<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Hệ thống kiến thức cơ bản

<i>Môn : Hình Học - THCS</i>

<i>Website: </i>

<b>1.</b> Điểm - Đờng thẳng

<i>- Ngời ta dùng các chữ cái in hoa A,</i>
<i>B, C, ... để đặt tên cho điểm</i>

<i>- BÊt cứ hình nào cũng là một tập</i>
<i>hợp các điểm. Một điểm cũng là</i>
<i>một hình.</i>

<i>- Ngi ta dựng cỏc chữ cái thờng a,</i>
<i>b, c, ... m, p, ... để đặt tên cho các</i>
<i>đờng thẳng (hoặc dùng hai chữ</i>
<i>cái in hoa hoặc dùng hai chữ cái</i>
<i>thờng, ví dụ đờng thẳng AB, xy, ...</i>
<i>)</i>

<i>- Điểm C thuộc đờng thẳng a (điểm</i>
<i>C nằm trên đờng thẳng a hoặc </i>
<i>đ-ờng thẳng a đi qua điểm C), kí</i>
<i>hiệu là: </i>Ca

<i>- Điểm M không thuộc đờng thẳng a</i>
<i>(điểm M nằm ngồi đờng thẳng a</i>
<i>hoặc đờng thẳng a khơng đi qua</i>

<i>im M), kớ hiu l: </i>Ma

2. Ba điểm thẳng hàng

<i>- Ba điểm cùng thuộc một đờng</i>
<i>thẳng ta nói chúng thẳng hàng</i>

<i>- Ba điểm khơng cùng thuộc bất kì</i>
<i>đờng thng no ta núi chỳng khụng</i>
<i>thng hng.</i>

<b>3. Đờng thẳng trùng nhau, c¾t nhau, song song</b>

<i>- Hai đờng thẳng AB và BC nh</i>
<i>hình vẽ bên là hai đờng thẳng</i>
<i>trùng nhau.</i>

<i>- Hai đờng thẳng chỉ có một điểm</i>
<i>chung ta nói chúng cắt nhau, điểm</i>
<i>chung đó đợc gọi là giao điểm</i>
<i>(điểm E là giao điểm)</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>ờng thẳng bị chia ra bởi điểm O </i>
<i>đ-ợc gọi là một tia gốc O (có hai tia</i>
<i>Ox và Oy nh hình vẽ)</i>

<i>- Hai tia chung gc to thành đờng</i>
<i>thẳng đợc gọi là hai tia đối nhau</i>
<i>(hai tia Ox và Oy trong hình vẽ là</i>
<i>hai tia đối nhau)</i>

<i>- Hai tia chung gốc và tia này nằm</i>
<i>trên tia kia đợc gọi là hai tia trùng</i>
<i>nhau</i>

<i>- Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng</i>
<i>nhau</i>

<b>5. Đoạn thẳng, độ dài đoạn thng</b>

<i>- Đoạn thẳng AB là hình gồm</i>
<i>điểm A, điểm B và tất cả các điểm</i>
<i>nằm giữa A và B</i>

<i>- Hai ®iĨm A vµ B lµ hai mót</i>
<i>(hc hai đầu) của đoạn thẳng</i>
<i>AB.</i>

<i>- Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ</i>
<i>dài đoạn thẳng l mt s dng</i>

6. Khi nào thì AM + MB = AB ?

<i>- Nếu điểm M nằm giữa hai điểm</i>
<i>A và B thì AM + MB = AB. Ngợc</i>
<i>lại, nếu AM + MB = AB thì điểm</i>
<i>M nằm giữa hai điểm A và B</i>

<b>7. Trung điểm của đoạn thẳng</b>

<i>- Trung điểm M của đoạn thẳng</i>
<i>AB là điểm nằm giữa A, B và cách</i>
<i>đều A, B (MA = MB)</i>

<i>- Trung ®iĨm M của đoạn thẳng</i>
<i>AB còn gọi là điểm chính giữa của</i>
<i>đoạn thẳng AB</i>

<b>8. Na mt phng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối nhau</b>

<i>- Hình gồm đờng thẳng a và một</i>
<i>phần mặt phẳng bị chia ra bởi a </i>
<i>đ-ợc gọi là một nửa mặt phẳng bờ a</i>
<i>- Hai nửa mặt phẳng có chung bờ </i>
<i>đ-ợc gọi là hai nửa mặt phẳng đối</i>
<i>nhau (hai nửa mặt phẳng (I) và (II)</i>
<i>đối nhau)</i>

<b>9. Gãc, gãc bĐt</b>

<i>- Góc là hình gồm hai tia chung</i>
<i>gốc, gốc chung của hai tia gọi là</i>
<i>đỉnh của góc, hai tia là hai cạnh</i>
<i>của góc </i>

<i>- Gãc xOy kÝ hiƯu là </i>xOy <i> hoặc </i>O
<i>hoặc </i>xOy

<i>- im O là đỉnh của góc</i>
<i>- Hai cạnh của góc : Ox, Oy</i>

<i>- Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai</i>
<i>tia i nhau</i>

<b>10. So sánh hai góc, góc vuông, góc nhän, gãc tï.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>- So s¸nh hai gãc bằng cách so</i>
<i>sánh các số đo của chúng</i>

<i>- Hai góc xOy và uIv bằng nhau </i>
<i>đ-ợc kí hiệu là: </i>xOy uIv

<i>- Góc xOy nhỏ hơn góc uIv, ta viÕt:</i>

   

xOyuIvuIv xOy

<i>- Gãc cã sè đo bằng 900_{= 1v, là góc}</i>
<i>vuông</i>

<i>- Góc nhá h¬n gãc vuông là góc</i>
<i>nhọn</i>

<i>- Góc lớn hơn góc vuông nhng nhỏ</i>
<i>hơn góc bẹt là góc tù.</i>

<b>11. Khi nào thì </b>xOy yOz xOz

<i>- Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox</i>

<i>và Oz thì </i>xOy yOz xOz .

- <i>Ngợc lại, nếu </i>xOy yOz xOz <i>thì</i>
<i>tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz</i>

<b>12. Hai góc kề nhau, phơ nhau, bï nhau, kỊ bï</b>

<i>- Hai góc kề nhau là hai góc có</i>
<i>một cạnh chung và hai cạnh còn</i>
<i>lại nằm trên hai nửa mặt phẳng</i>
<i>đối nhau có bờ chứa cạnh chung.</i>
<i>- Hai góc phụ nhau là hai góc có</i>
<i>tổng số đo bằng 900</i>

<i>- Hai gãc bï nhau lµ hai gãc cã</i>
<i>tæng sè ®o b»ng 1800</i>

<i>- Hai góc vừa kề nhau, vừa bù</i>
<i>nhau đợc gọi là hai góc kề bự</i>

<b>13. Tia phân giác của góc</b>

<i>- Tia phân giác của một góc là tia</i>
<i>nằm giữa hai cạnh của góc và t¹o</i>
<i>víi hai c¹nh Êy hai gãc b»ng nhau </i>
<i>- Khi:</i>xOz zOy xOy vµ xOz = zOy 
<i>=> tia Oz là tia phân giác của góc</i>
<i>xOy</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i><b>a) Định nghĩa:</b> Đờng thẳng vng góc</i>

<i>với một đoạn thẳng tại trung điểm</i>
<i>của nó đợc gọi là đờng trung trực của</i>
<i>đoạn thẳng ấy</i>

<i><b>b) Tỉng qu¸t:</b></i>

<i>a là đờng trung trực của AB</i>

<i><b></b></i>






a AB t¹i I
IA =IB

<b>15. Các góc tạo bởi một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng</b>
<i><b>a) Các cặp góc so le trong:</b></i>

 

1 3

A và B <i>_;</i>A và B 4  2<i>_.</i>
<i><b>b) Các cặp góc đồng vị:</b></i>

 

1 1

A vµ B <i>_;</i>A vµ B 2  2<i>_;</i>

 

3 3

A vµ B <i>_;</i>A vµ B 4 4<i>_.</i>
<i><b>c) Khi a//b thì:</b></i>

1 2

A và B <i>_;</i>A vµ B 4  3<i>_{gọi là các cỈp}</i>
<i>gãc trong cïng phÝa bï nhau</i>

<b>16. Hai đờng thẳng song song</b>
<i><b>a) Dấu hiệu nhận biết</b></i>

<i>- Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng</i>
<i>thẳng a, b và trong các góc tạo</i>
<i>thành có một cặp góc so le trong</i>
<i>bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng</i>
<i>vị bằng nhau) thì a và b song song</i>
<i>với nhau</i>

<i><b>b) Tiên đề Ơ_clít</b></i>

<i>- Qua một điểm ở ngồi một đờng</i>
<i>thẳng chỉ có một đờng thẳng song</i>
<i>song với đờng thẳng đó</i>

<i><b>c, Tính chất hai đờng thẳng song song</b></i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

a

I B

A

1
4

2
3
4

3 2

1

b
a

B
A

c

b

a

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i>- Nếu một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì:</i>

 <i>Hai gãc so le trong b»ng nhau;</i>

 <i>Hai góc đồng vị bằng nhau;</i>

 <i>Hai gãc trong cïng phÝa bï nhau.</i>

<i><b>d) Quan hƯ gi÷a tÝnh vu«ng gãc víi tÝnh song song</b></i>

<i>- Hai đờng thẳng phân biệt cùng vng</i>
<i>góc với đờng thẳng thứ ba thì chúng</i>
<i>song song với nhau</i>

a c

a / / b

b c

 


 

<i>- Một đờng thẳng vng góc với một</i>
<i>trong hai đờng thẳng song song thì</i>
<i>nó cũng vng góc với đờng thẳng</i>
<i>kia</i>

c b

c a

a / / b
 

 




<i><b>e) Ba đờng thẳng song song</b></i>

<i>- Hai đờng thẳng phân biệt cùng song</i>
<i>song với một đờng thẳng thứ ba thì</i>
<i>chúng song song với nhau</i>

<i>a//c vµ b//c => a//b</i>

<b>17. Gãc ngoài của tam giác</b>

<i><b>a) Định nghĩa:</b> Gãc ngoµi cđa một</i>
<i>tam giác là góc kỊ bï víi mét gãc</i>
<i>cđa tam gi¸c Êy</i>

<i><b>b) TÝnh chÊt:</b> Mỗi góc ngoài của tam</i>
<i>giác bằng tổng hai góc trong không</i>
<i>kề với nó</i>

ACx AB

<b>18. Hai tam giác bằng nhau</b>

c

b

a

c

b

a

c
b

a

x

C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>nhau là hai tam giác có các cạnh </i>
<i>t-ơng ứng bằng nhau, c¸c gãc tt-¬ng</i>
<i>øng b»ng nhau</i>

     

ABC A ' B 'C '

AB A ' B '; AC A 'C '; BC B 'C '

A A '; B B '; C C '



<i><b>b) Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác</b></i>
<i><b>*) Trờng hợp 1:</b> Cạnh - C¹nh - C¹nh</i>

<i><b>(c.c.c)</b></i>

<i>- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba</i>
<i>cạnh của tam giác kia thì hai tam</i>
<i>giác đó bằng nhau</i>

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
AB A ' B '

AC A 'C ' ABC A 'B 'C '( c.c.c )

BC B 'C'

 

 



 



<i><b>*) Trờng hợp 2: </b>Cạnh - Góc - C¹nh</i>

<i><b>(c.g.c)</b></i>

<i>- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam</i>
<i>giác này bằng hai cạnh và góc xen</i>

<i>giữa của tam giác kia thì hai tam</i>
<i>giác đó bằng nhau</i>

 

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:

AB A 'B '

B B ' ABC A 'B 'C '( c.g.c )

BC B 'C '

 

 




 



<i><b>*) Trờng hợp 3:</b> Góc - Cạnh - Gãc <b>(g.c.g)</b></i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

C

'

B'

A'

C

B

C'
B'

A'

C
B

A

C'
B'

A'

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i>- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam</i>

<i>giác này bằng một cạnh và hai góc</i>
<i>kề của tam giác kia thì hai tam giác</i>
<i>đó bằng nhau</i>

 

 

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:

B B '

BC B 'C ' ABC A ' B 'C '(g.c.g )

C C'







<i><b>c) Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông</b></i>

<i><b>Trng hp 1:</b> Nu hai cạnh góc vng của tam giác vng này</i>
<i>bằng hai cạnh góc vng của tam giác vng kia thì hai tam giác</i>
<i>vng đó bằng nhau.</i>

 <i><b>Trờng hợp 2</b>: Nếu một cạnh góc vng và một góc nhọn kề cạnh</i>
<i>ấy của tam giác vng này bằng một cạnh góc vng và một góc</i>
<i>nhọn kề cạnh ấy của tam giác vng kia thì hai giác vng đó</i>
<i>bằng nhau.</i>

 <i><b>Trờng hợp 3:</b> Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác</i>
<i>vng này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vng</i>
<i>kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.</i>

A

B

C

A'

B'

C'

C'

B'

A'

C

B

A

C'

B'

A'

C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

 <i><b>Trờng hợp 4:</b> Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vng của tam</i>
<i>giác vng này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vng của tam</i>
<i>giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.</i>

<b>19. Quan hệ giữa các yếu tố trong tam</b>
<b>giác (</b><i>quan hệ giữa góc và cạnh đối diện</i>
<i>trong tam giác</i><b>)</b>

<i>- Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh</i>
<i>lớn hơn là góc lớn hơn</i>

 

ABC : NÕu AC > AB th× B > C


 <i>Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn</i>
<i> </i>ABC : Nếu B > C thì AC > AB 

<b>20. Quan hệ giữa đờng vng góc và đờng xiên, đờng xiên</b> <b>và</b>
<b>hình chiếu</b>

<i><b>Khái niệm đờng vng góc, đờng xiên, hình chiếu của đờng</b></i>
<i><b>xiên</b></i>

<i>- </i>Lấy Ad, kẻ AHd, lấy Bd và BH. Khi đó<i>:</i>
<i>- Đoạn thẳng AH gọi là đờng vng góc</i>

<i>kẻ từ A đến đờng thẳng d</i>

<i>- §iĨm H gọi là hình chiếu của A trên </i>
<i>đ-ờng thẳng d</i>

<i>- Đoạn thẳng AB gọi là một đờng xiên</i>
<i>kẻ từ A đến đờng thẳng d</i>

<i>- Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của</i>
<i>đờng xiên AB trên đ.thẳng d</i>

<i><b>Quan hệ giữa đờng xiên và đờng vng góc:</b></i>

<i>Trong các đờng xiên và đờng vng góc kẻ từ một</i> <i>điểm ở ngồi một</i>
<i>đờng thẳng đến đờng thẳng đó, đờng vng góc là đờng ngắn nhất.</i>

<i><b>Quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu:</b></i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

A

B

C

_A'

B'

C'

C'

B'

A'

