i
..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN
THƠNG
---------------    ---------------

PHẠM QUỐC SƠN

TÌM HIỂU CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET
ỨNG DỤNG TRONG THỦY VÂN BỀN VỮNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Nguyên - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

ii
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN
THƠNG
---------------    ---------------

PHẠM QUỐC SƠN

TÌM HIỂU CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET
ỨNG DỤNG TRONG THỦY VÂN BỀN VỮNG

Chuyên ngành
Mã số

: Khoa học máy tính
: 60 48 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Nguyễn Bá Tƣờng

Thái Nguyên - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

iii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan: Luận văn này là cơng trình nghiên cứu thực sự của cá
nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nguyễn Bá Tường.
Các số liệu, những kết luận nghiên cứu được trình bày trong luận văn này
trung thực và chưa từng được cơng bố dưới bất cứ hình thức nào. Các thơng
tin, tài liệu trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc.
Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình.
Học viên

Phạm Quốc Sơn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>


iv

LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, các thầy cơ
giáo trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên
đã quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, nhiệt tình giảng dạy và hướng dẫn tơi trong
suốt q trình học tập ở trường. Đặc biệt tơi gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới
PGS.TS. Nguyễn Bá Tường và PGS.TS. Phạm Văn Ất đã hướng dẫn, chỉ bảo và
động viên trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp những người đã ln ủng
hộ, hỗ trợ tơi trong suốt q trình thực hiện luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn của tôi không thể tránh khỏi
những thiếu sót, do đó tơi rất mong nhận được những ý kiến đánh giá, bổ sung để
tơi có thể hồn thiện luận văn của mình./.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

v
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ii
MỤC LỤC ................................................................................................................ iii
DANH MỤC VIẾT TẮT .......................................................................................... v
DANH MỤC HÌNH VẼ ........................................................................................... vi
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET .......................... 3
1.1. Phép biến đổi Fourier ........................................................................................ 3

1.1.1. Miền thời gian và miền tần số ...................................................................... 3
1.1.2. Nhược điểm của phép biến đổi Fourier ........................................................ 5
1.2. Phép biến đổi Wavelet liên tục .......................................................................... 7
1.2.1. Hàm Wavelet cơ sở ....................................................................................... 8
1.2.2. Họ các hàm Wavelet ................................................................................... 10
1.2.2.1. Biến đổi Wavelet Haar ............................................................................. 11
1.2.2.1. Biến đổi Wavelet Meeyer ........................................................................ 12
1.2.2.1. Biến đổi Wavelet Daubechies .................................................................. 13
1.3. Một số phép biến đổi Wavelet liên tục ........................................................... 14
1.3.1. Phép biến đổi Morlet................................................................................... 14
1.3.2. Phép biến đổi mũ Mexico ........................................................................... 14
1.4. Một vài ứng dụng trong phép biến đổi Wavelet ............................................ 15
1.4.1. Nén ảnh ....................................................................................................... 15
1.4.2. Trích chọn đặc trưng ................................................................................... 16
1.4.3. Thủy vân số ................................................................................................. 16
CHƢƠNG 2. PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET RỜI RẠC ...................................... 19
2.1. Khái niệm Wavelet rời rạc .............................................................................. 19
2.2. Một số phƣơng pháp biểu diễn Wavelet rời rạc ............................................ 21
2.2.1. Phương pháp biểu diễn bằng bộ lọc ............................................................ 21
2.2.1.1. Khái niệm bộ lọc ...................................................................................... 21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

vi
2.2.1.2. Khái niệm tích chập ................................................................................. 21
2.2.1.3. Lấy mẫu lên và lấy mẫu xuống ................................................................ 21
2.2.1.4. Phép biến đổi wavelet rời rạc và phân tích đa phân giải ......................... 22
2.2.2. Phương pháp biểu diễn trên Ma trận........................................................... 25
2.2.2.1. Biến đổi Wavelet một chiều bằng ............................................................ 25

