Toán học - Chuyên đề 5: Elip

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ 5 ELIP Các bài toán về elip chủ yếu qui về việc viết phương trình chính tắc của elip, xác định các phần tử của elip (tâm, đỉnh, tiêu cự, độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm…), nhất là xác định phương trình của tiếp tuyến cùng với tọa độ tiếp điểm. Trong mọi trường hợp ta cần nắm vững kiến thức cơ bản sau đây :. . Elip (E) coù tieâu ñieåm treân x′ x Phöông trình chính taéc. (E) :. x2 y2 + =1 a2 b2. a2 > b2 vaø a2 – b2 = c2. . Elip (E) coù tieâu treân y′ y (E) :. ñieåm. x2 y2 + =1 a2 b2. a2 < b2 vaø b2 – a2 = c2. 2c. 2c. Tieâu ñieåm. F1(–c, 0), F2(c, 0). F1(0, –c), F2(0, c). Trục lớn. Treân Ox, daøi 2a. Treân Oy, daøi 2b. Truïc nhoû. Treân Oy, daøi 2b. Treân Ox, daøi 2a. Đỉnh trên trục lớn. A1(–a, 0), A2(a, 0). A1(0, –b), A2(0, b). Ñænh treân truïc nhoû. B1(0, –b), B2(0, b). B1(–a, 0), B2(a, 0). Tiêu cự. Taâm sai Baùn kính qua tieâu Ñieåm cuûa M ∈ (E). e=. c a. e=. ⎧r1 = F1M = a + ex M ⎨ ⎩r2 = F2 M = a − ex M. Đường chuẩn Δ1,2 : x = ±. * Ghi chuù :. 1 Lop6.net. a e. c b. ⎧r1 = F1M = b + ey M ⎨ ⎩r2 = F2 M = b − ey M. Δ1,2 : y = ±. b e.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Trường hợp elip có tâm I( α , β ) hai trục cùng phương với 2 trục tọa độ thì phương trình coù daïng. (x − α) a2. 2. +. ( y − β). 2. b2. =1. JJG Ta dời hệ trục tọa độ xOy đến XIY bằng phép tịnh tiến theo OI để được phương trình daïng chính taéc cuûa elip laø X2 Y2 + 2 = 1 với a2 b. ⎧X = x − α ⎨ ⎩Y = y − β. để suy ra dễ dàng tọa độ các đỉnh và tiêu điểm. . Tiếp tuyến với elip (E) : +. y0y =1 b2. x2 y2 x x + = 1 taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) coù phöông trình 02 2 2 a b a. . Trường hợp không biết tiếp điểm ta áp dụng tính chất :. (Δ) (E) :. : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với elip. x2 y2 + =1 a2 b2. ⇔ a2A2 + b2B2 = C2. Thường ta viết phương trình của ( Δ ) theo hệ số góc ở dạng kx – y + c = 0 và lưu ý trường hợp ( Δ ) ⊥ x′ x tức. (Δ). :x = ±a. . Elip (E) :. x2 y2 + = 1 có 2 tiếp tuyến cùng phương với Oy là a2 b2. x = ± a. Ngoài 2 tiếp tuyến x = ± a, mọi tiếp tuyến khác với ( E) đều có dạng y = kx + m hoặc dạng y = k ( x –x0 ) + y0 nếu tiếp tuyến đi qua ( x0 , y0 ) là điểm nằm ngoài elip. Ví duï1 : Cho elip. (E) :. x2 + 4y2 – 40 = 0. a) Xác định tiêu điểm, hai đỉnh trên trục lớn, 2 đỉnh trên trục nhỏ và tâm sai của (E). b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) tại điểm M0(–2, 3). c) Viết phương trình tiếp tuyến với elip (E) biết nó xuất phát từ điểm M(8, 0).. 