Một số ứng dụng của BĐT dạng phân thức

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (127.07 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG PHÂN THỨC

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du số 1

Nội dung bất đẳng thức như sau:

Cho t,m,g,h là các số thực thỏa mãn

t ≤ m, g ≤ h và 0<(m+g)(m+h) .
Khi đó ta có:

t+g
m+g≤

t+h

m+h (*)

Chứng minh

Ta có: (¿)❑⇔ t+g
m+g−

t+h

m+h≤0

❑

⇔ (t+g)(m+h)−(t+h)(m+g)

(m+g)(m+h) ≤0

❑

⇔ th+mg−mh−tg

(m+g)(m+h) ≤0

❑

⇔ (m−t)(g−h)

(m+g)(m+h)≤0 (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t=m

hoặc g=h

Sau đây là một số ứng dụng của bất đẳng
thức (*). Đặc biệt việc kiểm tra điều kiện

0<(m+g)(m+h) trong các thí dụ xin
dành cho bạn đọc.

Ứng dụng 1: Chứng minh bất đẳng thức
Thí dụ 1. Cho x,y,z là các số thực dương.
Chứng minh

3x3

+x y2
3x2+2xy+3y2+

3y3

+y z2
3y2+2yz+3z2+

3z3

+zx2
3z2+2zx+3x2≥

x2

+y2
2x+2y+

y2

+z2
2y+2z+

z2

+x2
2z+2x
Lời giải

Ta có: (x−y)2

≥0❑⇒ x2+y2≥2xy

Áp dụng BĐT(*) với

t=2x2<m=2x2+2xy+2y2

và g=2xy ≤h=x2+y2
có:

3x2

+y2
3x2

+2xy+3y2=

2x2

+x2+y2
2x2

+2xy+2y2+x2+y2
≥ 2x2+2xy

2x2

+2xy+2y2+2xy=

2x(x+y)
2(x+y)2=

x
x+y

Vậy có 3x

+y2
3x2+2xy+3y2≥

x
x+y

Nhân hai vế với x ta được

3x3+xy2
3x2

+2xy+3y2≥
x2
x+y (1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y

Tương tự ta có

3y3+yz2
3y2

+2yz+3z2≥

y2

y+z (2)
3z3

+zx2
3z2+2zx+3x2≥

z2

z+x (3)

Cộng vế với vế (1),(2) và (3) ta được:

3x3+x y2
3x2

+2xy+3y2+

3y3+y z2
3y2

+2yz+3z2+¿
3z3+zx2

3z2+2zx+3x2≥ P (4)

Với P= x

x+y+
y2

y+z+
z2

z+x

Xét Q= y

x+y+
z2
y+z+

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

P−Q=x

−y2
x+y +

y2−z2
y+z +

z2−x2

z+x =x−y+y−z+z−x=0

P+Q=x

+y2
x+y +

y2+z2

y+z +
z2

+x2
z+x

Suy ra

P=Q= x

+y2
2x+2y+

y2+z2
2y+2z+

z2+x2

2z+2x (5)

Từ (4),(5) suy ra

3x3+x y2
3x2

+2xy+3y2+

3y3+y z2
3y2

+2yz+3z2+

3z3+zx2
3z2

+2zx+3x2
≥ x

+y2
2x+2y+

y2

+z2
2y+2z+

z2+x2

2z+2x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
Thí dụ 2. Cho a,b,c là các số thực không
âm.Chứng minh

√

a(2+3bc)
2+a2

+2bc+

√

b(2+3ca)
2+b2+2ca+

√

c(2+3ab)

2+c2+2ab≤

√

3(a+b+c)

(1)

Lời giải

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng

x1y1+x2y2+x3y3≤

√

(

x12+x22+x32

)(

y12+y22+y32

)

ta được:

VT(1)=

√

a .

√

2+3bc

2+a2+2bc

√

b .

√

2+3ca
2+b2

+2ca+

√

c .

√

2+3ab
2+c2+2ab
≤

√

(a+b+c). H (3)

Với

H= 2+3bc
2+a2

+2bc+

2+3ca
2+b2+2ca+

2+3ab
2+c2+2ab

Ta có 2+2a+23bc

+2bc=

3
2.