2.2.2.2. Biến đổi Wavelet hai chiều bằng ma trận ................................................ 26
2.3. Phép biến đổi Wavelet Haar............................................................................ 27
2.4. Phép biến đổi Wavelet Daubechies ................................................................. 29
2.5. Khai triển Wavelet nhiều mức ........................................................................ 30
2.6. Wavelet động .................................................................................................... 31
CHƢƠNG 3. THỦY VÂN BỀN VỮNG TRÊN MIỀN DWT ............................. 37
3.1. Thủy vân số ....................................................................................................... 37
3.2. Khai triển SVD ................................................................................................. 38
3.2.1. Khái niệm về khai triển SVD ...................................................................... 38
3.2.2. Một số tính chất của khai triển SVD .......................................................... 39
3.2.3. Ví dụ minh họa khai triển SVD .................................................................. 40
3.2.4. Thủy vân trên miền SVD ............................................................................ 41
3.3. Khai triển QR ................................................................................................... 45
3.3.1. Phép biến đổi QR ........................................................................................ 45
3.3.2. Xét ví dụ ...................................................................................................... 45
3.4. Lƣợc đồ thủy vân DWT-SVD.......................................................................... 46
3.4.1. Thuật toán nhúng thủy vân DWT- SVD ..................................................... 46
3.4.2. Thuật tốn trích thủy vân DWT- SVD ....................................................... 48
3.4.3. Cài đặt thử nghiệm ...................................................................................... 49
3.4.4. Kết quả nhúng dấu thủy vân ....................................................................... 50
3.4.5. Khảo sát tính bền vững của lược đồ DWT-SVD ........................................ 51
3.4.6. Trích dấu thủy vân trên các ảnh đã tấn công .............................................. 53
3.5. Thủy vân DWT – QR ....................................................................................... 54
3.5.1. Thuật toán thủy vân .................................................................................... 54
3.5.2. Thuật tốn trích thủy vân ............................................................................ 55
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

vii

KẾT LUẬN .............................................................................................................. 56

DANH MỤC VIẾT TẮT
Chữ viết tắt

Diễn giải

Ý nghĩa

DCT

Discrete Cosine Transform

Biến đổi Cosin rời rạc

IDCT

Invert Discrete Cosine Transform

Biến đổi ngược DCT

DFT

Discrete Fourier Transform

Biến đổi Forier rời rạc

IDFT

Invert Discrete Fourier Transform


Biến đổi ngược DFT

DWT

Discrete Wavelet Transform

Biến đổi Wavelet rời rạc

IDWT

Invert Discrete Wavelet Transform

Biến đổi ngược DWT

PN

Pseudo Noise

Giả nhiễu

FFT

Fast fourier transfer

Biến đổi Fourier nhanh

GIS

Geographic Information System


Hệ thống thông tin địa lý

PRNS

Pseudo random number sequence

Dãy số giả ngẫu nhiên

Fourier Transfer

Biến đổi Fourier

FT

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

viii

DANH MỤC HÌNH VẼ
Ý nghĩa

Tên hình
Hình 1.1

Hàm

của biến đổi Haar Wavelet


Hình 1.2

Hàm

của biến đổi Meyer

Hình 1.3
Hình 2.1

Hàm  (t ) của họ biến đổi Daubechies n với n=2, 4, 7, 8
1999 )
Phân tích đa phân giải sử dụng Wavelet rời rạc

Hình 2.2

Miền DWT một chiều

Hình 2.3

Miền DWT hai chiều

Hình 2.4

Ma trận biến đổi Haar cấp 8x8

Hình 2.5

Một khối dữ liệu


Hình 2.6

Kết quả biến đổi Wavelet Haar hai chiều

Hình 2.7

Mơ hình Wavelet 3 mức

Hình 3.1

Kết quả phân tích SVD đối với ma trận A

Hình 3.2

Kết quả phân tích SVD đối với ma trận A của Hình 3.1

Hình 3.3

Kết quả phân tích QR đối với ma trận A

Hình 3.4

Kết quả phân tích QR đối với ma trận A của Hình 3.3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

