Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - GV: Nguyễn Quốc Huy - Trường THCS Quảng Đông

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. Ngµy so¹n: 20/02/2010 TuÇn d¹y: 25. Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số A. Môc tiªu: - HS nắm được các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là các hằng đẳng thức mở réng, tam gi¸c Pascal - Biến đổi thành thạo các biểu thức nguyên - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập. B. Phương tiện: - GV: gi¸o ¸n, tµi liÖu Casio. - HS: M¸y tÝnh Casio. C. Néi dung bµi gi¶ng: a – biển đổi biểu thức nguyên I. Một số hằng đẳng thức cơ bản 1. (a  b)2 = a2  2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a 2 + ... + a n )2 = = a12  a 22  ...  a 2n  2(a1a 2  a1a 3  ...  a1a n  a 2 a 3  ...  a 2 a n  ...  a n 1a n ) ; 2. (a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3 = a3  b3  3ab(a  b); (a  b)4 = a4  4a3b + 6a2b2  4ab3 + b4 ; 3. a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) ; 4. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ; II. B¶ng c¸c hÖ sè trong khai triÓn (a + b)n Tam gi¸c Pascal §Ønh 1 Dßng 1 (n = 1) 1 1 Dßng 2 (n = 2) 1 2 1 Dßng 3 (n = 3) 1 3 3 1 Dßng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1 Dßng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1 Trong tam gi¸c nµy, hai c¹nh bªn gåm c¸c sè 1 ; dßng k + 1 ®­îc thµnh lËp tõ dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng 2 ta cã 2 = 1 + 1, ë dßng 3 ta cã 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ë dßng 4 ta cã 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triÓn (x + y)n thµnh tæng th× c¸c hÖ GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 1 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên. Người ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thường được sử dụng khi n không quá lớn. Chẳng hạn, với n = 4 thì : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 vµ víi n = 5 th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 II. C¸c vÝ dô VÝ dô 1. §¬n gi¶n biÓu thøc sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3. Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] – – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – 2 y) + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dô 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i a) b) c) d). x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2  x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 2 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. VÝ dô 4. Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S 2 - 2P ; a3 + b3 = S 3 - 3SP . V× vËy : A = x3 – 3( S 2 - 2P )x + 2( S 3 - 3SP ) = (x 3 - S 3 ) - (3S 2 x - 3S 3 ) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x 2 + Sx + S 2 ) - 3S 2 (x - S) + 6P(x - S) = (x - S)(x 2 + Sx - 2S 2 + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 VÝ dô 5. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lêi gi¶i V× x + y + z = 0 nªn x + y = –z  (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3  3xyz = x3 + y3 + z3 Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) 2 2 2 Mà x + y = (x + y) – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z). Tương tự : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx. V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm) Bµi tËp 1. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ; c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ; e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1. 2. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) x8 + x4 + 1; b) x10 + x5 + 1 ; c) x12 + 1 ; 3. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; b) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5. 4. Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 14. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4. 5. Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 3 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 a2. b2. 4c2.. N¨m häc2009-2010 B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009. Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a –. 6. Cho – = 5b)2. 7. Chøng minh r»ng nÕu (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z. a b 8. a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y kh¸c 0 th× = . x y 2 2 2 2 2 2 2 b) Chøng minh r»ng nÕu (a + b + c )(x + y + z ) = (ax + by + cz) vµ x, y, z a b c kh¸c 0 th× = = . x y z 9. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5). 10.Chứng minh các hằng đằng thức sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2. 11.Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2. Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 12. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945. 13. Hai số a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. H·y tÝnh : D = a + b. 14. Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98. H·y tÝnh : E = a2 + b2. 15. Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008.. GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 4 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. Ngµy so¹n: 27/02/2010 TuÇn d¹y: 26. Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số C. Môc tiªu: - HS tiếp tục được củng cố các hằng đẳng thức đáng nhớ. - Biến đổi thành thạo các biểu thức hữu tỉ. - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập. D. Phương tiện: - GV: gi¸o ¸n, tµi liÖu Casio. - HS: M¸y tÝnh Casio. C. Néi dung bµi gi¶ng: B – biển đổi phân thức hữu tỉ VÝ dô 5. 3n + 1 a) Chøng minh r»ng ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n nN ; 5n + 2 n2 + 4 b) Cho ph©n sè A = (nN). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n 2009 sao n+ 5 cho phân số A chưa tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. Lêi gi¶i a) §Æt d = ¦CLN(5n + 2 ; 3n + 1)  3(5n + 2) – 5(3n + 1)  d hay 1  d  d = 1. 3n + 1 VËy ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n. 5n + 2 29 29 b) Ta cã A = n - 5 + . §Ó A ch­a tèi gi¶n th× ph©n sè ph¶i ch­a tèi n+ 5 n+ 5 giản. Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ước dương lớn hơn 1 của 29. V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + 5  29  n + 5 = 29k (k  N) hay n = 29k – 5. Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009  1 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69} Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + … + 69) – 5.69 = 69690. 1 1 1 1 VÝ dô 6. Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn + + = . a b c a+ b+ c Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng : 1 1 1 1 . + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 a b c a + b + c2009 GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 5 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. Lêi gi¶i 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cã : + + =  + + =0 a b c a+ b+ c a b c a+ b+ c a+ b a+ b c(a + b + c) + ab  + = 0  (a + b). =0 ab c(a + b + c) abc(a + b + c) éa + b = 0 éa = - b ê ê  (a + b)(b + c)(c + a) = 0  êb + c = 0  êb = - c  ®pcm. ê ê êc + a = 0 êc = - a ë ë 1 1 1 + 2009 = 2009 2009 a b c a (- c) c a 1 1 1 = 2009 = 2009 2009 2009 2009 2009 2009 a +b +c a + (- c) + c a 1 1 1 1  2009 + 2009 + 2009 = 2009 . 