2 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> d) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) biết nó vuông góc với đường thẳng (D) : 2x – 3y + 1 = 0, tính tọa độ tiếp điểm. Giaûi a) Tieâu ñieåm, caùc ñænh vaø taâm sai cuûa (E) (E) : x2 + 4y2 – 40 = 0 ⇔. x2 y2 x2 y2 + = 1 coù daïng 2 + 2 = 1 40 10 a b. với. a2 = 40 > b2 = 10. ⇒ c2 = a2 – b2 = 30. ⇒. a = 2 10 ,. c=. b = 10 ,. 30. Vậy elip (E) có trục lớn trên Ox, hai tiêu điểm nằm trên trục lớn là F1(– 30 , 0) , F2( 30 , 0). Hai đỉnh trên trục lớn là A1(–2 10 , 0), A2(2 10 , 0) Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy với 2 đỉnh là B1(0, – 10 ), B2(0, 10 ). Taâm sai cuûa elip (E) laø e =. 30 c 3 = = a 2 2 10. b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) tại M0(–2, 3) 2. 2. Ta coù. x 02 + 4 y 02 – 40 = ( −2 ) + 4 ( 3) – 40 = 0. ⇒. M0(–2, 3) ∈ (E) : x2 + 4y2 – 40 = 0. ⇒ Phương trình tiếp tuyến với (E) tại tiếp điểm M0(–2, 3) sẽ là: x0x + 4y0y – 40 = 0. ⇔ –2x + 12y – 40 = 0. ⇔ x - 6y + 20 = 0 c) Phương trình tiếp tuyến với elip phát xuất từ M(8, 0). (E) có hai tiếp tuyến cùng phương với 0y là: x = ±2 10 .Hai tiếp tuyến này không đi qua M(8,0). Vaäy pt tieáp tuyeán ( Δ ) qua M(8, 0) coù daïng: y= k(x – 8). ⇔ kx – y – 8k = 0. x2 y2 + =1 ( Δ ) tiếp xúc với elip (E) : 40 10 ⇔. 40k2 + 10 = 64k2. 3 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ⇔. k2 =. 10 5 = 24 12. ⇔ k= ±. 5 = ± 2 3. 15 6. Vậy có 2 tiếp tuyến với (E) qua M(8, 0) là : 15 5 x–y–8 =0 6 6. hay. –. 15 5 x–y+8 =0 6 6. ⇔ 15 x – 6y – 8 5 = 0 ⇔. 15 x + 6y – 8 5 = 0. d) Phương trình tiếp tuyến với (E) và vuông góc với (D). ( Δ′ ) ⇒. ⊥ (D) với. ( Δ′) : 3x + 2y + C = 0. ( Δ′) tieáp xuùc (E) : ⇔. (D) : 2x – 3y + 1 = 0. x2 y2 + =1 40 10. 40.9 + 10.4 = C2. ⇔ C2 = 400 ⇔ C = ± 20. Gọi M0(x0, y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến ( Δ′ ) với (E) thì ( Δ′ ) : x0 x y y + 0 =1 40 10. Với C = 20. ⇔ x0x + 4y0y – 40 = 0. ⇒ ( Δ′ ) : 3x + 2y + 20 = 0 ⇒. x0 4y 0 −40 = = 3 2 20. ⎧ x 0 = −6 ⇔⎨ hay M0 (–6, –1) ⎩ y 0 = −1 Với C = –20. ⇒ ( Δ′ ) : 3x + 2y – 20 = 0 ⇒. ⇔. ⎧ x0 = 6 ⎨ ⎩y0 = 1. hay. x0 4y 0 −40 = = 3 2 −20. M0(6, 1).. 4 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ví dụ2 :(ĐH KHỐI D-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C (2; 0) và elíp (E) :. x2 y2 + = 1 . Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với 4 1. nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều Giaûi Giả sử A (a,. 4 − a2 4 − a2 ) ∈ (E) ⇒ B (a, − ) ∈ (E) 2 2. Và điều kiện: –2 < a < 2. Do A,B đối xứng qua Ox nên ta có: ΔCAB đều ⇔ CA2 = AB2 4 − a2 = 4 – a2 ⇔ 7a2 – 16a + 4 = 0 4 ⇔ a = 2 (loại) hay a = 2 7 . Nên tọa độ của A và B là: ⎛2 4 3⎞ ⎛2 4 3⎞ ⎛2 4 3⎞ ⎛2 4 3⎞ A ⎜⎜ , ⎟⎟ vaø B ⎜⎜ , ⎟⎟ hoặc A ⎜⎜ , − ⎟⎟ vaø B ⎜⎜ , − ⎟⎟ 7 ⎠ 7 ⎠ ⎝7 ⎝7 ⎝7 7 ⎠ ⎝7 7 ⎠. ⇔ (a – 2)2 +. Ví duï3 :(ÑH KHOÁI D-2002) : Cho (E) :. x2 y2 + = 1. Cho M di chuyển trên tia 0x, N di chuyển trên tia 0y sao cho đường 16 9. thẳng MN luôn tiếp xúc (E). Tìm tọa độ điểm M, N sao cho độ dài đoạn MN ngắn nhất. Tìm độ dài đoạn ngắn nhất đó. Giaûi M (m, 0) ∈ tia Ox; N (0, n) ∈ tia Oy ⇒ n, m > 0 x2 y2 + = 1. MN : nx + my – n.m = 0 16 9 16 9 (MN) tieáp xuùc (E) ⇔ 2 + 2 = 1 m n. (E) :. Ta coù : MN2 = m2 + n2 .Theo BÑT BCS ta coù Ta coù : 7 =. 4 3 16 9 .m + .n ≤ + 2 2 m n m n. MN nhoû nhaát ⇒. m 2 + n 2 = MN. m2 n2 m n = = ⇔ 4 3 4 3 m n. ⇔ 3m2 = 4n2 vaø m2 + n2 = 49 ⇔ m2 = 28 vaø n2 = 21 Do đó : MN nhỏ nhất ⇔ m = 2 7 và n = 21 (vì m, n>0) ⇒ M ( 2 7 , 0); N (0, 21 ). Khi đó min MN = 7. Ví dụ4 :(ĐH KHỐI D-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho elip (E): x2 y2 + = 1 và đường thẳng dm : mx – y – 1 = 0. 9 4. 5 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> bieät.. a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng dm luôn cắt elip (E) tại hai điểm phân b) Viết phương trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm N (1; −3).. Giaûi a) (E) :. x2 y 2 + =1⇔ 9 4. 4x2 + 9y2 – 36 = 0. (dm) : mx – y – 1 = 0 ⇔ y = mx – 1 Phương trình hoành độ giao điểm của (dm) với (E) : 4x2 + 9(mx – 1)2 – 36 = 0 ⇔ (4 + 9m2)x2 – 18mx – 25 = 0 có Δ' = 81m2 + 25(4 + 9m2) > 0 đúng với mọi m Vaäy (dm) luoân luoân caét (E) taïi 2 ñieåm phaân bieät. b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) qua N(1; −3) 2 tiếp tuyến thẳng đứng của (E) là x = ± 3 ( không qua N ) Goïi Δ laø tieáp tuyeán qua N(1; −3) thì phöông trình Δ coù daïng: y + 3 = k(x – 1) ⇔ kx – y – 3 – k = 0 (Δ) tiếp xúc với (E) ⇔ 9k2 + 4 = (−3 – k)2 = 9 + 6k + k2. 1 ⎡ ⎢ k1 = − 2 ⇔ 8k2 – 6k – 5 = 0 ⇔ ⎢ ⎢k = 5 ⎢⎣ 2 4. Δ1 : x + 2y + 5 = 0; Δ2 : 5x – 4y – 17 = 0. ***. 6 Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>