của ảnh Lena

/>


1
MỞ ĐẦU
Một trong những sự kiện trọng đại của những thập niên cuối thế kỷ 20,
đầu thế kỷ 21 là sự ra đời phát triển của mạng internet. Ngày nay, thông tin
trở lên sẵn sàng kết nối trực tuyến, mọi người đều có thể truy cập internet
để tìm kiếm thơng tin một cách dễ dàng thông qua nhà cung cấp dịch vụ.
Người dùng có thể đọc các thơng tin mới nhất, tra cứu các thư viện số, tìm
thơng tin lĩnh vực mình quan tâm. Bên cạnh đó các nhà cung cấp sản phẩm
cũng sẵn sàng cung cấp dữ liệu của mình cho người dùng thơng qua mạng
internet.
Tuy nhiên, với lượng thơng tin được truyền qua mạng ngày càng nhiều
thì vấn nạn sao chép và sử dụng không hợp pháp dữ liệu số ngày một tăng.
Để hạn chế vấn nạn trên, thủy vân số được xem là một trong những giải
pháp quan trọng.
Thủy vân ảnh là kỹ thuật nhúng thông tin vào dữ liệu ảnh trước khi ảnh
được phân phối trên mơi trường trao đổi khơng an tồn. Việc nhúng thơng
tin vào ảnh sẽ làm giảm chất lượng ảnh, tuy nhiên thông tin đã nhúng sẽ là
dấu vết để nhận biết sự tấn công trái phép, hoặc để xác định thông tin về
chủ sở hữu.
Dựa vào mục đích sử dụng, các lược đồ thủy vân có thể được chia
thành hai nhóm chính: thủy vân dễ vỡ và thủy vân bền vững. Thủy vân dễ
vỡ là những kỹ thuật nhúng tin nhằm phát hiện ra sự biến đổi dù chỉ vài bít
trên dữ liệu số. Do vậy, thủy vân dễ vỡ thường được ứng dụng trong bài
tốn xác thực tính tồn vẹn của dữ liệu trên môi trường trao đổi công khai.
Trái với thủy vân dễ vỡ, thủy vân bền vững yêu cầu dấu thủy vân phải
tồn tại (bền vững) trước những phép tấn công nhằm loại bỏ dấu thủy vân,
hoặc trong trường hợp loại bỏ được dấu thủy vân thì ảnh sau khi bị tấn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


/>

2
cơng cũng khơng cịn giá trị sử dụng. Do vậy, những lược đồ thủy vân bền
vững thường được ứng dụng trong bài toán bảo vệ quyền chủ sở hữu.
T
(Singular Value Decomposition: A  U  D V )

Các phép biến đổi
và

(

) cũng giống như

Decomposition:

,

đều là

các phép biến đổi ma trận trực giao và có cùng một tính chất quan trọng là
tập trung năng lượng ảnh vào một số phần tử cố định của miền biến đổi.
Ngồi ra, có nhiều nghiên cứu sử dụng đồng thời phân tích SVD với các
phép biến đổi ma trận khác như

,

,… để xây dựng các lược đồ


thủy vân. Trong luận văn này tìm hiểu các lược đồ thủy vân đã được đề
xuất trên cơ sở đó cải tiến, phát triển lược đồ thủy vân mới dựa trên phép
biến đổi Wavelet đối với miền không gian ảnh. So với các lược đồ thủy vân
dựa trên phân tích

,

đã được đề xuất thì lược đồ mới bền vững hơn

trước một số phép tấn cơng, biến đổi ảnh, ngồi ra lược đồ mới cịn có
thêm một số ưu điểm là: Số lượng phép tính ít hơn, tính bảo mật cao hơn,
chất lượng ảnh thủy vân tốt hơn.
Luận văn tập trung vào nghiên cứu một số kỹ thuật thủy vân trong ảnh
đã được cơng bố, sau đó mở rộng, phát triển một số lược đồ thủy vân bền
vững ứng dụng phép biến đổi Wavelet trên dữ liệu ảnh số.
Nội dung của luận văn ngoài chương mở đầu, kết luận bao gồm các
chương sau:
Chương 1: Tổng quan về phép biến đổi Wavelet
Chương 2: Phép biến đổi Wavelet rời rạc
Chương 3: Thủy vân bền vững trên miền DWT

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

3

CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET
Phép biến đổi Wavelet có vai trị quan trọng trong xử lý tín hiệu. Nội
dung chính của chương này trình bày một số khái niệm và phép biến đổi

Fourier, Wavelet liên tục làm cơ sở sử dụng trong Chương 2.
1.1. Phép biến đổi Fourier
phép biến đổi Fourier của hàm f là hàm:

Cho hàm

Nếu

, phép biến đổi Fourier ngược của f là f ’.

và

Khi đó

và

Khi phép biến đổi Fourier và phép biến đổi ngược tồn tại ta dùng ký
hiệu:

để chỉ F là phép biến đổi Fourier của ;

là phép biến đổi

Fourier ngược của F.
Nếu

) ta có

=0


Qua phép biến đổi Fourier cho thấy mọi tín hiệu ở miền tần số đều có
thể chuyển về thời gian và ngược lại tín hiệu ở thời gian chuyển về tín hiệu
miền tần số.
1.1.1. Miền thời gian và miền tần số
Miền thời gian ảnh là miền dữ liệu của ảnh gốc, tác động đến miền
khơng gian ảnh chính là tác động trực tiếp đến các điểm ảnh, làm thay đổi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