2009 a b c a + b + c2009 VÝ dô 7. §¬n gi¶n biÓu thøc : ö ö ö 1 æ 3 æ 6 æ ç1 + 1 ÷ çç 1 + 1 ÷ çç1 + 1 ÷ A= + + ÷ ÷ ÷. 3ç 3 3 4 2 2 5 ø (a + b) çèa ø (a + b) çèa b ÷ ø (a + b) çèa b ÷ b ÷ Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab. Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S 2 - 2P a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S 3 - 3SP . 1 1 a+ b S 1 1 a 2 + b 2 S 2 - 2P = ; 2+ 2= Do đó : + = = ; a b ab P a b a2b2 P2 1 1 a 3 + b 3 S 3 - 3SP + = = . a3 b3 a 3b3 P3 1 S 3 - 3SP 3 S 2 - 2P 6 S Ta cã : A = 3 . + . + 5. S P3 S4 P2 S P = 2 S - 3P 3(S 2 - 2P) 6 (S 4 - 3S 2 P) + (3S 2 P - 6P 2 ) + 6P 2 S4 + + 4 = = 4 3 S2P3 S4P2 S P S 4P3 S P 1 1 Hay A = 3 = 3 3 . P ab VÝ dô 8. Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biÖt. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x : (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) . S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a). Từ đó suy ra :. 1. 2009. +. GV: NguyÔn Quèc Huy. 1. 2009. +. 1. 2009. 1. =. 2009. +. Trang 6 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010 Lêi gi¶i. C¸ch 1. S(x) =. x 2 - (a + b)x + ab x 2 - (b + c)x + bc x 2 - (c + a)x + ca + + = Ax2 – Bx + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a). C. 1 1 1 ; + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) a+ b b+ c c+ a ; B= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ab bc ca C= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) b- a + c- b + a- c Ta cã : A = = 0; (a - b)(b - c)(c - a) (a + b)(b - a) + (b + c)(c - b) + (c + a)(a - c) B= (a - b)(b - c)(c - a) b 2 - a 2 + c2 - a 2 + a 2 - c2 = =0 ; (a - b)(b - c)(c - a) ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c) ab(b - a) + bc[(c - a) + (a - b)] + ca(a - c) C= = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(bc - ab) + (c - a)(bc - ca) (a - b)(b - c)(c - a) = = = 1. (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) VËy S(x) = 1x (®pcm). C¸ch 2 Đặt P(x) = S(x) – 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vượt quá 2. Do đó, P(x) chØ cã tèi ®a hai nghiÖm. NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0  a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x). §iÒu nµy chØ x¶y ra khi vµ chØ khi P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = 0 x. Suy ra S(x) = 1 x  ®pcm. 1 VÝ dô 9. Cho x + = 3 . TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : x 1 1 1 1 a) A = x 2 + 2 ; b) B = x 3 + 3 ; c) C = x 4 + 4 ; d) D = x 5 + 5 . x x x x Lêi gi¶i 2 ö 1 æ 1 2 a) A = x + 2 = ç x+ ÷ ÷ - 2 = 9- 2 = 7 ; ç ç è ø x x÷ víi : A =. GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 7 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010 3. æ 1ö 1 æ 1ö ççx + ÷ b) B = x + 3 = ççx + ÷ 3 ÷ ÷= 27 - 9 = 18 ; ÷ ç çè è ø x xø x÷ 2 1 æ 1ö c) C = x 4 + 4 = ççx 2 + 2 ÷ ÷ - 2 = 49 - 2 = 47 ; çè ø x x ÷ æ ö 5 1 1 öæ 1 ççx 3 + 1 ÷ = x + + x + = D + 3  D = 7.18 – 3 = 123. d) A.B = ççx 2 + 2 ÷ ÷ ÷ 3 çè ç øè ø x ÷ x ÷ x x5 2 ax + b c Ví dụ 10. Xác định các số a, b, c sao cho : 2 . = 2 + (x + 1)(x - 1) x + 1 x - 1 Lêi gi¶i ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x 2 + 1) (a + c)x 2 + (b - a)x + (c - b) Ta cã : 2 + = = x + 1 x- 1 (x 2 + 1)(x - 