C

B

A

A

B

C

d

B

H

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i>Trong hai đờng xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một ng thng n</i>
<i>ng thng ú, thỡ:</i>

<i>Đờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn</i>

<i>Đờng xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn</i>

<i>Nu hai đờng xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngợc</i>
<i>lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đờng xiên bằng nhau.</i>

<b>21. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam</b>
<b>giác</b>

<i>- Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn</i>
<i>độ dài cạnh còn lại.</i>

<i>AB + AC > BC</i>
<i>AB + BC > AC</i>
<i>AC + BC > AB</i>

<i>- Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn</i>
<i>độ dài cạnh còn lại.</i>

<i>AC - BC < AB</i>
<i>AB - BC < AC</i>
<i>AC - AB < BC</i>

<i><b>- Nhận xét</b> : Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn</i>
<i>hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.</i>

<i>VD: AB - AC < BC < AB + AC</i>

C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i>- Ba đờng trung tuyến của một tam giác</i>
<i>cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi</i>

<i>đỉnh một khoảng bằng </i>

2

3 <i>_{độ dài đờng}</i>

<i>trung tuyến đi qua đỉnh ấy:</i>

GA GB GC 2

DA  EB FC 3

<i>G là trọng tâm của tam gi¸c ABC</i>

<b>22. Tính chất ba đờng phân giác của tam giác</b>

<i>- Ba đờng phân giác của một tam</i>
<i>giác cùng đi qua một điểm. Điểm</i>
<i>này cách đều ba cạnh của tam</i>
<i>giác đó</i>

<i>- Điểm O là tâm đờng trịn nội</i>
<i>tiếp tam giác ABC </i>

<b>23. Tính chất ba đờng trung trực của tam giác</b>

<i>- Ba đờng trung trực của một tam </i>
<i>giác cùng đi qua một điểm. Điểm </i>
<i>này cách đều ba đỉnh của tam giác </i>
<i>đó</i>

<i>- Điểm O là tâm đờng tròn ngoại tiếp</i>
<i>tam giác ABC</i>

<b>24. Phơng pháp chứng minh một số bài toán cơ bản </b>
<b>(</b><i>sử dụng một trong các cách sau đây</i><b>)</b>
<i><b>a) Chứng minh tam giác cân</b></i>

<i>1. Chứng minh tam giác có hai cạnh b»ng nhau</i>
<i>2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau</i>

<i>3. Chứng minh tam giác đó có đờng trung tuyến vừa là đờng cao</i>
<i>4. Chứng minh tam giác đó có đờng cao vừa là đờng phân giác ở</i>

<i>đỉnh</i>

<i><b>b) Chứng minh tam giác đều</b></i>

<i>1. Chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau</i>
<i>2. Chứng minh tam giác đó có ba góc bằng nhau</i>
<i>3. Chứng minh tam giác cân có một góc là 600</i>
<i><b>c) Chứng minh một tứ giác là hình bình hành</b></i>

<i>1. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành</i>
<i>2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành</i>

<i>3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình</i>
<i>hành</i>

<i>4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành</i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

G

D

F

E

C

B

A

O

C

B

A

O

C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<i>5. Tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi</i> <i>đờng là</i>
<i>hình bình hành</i>

<i><b>d) Chøng minh một tứ giác là hình thang:</b></i>

<i><b> </b>Ta chng minh tứ giác đó có hai cạnh đối song song</i>

<i><b>e) Chứng minh một hình thang là hình thang cân</b></i>

<i>1. Chng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau</i>
<i>2. Chứng minh hình thang có hai đờng chéo bằng nhau</i>

<i><b>f) Chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật</b></i>

<i>1. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật</i>

<i>2. Hình thanh cân có một góc vuông là hình chữ nhật</i>
<i>3. Hình bình hành có một góc vuông là hình ch÷ nhËt</i>

<i>4. Hình bình hành có hai đờng chéo bằng nhau là hình chữ nhật</i>

<i><b>g) Chøng minh mét tø gi¸c là hình thoi</b></i>

<i>1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau</i>

<i>2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau</i>

<i>3. Hỡnh bình hành có hai đờng chéo vng góc với nhau</i>

<i>4. Hình bình hành có một đờng chéo là đờng phân giỏc ca mtgúc</i>

<i><b>h) Chứng minh một tứ giác là hình vu«ng</b></i>

<i>1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau</i>
<i>2. Hình chữ nhật có hai đờng chéo vng góc</i>

<i>3. Hình chữ nhật có một đờng chéo là đờng phân giác của một góc</i>
<i>4. Hình thoi có một góc vng</i>

<i>5. Hình thoi cú hai ng chộo bng nhau</i>

<b>25. Đờng trung bình của tam giác, của hình thang</b>
<i><b>a) Đờng trung bình của tam giác</b></i>

<i> Định nghĩa: Đờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối</i>
<i>trung điểm hai cạnh của tam giác</i>

<i> Định lí: Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ</i>
<i>ba và bằng nửa cạnh ấy</i>

<i>DE l ng trung bỡnh ca tam giác </i>

1

DE / /BC, DE BC

2



E

C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<i> Định nghĩa: Đờng trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối</i>
<i>trung điểm hai cạnh bên của hình thang</i>

 <i> Định lí:</i> Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng
nửa tổng hai đáy

<i>EF là đờng trung bình của</i>
<i> hình thang ABCD</i>

EF//AB, EF//CD,

AB CD
EF

2

<b>26. Tam giỏc ng dng</b>

<i><b>a) Định lí Ta_lét trong tam gi¸c:</b></i>

<i>- Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai</i>
<i>cạnh cịn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tơng</i>
<i>ứng tỉ lệ</i>

AC '
AB '

B 'C '/ /BC ;

AB AC

AC ' C 'C

AB ' _; B ' B

B 'B C 'C AB AC

 

 

<i><b>b) Định lí đảo của định lí Ta_lét:</b></i>

- <i>Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên</i>
<i>hai cạnh này những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ thì đờng thẳng đó song</i>
<i>song với cạnh cịn lại của tam giác</i>

<i>VÝ dơ:</i>

AC '

AB ' _{B 'C '/ / BC}

AB  AC  _;<i>_{Các trờng hợp khác tơng tự}</i>

<i><b>c) H qu ca định lí Ta_lét</b></i>

<i><b>- Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song </b></i>
<i><b>song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba </b></i>
<i><b>cạnh tơng ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. Hệ quả còn</b></i>

<i><b>đúng trong trờng hợp đờng thẳng song song với một cạnh của </b></i>
<i><b>tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại (</b></i>

AC' B 'C'

AB '
B 'C'/ / BC

AB AC BC

  

<i><b>)</b></i>

<i><b>d) Tính chất đờng phân giác của tam giác:</b></i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

F
E

D C

B
A

C'

B'

a

C

B

A

C'
B'

a
C

B

A

C' B'

a

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<i>- Đờng phân giác trong (hoặc ngoài) của một tam giác chia cạnh đối</i>
<i>diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn đó</i>

DB AB

DC  AC

D 'B AB

D 'C  AC

<i><b>e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng : </b></i>

<i>- Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có các góc tơng ứng bằng</i>
<i>nhau và các cạnh tơng ứng tỉ lệ</i>

     

A A '; B B '; C C '

ABC A ' B 'C ' _AB _AC _BC

k( tỉ số đồng dạng )
A 'B ' A 'C ' B 'C '

 _ _ _



  _{ }

  




<i><b>f) Định lí về hai tam giác đồng dạng:</b></i>

<i>- </i>Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh cịn lại
thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho

MN / / BC AMN ABC

<i><b>*) Lu ý</b>: Định lí cũng đúng đối với trờng</i>
<i>hợp đờng thẳng cắt phần kéo dài hai</i>
<i>cạnh của tam giác và song song với</i>
<i>cạnh còn lại</i>

<i><b>g) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác</b></i>

<i>*)<b>Trờng hợp 1:</b> Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam</i>
<i>giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.</i>

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:

AC BC

AB _ABC _{A 'B 'C '( c.c.c )}

A 'B ' A 'C ' B 'C '

 

 

<i>*)<b>Trờng hợp 2:</b> Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của</i>

D' B C

A

D C

B

A

S

S

a

N

M

C

B

A

C

'

B'

A'

C

B

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

 

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
BC

AB

A 'B ' B 'C ' _ABC _{A 'B 'C '( c.g.c )}

B B '

 



 _

  




 _

*)<i><b>Trờng hợp 3:</b> Nếu hai góc của tam giác này lần lợt bằng hai góc của</i>
<i>tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng;</i>

 
 

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:

A A '

ABC A 'B 'C '(g.g )

B B '

 



 

  


 _

<i><b>h) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác vuông</b></i>

<i>*)<b>Trờng hợp 1</b>: Nếu hai tam giác vng có một góc nhọn bằng nhau thì</i>
<i>chúng đồng dạng.</i>

 
 

0

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:

A A ' 90

ABC A 'B 'C '

C C '

 



  

  



 _

<i>*)<b>Trờng hợp 2:</b> Nếu hai cạnh góc vng của tam giác vng này tỉ lệ</i>
<i>với hai cạnh góc vng của tam giác vng kia thì hai tam giác đó đồng</i>
<i>dạng.</i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiu</i>

C'

B'

C

B

A

S

C

'

B'

A'

C

B

A

S

S

C'

B'

A

C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' cã:
AC

AB _ABC _{A 'B 'C '}

A ' B '  A 'C '   

<i>*)<b>Trờng hợp 3</b>: Nếu cạnh góc vng và cạnh huyền của tam giác vng</i>
<i>này tỉ lệ với cạnh góc vng và cạnh huyền của tam giác vng kia</i>
<i>thì hai giác đó đồng dạng.</i>

Hai tam gi¸c vuông ABC và A'B'C' có:
BC

AB _ABC _{A 'B 'C '}

A ' B '  B 'C '   

<b>27. Tỉ số hai đờng cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng</b>
<b>dạng</b>

<i>- Tỉ số hai đờng cao tơng ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số</i>
<i>đồng dạng</i>

<i>- Tỉ sô diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phơng tỉ số</i>
<i>đồng dạng</i>

<i>- Cơ thĨ : </i>A ' B 'C' ABC theo tØ sè k

<i>=> </i>

2
A 'B 'C'

ABC

S

A ' H ' _{k vµ} _k

AH  S 

<b>28. DiƯn tích các hình</b>

.

<i>S</i><i>a b</i>

<i>S</i><i>a</i>2

1

S ah

2

 S 1 ah

2


1

S ah

2

 S 1 (a b)h EF.h

2

  

a

b

_h

a

C'

B'

A'

C

B

A

S

S

S

a

h

a

h

a

F
E

b

h

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

.


<i>S</i> <i>a h</i>

1 2

1

S d d

2

<b>29. Học sinh cần nắm vững các bài toán dựng hình cơ bản </b>

<i>(dựng thc thng, thớc đo độ, thớc có chia khoảng, compa, êke)</i>
<i>a) Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trớc;</i>

<i>b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tríc;</i>

<i>c) Dựng đờng trung trực của một đoạn thẳng cho trớc, dựng trung điểm</i>
<i>của mt on thng cho trc;</i>

<i>d) Dựng tia phân giác của mét gãc cho tríc;</i>

<i>e) Qua một điểm cho trớc, dựng đờng thẳng vng góc với một đờng</i>
<i>thẳng cho trớc;</i>

<i>f) Qua một điểm nằm ngoài một đờng thẳng cho trớc, dựng đờng thẳng</i>
<i>song song với một đờng thẳng cho trớc;</i>

<i>g) Dùng tam giác biết ba cạnh, hoặc biết hai cạnh kề và góc xen giữa,</i>
<i>hoặc biết một cạnh và hai góc kÒ.</i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

h

a

d1

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>30. Hệ thức lợng trong tam giác vuông (lớp 9)</b>

<i><b>a) Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông</b></i>

 b2 ab '
 c2 ac '

 a2 b2 c2 (Pi_ta_go)

 bc = ah

 h2 b ' c '

 2 2 2

1 1 1

b c h

 

<i><b>b) Tỉ số lợng giác của góc nhọn</b></i>

nh ngha cỏc tỉ số lợng giác của góc nhọn
cạnh đối

sin

c¹nh hun

  cos c¹nh kỊ

c¹nh hun
 

cạnh đối
tg

c¹nh kỊ

  cot g c¹nh kỊ

cạnh đối
 

 <i>Mét sè tÝnh chÊt cđa các tỉ số lợng giác</i>

<i>+) nh lớ v t s lợng giác của hai góc phụ nhau</i>
<i> Cho hai góc α và β phụ nhau. Khi đó:</i>

<i> sinα = cosβ; tgα = cotgβ; cosα = sinβ; cotgα = tgβ.</i>
<i>+) Cho </i>00   900<i>_{. Ta cã:}</i>

<i> </i>0sin 1; 0cos 1; sin2 cos2 1<i> </i>
<i> </i>

sin cos

tg ; cot g ; tg .cot g 1

cos sin

 

     

<i>So sánh các tỉ số lợng giác</i>

0 0

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0     90 sin sin ;cos cos ;tg tg ;cot g cot g
<i><b>c) Mét sè</b></i> <i><b>hƯ thøc vỊ c¹nh và góc trong tam giác vuông</b></i>

a
H

h

b'
b
c'

c

C
B

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<i>b = a.sinB;</i> <i>c = a.sinC</i>
<i>b = a.cosC;</i> <i>c = a.cosB</i>
<i>b = c.tgB;</i> <i>c = b.tgC</i>
<i>b = c.cotgC;</i> <i>c = b.cotgB</i>
<i>=> a = </i>

b c b c

sinB  sinC  cosC  cosB

<b>31. Đờng tròn, hình tròn, góc ở tâm, số đo cung</b>

<i>- Đờng tròn tâm O, bán kính R là hình</i>
<i>gồm các điểm cách O một khoảng bằng</i>
<i>R, kí hiệu (O ; R).</i>

<i>- Hình trịn là hình gồm các điểm nằm</i>
<i>trên đờng tròn và các điểm nằm bờn</i>
<i>trong ng trũn ú.</i>

<i>- Trên hình vẽ:</i>

<i>+) Cỏc im A, B, C, D nằm trên (thuộc)</i>
<i>đờng tròn; OA = OB = OC = OD = R. </i>

<i>+) M nằm bên trong đờng trịn; OM < R</i>
<i>+) N nằm bên ngồi đờng tròn; ON > R</i>
<i>+) Đoạn thẳng AB là dây cung (dây)</i>
<i>+) CD = 2R, là đờng kính (dây cung lớn</i>
<i>nhất, dây đi qua tâm)</i>

<i>+) </i>AmB <i>_{lµ cung nhá (}</i>00   1800<i>₎</i>

<i>+) </i>AnB <i>_{lµ cung lín}</i>

<i>+) Hai điểm A, B là hai mút của cung</i>
<i>- Góc có đỉnh trùng với tâm đờng trịn </i>
<i>đ-ợc gọi là góc ở tâm (</i>AOB <i> là góc ở tâm</i>
<i>chắn cung nhỏ AmB)</i>

