BÀITẬPXÁCSUẤTTHỐNGKÊ
NguyễnThịVânbiênsoạn




(tàiliệucịnsaisótsẽchỉnhlýtrênlớp)





HàNộitháng11năm2016


LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY (Syllabus)
Mơn học TỐN V (Xác suất thống kê)
Thời khóa biểu trong 8 tuần: LT + BT + KT = 19 + 10 + 1 tiết
Tuần

Lớp lớn (2 tiết/buổi) : LT

1

Thông báo đề cương môn học, cách cho điểm quá trình, lịch kiểm
tra.
$1 Khái niệm cơ bản về biến cố
+ Phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố.
+ Phép tốn và quan hệ các biến có.

+ Đếm các điểm mẫu.

CN

$2 Xác suất và quy tắc cộng, quy tắc nhân.
+ Định nghĩa xác suất (cổ điển) của một biến cố.
+ Quy tắc cộng, Xác suất có điều kiện, Quy tắc nhân.

2

$3 Công thức Bayes và biến ngẫu nhiên.
+ Công thức đầy đủ, công thức Bayess.
+ Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục.
+ Phân phối xác suất rời rạc: định nghĩa, hàm phân phối tích lũy.
+ Phân phối xác suất liên tục: định nghĩa, hàm phân phối tích lũy.

CN

$4 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên. Phân phối nhị thức
và siêu bội.
+ Giá trị trung bình (kỳ vọng): định nghĩa, ý nghĩa, định lý.
+ Phương sai: định nghĩa, ý nghĩa, định lý.
+ Phân phối nhị thức.
+ Phân phối siêu bội.

3

Lớp nhỏ
(2 tiết/buổi): BT


$5 Phân phối chuẩn. Một số thống kê mẫu quan trọng.
+ Phân phối chuẩn: khái niệm, phân phối tiêu chuẩn, hướng dẫn
tra bảng A3, A4.
+ Các ứng dụng của phân phối chuẩn.
+ Mẫu ngẫu nhiên đơn giản một chiều.

Bài tập $1, 2

+ Một số thống kê mẫu quan trọng: x , s 2 , s, pˆ và hướng dẫn
cách tính bằng máy tính cầm tay.
+ Định nghĩa phân phối của thống kê mẫu; Định lý giới hạn trung
tâm, ý nghĩa.

2


Lớp nhỏ
(2 tiết/buổi): BT

Tuần

Lớp lớn (2 tiết/buổi) : LT

Bài tập $3, 4

4

$6 Bài tốn ước lượng trung bình của một mẫu.
+ Giới thiệu bài toán ước lượng và các phương pháp ước lượng cổ
điển.

+ Bài toán ước lượng khoảng.
+ Ước lượng cho một trung bình µ : (3 trường hợp) biết σ; chưa
biết σ và cỡ mẫu nhỏ; chưa biết σ và cỡ mẫu lớn. Ước lượng sai
số và cỡ mẫu.
$7 Bài tốn ước lượng trung bình của hai mẫu và tỷ lệ.
+ Ước lượng cho hiệu hai trung bình µ1 − µ2 : (3 trường hợp) biết
σ1, σ 2 ; chưa biết σ1, σ 2 nhưng σ1 = σ 2 và cỡ mẫu nhỏ; chưa biết
σ1, σ 2 và cỡ mẫu lớn.

Bài tập $5, 6

5

+ Ước lượng cho một tỷ lệ với cỡ mẫu lớn.
+ Ước lượng cho hiệu hai tỷ lệ với cỡ mẫu lớn.
Kiểm tra giữa kỳ vào thứ Bẩy hoặc CN

6

$8 Kiểm định giả thiết về trung bình của một mẫu.
Tuần nghỉ
+ Các khái niệm chung: giả thiết thống kê, kiểm định một giả thiết
thống kê, mức ý nghĩa, kiểm định một phía và hai phía.
+ Kiểm định về một trung bình: (3 trường hợp) biết σ; chưa biết σ
và cỡ mẫu nhỏ; chưa biết σ và cỡ mẫu lớn.
Bài tập $7, 8

7

$9 Kiểm định giả thiết về trung bình của hai mẫu và tỷ lệ.

+ Kiểm định về hiệu hai trung bình: (3 trường hợp) biết σ1, σ 2 ;
chưa biết σ1, σ 2 nhưng σ1 = σ 2 và cỡ mẫu nhỏ; chưa biết σ1, σ 2
và cỡ mẫu lớn.
+ Kiểm định về một tỷ lệ với cỡ mẫu lớn.
+ Kiểm định về hiệu hai tỷ lệ với cỡ mẫu lớn.
$10 Tổng kết môn học.

Bài tập $9, chấm
vở bài tập và đọc
điểm quá trình.

8

3


CẤU TRÚC ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ MƠN TỐN V ($1-$5)
Hình thức thi: Tự luận - Thời gian: 50 phút – Thứ 7.CN tuần 5
Câu 1 (3,5 điểm) Xác suất của một biến cố và các phép toán xác suất.
+ Tính xác suất của một biến cố.
+ Tính xác suất theo quy tắc cộng, quy tắc nhân, quy tắc Bayes, xác suất có điều kiện, định lý xác
suất đầy đủ.
Câu 2 (3,5 điểm) Biến ngẫu nhiên và một số phân phối xác suất thường gặp.
+ Tìm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc một chiều thường gặp: phân phối nhị thức,
phân phối siêu bội.
+ Các ứng dụng của phân phối chuẩn.
Câu 3 (3 điểm) Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên
+ Tính trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn và nêu ý nghĩa.
CẤU TRÚC ĐỀ THI KẾT THÚC MƠN TỐN V ($1-$10)
Hình thức thi: Tự luận - Thời gian: 60 phút

Câu 1 (2,5 điểm) Tính xác suất của một biến số và phân phối xác suất thường gặp.
+ Tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa; các phép toán xác suất hoặc biết phân phối xác suất
là chuẩn.
+ Tìm phân phối xác suất các biến ngẫu nhiên thường gặp rời rạc và liên tục.
Câu 2 (2,5 điểm) Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên.
+ Tính trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên khi biết phân phối xác suất.
+ Bài tốn tính giá trị trung bình của một đại lượng ngẫu nhiên chưa biết phân phối xác suất (phải tự
xây dựng phân phối xác suất).
Câu 3 (2,5 điểm) Bài toán ước lượng.
+ Ước lượng một trung bình và hiệu hai trung bình.
+ Ước lượng một tỷ lệ và hiệu hai tỷ lệ trường hợp cỡ mẫu lớn.
Câu 4 (2,5 điểm) Bài toán kiểm định giả thiết.
+ Kiểm định về một trung bình, hiệu hai trung bình (1 phía và 2 phía).
+ Kiểm định về một tỷ lệ, hiệu hai tỷ lệ trường hợp cỡ mẫu lớn (1 phía và 2 phía).
Chú ý :
(a) Trường hợp 2 mẫu có phương sai chưa biết thì chỉ xét trường hợp 2 phương sai bằng nhau chưa
biết.
(b) Phần đầu của mỗi đề thi ghi thêm như sau :
Chú ý : (1) Các kết quả làm tròn đến 4 chữ số thập phân.
(2) Chỉ được mang bảng tra A3, A4.
(3) Tính giá trị x , s, S xx ,... chỉ cần viết công thức và sử dụng máy tính viết kết quả.
4