1) (x 2 + 1)(x - 1) 2 §ång nhÊt ph©n thøc trªn víi ph©n thøc 2 , ta ®­îc : (x + 1)(x - 1) ìï a + c = 0 ìï a = - 1 ïï ïï 2 - x- 1 1 b a = 0 Û . = 2 + í í b = - 1 . VËy 2 ïï ïï (x + 1)(x - 1) x + 1 x - 1 ïîï c - b = 2 ïîï c = 1 3. Bµi tËp n 3 + 2n 2 - 1 16. Cho ph©n thøc P = 3 . n + 2n 2 + 2n + 1 a) Rót gän P ; b) Chøng minh r»ng nÕu n lµ sè nguyªn th× gi¸ trÞ cña ph©n thøc t×m ®­îc trong c©u a) t¹i n lu«n lµ mét ph©n sè tèi gi¶n.. 17. a) Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n : 2n + 1 n 3 + 2n ; . 2n 2 - 1 n 4 + 3n 2 + 1 n7 + n2 + 1 b) Chøng minh r»ng ph©n sè 8 không tối giản với mọi số nguyên dương n + n+ 1. 12n + 1 ; 30n + 2. n. n2 + 5 c) TÝnh tæng c¸c sè tù nhiªn n nhá h¬n 100 sao cho lµ ph©n sè ch­a tèi n+ 1 gi¶n.. GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 8 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. 18. TÝnh c¸c tæng sau : 3 5 2n + 1 a) A = ; + + ... + 2 2 (1.2) (2.3) [n(n + 1)]2 1 1 1 1 b) B = 1 + ; + 2 + 4 + ... + 2n 2+ 1 2 + 1 2 + 1 2 +1 1 1 1 1 c) C = ; + + ... + 1.4 4.7 7.10 (3n + 1)(3n + 4) 1 1 1 d) D = ; + + ... + 1.3 2.4 n.(n + 2) 1 1 1 1 e) E = ; + + + ... + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n - 1)n(n + 1) 1.2! 2.3! n.(n + 1)! + 2 + ... + f) F = (k! = 1.2.3…k) 2 2 2n. (a 2 + b 2 + c2 )(a + b + c)2 + (bc + ca + ab)2 19. Rót gän : A = . (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) (a + 2b)3 - (a - 2b)3 3a 4 + 7a 2 b 2 + 3b 4 : . (2a + b)3 - (2a - b)3 4a 4 + 7a 2 b 2 + 3b 4 21.Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh : x 2 - yz y 2 - zx z 2 - xy + + a) ; y+ z z+ x x+ y 1+ 1+ 1+ x y z a(a + b) a(a + c) b(b + c) b(b + a) c(c + a) c(c + b) + + + a b a c b c b a c a c- b ; b) + + 2 2 (b - c) (c - a) (a - b)2 1+ 1+ 1+ (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) (c - a)(c - b) a + b - 2c b + c - 2a c + a - 2b c) + + (a - b)3 (c - a)(c - b) (b - c)3 (a - b)(a - c) (c - a)3 (b - c)(b - a) + 2 + 2 + 2 a3 - b3 a + ab + b 2 b 3 - c3 b + bc + c2 c3 - a 3 c + ca + a 2 . 20. Rót gän : B =. 22. a) BiÕt a – 2b = 5, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : P =. GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 9 Lop8.net. 3a - 2b 3b - a ; + 2a + 5 b- 5. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. 5a - b 3b - 3a ; 3a + 7 2b - 7 2a - b 5b - a c) BiÕt 10a2 –3b2 + 5ab = 0 vµ 9a2 – b2 ≠ 0, h·y tÝnh : R = . + 3a - b 3a + b 23. Cho a + b + c = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 1 1 1 a) A = 2 ; + + a + b 2 - c2 b 2 + c2 - a 2 c2 + a 2 - b 2 a2 b2 c2 b) B = 2 ; + + a - b 2 - c2 b 2 - c2 - a 2 c2 - a 2 - b 2 1 1 1 1 + + ... + + A 1(2n - 1) 3(2n - 3) (2n - 3).3 (2n - 1).1 24.Rót gän biÓu thøc : = . 1 1 1 B 1 + + + ... + 3 5 2n - 1 b) BiÕt 2a – b = 7, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : Q =. a2 b2 c2 a b c + + = 0. 25.Cho + + = 1 . Chøng minh r»ng b+ c c+ a a+ b b+ c c+ a a+ b. a b c + + = 0 . Chøng minh r»ng x y z ax2 + by2 + cz2 = 0. 1 1 27. Cho x2 – 4x + 1 = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc A = x5 + 5 vµ B = x7 + 7 . x x 2 2 x x x 28. Cho 2 vµ N = 4 . = 2008. TÝnh M = 4 2 x +x +1 x - x2 + 1 x - x+ 1 a - 1 a - 1 a - 1 29. Cho d·y sè a1, a2, a3, … sao cho : a 2 = 1 ; a3 = 2 ; … ; a n = n- 1 . a1 + 1 a2 + 1 a n- 1 + 1 a) Chøng minh r»ng a1 = a5. b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a101 = 108. 26. Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 vµ. GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 10 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. Ngµy so¹n: 06/03/2010 TuÇn d¹y: 27. Chuyên đề Ii: phân tích đa thức thành nhân tử E. Môc tiªu: - HS nắm được các phương pháp cơ bản và nâng cao khi phân tích đa thức thành nh©n tö. - Thùc hiÖn thµnh th¹o d¹ng to¸n ph©n tÝch nµy. - Biết được mối liên hệ giữa các phương pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán. - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập. F. Phương tiện: - GV: gi¸o ¸n, tµi liÖu Casio. - HS: M¸y tÝnh Casio. C. Néi dung bµi gi¶ng: I- Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác: Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö. a, x 2  5 x  6. d, x 2  13 x  36. b, 3x 2  8 x  4. e, x 2  3 x  18. c, x 2  8 x  7. f, x 2  5 x  24. g , 3x 2  16 x  5. h, 8x 2  30 x  7. i, 2x 2  5 x  12. k, 6x 2  7 x  20. Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:. 1, x 3  5 x 2  8 x  4. 2, x 3  2 x  3. 3, x 3  5 x 2  8 x  4. 4, x 3  7 x  6. 5, x 3  9 x 2  6 x  16. 6, 4x 3  13 x 2  9 x  18. 7, x 3  4 x 2  8 x  8. 8,  x 3  6 x 2  6 x  1. 9, 6x 3  x 2  486 x  81. 10, x 3  7 x  6. 11, x 3  3 x  2. 12, x 3  5 x 2  3 x  9. 13, x 3  8 x 2  17 x  10. 14, x 3  3 x 2  6 x  4. 15, x 3  2 x  4. 16, 2x 3  12 x 2  17 x  2. 17, x 3  x 2  4. 18, x 3  3 x 2  3 x  2. GV: NguyÔn Huy Trang 11 19, Quèc x3  9 x 2  26 x  24. 21, 3x 3  14 x 2  4 x  3. Lop8.net. 3 §«ng 20, 2xTrường  3 x 2 THCS  3 x Qu¶ng 1. 22, x 4  2 x 3  x 2  x  1.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. II- Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử 1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương: A2 – B2 = (A – B)(A + B) Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:. 1, (1  x 2 ) 2  4 x(1  x 2 ) 2, x 2  8   36 2. 3, x 4  4. 4, x 4  64. 5, 64x 4  1. 6, 81x 4  4. 7, 4x 4  81. 8, 64x 4  y 4. 9, x 4  4 y 4. 10, x 4  x 2 1. 2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:. 1, x 7  x 2  1. 2, x 7  x5  1. 3, x5  x 4  1. 4, x5  x  1. 5, x8  x 7  1. 6, x5  x 4  1. 7, x5  x  1. 8, x10  x5  1. III- Phương pháp đổi biến Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö. 1, x( x  4)( x  6)( x  10)  128. 2, (x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  24. 3, ( x 2  4 x  8) 2  3x( x 2  4 x  8)  2 x 2. 4, ( x 2  x) 2  4 x 2  4 x  12. 5, x 2  2 xy  y 2  2 x  2 y  15. 6, (x  a)( x  2a)( x  3a)( x  4a)  a 4. 7, 6 x 4  11x 2  3. 8, ( x 2  x) 2  3( x 2  x)  2. 9, x 2  2 xy  y 2  3x  3 y  10. 10, ( x 2  2 x) 2  9 x 2  18 x  20. 11, x 2  4 xy  4 y 2  2 x  4 y  35. 12, (x  2)( x  4)( x  6)( x  8)  16. Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö. 1, x 4  6 x 3  7 x 2  6 x  1 2, ( x 2  y 2  z 2 )( x  y  z ) 2  ( xy  yz  zx) 2 GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 12 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. IV- Phương pháp xét giá trị riêng Phương pháp: Trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại. VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:. a, P = x 2 ( y  z )  y 2 ( z  x )  z 2 ( x  y ) b, Q =a(b  c  a)2  b(c  a  b)2  c(a  b  c)2  (a  b  c) (b  c  a)(c  a  b) Gi¶i a, Gi¶ sö thay x bëi y th× P = y 2 ( y  z )  y 2 ( z  y )  0 Nh­ vËy P chøa thõa sè x – y Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y, z). Do đó nếu P đã chúa thùa số x – y thì còng chóa thõa sè y – z, z – x. VËy P ph¶i cã d¹ng P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chóa biÕn) v× P cã