<i>- Góc bẹt COD chắn nửa đờng trịn</i>
<i>- Số đo cung:</i>

<i>+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của</i>
<i>góc ở tâm chắn cung đó </i>



s® AmB<i>₍</i>00   1800₎

<i>+) Sè ®o cđa cung lín bằng hiệu giữa</i>
<i>3600_{và số đo của cung nhỏ (có chung}</i>
<i>hai mót víi cung lín)</i>

 0

s® AnB360  

<i>+) Số đo của nửa đờng tròn bằng 1800_,</i>
<i>số đo của cả đờng trịn bằng 3600</i>

<b>32. Quan hệ vng góc giữa đờng kính và dây</b>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

0 0

0   180


0

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<i>- Trong một đờng trịn, đờng kính vng</i>
<i>góc với một dây thì đi qua trung điểm</i>
<i>của dây ấy</i>

<i>AB </i>CD<i> t¹i H => HC = HD</i>

<i>- Trong một đờng trịn, đờng kính đi qua</i>
<i>trung điểm của một dây không đi qua</i>
<i>tâm thì vng góc với dây ấy</i>

<b>33. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây</b>
<i><b>Định lí 1: </b>Trong một đờng trịn</i>

<i>a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm</i>
<i>b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau</i>

<i>AB = CD => OH = OK</i>
<i>OH = OK => AB = CD</i>

<i><b>Định lí 2: </b>Trong hai dây của một đờng tròn </i>
<i>a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn</i>
<i>b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn</i>

<i>AB < CD => OH > OK</i>
<i>OH > OK => AB < CD</i>

<b>34. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng trịn</b>

<i><b>a) Đờng thẳng và đờng trịn cắt nhau </b>(có</i>
<i>hai điểm chung)</i>

<i>- §êng thẳng a gọi là cát tuyến của (O)</i>
<i>d = OH < R vµ HA = HB = </i> R2  OH2

<i><b>b) Đờng thẳng và đờng tròn tiếp xỳc</b></i>
<i><b>nhau </b>(cú mt im chung)</i>

<i>- Đờng thẳng a là tiếp tuyến của (O)</i>
<i>- Điểm chung H là tiếp ®iĨm</i>

<i>d = OH = R</i>

<i>*) Tính chất tiếp tuyến: Nếu một đờng thẳng</i>

<i>là tiếp tuyến của một đờng trịn thì nó vng</i>
<i>góc với bán kính đi qua tiếp điểm.</i>

<i>a là tiếp tuyến của (O) tại H => a </i>OH
<i><b>c) Đờng thẳng và đờng trịn khơng giao</b></i>
<i><b>nhau </b>(khơng có điểm chung)</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<i>êng dïng hai c¸ch sau:</i>

 <i>Cách 1: Chứng minh đờng thẳng và đờng trịn chỉ có một điểm</i>
<i>chung (định nghĩa tiếp tuyến)</i>

 Cách 2: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm của đờng trịn và vng
góc với bán kính đi qua điểm đó

 

H O

a lµ tiÕp tun cđa (O)

a OH t¹i H



 _




 _

<b>36. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau; đờng trịn nội tiếp,</b>
<b>bàng tiếp tam giác</b>

<i><b>a) Định lí: </b>Nếu hai tiếp tuyến của</i>
<i>một đờng tròn cắt nhau tại một điểm</i>
<i>thì:</i>

 <i>Điểm đó cách đều hai tiếp điểm</i>

 <i>Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là</i>
<i>tia phân giác của góc tạo bởi</i>
<i>hai tiếp tuyến</i>

 <i>Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là</i>
<i>tia phân giác của góc tạo bởi</i>
<i>hai bán kính đi qua cỏc tip</i>
<i>im.</i>

ABAC;OABOAC_;AOB AOC

<i><b>b) Đờng tròn nột tiếp tam gi¸c</b></i>

<i>- Đờng trịn tiếp xúc với ba cạnh của</i>
<i>tam giác đợc gọi là đờng tròn nội tiếp</i>
<i>tam giác, khi đó tam giác gọi là tam</i>
<i>giác ngoại tiếp đờng trịn</i>

<i>- Tâm của đờng tròn nội tiếp tam</i>
<i>giác là giao điểm của các đờng phân</i>
<i>giác các góc trong ca tam giỏc</i>

<b>c) Đờng tròn bàng tiếp tam giác</b>

<i>- Đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của</i>
<i>một tam giác và tiếp xúc với các phần</i>
<i>kéo dài của hai cạnh kia gọi là đờng</i>
<i>tròn bàng tiếp tam giác</i>

<i>- Tâm của đờng tròn bàng tiếp là</i>
<i>giao điểm của hai đờng phân giác</i>
<i>các góc ngoài tại hai đỉnh nào đó</i>
<i>hoặc là giao điểm của một đờng phân</i>
<i>giác góc trong và một đờng phân giác</i>
<i>góc ngồi tại một đỉnh</i>

<i>- Với một tam giác có ba đờng</i>
<i>trịn bàng tiếp (hình vẽ là </i>
<i>đ-ờng trịn bàng tiếp trong góc</i>
<i>A)</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>37. Vị trí tơng đối của hai đờng trịn, tiếp tuyến chung của hai</b>
<b>đờng tròn.</b>

<i><b>a) Hai đờng tròn cắt nhau</b></i>

<i>(cã hai điểm chung)</i>

<i>- Hai điểm A, B là hai giao điểm</i>
<i>- Đoạn thẳng AB là dây chung</i>

R - r < OO' < R + r

<i>- Đờng thẳng OO’ là đờng nối tâm,</i>
<i>đoạn thẳng OO’ là đoạn nối tâm</i>

<i>*) Tính chất đ ờng nối tâm : Đờng nối</i>
<i>tâm là đờng trung trực của dây chung</i>

<i><b>b) Hai ng trũn tip xỳc nhau</b></i>

<i>(có một điểm chung)</i>
<i>- Điểm chung A gọi là tiếp điểm</i>

<i>+) Tiếp xúc ngoài tại A:</i>

OO'Rr

<i>+) TiÕp xóc trong t¹i A:</i>

OO'R r

<i><b>c) Hai đờng trịn khụng giao nhau</b></i>

<i>(không có điểm chung)</i>
<i>+) ở ngoài nhau:</i>

OO'Rr

<i>+) Đựng nhau:</i>

OO'R r

<i>+) Đặc biệt (O) và (O’) đồng tâm:</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<i>đoạn nối tâm</i>

<i>- Tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nèi</i>
<i>t©m</i>

<b>38. So sánh hai cung trong một đờng trịn hay trong hai đờng</b>
<b>tròn bằng nhau.</b>

<i>- Hai cung đợc gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau</i>
<i>- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn đợc gọi là cung lớn hơn</i>
<i>- Kí hiệu: </i>AB CD; EF GH GH EF

<b>39. Liên hệ giữa cung và dây.</b>
<i><b>*) §Þnh lÝ 1: </b></i>

<i>Với hai cung nhỏ trong một đờng tròn hay trong</i>
<i>hai đờng tròn bằng nhau:</i>

<i>a) Hai cung b»ng nhau căng hai dây bằng nhau</i>
<i>b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau</i>

ABCDABCD ; AB CDAB CD

<i><b>*) Định lí 2: </b></i>

<i>Vi hai cung nh trong một đờng tròn hay trong</i>
<i>hai đờng tròn bằng nhau:</i>

<i>a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn</i>
<i>b) Dây lớn hơn căng cung lín h¬n</i>

   

ABCDABCD ; AB CDAB CD

<b>40. Góc nội tiếp</b>
<i><b>a) Định nghĩa:</b></i>

<i>- Gúc ni tip l gúc có đỉnh nằm trên đờng</i>
<i>trịn và hai cạnh chứa hai dây cung của </i>
<i>đ-ờng trịn đó. </i>

<i>- Cung nằm bên trong gúc c gi l cung</i>
<i>b chn</i>

<i><b>b) Định lí:</b></i>

<i>Trong một đờng tròn, số đo của góc nội</i>
<i>tiếp bằng nửa số đo của cung bị chn</i>

BAC <i>_{là góc nội tiếp chắn}</i>

<i>cung nhỏ BC(hình a) và</i>
<i>chắn cung lớn BC(hình b)</i>

1

BAC
2

<i>sđ </i>BC

<i><b> c) H qu: </b>Trong mt ng trũn</i>

<i>+) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau</i>

<i>+) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng</i>
<i>nhau thì bằng nhau</i>

<i>+) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900_{) có số đo bằng nửa số đo của}</i>
<i>góc ở tâm cùng chắn một cung</i>

<i>+) Góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn là góc vuụng.</i>

<b>41. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<i><b>a) Kh¸i niƯm:</b></i>

<i>- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc</i>
<i>có đỉnh nằm trên đờng tròn, một cạnh là một</i>
<i>tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của</i>
<i>đờng trịn</i>

<i>- Cung n»m bªn trong gãc là cung bị chắn</i>
<i>- Hình vẽ: </i>

BAx <i>_{chắn cung nhỏ AmB}</i>
BAy <i> chắn cung lớn AnB</i>

<i><b>b) Định lí:</b></i>

<i>- Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây</i>
<i>cung bằng nửa số đo của cung bị chắn</i>

<i><b>c) HƯ qu¶:</b></i>

<i>Trong một đờng trịn, góc tạo bởi tia tiếp</i>
<i>tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn</i>
<i>một cung thì bằng nhau.</i>



BAx

 1

ACB
2

 

<i>s®</i>AmB

 

 

1

BAx s® AmB

2
1

BAy s® AnB

2



<b>42. Góc có đỉnh ở bên trong đờng trịn. Góc có đỉnh ở bên ngồi</b>
<b>đờng trịn.</b>

<i><b>a) Góc có đỉnh ở bên trong đờng trịn.</b></i>

<i>- Góc có đỉnh nằm bên trong đờng trịn đợc gọi</i>
<i>là góc có đỉnh ở bên trong đờng trịn</i>

<i>- Hình vẽ: </i><i>BEC là góc có đỉnh ở bên trong </i>
<i>đ-ờng tròn chắn hai cung là </i>BnC , AmD 

<i>- Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn</i>
<i>bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn</i>

 s®BnC s® AmD 

BEC

2


 n

m

o
e

c

b

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<i>- Góc có đỉnh ở bên ngồi đờng trịn là góc có</i>
<i>đỉnh nằm ngồi đờng trịn và các cạnh đều có</i>
<i>điểm chung với đờng tròn</i>

<i>- Hai cung bị chắn là hai cung nằm bên trong</i>
<i>góc, hình vẽ bên: </i>BEC <i> là góc có đỉnh ở bên</i>

<i>ngồi đờng trịn, có hai cung bị chắn là</i>

 

AmD vµ BnC

<i>- Số đo của góc có đỉnh ở bên ngồi đờng trịn</i>
<i>bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chn</i>

sđBnC sđ AmD

BEC

2

<b>43. Kết quả bài toán quỹ tích cung chứa góc</b>
<i><b>a) Bài toán: </b>Với đoạn thẳng AB vµ gãc </i><i> (</i>

0 0

0  180 <i>_{) cho trớc thì quỹ tích các điểm M}</i>

<i>tháa m·n </i>AMB <i>_{lµ hai cung chøa góc}</i>

<i>dựng trên đoạn thẳng AB</i>

<i>- Hai cung cha góc </i><i> dựng trên đoạn thẳng</i>
<i>AB đối xứng với nhau qua AB</i>

<i>- Khi α = 900_{thì hai cung chứa góc là hai nửa}</i>
<i>đờng trịn đờng kính AB, suy ra: Quỹ tích các</i>
<i>điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trớc dới một góc</i>
<i>vng là đờng trịn đờng kính AB (áp dụng</i>
<i>kiến thức này để chứng minh tứ giác nội tiếp)</i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

O
D

B

C
A _m

n

1

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<i><b>b) C¸ch vÏ cung chøa gãc </b><b>α</b></i>

<i>- Vẽ đờng trung trực d của đoạn thẳng AB.</i>
<i>- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc </i>



<i>( </i><i>BAx =</i> <i>₎</i>

<i>- VÏ tia Ay vu«ng gãc với tia Ax . Gọi O là giao</i>
<i>điểm của Ay với d </i>

<i>- Vẽ cung AmB, tâm O bán kính OA sao cho</i>
<i>cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không</i>
<i>chứa tia Ax.</i>

<i><b>c) Cách giải bài toán quỹ tÝch</b></i>

<i>Muốn chứng minh quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính</i>
<i>chất </i>_T<i> là một hình H nào đó, ta chứng minh hai phần:</i>

<i>Phần thuận: Mọi điểm có tính chất </i>_T<i> đều thuộc hình H </i>
<i>Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất </i>_T<i> </i>

<i>KÕt ln: Q tÝch (hay tËp hỵp) các điểm M có tính chất </i>_T<i> là hình H</i>

<b>44. Tø gi¸c néi tiÕp</b>

<i><b>a) Kh¸i niƯm tø gi¸c néi tiÕp</b></i>

<i>- Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng</i>
<i>tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn (gọi tắt</i>
<i>là tứ giỏc ni tip)</i>

<i><b>b) Định lí:</b></i>

<i>- Trong một tứ giác nội tiÕp, tỉng sè ®o hai gãc</i>

<i>đối diện bằng 1800</i> <i>Tứ giác ABCD nội</i>

<i>tiÕp (O), suy ra:</i>

    0

ACBD180

<i><b>c) DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp</b></i>

 <i>_{Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180}0</i>

 <i>_{Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối}</i>

<i>diƯn</i>

 <i>_{Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định}</i>

<i>đ-ợc). Điểm đó là tâm của đờng trịn ngoại tiếp tứ giác</i>

 <i>_{Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại}</i>

<i>díi mét gãc α</i>
<i>L</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<i>- Đờng tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa</i>
<i>giác đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp đa giác và</i>
<i>đa giác đợc gọi là đa giác nội tiếp đờng tròn</i>
<i>- Đờng tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của</i>
<i>một đa giác đợc gọi là đờng tròn nội tiếp đa</i>
<i>giác và đa giác đợc gọi là đa giác ngoại tiếp </i>
<i>đ-ờng trịn</i>

<i>- Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ</i>
<i>một đờng trịn ngoại tiếp, có một và chỉ một </i>
<i>đ-ờng trịn nội tiếp.</i>

<i>- Trong đa giác đều, tâm của đờng tròn ngoại</i>
<i>tiếp trùng với tâm của đờng tròn nội tiếp và </i>
<i>đ-ợc gọi là tâm của đa giác đều.</i>

<b>46. Một số định lí đợc áp dụng : </b><i>(khơng cần chứng minh)</i>

<i><b>a) §Þnh lÝ 1: </b></i>

<i>+) Tâm của đờng trịn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của</i>
<i>cạnh huyền</i>

<i>+) Nếu một tam giác có một cạnh là đờng kính của đờng trịn ngoại</i>
<i>tiếp thì tam giác đó là tam giác vng</i>

<i><b>b) §Þnh lÝ 2:</b></i>

<i>Trong một đờng trịn, hai cung bị chắn gia hai dõy song song thỡ</i>
<i>bng nhau</i>

<i><b>c) Định lí 3:</b></i>

<i>Trong một đờng tròn, đờng kính đi qua điểm chính giữa của một</i>
<i>cung thì đi qua trung im ca dõy cng cung y.</i>

<i><b>d) Định lí 4: </b></i>

<i>Trong một đờng trịn, đờng kính đi qua trung điểm của một dây cung</i>
<i>(khơng phải là đờng kính) thì chia cung cng dõy y thnh hai cung</i>
<i>bng nhau</i>

<i><b>e) Định lí 5:</b></i>

<i>Trong một đờng tròn, đờng kính đi qua điểm chính giữa của một</i>
<i>cung thì vng góc với dây căng cung ấy và ngợc lại, đờng kính vng</i>
<i>góc với một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.</i>

<b>47. Độ dài đờng tròn, độ dài cung trịn, diện tích hình trịn, diện</b>
<b>tích hình quạt trịn</b>

<i><b>a) Độ dài đờng trịn</b></i>

<i>Cơng thức tính độ dài đờng trịn (chu vi hình</i>
<i>trịn) bán kính R là:</i>

<i> </i> C =2 R  <i> Hoặc </i> C =<i>d</i>
<i>Trong đó: C : là độ dài đờng tròn</i>
<i> R: là bán kính đờng trịn</i>
<i> d: là đờng kính đờng trịn</i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

3,1415...