4+6bc
6+3a2+6bc

Do (b−c)2≥0
❑⇒6bc ≤3

(

b2+c2

)

Lại có 4<6+3a2

Áp dụng BĐT(*) với t=4;m=6+3a2 và
g=6bc ;h=3(b2

+c2)

Ta được

4+6bc
6+3a2+6bc≤

4+3b2+3c2
6+3a2+3b2+3c2
❑

⇒

2+3bc
2+a2+2bc≤

4+3b2+3c2

4+2a2+2b2+2c2 (3)

Tương tự

2+3ca
2+b2+2ca≤

4+3c2+3a2

4+2a2+2b2+2c2

(4)
2+3ab

2+c2+2ab≤

4+3a2+3b2

4+2a2+2b2+2c2 (5)

Cộng vế với vế (3),(4),(5) được

H ≤12+6a2+6b2+6c2

4+2a2+2b2+2c2 =3 (6)

Từ (2) và (6) suy ra

VT(1)≤

√

3(a+b+c) (đpcm)

Ứng dụng 2: Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ 
nhất

Thí dụ 3. Cho x,y,z là các số thực dương
thỏa mãn 0≤ a , b , c ≤1 .Tìm giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của biểu thức

P= 5+a
7+b+c+

5+b
7+c+a+

5+c
7+a+c
Lời giải

Áp dụng BĐT(*)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

ta được: 6+b+4+a+c+aa≤6+4+b+ca++11 (1)
Với t2=5+a<7+b+c=m2 và

g2=0≤ a=h2

ta được : 75+b+a++c+00≤75+b+a+a+c+a (2)
Từ (1) và (2) ta có

4+2a
6+a+b+c≤

5+a
7+b+c≤

5+2a

7+a+b+c

(3)

4+2b

6+a+b+c≤
5+b
7+c+a≤

5+2b

7+a+b+c

(4)

4+2c

6+a+b+c≤
5+c
7+a+b≤

5+2c

7+a+b+c

(5)

Cộng vế vế (3),(4),(5) ta được:

2≤ P ≤15+2(a+b+c)
7+a+b+c

Do a , b , c ≥0 nên có: a+b+c ≥0 suy
ra

15+2(a+b+c)
7+a+b+c

¿2+ 1

7+a+b+c≤2+
1
7

Vậy MaxP=157 ❑⇔ a=b=c=0

MinP=2❑

⇔a=b=c=1

Ứng dụng 4: So sánh các số
Thí dụ 4. So sánh 2 số 1066 và

L= 2

+1
22+3.2+4.

32+1
32+3.3+4…

982+1
982+3.98+4
Lời giải

Với k ≥2 thì

t=k2−1<k2+3k+2=m

Áp dụng BĐT(*) với g=0<2=h ta

được: k

+1
k2+3.k+4=

k2−1+2
k2+3.k+2+2

¿ k

−1+0
k2+3.k+2+0=

k−1
k+2 (1)

Thay k lần lượt bằng 2,3,..,98 vào (1) rồi
nhân vế với vế các BĐT đó lại được

L>1
4.

2
5.

3
6….

97
100=

1.2 .3
98.99.100>

6
106

Ngoài ra sử dụng BĐT(*) với

t=k2

<k2+3k+3=m và g=1<k=h ta
có

k2+1

k2+3.k+4=

k2+1
k2+3.k+3+1

¿ k

+k
k2

+3.k+3+k=
k
k+3

Suy ra

L<2
5.

3
6.

4
7… .

98
101=

2.3 .4
99.100 .101=

2
83325
Ứng dụng 5: Giải phương trình,hệ 
phương trình

Thí dụ 5. Giải phương trình

x2+6+14

√

x−1
x2+x+7+14

√

x−1=

2x2+2x+4

x2+7x (1)
Lời giải

Điều kiện: x ≥1 suy ra

x2+6¿x2+x+7
Mà 14

√

x−1≤7x

❑

⇔4(x−1)≤ x

❑

⇔0≤(x−2)

(luôn đúng)
Áp dụng BĐT(*) với

t=x2+6; m=x2+x+7

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

VT(1)≤ x

+6+7x
x2+x+7+7x

¿(x+1) (x+6)

(x+1) (x+7)=
x+6
x+7 (2)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=2
Ta lại có: xx++67≤2x

+2x+4
x2

+7x (3)

Thật vậy

(3)❑

⇔(x+6)x ≤2x

+2x+4

❑

⇔0≤(x−2)

(luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=2

Từ (2),(3) suy ra VT(1)≤ VP(1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=2
Vậy PT(1) có đúng 1 nghiệm x=2