4
giá trị của điểm ảnh. Đây là phương pháp trực quan được tập trung khai
thác trong quá trình thủy vân trong ảnh, khi nói đến việc thủy vân trong ảnh
chính là nhằm thay đổi giá trị các điểm ảnh gốc. Phương pháp này tập trung
tác động ở những bít ít quan trọng của mỗi điểm ảnh nhằm đảm bảo cho
ảnh được chỉnh sửa có giá trị điểm ảnh gần nguyên gốc nhất.
Tuy nhiên, phương pháp này có nhiều nhược điểm, chẳng hạn như tính
bền vững khơng được đảm bảo với thông tin nhúng dấu thủy vân qua các
thao tác biến đổi ảnh như quay chụp ảnh, nén ảnh, lọc, làm nhiễu... Các tác
tác động đó đơi khi cũng làm sai lệch điểm ảnh dẫn đến các bít ít quan
trọng nhất cũng bị thay đổi.
Phương pháp biến đổi dựa trên miền khơng gian như trình bày ở trên là
cách biến đổi tín hiệu và miền giá trị rời rạc của các điểm ảnh được gọi là
miền biến số độc lập. Trong thực thế phép biến đổi trực tiếp này gặp phải
những khó khăn và hiệu quả khơng cao.
Ngồi phương pháp biến đổi trực tiếp, có dùng phương pháp biến đổi
gián tiếp thông qua các phép biến đổi trực giao làm nhiệm vụ chuyển miền
không gian sang miền biến đổi.
Miền biến đổi hay còn gọi là miền tấn số là miền nhận được khi biển
đổi miền ảnh. Đây là kỹ thuật sử dụng phương pháp biến đổi tương tự như

phép tính tích phân hay phương pháp đổi hệ tọa độ trong tích đề các.
Phương pháp này nhằm chuyển miền không gian sang miền tần số, cụ thể
là biến đổi tín hiệu và miền giá trị rời rạc của các điểm ảnh sang miền mới
và có biến số mới.
Mỗi phép biến đổi có những thuận lợi và khó khăn riên, tùy vào trường
hợp cụ thể để lựa chọn phép biến đổi nào cho phù hợp. Sau khi biến đổi các
tín hiệu và miền giá trị rời rạc trong miền biến số mới này, nếu cần thiết có
thể dùng phép biến đổi ngược lại để đưa ảnh về miền biến số độc lập.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

5
Phương pháp biến đổi gián tiếp làm đơn giản rất nhiều các công việc
gặp phải khi dùng phương pháp biến đổi trực tiếp trong miền biến số độc
lập. Có một số phương pháp biến đổi phổ biến hiện nay như: Fourier, Cosin
rời rạc (DCT), Wavelet ... là những phép biến đổi được sử dụng phố biến
trong các kỹ thuật xử lý dữ liệu đa phương tiện, đặc biệt trong xử lý ảnh số.
Ngồi ra các phép biến đổi này cịn dùng nhiều trong lĩnh vực giấu tin, thủy
vân số.
1.1.2. Nhƣợc điểm của phép biến đổi Fourier
Mọi hàm tuần hoàn chu kỳ

đều có thể khai triển thành chuỗi trong

khơng gian các hàm tuần hồn chu kỳ .
[-T⁄2,T⁄2], ta định nghĩa tích vơ hướng:

Trên


Vì

[-T⁄2,T⁄2] Nên tích vơ hướng trên cũng được áp

[-T⁄2,T⁄2]

dụng cho mọi

[-T⁄2,T⁄2] đặt

Dễ dàng kiểm chứng

tạo thành một cơ sở trực chuẩn trên

T⁄2,T⁄2]

Với các hệ số Fourier:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>
[-


6
Phép biến đổi Fourier là cơng cụ tốn học quan trọng, là cầu nối trong
việc biểu diễn tín hiệu giữa miền khơng gian và miền tần số. Việc biểu diễn
tín hiệu ở miền tần số đơi khi có lợi hơn miền không gian.
Tuy nhiên phép biến đổi Fourier chỉ cung cấp thơng tin có tính tồn cục
và chỉ thích hợp cho những tín hiệu tuần hồn, khơng chứa các đột biến