  <i>_{lµ số vô tỉ.}</i>

<i><b>b) Độ dài cung tròn</b></i>

<i>Độ dài cung tròn n0_lµ:</i>

.
180

<i>R n</i>
<i>l</i>

<i> </i>
<i>Trong đó: l : là độ dài cung tròn n0</i>
<i> R: là bán kính đờng trịn</i>
<i> n: là số đo độ của góc ở tâm</i>

<i><b>c) DiƯn tÝch hình tròn</b></i>
2

.
<i>S</i> <i>R</i>

<i>Trong ú: </i>

<i>S : là diện tích hình tròn . </i>
<i>R : là bán kính hình tròn . </i>
<i> </i><i> 3 , 14 </i>

<i><b>d) Diện tích hình quạt tròn</b></i>
2

quat

R
S =

360
<i>n</i>

<i> Hoặc </i>

.
2


<i>quat</i>

<i>R</i>
<i>S</i>

<i>Trong đó:</i>

<i> S lµ diƯn tÝch hình quạt tròn cung n0</i>
<i> R là bán kính </i>

<i>l</i>

<i>_{là độ dài cung n}0_{của hình quạt trịn}</i>

<i> 3 , 14</i>

<i>*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào ng link ny - </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<b>1. Phơng trình bậc nhất</b>

<i>- Phơng trình bậc nhất là phơng trình có dạng ax + b = 0 (a</i>0<i>)</i>
<i>- Phơng trình cã nghiƯm duy nhÊt x = </i>

b
a


<i>- Chó ý: Nếu phơng trình chứa tham số ta chuyển về dạng Ax = B và</i>
<i>xét các trờng hợp sau:</i>

<i>Nếu A </i>0<i>_{phơng trình có nghiệm x =}</i>
B
A

<i>Nếu A = 0 , B </i>0<i>_{phơng trình trở thành 0.x = B}</i>

<i>=> phơng trình vô nghiệm</i>

<i>Nếu A = 0, B = 0 => phơng trình vô số nghiệm</i>

<b>2. Phơng trình tích</b>

<i>- Phơng trình tích có dạng A(x).B(x) = 0</i>

<i>- Cách giải: A(x).B(x) = 0 <=> A(x) = 0 hoặc B(x) = 0</i>
<i>- Trình bày gọn : A(x).B(x) = 0 <=> </i>

A( x ) 0
B( x ) 0



 _



<i>- Më réng: A(x).B(x).C(x) = 0 <=> </i>

A( x ) 0
B( x ) 0
C( x ) 0



 _





<b>3. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu</b>

<i>- Giải phơng trình chøa Èn ë mÉu ta thùc hiƯn theo 4 bíc:</i>

 <i>Bớc 1: Tìm ĐKXĐ của phơng trình</i>

<i>Bc 2: Quy đồng mẫu hai vế của phơng trình rồi khử mẫu</i>

 <i>Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc</i>

 <i>Bíc 4: (kÕt luËn) </i>

<i>Trong các giá trị của ẩn tìm đợc ở bớc 3, các giá trị thỏa mãn</i>
<i>ĐKXĐ chính là nghiệm của phơng trình đã cho, giá trị của x</i>
<i>khơng thuộc ĐKXĐ là nghiệm ngoại lai (loại đi)</i>

<b>4. Phơng trình cha du giỏ tr tuyt i</b>

<i>- Định nghĩa: </i>

A nếu A 0

A

A nếu A < 0

<i>- Các dạng phơng trình </i>

f ( x ) 0 f ( x )0

 f ( x ) k( k0 )f ( x )k


f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )

f ( x ) g( x )



 _{ }




<i>Hay </i>









2 2

f ( x ) g( x )  f ( x ) g( x ) <i>_{, đa về phơng trình tích}</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

 f ( x ) g( x )<i> <=> </i>

f ( x ) 0
f ( x ) g( x )

f ( x ) 0
f ( x ) g( x )

  






_ _
 

 

 <i>_{hc <=>}</i>

g( x ) 0
f ( x ) g( x )

g( x ) 0
f ( x ) g( x )

  





_ _
 

 

<i>Hc <=> </i>

g( x ) 0

f ( x ) g( x ) hc f ( x ) g( x )





 



<i>Hc <=> </i>









2 2

g( x ) 0

f ( x ) g( x )








<i>- Chó ý: </i>

2 2

A A

<i>; </i>A A<i> vµ </i> A B AB A B

<b>5. Phơng trình vô tỉ</b>

2

f ( x ) A( A 0 )f ( x )A <i>_{(với f(x) là một đa thức)}</i>

2

f ( x ) 0
g( x ) 0
f ( x ) g( x )

f ( x ) g( x )


 
 _{ }
 _



f ( x ) 0

f ( x ) g( x ) g( x ) 0

f ( x ) g( x )



 _ 
 _


<i><b>*)Lu ý:</b> Hầu hết khi giải phơng trình chứa ẩn trong căn, ta cần</i>
<i>xác định điều kiện có nghĩa của phơng trình và các điều kiện tơng đơng.</i>
<i>Nếu khơng có thể thử lại trực tiếp.</i>

<b>6. Phơng trình trùng phơng</b>

<i>Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng:</i>
4 2

ax bx c 0 (a0 )

<i>Đặt x2_{= t (}</i>t0<i>_{), phơng trình trùng phơng trở thành phơng trình}</i>
<i>bậc hai ẩn t : </i>at2 bt c 0<i> (*)</i>

<i>Giải phơng trình (*), lấy những giá trị thích hỵp tháa m·n </i>t0

 <i>Thay vào đặt x2_{= t và tìm x = ?}</i>

<b>7. Phơng trình bậc cao</b>

<i><b>a)</b></i> <i>Phơng trình bậc ba dạng: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0}</i>

<i>Hớng dẫn: Nhẩm nghiệm (nếu có nghiệm ngun thì nghiệm đó</i>
<i>là ớc của hạng tử tự do d) hoặc dùng sơ đồ Hooc- ne hoặc</i>
<i>dùng máy tính để tìm nhanh nghiệm ngun của phơng trình,</i>
<i>khi đã biết một nghiệm thì dễ dàng phân tích VT dới dạng</i>
<i>tích và gii phng trỡnh tớch (hoc chia a thc)</i>

<i><b>b)</b></i> <i>Phơng trình bËc bèn d¹ng: ax4_{+ bx}3_{+ cx}2_{+ dx + e = 0}</i>
<i>Hớng dẫn: Phơng pháp tơng tự nh phơng trình bậc ba trên</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

<i>nghiệm hay không ?</i>

<i>Với x </i><i>_{0. Chia cả hai vế cho x}2_{, sau đó ta đặt t = x +}</i>

c
ax

<i><b>d)</b></i> <i>Phơng trình bậc 4 dạng: </i>

<i>(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m)</i>
<i>Ph</i>

<i> ¬ ng ph ¸ p: §Ỉt t = x2_{+ mx +}</i>



ab cd

2

<i><b>e)</b></i> <i>Phơng trình bậc bốn dạng: </i>

<i>(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2_{(víi ab = cd = k)}</i>
<i>Ph</i>

<i> ¬ ng ph ¸ p: </i>

<i>Chia c¶ hai vế cho x2_{. Đặt t = x +}</i>

k
x

II- Bất phơng trình bậc nhất một ẩn
<i><b>1) Định nghÜa:</b></i>

<i>Một bất phơng trình dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0) với a </i>0<i> đợc </i>
<i>gọi là một bất phơng trình bậc nhất một ẩn</i>

<i><b>2) Cách giải:</b> ax + b > 0 <=> ax > - b</i>

<i>NÕu a > 0 th× </i>

<i>b</i>
<i>x</i>

<i>a</i>

 

<i>NÕu a < 0 thì </i>

<i>b</i>
<i>x</i>

<i>a</i>

<i><b>3) Kiến thức có liên quan:</b></i>

<i>Hai bất phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập</i>
<i>nghiệm và dùng kí hiệu <=> để chỉ sự tơng đơng đó</i>

 <i> Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử (là số hoặc đa thức)</i>
<i>từ vế này sang vế kia của bất phơng trình ta phải đổi dấu hạng tử</i>
<i>đó => ta có thể xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế</i>

 <i>Quy tắc nhân: Khi nhân hai vế của một bất phơng trình với cùng</i>
<i>một số khác 0, ta phải: Giữ nguyên chiều BPT nếu số đó dơng; đổi</i>
<i>chiều BPT nếu số đó âm. </i>

<i><b>4) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức</b></i>

<i>- Víi mäi sè thùc a, b, c ta cã : a > b <=> a + c > b + c</i>

<i>- Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã : a > b, b > c => a > c (t/c bắc cầu)</i>
<i>a > b, c > d => a + c > b + d</i>
<i>a > b > 0, c > d > 0 => ac > b</i>

<i>- Víi mäi sè thùc a, b, c, </i>

<i>+ NÕu c > 0 th× a > b <=> ac > bc</i>
<i>+ NÕu c < 0 th× a > b <=> ac < bc</i>

<i>- Víi a, b lµ hai sè thùc : a > b <=> </i> a3  b3 <i> vµ a > b <=> </i>a3 b3
<i>- NÕu </i>a0, b0<i> th× a > b <=> </i> a  b <i> vµ a > b <=> </i>a2 b2

<i>- Giá trị tuyệt đối của một biểu thức A</i>

A, nÕu A 0
A

A, nÕu A < 0.








</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

<i>Ta cã: A2≥ _{0, |A|}≥ _0,</i>
2

A A

<i>- Bất đẳng thức Cô - si: Cho a, b là hai số thực không âm, ta có:</i>

a b _ab

2

 _

<i>DÊu “=” x¶y ra <=> a = b</i>

III – Các dạng bài tập có liên quan đến biểu thức hữu tỉ, căn bậc hai, căn bậc ba.
1. Dạng 1 : Rút gọn và tính giá trị các biểu thức hữu tỉ

<i>- Khi thùc hiƯn rót gọn một biểu thức hữu tỉ ta phải tuân theo thứ</i>
<i>tự thực hiện các phép toán : Nhân chia trớc, cộng trừ sau. Còn nếu biểu</i>
<i>thức có các dấu ngoặc thì thực hiện theo thứ tự ngoặc tròn, ngoặc vuông,</i>
<i>ngoặc nhän.</i>

<i>- Với những bài tốn tìm giá trị của phân thức thì phải tìm điều</i>
<i>kiện của biến để phân thức đợc xác định (mẫu thức phải khác 0)</i>

2. Dạng 2 : Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa

<i>- BiĨu thøc cã d¹ng </i>

A

B <i>_{xác định (có nghĩa) khi B}</i>0

<i>- Biểu thức có dạng </i> A <i> xác định (có nghĩa) khi A </i>0
<i>- Biểu thức có dạng </i>

A

B <i>_{xác định (có nghĩa) khi B > 0}</i>

<i>- BiĨu thøc cã d¹ng </i>

B
A

C


<i> xác định (có nghĩa) khi </i>

A 0

C 0








<i>- BiĨu thøc cã d¹ng </i>

B
A

C


<i> xác định (có nghĩa) khi </i>

A 0

C 0








3. D¹ng 3 : Rót gọn các biểu thức chứa căn bậc hai, căn bậc ba

LÝ thuyÕt chung:

<i>a) Các công thức biến đổi căn thức</i>
<i>1) </i>

2

A A

<i>2) </i> AB  A B ( víi A 0 vµ B 0)

<i>3) </i>

A

A _{(víi A} _{0 vµ B > 0)}

B  _B 

<i>4) </i>
2

A B A B (víi B0)

<i>5) </i>A B  A B (víi A2 0 vµ B0)
2

A B  A B (víi A < 0 vµ B 0)

<i>6) </i>

A 1 _{AB (víi AB} _{0 vµ B} ₀₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

<i>8) </i>





2

2

C A B

C _{(víi A} _{0 vµ A} _{B )}

A B A B

  

 



<i>9) </i>





C A B

C _{(víi A} _{0 , B} _{0 vµ A} _B)

A B

A B

   






<i>*) L u ý :</i>

<i>Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ta làm nh sau :</i>
<i>- Quy đồng mẫu số chung (nếu có)</i>

<i>- §a bít thõa sè ra ngoài dấu căn (nếu có)</i>
<i>- Trục căn thức ở mÉu (nÕu cã)</i>

<i>- Thực hiện các phép tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , …</i>
<i>theo thứ tự đã biết để làm xuất hiện các căn thức đồng dạng</i>
<i>- Cộng, trừ các biểu thức đồng dạng (các căn thức đồng dạng)</i>
<i>b) Các hằng đẳng thức quan trọng, đáng nhớ:</i>

1) (a + b)2_{= a}2_{+ 2ab + b}2

 2    

( a b) a 2 a.b b (a,b 0)

2) (a - b)2_{= a}2_{- 2ab + b}2

 2    

( a b) a 2 a.b b (a,b 0)

3) a2_{- b}2_{= (a + b).(a - b)}

    

a b ( a b).( a b) (a,b 0)

