Bộ mơn Tốn Ứng dụng
------------------------------------------------------------------------------------

Hàm phức và biến đổi Laplace

Chương 2:

Biến đổi Laplace ngược


Nội dung
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.1 – Biến đổi Laplace ngược.
0.2 – Tính chất của biến đổi Laplace ngược.

2


0.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Xét phương trình vi phân cấp hai
y ''  y  t ; y (0)  0; y ' (0)  1.
Áp dụng biến đổi Laplace phương trình trên ta được
L {y '' - y} L {-t}
sử dụng các tính chất của phép biến đổi Laplace xuôi
� L {y ''}- L {y} L {-t}
1
� s Y (s)  1Y (s)   2
s

1
1
� Y (s)  2 � L {y (t )} 2  L {}
t
s
s
2

Vậy nghiệm của phương trình vi phân là

y (t )  t .

3


0.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa biến đổi Laplace ngược
Biến đổi Laplace ngược của hàm F (s) là một hàm f (t ) liên
tục trên [0,+�) và thỏa
L{f (t )}  F ( s )
Ký hiệu phép biến đổi Laplace ngược là
f (t )  L1{F }
�

L{f (t )}  �f (t )e  st dt F ( s )
0

L1{F ( s )}  f (t )


4


0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược

----------------------------------------------------------------Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
2
F ( s)  3
s
Giải
Dựa vào các biến đổi Laplace xuôi cơ bản ta thấy
2!
f (t )  t � L {f (t )} 3
s
Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là
2

L 1{F (s)} t 2
5


0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược

----------------------------------------------------------------Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
2
F (s) 
( s  5)3

Giải

2!
f (t )  t � L {f (t )} 3
s
Sử dụng tính chất dời theo s, ta có
2!
5t
L {e f (t )}
(s  5)3
Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là
2

L 1{F (s)} e5tt 2

6


0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược

----------------------------------------------------------------Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
3
F (s)  2
s 9
Giải
Dựa vào các biến đổi Laplace xuôi cơ bản ta thấy
3
f (t )  sin3t � L {f (t )} 2
s 9

Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là
L 1{F (s)} sin3t
7


0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược

----------------------------------------------------------------Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
s 1
F ( s)  2
s  2s  5
Giải
s 1
s 1

2
s  2s  5 (s  1)2  4
Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là
L 1{F (s)} etcos2t
8


0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Tính tuyến tính

Giả sử các biến đổi Laplace ngược L 1{F1(s)}; L 1{F2(s)}
tồn tại và liên tục

trên
và c là hằng số. Khi
[0,+
�)
đó
1. L 1{F1(s)  F2(s)}=L 1{F1(s)}+L 1{F2(s)}
2. L -1{cF1(s)} cL -1{F1(s)}

9


0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
----------------------------------------------------------------Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
5
6s
3
F ( s) 
 2
 2
s  6 s  9 2 s  8s  10
Giải
1
s
3 1
1
1
L {F ( s )}  5 L {
}  6L { 2
} L { 2

}
s6
s 9 2
s  4s  5
3 -2t
1
6t
L {F (s)} 5e  6cos3t  e sint
2
1

1

10


0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
----------------------------------------------------------------Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
3s  2
F (s)  2
s  2 s  10
Giải
3s  2
3( s  1)  1
3( s  1)
1




2
2
2
s  2 s  10 ( s  1)  9 ( s  1)  9 ( s  1) 2  9
1 -t
L {F (s)} 3e cos3t  e sin3t
3
1

t

11


0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Tính chất dời theo s

L 1{F (s  a)  e-at L 1{F (s)}
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
s
F (s)  2
s  4 s  13
s
s22
s2
2




2
2
2
2
s  4s  13 ( s  2)  9 ( s  2)  3 ( s  2) 2  32
1

L {F (s)} e

-2t

2 -2t
cos3t - e sin3t
3

12


0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Tính chất dời theo t

L 1{e-asF (s)} f (t  a)u(t  a)
Qui tắc để tìm Laplace ngược của hàm có chứa eas
1. bỏ thừa số eas
2. Tìm Laplace ngược của hàm cịn lại.
3. Dời hàm theo t vừa tìm được về phía phải a đơn vị, sau đó

ngắt bỏ phía trái nếu a>0.
13


0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
----------------------------------------------------------------Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
s
5 s
F (s)  e
s2  9
Giải
s
L { 2 }  cosh 3t
s -9
-1