hoặc thay đổi không được dự báo trước. Biến đổi Fourier là phép biến đổi
thuận nghịch giữa miền không gian và miền tần số và tín hiệu được xử lý.
Tại một thời điểm bất kỳ chỉ tồn tại miền thông tin được thể hiện, nghĩa
là tín hiệu trong miền khơng gian khơng có sự xuất hiện thơng tin về tần số
và tín hiệu, sau biến đổi Fourier khơng xuất hiện thông tin về thời gian.
Fourier cho biết thông tin tần số xuất hiện, cho biết tần số nào có trong
tín hiệu, tuy nhiên nó khơng cho biết tần số đó xuất hiện tại thời điểm nào
trong tín hiệu. Nếu tín hiệu là ổn định (các thành phần của tần số khơng
biến đổi theo thời gian) thì việc xác định tần số xuất hiện khi nào trong tín
hiệu là khơng cần thiết.
Phép biến đổi Fourier cũng có thể áp dụng cho những tín hiệu khơng ổn
định, nếu như chúng ta chỉ quan tâm tới thành phần tần số trong tín hiệu mà
khơng quan tâm đến nó xuất hiện khi nào trong tín hiệu. Tuy nhiên, nếu
thơng tin về thời gian xuất hiện của tần số trong tín hiệu là cần thiết, thì
phép biến đổi FT khơng có khả năng đáp ứng được yêu cầu này, đây cũng
là hạn chế của phép biến đổi này.
Khác với phép biến đổi FT, phép biến đổi Wavelet đáp ứng tốt nhờ tính
địa phương cho cả hai miền không gian và miền tần số, cho phép quan sát
tín hiệu theo hai cách là miền tần số thấp và miền tần số cao. Đồng thời
phép biến đổi Wavelet cho xem xét cụ thể một địa phương cụ thể hoặc tồn cảnh.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

7
1.2. Phép biến đổi Wavelet liên tục
Wavelet (sóng nhỏ) là một phương pháp quan trọng trong việc khắc
phục nhược điểm của phép biến đổi FT trong xử lý tín hiệu, phương pháp
này cho phép thay đổi kích thước và so sánh tín hiệu ở mỗi giai đoạn riêng

biệt. Phương pháp này bắt đầu với sóng nhỏ (Wavelet) chứa các dao động ở
tần số khá thấp, sóng nhỏ này được so sánh với tín hiệu phân tích để có một
bức tranh tồn cục của tín hiệu ở độ phân giải thơ. Sau đó sóng nhỏ được
nén lại để nâng cao dần tần số dao động. Quá trình này làm thay đổi tỉ lệ
phân tích (Scale), khi thực hiện tiếp bước so sánh tín hiệu sẽ được nghiên
cứu chi tiết ở mức độ tần số cao hơn, giúp phát hiện các thành phần biến
thiên nhanh cịn ẩn bên trong tín hiệu.
Trong phép biến đổi Wavelet được chia làm hai nhóm chính là phép
biến đổi Wavelet liên tục và phép ưavelet rời rạc, tùy vào từng bài toán cụ
thể để vận dụng phép biến đổi Wavelet cho phù hợp.
Gọi
Wavelet

, phép biến đổi liên tục của

là tín hiệu

sử dụng hàm

được biểu diễn bởi

Trong đó:
-

là hệ số biến đổi Wavelet liên tục của

đảo của tần số) và
-

với


là tỉ lệ (nghịch

là dịch chuyển đặc trưng vị trí của tần số.

là hàm liên hiệp phức của Wavelet,

được gọi là

Wavelet phân tích.
Phương trình (1.6) cho thấy, phép biến đổi Wavelet là một ánh xạ
chuyển từ hàm một biến

thành hàm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

phụ thuộc hai biến số là tỉ lệ

/>

8
, biến dịch chuyển . Hệ số

trong (1.1) đảm bảo cho sự chuẩn hóa sóng

Wavelet với tỉ lệ phân tích s khác nhau

.


Phép biến đổi Wavelet có tính linh động cao hơn so với phép biến đổi
Fourier (sử dụng hàm mũ duy nhất) vì khơng nhất thiết phải sử dụng hàm
Wavelet cố định, mà có thể lựa chọn các hàm Wavelet khác nhau trong họ
hàm Wavelet sao cho thích hợp với bài tốn (hình dạng của hàm Wavelet
phù hợp với tín hiệu cần phân tích) để có kết quả phân tích tốt nhất. Ngày
nay, đã xây dựng được khoảng vài chục các họ hàm Wavelet khác nhau
được xây dựng nhằm áp dụng cho nhiều mục đích phân tích đa dạng.
Biểu thức (1.6) có thể viết lại dưới dạng tích chập (inner product) như sau:

Trong đó

1.2.1. Hàm Wavelet cơ sở
Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) của một hàm
Wavelet mẹ ký hiệu là:
hiệu

bắt đầu từ hàm của

hàm của Wavelet mẹ (morther Wavelet) ký

có thể là hàm số thực, hàm số phức, hay hàm bất kỳ thỏa mãn

tính chất sau:
Tích phân suy rộng trên tồn bộ trục t của hàm

Tích phân năng lượng của hàm trên

bằng , tức là:

toàn bộ trục


là một số

hữu hạn thỏa mãn điều kiện.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

9

thì các Wavelet kí hiệu là:

được biểu diễn như sau:

Biến đổi này là một hàm của 2 số thực a, b, dấu * ký hiệu của liên
. Nếu chúng ta định nghĩa một hàm

hiệp phức của

theo biểu thức:

Chúng ta có thể viết được thành:

Theo toán học ta gọi đây là tích vơ hướng của hai hàm
giá trị

1

và


gọi là hệ số chuẩn hóa để đảm bảo tích phân năng của

a

hàm

sẽ độc lập với , :

Với mỗi giá trị của a thì
đi

là một bản sao của

được dịch

đơn vị trên trục thời gian. Do đó b gọi là tham số dịch, đặt tham số

dịch

thu được.

Điều đó cho thấy rằng a chính là tham số tỷ lệ. Khi

thì hàm

Wavelet sẽ được trải rộng cịn khi 0 < a < 1 thì hàm sẽ được co lại.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>


10
Nếu

là biến đổi CWT của

bằng hàm Wavelet

, thì

biến đổi ngược của CWT được tính như sau:

Với giá trị của C được định nghĩa là:

Biến đổi CWT chỉ tồn tại nếu

dương và hữu hạn, do đó

gọi là điều

kiện tồn tại của biến đổi Wavelet. Cùng với hai điều kiện trên, đây là điều
kiện thứ ba mà một hàm cần phải thỏa mãn để có thể được lựa chọn làm
hàm Wavelet.
Chúng ta có thể xem biến đổi CWT là ma trận hai chiều các kết quả của
phép tích vơ hướng hai hàm

và

. Các hàng của ma trận ứng


với giá trị của , các cột của ma trận ứng với giá trị . Do đó cách tính biến
đổi Wavelet ở trên có thể trình bày dưới dạng:

1.2.2. Họ các hàm Wavelet
Trong triển khai Wavelet, hai chỉ số được dùng nhằm biểu diễn của tín
hiệu tính địa phương tốt cho cả hai lĩnh vực thời gian và tần số.
Giả sử
mọi

là họ hàm tạo thành cơ sở trực chuẩn trong

. Khi đó

có thể được khai triển.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

11
Với một số điều kiện nhất định ta gọi khai triển trên Wavelet của hàm
. Các hệ số

được gọi là biến đổi Wavelet rời rạc của

.
Họ

dùng 2 chỉ số để có thể biểu diễn được tính địa phương trên


cả hai lĩnh vực thời gian và tần số của tín hiệu, chỉ số
phương theo tần số, chỉ số
Một họ

được tính địa

định tính theo thời gian.

như trên được gọi là hệ thống Wavelet và nó thỏa mãn ba

điều kiện là: một hệ thống Wavelet là tập các hàm cơ sở để có thể biểu diễn
tín hiệu, khai triển tín hiệu; khai triển Wavelet cho biểu diễn có tính địa
phương theo thời gian – tần số; việc tính tốn các hệ số được thực hiện hiệu
quả với độ phức tạp thấp.
1.2.2.1. Biến đổi Wavelet Haar
Biến đổi Haar Wavelet là biến đổi đơn giản nhất trong họ Wavelet. Do
tính chất đơn giản của phép biến đổi Haar, nên phép biến đổi này thường
được ứng dụng nhiều trong nén ảnh. Khi áp dụng phép biến đổi Haar trong
nén ảnh thì thuật tốn trên sử dụng trên máy tính có một số khác biệt so
cơng thức tốn học thơng thường.
Hàm Wavelet Haar thứ nhất gọi là hàm Scaling (Scaling funtion), xác
định như sau:

Hàm Wavelet Haar thứ hai gọi là Wavelet mẹ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

12

Giá trị của hàm

tại những thời điểm rời rạc không quan trọng lắm,

nhưng tương tự trường hợp khai triển Fourier ta quy ước giá trị
tại các giá trị
Hàm scaling

.
được mở rộng lên toàn bộ tập

và Wavelet mẹ

số thực R bằng cách cho nhận giá trị 0 ngoài khoảng cơ bản:

Khi đó, biểu đồ của hàm biến đổi Wavelet Haar có dạng như hình sau:

Hình 1.1. Hàm

của biến đổi Wavelet Haar

1.2.2.1. Biến đổi Wavelet Meeyer
Yves Meyer là nhà khoa học đặt nền móng cho phép biến đổi Wavelet.
Phép biến đổi Meyer Wavelet cũng là một phép biến đổi thông dụng, biến

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

13

đổi Meyer có khả năng phân tích tín hiệu tốt hơn so với phép biến đổi Haar.
Dạng của hàm  (t ) với biến đổi Meyer cho hình vẽ sau:

Hình 1.2. Hàm

của biến đổi Meyer

1.2.2.1. Biến đổi Wavelet Daubechies
Giống với Meyer, Daubechies cũng có cơng rất lớn trong việc phát
triển phép biến đổi Wavelet. Biến đổi Daubechies là phép biến đổi có tính
chất phức tạp nhất trong các phép biến đổi Wavelet. Họ biến đổi này được
áp dụng rất rộng rãi, biến đổi Wavelet được áp dụng trong JGPEG 2000 là
một biến đổi quan trọng trong họ biến đổi Wavelet Daubechies. Dưới đây
hình biểu diễn một số hàm  (t ) trong họ biến đổi Wavelet Daubechies:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

14

Hình 1.3. Hàm  (t ) của họ biến đổi Daubechies n với

1.3. Một số phép biến đổi Wavelet liên tục
1.3.1. Phép biến đổi Morlet
Năm 1975, Morlet phát triển phương pháp đa phân giải, trong đó ơng
sử dụng một xung dao động, được hiểu là Wavelet cho thay đổi kích thước
và so sánh với tín hiệu từng đoạn riêng biệt. Kỹ thuật này bắt đầu với sóng
nhỏ (Wavelet) chứa các dao động tần số khá thấp, sóng nhỏ này so sánh với
tín hiệu phân tích để có được bức tranh tồn cục của tín hiệu ở độ phân giải

thơ. Sau đó sóng nhỏ này được nén lại để nâng cao dần dần tần số dao
động. Quá trình này làm thay đổi tỉ lệ phân tích; khi thực hiện bước tiếp so
sánh, tín hiệu sẽ được nghiên cứu chi tiết ở mức độ tần số phân giải cao
hơn, giúp phát hiện những thành phần biến thiên cịn ẩn bên trong tín hiệu.
Đó cũng chính là mục đích của phép biến đổi Wavelet.
1.3.2. Phép biến đổi mũ Mexico
Phép biến đổi mũ Mexico là trường hợp đặc biệt của phép biến đổi
Wavelet liên tục. Phép biến đổi này sử dụng phép biển đổi Wavelet liên tục
chuyển đổi được đề xuất bởi Gabor, tính bởi cơng thức:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

15

Tổng quát của phép biến đổi Wavelet này còn được gọi là đạo hàm bậc
2 của hàm Gaussian. Do đó có thể tiết kiệm đáng kể thời gian tính tốn
trong hai hoặc nhiều chiều.
1.4. Một vài ứng dụng trong phép biến đổi Wavelet
Theo các tài liệu nghiên cứu, phép biến đổi được sử dụng trong rất
nhiều ứng dụng khác nhau như: nén ảnh, trích chọn đặc trưng, phân tích dữ
liệu, thủy vân số... Phần này sẽ trình một số hướng ứng dụng chính của
phép biến đổi Wavelet.
1.4.1. Nén ảnh
Phép biến đổi Wavelet thường được áp dụng nhiều trong xử lý dữ liệu
đa phương tiện, đặc biệt trong xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, tín hiệu. Việc sử
dụng các phép mã hóa, lọc tần số nhiều nhịp và biến đổi Wavelet rời rạc
tương ứng với từng loại tín hiệu cần phân tích mang lại hiệu quả rõ rệt
trong nén tần số ảnh. Do tích chất chỉ tồn tại trong thời gian rất ngắn khi
phân tích tín hiệu trong miền tần số, mà các hệ số của biến đổi Wavelet có

khẳ năng tập trung năng lượng rất tốt vào các hế số biến đổi. Các hệ số
chứa thông tin chi tiết của biến đổi Wavelet rất nhỏ và có thể bỏ qua mà
khơng ảnh hưởng đến việc mã hóa dữ liệu.
Đối với nén ảnh, ngồi tỷ lệ nén cao, Wavelet cịn cho chất lượng ảnh
tốt. Chất lượng của ảnh được đánh giá qua hệ số PSNR giữa ảnh gốc I và
ảnh nén I’ theo cơng thức :