bËc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức. x 2 ( y  z )  y 2 ( z  x)  z 2 ( x  y )  k ( x  y )( y  z )( z  x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta ®­îc k = -1 VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z) C¸c bµi to¸n Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: M  a (b  c  a ) 2  b(c  a  b) 2  c(a  b  c) 2  (a  b  c)(b  c  a )(c  a  b). N  a (m  a ) 2  b(m  b) 2  c(m  c) 2  abc , víi 2m = a+ b + c.. Bài 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:. GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 13 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. a ) A  (a  b  c)(ab  bc  ca )  abc. b) B  a (a  2b)3  b(2a  b)3 . c)C  ab(a  b)  bc(b  c)  ac(a  c). d ) D  (a  b)(a 2  b 2 )  (b  c)(b 2  c 2 )  (c  a )(c 2  a 2 ) e) E  a 3 (c  b 2 )  b3 (a  c 2 )  c 3 (b  a 2 )  abc(abc  1). f ) f  a (b  c)3  b(c  a )3  c(a  b)3 . g )G  a 2b 2 (a  b)  b 2 c 2 (b  c)  a 2 c 2 (c  a ). h) H  a 4 (b  c)  b 4 (c  a )  c 4 (a  b).. V-Phưong pháp hệ số bất định Bài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a ) A  x 4  6 x 3  12 x 2  14 x  3 b) B  4 x 4  4 x 3  5 x 2  2 x  1 c)C  3 x 2  22 xy  11x  37 y  7 y 2  10 d ) D  x 4  7 x 3  14 x 2  7 x  1 e) E  x 4  8 x  63. Bµi tËp: VÝ dô . Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S 2 - 2P ; a3 + b3 = S 3 - 3SP . V× vËy : A = x3 – 3( S 2 - 2P )x + 2( S 3 - 3SP ) = (x 3 - S 3 ) - (3S 2 x - 3S 3 ) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x 2 + Sx + S 2 ) - 3S 2 (x - S) + 6P(x - S) = (x - S)(x 2 + Sx - 2S 2 + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : f) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; g) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ; h) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; i) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ; j) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1. f) x8 + x4 + 1; g) x10 + x5 + 1 ; GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 14 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. h) x12 + 1 ; i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5.. GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 15 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. Ngµy so¹n: 13/03/2010 TuÇn d¹y: 28. Chuyên đề Iii: Xác định đa thức A. Môc tiªu: - HS nắm được định lí Bezu và ứng dụng của nó để giải các bài toán liên quan đến ®a thøc nh­ chia ®a thøc, tÝnh gi¸ trÞ ®a thøc…. - Thùc hiÖn thµnh th¹o d¹ng to¸n ph©n tÝch nµy. - Biết được mối liên hệ giữa các phương pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán. - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập. B. Phương tiện: - GV: gi¸o ¸n, tµi liÖu Casio. - HS: M¸y tÝnh Casio. C. Néi dung bµi gi¶ng: 1) §Þnh lÝ BªZu: D­ trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (gi¸ trÞ cña f(x) t¹i x = a): f ( x)  ( x  a)q( x)  f (a) (Beout, 1730 - 1783, nhµ to¸n häc Ph¸p) HÖ qu¶: NÕu a lµ nghiÖm cña ®a thõc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a. áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. Thực hiện nh­ sau: Bước 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của f(x) kh«ng. Bước 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f ( x)  ( x  a) p( x) §Ó t×m p(x) thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho x - a. Bước 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân tích được. Sau đó viÕt kÕt qu¶ cuèi cïng cho hîp lÝ. Dạng 1: Tìm đa thức thương bằng phương pháp