ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

VIỆN CƠ HỌC

Nguyễn Thị Nam

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐẦU VÀ SĨNG
MẶT RAYLEIGH BA THÀNH PHẦN

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Hà Nội 2010


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

VIỆN CƠ HỌC

Nguyễn Thị Nam

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐẦU VÀ SĨNG MẶT
RAYLEIGH BA THÀNH PHẦN

Chuyên ngành: Cơ học Vật thể rắn
Mã số: 60 44 21

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Chí Vĩnh

Hà Nội 2010


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này là cơng trình của riêng tơi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS
Phạm Chí Vĩnh. Các kết quả thu được khơng sao chép từ bất kỳ cơng trình nào.


Lời cảm ơn
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Phạm Chí Vĩnh, người đã tận tình hướng
dẫn tơi trong suốt q trình làm luận văn. Tơi xin cảm ơn các thầy cơ trong Khoa Tốn-CơTin học Trường ĐHKHTN và các thầy cô dạy các chuyên đề cao học đã trang bị cho tôi kiến
thức nền tảng để thực hiện luận văn này. Tôi xin cảm ơn các thành viên trong nhóm seminar
"Sóng và ứng dụng" bộ mơn Cơ học trường ĐHKHTN, tại đây tơi đã trình bày những kết
quả chính của luận văn và nhận được sự góp ý bổ ích từ các thành viên trong nhóm.
Nguyễn Thị Nam


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Phương pháp tích phân đầu
1.1

1.2


1.3

1
4

Phương pháp truyền thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Phương trình đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh hai thành phần . . . . . . . .


8

1.2.1

Phương trình chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Phương trình đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3

Hệ phương trình đối với ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.4

Phương pháp tích phân đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh ba thành phần . . . . . . . .

15


2 Sóng Rayleigh ba thành phần trong mơi trường đàn hồi nén được có ứng
suất trước

21

2.1

Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Dạng ma trận của các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3

Sóng Rayleigh ba thành phần trong mơi trường đàn hồi có ứng suất trước

.

24

2.4

Phương trình đối với ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25


2.5

Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.5.1

Trường hợp 0 < θ < π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.5.2

Trường hợp θ = 0 hoặc θ = π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Danh mục cơng trình của tác giả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34


1


Mở đầu
Sóng mặt Rayleigh được phát hiện bởi Rayleigh [11] từ hơn một thế kỷ qua (vào năm
1885), vẫn đang được nghiên cứu rất mạnh mẽ, bởi những ứng dụng to lớn của nó trong
nhiều ngành khác nhau của khoa học và kỹ thuật như: âm học, địa chấn học, khoa học vật
liệu, công nghệ viễn thông, khoa học đánh giá độ bền của vật liệu mà không phá hủy vật
liệu...
Theo Destrade [6], xuất hiện cách đây khoảng hơn 30 năm, các thiết bị sóng mặt
(Rayleigh) đã được sử dụng rộng rãi và hết sức thành công trong ngành công nghiệp truyền
thơng.
Theo Hess [8], trong những năm gần đây sóng mặt (Rayleigh) tạo ra bởi laze đã cung cấp
những công cụ mới để nghiên cứu các tính chất của vật liệu.
Có thể nói khơng q rằng, sự phát hiện ra sóng mặt của Rayleigh có ảnh hưởng to lớn
và sâu rộng đến thế giới ngày nay, trải dài từ chiếc mobile phone đến các nghiên cứu động
đất, như Adams và các cộng sự [3] đã nhấn mạnh.
Theo Malischewsky [9], vận tốc sóng Rayleigh là một đại lượng cơ bản và quan trọng,
thu hút sự quan tâm đặc biệt của các nhà địa chấn học, vật liệu khoa học và các nhà nghiên
cứu thuộc các lĩnh vực khác của vật lý.
Vì vận tốc sóng Rayleigh là nghiệm của phương trình tán sắc, nên phương trình tán sắc
dạng tường minh là mục tiêu cơ bản khi nghiên cứu sóng Rayleigh. Nó được sử dụng để giải
bài toán thuận: nghiên cứu sự phụ thuộc của vận tốc sóng Rayleigh vào các tham số vật liệu
(và các tham số khác), đặc biệt sử dụng để giải bài tốn ngược: đánh giá (khơng hư hỏng)
các tham số vật liệu (và các tham số khác) thông qua các giá trị đo được của vận tốc sóng.
Đối với môi trường đàn hồi đẳng hướng hoặc môi trường dị hướng đơn giản (chẳng hạn
môi trường đàn hồi trực hướng), để tìm phương trình tán sắc của sóng Rayleigh ta sử dụng
phương trình đặc trưng của sóng. Vì nó là phương trình trùng phương nên ta dễ dàng tìm
được biểu thức nghiệm của nó. Tuy nhiên, đối với mơi trường dị hướng phức tạp hơn (chẳng
hạn môi trường monoclinic (xem [4]), môi trường gồm các tinh thể trực hướng bị xoắn
(xem [5])), phương trình đặc trưng của sóng là phương trình bậc bốn đầy đủ, hoặc bậc sáu,
việc tìm biểu thức nghiệm của nó là rất khó khăn, nếu khơng nói là khơng thể thực hiện
được.

Để vượt qua khó khăn này, Mozhaev [10] đã đưa ra một phương pháp được gọi là “phương
pháp tích phân đầu” (method of first intergrals). Phương pháp này cho phép ta tìm được
phương trình tán sắc của sóng Rayleigh mà khơng cần sử dụng phương trình đặc trưng.