4) (a + b)3_{= a}3_{+ 3a}2_{b + 3ab}2_{+ b}3

5) (a - b)3_{= a}3_{- 3a}2_{b + 3ab}2_{- b}3

6) a3 b3 (a b)(a 2  abb )2

   

  3  3  3  3     

a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

7) a3  b3 (a b)(a 2 ab b ) 2

   

  3  3  3  3     

a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

8) (a + b + c)2_{= a}2_{+ b}2_{+ c}2_{+ 2ab + 2ac + 2bc}

9) ( a b c)2  a bc2 ab2 ac 2 bc (a,b,c0)
10) 

2
a a

Ph©n dạng bài tập chi tiết

Dạng 3.1 : Tính Rút gọn biểu thức không có điều kiện
Dạng 3.2 : Rút gän biĨu thøc cã ®iỊu kiƯn

Dạng 3.3 : Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến
Dạng 3.4 : Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức
Dạng 3.5 : Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá
trị nguyên

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Dạng 3.7 : Chứng minh bất đẳng thức sau khi đã rút gọn
Dạng 3.8 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
Dạng 3.9 : Bài tập tng hp

IV Các dạng toán về hàm số

Lí thuyết chung

<b>1) Khái niệm về hàm số (khái niệm chung).</b>

<i>Nu i lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi</i>
<i>giá trị của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y</i>
<i>thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.</i>

<i>*) VÝ dô: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + </i> 3 <i> ; ...</i>

<i>*) Chó ý: </i>

<i>Khi đại lợng x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị khơng đổi thì y đợc</i>
<i>gọi là hàm hằng.</i>

<i>*) VÝ dụ: Các hàm hằng y = 2; y = - 4; y = 7; ...</i>
<b>2) C¸c c¸ch thêng dïng cho một hàm số </b>
<b>a)</b> <i><b>Hàm số cho bởi bảng.</b></i>

<b>b)</b> <i><b>Hàm số cho bởi công thức.</b></i>

<b>-</b> <i>_{Hm hng: l hm có cơng thức y = m (trong đó x là biến,}</i>m <i>₎</i>
<b></b>

<b></b>

<i>-Hàm số bậc nhất: Là hàm số có dạng công thức y = ax + b </i>
<i> Trong đó: x là biến,</i>a,b, a0<i>. </i>

<i> a là hê số góc, b là tung độ gốc.</i>

<i>Chó ý: NÕu b = 0 thì hàm bậc nhất có dạng y = ax (</i>a0<i>)</i>

<i>Hàm số bậc hai: Là hàm số có công thức y = ax2_{+ bx + c}</i>
<i> (trong đó x là biến, </i>a,b,c, a0<i>).</i>

<i>Chú ý: Nếu c = 0 thì hàm bậc hai có dạng y = ax2_{+ bx (}</i>a0<i>₎</i>
<i> Nếu b = 0 và c = 0 thì hàm bậc hai có dạng y = ax2₍</i>a0<i>₎</i>
<b>3) Khái niệm hàm đồng biến và hàm nghịch biến.</b>

<i>Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x </i> <i>_{. Với x}₁_{, x}₂_{bất kì thuộc}</i>

<i>R</i>

<b>a)</b> <i>Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) cũng tăng</i>
<i>lên thì hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm đồng biến.</i>

<i>Nếu </i>x1 x mà f(x ) < f(x )2 1 2 <i>_{thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R}</i>
<b>b)</b> <i>Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) giảm đi thì</i>

<i>hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm nghịch biến.</i>

<i>Nếu </i>x1 x mà f(x ) > f(x )2 1 2 <i>_{thì hàm số y = f(x) nghịch biến /R}</i>
<b>4) Dấu hiệu nhận biết hàm đồng biến và hàm nghịch biến.</b>
<b>a)</b> <i>_{Hàm số bậc nhất y = ax + b (}</i>a0<i>_).</i>

<i>- Nếu a > 0 thì hàm số y = ax + b luôn đồng biến trên </i><i>_.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

<i>Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các</i>
<i>cặp giá trị tơng ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ.</i>

<i>Chú ý: Dạng đồ thị: </i>
<b>a)</b> <i>Hàm hằng.</i>

<i>Đồ thị của hàm hằng y = m (trong</i>
<i>đó x là biến, </i>m <i>₎_{là một}</i>
<i>đ-ờng thẳng luôn song song với</i>
<i>trục Ox.</i>

<i>Đồ thị của hàm hằng x = m (trong</i>
<i>đó y là biến, </i>m <i>₎_{là một}</i>
<i>đ-ờng thẳng luôn song song </i>

<i>víi trơc Oy.</i>

<b>b)</b> <i>_{Đồ thị hàm số y = ax (}</i>_a_₀<i>_{) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các}</i>
<i>điểm) luôn đi qua gốc toạ độ.</i>

<i>*) Cách vẽ: Lấy một điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn</i>

<i>điểm A(1 ; a). Sau đó vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm O(0 ; 0) và</i>
<i>A(1 ; a) ta đợc đồ thị hàm số y = ax (</i>a0<i>)</i>

<b>c)</b> <i>_{Đồ thị hàm số y = ax + b (}</i>_a,b₀<i>_{) l mt ng thng (hỡnh nh tp hp}</i>

<i>các điểm) cắt trục tung tại điểm (0; b) và cắt trục hoành tại điểm (</i>
<i>b</i>

<i>a</i>
<i>, 0).</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

<i>*) Cách vẽ: Có hai cách vẽ cơ bản</i>

<i>+) Cỏch 1: Xỏc nh hai điểm bất kì nào đó thuộc đồ thị, chẳng</i>
<i>hạn nh sau:</i>

<i>Cho x = 1 => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b)</i>
<i>Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b)</i>

<i>Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm A và B ta đợc đồ thị hàm số y =</i>
<i>ax + b (</i>a,b 0<i>)</i>

<i>+) Cách 2: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ, cụ thể:</i>
<i>Cho x = 0 => y = b, ta đợc M(0 ; b) </i>Oy

<i>Cho y = 0 => x = </i>

b
a


<i>, ta đợc N(</i>

b
a


<i>; 0) </i>Ox

<i>Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm M và N ta đợc đồ thị hàm số y =</i>
<i>ax + b (</i>a,b 0<i>)</i>

<b>d) </b> <i>_{Đồ thị hàm số y = ax}2₍</i>_a_₀<i>_{) là một đờng cong Parabol có đỉnh}</i>
<i>O(0;0). Nhận trục Oy làm trục đối xứng</i>

<i> - Đồ thị ở phía trên trục hoành nếu a > 0.</i>
<i> - Đồ thị ë phÝa díi trơc hoµnh nÕu a < 0.</i>

<b>6) Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng </b>

<b>*) </b> <i>_{Hai đờng thẳng}_{y = ax + b (}</i>a0<i>_{) và y = a}_’_{x + b}_’₍</i>a'0<i>₎</i>

<b>+</b> <i>_{Trïng nhau nÕu a = a}_’_{, b = b}_’_.</i>

<b>+</b> <i>_{Song song víi nhau nÕu a = a}_,_b</i><i>_b_.</i>

<b>+</b> <i>_{Cắt nhau nếu a}</i><i>_a_.</i>

<b>+</b> <i>_{Vuông góc nÕu a.a}_’_{= -1}_.</i>

<b>*)</b> <i>_{Hai đờng thẳng ax + by = c và}_a_’_{x + b}_’_{y = c}_’_{(a, b, c, a}_’_{, b}_{’, c’}_≠₀₎</i>
<b>+</b>

<i>Trïng nhau nÕu </i>

a b c

a '  b '  c '

<b>+</b>

<i>Song song víi nhau nÕu </i>

a b c

a '  b '  c '

<b>+</b>

<i>C¾t nhau nÕu </i>

a b

a '  b '

<b>7) Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (</b>a0<b>_{) và trục Ox}</b>
<i>Giả sử đờng thẳng y = ax + b (</i>a0<i>_{) cắt trục Ox tại điểm A.}</i>

<i>Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (</i>a0<i>_{) là góc tạo bởi tia Ax và tia}</i>
<i>AT (với T là một điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ </i>

<i>d-ơng).</i>

<b>-</b> <i>Nếu a > 0 thì góc </i><i> tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc</i>
<i>tính theo cơng thức nh sau: </i>tg a<i> (cần chứng minh mới đợc</i>

O x

y

a < 0
O

x
y

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

 180  <i>_với</i> <i>_{(cn chng minh mi c dựng).}</i>

Phân dạng bài tập chi tiết

<b>Dạng 1: Nhận biết hàm số</b>

<b>Dạng 2: Tính giá trị của hàm số, biến số.</b>

<b>Dng 3: Hm s ng biến, hàm số nghịch biến.</b>
<b>a)</b> <i>_{Hàm số bậc nhất y = ax + b (}</i>a0<i>_).</i>

<i>- Nếu a > 0 thì hàm số y = ax + b ln đồng biến trên </i><i>_.</i>

<i>- NÕu a < 0 th× hàm số y = ax + b luôn nghịch biến trªn </i><i>_.</i>

<b>b)</b> <i>_{Hàm bậc hai một ẩn số y = ax}2₍</i>_a_₀<i>_{) có thể nhận biết đồng biến và}</i>
<i>nghịch biến theo dấu hiệu sau:</i>

<i>- Nếu a > 0 thì hàm đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0.</i>
<i>- Nếu a < 0 thì hàm đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.</i>

<b>Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số</b>

<i>Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các</i>
<i>cặp giá trị tơng ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ.</i>

<i>Chú ý: Dạng đồ thị: </i>
<b>a)</b> <i>Hàm hằng.</i>

<i>Đồ thị của hàm hằng y = m (trong</i>
<i>đó x là biến, </i>m <i>₎_{là một}</i>
<i>đ-ờng thẳng luôn song song với</i>
<i>trục Ox.</i>

<i>Đồ thị của hàm hằng x = m (trong</i>
<i>đó y là biến, </i>m <i>₎_{là một}</i>
<i>đ-ờng thẳng ln song song </i>

<i>víi trơc Oy.</i>

<b>b)</b> <i>_{Đồ thị hàm số y = ax (}</i>_a_₀<i>_{) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các}</i>
<i>điểm) ln đi qua gốc toạ độ.</i>

<i>Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu</i>

A

T



x
y

O
(a > 0)

A
T



x
y

O
(a < 0)

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

<i>*) Cách vẽ: Lấy một điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn</i>
<i>điểm A(1 ; a). Sau đó vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm O(0 ; 0) và</i>
<i>A(1 ; a) ta đợc đồ thị hàm số y = ax (</i>a0<i>)</i>

<b>c)</b> <i>_{Đồ thị hàm số y = ax + b (}</i>_a,b_₀<i>_{) là một ng thng (hỡnh nh tp hp}</i>

<i>các điểm) cắt trục tung tại điểm (0; b) và cắt trục hoành tại điểm (</i>
<i>b</i>

<i>a</i>
<i>, 0).</i>

<i>*) Cách vẽ: Có hai cách vẽ cơ bản</i>

<i>+) Cách 1: Xác định hai điểm bất kì nào đó thuộc đồ thị, chẳng</i>
<i>hạn nh sau:</i>

<i>Cho x = 1 => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b)</i>
<i>Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b)</i>

<i>Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm A và B ta đợc đồ thị hàm số y =</i>
<i>ax + b (</i>a,b 0<i>)</i>

<i>+) Cách 2: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ, cụ thể:</i>
<i>Cho x = 0 => y = b, ta đợc M(0 ; b) </i>Oy

<i>Cho y = 0 => x = </i>

b
a


<i>, ta đợc N(</i>

b
a


<i>; 0) </i>Ox

<i>Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm M và N ta đợc đồ thị hàm số y =</i>
<i>ax + b (</i>a,b 0<i>)</i>

<b>d) </b> <i>_{Đồ thị hàm số y = ax}2₍</i>_a_₀<i>_{) là một đờng cong Parabol có đỉnh}</i>
<i>O(0;0). Nhận trục Oy làm trục đối xứng</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

<b>Dạng 5: Điểm thuộc và không thuộc đồ thị hàm số.</b>
*) Điểm thuộc đờng thẳng.

- §iÓm A(xA; yA) _{(d): y = ax + b (a}_{0) khi và chỉ khi yA = axA + b}

- Điểm B(xB; yB) _{(d): y = ax + b (a}_{0) khi và chỉ khi yB= axB + b}

*) Điểm thuộc Parabol : Cho (P) y = ax2<b>₍</b>a_0<b>₎</b>
- §iÓm A(x0; y0) _(P) _{y0 = ax0}2_.

- Điểm B(x1; y1) (P)  y1 _ax12_.
<b>Dạng 6: Xác định hàm số</b>

<b>Dạng 7: Xác định điểm cố định của hàm số</b>
*) Ph ơ ng ph á p:

Để tìm điểm cố định mà đờng thẳng y = ax + b (a0_{; a,b cú cha}

tham số) luôn đi qua với mọi giá trị của tham số m, ta lµm nh sau:

 <i>Bớc 1:</i> Gọi điểm cố định là A(x0; y0) mà đờng thẳng y = ax + b luôn
đi qua với mọi giá trị của tham số m

 <i>Bớc 2:</i> Thay x = x0; y = y0 vào hàm số đợc y0 = ax0 + b, ta biến đổi
về dạng <=> A( x ,y ).m0 0 B( x ,y )0 0 0_{, đẳng thức này luôn đúng}
với mọi giá trị của tham số m hay phơng trình có vơ số nghiệm m

 <i>Bớc 3: </i>Đặt điều kiện để phơng trình có vơ số nghiệm.

(

A( x ,y ).m0 0 B( x ,y )0 0 0_{, có vơ số nghiệm}




 




0 0
0 0
A(x ,y ) 0
B(x ,y ) 0

)

<b>Dạng 8: Tìm giao điểm của hai đồ thị</b>
<b>8.1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng.</b>

Giao điểm của hai đờng thẳng (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2
Là nghiệm của hệ phơng trình

1 1
2 2
y a x b

y a x b

 




 


<b>8.2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol với đờng thẳng.</b>
Cho (P) : y = ax2_(a__{0) và (d) : y = mx + n.}

 Xét phơng trình hồnh độ giao điểm ax2_{= mx + n.}

 Gi¶i phơng trình tìm x.

Thay giỏ tr x va tỡm đợc vào hàm số y = ax2_{hoặc y = mx + n}
ta tìm đợc y.

+ Giá trị của x tìm đợc là hồnh độ giao điểm.
+ Giá trị của y tìm đợc là tung độ giao điểm.
<b>8.3: Tìm số giao điểm của đờng thẳng và Parabol.</b>

Cho (P) : y = ax2_(a__{0) vµ (d) : y = mx + n.}

Xét phơng trình hồnh độ giao im ax2_{= mx + n. (*)}

+ Phơng trình (*) vô nghiệm (_{< 0)} _{(d) và (P) không có điểm}

chung.

+ Phơng trình (*) cã nghiƯm kÐp (= 0)  (d) tiÕp xóc víi (P).
+ Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt (_{> 0 hoặc ac < 0)}

_{(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

<b>8.4: Tỡm giỏ trị của một tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng.</b>
<b>8.5: Tìm giá trị của 2 tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng.</b>

<b>8.6: Tìm giá trị của tham số khi biết số giao điểm của Parabol và đờng</b>
<b>thẳng.</b>

Cho (d) : y = ax + b và (P): y = a’x2_(a’__{0)(a’, a, b có chứa tham số)}
Xét phơng trình hồnh độ giao điểm a’x2_{= ax + b. (*)}

+ (d) và (P) không có điểm chung

_{Phơng trình (*) vô nghiệm (}_{< 0)}

+ (d) tiÕp xóc víi (P)  Ph¬ng tr×nh (*) cã nghiƯm kÐp (_{= 0).}

Nghiệm kép là honh im tip xỳc

+ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Phơng trình (*) có hai

nghim phõn biệt ( > 0 hoặc ac < 0). Hai nghiệm đó là hồnh độ
của hai giao điểm

<b>8.7: Tìm giá trị của tham số khi biết toạ độ giao điểm của Parabol và đờng</b>

<b>thẳng.</b>

Cho (d): y = ax + b vµ (P): y = a’x2_(a’_₀₎
(a’, a, b cã chøa tham sè)

Tìm giá trị của tham số để (d) và (P) cắt nhau tại A(xA; yA).

Cách làm: Thay tọa độ của A vào hàm số của (d); (P) để tìm giá trị của tham
số.

<b>Dang 9: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm</b>
<b>9.1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm </b>

<b>A(xA; yA) và B(xB; yB) trong đó xA </b>_{xB và yA}_yB<b>_.</b>

Ph

¬ng ph¸p:

Gọi phơng trình đờng thẳng (d) cần lập đi qua A và B có dạng
y = ax + b (a_0).

Do A(d) thay x = xA; y = yA vµo y = ax + b ta cã yA = axA + b (1)
Do B_{(d) thay x = xB; y = yB vµo y = ax + b ta cã yB = axB + b}(2)
Tõ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:

A A

B B

y ax b

y ax b

Giải hệ phơng trình này tìm đợc a, b và suy ra phơng trình đờng
thẳng (d) cần lập

<b>9.2: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua M(x0 ; y0) và có hệ số góc</b>
<b>là k.</b>

 Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng có hệ số góc k có dạng
y = kx + b

 Bớc 2: Đờng thẳng này đi qua M(x0 ; y0) => y0 kx0 b
=> by0  kx0

 Bớc 3: Phơng trình đờng thẳng cần tìm là y = kxy0  kx0
<b>9.3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm </b>

<b>A(m; yA) và B(m; yB) trong đó yA </b><b>_yB.</b>

Ph

ơng pháp:

Do A(m; yA) _{(d): x = m;}

Do B(m; yB) _{(d) : x = m;}

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): y = n

<b>9.5: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(xA ; yA) và tiếp</b>
<b>xúc với đờng cong </b>

2

yax (a 0 )

 Bíc 1: Gi¶ sử phơng trình cần lập là y = ax + b’

 Bớc 2: Đờng thẳng này tiếp xúc với đờng cong yax (a2 0 )

khi và chỉ khi phơng trình hồnh độ giao điểm ax2 a 'xb'_có

nghiƯm kÐp. Ta cho 0_{, tìm ra một hệ thức giữa a và b (1)}
Bớc 3: Đờng thẳng đi qua A(xA ; yA) => yA a ' xA b' ₍₂₎

 Bớc 4: Từ (1) và (2) ta có một hệ phơng trình hai ẩn là a’ và b’.
Giải hệ tìm đợc a’ và b’ => phơng trình cần lập

<b>9.6: Lập phơng trình đờng thẳng có hệ số góc là k và tiếp xúc với</b>
<b>đờng cong </b>

2

y ax (a0 )

 Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng cần tìm giả sử là y = ax + b
Vì đờng thẳng có hệ số góc là k nên a = k => y = kx + b

 Bớc 2: Đờng thẳng y = kx + b tiếp xúc với đờng cong

2

y ax (a0 )
<=> phơng trình hồnh độ giao điểm

2 2

kxbax ax  kx b0_{cã nghiÖm kÐp}

Cho  0( ' 0 ) => b = ?

 Bớc 3: Trả lời

<b>Dạng 10: Ba điểm thẳng hàng</b>

<b>10.1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.</b>

Bc 1: Lp phng trỡnh đờng thẳng đi qua hai điểm.

 Bớc 2: Chứng minh điểm cịn lại thuộc đờng thẳng vừa lập.
<b>10.2: Tìm giá trị của tham số để ba điểm thẳng hàng.</b>

 Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm có toạ độ đơn
giản nhất.

 Bớc 2: Thay toạ độ của điểm cịn lại vào phơng trình đờng thẳng
vừa lập. Giải phơng trình và tìm tham số.

<b>Dạng 11: Ba đờng thẳng đồng qui</b>

<b>11.1: Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui.</b>

 Bớc 1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng.

 Bớc 2: Chứng minh giao điểm đó thuộc đờng thẳng cịn lại.
<b>11.2: Tìm giá trị của tham số để ba đờng thẳng đồng qui.</b>

 Bớc 1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng đơn giản nhất.

 Bớc 2: Thay toạ độ giao điểm trên vào phơng trình đờng thẳng cịn
lại. Giải phơng trình và tìm tham số.

<b>Dạng 12: Vị trí tơng đối của hai đồ thị của hai hàm số</b>

<b>12.1: Vị trí tơng đối của hai đồ thị của hai hàm số bậc nhất</b>
Cho hai đờng thẳng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2

+) (d1) c¾t (d2)  a1 _a2

+) (d1) // (d2)  a1 = a2

+) (d1) _(d2) _{a1 = a2 vµ b1 = b2}

+) (d1) _(d2) _{a1.a2 = -1 (phải chứng minh mới đợc dùng)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

<b>12.2: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm</b>
<b>trên trục tung.</b>

Cho (d1): y = a1x + b1và (d2): y = a2x + b2

Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung thì

1 2
1 2

a a (1)
b b (2)

Giải (1)

Giải (2) và chọn những giá trị thoả m<b>Ã</b>n (1).

<b>12.3: Tỡm iu kin để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm</b>
<b>trên trục hoành.</b>

Cho (d1): y = a1x + b1và (d2): y = a2x + b2

Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoành thì



1 2
1 2
1 2
a a (1)
b b

(2)
a a

<i>Lu ý: Chỉ nên áp dụng khi hai phơng trình đều chứa tham số.</i>

<b>Dạng 13: Xác định giá trị của tham số m để đờng thẳng y = ax +</b>

<b>b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác có diện</b>
<b>tích bằng c</b>

 Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành
một tam giác thì ta có điều kiện cần là: a0, b0 => điều kiện của
m

 Bớc 2: Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B
lần lợt là giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành

 A(0 ; b) và B( ab ;0

)

Bớc 3: Xét tam giác vuông OAB cã
SOAB =

b

1 _OA.OB 1 _{b .} _c

2 2 a



  

=> m = ? (kiĨm tra víi ®iỊu kiƯn ë bíc 1)

<b>Dạng 14: Xác định giá trị của tham số m để đờng thẳng </b>

<b>y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác cân</b>
<b>Cách 1:</b>

 Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành
một tam giác thì ta có điều kiện cần là: a0, b0

=> ®iỊu kiƯn cđa m

 Bớc 2: Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B
lần lợt là giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hồnh

 A(0 ; b) vµ B( ab ;0



)

 Bíc 3: Tam giác OAB cân <=> OA = OB <=>

b
b

a

(*)

Giải phơng trình (*) ta tìm đợc giá trị của m (kiểm tra điều kiện ở
bớc1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

nghiệm của hệ phơng trình:

ax by c
a ' x b'y c '

 




 


 Bíc 2:

+) NÕu A nằm trong góc phần t thứ I thì điều kiƯn lµ:

x 0
y 0






+) NÕu A n»m trong gãc phần t thứ II thì điều kiện là:

x 0
y 0






+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø III thì điều kiện là:

x 0
y 0

+) Nếu A nằm trong góc phần t thứ IV thì điều kiện là:

x 0
y 0





Bớc 3: Tìm m = ?

<b>Dạng 16: </b>

<b>Xác định giá trị tham số để đa thức f(x) = Ax + B bằng đa thức 0</b>

 Bíc 1: Đa thức f(x) = Ax + B bằng đa thøc 0 <=>

A 0
B 0





 Bớc 2: Giải hệ này tìm đợc giá trị của tham số
V - Các dng toỏn v h phng trỡnh

Lí thuyết chung
<b>1.</b> <i>Định nghĩa:</i>

<i>Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:</i>

ax by c

(I)

a' x b' y c '<i>_{(trong đó a, b, c, a}_’_{, b}_’_{, c}_’_{cú th cha tham s)}</i>

<b>2.</b> <i>Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm </i>

<i>- NghiƯm (x0 ; y0) cđa hƯ (I) là nghiệm chung của hai phơng trình</i>
<i>trong hệ</i>

<i>- Nếu hai phơng trình trong hệ không có nghiệm chung thì hệ </i>
<i>ph-ơng trình vô nghiệm</i>

<i>- Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm)</i>
<i>của nó.</i>

<i>*) iu kin để hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy</i>
<i>nhất, có vơ số nghiệm, vơ nghiệm.</i>

ax by c

a' x b ' y c '

 




 

 <i>_{(a, b, c, a}_’_{, b}_’_{, c}_’_{kh¸c 0)}</i>

<i>+ HƯ cã v« sè nghiƯm nÕu </i>

a b c

a' b ' c '

<i>+ HƯ v« nghiƯm nÕu </i>

a b c

a' b ' c '

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

<i>+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu </i>

a b

a' b'

<i>+ Điều kiện cần để hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm là </i>
<i>ab’</i> <i> ab = 0</i>

<b>3.</b> <i>Các phơng pháp giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn .</i>

ax by c

a' x b ' y c '

 




 



a) <i>Phơng pháp cộng đại số.</i>

<i>*) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số</i>

 <i><b>Bớc1:</b> Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp</i>
<i>(nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai </i>
<i>ph-ơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.</i>

 <i><b>Bớc 2:</b></i> <i>áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình</i>
<i>mới, trong đó có một phơng trình mà hệ số của một trong hai</i>
<i>ẩn bằng 0 (tức là phơng trình một ẩn)</i>

 <i><b>Bớc 3:</b> Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc, rồi suy ra</i>
<i>nghiệm của hệ đã cho</i>

<i>*) Tỉng qu¸t:</i>

<i>+ NÕu cã </i>

ax by c

ax b ' y c '

 


  
 
  


  


(b b ')y c c '

ax b ' y c '

<i>+ NÕu cã </i>

ax by c

ax b' y c '

 




 

  <i></i>

(b b ')y c c '

ax b ' y c '

  




 



<i>+ NÕu cã </i>

ax by c

k.ax b ' y c '

 


 
 
 


 



k.ax kby kc

k.ax b ' y c ' _

(kb b')y k.c c '

ax by c

b) <i>Phơng pháp thế.</i>

<i>*) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế</i>

<i><b>Bc 1:</b> Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để </i>
<i>đ-ợc một hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình một</i>
<i>ẩn</i>

 <i><b>Bớc 2</b>: Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của</i>
<i>hệ đã cho</i>

<i>*) Tỉng qu¸t:</i>

ax by c

a' x b ' y c '

 


 
 
a c
y x
b b

a' x b ' y c '


 


 _ _
 

 



 
 _ _ _ _

 
 _ _

a c
y x
b b
a c

a ' x b ' x c '

b b

c) <i>Phơng pháp đồ thị</i>

<i>- Vẽ hai đờng thẳng biểu diễn hai tập nghiệm của hai phơng trình</i>
<i>trong hệ</i>

<i>- Dựa vào đồ thị, xét vị trí tơng đối của hai dờng thẳng</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

<i>bậc hai.)</i>

Phân dạng bài tập chi tiết

<b>Dạng 1: Giải hệ phơng trình không chứa tham số</b>

<b>Dạng 2: Giải hệ phơng trình khi biết giá trị của tham số</b>
Ph

ơng pháp:

Bớc 1: Thay giá trị của tham số vào hệ phơng trình

Bc 2: Gii h phng trình khơng chứa tham số vừa thu đợc.
<b>Dạng 3: Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số</b>

- Dùng phơng pháp cộng hoặc thế để tìm x theo tham số m (hoặc y theo
tham số m), làm xuất hiện phơng trình có dạng :

Ax = B (1) (hoặc Ay = B)

Nếu A = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = B.
+) Khi B = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 0

_{phơng trình có vô số nghiệm}

=> hệ phơng trình có vô số nghiệm
+) Khi B _{0 phơng trình (1) vô nghiệm}

=> hệ phơng trình vô nghiệm

Nếu A _{0 thì phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất}

B
A

=> hệ phơng trình có nghiÖm duy nhÊt

B
x

A

y y(m )

 _



 


<b>Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để hệ phơng trình có nghiệm</b>
<b>duy nhất, vơ nghiệm, vơ số nghiệm.</b>

<i>*) Điều kiện để hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất,</i>
<i>có vơ số nghiệm, vơ nghiệm.</i>

ax by c
a' x b ' y c '

 




 

 <i>_{(a, b, c, a}_’_{, b}_’_{, c}_’_{kh¸c 0)}</i>

<i>+ HƯ cã v« sè nghiƯm nÕu </i>

a b c

a' b ' c '

<i>+ HƯ v« nghiƯm nÕu </i>

a b c

a' b ' c '

<i>+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nếu </i>

a b
a' b'

<b>Dạng 5: Tìm giá trị tham số khi biết dấu của nghiệm của hệ </b>
<b>ph-ơng trình</b>

<b>Dạng 6: Tìm giá tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình</b>
<b>6.1: Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.</b>

Cho hệ phơng trình :

   



ax by c (1)

a x b y c (2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm
0
0
x x
y y





Cách 1:

Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) và giải.
Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) và giải.
Cách 2:

Thay x = x0; y = y0 vào cả hai phơng trình và giải hệ phơng trình
chứa ẩn là tham số

<b>6.2: Tìm hai giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.</b>

Cho hệ phơng trình:

ax by c

a x b y c






    

 _{cã nghiÖm}

0
0
x x
y y






 Bíc 1: Thay x = x0; y = y0 vào cả hai phơng trình của hệ ph¬ng

trình ta đợc

0 0

0 0

ax by c

a x b y c

 




    


 Bíc 2: Giải hệ phơng trình chứa ẩn là tham số.