Trong đó,
xám thì

là giá trị cực đại của điểm ảnh. Đối với ảnh đa cấp
, ảnh nhị phân

. Và hệ số MSE (Mean

Square Error) được tính theo cơng thức :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

16

Theo các tài liệu nghiên cứu, đối với ảnh màu giá trị

có thể chấp

nhận được nếu thuộc khoảng tử 30dB đến 50dB.
1.4.2. Trích chọn đặc trƣng
Bên cạnh ứng dụng nén ảnh, Wavelet cịn được sử dụng trong bài tốn
trích chọn đặc trưng nhằm tìm kiếm các thơng tin trên ảnh như : phát hiện

sự giả mạo, đối sánh ảnh….
1.4.3. Thủy vân số
Thủy vân số là kỹ thuật nhúng tin nhằm bảo vệ ảnh. Một trong những
ứng dụng quan trọng của thủy vân số là bài toán bảo vệ bản quyền. Theo
đó, dấu thủy vân được nhúng vào vùng tập trung năng lượng của ảnh nhằm
tăng cường tính bền vững cho các phương pháp.
Nói đến thủy vân số là nói đến kỹ thuật nhúng tin nhằm đảm bảo an
toàn dữ liệu chứa đối tượng được sử dụng để giấu tin như: Bảo vệ bản
quyền, xác thực thông tin, chống xuyên tạc, điều khiển sao chép,.. ta có thể
nhận thấy tính ứng dụng của thủy vân rất là lớn, với mỗi ứng dụng lại có
các yêu cầu đặc trưng riêng, do đó các kỹ thuật thủy vân này cũng có
những tính năng khác biệt tương ứng.
Trong kỹ thuật thủy vân số thì thơng tin nhúng được gọi là thủy vân.
Thủy vân có thể là một chuỗi ký tự hay là một tệp hình ảnh, biểu tượng.
Thủy vân trên ảnh số là kỹ thuật nhúng một lượng thông tin số vào một
bức ảnh số và thông tin nhúng được gắn liền với bức ảnh chứa và dữ liệu
thủy vân có thể được hiển thị hay ẩn là tùy thuộc vào mỗi kỹ thuật thủy vân
cụ thể.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>

17
Có thể chia các kỹ thuật thủy vân theo các nhóm như hình minh họa mơ
hình sau.
Thủy vân số

Thủy vân bền vững


Thủy vân ẩn

Thủy vân hiện

Thủy vân dễ vỡ

Thủy vân ẩn

Thủy vân hiện

Các kỹ thuật thủy vân theo mơ hình trên được phân biệt khác nhau bởi
những đặc trưng, tính chất của từng kỹ thuật và khía cạnh ứng dụng của
những kỹ thuật đó. Trong thực tế, tùy theo mục đích, u cầu của bài tốn
mà ta sẽ chọn kỹ thuật thủy vân phù hợp. Tuy nhiên, các kỹ thuật này cũng
có một số đặc điểm giống nhau.
Với kỹ thuật thủy vân bền vững thường được sử dụng trong bài tốn
bảo vệ bản quyền. Trong những ứng dụng đó, thủy vân đóng vai trị là
thơng tin sở hữu của người chủ hợp pháp. Thủy vân được nhúng vào trong
các sản phẩm như là hình thức dán tem bản quyền. Trong các trường hợp
này thì thủy vân phải tồn tại bền vững cùng với sản phẩm, nhằm chống lại
việc tẩy xóa, làm giả hay biến đổi phá hủy thủy vân. Một yêu cầu lý tưởng
đối với thủy vân bền vững là nếu muốn loại bỏ thủy vân này thì chỉ cịn có
cách duy nhất là phá hủy sản phẩm. Thủy vân bền vững lại được chia thành
hai loại là thủy vân ẩn và thủy vân hiện. Thủy vân hiện là loại thủy vân
được hiện lên ngay trên sản phẩm và người sử dụng có thể nhìn thấy được,
ví dụ như các biểu tượng của các đài truyền hình trên các kênh vô tuyến
VTV1, VTC1, CNN,.. Các thủy vân hiện trên ảnh thường hiển thị dưới
dạng chìm, mờ hoặc trong suốt nhằm không gây ảnh hưởng đến chất lượng
các sản phẩm ảnh gốc. Đối với thủy vân hiện này thì thơng tin bản quyền
hiển thị ngay trên sản phẩm; còn đối với thủy vân ẩn thì cũng giống như

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

/>