tức thời của các dòng điện là:

i1 = 78,8 2 sin(t + 4

50’) = 111,4 sin(t + 40

50’) (A)
i2 = 122 2 sin(t - 50

) = 172,6 sin(t - 500) (A)
i3 = 179,5 2 sin(t - 290) = 254 sin(t - 290) (A)

Bµi tËp vÝ dơ 2:

Cho mạch điện như hình vẽ với thông số sau :
e1 = e3 = 220 2sin (314t) (V)

e2 = 2.110 sin (314t + 30
0

) (V)
R1 = 10 , L1 = 0,0318 H, R2 = 5 ,
R3 = 10, C3 = 3,184.10-4 F

Tìm dòng điện trên các nhánh và công suất mạch tiêu thụ.

Gi¶i

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Lý thuyÕt Mạch điện Nguyễn Thành Nam

Các bước giải mạch điện như sau:

- Chän Èn số là ảnh phức dòng nhánh i1, i2, i3 như h×nh vÏ b.

- Lập hệ phương trình ( bài tốn có 3 ẩn số nên cần lập hệ phương trình có
3 phương trình độc lập)

Thay trị số vào hệ phương trình, ta có

Giải hệ phương trình bằng quy tắc Cramer:

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Lý thuyÕt Mạch điện Nguyễn Thành Nam

Chú ý : ở đây nên tính từng dịng điện nhánh độc lập như đã tính ở trên và thử lại
bằng phương trình Kirchhoff 1 ta sẽ kiểm tra được kết quả đúng. Khơng nên tìm
dịng điện I3 bằng cách sử dụng phương trình nút khi biết



1
I vµ


2
I .
Dòng điện trên các nhánh ở dạng tức thời là:

1 = 2.15,08 sin(314t - 35,1
0

) (A)
i

2 = 2.21,33 sin (314t + 9,9
0

) (A)
i

3 = 2.15,08 sin (314t + 54,9
0

) (A)
C«ng suÊt tác dụng mạch tiêu thụ là:
P = R

1. I1
2

+ R
2 I2

2
+ R

3.I3
2

P = 10.15,082 + 5.21,332 + 10.15,082 = 6823 W

Ta nhận thấy rằng với phương trình dịng nhánh, mạch điện có bao nhiêu
nhánh thì hệ phương trình có bấy nhiêu phương trình. Do đó nếu mạch có nhiều
nhánh, với phương pháp thơng thường thì sẽ rất phức tạp. Tuy nhiên có thể giải
nhờ máy tính rất đơn giản

3. Giải mạch xoay chiều bằng phương pháp dịng điện vịng.

Ẩn số của hệ phương trình là các dịng điện vịng khép mạch trong các vịng
kín. Ở đây ta coi rằng mỗi vịng có một dịng điện vịng chạy khép kín trong
vịng ấy. Xét mạch có m nhánh, n nút, nội dung phương pháp như sau:

- Chọn ẩn số là các dòng diện vòng với chiều dương tùy ý qua các vòng độc lập


I

I .

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Lý thuyết Mạch điện Ngun Thµnh Nam
- Lập hệ phương trình cân bằng áp cho các vịng đó theo luật Kirchhoff 2. Để
đơn giản và bớt ký hiệu trên hình vẽ, ta chọn chiều dương vịng trùng với chiều
dương dòng điện vòng qua vịng đó và chú ý rằng trong một nhánh của mạch
vịng có thể có nhiều dịng điện vịng đi qua, mỗi dòng điện vòng sẽ gây nên một
điện áp rơi ZI khi đi qua tổng trở Z. Trong phương trình, điện áp rơi Z

I



có dấu
dương khi chiều của dòng điện vòng cùng chiều dương vòng.

- Giải hệ phương trình, tìm được các dịng điện vịng

- Tìm dịng điện trên các nhánh. Đầu tiên chọn chiều dương dòng điện trên các
nhánh (tùy ý), sau đó tìm dịng điện qua nhánh bằng cách cộng đại số các dòng
điện vòng qua nhánh đó (dịng điện vòng nào cùng chiều với dịng nhánh thì
mang dấu dương).

Bài 3.4. Giảimạch điện xoay chiều dưới dạng phức.

1. Khái niệm mở đầu.

Vi vic biu din cỏc lng của mạch điện xoay chiều dưới dạng phức và
việc thành lập sơ đồ phức của mạch như trên. Ba luật cơ bản của mạch điện là
luật Ôm và hai luật Kirchooff đều bảo toàn dạng khi chuyển sang sơ đồ phức.
Điều đó cho phép ta áp dụng các phương pháp giải tích mạch điện 1 chiều sang 
mạch điện xoay chiều, bằng cách thay thế các sơ đồ thực bằng sơ đồ phức và

thành lập hệ phương trình bằng luật Ôm và hai luật Kirchooff dạng phức. Như

vậy có thể giải mạch xoay chiều bằng các phương pháp biến đổi trở kháng...dòng
nhánh, dòng vòng...vv

Để tiện cho việc tính tốn đối với số phức dưới dạng mũ, ta sẽ biểu diễn
dưới dạng vắn tắt bằng cách chỉ viết mô đun kèm theo acgumen, cụ thể là:

Số phức A  Aej được viết là A  A ( đọc là A góc



) và ta hiểu là
phức A có mơ đun A , acgumen .

2. Tính mạch xoay chiều có trở kháng đấu nối tiếp.

Ta xét mạch điện không phân nhánh gồm n trở kháng đấu nối tiếp, đặt váo
điện áp xoay chiều U. Phức tổng trở của các phần tử:

Z1 = r1 + jx1 ; Z2 = r2 + jx2 ; ..., Zn = rn + jxn ;

Z1 Z2 Z.... Z n

r, x r, x r , x r , x

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Lý thuyết Mạch điện Ngun Thµnh Nam

U  IZ1IZ2...IZn  I(Z1Z2...Zn)IZtd
ở đây Ztd là phức tổng trở tương đương của toàn mạch:
Ztd = Z1 + Z2 + ... + Zn =



1

i

i
Z

Phức tổng trở tương đương của các tổng trở đấu nối tiếp bằng tổng các phức
tổng trở của tng phn t.

Dòng điện trong mạch:

td

Z
U
I

Phức điện áp trên từng phÇn tư:
U1IZ1 ; U2IZ2;....; Un IZn

Bµi tËp vÝ dơ1:

Một cuộn dây có r1 = 3  ; xL1 = 4  ; nối tiếp với một tụ điện có r2 = 5  ;
xC2 = 12  . Đặt vào điện áp xoay chiều U = 113 V. Tính dịng điện trong mạch,
điện áp đặt vào cuộn dây và tụ điện, công suất mạch tiêu thụ, công suất trên cuộn
dây và tụ điện. V th vộc t.

Bài giải :

Z1 = r1 + jxL1 = 3 + j4 = 553010’ 

Z2 = r2 - jxC2 = 5 - j12 = 13-67020’ 

U1 U2

xL1 r1 xC2 r1

I

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Lý thuyết Mạch điện Nguyễn Thành Nam
Phức tổng trở tương đương

Z = Z1 + Z2 = (3 + j4) + (5 - j12) = 8 -j8 =11,3- 450

Còn góc pha đầu của điện áp u = 0, do U = 113 V. Phøc dòng điện trong
nhánh:

A

Z
U

I 0 10 450

45
3

,
11

113









 



Vậy dòng điện trong mạch có trị hiệu dụng I = 10 A, vượt pha trc in ỏp
450.

Điện áp trên cuộn dây:

U1IZ1= 10+450 . 553010’ = 5098010’ (V). 
Điện áp này có trị số 50 V, góc pha đầu 98010

Điện áp trên mạch tụ điện:
U2 IZ2 = 10+45

. 13-67020’ = 130-22020’ (V)
Điện áp này có trị số 130 V, góc pha ®Çu -22020’

+1
+j

U2

U

I

-22020’
45

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Lý thuyết Mạch điện Nguyễn Thành Nam
Công suất toàn mạch:

. 113.10 450 1130 450 (800 800)
~

j
I

U

S      




VA
VËy P = 800 W ; Q = 800 VAr ; S = 1130 VA.

)
400
300

(
10
53
500
45

10
.
10
98

50 0 ' 0 0 '

1
~

1 U I j

S        




VA.
VËy P1 = 300 W ; Q1 = 400 VAr ; S1 = 500 VA.

C«ng suất ở mạch tụ điện:

)
1200
500

(
20
67
1300
45

10
.
20
22

130 0 ' 0 0 '

2
~

2 U I j

S        




VA.
VËy P2 = 500 W ; Q2 = -1200 VAr ; S2 = 1300 VA.

Kiểm tra lại cân bằng công suất:
P = P1 + P2 = 300 + 500 = 800
Q = Q1 + Q2 = 400 - 1200 = -800

( CÇn chó ý r»ng nãi chung S ≠ S1 + S2 )

Bµi tËp vÝ dơ 2:

Chomộtnhánh gồmbaphầntử R,L,Cnối tiếpnhư hình vẽ.

Có cácthông sè :

R L C

Ur UL UC

</div>

Giáo trình Lý thuyết mạch điện: Phần 2

<i>z</i>



<i>a</i>



<i>b</i>

<i>z</i>



<i>a</i>



<i>b</i>



4



3



5

<i>Z</i>

<i>Z</i>

<i>Z</i>

<i>Z</i>



<i>e</i>



cos





<i>j</i>

sin























)

).(

(

)

).(

(

<i>jb</i>

<i>a</i>

<i>jb</i>

<i>a</i>

<i>jb</i>

<i>a</i>

<i>jb</i>

<i>a</i>

<i>jb</i>

<i>a</i>

<i>jb</i>

<i>a</i>

<i>Z</i>

<i>Z</i>

<i>Z</i>

<i>a</i>

<i>jb</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>j</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>