<b>Dạng 7: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y.</b>

Cho hệ phơng trình :

ax by c (1)

a x b y c (2)

 




    

 _(I)

Cã nghiƯm (x; y) tho¶ m<b>·</b>n: px + qy = d (3)

 Bớc 1: Trớc hết cần tìm điều kiện của tham số để hệ (I) có
nghiệm duy nhất

 Bớc 2: Do (x; y) là nghiệm của hệ (I) và thoả m<b>ã</b>n (3)  (x; y) là
nghiệm của (1), (2), (3). Kết hợp 2 phơng trình đơn giản nhất để
đ-ợc một hệ phơng trình => Giải hệ tìm nghiệm thay vào phơng
trình cịn lại

 Bíc 3: Giải phơng trình chứa ẩn là tham số

<b>Dng 8: Tỡm giá trị tham số m để hệ phơng trình có nghiệm duy</b>
<b>nhất (x0 ; y0) là những số nguyên</b>

 Bớc 1: Tìm điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất

 Bíc 2: Ph©n tÝch x0 ; y0 díi d¹ng

0 b

x a víi a, b Z

A(m )

  

0 d

y c víi c, d Z

B( m )

  

0

0

b

x Z Z A(m ) ¦ ( b)

A(m ) _m _?

d

y Z Z B(m ) ¦ (d )

B(m )
 _ _ _ _ _



*) Đặc biệt nếu :

0 b

x a víi a, b Z

A(m )

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

<b>P(x,y) = ax2_{+ bx + c}_{nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.}</b>

<b>Cách 1: </b>

Bc 1: Trớc hết tìm điều kiện của tham số để hệ phơng trình
có nghiệm duy nhất

 Bớc 2: Biến đổi biểu thức liên hệ giữa x và y là:
P(x,y) = kA2_{(x) + d (d là hằng số).}

 k < 0  kA2_(x)_₀ _kA2_{(x) + d}__d _P(x,y)__d

Giá trị lớn nhất của P(x,y) bằng d đạt đợc khi A(x) = 0.

 k > 0  kA2_(x)_₀ _kA2_{(x) + d}__d _P(x,y)__d

Giá trị nhỏ nhất của P(x,y) bằng d đạt đợc khi A(x) = 0.
<b>Cách 2: </b>

P(x,y) = ax2_{+ bx + c} _ax2_{+ bx + c – P(x,y) = 0}

 Bíc 1: TÝnh _hc'_.

 Bíc 2: Đặt điều kiện _{0 (}' ₀₎

_{Giải bất phơng trình chứa ẩn P(x,y).}

P(x,y) _e _{Giá trị nhỏ nhất của P(x,y) bằng e đạt đợc}

khi

₌'_{= 0}

b
x

2a




=

b'
a



.

 P(x,y) _e _{Giá trị lớn nhất của P(x,y) bằng e đạt đợc}

khi

₌'_{= 0}

b
x

2a




=

b '
a

<b>Dạng 10: Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào</b>
<b>tham số</b>

1. Ph ơng pháp :

Cho hệ phơng trình:

ax by c

a ' x b ' y c '

 




 

 _{trong đó a, b, c, a’, b’, c’ chứa tham}

sè m. T×m hƯ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số
m ?

*) Cách 1:

Bớc 1: Từ một phơng trình của hệ ta rút m theo x và y lµ
m = A(x,y)

 Bớc 2: Thay m = A(x,y) vào phơng trình thứ hai của hệ ta đợc
hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham

sè m

*) Cách 2: Sử dụng đối với hệ phơng trình có tham số m dới dng bc
nht

Bớc 1: Từ hệ phơng trình

ax by c m A( x, y )

a ' x b ' y c ' m B( x, y )

  

 



 

  

 

 Bíc 2: Cho A(x,y) = B(x,y). Đây là hệ thức liên hệ giữa x và y
không phụ thuộc vào tham số m

L

u ý : Ta cần rút gọn các hệ thức sao cho ngắn gọn, đơn giản nhất
<b>Dạng 11: Tìm giá trị của tham số để hai hệ phơng trình tơng</b>
<b>đơng</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

- Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng một
tập nghiệm (tức là mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ kia và
ngợc lại)

<b>Dạng 12: Giải hệ phơng trình theo phơng pháp đặt ẩn phụ và</b>
<b>giải một số hệ phơng trình khơng ở dạng hệ hai phơng trình bậc</b>

<b>nhất hai ẩn (hệ đặc biệt)</b>
VI – Phơng trình bậc hai một n

Phần I: Phơng trình không chứa tham số

<b>I.</b> <i>Định nghĩa: Phơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phơng trình</i>
<i>bậc hai) là phơng trình có dạng </i>

2

0 ( 0 )
<i>ax</i> <i>bx</i><i>c</i>  <i>a</i> 

<i>Trong đó: x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là cỏc h s</i>

<b>II.</b> <i>Phân loại.</i>

<b>1.</b> <i>_{Phơng trình khuyết c: ax}2_{+ bx = 0 (a}</i><i>₀₎</i>
<i>Phơng pháp giải: </i>

<i>ax2_{+ bx = 0 (a, b}</i><i>₀₎</i>

 <i>_{x(ax + b) = 0}</i>

x 0

b
x

a





<i>Phơng trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = </i>

b
a

<b>2.</b> <i>_{Phơng trình khuyết b: ax}2_{+ c = 0 (a, c}</i><i>₀₎</i>
<i>Ph¬ng pháp giải: </i>

<i>ax2_{+ c = 0 (a}</i><i>₀₎</i>

2 c

x

a

+)
+)

<i>Nếu </i>

c
a

<i> < 0 </i> <i> Phơng trình vô nghiệm.</i>
<i>Nếu </i>

c
a

<i> > 0 </i> <i> Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt: </i>




1

c
x

a <i>_;</i>




2

c
x

a

<b>3.</b> <i>_{Phơng trình bậc hai đầy đủ: ax}2_{+ bx + c = 0 (a , b, c}</i><i>₀₎</i>
<i>*) Công thức nghiệm:</i>

<i>_{= b}2_{- 4ac}</i>

<i>+) </i><i>_{< 0}</i> <i>_{Phơng trình vô nghiệm}</i>

<i>+) </i><i> > 0 </i> <i> phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

<i>NÕu b = 2b’ (b’ = </i> 2
<i>b</i>

<i>)</i><i> ta cã : </i><i>’ = b’2_{- ac}</i>

<i>+ Nếu </i><i> > 0 </i><i> phơng trình có hai nghiệm phân biệt là :</i>

1 2

' ' ' '

; x

<i>b</i> <i>b</i>

<i>x</i>

<i>a</i> <i>a</i>

   

<i>+ Nếu </i><i> = 0 </i><i> phơng trình cã nghiÖm kÐp </i>
<i>x1 = x2 = </i>

'
<i>b</i>
<i>a</i>


<i>+ NÕu </i><i> < 0 </i><i> phơng trình vô nghiệm</i>

Phần II Các dạng phơng trình chứa tham số

<b>Dạng 1: Giải phơng trình khi biết giá trị của tham số</b>

Thay giá trị của tham số vào phơng trình và giải phơng trình
<b>Dạng 2: Giải và biện phơng trình theo tham số </b>

T

ỉ ng qu ¸ t:

Với a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bậc nhất bx + c = 0.
+ NÕu b  0 thì phơng trình có nghiệm x =

c
b

+ NÕu b = 0 vµ c _{0 thì phơng trình vô nghiệm.}

+ NÕu b = 0 vµ c = 0 thì phơng trình có vô số nghiệm.

Với a 0 phơng trình trở thành phơng trình bậc hai có biÖt sè:

_{= b}2_{– 4ac ( hay}__{’ = b’}2_{– ac)}

+ NÕu  < 0 (’ < 0) thì phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu _{= 0 (}_{= 0) thì phơng trình có nghiệm kép :}

x1 = x2 = -

b
2a₌

'

<i>b</i>
<i>a</i>



+ Nếu _{> 0 (}_{> 0) thì phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt:}

x1 =

     


b b' '

2a a _{; x2 =}

     


b b' '

2a a

<b>Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm</b>
- Xét hai trờng hợp của hệ số a:

 Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc một vài giá trị của m, sau đó thay
trực tiếp vào phơng trình rồi kết luận với những giá trị nào của m
thì phơng trình có nghiệm

 Trêng hỵp 2: a ≠ 0, phơng trình bậc hai một ẩn có nghiệm <=>



0 ' 0

   

<b>Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai</b>
<b>nghim phõn bit</b>

Phơng trình bậc hai một ẩn có hai nghiƯm ph©n biƯt

<=>

0

0( ' 0)

<i>a</i>



   



<b>Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để phơng trỡnh cú nghim</b>
<b>kộp</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

Phơng trình bậc hai một Èn cã nghiÖm kÐp <=>

0

0( ' 0)

<i>a</i>



   



<b>Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình vơ nghiệm</b>
- Xét hai trờng hợp của hệ số a:

 Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc một vài giá trị của m, sau đó thay
trực tiếp vào phơng trình rồi kết luận với những giá trị nào của m
thì phơng trình vơ nghiệm

 Trêng hợp 2: a 0, phơng trình bậc hai một ẩn vô nghiệm
<=> 0

' 0

<b>Dạng 7: Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt</b>
Để chứng minh phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt:

C¸ch 1: Chøng minh:

0
0
<i>a</i>
<i>ac</i>







 C¸ch 2: Chøng minh:




 

a 0
0
Ch

ó ý : Cho tam thøc bËc hai ₌am2 bmc

§Ĩ chøng minh  0, m ta cÇn chøng minh

2
m

a 0

b 4ac 0






   



<b>Dạng 8: Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm</b>
<b>cùng dấu, trái dấu, có hai nghiệm dơng, có hai nghiệm âm, có</b>
<b>hai nghiệm dơng phân biệt, có hai nghiệm âm phân biệt, có hai</b>
<b>nghiệm là hai số đối nhau, có hai nghiệm là hai số nghịch đảo</b>
<b>của nhau</b>

Cho phơng trình <i>ax</i>2 <i>bx</i><i>c</i> 0 ; trong đó a, b, c chứa tham số

Theo định lí Vi - ét, ta có :

1 2

1 2

<i>b</i>

<i>S</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i>
<i>c</i>
<i>P</i> <i>x x</i>

<i>a</i>
 _ _ _





a) Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu <=>

0
0
0
<i>a</i>
<i>P</i>







<b></b>_hoặc

0
0
0
<i>a</i>
<i>ac</i>



b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu <=>

0
0
<i>a</i>
<i>P</i>

<b></b>_hoặc

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

c) Phơng trình có hai nghiệm dơng <=>
0
0
0
<i>P</i>
<i>S</i>







d) Phơng trình có hai nghiệm âm <=>

0
0
0
0
<i>a</i>
<i>P</i>
<i>S</i>









e) Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt <=>

0
0
0
0
<i>a</i>
<i>P</i>
<i>S</i>








f) Phơng trình có hai nghiƯm ©m ph©n biƯt <=>

0
0
0
0
<i>a</i>
<i>P</i>
<i>S</i>


_{ }




 _


g) Phơng trình có hai nghiệm là hai số đối nhau

<=> 1 2

0
0

0

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>S</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i>




 


   



h) Phơng trình có 2 nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau

<=> 1 2

0

0

1

<i>a</i>

<i>c</i>
<i>P</i> <i>x x</i>

<i>a</i>




 


  



<b>D¹ng 9: Tính giá trị của biểu thức liên hệ giữa hai nghiƯm</b>

 Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm.

 Bíc 2: TÝnh x1 + x1 =

b

a _{vµ x1.x1 =}

c
a

 Bớc 3: Biểu thị đợc các biểu thức theo x1 + x1 và x1.x1 ; sau đó thay
giá trị của x1 + x1 và x1.x1 vào để tính giá trị của biểu thức.

Chó ý:

   

2 2 2

a b (a b) 2ab

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

    

3 3 3

a b (a b) 3ab(a b)
 2   2 

(a b) (a b) 4ab

 2    

( a b) (a b) 2 a.b (a,b 0)

   

4 4 2 2 2 2 2

a b (a b ) 2a b

  

    

3 3

a b a a b b

( a b)(a ab b) (a,b 0)

<b>Dạng 10: Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm x1,</b>
<b>x2 thỏa mãn một trong các điều kiện sau:</b>

a) <i>x</i>1 <i>x</i>2 _b) 1 2

1 1 <i>_n</i>

<i>x</i>  <i>x</i>  _c)<i>x</i>₁2  <i>x</i>₂2 <i>k</i> _d)<i>x</i>₁3  <i>x</i>₂3 <i>t</i>_,

. . . . . . . .

 <b>Bớc 1: </b>Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghim

x1, x2. Giải hệ ĐK:

0
0

<i>a</i>

_{=> m = ?}

 <b>Bíc 2: </b>Theo hƯ thøc Vi – Ðt, ta cã:

1 2

1 2

<i>b</i>

<i>S</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i>
<i>c</i>
<i>P</i> <i>x x</i>

<i>a</i>

 _ _ _




  

 

 <b>Bớc 3:</b> Biến đổi điều kiện của đề bài (là một đẳng thức hoặc bất
đẳng thức) để có tổng và tích hai nghiệm, sau đó thay tổng và tích
hai nghiệm có đợc ở bớc 2 vào điều kiện vừa biến đổi; từ đó giải
phơng trình hoặc bất phơng trình với biến là tham số để tìm giá
trị của tham số. Tiếp theo kiểm tra xem các giá trị tham số tìm
đ-ợc có thỏa m<b>ã</b>n hệ điều kiện ở bớc 1 hay khơng ?

Hoặc có bài tốn ta kết hợp điều kiện của đề bài với một hệ thức Vi
- ét để tìm hai nghiệm x1, x2 (giải hệ phơng trình với hai ẩn là x1,
x2); sau đó ta thay x1, x2 vào hệ thức Vi – ét cịn lại để tìm tham
số.

<b>Dạng 11: Tìm điều kiện để phơng trình có một nghiệm x = x1.</b>
<b>Tìm nghiệm cịn lại</b>

 <b>Bíc 1: </b>Thay x = x1 vào phơng trình, ta có:
2

1 1 0 ?

<i>ax</i> <i>bx</i> <i>c</i> <i>m</i>

<b>Bớc 2:</b> Để tìm nghiệm còn lại x2 ta thực hiện theo hai cách:
C

á ch 1: Thay giá trị của m vào phơng trình ban đầu. Từ đó có phơng
trình bậc hai và giải phơng trình này ta tìm đợc x2

C

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

 Bíc 1: T×m S = 1 2_{và P =} 1 2

Bớc 2: Phơng trình với ẩn x là <i>x</i>2 <i>Sx</i><i>P</i> 0.
Phơng trình có nghiệm <=> <i>S</i>2 4<i>P</i>

<b>Dạng 13: Lập phơng trình bậc hai khi biết mối liên hệ giữa hai</b>
<b>nghiệm của phơng trình cÇn lËp víi hai nghiệm của phơng</b>
<b>trình cho tríc.</b>

 Bíc 1: KiĨm tra §K cã nghiƯm cđa phơng trình.

