<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>MỘT SỐ PP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHO</b>

<b>THCS </b>

<b> 1) Định nghĩa bất đẳng thức</b>
+ a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b
+ a lớn hơn b , kí hiệu a > b ,

+ a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b,
+ a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b ,
<b> 2) Một số tính chất của bất đẳng thức:</b>

a) Nếu và thì (tính chất bắc cầu)
b) Nếu a>b và c bất kì thì a+c>b+c

<i><b> </b></i> Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất kì
thì bất đẳng thức khơng đổi chiều.

<i> c) Nếu a>b+c thì a-c>b</i>

Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này
sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó.

<i> d) Nếu a>b và c>d thì a+c>b+d</i>

Tức là: Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được
một bất đẳng thức cùng chiều.

<i> <b>Chú ý:</b></i> Không được cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều
<i> e) Nếu a>b và c thì a-c>b-d</i>

<i> Tức là: Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều ta </i>

đượcmột bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

f) Nếu a>b và c>0 thì ac>bc
Nếu a>b và c<0 thì ac
Tức là:

<i> Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dương thfbất đẳng </i>
thức không đổi chiều

<i> Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng </i>
thức đổi chiều.

g) Nếu a>b>0 và c>d>0 thì ac>bd

<i> Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có các vế </i>
đều dương thì ta được một bất đẳng thức cung chiều.

<i><b>Chú ý:</b></i> Không được nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ngược
chiều.

h) Nếu thì

Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dương thì phép lấy
nghịch đảo dổi chiều của bất đẳng thức.

k) Nếu a>b>0 và n nguyên dương thì
Nếu a>b và n nguyên dưong thì
<b>1. Phương pháp sử dụng định nghĩa</b>

Để chứng minh (hoặc ) ta chứng minh (hoặc )

- Lưu ý : A2_{0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .}

<b> - Ví dụ :</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a=b
Giải:

Với mọi a,b không âm Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a=b
<b>2. Phương pháp biến đổi tương đương</b>

- Để chứng minh
ta biến đổi tương đương

trong đó bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng
hoặc là bất đẳng thức đơn giản hơn bất đẳng thức

- Một số hằng đẳng thức thường dùng :
(A+B)2_=A2_+2AB+B2

(A-B)2_=A2_-2AB+B2

(A+B+C)2_=A2_+B2_+C2_+2AB+2AC+2BC

(A+B)3_=A3_+3A2_B+3AB2_+B3

(A-B)3_=A3_-3A2_B+3AB2_-B3

<b>Ví dụ: </b>

Chứng minh rằng thì

Giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>3. Phương pháp quy nạp toán học</b>

<b> - Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1</b>
bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :
+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)

+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0)

<i><b> </b> Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có n số (n N) Thì ta nên </i>
<i>chú ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học <b> </b></i>

<b> - Ví dụ :</b>

<i><b> </b></i> Chứng minh bất đẳng thức Côsi trong trường hợp tổng quát.
Với

thì

Giải:

Dùng phương pháp quy nạp:
+ Với n = 2 đúng.

+ Với n = k đúng cần chứng minh

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-sy:</b>

Với 2 số a,b khơng âm ta có:
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Chứng minh:

Dấu "=" xảy ra khi a=b.

<b> Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-sy (Cauchy):</b>

Cho n là số tự nhiên thì

Dấu "=" xảy ra khi

<b>Ví dụ:Cho a,b,c >0 chứng minh rằng: </b>
<b>Giải:</b>

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-sy cho 3 số dương ta có:

(1)

(2)

Nhân từng vế của (1) và (2) ta được
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
<b> Cách khác:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5. Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Bunhacơpski
Cho a, b, c là số thực thì

hoặc viết

Dấu "=" xảy ra khi
<b>Tổng quát:</b>

Dấu "=" xảy ra khi

<b>Ví dụ: Cho </b> . Chứng minh rằng:

<b>Giải:</b>

<b>6. Phương pháp phản chứng.</b>

<b> - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng ,</b>
ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến
thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý .

Điều vơ lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái
nhược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng .
- Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :

+ Dùng mệnh đề đảo

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

+ Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng .

+ Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau .
+ Phủ định rồi suy ra kết luận .

<b> Ví dụ: Chứng minh rằng khơng có 3 số a,b,c dương cùng thỏa mãn 3 bất </b>
đẳng thức:

<b>Giải:</b>

Giả sử tồn tại cả 3 số dương thỏa mãn bất đẳng thức

Cộng theo từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:

Mà theo bất đẳng thức Cơ-sy thì

Điều này mâu thuẫn với (1) nên không tồn tại 3 số a,b,c dương cùng thỏa
mãn bất đẳng thức trên.

<b>7. Phương pháp làm trội, làm giảm.</b>

Dùng tính chất của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về
dạng để tính tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Giải:</b>

Với số tự nhiên k>1 ta có:

Thay k = 2,3,4 ... n rồi cộng các 2 vế của các bất đẳng thức ta được:

<b>8. Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số:</b>

Để chứng minh b < f(x) < a với mọi x ta đặt y = f(x) <=> y - f(x) = 0 có
nghiệm

<=> b < f(x) < a. Từ đó suy ra đpcm.
<b>Ví dụ: Chứng minh rằng: </b>

<b>Giải: Đặt </b> (*)

(x;y) thỏa mãn (*) khi và chỉ khi phương trình:
có nghiệm

có nghiệm
Với y= 1 thì x = 0

Với y khác 1 thì

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Nếu thì
Nếu thì

Nếu d > 0 và thì

<b>Ví dụ: Cho a,b,c > 0 chứng minh rằng:</b>

Giải: Ta có:

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh.
<b>10. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối.</b>
a/

b/

c/ hoặc

d/ dấu = khi A.B >0

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b> </b>
<b>Giải: Ta có: </b>

<b>BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN </b>
<b>Bài 1: Cho hai số thực.</b>

Chứng minh rằng :

<b>Bài 2: Cho ba số thực </b> . Chứng minh rằng :

<b>Bài 3: Cho 5 số thực </b> .

Cmr :

<b>Bài 4: Cho các số thực dương </b> có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

<b>Bài 5: Cho </b> . Chứng minh rằng :
<b>Bài 6: Cho </b> . Chứng minh rằng :

<b>Bài 7: Cho hai số thực không âm a,b. Chứng minh: </b>

<b>Bài 8: Cho </b> . Chứng minh:

<b>Bài 9: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh </b>
rằng:

.

<b>Bài 10: Cho </b> và . Chứng minh:

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Bài 12: Cho ba số thực dương </b> . Cmr :

<b>Bài 13: Cho a,b,c > 0 và </b> . Cmr :

<b> Híng dÉn gi¶i</b>

<b>Bài 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương, chú ý không dùng bất </b>
đẳng thức Cosi vì bài khơng cho a, b khơng âm.

<b>Bài 2: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa về tổng các bình </b>
phương ln khơng âm.

<b>Bài 3: Cách làm tương tự bài 3.</b>

<b>Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski</b>

<b>Bài 5 : Biến đổi tương đương tạo thành tích của 2 số khơng âm.</b>
<b>Bài 6 : Biến đổi tương đương</b>

Biến đổi tạo thành biểu thức không âm

<b>Bài 7 : Áp dụng bất đẳng thức Cosi 2 phát là xong :</b>

<b>Bài 8: Tương tự bài 7</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Chú ý sử dụng kĩ thuật tách hạng tử:

(p là nửa chu vi )
<b>Bài 10:Biến đổi</b>

lại áp dụng bài 8 là xong.

<b>Bài 11: Áp dụng bất đẳng thức cosi 2 lần cho 3 số.</b>

<b>Bài 12: Cộng hai vế của BĐT với 3 thì BĐT cần chứng minh trở thành</b>

Áp dụng bất đẳng thức của bài 11 là xong !
<b>Bài 13 : BĐT </b>

</div>

<!--links-->