đồng nhất hệ số(phương pháp hệ số bất định), phương pháp giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức. *Phương pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây : NÕu hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) b»ng nhau: P(x) = Q(x) th× c¸c h¹ng tö cïng bËc ë hai ®a thøc ph¶i cã hÖ sè ph¶i cã hÖ sè b»ng nhau. VÝ dô: P( x)  ax 2  2bx  3 ; Q( x)  x 2  4 x  p NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã: a = 1(hÖ sè cña lòy thõa 2) 2b = - 4 (hÖ sè cña lòy thõa bËc 1) - 3 = - p (hÖ sè h¹ng tö bËc kh«ng hay h¹ng tö tù do) *Phương pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x) Gọi thương và dư trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lượt là M(x) và N(x) Khi đó ta có: P( x)  Q( x).M ( x)  N ( x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I) GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 16 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì : x   (  là hằng số). Sau đó ta đi giải phương trình hoặc hệ phương trình để tìm các hệ số của các hạng tử trong các đa thức ( Đa thức thương, đa thức chia, đa thức bị chia, số d­). VÝ dô: Bµi 1(PhÇn bµi tËp ¸p dông) Gọi thương của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta có: a 2 x 3  3ax 2  6 x  2a  ( x  1).Q( x) . Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x = -1 ta dược: a  2  a 2  3a  6  2a  0   a 2  a  6  0    a3 3 2 Với a = -2 thì A  4 x  6 x  6 x  4, Q( x)  4 x 2  10 x  4. Với a = 3 thì A  9 x 3  9 x 2  6 x  6, Q( x)  9 x 2  6 *Phương pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức (như SGK) Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Cho đa thức A( x)  a x  3ax 2  6 x  2a(a  Q) . X¸c định a sao cho A(x) chia hết cho x + 1. Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc P( x)  x 4  x3  2 x  4 thµnh nh©n tö, biÕt r»ng mét nh©n tö cã d¹ng: x 2  dx  2 Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc : x 3  ax 2  2 x  b chia hÕt cho ®a thøc: x 2  x  1 . H·y gi¶i bµi to¸n trªn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f ( x)  x 4  9 x 3  21x 2  x  k chia hết cho đa thức: g ( x)  x 2  x  2 . Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức: f (k )  k 3  2k 2  15 chia hết cho nhị thức: g (k )  k  3 . Bài 6: Với giá trị nào của a và b thì đa thức: f ( x)  x 4  3x 3  3x 2  ax  b chia hết cho đa thức: g ( x)  x 2  3x  4 . Bài 7: a) Xác định các giá trị của a, b và c để đa thức: P( x)  x 4  ax 2  bx  c Chia hết cho ( x  3)3 . b) Xác định các giá trị của a, b để đa thức: Q( x)  6 x 4  7 x 3  ax 2  3x  2 chia hết cho đa thức M ( x)  x 2  x  b . c) Xác định a, b để P( x)  x 3  5 x 2  8 x  a chia hết cho M ( x)  x 2  x  b . Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để có đẳng thức: 2 3. x 3  ax 2  bx  c  ( x  a )( x  b)( x  c). Bài 9: Xác định hằng số a sao cho: a) 10 x 2  7 x  a chia hết cho 2 x  3 . GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 17 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. b) 2 x 2  ax  1 chia cho x  3 dư 4. c) ax 5  5 x 4  9 chia hết cho x  1 . Bài 10: Xác định các hằng số a và b sao cho: a) x 4  ax 2  b chia hết cho x 2  x  1 . b) ax 3  bx 2  5 x  50 chia hết cho x 2  3x  10 . c) ax 4  bx 2  1 chia hết cho ( x  1) 2 . d) x 4  4 chia hết cho x 2  ax  b . Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho x 3  ax  b chia cho x  1 thì dư 7, chia cho x  3 thì dư -5. Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho ax 3  bx 2  c chia hết cho x  2 , chia cho x 2  1 thì dư x  5 . Bài 13: Cho đa thức: P( x)  x 4  x 3  x 2  ax  b và Q( x)  x 2  x  2 . Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x). Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức P( x)  ax 4  bx 3  1 chia hết cho đa thức Q( x)  ( x  1) 2. Bài 15: Cho các đa thức P( x)  x 4  7 x 3  ax 2  3x  2 và Q( x)  x 2  x  b . Xác định a và b để P(x) chia hết cho Q(x).. GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 18 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. Ngµy so¹n: 20/03/2010 TuÇn d¹y: 29. Chuyên đề IV: xác định đa thức A. Môc tiªu: - HS tiếp tục nắm được các phương pháp cơ bản và nâng cao khi giải các bài toán về đa thức, đặc biệt là phương pháp NiuTơn. - Thùc hiÖn thµnh th¹o d¹ng to¸n ph©n tÝch nµy. - Biết được mối liên hệ giữa các phương pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán. - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập. B. Phương tiện: - GV: gi¸o ¸n, tµi liÖu Casio. - HS: M¸y tÝnh Casio. C. Néi dung bµi gi¶ng: Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm C1 , C 2 , C 3 ,  , C n 1 ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng: P ( x)  b0  b1 ( x  C1 )  b2 ( x  C1 )( x  C 2 )    bn ( x  C1 )( x  C 2 )  ( x  C n ). Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị C1 , C 2 , C3 ,, C n 1 vào biểu thức P(x) ta lần lượt tính được các hệ số b0 , b1 , b2 ,, bn . Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: P(0)  25, P(1)  7, P(2)  9 . Giải Đặt P( x)  b0  b1 x  b2 x( x  1) (1) b0  25. Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được: 7  25  b1  b1  18  9  25  18.2  b2 .2.1  b2  1. Vậy, đa thức cần tìm có dạng: P ( x)  25  18 x  x( x  1)  P ( x)  x 2  19 x  25 .. Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết: P(0)  10, P(1)  12, P(2)  4, P(3)  1 Hướng dẫn: Đặt P( x)  b0  b1 x  b2 x( x  1)  b3 x( x  1)( x  2) (1) Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho ( x  1), ( x  2), ( x  3) đều được dư bằng 6 và P(-1) = - 18. Hướng dẫn: Đặt P( x)  b0  b1 ( x  1)  b2 ( x  1)( x  2)  b3 ( x  1)( x  2)( x  3) (1). GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 19 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. N¨m häc2009-2010. Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn:. P (1)  0 P ( x)  P ( x  1)  x( x  1)(2 x  1), (1). a) Xác định P(x). b) Suy ra giá trị của tổng S  1.2.3  2.3.5    n(n  1)(2n  1), (n  N * ) . Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được : P (1)  P (2)  0  P (2)  0, P (0)  P (1)  0  P (0)  0 P (1)  P (0)  1.2.3  P (1)  6 P (2)  P (1)  2.3.5  P (2)  36. Đặt P( x)  b0  b1 ( x  1)  b2 ( x  1) x  b3 ( x  1) x( x  1)  b4 ( x  1) x( x  1)( x  2) (2) Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: 0  b0. 0  b1  b1  0, 6  b2 .2.1  b2  3, 36  3.3.2  b3 .3.2.1  b3  3 0  3.(1)(2)  3.(1)(2)(3)  b4 (1)(2)(3)(4)  b4 . 1 2. Vậy, đa thức cần tìm có dạng: 1 1 P ( x)  3( x  1) x  3( x  1) x( x  1)  ( x  1) x( x  1)( x  2)  x( x  1) 2 ( x  2) 2 2. (Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS) Bài 5: cho đa thức P( x)  ax 2  bx  c, (a, b, c  0) . Cho biết 2a  3b  6c  0 1 1) Tính a, b, c theo P(0), P , P(1) .. 2 1 2) Chứng minh rằng: P(0), P , P(1) không thể cùng âm hoặc cùng dương. 2 P (0)  19. Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết: P(1)  85 P (2)  1985. GV: NguyÔn Quèc Huy. Trang 20 Lop8.net. Trường THCS Quảng Đông.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>