Bớc 2: Tính tổng và tích hai nghiệm của phơng trình đ<b>Ã</b> cho

1 2 1 2

b c

x x , x .x

a a



  

 Bíc 3: TÝnh tổng và tích hai nghiệm của phơng trình cần lập x3 và
x4 thông qua mối liên hệ với x1 , x2.

Bớc 4: Lập phơng trình.

<b>Dng 14: Tìm đẳng thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ</b>
<b>thuộc vào tham số</b>

 <b>C¸ch 1: </b>

 Bớc 1: Tìm điều kiện để phng trỡnh cú hai nghim x1, x2.

Giải hệ điều kiƯn

0
0

<i>a</i> 



 


 Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi - Ðt:




  





  




1 2

1 2

b
S x x

a
c
P x .x

a

 Bớc 3: Khử tham số trong hệ thức Vi – ét, tìm hệ thức liên hệ
giữa S và P. Đó là hệ thức độc lập với tham số giữa các nghiệm
của phơng trình.

 <b>C¸ch 2: </b>

 Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2.

Giải hệ điều kiện

0
0

<i>a</i>

Bớc 2: Giải phơng trình tìm x1, x2.

Bớc 3: Tìm hệ thức (khử tham số).

<b>Dạng 15: Tìm giá trị lớn nhÊt, nhá nhÊt cña tam thøc bËc hai </b>
2

y ax bxc ( a 0)

<b>C¸ch 1:</b>

Biến đổi y = kA2_{(x) + m (m là hằng số).}

 k < 0  kA2_(x)_₀ _kA2_{(x) + m}__m _y__m

Giá trị lớn nhất của y bằng m đạt đợc khi A(x) = 0.

 k > 0  kA2_(x)_₀ _kA2_{(x) + m}__m _y__m

Giá trị nhỏ nhất của y bằng m đạt đợc khi A(x) = 0.
<b>Cách 2: </b>

y = ax2_{+ bx + c} _ax2_{+ bx + c – y = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

+ Bíc 1: TÝnh _hc'_.

+ Bớc 2: Đặt điều kiện _{0 (}' ₀₎
_{Giải bất phơng trình chứa ẩn y.}

y  m  Giá trị nhỏ nhất của y bằng m đạt đợc khi

₌'_{= 0}

b
x

2a




=

b'
a



.

 y _m _{Giá trị lớn nhất của y bằng m đạt đợc khi}

₌'_{= 0}

b
x

2a




=

b '
a



<b>D¹ng 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức liên hệ </b>
<b>giữa hai nghiệm</b>

Bớc 1: Kiểm tra sự có nghiệm của phơng trình

Bớc 2: Tính 1 2 1 2

b c

x x , x .x

a a



  

 Bớc 3: Biến đổi biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm là A(x1; x2) về
dạng có chứa x1+ x2 và x1.x2

 Bớc 4: Thay x1 + x2 và x1.x2 vào biểu thức A. Khi đó A trở thành
tam thức bậc hai ẩn là tham s.

Bớc 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A. Chọn giá trị tham
số thích hợp.

<b>Dạng 17: Chứng minh biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không</b>
<b>phụ thuộc vào tham số</b>

Bc 1: Tỡm iu kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm

1 2

x , x

 Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi- Ðt:




 





 _




1 2

1 2

b
x x

a
c
x .x

a

 Bớc 3: Tính giá trị của biểu thức theo x1+ x2 và x1.x2 ; thấy kết quả
là một hằng số => Biểu thức liên hệ giữu hai nghiệm không phụ
thuộc vµo tham sè



<b>Dạng 18: Tìm giá trị của tham số để hai nghiệm của phơng trình</b>
<b>thỏa mãn bất đẳng thức ó cho.</b>

<b>Dạng 19: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng</b>

Nếu hai số u và v thoả m<b>Ã</b>n

 






u v S

u.v P _(S2 __{4P). Thì u và v là nghiệm}
của phơng trình x2_{- Sx + P = 0} _(*)

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

- Nếu phơng trình (*) có nghiệp kép 1 2 _{=> u = v = a}

- Nếu phơng trình (*) vơ nghiệm => Khơng tìm đợc cặp giá trị (u, v) nào
thỏa m<b>ã</b>n yêu cầu đề bài

<b>Dạng 20: Tìm giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai một</b>
<b>ẩn có nghiệm chung</b>

Cho hai phơng trình ax2 bx c 0 (a0) và a ' x2 b ' xc '0 (a '0 )
Trong đó a, b, c,a ', b ', c ' chứa tham số m

*) C ¸ ch 1 :

Hai phơng trình trên có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ phơng
trình:

2

2

ax bx c 0 (a 0 )

a ' x b' x c ' 0 (a ' 0 )

 _ _{ } _




    

 _{cã nghiƯm}

 Trõ vÕ víi vÕ cđa hai phơng trình trong hệ ta có phơng trình
dạng:

A(m).x = B(m)

+) Nếu A(m) = 0, từ đẳng thức này ta rút ra một vài giá trị của
m, sau đó thay trực tiếp vào hai phơng trình  _{giải hai phơng}

trình khơng chứa tham số và xét xem ứng với giá trị m đó hai
phơng trình có nghiệm chung hay không ?

+) NÕu A(m )0 => x =

B(m )

A(m ) _{(chøa tham sè). Thay vµo mét}

trong hai phơng trình ta rút ra một vài giá trị của m, sau đó
thay từng giá trị của m vào hai phơng trình  giải hai phơng
trình khơng chứa tham số và xét xem ứng với giá trị m đó hai
phơng trình có nghiệm chung hay khơng ?

+) NÕu A(m )0 => x =

B(m )

A(m ) _{(kh«ng chøa tham sè), kÕt luËn}

ngay đây là nghiệm chung của hai phơng trình. Thay nghiệm
chung đó vào một trong hai phơng trình ta rút ra giá trị của m

 KÕt ln: øng víi gi¸ trị m nào thì hai phơng trình có nghiệm
chung, nghiệm chung là gì ?

*) C ỏ ch 2 : Chỉ thực hiện cách giải này ở một số bài tốn đơn giản
Từ hai phơng trình

2

ax bx c 0 _{=> m = A(x)}

2

a ' x b ' xc '0 _{=> m = B(x)}

Ta có: A(x) = B(x). Giải phơng trình này ta đợc nghiệm chung của
hai phơng trình, sau đó thay nghiệm chung đó vào một trong hai phơng
trình ta tìm đợc giá trị của tham số m, nếu cần thiết thử lại để kiểm tra
C

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

Từ một trong hai phơng trình ta rút m theo x và thế vào phơng
trình kia, đợc phơng trình ẩn x; từ phơng trình này ta tìm đợc nghiệm
chung, sau đó tìm m = ?

<b>D¹ng 21: Chứng minh trong hai phơng trình bậc hai một ẩn có</b>
<b>ít nhất một phơng trình có nghiệm </b>

Cho hai phng trình ax2 bx c 0 (a0) và a ' x2 b ' xc '0 (a '0 )
Trong đó a, b, c,a ', b ', c ' chứa tham số

Chøng minh ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm
Ph

ơ ng ph á p :
C

¸ ch 1 : Gäi 1,2_{lÇn lợt là biệt thức cđa hai ph¬ng trình. Ta cần}
chứng minh

+)  1 2 0_=>1 0_hc2 0_hc1,2 0
+)   1. 2 0_=>1 0_hoặc2 0

Vậy ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm
C

á ch 2 : Chøng minh b»ng ph¶n chøng

Giả sử cả hai phơng trình đều vơ nghiệm. Khi đó  1 0, 2 0
Ta lập luận dẫn đến điều vô lí => phải có ít nhất một trong hai
biệt thức khơng âm. Vậy có ít nhất một trong hai phơng trình trên
có nghiệm

<b>Dạng 22: Tìm giá trị của tham số để hai phơng trình tơng đơng</b>
- Lí thuyết chung: Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có
cùng một tập nghiệm

*) D¹ng 22.1: Hai phơng trình bậc nhất

Tỡm nghim ca hai phng trỡnh theo tham số và cho hai nghiệm
bằng nhau, từ đó tìm đợc giá trị của tham số để hai phơng trình tng
-ng

*) Dạng 22.2: Hai phơng trình bậc hai một ẩn
Xét hai trờng hợp

Trờng hợp1: Hai phơng trình cã nghiƯm chung

Trớc hết tìm giá trị của tham số để hai phơng trình có nghiệm

chung sau đó thay giá trị của tham số vào hai phơng trình và
tìm tập nghiệm của chúng. Nếu tập nghiệm bằng nhau thì hai
phơng trình tơng đơng => giá trị của tham số

 Trêng hợp 2: Hai phơng trình cùng vô nghiệm <=>
1
2

0
0

=> Giá trị của tham số

Đặc biệt: Nếu nhận thấy một trong hai phơng trình có hai nghiệm
( 1 0 hc  2 0₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

<b>trình.</b>

Cho phơng trình ax2_{+ bx + c = 0 (a}__{0) cã mét nghiƯm x = x1.}
C

¸ ch gi ¶ i:

 Bíc1: Thay x = x1 vào phơng trình ax12_{+ bx1 + c = 0.}

Bớc 2: Giải phơng trình có ẩn là tham số.

<b>23.2: Tìm giá trị của tham số khi biết hai nghiệm của phơng trình.</b>

Cho phơng trình ax2_{+ bx + c = 0}(1)_(a__{0) cã hai nghiƯm x = x1; x = x2.}
C

¸ ch 1:

 Bíc 1: Thay x = x1; x = x2 vào phơng trình (1) ta có hệ phơng tr×nh:

   


  


2
1 1
2
2 2

ax bx c 0

ax bx c 0

Bớc 2: Giải hệ phơng trình có ẩn là tham số.

C

á ch 2:

 Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm.

 Bíc 2: Theo Vi - Ðt



 



 _


1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a

 Bớc 3: Thay x = x1; x = x2 vào hệ và giải ta đợc giá trị của tham số.
<b>Dạng 24: Xác định giá trị tham số để tam thức bậc hai luôn</b>
<b>luôn dơng hoặc luôn luôn âm với mọi x</b>

Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2 bxc (a0 )

f(x) =









2

2 2

2

2 2

b c b b 4ac b

a( x x ) a x a x

a a 2a _4a 2a _4a

 _   _ 

   _   _  _   _

   

   

+) NÕu  0_=>





2
2

b
x
2a _4a

 

> 0. Khi đó f(x) cùng dấu với hệ số
a, ta có các trờng hợp sau

 f(x) > 0, x_<=>

a 0
0



 


 f(x) < 0, x_<=>

a 0
0



 


 f(x) ≥ 0, x_<=>

a 0
0



 


 f(x) ≤ 0, x_<=>

a 0
0



 

+) NÕu
2
b
0 f ( x ) a( x )

2a
    

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

=> f(x) cïng dÊu víi hƯ sè a, trõ trêng hỵp x =

b
2a



Khi x =

b
2a

thì f(x) = 0

VII Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, lập hệ phơng trình.

Lí thuyết chung

<b>1. Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình </b>
B

í c 1: LËp ph¬ng tr×nh.

- Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn số;

- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đ<b>ã</b> biết;
- Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.

B

í c 2: Gi¶i phơng trình.
B

ớ c 3: Tr¶ lêi: KiĨm tra xem trong c¸c nghiƯm cđa ph¬ng trình,

nghiệm nào thoả m<b>Ã</b>n ®iỊu kiƯn cđa Èn, nghiệm nào không rồi kết
luận.

<b>2. Các bớc giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình </b>
B

ớ c 1: Lập hệ phơng trình.

- Chn hai n s và xác định điều kiện thích hợp cho chúng;

- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo các ẩn và các đại lợng đ<b>ã</b> biết;
- Lập hai phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.

B

ớ c 2: Giải hệ hai phơng trình nãi trªn .
B

í c 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phơng trình,
nghiệm nào thoả m<b>·</b>n ®iỊu kiƯn cđa ẩn, nghiệm nào không rồi kết
luận.

Phân dạng bài tập chi tiết

<b>Dng 1: Toán chuyển động</b>
- Ba đại lợng: S, v, t

- Quan hÖ: S = vt; t =

S

v _{; v =}
S

t _{(dùng cơng thức S = v.t từ đó tỡm}

mối quan hệ giữa S , v và t)
- Chú ý bài toán canô :

Vxuôi dòng = Vthực + Vnớc ; Vngợc dòng = Vthực Vníc

*) Tốn đi gặp nhau cần chú ý đến tổng qu<b>ã</b>ng đờng và thời gian bắt
đầu khởi hành.

*) Toán đuổi kịp nhau chú ý đến vận tốc hơn kém và qu<b>ã</b>ng đờng đi c
cho n khi ui kp nhau

<b>Dạng 2: Toán về quan hệ giữa các số</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

+ Qui c: Cả cơng việc là 1 đơn vị.

+ Tìm trong 1 đv thời gian đối tợng tham gia bài toán thực hiện đợc
bao nhiêu phần công việc.

+ Công thức: Phần công việc =

1
Thời gian

+ Số lợng công việc = Thời gian . Năng suất.
*) Bài toán năng suất:

+ Gm ba i lợng: Tổng sản phẩm ; năng suất; thời gian
+ Quan hệ: Tổng sản phẩm = Năng suất . Thời gian;

=> Thời gian =

Tổng sản phẩm

Năng suất _{; Năng suất =}

Tổng sản phẩm
Thời gian _.

<b>Dạng 4: Toán diện tích</b>

<b>Dạng 5: Toán có quan hệ hình học</b>
<b>Dạng 6: Toán có nội dung lí, hóa</b>

<b>Dạng 7: Toán dân số, toán phần trăm</b>

Thay giaựo : Phaùm Văn Hiệu

<i>*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đờng link này - </i>

Ghi chó

Nếu muốn tham khảo các bài tập của từng phần, từng dạng. Xin

mời các quý thầy cô và các em học sinh h y truy cập vào website của

<b>ã</b>

Quang Hiệu theo địa chỉ:

Tài liệu này đợc viết với rất nhiều tâm huyết, chắc chắn có những

sai sót khơng mong muốn. Vậy Quang Hiệu rất mong đợc sự góp ý của

các đồng chí l nh đạo, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh trên

<b>ã</b>

mọi miền tổ quốc để cho tài liệu này đợc hồn thiện hơn, góp phần nhỏ

bé nâng cao chất lợng giảng dạy và học tập do Bộ giáo dục và Đào tạo

phát động.

<i>Quang Hiệu rất hân hạnh đợc phục vụ quý thầy cô và các em</i>

<i>học sinh trên mọi miền tổ quốc !</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59></div>

<!--links-->
kinh te chau phi

• 9
• 777
• 2