-1

L {e

5 s

s
}  cosh 3(t  5) �
u (t  5)
2
s -9
14



0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
----------------------------------------------------------------Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
8e 3s
F (s)  2
s 4
Giải
8
L { 2 }  4sin 2t
s 4
-1

-1

L {e

3 s

8
}  4sin 2(t  3) �
u (t  3)
2
s 4
15


0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
----------------------------------------------------------------Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm

e2 s s
F (s)  2
s  3s  2
Giải
s
2
1
s
-1
2t
t


�
L
{
}

2
e

e
s 2  3s  2 s  2 s  1
s 2  3s  2
-1

� L {e

2 s






s
2( t  2 )
t 2
}

2
e

e
u (t  2)
2
s  3s  2
16


0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Tính chất đổi thang đo

1 1 s
L {F (as)} L {F ( )}; a  0.
a
a
1


5. Biến đổi Laplace ngược của đạo hàm

L 1{F '(s)} t �
L 1{F (s)}

L 1{F (n) (s)} (1)nt n �
L 1{F (s)}
hoặc công thức thường sử dụng

1
(n)
L
{
F
(s)}
1
L {F (s)}
(1)nt n

17


0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trong một số trường hợp để tìm Laplace ngược, ta làm như sau:
1. Tìm đạo hàm cấp n (tùy theo từng bài tốn n =1 hoặc 2, …)
2. Tìm Laplace ngược của đạo hàm ở bước 1.
3. Chia kết quả cho (-1)n.tn


18


0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
----------------------------------------------------------------Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
s 1
F ( s )  ln
s 1
Giải
1
1
F 

s 1 s 1
'

� L-1{F '}  e t  et

-1
'
t
t
L
{
F
(
s
)}
e


e
sinh t
-1
� L {F ( s )} 

2
1
t
t
(1) t
19


0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
----------------------------------------------------------------Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
1
F ( s )  ln(1  2 )
s
Giải
2
1
s �
�
F  2
 2 �  2 �
s ( s  1)
�s s  1 �
'


� L-1{F '}  2(1  cos t )
-1
'
L
{
F
( s)}
1  cost �
�
-1
� L {F ( s )} 
 2�
�
1
t
(1) t
�
�
20


0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
----------------------------------------------------------------Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
s2
s
F ( s)  e ln(
)
s

Giải
s2
1
1
'
G ( s )  ln
�G 

s
s2 s
� L-1{G '}  e 2t  u (t )
2t
u
(
t
)

e
� L-1{G ( s )} 
t
2t  2
1

e
� L-1{F ( s )} 
u (t  1)
t 1

21



0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
----------------------------------------------------------------Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
s2  1
F ( s )  ln
s ( s  1)
Giải
2s
1
1
F  2
 
s 1 s s 1
'

� L-1{F '}  2cos t -1- e-t
t
e
 1  2cos t
-1
� L {F ( s )} 
t

22


0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
----------------------------------------------------------------Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm

s2
F ( s )  ln 2
s 1
Giải
2
1
1
F  

s s 1 s 1
'

� L-1{F '}  2u (t ) - et - e-t
t
t
e

e
2
-1
� L {F ( s )} 
t

23


0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. Biến đổi Laplace ngược của tích phân

1
L
{F (s)}
1
L { �F (x )dx}
t
s
�

Trong một số trường hợp để tìm Laplace ngược, ta làm như sau:
1. Tích phân hàm F(s) từ s đến �
2. Tìm Laplace ngược của tích phân ở bước 1.
3. Nhân kết quả cho t.
24


0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
----------------------------------------------------------------Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
s 1
F ( s)  2
( s  2 s  2) 2
Giải
�

�

x 1
1
1

dx  . 2
�F ( x)dx  � 2
2
2 s  2s  2
s
s ( x  2 x  2)
�

1 t
� L { �F ( x)dx}  e sin t
2
s
-1

t t
� L {F ( s )}  e sin t
2
-1

25