Đề bài Đại Số chọn lọc dùng HSG
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI H.S.G - PHẦN ĐẠI SỐ
Bài1: a) Cho a,b,c∈[0 ; 2]và a + b + c = 3. C/m BĐT: a
2
+ b
2
+ c
2
≤ 5.
b) Cho x,y,z ∈[
1;
3
1
−
] và x + y + z = 1. Tìm GTLN biểu thức:
P = x
2
+ y
2
+ z
2
.
Bài 2: Cho A = 2
20072...52321
++++
;
B = 2
200820062...62422
+++++
(mỗi tổng có 1004 số hạng).
So sánh A và B ?

Bài 3: a) C/minh BĐT:
3333
1
...
4
1
3
1
2
1
n
++++
<
4
1
(với n
∈
N ; n
≥
2).
b) C/minh BĐT:
10
1
100
99
....
6
5
.
4

3
.
2
1
<
. (vế trái là tích 50 phân số )
c) C/minh BĐT:
27
5
6...663
6...663
6
1
<
+++−
+++−
<

(tử nhiều hơn mẫu một dấu căn bậc hai).
Bài 4: C/minh BĐT:
5
2
1000
1
999
1
...
5
1
4

1
3
1
2
1
<+−+−+−
.
Bài 5: a) Cho a,b,c ∈[0 ; 1]. C/minh BĐT:
2
111
≤
+
+
+
+
+
ab
c
ca
b
bc
a
.
b) Cho a,b,c ∈[0 ; 2]. Tìm GTLN biểu thức: E =
444
+
+
+
+
+

ab
c
ca
b
bc
a
.
Bài 6: Cho hai phương trình bậc hai (ẩn x): ax
2
+ bx + c = 0 ( 1 ) và
cx
2
+ bx + a = 0 ( 2 ) ( với a.c < 0 ). Gọi
βα
;
lần lượt là hai nghiệm lớn nhất của
( 1 ) và ( 2 ) . CMR:
2
≥+
βα
.
Bài 7: Cho a ; b ; c là các số thực thõa điều kiện (a + c)(a + b + c) <0.
C/minh BĐT: ( b - c )
2
> 4a( a + b + c ).
Bài 8: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác ; p là nửa chu vi ; r là bán kính
đường tròn nội tiếp . C/minh BĐT:

2222
1

)(
1
)(
1
)(
1
rcpbpap
≥
−
+
−
+
−
.
Bài 9: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác ; R là bán kính đường tròn ngoại
tiếp ; x , y , z là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác đến các
cạnh . C/minh BĐT:

R
cba
zyx
2
222
++
≤++
.
Bài 10: Cho a ; b ; c ; d là độ dài các cạnh một tứ giác và S là diện tích của nó .
C/minh BĐT: a + b + c + d ≥ 4
S
.


Bài 11: Tìm GTNN biểu thức: T =
2008...321
−++−+−+−
xxxx
.
Bài 12: a) Cho x ; y ; z ≥ 0 và x
2
+ y
2
+ z
2
= 27 . Tìm GTNN biểu thức:
A = x
3
+ y
3
+ z
3
.
b) Cho x ; y ; z ≥ -1 và x
2
+ y
2
+ z
2
= 12 . Tìm GTNN biểu thức:
B = x
3
+ y

3
+ z
3
.
Bài 13: Giải các phương trình vô tỷ sau:
a)
211
222
+−=+−+−+
xxxxxx
. b) x
3
+ 1 = 2
3
12
−
x
.
1
Đề bài Đại Số chọn lọc dùng HSG
c)
225432
1
1312
3
2
+−=
−
−
xx

x
x
. d)
15209145
22
+=−−−++
xxxxx
e)
xxxx
−+=+−+
149
. f)
15242
2
−−=−+−
xxxx
.
g)
431532373
2222
+−−−−=−−+−
xxxxxxx
.
h)
2007200720072016
2
3
−−=−−−
xxxx
. i) x

2
+
x
−
2
= 2
xx
−
2
2
.
k) (x+3
x
+2)(x+9
x
+18)= 120x . l)
4
211
2
x
xx
−=++−
.
m) x
2
+ x + 12
1
+
x
= 36 . n)

1111
423
−+=++++−
xxxxx
.
p)
3
3
2
3
2
)7)(2(3)7()2( xxxx
+−+=++−
. q)
131
23
−−=+
xxx
.
r)
3121327687
3 23 23 2
=−−−+−++−
xxxxxx
Bài 14: Cho m ; n là các số nguyên dương thõa điều kiện
07
>−
n
m
.

C/minh BĐT:
m
mn
1
7
>−
.
Bài 15: Cho 25 số tự nhiên khác 0 là a
1
; a
2
; a
3
; . . . ; a
25
thõa điều kiện:
9
1
...
111
25321
=++++
aaaa
. CMR: Trong 25 số đó , tồn tại hai số bằng nhau .
Bài 16: Cho x > 0 . Tìm GTNN các biểu thức sau:
a) A = x +
x
x
1
2

+
; b) B = 27x +
x
x
1
729
2
+
.
Bài 17: Tìm GTNN các biểu thức :
A =
22
23412 xxxx
−+−−+
; B =
22
1001200620028024 xxxx
−+−−+
Bài 18: a) Cho x ≤ 4 . Tìm GTNN của biểu thức: T = x
2
( 2 - x ) .
b)Biết phương trình ẩn x: x
2
+ ax + b + 142 = 0 có ngh/kép x
0

≥
-6 . Tìm GTNN của
biểu thức: K= a
2

- a
3
+ 4b .
Bài 19: Tìm số tự nhiên n (với n
∈
N
*
) sao cho tích các chữ số của số tự nhiên n này
bằng n
2
- 10n - 22 .
Bài 20: Cho a + b + c = 6 . CMR tồn tại một trong ba phương trình sau có nghiệm:
x
2
+ ax + 1 = 0 (1) ; x
2
+ bx + 1 = 0 (2) ; x
2
+ cx +1= 0 (3)
Bài 21: Cho a ; b ; c là các số thực dương thõa: a + 2b + 3c = 1. CMR
Ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
4x
2
- 4(2a + 1)x + 4a
2
+ 192abc + 1 = 0 (1)
4x
2
- 4(2b + 1)x + 4b
2

+ 96abc + 1 = 0 (2)
Bài 22: Cho x
2
+ y
2
+ xy = 1. Tìm GTLN & GTNN của biểu thức:
A = 2x
2
- xy + 3y
2
.
Bài 23: Tìm m để hệ sau có nghiệm:





=+++++
≥
+
+
0163216168
5
)2(
4
224
2
2
2
mmmxxx

x
x
x
Bài 24: Giải các phương trình vô tỷ sau:
a)
0)1(13)1(2
3
2
3
2
3
2
=−+−++
xxx
; b) x
2
+ 3x + 1 = (x + 3)
1
2
+
x

c)
218817
3 23 2
3
=−−+−−−+
xxxxx
; d) x
2

- 3x + 1 =
1
3
3
24
++
−
xx

e)
2
3
4
2881
23
3
−+−=−
xxxx
; f)
3121
3 22
=−+−
xx

2
Đề bài Đại Số chọn lọc dùng HSG
g)
5181
3 23 2
=++−

xx
; h)
x
x
x
x
xx
21
21
21
21
2121
−
+
+
+
−
=++−

i)
6)3(9
3
3
+−=−
xx
; k)
23222312
2222
+−+++=−−+−
xxxxxxx

.
Bài 25: Giải bất phương trình:
21412
33
≥++−
xx
.
Bài 26: Giải các phương trình:
a) 2x
2
- 11x +21 =
3
443
−
x
. b)
231034
−=−−
xx
.
Bài 27: Cho x ;y ; z ; t ≥ 0 và
2
1
)
4
1
()
4
1
()

4
1
()
4
1
(
≤−+−+−+−
ttzzyyxx
. CMR: x
+ y + z + t ≤ 2 .
Bài 28: Cho a ; b ∈ R . C/m BĐT: a
6
+ b
6
≥ 6a
2
b
2
- 8 .
Bài 29: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 3.
Tìm GTNN của biểu thức: T = 3a
2
+ 3b
2
+ 3c
2
+ 4abc .
Bài 30: Cho 0 < x < y ≤ z ≤ 1 và 3x + 2y + z ≤ 4 . Tìm GTLN của biểu thức: A = 3x
2
+ 2y

2
+ z
2
.
Bài 31: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác và S là diên tích của nó. C/m
BĐT: 3a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
≥ 16.S
Bài 32: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác; h
a
, h
b
, h
c
là độ dài ba đường
cao. C/m BĐT: ( a + b + c )
2
≥ 4(
222
cba
hhh
++
) .
Bài 33: Cho x.y > 0 và x
3
+ y

3
+ 3(x
2
+ y
2
) + 4(x + y) + 4 = 0. Tìm GTLN của biểu
thức: M = (x + y):xy (trích thi HSG Tỉnh Bình Đònh)
Bài 34: Cho x , y , z , t là các số thực dương . Tìm GTNN biểu thức:
A =
yx
yxt
xt
xtz
tz
tzy
zy
zyx
+
+−
+
+
+−
+
+
+−
+
+
+−
2222
Bài 35: Cho a , b , c là các số thực dương. C/m BĐT:

a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++≥++
3
3
3
3
3
3
Bài 36: Cho x , y , z > 0 và xyz = 1. Tìm GTLN biểu thức:
B =
7722
22
7722
22
7722
22
xzxz
xz
zyzy

zy
yxyx
yx
++
+
++
+
++
Bài 37: Cho x , y , z ∈ R thõa xy + yz + xz = 0 còn a , b , c là các số dương được xác
đònh:







++=
++=
++=
22
22
22
xzxzc
zyzyb
yxyxa
; hỏi a , b , c có thể là độ dài ba cạnh một tam giác không ?
Bài 38: Cho x , y thõa hệ:






≥+
≤−
≥+
yx
yx
yx
24
22
22
; tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x
2
+
y
2
.
Bài 39: Giải hệ phương trình:





=+
=+
=+
xxz
zzy
yyx

2)1(
2)1(
2)1(
3
Đề bài Đại Số chọn lọc dùng HSG
Bài 40: Cho A =
333
3
216
1
...
6
1
5
1
4
1
++++
; chứng minh rằng A không là số tự nhiên
.
Bài 41: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác vuông (c là độ dài cạnh huyền).
Tìm GTNN biểu thức: P =
abc
cabcba )()(
22
+++
.
Bài 42: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh một tam giác. C/m BĐT:
3
3

33
3
33
3
33
42
<
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
Bài 43: a) Cho a ; b ; c > 0 và abc = 1. Tìm GTLN biểu thức:
T =
32
1
32
1
32
1
222222
++
+
++

+
++
accbba
.
b) Cho x ; y ; z ; t > 0 và xyzt = 1. Tìm GTLN biểu thức:K =
623623623623
333333333333
+++
+
+++
+
+++
+
+++
yxt
t
xtz
z
tzy
y
zyx
x
Bài 44: Cho a , b , c > 0 . C/m BĐT:
1
3
)1(
1
)1(
1
)1(

1
+
≥
+
+
+
+
+
abcaccbba
.
Bài 45: Cho △ABC có
·
BAC
≥ 90
0
; BC = a ; CA = b ; AB = c . Tìm LTNN của biểu
thức: P =
abc
accbba ))()((
+++
4