/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

TRƯỜNG THCS GIẢNG VÕ
NHĨM TỐN 8
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
e)

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ II
NĂM HỌC: 2017 – 2018

( x − 2 )( x + 3) − 3( 4x − 2) = (x − 4)2 ;
2x 2 + 1 5x − 2 x 2 − 1 x − 3
−
=
;
12
8
4
6
1
2x 2 − 5
4
;
+ 3
= 2
x −1 x −1 x + x +1

3
15
7
+
+
=0
2
4x − 20 20 − 2x
6x + 30
x + 2 x +1
4
−
= 2
;
x + 3 x − 1 x + 2x − 3

f)

(x 2 − 9)(x − 7) = (x + 3)(x 2 + 6) ;

g) x − x − 20 = 0 ;

h) 2x + 2 − 2x = 1

i) 7 − x + 2x = 3 ;

k) 2x − 3 − 4x − 9 = 0

3


2

2

m) 3x + 5 = 2 − 5x ; n) x x − 3 − x 2 + x + 1 = 1
p*) x − 4 + x + 1 = 9 ;

Bài 2: Giải các bất phương trình sau rồi biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a)

(x + 3)2 − 3(2 x − 1) > x(x − 4) ;

b)

1+

c)

x + 1 2x − 1
>
−2 ;
3
6
2x − 7 2x 2x + 3
x−
<
−
−1;
4
3

2

2x + 1
≤2 ;
x −3
12 − 3x
e)
>3 ;
2x + 6
d)

f) x + 3x − 4 ≤ 0
2

g)

5
−3
<
5x − 1 5 − 3x

h*) ( 2 x − 1)( 3 − 2 x )(1 − x ) > 0

3
x
2x 2 + 3   2x − 1 
+
+ 2
:


2x
+
4
2
−
x
x
−
4

  4x − 8 


Bài 3: Cho biểu thức : A= 
a)

Rút gọn A;

c) Tính giá trị của A biết x − 1 = 3 ;

b)

Tìm x để A < 2;

d) Tìm x để A = 1 .

 3x
4
4x 2 − 23x − 12   x + 3 
+

−
:

2
2x
+
3
3
−
2x
4x
−
9

  2x + 3 

Bài 4: Cho biểu thức: B= 

c) Tìm x ∈ ℤ để B∈ ℤ ;

a)

Rút gọn B;

b)

Tính giá trị của B biết 2x + 7x + 3 = 0 ;

NĂM HỌC 2017-2018


2

d) Tìm x để B < 1 .

Page 1


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

1
1  
1
 4a + 1

+
+
: 3

2
 5a − 5 5a + 5 1 − a   a b − ab 

Bài 5: Cho biểu thức: C= 

c) Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của C để a + b = 6

a)

Rút gọn C;


b)

Tính giá trị của C biết a = ;b =

1
2

−6
5

 2x 2 + 1
1  
x2 + 3 
Bài 6: Cho biểu thức D =  3
−
 : 1 − 2

x
−
1
x
−
1

  x + x +1
a)
b)

Rút gọn D
Tìm giá trị của x để D = 3


c)
d)

Tìm những giá trị của x để D < 0
Tìm GTNN của biểu thức x.D biết x > 2

Bài 7: Một người đi xe đạp từ A đến B mất 3 giờ. Lúc về người đó đi với vận tốc nhỏ hơn lúc đi là 3km/h
nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút. Tính quãng đường AB.
Bài 8: Quãng đường AB dài 75km. Lúc 8 giờ một xe máy đi từ A và dự định đến B lúc 11 giờ, nhưng đi
đực một lúc thì xe hỏng phải dừng lại sửa mất 32 phút. Sau đó xe đi tiếp với vận tốc bằng

3
vận tốc ban
5

đầu nên đến B chậm hơn dự định 2 giờ. Hỏi xe hỏng lúc mấy giờ. Chỗ hỏng xe cách A bao nhiêu km?
Bài 9: Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h. Sau khi đi được 2 giờ với vận tốc đó,
người ấy dừng lại nghỉ 15 phút. Vì vậy để đến B đúng giờ đã định người đó phải tăng vận tốc thêm 10km/h
trên qng đường cịn lại. Tính qng đường AB?
Bài 10: Một đội sản xuất dự định làm 25 sản phNm một ngày. Do cải tiến kĩ thuật nên thực tế mỗi ngày đã
làm được 30 sản phNm, vì vậy chẳng những đã hoàn thành kế hoạch trước 3 ngày mà cịn làm vượt 10 sản
phNm. Tính số sản phNm đội phải làm theo kế hoạch.
Bài 11: Một xí nghiệp may được giao may một số áo trong 20 ngày. Xí nghiệp đã tăng năng suất 20%nên
sau 18 ngày khơng những đã làm xong số áo được giao mà còn làm thêm được 24 chiếc nữa. Tính số áo mà
xí nghiệp đã làm trong 18 ngày đó.
Bài 12: Một lâm trường dự định trồng 75ha rừng trong một số tuần lễ. Do mỗi tuần trồng vượt mức 5ha so
với kế hoạch nên đã trồng được 80ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường đã trồng
được bao nhiêu ha rừng?
Bài 13: Hai công nhân cùng làm trong 16 giờ thì xong cơng việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong

3 giờ rồi đi làm việc khác, người thứ hai làm trong 6 giờ tiếp theo thì cả hai làm được 25% cơng việc. Hỏi
nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu hồn thành công việc?

NĂM HỌC 2017-2018

Page 2


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

Bài 14: Hai tổ sản xuất phải dệt 140 áo len. Trong thực tế tổ I đã vượt mức 10% kế hoạch của mình, tổ 2
vượt mức 5% kế hoạch của mình nên cả hai tổ đã dệt được 150 áo len. Hỏi theo kế hoạch thì mỗi tổ phải
dệt bao nhiêu áo len?
Bài 15: Tìm số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục. Nếu viết thêm
chữ số 1 vào giữa hai chữ số của số đó thì đước ố mới hơn số cũ 280 đơn vị.
Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của các biểu thức sau

A = 3x 2 + 2x − 3

E* =

B = 3x − 6xy + 5y − y + 3x + 2016
2

C* =

2

x 2 + x + 20

x2 + x + 5

( x + 4 )( x + 9 )
x

F* = x 2 + 2 +

( x > 0)

1
x +2
2

Bài 17*: Chứng minh bất đẳng thức
a)
b)

1
≥2
x
1 1
( a + b )  +  ≥ 4 với a, b > 0
a b
x2 +

c) a + b + c ≥ ab + bc + ca
2

2


2

d) ( a + 1)( b + 1)( c + 1) ≥ 8 với a, b, c > 0 và

abc = 1

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC 8 – HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2017-2018

Page 3


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

TRƯỜNG THCS GIẢNG VÕ
NĂM HỌC: 2017 – 2018
NHĨM TỐN 8
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 18cm, AD = 12cm. Gọi M là trung điểm của AB. Tia DM cắt
AC tại N, cắt tia CB tại P
a)

Tính độ dài các đoan DM, DN, DP

b)

Khơng sử dụng kết quả tính được ở câu a, hãy chứng minh DN = NM.NP
2

∆ABC cân tại A có chu vi là 80cm. Đường phân giác của A và B cắt nhau tại I, AI cắt BC

AI 3
= . Tính các cạnh của ∆ABC
tại D. Cho
AD 4
Bài 2: Cho

Bài 3: Cho hình thang cân ABCD có AB là đáy nhỏ. Biết BD ⊥ BC, đường cao BH chia đáy DC thành
hai đoạn DH = 16cm, HC = 9cm
a)
b)

Tính độ dài BH, AC
Tính chu vi và diện tích của hình thang ABCD

∆ABC vng tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D và E sao cho
AD = DE = EC
b)
Chứng minh ∆BDE ∼ ∆cdb
DB DC
;
a)
Tính các tỉ số
DE DB
c)
Tính AEB + ACB
Bài 4: Cho

Bài 5: Cho hình vng ABCD. Lấy E thuộc đoạn BC, kẻ tia Ax vng góc với AE, Ax cắt CD tại F.
Trung tuyến AI của ∆AEF cắt DC tại K. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AI tại G.
a)

b)

Chứng minh AF = AE và tứ giác GEKF là hình thoi
c)
Chứng minh ∆AKF ∼ ∆CAF

Bài 6: Cho
a)

Chứng minh AF.AE = FC.GE

∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

b)

Chứng minh

∆AEF ∼ ∆CAB

Cho AH = 2,4mc; BC = 5cm. Tính S∆EAF
d)
Lấy I đối xứng với H qua AB. Từ B kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AI ở K. Chứng minh
KC, AH, EF đồng quy.
c)

Bài 7: Cho ∆ABC vuông ở A, trung tuyến BD. Phân giác của BDA và BDC cắt AB và BC lần lượt ở
M và N. Biết AB = 16cm; AD = 12cm
a)

Tính độ dài các đoạn thẳng BD, BM
S
d)
Tính AMD
b)
Chứng minh MN // AC
SDNM
c)
Tứ giác MACN là hình gì? Tính diện tích
tứ giác đó
Bài 8: Cho ∆ABC nhọn, các đường cao AM, BN cắt nhau tại K
NĂM HỌC 2017-2018

Page 4


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

a)
c)
d)

∆AKN ∼ ∆BKM
b)
Chứng minh ∆AKB ∼ ∆NKKM
2
Kẻ MH ⊥ AC ( H ∈ AC ) . Chứng minh MC = AC.HC
Chứng minh


Gọi I là giao điểm của KH và MN. Kẻ IE ⊥ AC ( E ∈ AC ) . Gọi F là giao điểm của IE và KM.

Chứng minh

1
1
2
+
=
KN MH EF

Bài 9: Cho hình vng ABCD, M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Kẻ DN ∩ CM = {I}
a)
b)
d)

c)
Chứng minh DI = 2CI; DI = 4IN
Chứng minh DN ⊥ CM
Chứng minh CI.CM = CN.CB
Gọi P là trung điểm của CD, AP cắt DI tại H. Tính diện tích tứ giác HICP biết AB = a.

Bài 10: Cho
a)
b)

∆ABC có A = 600 . Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

Chứng minh AC.AE = AB.AF
Chứng minh ∆BHC ∼ ∆FHE


c)

Tính

S∆ABC
S∆IAF

d)
Gọi I, K, L, M lần lượt là hình chiếu vng góc của D trên các đường thẳng AB, BE, CF, AC.
Chứng minh rằng I, K, L, M là bốn điểm thẳng hàng
Bài 11: Một bình nước hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH
a)
b)
c)
d)
e)

Vẽ hình hộp chữ nhật đã cho. Kể tên các đường thẳng song song với mp(EFGH)
Đường thẳng AB song song với những mặt phẳng nào?
Đường thẳng AE vuông góc với những mặt phẳng nào?
Cho AB = 15cm, BC = 11cm, AE = 8cm. Tính thể tích của hình hộp
Người ta đổ nước vào hình hộp ABCDEFGH sao cho độ cao của mực nước trong bình là 5cm sau
3

đó thả 3 viên đá vào trong bình, mỗi viên có thể tích là 82,5cm . Hỏi mực nước trong bình dâng lên bao
nhiêu cm?
Bài 12: Một hình chóp tứ giác đều có chiều cao 6cm, cạnh đáy 5cm
a)
b)


Tính diện tích xung quanh của hình chóp
Tính thể tích của hình chóp

NĂM HỌC 2017-2018

Page 5


TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ
/>HƯỚNG DẪN GIẢI:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
 −16 
a)S = 

 3 

1 
b) S =  
6

c) S = {0; 1}

115 
d )S = 

 23 

e) x = 1(KTM) ⇒ S = ∅


3

f ) S =  −3; 
2


g ) S = {−4; 5}

h) S = {1}

i ) S = {−4}

 −3 7 
m) S =  ; 
 8 2

k ) S = {−1}

n) S = {1; − 1}
2

1 3

Ta có x 2 + x + 1 =  x +  + ⇒ x 2 + x + 1 > 0 nên x 2 + x + 1 = x 2 + x + 1
2 4


….Phá GTTĐ và giải…..

p)* x − 4 + x + 1 = 9

Ta có bảng phá giá trị tuyệt đối:

-1

x
x-4

-(x - 4)

x+1

-(x + 1) 0

4
-(x - 4)

0

x+1

x-4
x+1

•
Nếu x < −1 thì phương trình trở thành:
− x + 4 − x −1 = 9
⇔ −2 x = 6
⇔ x = −3(TM )
•


Nếu −1 ≤ x < 4 thì phương trình trở thành:

−x + 4 + x +1 = 9
⇔ 0.x = 6 (vơ lí)

•
Nếu 4 ≤ x thì phương trình trở thành:
x − 4 + x +1 = 9
⇔ 2 x = 12
⇔ x = 6(TM )

Vậy S = {−3; 6}
Bài 2: Giải các bất phương trình sau rồi biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
Năm học 2017-2018

Trang 6


TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ
/>a. ( x + 3 ) − 3 ( 2 x − 1) > x ( x − 4 )
2

e.

HDG.

BPT ⇔ 4 x + 12 > 0 ⇔ x > −3

12 − 3x
>3

2x + 6

HDG. BPT ⇔ 3 −

12 − 3x
3x + 2
<0 ⇔
<0
2x + 6
x+3

3 x + 2 < 0
3 x + 2 > 0
⇔
hoặc 
 x+3 > 0
 x+3< 0

Tập nghiệm BPT là T = { x x > −3} .


2
Tập nghiệm BPT là T =  x − 3 < x < −  .
3

f. x 2 + 3x − 4 ≤ 0

x + 1 2x −1
>
−2

b. 1 +
3
6
HDG. BPT ⇔ 3 + ( x + 1) > ( 2 x − 1) − 12
⇔ x < 17

Tập nghiệm BPT là T = { x x < 17} .
c. x −

2x − 7 2x 2x + 3
<
−
−1
4
3
2

HDG.

⇔ 10 x + 51 < 0 ⇔ x <

−51
10


51 
Tập nghiệm BPT là T =  x x < −  .
10 



Tập nghiệm BPT là T = { x − 4 ≤ x ≤ 1} .
g.

5
−3
<
5 x − 1 5 − 3x

BPT ⇔

BPT ⇔

22
<0
( 5x − 1)( 5 − 3x )

1
5
hoặc x > .
5
3
5
1
Nghiệm BPT là x < hoặc x > .
5
3
⇔ ( 5 x − 1)( 5 − 3 x ) < 0 ⇔ x <

h. ( 2 x + 1)( 3 − 2 x )(1 − x ) > 0


2x +1
≤2
d.
x−3

⇔

 x −1 ≤ 0
 x −1 ≥ 0
hoặc 
⇔
x + 4 ≥ 0
x + 4 ≤ 0

HDG.

BPT ⇔12 x − 3 ( 2 x − 7 ) < 8 x − 6 ( 2 x + 3) − 12

HDG.

HDG. BPT ⇔ ( x − 1)( x + 4 ) ≤ 0

2x +1
−2≤ 0
x−3

7
≤ 0 ⇔ x < 3.
x−3


(*)

HDG.

1
3
Nghiệm BPT là − < x < 1 hoặc x > .
2
2

Tập nghiệm BPT là T = { x x < 3} .

Năm học 2017-2018

Trang 7


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

 3
x
2 x2 + 3  2 x − 1
+
+ 2
Bài 3: Cho biểu thức : A = 
:
 2x + 4 2 − x x − 4  4x − 8
a.


Rút gọn A .
ĐKXĐ x ≠ ±2 và x ≠

1
.
2


3
x
2 x2 + 3  2 x − 1
−
+ 2
Rút gọn A = 
 :
 2.( x + 2 ) x − 2 x − 4  4 ( x − 2 )

A=
b.

4 ( x − 2)
2 x2 − x
2x
.
=
2.( x − 2 )( x + 2 ) 2 x − 1
x+2

Tìm x để A < 2 .
2x

−4
<2⇔
< 0 ⇔ x > −2 .
Để A < 2 ⇔
x+2
x+2
Kết hợp đkxđ, ta được : A < 2 ⇔ x > −2 , x ≠

c.

1
, x≠2
2

Tính giá trị của A biết x − 1 = 3 .
Xét x − 1 = 3 ⇔ x = 4 hoặc x = −2 (Loại )
Khi x = 4 tính được A =

d.

2.4 4
= .
2+4 3

Tìm x để A = 1 .
Xét A = 1 ⇔

2
2x
= 1 ⇔ x = 2 ( loại ) hoặc x = − .

3
x+2

2
Vậy A = 1 ⇔ x = − .
3

 3x
4
4 x 2 − 23 x − 12  x + 3
+
−
Bài 4: Cho biểu thức : B = 
:
4x2 − 9
 2x + 3 3 − 2x
 2x + 3
a)

Rút gọn B .
ĐKXĐ: x ≠ ±

3
và x ≠ −3.
2

 3x
4
4 x 2 − 23x − 12  2 x + 3
−

−
Rút gọn B = 
.
4 x2 − 9
 2x + 3 2x − 3
 x+3
B=
b)

2 x2 + 6 x
2x + 3
2x
.
=
.
( 2 x + 3)( 2 x − 3) x + 3 2 x − 3

Tính giá trị của B biết 2 x 2 + 7 x + 3 = 0 .

Năm học 2017-2018

Trang 8


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

Xét pt: 2 x 2 + 7 x + 3 = 0 ⇔ ( 2 x + 1)( x + 3) = 0 ⇔ x = −

1

( Vì x ≠ −3 )
2

1
2x
1
vào biểu thức B =
ta được B = .
2
2x − 3
4
Tìm x ∈ Ζ để B ∈ Ζ .
2x
3
Ta viết B =
về dạng B = 1 +
.
2x − 3
2x − 3
3
∈ Ζ ⇔ 2 x − 3 ∈ Ư(3). Từ đó, ta tìm được x = 0;1;2;3 .
Để B ∈ Ζ ⇔
2x − 3
Tìm x để B < 1 .
Thế x = −

c)

d)


Để B < 1 ⇔

2x
< 1 ⇔ 2 x < 2 x − 3 (1)
2x − 3

*) xét x < 0 . BPT (1) ⇔ −2 x < − ( 2 x − 3) luôn đúng ∀x < 0.
*) xét 0 ≤ x ≤

3
3
. BPT (1) ⇔ 2 x < − ( 2 x − 3) ⇔ 0 ≤ x < .
2
4

3
. BPT (1) ⇔ 2 x < ( 2 x − 3 ) vô nghiệm.
2
3
3
Vậy B < 1 ⇔ x < và x ≠ −3, x ≠ − .
4
2
*) xét x >

Bài 5: a) Rút gọn:
=
=
=
=


1
1
4 +1
+
+
5 −5 5 +5 1−

:

4 + 1 + − 1 − 5( + 1)
:
5( − 1)( + 1)

4 + 1 + − 1 − 5 − 5)
.
5( − 1)( + 1)

−5
.
5( − 1)( + 1)

= −

1
−
(

1


− 1)

( − 1)( + 1)
1

( − 1)( + 1)
1

b) Thay:
= ;

=

vào C ta được:

c) a + b = 6 ⇔ a = 6 – b
Năm học 2017-2018

=

Trang 9


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

- 6b = ( − 3) - 9 ≥ −9

C = -( 6 – b) .b =


Vậy giá trị nhỏ nhất của C là (-9) khi a = b = 3
Bài 6: Điều kiện: ≠ 1;
2

=

2

=

1
!: 1 −
−1

+ 1 − ( + + 1)
!:
( − 1)( + + 1)

−
( − 1)( +

=

+ 1)

!:

( − 1)
:
( − 1)( + + 1)


=
=

+1
−
−1

≠2

+3
!
+ +1
+

+1−
−3
!
+ +1

− 2
+ +1

− 2
+ +1

( − 2)
=3

b)


⇔3=

( − 2)

⇒3 −6=

<0 ⇔

c)
Mà:

+

⇔

+

> 0 (ê(:

= 3 ( $ℎỏ &ã()

<0

<2

Kết hợp điều kiện ta được: 0 < x < 2 và x ≠ 1
d)
.


=

−2

=

−4+4
=
−2

+2+

4
=
−2

Áp dụng bất đẳng thức Cô si: cho x – 2 > 0 và
−2++

1

≥ 22( − 2)

Vậy: x.D ≥ 8

+

1

−2+

+

1

>0

4
+4
−2

=4

Dấu bằng xảy ra:
Năm học 2017-2018

Trang 10


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

−2=
⇒

4
⇔ ( − 2) = 4
−2

− 2 = 2( 45


> 2) ⇔

=4

Vậy GTNN của x.D bằng 8 khi: x = 4
ĐỀ CƯƠNG TỐN 8 THCS GIẢNG VÕ
Nick fb của mình là Hà Thu Lê, gửi cô hướng dẫn giải bài 7 đến bài 15 phần Đại số
Email:
Bài 7:
Lúc đi A-B

Vận tốc (km/h)
x ( x > 0)

Lúc về B-A

x−3

Phương trình: 3x =

Thời gian (h)
3
15
4

Quãng đường (km)
3x
15
( x − 3)
4


15
( x − 3) ⇔ x = 15(km / h)
4

Vậy quãng đường AB dài 45 km.
Bài 8:
Gọi C là điểm mà tại đó xe bị hỏng.

A

C

B

A đến C

Vận tốc (km/h)
75 : 3 = 25
25

Tại C

0

C đến B

3
25. = 15
5


Dự định

Thực tế

Phương trình:

Thời gian (h)
3
x (3 > x > 0)
8
48 p = h
15
8 67
−x
3+ 2 − x − =
15 15

Quãng đường (km)
75
25x
0

(

67
− x )15 = 67 − 15 x
15

25 x + 67 − 15 x = 75

⇔ x = 0,8h

Vậy xe hỏng lúc 8 giờ 48 phút. Chỗ hỏng xe cách A là 20km
Bài 9:
Năm học 2017-2018

Trang 11


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ
Vận tốc (km/h)

Thời gian (h)

30
30
0
30 + 10 = 40

x ( x > 0)
2
15 p = 0, 25h
x − 2 − 0,25 = x − 2,25

Dự định
Thực tế

2h đầu
Nghỉ 15 phút

Còn lại

Quãng đường
(km)
30x
60
0
40( x − 2, 25)

PT: 60 + 40( x − 2,25) = 30 x ⇔ x = 3( h )
Vậy quãng đường AB dài 90km.
Bài 10:
Dự định
Thực tế

Số sản phNm/ngày
25
30

Số ngày
x ( x > 3, x ∈ N * )
x−3

Số sản phNm
25x
30( x − 3)

PT: 30( x − 3) − 25 x = 10 ⇔ x = 20 (ngày)
Vậy số sản phNm đội phải làm theo kế hoạch là 500 sản phNm
Bài 11:

Dự định
Thực tế

Số áo/ngày
x( x ∈ N * )
1,2x

Số ngày
20
18

Số áo
20x
1,2 x.18 = 21,6 x

Số tuần
75
x
80
x +5

Số ha

PT: 21,6 x − 20 x = 24 ⇔ x = 15 (áo/ngày)
Vậy số áo làm trong 18 ngày là 324 áo
Bài 12:
Số ha/tuần

PT:


Dự định

x ( x > 0)

Thực tế

x+5

75
80

 x = 15
75 80
−
=1⇔ 
x x+5
 x = −25( L)

Vậy thực tế mỗi tuần lâm trường trồng được 20 ha rừng.
Bài 13:
Năm học 2017-2018

Trang 12


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

Bài này mình chỉ biết làm theo kiểu giải hệ phương trình thơi. Có cách nào đặt theo giải phương trình thì
bạn nhắn lại mình sẽ sửa nha.

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong cơng việc là x( h )( x > 16)
Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong cơng việc là y ( h )( y > 16)

1
 x +
Ta có HPT: 
3 +
 x

1 1
=
y 16
 x = 24
⇔
6 1
 y = 48
=
y 4

Vậy người thứ nhất làm một mình trong 24h xong cơng việc
Người thứ hai làm một mình trong 48h xong cơng việc.
Bài 14:
Tổ 1
Tổ 2

Số áo theo kế hoạch
x( x ∈ N * )
140 − x

Số áo trên thực tế

1,1x
1,05(140 − x )

PT: 1,1x + 1,05(140 − x ) = 150 ⇔ x = 60 (áo)
Vậy theo kế hoạch, tổ 1 phải dệt 60 áo; tổ 2 phải dệt 80 áo.
Bài 15:
Gọi chữ số hàng chục là x ( x < 10, x ∈ N * )
=> Chữ số hàng đơn vị là 2x
+ Số có hai chữ số ban đầu có giá trị là 10 x + 2 x = 12 x
+ Sau khi viết thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số ta được số mới có giá trị là 100 x + 10 + 2 x = 102 x + 10
PT: 102 x + 10 − 12 x = 280 ⇔ x = 3
Vậy số có hai chữ số cần tìm là 36.
Bài 16: Tìm GTLN hoặc GTNN của :
a) A = 3x 2 + 2 x − 3

Năm học 2017-2018

Trang 13


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

2


= 3  x 2 + x − 1
3



1 1 10 

= 3  x 2 + 2.x. + − 
3 9 9

2

1  10

= 3 x +  −
3
3

2

1

Ta có:  x +  ≥ 0 ∀x
3

2

1  10
10

⇔ 3  x +  − ≥ − ∀x
3
3
3


10
⇔ A≥−
∀x
3
2

1

Dấu “=” xảy ra ⇔  x +  = 0
3

1
⇔ x+ =0
3
−1
⇔x=
3
10
−1
Vậy GTNN của A là − khi x =
3
3

b) B = 3x 2 − 6 xy + 5 y 2 − y + 3x + 2016
8059
Bmin =
4
−1
Dấu “=” xảy ra khi x = −1; y =
2

c) C =

x 2 + x + 20 x 2 + x + 5 + 15
15
=
= 1+ 2
2
2
x + x+5
x + x+5
x + x+5
2

1 1 19 
1  19
Ta có: x + x + 5 = x + 2.x. + + =  x +  +
2 4 4 
2
4
2

2

2

1

Vì  x +  ≥ 0 ∀x
2


2

1  19 19

⇒x+  + ≥
∀x
2
4
4

15
15
15 60
⇔ 2
=
≤
=
∀x
2
x + x+5 
1  19 19 19
x+  +
4
2
4

Năm học 2017-2018

Trang 14



/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

15
60
≤ 1+
∀x
x + x+5
19
79
⇔C≤
∀x
19

⇒ 1+

2

2

1

Dấu “=” xảy ra ⇔  x +  = 0
2

1
⇔ x+ =0
2
1

⇔ x=−
2
79
1
Vậy GTLN của C là
khi x = −
19
2
( x + 4 )( x + 9 )
d) E =
v ới x > 0
x
x 2 + 13 x + 36
36
E=
= x + 13 +
x
x

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương x;

36
ta có:
x

36
36
≥ 2 x. = 12 ∀x > 0
x
x

36
⇔ x + 13 +
≥ 25 ∀x > 0
x
36
Dấu “=” xảy ra ⇔ x =
x
2
⇔ x = 36
⇔ x=6
Vậy GTNN của E là 25 khi x = 6
1
e) Tìm GTLN của F = x 2 + 2 + 2
x +2
1
F = x2 + 2 + 2
x +2
4
3
F = x2 + 2 + 2
− 2
x +2 x +2
- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương
4
x 2 + 2; 2
x +2
ta có:
x+

Năm học 2017-2018


Trang 15


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

4
4
≥ 2. ( x 2 + 2). 2
=4
x +2
x +2
(1)
2
Có x + 2 ≥ 2(∀x)
−3
−3
↔ 2
≥
(2)
x +2 2
−3 5
=
Từ (1) và (2) → F ≥ 4 +
2 2
5
→ Fmin = . Dấu “=” xảy ra khi x = 0
2


x2 + 2 +
-

-

2

Bài 17: Chứng minh bất đẳng thức:
1
a) x 2 + 2 ≥ 2 ∀x ≠ 0
x
2
x 4 − 2 x 2 + 1 ( x − 1)
1
=
Xét hiệu x + 2 − 2 =
x
x2
x2
Ta có:

2

2

2
− 1) ≥ 0 ∀x  ( x − 1)
≥ 0 ∀x ≠ 0
⇒
x2

x 2 > 0 ∀x ≠ 0 
1
⇒ x 2 + 2 − 2 ≥ 0 ∀x ≠ 0
x
1
⇔ x 2 + 2 ≥ 2 ∀x ≠ 0
x

(x

2

2

2

Dấu “=” xảy ra ⇔ ( x 2 − 1) = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1
2

b)

1 1
+  ≥ 4 ∀a, b > 0
a b
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương a, b ta có:

( a + b ) 

a + b ≥ 2 ab


(1)
1 1
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ; ta có:
a b

1 1
1
+ ≥2
a b
ab

(2)

1
1 1
Từ (1) và (2) ⇒ ( a + b )  +  ≥ 2 ab .2
= 4 ∀a, b > 0
ab
a b

a = b

Dấu “=” xảy ra ⇔  1 1 ⇔ a = b
 a = b
Năm học 2017-2018

Trang 16


/>

TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

c)

a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + ac + bc
Xét hiệu A = a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc
⇔ 2 A = 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ac

⇔ 2 A = ( a 2 − 2ab + b 2 ) + ( a 2 − 2ac + c 2 ) + ( b 2 − 2bc + c 2 )
⇔ 2 A = ( a − b) + ( a − c) + (b − c)
2

2

2

Ta có:

(a − b) ≥ 0
2
(a − c) ≥ 0
2
(b − c ) ≥ 0
2

∀a, b 

2
2
2


∀a , c  ⇒ ( a − b ) + ( a − c ) + ( b − c ) ≥ 0 ∀a , b , c ⇔ 2 A ≥ 0 ∀a , b , c ⇔ A ≥ 0 ∀a , b , c

∀b, c 


⇒ a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc ≥ 0 ∀a, b, c
⇔ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + ac + bc ∀a, b, c
( a − b )2 = 0
a = b

2


Dấu “=” xảy ra ⇔ ( a − c ) = 0 ⇔ a = c ⇔ a = b = c


2
b = c
( b − c ) = 0
d) ( a + 1)( b + 1)( c + 1) ≥ 8 ∀a, b, c > 0; abc = 1
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương a và 1 ta được:

a + 1 ≥ 2 a (1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương b và 1 ta được:
b + 1 ≥ 2 b (2)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương c và 1 ta được:
c + 1 ≥ 2 c (3)
Từ (1), (2) , (3) suy ra ( a + 1)( b + 1)( c + 1) ≥ 2 a .2 b.2 c = 8 abc = 8


a = 1

Dấu “=” xảy ra ⇔ b = 1 ⇔ a = b = c = 1
c = 1


Năm học 2017-2018

Trang 17


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

B - PHẦN HÌNH HỌC

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 18cm, AD = 12cm. Gọi M là trung điểm của AB. Tia DM cắt AC
tại N, cắt tia CB tại P
a) Tính độ dài các đoan DM, DN, DP
b) Khơng sử dụng kết quả tính được ở câu a, hãy chứng minh DN = NM.NP
HDG:
2

a) Tính độ dài các đoạn DM, DN, DP
Xét ∆ADM vuông tại A (gt)

⇒ DM 2 = AM 2 + AD 2 ( Pi − ta − go)
⇒ DM 2 = 92 + 122 = 225
⇒ DM = 225 = 15cm
* AM / / DC ( ABCD hcn) ⇒


AM MN
=
(hệ quả Ta-let)
DC ND

MN 1
MN ND MN + ND MD
= ⇒
=
=
=
=5
ND 2
1
2
1+ 2
3
⇒ MN = 5cm
ND = 10cm

⇒

Năm học 2017-2018

Trang 18


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ


* ∆AMD = ∆BMP ( g.c.g ) ⇒ DM = MP ⇒ DP = 2 DM = 30cm
b) Không sử dụng kết quả tính được ở câu a, hãy chứng minh DN 2 = NM .NP
Ta có:

DN NC
=
(Hệ quả Ta-let)
NM NA

NP NC ND
=
=
(Hệ quả Ta-let)
DN NA NM

⇒

NP DN
=
⇒ DN 2 = NM .NP
DN NM

∆ABC cân tại A có chu vi là 80cm. Đường phân giác của A và B cắt nhau tại I, AI cắt BC
AI 3
= . Tính các cạnh của ∆ABC
tại D. Cho
AD 4
Bài 2: Cho


HDG: Biết

AI 3
= Tính các cạnh của tam giác ABC?
AD 4

Ta có: Chu vi tam giác ABC là: 2 AB + BC = 50 ⇔ 2 AB + 2 BD = 50 ⇒ AB + BD = 25
BI là phân giác ABD ⇒

IA AB
IA
AB
IA AB
3 AB
=
⇒
=
⇔
=
⇔ =
⇒ AB = AC = 18, 75cm
ID DB
IA + ID AB + BD
AD 25
4 25

BC = 12,5cm

A


I

B

Năm học 2017-2018

D

C

Trang 19


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

Bài 3: Cho hình thang cân ABCD có AB là đáy nhỏ. Biết BD ⊥ BC, đường cao BH chia đáy DC thành
hai đoạn DH = 16cm, HC = 9cm
c)
d)

Tính độ dài BH, AC
Tính chu vi và diện tích của hình thang ABCD

HDG
a) Tính độ dài BH, AC?

B

A


D

16cm

H

9cm

C

* Tính BH?

∆BHD ∼ ∆CHB ( g.g )
⇒ BH 2 = HD.HC = 144 ⇒ BH = 12cm
* Tính AC?
DC = DH + HC = 25cm
∆DBH ∼ ∆DCB ( g .g ) ⇒ BD 2 = DH .DC = 400 ⇒ BD = 20cm
ABCD là hình thang cân ⇒ AC = BD = 20cm
b) Tính chu vi và diện tích hình thang ABCD?
* Chu vi hình thang ABCD:
Hạ AK ⊥ DC ⇒ ABHK là hình chữ nhật ⇒ AB = KH

∆AKD = ∆BHC (ch.gn) ⇒ DK = CH

Năm học 2017-2018

Trang 20



/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

DC = 2 HC + HK ⇔ 25 = 2 HC + 9 ⇒ HC = 8cm
⇒ AB = HC = 8cm
BC = DC 2 − BD 2 = 252 − 20 2 = 15cm

Chu vi hình thang ABCD là: AB + 2 BC + DC = 8 + 2.15 + 25 = 63cm
Diện tích hình thang ABCD là:

1
1
( AB + DC ) BH = ( 8 + 25) .12 = 198cm2
2
2

∆ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D và E sao cho
AD = DE = EC
e)
Chứng minh ∆BDE ∼ ∆cdb
DB DC
;
Tính các tỉ số
d)
DE DB
Tính AEB + ACB
f)
Bài 4: Cho

Hướng dẫn giải


a. Vì AD = DE = EC và AC = 3a nên AD = DE = EC = a
Xét tam giác ABC vng tại A. áp dụng định lí Pytago có BD = AD 2 + AB 2 = a 2
BD
DC
= 2,
= 2
DE
BD
b. Xét tam giác BDE và tam giác CDB có:
Góc D chung
BD DC
=
suy ra ∆BDE đồng dạng ∆CDB
DE BD
c. Theo câu b ta có ∆BDE đồng dạng ∆CDB
⇒ ∠ACB = ∠DBE ⇒ ∠ACB + ∠AEB = ∠DBE + ∠AEB
Có góc BDA là góc ngồi của tam giác BDE nên ∠DBE + ∠AEB = ∠BDA
Tam giác ABD vuông cân nên ∠BDA = 450 . Từ đó suy ra

∠ACB + ∠AEB = ∠DBE + ∠AEB = ∠BDA = 450
Bài 5: Cho hình vng ABCD. Lấy E thuộc đoạn BC, kẻ tia Ax vng góc với AE, Ax cắt CD tại F.
Trung tuyến AI của ∆AEF cắt DC tại K. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AI tại G.
a) Chứng minh AF = AE và tứ giác GEKF là hình thoi
Năm học 2017-2018

Trang 21


/>

TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

b) Chứng minh

∆AKF ∼ ∆CAF

c) Chứng minh AF.AE = FC.GE

Hướng dẫn giải:

a.

∠BAE + ∠EAD = 900 
 ⇒ ∠BAE = ∠FAD
∠FAD + ∠EAD = 900 
Xét tam giác vuông BAE và tam giác vng DAF có:
∠BAE = ∠FAD 

∠D = ∠B = 900  ⇒ ∆BAE = ∆DAF ⇒ AE=AF

AB = AD

AE=AF nên tam giác AEF cân tại A ⇒ AI ⊥ EF
Vì EG//AB//FK ⇒ ∠KFI = ∠IEG
Xét tam giác IDF và tam giá IEG có
∠KFI = ∠IEG

0
∠KIF = ∠GIE = 90  ⇒ ∆KIF = ∆GIE ⇒ IG = IK


IE = IF

Xét tứ giác EGKF có EF và KG vuuong góc và cắt nhau tại tring điểm mỗi đường suy ra tứ giác
FKEG là tình thoi

b. Xét tam giác AEF cân tại A đường cao AI đồng thời là đường phân giác ∠KAF = 450
Xét tam giác AKF và tam giác CAF có

∠KAF = ∠ACF (= 450 ) 
 ⇒ ∆AKF ≈ ∆CAF
∠F chung

c. Từ câu b ta có

∆AKF ≈ ∆CAF ⇒
AE.AF=AF2

Bài 6: Cho

CF AF

=
⇒ FA2 = FC.FK = FC.EG 
AF KF
 ⇒ AE.AF = FC.FK



∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.


Năm học 2017-2018

Trang 22


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

a) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

Chứng minh

b)

∆AEF ∼ ∆CAB

Cho AH = 2,4cm; BC = 5cm. Tính S∆EAF
d)
Lấy I đối xứng với H qua AB. Từ B kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AI ở K. Chứng minh
KC, AH, EF đồng quy.
Hướng dẫn giải:
c)

a. Xét tứ giác AEHF có ∠A = ∠E = ∠F = 900 suy ra AEHF là hình chữ nhật
b. Có tam giác ABC đồng dạng tam giác HAC nên suy ra AF.AC=AH2
Tam giác HAB đồng dạng tam giác ABC nên suy ra AE.AB=AH2
AE AF
=
Suy ra
AC AB

Xét tam giác AEF và tam giác ACB có

AE AF 
=

AC AB  ⇒ ∆AEF ∼ ∆ACB
∠Achung 
c. Tính diện tích ∆ AEF
- Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật (dhnb tứ giác có 3 góc vng)
2

2

2

S
 FE   AH   2, 4  144
- Vì ∆AEF ∼ ∆ACB → AEF = 
 =
 =
 =
625
S ACB  BC   BC   5 
1
Mà S ACB = BC. AH = 6cm 2
2
S
144
→ AEF =
6

625
→ S AEF = 1,3824cm 2
d. Lấy I đối xứng với H qua AB. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AI ở K. Chứng minh
KC, AH, EF đồng quy.

Năm học 2017-2018

Trang 23


/>
TOÁN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

- Gọi D là giao điểm của tia BK và CA, ta chứng minh K là trung điểm của DB, mà AH // DB, từ đó suy ra
CK đi qua trung điểm của AH. Vậy CK, AH, EF đồng quy tại trung điểm AH.
- Xét ∆ AIH cân tại A
→ ∠IAE = ∠HAE
Mà ∠HBA + ∠HAE = 90° ; ∠HBA + ∠KBA = 90°

→ ∠KBA = ∠HAE ( cùng phụ góc HBA)
→ ∠IAE = ∠KBA (cùng = góc HAE)
→ ∆KAB cân tại K → KA = KB
Dễ chứng minh KA = KD
Từ đó suy ra K là trung điểm của BD, dẫn tới điều phải chứng minh.

Bài 7. Cho tam giác ABC vng ở A, trung tuyến BD. Phân giác góc BDA, BDC cắt AB, AC lần lượt tại M
và N. Biết AB = 16cm, AD = 12cm.
a. Tính độ dài các đoạn BD, BM;
b. Chứng minh MN // AC,
c. Tứ giác MACN là hình gì? Tính diện tích của tứ giác đó,

d. Tính

S ∆AMD
S ∆DMN

Hướng dẫn giải

Năm học 2017-2018

Trang 24


/>
TỐN 8 –ĐỀ CƯƠNG HKII – THCS GIẢNG VÕ

B

M

N

A
D

C

a. Tính BD, BM
Tam giác ABC vuông ở A ⇒ BD 2 = AD 2 + AB 2 ( theo định lý Pitago)
⇒ BD = 162 + 12 2 = 20cm


Tam giác ABD có DM là tia phân giác góc BDA
AM BM
AB − MB BM
=
⇒
=
AD BD
AD
BD
⇒ ( AB − MB ) .BD = BM . AD
⇒

⇒ (16 − MB ).20 = 12.BM
⇒ MB = 10cm

b. Chứng minh MN // AC.
BD là trung tuyến của tam giác ABC nên CD = AD = 12cm
Tam giác ABD có DM là tia phân giác góc BDA
⇒

AM AD 12 3
=
=
= (1)
BM
AB 20 5

Tam giác BDC có DN là tia phân giác của góc BDC
⇒


CN CD 12 3
=
=
= (2)
BN BD 20 5

Từ (1) và (2) ta có

CN AM 3
=
=
NB BM 5

Năm học 2017-2018

Trang 25