BÀI TẬP BUỔI 1(Xác suất và các quy tắc xác suất):
Đếm các điểm mẫu:
1.1. Một cửa hàng bán giầy có 5 loại giầy, mỗi loại có 4 màu khác nhau. Nếu cửa hàng muốn trưng
bầy các đôi giầy này để chỉ ra tất cả các kiểu dáng và màu sắc, hỏi có bao nhiêu đơi giày mà cửa
hàng cần đem ra trưng bày để đạt được mục đích trên.
ĐS: 20

1.2 . Trong một cuộc nghiên cứu về tiết kiệm nhiên liệu, mỗi một xe đua trong 3 xe sẽ dùng 5 loại
ga khác nhau chạy trên 7 địa hình khác nhau ở một quốc gia. Người ta chọn ra 2 lái xe để chạy thử
cho mỗi xe trong những điều kiện khác nhau rồi kiểm tra kết quả. Hỏi, phải tổ chức bao nhiêu cuộc
chạy thử?
ĐS: 210
1.3. Từ 4 quả táo đỏ, 5 quả táo xanh, 6 quả táo vàng có bao nhiêu cách để chọn ra 9 quả táo mà
mỗi mầu đều có 3 quả.
ĐS: 800
1.4. Từ một nhóm người gồm 4 nam giới, 5 nữ giới, có bao nhiêu cách để thành lập một ban
gồm 3 người
a) với số lượng nam nữ tùy ý
b) với 1 nam, 2 nữ
c) với 2 nam, 1 nữ với điều kiện đã biết 1 nam trong ủy ban này
ĐS: (a) 84

(b) 40

(c) 15

Biến cố và mối quan hệ giữa chúng:
1.5.

Ba người Anh, Bình và Chung cùng đầu tư vào bất động sản. Gọi A, B, C tương ứng là các
biến cố mà Anh, Bình, Chung thành cơng.

a) Hãy mơ tả các biến cố ABC, 𝐴𝐵𝐶, 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶
b) Xét các biến cố sau:
D= “Có ít nhất hai người thành cơng”
E= “ Có nhiều nhất một người thành cơng”
F=” Chỉ có một người thành cơng”

G = “ Chỉ có Chung thành công”
Hãy biểu diễn biến cố này theo các biến cố A, B, C.

5


1.6. Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi Ak = “ Sản phẩm thứ k tốt”. Dùng các phép toán trên các biến cố, hãy
biểu diễn qua các Ak những biến cố sau:
a) A= “ Tất cả đều xấu”
b) B= “ Có ít nhất một sản phẩm xấu”
c) C= “ Có đúng một sản phẩm xấu”
d) D = “ Có ít nhất hai sản phẩm tốt”
Xác suất của một biến cố
1.7. Chọn ngẫu nhiên 3 quyển sách từ một giá sách gồm 5 quyển tiểu thuyết, 3 quyển thơ và
một quyển từ điển. Tìm xác suất để:
(a) Quyển từ điển được chọn;
(b) Hai quyển tiểu thuyết và một quyển thơ được chọn.
ĐS: (a) 1/3 (b) 5/42
1.8. Gieo đồng thời hai con xúc xắc. Tìm xác suất để nhận được:
(a) Tổng số chấm là 8;
(b) Tổng số chấm nhiều nhất là 5( tức là tổng số chấm bé hơn hoặc bằng 5).
ĐS: (a) 5/36 (b) 10/36
1.9. Mỗi mục trong một danh mục liệt kê được mã hóa với 3 chữ cái đứng trước và 4 chữ số
khác khơng đứng sau. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một mục trong danh mục trên ta
được chữ cái đầu tiên là một nguyên âm và chữ số cuối cùng là số chẵn. Tiếng anh có 26 chữ
cái,5 nguyên âm.
ĐS:10/117
1.10. Lấy lần lượt hai quân bài từ một cỗ bài theo phương thức không hồn lại. Tính xác suất để
cả hai qn bài đều lớn hơn 2 và nhỏ hơn 8.
ĐS: 65/663

1.11. Lấy ngẫu nhiên 8 quân bài từ bộ bài 52 quân. Tìm xác suất để
a) Lấy được 5 quân bài màu đỏ
b) Lấy được 1 quân cơ, 2 quân rô, 3 quân bích.
c) Lấy được 3 quân cùng chất.
1.12. Từ một hộp đựng 6 quả bóng đen và 4 quả bóng xanh, lần lượt lấy ra 2 quả bóng theo
phương thức có hồn lại. Tìm xác suất để:
(a) Cả 2 quả bóng được lấy ra cùng màu.
6


(b) 2 quả bóng lấy ra có đủ cả 2 màu.
1.13. Một lơ hàng có 95% là chính phẩm. Lấy liên tiếp có hồn lại 2 sản phẩm. Tìm xác suất để
nhận được:
a) Cả 2 là chính phẩm

c) Chỉ có cái thứ 2 là chính phẩm

b) Có ít nhất 1 chính phẩm
ĐS: a) 0,9025

d) Có đúng 1 chính phẩm

b) 0,9975

c) 0,0475

d) 0,095

Quy tắc cộng:
2.1 Xác suất để một ngành kinh doanh của Mỹ có trụ sở ở Munich là 0,7; xác suất để nó có trụ

sở ở Brussels là 0,4 và xác suất để nó có trụ sở ở Munich hoặc Brussels hoặc cả hai là 0,8. Tính
xác suất để ngành kinh doanh đó có trụ sở:
(a) Ở cả hai thành phố trên?
(b) Không ở thành phố nào trong hai thành phố trên?
ĐS: (a) 0,3 (b) 0,2
2.2. Từ kinh nghiệm của mình, một người mua bán cổ phiếu tin rằng, với điều kiện kinh tế hiện
nay một khách hàng sẽ đầu tư vào trái phiếu miễn thuế với xác suất là 0,6, đầu tư vào chứng chỉ
quỹ với xác suất là 0,3 và đầu tư vào cả hai loại trên với xác suất là 0,15. Tìm xác suất để tại thời
điểm này một khách hàng sẽ:
(a) Đầu tư vào trái phiếu miễn thuế hoặc chứng chỉ quỹ?
(b) Không đầu tư vào trái phiếu miễn thuế cũng không đầu tư vào chứng chỉ quỹ?
ĐS: (a) 0,75 (b) 0,25
Quy tắc nhân:
2.3. Trong 1 hộp thuốc có 2 lọ Aspirin và 3 lọ Thyroid. Trong 1 hộp khác có 3 lọ Aspirin, 2 lọ
Thyroid và 1 lọ Laxative. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 lọ, tìm xác suất để:
(a) Cả 2 lọ đều chứa Thyroid;
(b) Không lọ nào chứa Thyroid;
(c) 2 lọ chứa 2 loại thuốc khác nhau.
ĐS: (a)

1
5

(b)

4
15

(c)


3
5

2.4. Trong các cặp vợ chồng sống ở 1 vùng ngoại ô, xác suất để người chồng tham gia bỏ phiếu
trong 1 cuộc trưng cầu dân ý là 0,21; xác suất để người vợ tham gia bỏ phiếu là 0,28; và xác suất
để cả 2 cùng tham gia bỏ phiếu là 0,15. Tìm xác suất để:
7


(a) Có ít nhất 1 người trong gia đình tham gia bỏ phiếu;
(b) Người vợ sẽ tham gia bỏ phiếu, biết rằng chồng cô ta cũng tham gia bỏ phiếu;
(c) Người chồng sẽ tham gia bỏ phiếu, biết rằng vợ anh ta không tham gia bỏ phiếu.
ĐS: (a) 0, 34

(b)

4
15

(c)

3
5

2.5. Xác suất để một bác sỹ chuẩn đoán đúng một loại bệnh là 0,7. Nếu bác sỹ chuẩn đoán sai,
xác suất để bệnh nhân bị chuẩn đoán sai phát đơn kiện địi bồi thường là 0,9. Tìm xác suất để
bác sỹ chuẩn đoán sai bệnh và bị bệnh nhân phát đơn kiện đòi bồi thường.
ĐS: 0,27
2.6. Xác suất để một người đến nha sĩ sẽ phải điều trị bằng tia X là 0,6. Xác suất để một người
đang phải điều trị bằng tia X cũng sẽ phải hàn răng là 0,3. Xác suất để một người đã điều trị

xong tia X và hàn răng phải nhổ răng là 0,1. Tìm xác suất để một người đến nha sĩ sẽ phải điều
trị bằng tia X được hàn và phải nhổ răng.
ĐS: 0,018
2.7. Một văn phịng có 8 chiếc chìa khóa, nhưng chỉ có 1 chiếc chìa khóa có thể mở được bất kỳ
căn hộ nào, cịn lại 7 chìa khóa hỏng. Khi dẫn khách đi giới thiệu, nhân viên văn phòng mang
ngẫu nhiên 3 chiếc chìa khóa. Nếu 40% căn hộ được giới thiệu khơng khóa, tìm xác suất để nhân
viên đó có thể vào nhà để giới thiệu cho khách hàng.
ĐS: 0,625
1.12. Từ một hộp đựng 6 quả bóng đen và 4 quả bóng xanh, lần lượt lấy ra 2 quả bóng theo
phương thức có hồn lại. Tìm xác suất để:
(a) Cả 2 quả bóng được lấy ra cùng màu.
(b) 2 quả bóng lấy ra có đủ cả 2 màu.
Quy tắc Bayes:
2.8. Một xí nghiệp cơng nghiệp lớn cung cấp chỗ nghỉ qua đêm cho khách hàng tại 3 khách sạn.
Biết rằng 20% khách hàng đặt phòng tại Ramadainn, 50% ở Sheraton và 30% ở Lake view. Tỷ
lệ phòng bị hỏng hệ thống ống nước ở Ramadainn là 5%, ở Sheraton là 4% và ở Lake view là
8%. Tìm xác suất để:
(a) Một khách hàng sẽ đặt phòng ở hệ thống ống nước hỏng.
(b) Một khách hàng ở khách sạn Lake view, biết rằng người đó đặt phịng có hệ thống ống nước
hỏng.
ĐS: (a) 0, 054

(b)

4
9
8


2.9. Một cửa hàng bán sơn Latex và Semigloss. Tỷ lệ khách hàng mua sơn Latex là 75%; trong

đó có 60% khách hàng mua kèm chổi lăn sơn. Tỷ lệ khách hàng mua sơn Semigloss kèm chổi
lăn sơn là 30%. Chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng mua 1 thùng sơn kèm chổi lăn sơn, tính xác suất
để khách hàng đó mua loại sơn Latex.
ĐS: 0,857
2.10. Tại nhà máy sản xuất cùng 1 loại máy thiết bị thủy lợi, các máy 1,2,3 sản xuất lần lượt
25%, 35%, 40% sản phẩm của nhà máy. Tỷ lệ phế phẩm của 3 máy lần lượt là 5%, 4%, 2%. Lấy
ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho sản phẩm chung của cả nhà máy thì thấy đó là phế phẩm.
Tìm xác suất để phế phẩm đó là do máy 1 sản xuất.
ĐS:

25
69

2.11. Tại một vùng dân cư, tỷ lệ người trên 40 tuổi mắc chứng bệnh ung thư là 0,05. Xác suất để
một người mắc bệnh ung thư bị chuẩn đốn là có bệnh là 0,78 và xác suất để một người không
mắc bệnh ung thư bị chuẩn đốn là có bệnh là 0,06. Tìm xác suất để một người bị chuẩn đốn là
có bệnh.
ĐS: 0,096
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đếm các điểm mẫu:
1.1 Một cửa hàng bán giầy có 5 loại giầy, mỗi loại có 4 màu khác nhau. Nếu cửa hàng muốn trưng
bầy các đôi giầy này để chỉ ra tất cả các kiểu dáng và màu sắc, hỏi có bao nhiêu đơi giày mà cửa
hàng cần đem ra trưng bày để đạt được mục đích trên.
Bài giải:
Số đôi giày mà cửa hàng cần phải trưng bày là: 5 × 4 = 20 đơi
1.2. Một cuộc nghiên cứu được thực hiện tại California đã chỉ ra 7 nguyên tắc đơn giản để có thể
kéo dài tuổi thọ trung bình của nam giới đến 11 năm và của nữ giới đến 7 năm. Bảy quy tắc đó là:
không hút thuốc, tập thể dục đều đặn, uống rượu ở mức vừa phải, ngủ tử 7 đến 8 tiếng một ngày, duy
trì mức cân phù hợp, ăn sáng, khơng ăn giữa các bữa. Có bao nhiêu cách để một người thực hiện
đúng 5 trong 7 quy tắc trên nếu:

(a) người đó có khả năng vi phạm cả bất kỳ một nguyên tắc nào trong các nguyên tắc trên.
(b) người đó khơng bao giờ uống rượu và ln ăn sáng.
Bài giải:
9


(a) Có C75 = 21(cách)
(b) Có C64 = 15 (cách)
1.3. Trong một cuộc nghiên cứu về tiết kiệm nhiên liệu, mỗi một xe đua trong 3 xe sẽ dùng 5 loại ga
khác nhau chạy trên 7 địa hình khác nhau ở một quốc gia. Người ta chọn ra 2 lái xe để chạy thử cho
mỗi xe trong những điều kiện khác nhau rồi kiểm tra kết quả. Hỏi, phải tổ chức bao nhiêu cuộc chạy
thử?
Bài giải:
Cần tổ chức 2 × 3 × 5 × 7 = 210 cuộc chạy thử (quy tắc nhân)
1.4. Từ 4 quả táo đỏ, 5 quả táo xanh, 6 quả táo vàng có bao nhiêu cách để chọn ra 9 quả táo mà
mỗi mầu đều có 3 quả.
Bài giải:
3
3
3
Số cách để chọn ra 9 quả táo mà mỗi mầu đều có 3 quả là C4 C5 C6 = 800

1.5. Từ một nhóm người gồm 4 nam giới, 5 nữ giới, có bao nhiêu cách để thành lập một ban
gồm 3 người
a) với số lượng nam nữ tùy ý
b) với 1 nam, 2 nữ
c) với 2 nam, 1 nữ với điều kiện đã biết 1 nam trong ủy ban này
Bài giải:
3
a) Số cách để thành lập một ban gồm 3 người với số lượng nam nữ tùy ý là C9 = 84

1 2
b) Số cách để thành lập một ban gồm 1 nam và 2 nữ là C4C5 = 40

c) Số cách để thành lập một ban gồm với 2 nam, 1 nữ với điều kiện phải có 1 nam trong ủy ban
1 1 1
này là C1 C3C5 = 15

Biến cố và các phép toán:
1.6 . Ba người Anh, Bình và Chung cùng đầu tư vào bất động sản. Gọi A, B, C tương ứng là các
biến cố mà Anh, Bình, Chung thành cơng.
a) Hãy mơ tả các biến cố ABC, 𝐴𝐵𝐶, 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶
b) Xét các biến cố sau:
D= “Có ít nhất hai người thành cơng”
E= “ Có nhiều nhất một người thành cơng”
F=” Chỉ có một người thành cơng”
10


G = “ Chỉ có Chung thành cơng”
Hãy biểu diễn biến cố này theo các biến cố A, B, C.
Bài giải
a) 𝐴𝐵𝐶 =”Cả 3 người đều thành công”,
𝐴𝐵𝐶 =”Cả 3 người đều thất bại”,
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 =”Ít nhất một trong 3 người thất bại”
𝑏) 𝐷 = 𝐴𝐵 ∪ 𝐵𝐶 ∪ 𝐶𝐴, 𝐸 = 𝐴𝐵 ∪ 𝐵𝐶 ∪ 𝐶𝐴, 𝐹 = 𝐴𝐵𝐶 ∪ 𝐴𝐵𝐶 ∪ 𝐴𝐵𝐶, 𝐺 = 𝐴𝐵𝐶.
1.7. Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi Ak = “ Sản phẩm thứ k tốt”. Dùng các phép toán trên các biến cố, hãy
biểu diễn qua các Ak những biến cố sau:
a) A= “ Tất cả đều xấu”
b) B= “ Có ít nhất một sản phẩm xấu”
c) C= “ Có đúng một sản phẩm xấu”

d) D = “ Có ít nhất hai sản phẩm tốt”
Bài giải:
a) 𝐴 = 𝐴! ∩ 𝐴! ∩ 𝐴! = 𝐴! ∪ 𝐴! ∪ 𝐴! .
b) 𝐴 = 𝐴! ∪ 𝐴! ∪ 𝐴! = 𝐴! ∩ 𝐴! ∩ 𝐴! .
c) 𝐶 = 𝐴! 𝐴! 𝐴! ∪ 𝐴! 𝐴! 𝐴! ∪ 𝐴! 𝐴! 𝐴! .
d) 𝐷 = 𝐴! 𝐴! 𝐴! ∪ 𝐴! 𝐴! 𝐴! ∪ 𝐴! 𝐴! 𝐴! ∪ 𝐴! 𝐴! 𝐴! .
Bài tập xác suất:
2.1. Chọn ngẫu nhiên 3 quyển sách từ một giá sách gồm 5 quyển tiểu thuyết, 3 quyển thơ và
một quyển từ điển. Tìm xác suất để:
(a) Quyển từ điển được chọn;
(b) Hai quyển tiểu thuyết và một quyển thơ được chọn.
Bài giải:
(a) Gọi A là biến cố quyển từ điển được chọn: P(A) =

C82C11 1
=
C93
3

C52 C31
5
(b) Gọi B là biến cố hai quyển tiểu thuyết và một quyển thơ được chọn : P( B) =
=
2
42
C9

2.2. Gieo đồng thời hai con xúc xắc. Tìm xác suất để nhận được:
(a) Tổng số chấm là 8;
11



(b) Tổng số chấm lớn nhất là 5.
Bài giải:
(a) Tổng số chấm là 8 gồm (1,7) , (2,6) , (3, 5) …., (7,1) nên khả năng thuận lợi là 5.
Khả năng thuận lợi là 36.
Xác suất để tổng số chấm là 8 là : 5/36.
(b) Xác suất để tổng số chấm lớn nhất là 5 là: 10/36.
2.3. Mỗi mục trong một danh mục liệt kê được mã hóa với 3 chữ cái đứng trước và 4 chữ số
khác không đứng sau. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một mục trong danh mục trên ta
được chữ cái đầu tiên là một nguyên âm và chữ số cuối cùng là số chẵn. Tiếng anh có 26 chữ
cái,5 nguyên âm.
Bài giải:
Số cách chọn một mục được mã hoá với 3 chữ cái đứng trước và 4 chữ số khác 0 đứng sau là:
26.26.26.9.9.9.9
Số cách chọn một mục được mã hoá mà chữ cái đầu tiên là 1 nguyên âm và chữ số cuối cùng là số
chẵn là: 5.26.26.9.9.9.4
Nên xác suất chọn ngẫu nhiên một mục trong danh mục trên ra được chữ cái đầu tiên là 1 nguyên âm
và chữ số cuối cùng là số chẵn là:

5.26.26.9.9.9.4
10
=
.
26.26.26.9.9.9.9 117

2.4. Lấy lần lượt hai quân bài từ một cỗ bài theo phương thức khơng hồn lại. Tính xác suất để
cả hai qn bài đều lớn hơn 2 và nhỏ hơn 8.
Bài giải:
Số quân bài lớn hơn 2 và nhỏ hơn 8 là : 5×4 =20 quân.

Xác suất để cả 2 quân bài đều nhỏ hơn 2 và lớn hơn 8 là: p=

20.19 65
=
.
52.51 663

2.5. Lấy ngẫu nhiên 8 quân bài từ bộ bài 52 quân. Tìm xác suất để
a) Lấy được 5 quân bài màu đỏ
b) Lấy được 1 quân cơ, 2 quân rơ, 3 qn bích.
c) Lấy được 3 qn cùng chất.
Bài giải:
⎛5 ⎞ ⎛3 ⎞
26! 26!
=
.
= 65780.2600
⎟
⎜
⎟
⎝ 26⎠ ⎝ 26⎠ 5!21! 3!23!

a) Số trường hợp thuận lợi = C265C263 = ⎜

12


⎛8 ⎞
52!
=

= 752538150
⎟
⎝ 52⎠ 8!52!

Số trường hợp có thể = C528 = ⎜
Suy ra P =

65780.2600
= 0.23
752538150

b) Số trường hợp thuận lợi = C131.C132C133C132 = 22620312
⎛8 ⎞
52!
=
= 752538150
⎟
⎝ 52⎠ 8!52!

Số trường hợp có thể = C528 = ⎜
Suy ra P =

22620312
= 0, 03
752538150

c) Số trường hợp thuận lợi = 4C133 .C395 = 658666008
⎛8 ⎞
52!
=

= 752538150
⎟
⎝ 52⎠ 8!52!

Số trường hợp thuận lợi = C528 = ⎜
Suy ra P =

658666008
= 0,875
752538150

2.6. Từ một hộp đựng 6 quả bóng đen và 4 quả bóng xanh, lần lượt lấy ra 2 quả bóng theo
phương thức có hồn lại. Tìm xác suất để:
(a) Cả 2 quả bóng được lấy ra cùng màu.
(b) 2 quả bóng lấy ra có đủ cả 2 màu.
Bài giải:
Gọi Bi = “quả bóng màu đen lấy lần thứ i (1 ≤ i ≤ 2) ”. Suy ra P ( Bi ) =

1
.
6

Gọi Gi = “quả bóng màu xanh lấy lần thứ i (1 ≤ i ≤ 2) ”. Suy ra P (Gi ) =

1
..
4

a) Gọi A = “Cả 2 quả bóng được lấy ra cùng màu”.


(

)

(

) (

)

Do đó A = B1B2 + G1G2 → P B1B2 + G1G2 = P B1B2 + P G1G2 =

13
= 0,09
144

b) Gọi B = “2 quả bóng lấy ra có đủ cả 2 màu”.
Do đó A = B1G2 + B1G2 → P ( B ) = P ( B1G2 + G1 B2 ) = P ( B1G2 ) + P ( G1 B2 ) =

1
= 0,12
12

2.7. Một lơ hàng có 95% là chính phẩm. Lấy liên tiếp có hồn lại 2 sản phẩm. Tìm xác suất để
nhận được:
a) Cả 2 là chính phẩm

c) Chỉ có cái thứ 2 là chính phẩm
13



b) Có ít nhất 1 chính phẩm

d) Có đúng 1 chính phẩm

Bài giải:
c) Gọi B = “cả hai là chính phẩm ”
Gọi Ai = “sản phẩm lấy lần thứ i (1 ≤ i ≤ 2) là chính phẩm ”. Suy ra P( Ai ) = 0.95.
Do phương thức lấy có hoàn lại nên các biến cố A1, A2 độc lập
Vậy P(B)= P( A1 A2 )=P( A1 ).P( A2 )=0.95 . 0.95 = 0.9025
d) Cách 1: Gọi C = “có ít nhất một chính phẩm ”
Vậy
P ( C ) = P ( A1 .A2 '+ A1 ' A2 + A1 A2 ) = P ( A1 A2 ') + P ( A1 ' A2 ) + P ( A1 A2 )

= P ( A1 ) P ( A2 ') + P ( A1 ') P ( A2 ) + P ( A1 ) P ( A2 ) = 0.9975

Cách 2: Gọi C = “có ít nhất một chính phẩm ”.
Do đó C’=”cả hai là phế phẩm”

P (C ) = 1 − P (C ') = 1 − P ( A1 ') P ( A2 ') = 0, 9975
e) Gọi D = “Chỉ có cái thứ 2 là chính phẩm ”. Do đó sản phẩm rút lần 1 phải là phế phẩm.
Vậy P (C ) = P ( A1 ' A2 ) = P ( A1 ') P ( A2 ) = 0.0475
f) Gọi E = “có đúng một là chính phẩm ”
Vậy
P ( C ) = P ( A1 ' A2 + A1 A2 ') = P ( A1 ' A2 ) + P ( A1 A'2 )

= P ( A1 ') P ( A2 ) + P ( A1 ) P ( A'2 ) = 0.095

2.8. Xác suất để một ngành kinh doanh của Mỹ có trụ sở ở Munich là 0,7; xác suất để nó có trụ
sở ở Brussels là 0,4 và xác suất để nó có trụ sở ở Munich hoặc Brussels hoặc cả hai là 0,8. Tính

xác suất để ngành kinh doanh đó có trụ sở:
(a) Ở cả hai thành phố trên?
(b) Không ở thành phố nào trong hai thành phố trên?
Bài giải:
A - biến cố một ngành kinh doanh của Mỹ có trụ sở ở Munich => P(A) = 0,7
B - biến cố một ngành kinh doanh của Mỹ có trụ sở ở Brussels =>P(B) = 0,4
C - biến cố một ngành kinh doanh của Mỹ có trụ sở ở Munich hoặc Brussels hoặc cả hai. => P(C)
=0,8.
Ta có: C = A ∪ B .
14


(a) Xác suất để ngành kinh doanh có trụ sở ở cả hai thành phố trên là:
P( A ∩ B) = P( A) + P( B) − P(C ) = 0,3 .

(b) Xác suất để ngành kinh doanh khơng có trụ sở nào trong 2 thành phố trên là:
1 – P(C) = 1− 0,8 = 0,2.
2.9. Từ kinh nghiệm của mình, một người mua bán cổ phiếu tin rằng, với điều kiện kinh tế hiện
nay một khách hàng sẽ đầu tư vào trái phiếu miễn thuế với xác suất là 0,6, đầu tư vào chứng chỉ
quỹ với xác suất là 0,3 và đầu tư vào cả hai loại trên với xác suất là 0,15. Tìm xác suất để tại thời
điểm này một khách hàng sẽ:
(a) Đầu tư vào trái phiếu miễn thuế hoặc chứng chỉ quỹ?
(b) Không đầu tư vào trái phiếu miễn thuế cũng không đầu tư vào chứng chỉ quỹ?
Bài giải:
A - biến cố một khách hàng đầu tư vào trái phiếu miễn thuế. P(A) =0,6
B - biến cố một khách hang dầu tư vào chứng chỉ quỹ. P(B) = 0,3
Theo đề bài: P(AB) = 0,15.
(a) Xác suất để một khách hàng đầu tư vào trái phiều miễn thuế hoặc chứng chỉ quỹ là:
P( A ∪ B ) = P(A)+P(B)−P(AB) = 0,6+0,3-0,15 = 0,75
(b) Xác suất để một khách hàng không đầu tư vào trái phiếu miễn thuế cũng không đầu tư vào chứng

chỉ quỹ là: 1− P( A ∪ B ) = 0,25
2.10. Trong 1 hộp thuốc màu xanh có 2 lọ Aspirin và 3 lọ Thyroid. Trong 1 hộp khác màu đỏ có
3 lọ Aspirin, 2 lọ Thyroid và 1 lọ Laxative. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 lọ, tìm xác suất để:
(a) Cả 2 lọ đều chứa Thyroid;
(b) Không lọ nào chứa Thyroid;
(c) 2 lọ chứa 2 loại thuốc khác nhau.
Bài giải:

A1 - biến cố lọ chứa Aspirin ở hộp thuốc màu xanh.
A2 - biến cố lọ chứa Aspirin ở hộp thuốc màu đỏ.
T1 - biến cố lọ chứa Thyroid ở hộp thuốc màu xanh.
T2 - biến cố lọ chứa Thyroid ở hộp thuốc màu đỏ.
L2 - biến cố lọ chứa Laxative ở hộp thuốc màu đỏ.

(a) Xác suất lấy cả hai lọ đều chứa Thyroid là:
15


3 2 1
P( T1 ∩ T2 ) = P (T1 ).P (T2 ) = . =
5 6 5

(b) Xác suất lấy cả hai lọ nhưng không lọ nào đều chứa Thyroid là:
2 4 4
P( T1 '∩ T2 ' ) = P (T1 ') .P (T2 ') = . =
5 6 15

(c) Xác suất lấy cả hai lọ chứa 2 loại thuốc khác nhau là:
P( T1 (A2 ∪ L) + A1 (T2 ∪ L) ) = P(T1 )P(A2 ) + P(T1 )P(L) + P(A1 )P(T2 ) + P(A1 )P(L) =


3
5

Cách khác:
1- P( (T1 ∩ T2 ) + (A1 ∩ A2 ) ) = 1− P(T1 )P(T2 ) − P(A1 )P(A2 ) =

3
5

2.11. Trong các cặp vợ chồng sống ở 1 vùng ngoại ô, xác suất để người chồng tham gia bỏ phiếu
trong 1 cuộc trưng cầu dân ý là 0,21; xác suất để người vợ tham gia bỏ phiếu là 0,28; và xác suất
để cả 2 cùng tham gia bỏ phiếu là 0,15. Tìm xác suất để:
(a) Có ít nhất 1 người trong gia đình tham gia bỏ phiếu;
(b) Người vợ sẽ tham gia bỏ phiếu, biết rằng chồng cô ta cũng tham gia bỏ phiếu;
(c) Người chồng sẽ tham gia bỏ phiếu, biết rằng vợ anh ta không tham gia bỏ phiếu.
Bài giải:
A - biến cố người chồng tham gia bỏ phiếu → P(A) = 0,21 .
B - biến cố người vợ tham gia bỏ phiếu. → P(B) = 0,28

A ∩ B - biến cố cả hai tham gia bỏ phiếu → P(A ∩ B) = 0,15 .
a) Xác suất để có ít nhất 1 người trong gia đình tham gia bỏ phiếu là
P( A ∪ B ) = P(A)+P(B)−P(AB) = 0,21 + 0,28 - 0,15 =0,34
b) Xác suất để người vợ sẽ tham gia bỏ phiếu, biết rằng chồng cô ta cũng tham gia bỏ phiếu
là
P ( B A) =

( ) (( ))

P AB
0,15 15

P ( AB ) 0,15 5
=
=
=
= P AB =
0,28 28
P ( A ) 0,21 7
P B

c) Xác suất để người chồng sẽ tham gia bỏ phiếu, biết rằng vợ anh ta không tham gia bỏ
phiếu là

16


P ( A B') =

P ( AB') P ( A ) − P ( AB ) 0,21− 0,15 1
=
=
=
P ( B')
P ( B')
0, 72
12

2.12. Xác suất để một bác sỹ chuẩn đoán đúng một loại bệnh là 0,7. Nếu bác sỹ chuẩn đoán sai,
xác suất để bệnh nhân bị chuẩn đốn sai phát đơn kiện địi bồi thường là 0,9. Tìm xác suất để
bác sỹ chuẩn đốn sai bệnh và bị bệnh nhân phát đơn kiện đòi bồi thường.
Bài giải:

A - biến cố bác sỹ chuẩn đoán đúng bệnh → P(A) = 0, 7 .
B - biến cố bệnh nhân bị chuẩn đoán sai phát đơn kiện → P(B A') = 0,9
Xác suất để bác sỹ chuẩn đoán sai bệnh và bị bệnh nhân phát đơn kiện đòi bồi thường là

P ( A' B ) = P ( A') P ( B A') = 0, 3. 0,9 = 0,27
2.13. Xác suất để một người đến nha sĩ sẽ phải điều trị bằng tia X là 0,6. Xác suất để một người
đang phải điều trị bằng tia X cũng sẽ phải hàn răng là 0,3. Xác suất để một người đã điều trị
xong tia X và hàn răng phải nhổ răng là 0,1. Tìm xác suất để một người đến nha sĩ sẽ phải điều
trị bằng tia X được hàn và phải nhổ răng.
Bài giải:
A - biến cố một người đến nha sĩ sẽ phải điều trị bằng tia X → P(A) = 0, 6 .
B - biến cố bệnh nhân phải hàn răng → P(B A) = 0, 3
C - biến cố bệnh nhân phải nhổ răng → P(C AB) = 0,1
Xác suất để một người đến nha sĩ sẽ phải điều trị bằng tia X được hàn và phải nhổ răng là

→ P(ABC) = P(A).P(B A).P(C AB) = 0, 6. 0, 3. 0,1 = 0, 018
2.14. Một xí nghiệp công nghiệp lớn cung cấp chỗ nghỉ qua đêm cho khách hàng tại 3 khách
sạn. Biết rằng 20% khách hàng đặt phòng tại Ramadainn, 50% ở Sheraton và 30% ở Lake view.
Tỷ lệ phòng bị hỏng hệ thống ống nước ở Ramadainn là 5%, ở Sheraton là 4% và ở Lake view là
8%. Tìm xác suất để:
(a) Một khách hàng sẽ đặt phịng có hệ thống ống nước hỏng.
(b) Một khách hàng ở khách sạn Lake view, biết rằng người đó đặt phịng có hệ thống ống nước
hỏng.
Bài giải:
A - biến cố khách hàng đặt phòng tại Ramadainn → P(A) = 0,2 .
17


B - biến cố khách hàng đặt phòng tại Sheraton → P(B) = 0,5
C - biến cố khách hàng đặt phòng tại Lake view → P(C) = 0, 3

D- phòng có hệ thống ống nước hỏng
Xác suất phịng bị hỏng hệ thống nước ở Ramadainn → P(D A) = 0, 05 .
Xác suất phòng bị hỏng hệ thống nước ở Sheraton → P(D B) = 0,04 .
Xác suất phòng bị hỏng hệ thống nước ở Lake view → P(D C) = 0,08 .
a) Xác suất khách hàng sẽ đặt phòng ở hệ thống ống nước hỏng phòng là

P(D) = P ( A ) .P ( A D ) + P ( B ) .P ( B D ) + P ( C ) .P ( C D ) = 0,054 .
b) Xác suất để khách hàng ở khách sạn Lake view đặt phịng có hệ thống ống nước tốt là

P(C D) =

P (C ).P ( D C )
P ( D)

=

0, 3. 0, 08 4
= .
0, 054
9

Bayes
3.1. Một cửa hàng bán sơn Latex và Semigloss. Tỷ lệ khách hàng mua sơn Latex là 75%; trong
đó có 60% khách hàng mua kèm chổi lăn sơn. Tỷ lệ khách hàng mua sơn Semigloss kèm chổi
lăn sơn là 30%. Chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng mua 1 thùng sơn kèm chổi lăn sơn, tính xác suất
để khách hàng đó mua loại sơn Latex.
Bài giải:
B - biến cố khách hàng mua chổi lăn sơn
A - biến cố khách hàng mua sơn Latex → P(A) = 0, 75
A’ - biến cố khách hang mua sơn Semigloss

A và A’ lập thành hệ đầy đủ
Theo đề bài: → P(B A) = 0,6; P(B A') = 0, 3;
Xác suất để khách hàng mua chổi lăn mua loại sơn Latex là

P(AB)
P(AB)
=
P(B) P(AB) + P(A' B)
P(A)P(B | A)
0, 75.0,6
=
=
= 0,857
P(A)P(B | A) + P(A')P(B | A') 0, 75.0,6 + 0,25.0, 3

P(A | B) =

3.2. Tại nhà máy sản xuất cùng 1 loại máy thiết bị thủy lợi, các máy 1,2,3 sản xuất lần lượt
25%, 35%, 40% sản phẩm của nhà máy. Tỷ lệ phế phẩm của 3 máy lần lượt là 5%, 4%, 2%. Lấy
ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho sản phẩm chung của cả nhà máy thì thấy đó là phế phẩm.
Tìm xác suất để phế phẩm đó là do máy 1 sản xuất.
18


Bài giải:
A - biến cố sản phẩm là phế phẩm
Bi - biến cố sản phẩm được sản xuất từ máy i (1 ≤ i ≤ 3)

→ P(B1 ) = 0,25, P(B2 ) = 0, 35, P(B3 ) = 0, 4
P(A B1 ) = 0,05, P(A B2 ) = 0,04, P(A B3 ) = 0,02

Bi lập thành hệ đầy đủ
Xác suất để phế phẩm đó là do máy 1 sản xuất là

P(B1 | A) =

P(AB1 )
P(AB1 )
=
P(B)
P(AB1 ) + P(AB2 ) + P ( AB3 )

P(B1 )P(A | B1 )
P(B1 )P(A | B1 ) + P(B2 )P(A | B2 ) + P(B3 )P(A | B3 )
0,25. 0,05
25
=
=
0,25. 0,05 + 0, 35.0,04 + 0, 4. 0,02 69
=

3.3. Một văn phịng có 8 chiếc chìa khóa, nhưng chỉ có 1 chiếc chìa khóa có thể mở được bất kỳ
căn hộ nào, cịn lại 7 chìa khóa hỏng. Khi dẫn khách đi giới thiệu, nhân viên văn phịng mang
ngẫu nhiên 3 chiếc chìa khóa. Nếu 40% căn hộ được giới thiệu, khơng khóa, tìm xác suất để
nhân viên đó có thể vào nhà để giới thiệu cho khách hàng.
Bài giải:
A - biến cố chìa khoá mở được căn hộ.
B - biến cố căn hộ giới thiệu mở cửa

C 11C 2 7 3
→ P(A) =

= ; P(B) = 0, 4 → P ( B') = 0,6
C 38
8
Xác suất để nhân viên đó có thể mở được cửa vào nhà để giới thiệu cho khách hàng là

P(B ∪ (B'∩ A)) = P ( B ) + P ( B') P ( A ) = 0, 4 + (0,6).(0, 375) = 0,625
3.4. Tại một vùng dân cư, tỷ lệ người trên 40 tuổi mắc chứng bệnh ung thư là 0,05. Xác suất để
một người mắc bệnh ung thư bị chuẩn đốn là có bệnh là 0,78 và xác suất để một người không
mắc bệnh ung thư bị chuẩn đốn là có bệnh là 0,06. Tìm xác suất để một người bị chuẩn đốn là
có bệnh.
Bài giải:
A - biến cố người mắc bệnh ung thư
B - biến cố người bị chuẩn đốn là có bệnh
19


→ P(A) = 0, 05, P(B A) = 0, 78, P(B A') = 0, 06
Xác suất để một người bị chuẩn đốn là có bệnh là
P(B) = P ( BA ) + P ( BA')

= P ( A ) P ( B A ) + P ( A') P ( B A') = 0, 05. 0, 78 + 0, 95.0, 06 = 0, 096

2.12. Từ 4 quả táo đỏ, 5 quả táo xanh, 6 quả táo vàng có bao nhiêu cách để chọn ra 9 quả táo mà
mỗi mầu đều có 3 quả.
Bài giải:
3
3
3
Số cách để chọn ra 9 quả táo mà mỗi mầu đều có 3 quả là C4 C5 C6 = 800


2.14. Một lô hàng gồm 12 chiếc tivi có 3 chiếc bị hỏng. Một khách sạn mua 5 chiếc tivi, hỏi
rằng xác suất để khách sạn mua phải ít nhất 2 chiếc ti vi hỏng là bao nhiêu?
Bài giải:
5
Số trường hợp có thể là C12 = 792
2
3
3
2
Số trường hợp thuận lợi là C3 . C9 + C3 . C9 = 288

Xác suất để khách sạn mua phải ít nhất 2 chiếc ti vi hỏng là P =

288 4
=
792 11

2.15. Từ một nhóm người gồm 4 nam giới, 5 nữ giới, có bao nhiêu cách để thành lập một ban
gồm 3 người
a) với số lượng nam nữ tùy ý
b) với 1 nam, 2 nữ
c) với 2 nam, 1 nữ với điều kiện đã biết 1 nam trong ủy ban này
Bài giải:
3
a) Số cách để thành lập một ban gồm 3 người với số lượng nam nữ tùy ý là C9 = 84
1 2
b) Số cách để thành lập một ban gồm 1 nam và 2 nữ là C4C5 = 40

c) Số cách để thành lập một ban gồm với 2 nam, 1 nữ với điều kiện phải có 1 nam trong ủy ban
1 1 1

này là C1 C3C5 = 15

2.16. Khả năng để một bệnh nhân hồi phục sau ca phẫu thuật tim là 0,8. Tìm xác suất để
(a) Đúng 2 trong số 3 bệnh nhân phải phẫu thuật tim cịn sống sót.
b) Cả 3 bệnh nhân phải phẫu thuật tim đều sống sót.
Bài giải:
20


Ai - biến cố bệnh nhân i phẫu thuật tim hồi phục → P(Ai ) = 0,8
Ai - biến cố độc lập.
a) Xác suất để đúng 2 trong số 3 bệnh nhân phải phẫu thuật tim cịn sống sót là

P(A1 A2 A3 ') + P(A1 A'2 A3 ) + P(A1 ' A2 A3 )
= P(A1 )P(A2 )P(A3 ') + P(A1 )P(A2 ')P(A3 ) + P(A1 ')P(A2 )P(A3 )
= 3.0,8. 0,8. 0,2 = 0, 384
b) Xác suất để cả 3 bệnh nhân phải phẫu thuật tim đều sống sót là

P(A1 A2 A3 ) = P(A1 )P(A2 )P(A3 ) = 0,8. 0,8. 0,8 = 0,512

21


BÀI TẬP BUỔI 2(Biến ngẫu nhiên)
Biến ngẫu nhiên, Phân phối xác suất rời rạc, Phân phối xác suất liên tục
3.1. Tìm c để mỗi hàm số sau là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X:
(a) f(x) = c( x2 + 4 )

với x = 0, 1, 2, 3


(b) f(x) = cC2xC33−x với x = 0, 1, 2.
ĐS: a) c = 1/30

b) c = 1/10

3.2. Một kiện hàng gồm 7 chiếc tivi trong đó có 2 chiếc bị hỏng. Một khách sạn mua
ngẫu nhiên 3 chiếc. Gọi X là số chiếc bị hỏng mà khách sạn đó mua, lập bảng phân phối
xác suất của X.
ĐS:
X

0

1

2

f(x)

2/7

4/7

1/7

3.3. Rút ngẫu nhiên liên tiếp 3 quân bài từ một bộ bài. Tìm phân phối xác suất của số
qn bích rút được.
ĐS:
X


0

1

2

3

f(x)

703/1700

741/1700

117/850

11/850

3.4. Một xạ thủ đem 5 viên đạn để bắn thử trước ngày thi bắn. Xạ thủ bắn từng viên với
xác suất trúng tâm là 0,95. Nếu bắn trúng 3 viên thì dừng khơng bắn tiếp. Gọi X là số
viên xạ thủ này đã sử dụng. Lập bảng phân phối xác suất của X.
ĐS:
X

3

4

5


f(x)

0,857375

0,12860625

0, 01401875

3.5. Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau, xác suất trong khoảng thời
gian t các bộ phận bị hỏng tương ứng là 0,2; 0,3; 0,4. Gọi X là số bộ phận bị hỏng. Tìm
phân phối xác suất của X
ĐS:
X

0

1

2

3

f(x)

0, 336

0, 452

0,188


0, 024


3.6. Một hộp chứa 4 đồng một hào và 2 đồng năm xu. Chọn ngẫu nhiên 3 đồng tiền.
Tìm phân phối xác suất của tổng T của 3 đồng tiền. Lập bảng phân phối của T
ĐS:
T

20

25

30

f(t)

0,2

0,6

0,2

3.7. Một hộp có 4 quả bóng đen và 2 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 quả bóng
theo phương thức có hồn lại. Tìm phân phối xác suất của số quả bóng xanh.
ĐS:
X

0

1


2

3

f(x)

8/27

4/9

2/9

1/27

3.8. Phân phối xác suất của X, trong đó X là số lỗi trên 10 m vải sợi tổng hợp trong một
súc vải có độ rộng giống nhau, được cho bởi bảng sau:
X
f(x)

0

1

2

0,41

0,37


0,16

3

4

0,05

0,01

Tìm hàm phân phối tích lũy của X.

ĐS:

⎧
⎪
⎪
⎪⎪
F ( x) = ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪⎩

0

, x<0

0,41 , 0 ≤ x < 1
0,78 , 1 ≤ x < 2

0,94 , 2 ≤ x < 3
0,99 , 3 ≤ x < 4
1

, x≥4

3.9. Một công ty đầu tư phát hành đợt trái phiếu có kì hạn biến đổi theo năm. Gọi T là kì
hạn tính theo năm của một trái phiếu được chọn ngẫu nhiên. Biết T có hàm phân phối
tích lũy như sau:
⎧
⎪
⎪⎪
F (t ) = ⎨
⎪
⎪
⎪⎩

0
1/ 4
1/ 2
3/ 4
1

,
,
,
,
,

t <1

1≤ t < 3
3≤t <5
5≤t <7
t≥7

Tìm:
(a) P( T = 5 ).

(b) P( T > 3 ).

(c) P( 1,4 < T < 6 ).


ĐS: a)

1
4

b)

1
2

c)

1
2

3.10. Tỷ lệ người trả lời các thư chào hàng qua đường bưu điện là một biến ngẫu nhiên
liên tục X có hàm mật độ như sau:

⎧ 2( x + 2)
; 0 < x <1
⎪
f ( x) = ⎨ 5
⎪
; x ∉ (0, 1)
⎩ 0

(a) Hãy chứng minh P( 0 < X < 1 ) = 1.
(b) Tìm xác suất để có từ 1/4 đến 1/2 số người được liên hệ trả lời các thư chào hàng nói
trên.
ĐS: b)

19
80

3.11. Xét hàm mật độ
⎧
⎪k x , 0 < x < 1
f ( x) = ⎨
⎪
⎩0, x ∉ (0,1)

(b) Tìm F ( x) và sử dụng nó để tính P(0,3 < X < 0,6) .

(a) Tìm k.
ĐS:
(a) k =

3

2

⎧
⎪
⎪
F(x) = ⎨
⎪
⎪⎩

(b)

0
x

3
2

,

x<0

, 0 ≤ x <1
1

,

x ≥1

P(0, 3 < X < 0, 6) ! 0, 3004
3.12 Thời gian (đơn vị đo: 100 giờ) mà một gia đình cho chạy một chiếc máy hút bụi

trong một năm là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ như sau:
⎧
⎪
f ( x) = ⎨
⎪
⎩

x,

0 < x <1

2− x , 1≤ x < 2
0,

x ∉ (0,2)

a) Tìm F(x)
b) Tìm xác suất để trong một năm, một gia đình cho chạy máy hút bụi của họ
+ ) Ít hơn 120 giờ.
ĐS:

+) Từ 50 đến 100 giờ.


⎧
⎪
⎪
⎪
a) F(x) = ⎨
⎪

⎪
⎪
⎩

0

x<0

,

x2
2

0 ≤ x <1

,

x2
− 1,
2
1
,

2x −

1≤ x < 2
x≥2

b)


P(X < 1, 2) = 0, 68

P(0,5 < X < 1) = 0, 375

3.13. Thời gian chờ tính theo giờ giữa 2 lần bắn liên tiếp của một thiết bị bắn tốc độ ô tô
sử dụng công nghệ rada là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối tích lũy như
sau:
!!!
𝑛ế𝑢 𝑥 > 0
𝐹 𝑥 = 1−𝑒
0
𝑛ế𝑢 𝑥 ≤ 0

Tìm xác suất để thời gian chờ đó ít hơn 10 phút.
(a) Sử dụng hàm phân phối tích lũy của X.
(b) Sử dụng hàm mật độ xác suất của X.
ĐS: 0,995
Các tham số đặc trưng:
4.1. Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất như sau:
X

−2

3

5

f(x)

0,3


0,2

0,5

Hãy tìm kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.
ĐS: µ = 2,5

σ 2 = 6,85 → σ = 2,617

4.2. Gọi X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất như sau:
X

-3

6

9

f(x)

1/6

1/2

1/3

Hãy tìm kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên g ( X ) = (2 X + 1)2 .
ĐS: µ = 209, σ 2 = 14144
4.3. Một công ty kỹ nghệ lớn phải mua một số máy chữ vào cuối mỗi năm, số máy phải

mua còn tùy thuộc vào tần số sửa chữa những máy đã có năm trước. Giả sử số máy chữ
X phải mua mỗi năm có phân phối xác suất là