Thí dụ 6. Giải hệ phương trình

{

x2+y2+z2=1

(

3+42yz−+42yzx2+x4

)

(

1−8x

z2+16z4
1+8x4z2+16z4

)

Lời giải

Dễ thấy z=0 không thỏa mãn hệ PT đã

cho. Xét z ≠0

Do x2+y2+z2=1 nên PT thứ hai của hệ

PT đã cho trở thành:

(

2x2+2(y+z)2

1+x4+2(y+z)2

)

(

1
8z2+2z

−x4
1

8z2+2z

+x4

)

¿1 (1)

(

x2

−1

)

2≥0 suy ra

t1=2x
2

≤1+x4=m1

Mà h1=2(y+z)2≥0=g1

Áp dụng BĐT(*) được:

2x2+2(y+z)2
1+x4+2(y+z)2≥

2x2

1+x4≥0(2)

Do x4≥0 nên t2=−x4≤ x4=m2

Áp dụng BĐT Cơsi ta có

h2= 1
8z2+2z

2≥2

√

81z2.2z
2

=1=g2

Áp dụng BĐT(*) được:

1
8z2+2z

−x4
1

8z2+2z

+x4

≥1−x

1+x4(3)

Do x2

=1−y2−z2≤1 suy ra x4≤1

Vì thế 1−x

1+x4≥0
Từ (2) và (3) suy ra

VT(1)≥

(

2x

1+x4

)

(

1−x

1+x4

)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

{

x2+y2+z2=1
2x2

=1+x4ho cặ 2(y+z)2≥0
−x4≤ x4ho cặ 1

8z2=2z

(I)

Hệ PT (I) có 6 nghiệm (x;y;z) là

(

0;

√

2
2 ;

−

√

)

,

(

0;
−

√

2 ;

√

2
2

)

,

(

√

2
2 ;

1
2;

−1
2

)

,

(

√

2
2 ;

−1
2 ;

1
2

)

,

(

−

√

2
2 ;

1
2;

−1
2

)

,

(

−

√

2
2 ;

−1
2 ;

1
2

)

và đó cũng là tất cả các nghiệm của hệ PT
đã cho.

Chú ý: Nếu t ≥ m, g ≤ h và

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

t+g
m+g≥

t+h

m+h . Các ứng dụng của bất

đẳng thức này cũng tương tự BĐT(*).

Bài tập

Bài 1. Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn

x2+y2+z2=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x2(1

−yz)
(y−z)2+

√

1+3x2

+ y

(1−zx)
(z−x)2+

√

1+3y2

+ z

(1−xy)
(x−y)2+

√

1+3z2
Bài 2. Cho x , y , z ≥0 và x+y+z=1 .

Chứng minh

x5

+yz
x3+y+z+

y5

+zx
y3+z+x
+z5+xy

z3+x+y≤1+xy+yz+zx
Bài 3. Cho

P= 2.1+1
13+12+1+

2.2+1

23+22+1+…+

2.n+1
n3+n2+1

Chứng minh: n+2n1≤ P<n+3n1

Bài 4. So sánh 2 số 12 và

1
23−2−1+

33−3−1+…+
1

993−99−1

Bài 5. Giải phương trình

x2

−x+1+

√

2x4+2
3x2

+2x+3+

√

2x4+2
=−x

+5x+2
2x2+6x+12
Bài 6. Tìm các số thực dương x,y,z thỏa
mãn:

{

x+(y−8z)2 xyz=1
x+y+(y−8z)2+

y2z+(z−x)2
1+y2z+(z−x)2=1
Bài 7. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa

mãn 1

a+
1
b+

c=1 .Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

a2+b2+2a
(a+1)2+(b+1)2+

b2+c2+2b
(b+1)2+(c+1)2+

c2+a2+2c
(c+1)2+(a+1)2
Bài 8. Giải hệ phương trình

{

x4+y4+z4=2
1+x4

√

2x8+2y8+

1+y4
7+

√

2x8+2y8=

</div>

Một số ứng dụng của BĐT dạng phân thức

√

√

√

√

√

(

)(

)

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

(

)

<sub>√</sub>

(3)

(4)

(5)

√

<sub>√</sub>

√

{

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

√

(

)

(

)

{

(

√

√

)

,

(

√

√

)

,

(

√

)

,

(

√

)

,

(

√

)

,

(

√

)

√

√

√

√

√

{

{

√

√

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về