2

Destrade [6] đã cải tiến phương pháp tích phân đầu của Mozhaev [10] và đã ứng dụng rất
thành công vào các bài tốn sóng Rayleigh có hai thành phần. Theo hướng này cũng cần kể
đến nghiên cứu gần đây của PGS.TS Phạm Chí Vĩnh và các cộng sự [15]. Gần đây, Destrade [4]
và Ting [13] đã khẳng định rằng: phương pháp tích phân trình bầy bởi Mozhaev [10] khơng
có hiệu lực đối với sóng Rayleigh có ba thành phần (chẳng hạn sóng Rayleigh trong mơi
trường monoclinic có mặt phẳng đối xứng x1 = 0 hay x2 = 0, hoặc sóng Rayleigh trong môi
trường dị hướng tổng quát).
Gần đây hơn, PGS.TS Phạm Chí Vĩnh và Nguyễn Thị Nam [1] đã áp dụng thành cơng
phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh ba thành phần. Các tác giả đã không xuất
phát từ phương trình đối với chuyển dịch như Mozhaev [10], mà dựa vào phương trình đối
với ứng suất, và khơng dừng lại ở hệ chín phương trình đại số tuyến tính thuần nhất phụ
thuộc lẫn nhau đối với chín ẩn số như Ting [13], mà đi đến hệ gồm ba phương trình độc lập
đối với ba ẩn số.
Vật liệu có ứng suất trước đã và đang được sử dụng rộng dãi trong thực tiễn, nên việc
đánh giá (không phá hủy) ứng suất trước trong các cơng trình trước và trong q trình sử
dụng là hết sức cần thiết và quan trọng. Vì sóng mặt Rayleigh là một cơng cụ hữu hiệu để
thực hiện nhiệm vụ này, nên việc nghiên cứu tìm ra phương trình tán sắc, dạng tường minh,
của nó là hết sức cần thiết và có ý nghĩa, đang được nhiều tác giả quan tâm.
Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu sóng mặt Rayleigh ba thành phần truyền
trong mơi trường đàn hồi nén đựợc có biến dạng trước. Áp dụng các kỹ thuật đã được sử
dụng trong [1], phương trình tán sắc dạng tường minh của sóng đã được tìm ra. Đây là một
kết quả mới.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương.

Chương 1: Phương pháp tích phân đầu.
Chương này nhằm giới thiệu phương pháp tích phân đầu của Mozhaev [10] cho sóng
Rayleigh ba thành phần, và chứng minh rằng "phương pháp tích phân đầu Mozhaev khơng
dẫn dến một phương trình tán sắc, như mong muốn, mà dẫn đến một đồng nhất thức".
Chứng minh chi tiết này dựa trên chứng minh vắn tắt của Ting [13]. Để hiểu rõ nguồn gốc
của phương pháp tích phân đầu, và sự khác nhau của phương pháp này khi áp dụng đối với
sóng Rayleigh hai và ba thành phần, chương này cũng trình bày phương pháp truyền thống
và phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh hai thành phần.
Chương 2: Sóng Rayleigh ba thành phần truyền trong mơi trường đàn hồi nén được có
ứng suất trước.
Chương này nghiên cứu sóng Rayleigh trong mơi trường đàn hồi nén được có ứng suất trước,


3

truyền theo hướng khơng phải là hướng chính của biến dạng ban đầu. Khi đó sóng Rayleigh
là sóng có ba thành phần (chuyển dịch). Áp dụng phương pháp tích phân đầu trình bày
trong [1], tác giả khóa luận đã tìm ra phương trình tán sắc dạng tường minh.


4

Chương 1
Phương pháp tích phân đầu
1.1

Phương pháp truyền thống

1.1.1


Đặt bài tốn

Xét bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng nén được (x2 ≥ 0)

Hình 1.1: Sóng phẳng truyền theo hướng Ox1 .
Xét bài toán biến dạng phẳng
ui = ui (x1 , x2 , t), i = 1, 2, u3 ≡ 0,

(1.1.1)

trong đó ui là thành phần của vector chuyển dịch. Khi đó phương trình chuyển động có dạng
(λ + 2µ)u1,11 + àu1,22 + ( + à)u2,12 = uă1 ,
( + à)u1,12 + àu2,12 + ( + 2à)u2,12 = uă2 ,

(1.1.2)

c1 2 u1,11 + c2 u1,22 + (c1 2 − c2 2 )u2,12 = uă1 ,
(c1 2 c2 2 )u1,12 + c1 2 u2,22 + c2 2 u2,11 = uă2 ,

(1.1.3)

hay


5
λ + 2µ
µ
, c2 =
tương ứng là vận tốc sóng dọc, sóng ngang trong mơi
ρ

ρ
trường đàn hồi đẳng hướng nén được, λ, µ là các hằng số Lamé, ρ là mật độ khối lượng, σ12 ,
trong đó c1 =

σ22 liên hệ với các thành phần chuyển dịch u1 , u2 bởi
σ12 = µ(u1,1 + u2,1 ),
σ22 = λ(u1,1 + u2,2 ).

(1.1.4)

Các thành phần ứng suất σ12 , σ22 thoả mãn điều kiện tự do với ứng suất
σ12 = σ22 = 0,

x2 = 0.

(1.1.5)

Đối với sóng mặt Rayleigh, ứng suất và chuyển dịch phải tắt dần ở vô cùng
u1 (+∞) = u2 (+∞) = σ12 (+∞) = σ22 (+∞) = 0.

1.1.2

(1.1.6)

Phương trình đặc trưng

Ta tìm nghiệm của hệ phương trình chuyển động (1.1.3) dưới dạng sóng truyền theo Ox1 với
vận tốc c
u1 = Ae−bx2 eik(x1 −ct) ,
u2 = Be−bx2 eik(x1 −ct) ,


(1.1.7)

trong đó k là số sóng, A, B, b là các hằng số, Reb > 0 để thoả mãn điều kiện tắt dần ở vô
cùng.
Thay (1.1.7) vào (1.1.3) dẫn đến hệ
[(c2 − c1 2 )k 2 + c2 2 b2 ]A − i(c2 − c1 2 )kbB = 0,
−i(c1 2 − c2 2 )kbA + [(c2 − c1 2 )k 2 + c1 b2 ]B = 0.

(1.1.8)

Do A, B không đồng thời bằng 0 nên định thức của (1.1.8) phải bằng 0, tức là
[c2 2 b2 − k 2 (c1 2 − c2 )][c1 b2 − k 2 (c2 2 − c2 )] + k 2 (c1 2 − c2 2 )b2 = 0,

(1.1.9)

hay
c1 2 c2 2 b4 − k 2 b2 [2c1 2 c2 2 − (c1 2 + c2 2 )c2 ] + k 4 (c1 2 − c2 )(c2 2 − c2 ) = 0.

(1.1.10)

Phương trình (1.1.10) được gọi là phương trình đặc trưng của sóng mặt Rayleigh trong mơi
trường đàn hồi đẳng hướng. Đó là phương trình trùng phương đối với b. Biệt thức ∆ của
(1.1.10)
∆ = k 4 (c1 2 − c2 2 )2 c4 .

(1.1.11)


6

Dễ dàng chứng minh được rằng 0 < c2 < c2 2 [2]. Điều này có nghĩa là vận tốc của sóng
Rayleigh nhỏ hơn vận tốc sóng ngang. Hai nghiệm dương của phương trình đặc trưng là


c2



,
b
=
k
1
−
 1
c21
(1.1.12)

c2



b 2 = k 1 − c 2 .
2
Thay b2 vào (1.1.8)1 ; b1 vào (1.1.8)2 ta có hệ thức sau

B
b

 1 = − 1,

A1
ik
ik
B
2


=− .
A2
b2

1.1.3

(1.1.13)

Phương trình tán sắc

Nghiệm tổng quát của (1.1.3) tính đến (1.1.13) cho ta

u1 = (A1 e−b1 x2 + A2 e−b2 x2 )eik(x1 −ct) ,
b
ik
u1 = (− 1 A1 e−b1 x2 + A2 e−b2 x2 )eik(x1 −ct) .
ik
b2

(1.1.14)

Để tìm ứng suất σ12 , σ22 ta thay (1.1.14) vào (1.1.4) và chú ý đến điều kiện tự do với ứng
suất (1.1.5) ta được


c2 2 2 A 2


)k
2b
A
+
(2
−
= 0,
 1 1
c22
b2
A2
c2


= 0.
(2 − 2 )A1 + 2b2
c2
b2

(1.1.15)

Do A1 , A2 không đồng thời bằng 0 nên định thức của (1.1.15) phải bằng 0, hay
(2 −

c2 2
) −4

c22

1−

c2
c21

1−

c2
= 0,
c22

(1.1.16)

đây là phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh trong mơi trường đàn hồi đẳng hướng
nén được, được Rayleigh [11] tìm ra năm 1885.
Để có được (1.1.16) ta phải giải (1.1.10). Đây là một phương trình trùng phương đối với
b, tức là phương trình bậc hai đối với b2 . Do đó, ta dễ dàng tìm được cơng thức biểu diễn
hai nghiệm với phần thực dương.
Tuy nhiên, với môi trường phức tạp hơn thì phương trình đặc trưng của sóng khơng có
dạng trùng phương, mà có dạng bậc bốn đầy đủ (hoặc bậc sáu đối với sóng ba thành phần).


7

Việc tìm cơng thức biểu diễn hai (hoặc ba) nghiệm với phần thực dương là không thể thực
hiện được, lúc đó phương pháp truyền thống khơng cịn hiệu lực nữa. Để vượt qua khó khăn
này, Mozhaev [10] đưa ra phương pháp "Tích phân đầu" vào năm 1995 và được Destrade [4]
cải tiến năm 2001.



8

1.2

Phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh hai
thành phần

Ta trình bày phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh hai thành phần thơng qua bài
tốn truyền sóng Rayleigh trong môi trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0
(xem [12]). Chú ý rằng bài tốn này được cơng bố một cách vắn tắt bởi Destade [4] vào năm
2001.

1.2.1

Phương trình chuyển động

Xét bài tốn truyền sóng mặt Rayleigh trong bán không gian đàn hồi (x2 ≥ 0), nén được,
monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0.
Xét bài toán biến dạng phẳng

Hình 1.2: Sóng Rayleigh hai thành phần truyền trong bán không gian x2 ≥ 0 theo hướng
Ox1

ui = ui (x1 , x2 , t),

i = 1, 2,

u3 ≡ 0,


(1.2.1)

ui là thành phần của vector chuyển dịch.
Khi đó phương trỡnh chuyn ng cú dng
11,1 + 12,2 = uă1
12,1 + 22,2 = uă2 ,

(1.2.2)

trong ú ij l cỏc thnh phn của ten xơ ứng suất, ρ là mật độ khối lượng của vật liệu, dấu
"." chỉ đạo hàm theo biến thời gian t, dấu "," chỉ đạo hàm theo biến không gian xk .


9

Liên hệ giữa ứng suất σij (i, j = 1, 2) và biến dạng ij , (i, j = 1, 2) bởi
  


σ11
C11 C12 C13 0
0 C16
11
σ22  C12 C22 C23 0


0 C26 
  
  22 

σ33  C13 C23 C33 0


0 C36 
 =
  33 
σ23   0


0
0 C44 C45 0 
  
 2 23 
σ13   0


0
0 C45 C55 0
2 13 
σ12
C16 C26 C36 0
0 C66
2 12


σ11 = C11 11 + C12 22 + 2C16 12
⇒ σ12 = C16 11 + C26 22 + 2C66 12


σ22 = C12 11 + C22 11 + 2C26 12 ,


(1.2.3)

(1.2.4)

trong đó Cij là các hằng số đàn hồi của vật liệu, và

11

= u1,1 ,

22

= u2,2 ,

2

12

= u1,2 + u2,1 .

(1.2.5)

Thay (1.2.4), (1.2.5) vào (1.2.2) ta thu được các phương trình chuyển động đối với chuyển
dịch có dạng
C11 u1,11 + 2C16 u1,12 + C66 u1,22 + C16 u2,11 + (C12 + C66 )u2,12 + C26 u2,22
C16 u1,11 + (C12 + C26 )u1,12 + C26 u1,22 + C66 u2,11 + 2C26 u2,12 + C22 u2,22 .

(1.2.6)


Như vậy, các thành phần của vector chuyển dịch của sóng Rayleigh , u1 , u2 phải thỏa mãn
phương trình (1.2.6) đồng thời phải thỏa mãn điều kiện tắt dần ở vô cùng
u1 (+∞) = u2 (+∞) = 0.

(1.2.7)

Điều kiện tự do với ứng suất tại x2 = 0
σ12 = σ22 = 0.

1.2.2

(1.2.8)

Phương trình đặc trưng

Giả sử sóng Rayleigh truyền theo hướng dương của trục Ox1 , khi đó ta tìm nghiệm của
(1.2.6) dưới dạng
ui = Ui (y)eik(x1 −ct) ,

i = 1, 2,

(1.2.9)

trong đó y = kx2 , k là số sóng, c là vận tốc truyền sóng, Ui (y) là biên độ của sóng.
Thay (1.2.9) vào (1.2.6) ta thu được hai phương trình vi phân cấp hai đối với hai ẩn
U1 (y), U2 (y). Dưới dạng ma trận nó được viết như sau
αU + iβU − γU = 0,

(1.2.10)



10

trong đó




U=















α=






U1
U2
C66 C26
C26 C22
(1.2.11)




2C16
C12 + C66



β=


C12 + C66
2C66










C11 − ρc2

C16



γ
=
,

C16
C66 − ρc2
dấu ” ” chỉ đạo hàm theo biến y = kx2 .
Ta tìm nghiệm của (1.2.10) dưới dạng
U1 = Aeipy ,

U2 = Beipy ,

(1.2.12)

trong đó phần ảo của p phải dương để thỏa mãn điều kiện tắt dần ở vô cùng (1.2.7), A, B là
các hằng số.
Thay (1.2.12) vào (1.2.10) ta thu được phương trình xác định p
ω4 p4 − 2ω3 p3 + ω2 p2 − 2ω1 p + ω0 = 0

(1.2.13)

= S11
= S16
= S66 + 2S12 − [S11 (S22 S66 ) − S12 2 − S16 2 ]X
= S26 + [S22 (S22 − S12 ) + S26 (−S11 S12 )]X



S11 S12 S16


= S22 − [(S11 + S66 ) − S26 2 − S26 2 ]X + S12 S22 S26  ,
S16 S26 S66

(1.2.14)

trong đó


ω4





ω3





ω2
ω1









ω0





X = ρc2 , các hằng số Sij (i, j = 1, 2, 6) được gọi là các hằng số độ mềm của vật liệu, và đuợc
xác định qua Cij như sau


 

C11 C12 C16
S11 S12 S16
1 0 0
C12 C22 C26  S12 S22 S26  = 0 1 0 .
C16 C26 C66
S16 S26 S66
0 0 1

(1.2.15)

Phương trình (1.2.13) là phương trình đặc trưng của sóng Rayleigh trong mơi trường đang
xét. Đó là phương trình bậc 4 đầy đủ đối với p không phải là phương trình trùng phương



11

như trong trường hợp đàn hồi đẳng hướng. Để tìm phương trình tán sắc của nó ta cần sử
dụng phương pháp tích phân đầu.

1.2.3

Hệ phương trình đối với ứng suất

Hệ (1.2.10) là hệ phương trình đối với chuyển dịch. Đặt
σi2 = kti (y)eik((x1 −ct)

(i = 1, 2),

(1.2.16)

ta xem ti (y) là biên độ của các thành phần ứng suất (trên mặt x2 = const). Mục đích tiếp
theo là ta đi tìm một hệ phương trình đối với ứng suất t1 (y), t2 (y) tương tự như (1.2.10),
được gọi là hệ phương trình đối với ứng suất. Thay (1.2.9), (1.2.16) vào (1.2.4)2 (1.2.4)3 và
sử dụng (1.2.5) ta có
t = P U + iQU,

(1.2.17)

trong đó
t=

t1
C66 C26
C16 C66

,P =
,Q =
.
t2
C26 C22
C12 C26

(1.2.18)

Từ (1.2.17) suy ra
U = P −1 t − iP −1 QU = iN1 U + N2 t,

(1.2.19)

trong đó
N1 = −P −1 Q =


1


r6 = −


∆












1


r
=
−
2


∆



−r6 −1
n
n
, N2 = P −1 66 26 ,
−r2 0
n26 n22

(1.2.20)

C12 C16
S

= 16 ∆ = C22 C66 − C26 2
S11
C16 C66
C12 C26
S
C26
1 S11 S16
= 12 n26 = −
=
S11
∆
S11 S12 S22
C16 C66




c2
1


n66 = 2 =


∆
S11











1
C66



n22 = ∆ = S
11

(1.2.21)
S11 S16
S16 S66
S11 S12
.
S12 S22

Thay (1.2.9), (1.2.16) vào (1.2.2) và chú ý đến (1.2.4)1 (1.2.5) ta có
t1 = (C11 − ρc2 )U1 + C16 U2 − iC16 U1 − iC12 U2
t2 = −it1 − ρc2 U2 ,

(1.2.22)


12


Sử dụng (1.2.19) để biểu diễn U1 , U2 qua U1 , U2 , t1 , t2 rồi thay vào (1.2.22)1 ta thu được
t1 = (η − ρc2 )U1 − ir6 t1 − ir2 t2 ,

(1.2.23)

C
C12 C16
1 11
1
C12 C22 C26 =
η = C11 − C12 r2 − C16 r6 =
.
∆
S11
C16 C26 C66

(1.2.24)

trong đó

Từ (1.2.19) (1.2.23) (1.2.22)2 ta thu được hệ phương trình vi phân cấp 1 đối với 4 ẩn
U1 , U2 , t1 , t2 viết dưới dạng ma trận như sau
ξ = N ξ,
 
U1
U2 

ξ=
 t1  ,
t2


(1.2.25)

iN1
N2
,
−(N3 + XI) i(N1 )T

N=

N3 =

η 0
,
0 0

(1.2.26)

N1 , N2 được xác định bởi (1.2.20),(1.2.21), ký hiệu T chỉ sự chuyển vị của ma trận. Phương
trình (1.2.25) được viết như sau
U
t

=

iN1
N2
−(N3 + XI) iN1T

U

,
t

(1.2.27)

hay
U = iN1 U + N2 t
t = −(N3 + XI)U + iN1 T t.

(1.2.28)

Khử U từ hệ (1.2.28) ta thu được phương trình sau
ˆ − γˆ t = 0,
α
ˆ t − iβt

(1.2.29)

ˆ γˆ là các ma trận thực đối xứng và được xác định như sau
trong đó α
ˆ , β,


ˆ = −(N3 + XI)−1
α
βˆ = −N1 (N3 + XI)−1 − (N3 + XI)−1 N1 T


γˆ = N2 − N1 (N3 + XI)−1 N1 T ,
cụ thể

r6
0 
η−X
ˆ 
r2
1 , β =  1
−
0
−
X
η−X
X


2
r6
r2 r6
n66 + η − X n26 + η − X 
.
γˆ = 

r2 r6
r2 2 
n26 +
n22 +
η−X
η−X

1
η − X

α
ˆ=






−2


1
r2
−
X
η − X,

0
(1.2.30)


13

1.2.4

Phương pháp tích phân đầu

Giả sử ϕ(y), g(y) là các hàm giá trị phức của biến thực y ∈ [0; +∞). Ta định nghĩa tích vơ
hướng của chúng như sau


∞

(ϕ¯
g + ϕg)dy,
¯

< ϕ, g >=

(1.2.31)

0

trong đó ký hiệu g¯, ϕ¯ chỉ giá trị liên hợp của g, ϕ.
Dưới dạng thành phần (1.2.29) được viết như sau
α
ˆ ik tk − iβˆik tk − γˆik tk = 0,

i = 1, 2, 3.

(1.2.32)

Nhân hai vế của (1.2.32) với itj ta được
α
ˆ ik itk tj + βˆik tk tj + γˆik tk itj = 0,

i = 1, 2, 3.

(1.2.33)

i = 1, 2, 3.


(1.2.34)

Lấy liên hợp hai vế của (1.2.33) ta được
α
ˆ ik itk tj + βˆik tk tj + γˆik tk itj = 0,
Cộng vế với vế của (1.2.33) và (1.2.34) cho ta
α
ˆ ik (itk tj + itk tj ) + βˆik (tk tj + tk tj ) + γˆik (tk itj + tk itj ) = 0.

(1.2.35)

Đưa vào các ma trận vuông cấp hai D, E, F xác định như sau
Dkj =< itk , tj >,

Ekj =< tk , tj >,

Fkj =< tk , itj > .

(1.2.36)

Khi đó, bằng cách lấy tích phân hai vế (1.2.35) từ 0 đến +∞ ta có
α
ˆ ik Dkj + βˆik Ekj + γˆik Fkj ,

(1.2.37)

ˆ + γˆ F = 0.
α
ˆ D + βE


(1.2.38)

hay dưới dạng ma trận

Tiếp theo ta đi chứng minh các ma trận D, E, F là các ma trận phản đối xứng, tức là
Dkj = −Dkj , Ekj = −Ekj , Fkj = −Fkj .
Thật vậy, từ (1.2.31) và (1.2.36) ta có
∞

+∞

Fkj =

(tk itj + tk itj )dy =
0

(−itk tj + itk tj )dy,
0
∞

+∞

(tj itk + tj itk )dy =

Fjk =
0

⇒ Fkj + Fjk = 0,


(−itj tk + itj tk )dy,
0

(1.2.39)


14

⇒ (Fkj )là ma trận phản đối xứng.
+∞

(itk tj + itk tj + itj tk + itj tk )dy

Dkj + Djk =
0
+∞

(−itk tj + itk tj − itj tk + itj tk )dy,

=
0

xét tích phân từng phần
+∞

+∞
0

+∞


f dg = (f g )|+∞
−
0

(g f )dy =
0

g df,
0

áp dụng tích phân từng phần trên và chú ý đến các điều kiện trên biên ta được Dkj +Djk = 0.
Chứng minh tương tự ta có Ekj + Ejk = 0.
Như vậy các ma trận D, E, F có thể biểu diễn dưới dạng như sau
0 d
0 e
0 f
D=
, E=
,
,
−d 0
−e 0
−f 0
⇒

α
ˆ 11 α
ˆ 12
α
ˆ 12 α

ˆ 12

βˆ
0 d
βˆ
+ ˆ11 ˆ12
−d 0
β12 β22

0 e
γˆ
γˆ
+ 11 12
γˆ12 γˆ22
−e 0

0 f
= 0,
−f 0


−ˆ
α12 d − βˆ12 e − γˆ12 f = 0



α
ˆ 11 d + βˆ11 e + γˆ11 f = 0
⇒


α
ˆ 12 d + βˆ12 e + γˆ12 f = 0



α
ˆ 22 d + βˆ22 e + γˆ22 f = 0.

(1.2.40)
(1.2.41)

(1.2.42)

Do d, e, f không đồng thời bằng 0 nên
α
ˆ 11 βˆ11 γˆ11
α
ˆ 12 βˆ12 γˆ12 = 0.
α
ˆ 22 βˆ22 γˆ22

(1.2.43)

Đây chính là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh trong mơi trường đàn hồi monoclinic.
Do α12 = β22 = 0 nên ta có
βˆ12 (ˆ
α11 α
ˆ 12 − α
ˆ 22 α
ˆ 11 ) = −ˆ

α22 βˆ12 βˆ12 .

(1.2.44)

Sử dụng (1.2.30) phương trình (1.2.44) trở thành
[η − (1 − r2 )X](η − X)[(η − X)(n66 X − 1) + r6 2 X] + X 2 [(η − X)n22 + r2 2 ]
+2r6 X 2 (η − X)[(η − X)n26 + r2 r6 ] = 0.

(1.2.45)

Đây là phương trình bậc 4 đối với X = ρc2 .
Như vậy, bằng phương pháp tích phân đầu ta đã tìm được phương trình tán sắc của sóng
Rayleigh trong mơi trường đàn hồi nén được, monoclinic mà không cần sử dụng phương trình
đặc trưng. Khác với Mozhaev [10] sử dụng phương trình chuyển động đối với chuyển dịch,
Destrade [4] xuất phát từ phương trình chuyển động đối với ứng suất, nên các điều kiện tự
do với ứng suất và tắt dần ở vô cùng được sử dụng một cách triệt để.


15

1.3

Phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh ba
thành phần

Phần này trình bày "Phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh ba thành phần" được
giới thiệu bởi Mozhaev [10]. Xét môi trường đàn hồi bất đẳng hướng nén được tổng qt,
chiếm phần khơng gian x3 ≥ 0. Phương trình chuyển động có dạng
∂σij
∂ 2 ui

=ρ 2 ,
∂xj
∂t

(i, j = 1, 2, 3).

(1.3.1)

Tìm nghiệm của (1.3.1) dưới dạng
ui = Ui (kx3 )eik(x1 −ct) ,

(1.3.2)

k là số sóng, c là vận tốc sóng. Tính đến (1.3.2), các thành phần biến dạng xác bởi các công
thức sau
11

2

12

= ikU2 eik(x1 −ct) , 2

13

= ikU1 eik(x1 −ct) ,

= k(U1 + iU3 )eik(x1 −ct) , 2

33

23

= kU3 ek(x1 −ct) ,
= kU2 eik(x1 −ct) ,

(1.3.3)

dấu phẩy chỉ đạo hàm theo biến y = kx3 . Do (1.3.3) liên hệ giữa ứng suất và chuyển vị có
dạng (xem [12])
  
c11
σ11
σ22   0
  
σ33  c13
 =
σ23  c14
  
σ13  c15
c16
σ12

0
0
0
0
0
0

c13

0
c23
c34
c35
c36

c14
0
c34
c44
c45
c46

c15
0
c35
c45
c55
c56



c16
11


0
  22 



c36 
  33  .


c46  2 23 

c56  2 13 
2 12
c66

(1.3.4)

Thay (1.3.3), (1.3.4) vào (1.3.1) ta thu được hệ phương trình chuyển động sau đây
αik Uk + iβik Uk − γik Uk = 0,



c55 c45 c35
2c15
c14 + c56
2c46
αik = c45 c44 c34  , βik = c14 + c56
c35 c34 c33
c13
c36 + c45



c11 − ρv 2
c16

c15
c11 c16
c66 − ρv 2
c56  = c16 c66
γik =  c16
c15
c56
c55 − ρv 2
c15 c56

(1.3.5)

c13 + c55
c36 + c45  ,
2c35

c15
c56  − IX,
c55

I là ma trận đơn vị. Để đơn giản trong trình bày, từ nay về sau, thay cho Ui ta viết là ui
(i = 1, 2, 3). Nhân hai vế phương trình (1.3.5) với uj hoặc iuj cho ta
αik < uk , uj > +βik < iuk , uj > −γik < uk , uj >
=0
αik < uk , iuj > +βik < iuk , iuj > −γik < uk , iuj > = 0,

(1.3.6)


16


trong đó tích vơ hướng < ... > xác định bởi (1.2.31). Đặt
Akj =< uk , uj >,

Bkj =< iuk , uj >,

Dkj =< uk , iuj >,

Ckj =< uk , uj >

Ekj =< iuk , iuj >,

(1.3.7)

Fkj =< uk , iuj > .

Thay (1.3.7) vào (1.3.6) ta có hệ
αik Akj + βik Bkj − γik Ckj = 0,
αik Dkj + βik Ekj − γik Fkj = 0, (i, j = 1, 2, 3).

(1.3.8)

Sử dụng (1.2.31) và (1.3.7), dễ dàng chứng minh được các đẳng thức sau
Akj + Ajk = uk u¯j + u¯k uj ,

Bkj + Bjk = 0,

Dkj − Bjk = −iuk + i¯
uk uj ,


Ckj + Cjk = uk u¯j + u¯k uj

Ekj − Cjk = 0,

(1.3.9)

Fkj + Fjk = 0.

Để thu được phương trình tán sắc của sóng, Mozhaev [10] đã biến đổi hệ (1.3.8) về hệ 18
phương trình tuyến tính thuần nhất của 18 ẩn số. Mozhaev nhận được phương trình tán sắc
của sóng bằng cách cho định thức của hệ này bằng không. Quá trình biến đổi của Mozhaev
thực hiện như sau: trước hết ta biểu diễn ma trận (Akj ) thành hai phần như sau
(Akj ) = (A0kj ) + (∆Akj ),

(1.3.10)

trong đó



0
A12 −A31
0
A23  ,
(A0kj ) = −A12
A31 −A23
0
∆A4 = A23 + A32 ,





A11
0
∆A5
0 ,
(∆Akj ) = ∆A6 A22
0
∆A4 A33

∆A5 = A31 + A13 ,

(1.3.11)

∆A6 = A12 + A21 ,

chú ý rằng (A0kj ) là ma trận phản đối xứng.
Ta đưa vào ký hiệu a0ij = αik A0kj khi đó



0
A12 −A31
0
A23  ,
(a0ij ) = [α1 , α3 , α3 ] −A12
A31 −A23
0

(1.3.12)


αi là cột thứ i của ma trận (αij ).
Ký hiệu a∗ = [a011 a021 a031 a012 a022 a032 a013 a023 a033 ]T , từ (1.3.12) ta có
a∗ = [α]A,

(1.3.13)


 
0 α3 −α2
A23


A31  .
[α] = α3
,
A
=
0 −α1
A12
α2 −α1
0

(1.3.14)

trong đó



17


Ký hiệu ∆aij = αik ∆Akj , khi đó

 

A11
0
∆A5
α1 A11 + α2 ∆A6
0  =  α2 A22 + α3 ∆A4  .
(∆aij ) = [α1 , α2 , α3 ] ∆A6 A22
0
∆A4 A33
α3 A33 + α1 ∆A5
Từ điều kiện tự do đối

c55
c45
c35

với ứng suất trên mặt x3 = 0
 

c45 c35
u1
c15 c56
c44 c34  u2  + i c14 c46
c34 c33
u3
c13 c36

⇒ ui = −i

trong đó d13 = 1,

ta có
 
c55
u1
c45  u2  = 0
c35
u3

d0ik
uk = −idik uk ,
detαrs

(1.3.15)

(1.3.16)

(1.3.17)

d23 = d33 = 0,
d11

c15 c45 c35
= c14 c44 c34 ,
c13 c34 c33

d21


c55 c15 c35
= c45 c14 c34 ,
c35 c13 c33

c55 c45 c15
d31 = c45 c44 c14 ,
c35 c34 c13

c56 c45 c35
d12 = c46 c44 c34 ,
c36 c34 c33

c55 c56 c35
d22 = c45 c46 c34 ,
c35 c36 c33

c55 c45 c56
d32 = c45 c44 c46 .
c35 c34 c36

Từ (1.3.9)1 và (1.3.17) ta có
Akj + Ajk = uk u¯ j + uj u¯ k
= dkm djn (um u¯n + u¯m un )

(1.3.18)

= dkm djn Wmn ,
với Wmn = um u¯n + u¯m un .
Từ (1.3.17) và (1.3.18) suy ra

∆a∗ = ΛA W ,
trong đó ∆a∗ = [∆a11 ∆a21 ∆a31 ∆a12 ∆a22 ∆a32 ∆a13 ∆a23 ∆a33 ]T ,


d1m d1n
α
+ α2 d1m d2n
 1 2

 d2m d2n


ΛA = α2
+ α3 d2m d3n 
,
 d 2d

3m 3n
α3
+ α1 d3m d1n
2

(1.3.19)

(1.3.20)

W = [W11 W22 W33 W23 W13 W13 ]T .
Ký hiệu aij = αik Akj , a = [a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 ]T , từ (1.3.10), (1.3.13), (1.3.19)
ta có
a = [α]A + ΛA W .


(1.3.21)


18

Một cách tương tự ta cũng có
c = [γ]C + ΛC W ,

(1.3.22)

trong đó cij = γik Ckj , c = [c11 c21 c31 c12 c22 c32 c13 c23 c33 ]T , C = [C23 , C31 , C12 ]T ,


γ1 /2
0
0
0 0 γ2
,
ΛC =  0
γ2 /20 γ3 0 0
0
0
γ3 /2 0 γ1 0
[γ] có dạng (1.3.14) trong đó α thay bởi γ. Chú ý rằng B là ma trận phản đối xứng, nên
tương tự như trên ta có
b = [β]B,

(1.3.23)


trong đó bij = βik Bkj , b = [b11 b21 b31 b12 b22 b32 b13 b23 b33 ]T , B = [B23 , B31 , B12 ]T , [β] có
dạng (1.3.14) trong đó α thay bởi β. Thay (1.3.20), (1.3.21), (1.3.22) vào (1.3.8)1 ta thu được
hệ sau
[α] [β] [γ] [0] [ΛA − ΛC ]

U
= 0,
W

(1.3.24)

trong đó U = [A, B, C, F ]T là ma trận 12 × 1, F = [F23 , F31 , F12 ]T . (Chú ý rằng F là ma
trận phản đối xứng).
Biến đổi tương tự như trên với phương trình (1.3.8)2 và sử dụng (1.3.9) ta có
[0] [α] − [β] − [γ] [ΛE − ΛD ]

U
= 0,
W

(1.3.25)

trong đó


β1 /2
0
0
0 β3 0



ΛE =  0
β2 /2
0
0 0 β1  ,
0
0
β3 /2 β2 0 β3


αk dk1
0
0
0
αk dk3 αk dk2
ΛD =  0
αk dk2
0
αk dk3
0
0 .
0
0
αk dk3 αk dk2 αk dk1
0
Vậy hệ phương trình (1.3.8) tương đương với hệ sau
[α] [β] −[γ] [0] [ΛA − ΛC ]
[0] [α] −[β] −[γ] [ΛE − ΛD ]

U

= 0.
W

(1.3.26)

Đây là hệ 18 phương trình 18 ẩn số. Định thức các hệ số của hệ (1.3.26) bằng 0 là phương
trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh trong mơi trường đàn hồi dị hướng tổng quát.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh nó khơng phải là một phương trình (tán sắc), mà là một đồng


19

nhất thức. Phần trình bày này dựa trên bài báo của Ting [13].
Thật vậy, phương trình (1.3.8) có thể viết như sau
(Q − XI)(u, i¯
u) + (R + RT )(u , u¯) − T (u , i¯
u) = 0
(Q − XI)(u, u¯ ) − (R + RT )(iu , u¯ ) − T (u , u¯ ) = 0.

(1.3.27)

Sử dụng các ma trận vuông cấp ba A, B, C, D, E, F xác định bởi (1.3.7), hệ (1.3.27) được
viết như sau
(Q − XI)F + (R + RT )E − T D = 0
(Q − XI)C − (R + RT )B − T A = 0,

(1.3.28)

trong đó Q, R, T được xác định bởi (3.4) trong [13]. Đưa vào tích vơ hướng
+∞


¯ T )d(kx3 ).
(ghT + g¯h

(g, h) =

(1.3.29)

0

Ta có (xem [13])
C = (u, u¯ ) =

(u, u¯ ) − (u, u¯ )T
(u, u¯ ) + (u, u¯ )T
+
= −W + W ∗ ,
2
2

trong đó W xác định ở trên, là một ma trận đối xứng, W ∗ là một ma trận phản đối xứng,
E = C T = (−W + W ∗ )T = −W T + W ∗ T = −W − W ∗ .

(1.3.30)

Sử dụng (1.3.9) ta được
D = −(iu , u¯ ) + 2N1 W = −B + 2N1 W.

(1.3.31)


Ký hiệu vế trái của (1.3.28)1 là (Zij )3×3 . Ta sẽ chứng minh T r(Z) = 0, điều này có nghĩa là
3 phương trình


Z11 = 0
Z22 = 0


Z33 = 0
của hệ 9 phương trình đầu của (1.3.28) phụ thuộc tuyến tính. Do đó hệ 18 phương trình
(1.3.28) là phụ thuộc tuyến tính, nên định thức của hệ (1.3.28) đồng nhất bằng 0, tức là định
thức của hệ (1.3.26) đồng nhất bằng 0. Đó là điều phải chứng minh.
Chú ý
i) Dễ dàng chứng minh rằng: Vết của tích của một ma trận đối xứng với một ma trận
phản đối xứng bằng 0.
2i) Q, T là các ma trận đối xứng(xem [13]).


20
3i) N1 = −N2 RT = −T −1 RT ⇒ T N1 = −RT (xem [13]).
Sử dụng các chú ý trên, (1.3.30), (1.3.31) , và chú ý thêm rằng B, F, W ∗ , RT − R là các ma
trận phản đối xứng, R + RT là ma trận đối xứng, ta có
T r(Z) = T r[(Q − XI)F ] + T r[(R + RT )(−W − W ∗ )] − T r[T (−B + 2N1 W )],
T r(Z) = T r[−(R + RT )W ] − T r[2T N1 W ].
Do vậy
T r(Z) = T r[−RW − RT W + 2RT W ] = T r(RT − R)W = 0.
Vậy định thức của (1.3.26) là một đồng nhất thức.

(1.3.32)
(1.3.33)