Các bài Luyện tập

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (137.73 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHỦ ĐỀ : Hàm số liên tục & CHỨNG MINH PHƯƠNG

TRÌNH CĨ NGHIỆM TRÊN KHOẢNG (a;b)

1. Hàm số liên tục tại một điểm:y = f(x) liên tục tại x0 0 0
lim ( ) ( )

x x f x f x


LOẠI 1 LOẠI 2

DẠNG 1:

 

1 0

2 0

,
( )

f x x x

f x

f x x x












DẠNG 2 :

 

1 0

2 0

,
( )

f x x x

f x

f x x x












(*) các dạng khác có dấu(



   ; ; ;



PHƯƠNG PHÁP

Tìm tập xác định
 Tính f(x0).

Tính 0

lim ( )

x x f x
So saùnh 0

lim ( )

x x f x với f(x
0)

+ Nếu 

 

0 0

lim ( ) ( )

x x f x f x hàm số liên tục tại x
0

+ Nếu 

 

0 0

lim ( ) ( )

x x f x f x hàm số gián đoạn
( không liên tục) tại x0

PHƯƠNG PHÁP
Tìm tập xác định
 Tính f(x0).

Tính  

 0  0
lim ( ), lim ( )

x x f x x x f x

So saùnh  

 0  0
lim ( ), lim ( )

x x f x x x f x với f(x
0)

+ Nếu

 

      

0 0

0 x xlim ( ) x xlim ( )

f x f x f x

hàm số
liên tục tại x0

+ Nếu

 

 

 

  

0 0

0 x xlim ( ) x xlim ( )

f x f x f x

hàm số

gián đoạn ( không liên tục) tại x

Lưu ý:

Hàm số gián đoạn khi 1 trong 3 giá trị

 

 0  0
lim ( ), lim ( )

x x f x x x f x , f(x

0) không bằng nhau

2.  Hàm số đa thức

 

1 ... 0

n n

f x a x a x  a



    liên tục trên R.

 Hàm số phân thức

 

1 0

...
...

n n

m m

a x a x a

f x

b x b x b




  



   , các hàm số lượng giác liên tục trên từng

khoảng xác định của chúng.

3. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:

 Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.

 Hàm số y =

( )

( )
f x

g x liên tục tại x0 neáu g(x0)  0.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

4. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) =

0.

Chứng minh phương trình có nghiệm trên (a;b)

+ Đặt f(x)=……….

+ ChỈ ra y = f(x) liên tục trên [a; b]

+ Tính f(a, f(b) f(a). f(b)< 0

  c



a b;



sao cho f c( ) 0 ( hay c là nghiệm phương trình f(x) = 0)

Thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c (a; b).

Bài tập:

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:

3 1

( ) 1 1

1 1

x khi x

f x x taïi x

khi x

 

 

  

 

 b)

3 2 1

( ) 1

1 1

x khi x

x

f x taïi x

khi x

  




 

 

 




   

 

   

 



2 3

2 7 5 2

( ) 3 2 2

1 2

x x x khi x

f x x x taïi x

khi x d)







   

   

 2

5 5

( ) 2 1 3 5

( 5) 3 5

x khi x

f x x taïi x

x khi x

1 cos 0

( ) 0

1 0

x khi x

f x taïi x

x khi x

  

 

 

 f)

1 1

( ) 2 1 1

2 1

x khi x

f x x taïi x

x khi x

 




   

 



2
2

4 3

( ) 1

1 1

x x

khi x

f x x

khi x

  




 

 

 h)

2 4 2

( ) 2

2
7 3

x x khi x

f x x

khi x
x

   


 




 


3 2 2 2

( ) 1

4 1

x x x

khi x

f x x

khi x
   




 

 



Bài 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:

2 1

( ) 1

2x 3 khi x 1

f x taïi x

mx khi x

 

 

 

 b)

3 2 2 2

( ) 1 1

3 1

x x x khi x

f x x taïi x

x m khi x

   

 

  

  



2 6 0

( ) 0, 3 0 3

( 3)

m khi x
x x

f x khi x x tại x và x
x x

n khi x

 



  

    









</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2 2

( ) 2 2

x x khi x

f x x taïi x

m khi x

  
 
  
 

e)
2
2
1
1

( ) 1

x

khi x

f x x

m x khi x

 




 

 

 taïi x = 1 f)

2 2

( )

3 2

mx khi x

f x

khi x

 





 taïi x = 2

g)
4
2

2
1
1

( ) 1

x

khi x

f x x

m x khi x

 




 

 

 tại x = 1

Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

3
3
2 1
1
( )
4 1
3

x x khi x
x
f x
khi x
  





 

 b)

2 3 4 2

( ) 5 2

2 1 2

x x khi x

f x khi x

x khi x

   


 
  

c)
2 4
2

( ) 2

4 2

x khi x

f x x

khi x
 
 
 
 
 d) 
2 2
2

( ) 2

2 2 2

x khi x

f x x

khi x
 


 




Bài 4: Tìm các giá trị của mđể các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:

2 2

( ) 2

x x khi x

f x x

m khi x

  
 
 
 
 b) 
2 1

( ) 2 1

1 1

x x khi x

f x khi x

mx khi x

  


 
  

c)

   
 
 
  


3 2 2 2

( ) 1

3 1

x x x khi x

f x x

x m khi x d)

2 1

( )

2x 3 khi x 1

f x

mx khi x

 

 

f)
2 6
3

( ) ( 3)

2 3

x x

khi x

f x x x

mx khi x

  


 
 

g)

33 2 2

2
2
( )
1
2
4
x
khi x
x
f x

mx khi x

  


 

  

 h)
2

4 1 2

( )

2 2

x khi x

f x

m khi x

  

 

i)
2 2
( )

(1 ) 2

ax khi x

f x

a x khi x

 

 
 k) 
2
2
3 2
2

( ) 2

1 2

x x

khi x

f x x x

mx m khi x

  


 
   


Bài 5: Chứng minh rằng các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a) x3 3x 1 0 b) x36x29x 1 0 c) 2x6 13  x 3
Bài 6: Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm:

a) x5  3x 3 0 b) x5  x 1 0 c) x4x3  3x2   x 1 0 d) x4 – 3x + 1 = 0
Bài 7: Chứng minh rằng phương trình: x5  5x34x 1 0 có 2 nghiệm trên (–2; 2).
Bài 8: Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm với mọi giá trị của tham

soá:

a) m x(  1) (3 x 2) 2 x 3 0 b) x4 mx2  2mx 2 0

c) a x b x c(  )(  )b x c x a(  )(  )c x a x b(  )(  ) 0

d) (1 m2)(x1)3x2  x 3 0 e) cosx m cos2x 0

f) m(2 cosx 2) 2sin 5 x1 g) x3 – 3mx2 +4(m-2)x + 1 – m = 0

Bài 9: Chứng minh các phương trình sau ln có nghiệm: