PHÒNG GD-ĐT ....................
TRƯỜNG THCS ………………
=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:

“ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ
TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ”
Mơn: Tốn
Tác giả sáng kiến: ......................................

Tháng 2, năm 2021
1


MỤC LỤC
STT
1

Mục
Lời giới thiệu

Trang
3

2

Tên sáng kiến

4

3

Tác giả sáng kiến

4

4

Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến

4

5

Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

4

6

Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng
thử

4

7


Mô tả bản chất sáng kiến

8

Những thông tin cần được bảo mật

25

9

Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

25

10

Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu 25- 27
được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả

11

Danh sách những tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp
dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu

27

12

Tài liệu tham khảo


29

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
SGK: Sách giáo khoa
SBT: Sách bài tập
SGV: Sách giáo viên
HSG: Học sinh giỏi
GV: Giáo viên
HS: Học sinh
2

4 – 25


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
a. Lý do chọn đề tài
Toán học là bộ mơn khoa học, nó hình thành cho học sinh tư duy logic, tính
chính xác, tính hệ thống ...Vì vậy, việc nâng cao chất lượng và hiệu quả trong
quá trình giảng dạy mơn Tốn là vấn đề mà mỗi giáo viên dạy Tốn ln tìm
hiểu và khơng ngừng học hỏi.
Trong chương trình Đại số lớp 7, dạng tốn tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ
số bằng nhau là nội dung quan trọng, là cơ sở, nền móng để giải quyết các bài
toán về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch.Trong phân mơn Hình học,
để học được định lí Talet, tam giác đồng dạng ( lớp 8) thì khơng thể thiếu kiến
thức về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau... Qua thực tế giảng dạy
nhiều năm, tôi thấy việc học tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là
khơng khó, nhưng vẫn cịn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được,
chưa nắm vững các phương pháp giải, chưa hình thành kĩ năng đối với từng bài

tốn cụ thể.
b.Thực trạng của vấn đề
Thực tế, ở trường THCS Lũng Hòa một bộ phận học sinh tiếp thu bài cịn
chậm và vận dụng kiến thức từ lí thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Các em
còn nhầm lẫn và chưa sử dụng thành thạo tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau, do thời lượng làm bài tập cịn ít nên chưa giải được những dạng tốn
mở rộng, nâng cao .
Ngun nhân học sinh cịn tồn tại các khuyết điểm trên là :
- Do thời lượng luyện tập giờ cịn ít, hơn nữa về nhà học sinh chưa chăm
học, vì vậy học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều .
- Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu, một số chỉ học lí thuyết một
cách máy móc mà khơng hiểu rõ bản chất nên gặp nhiều khó khăn trong q
trình làm bài tập.
Nhằm đáp ứng u cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo
gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng
cao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài:
“Hướng dẫn học sinh giải một số dạng Toán về tỉ lệ thức và tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau”.
Trong phần nội dung của sáng kiến chủ yếu tôi chỉ ra một số dạng Tốn về
tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Ở mỗi dạng Tốn tơi đưa ra một
số ví dụ ở mức độ cơ bản áp dụng đối với học sinh đại trà, với mỗi ví dụ tôi khai
thác các bài tập tương tự giúp học sinh củng cố và nắm chắc kiến thức cơ bản và
một số bài tập nâng cao dùng để bồi dưỡng học sinh thi học sinh giỏi.

3


2.Tên sáng kiến
Hướng dẫn học sinh giải một số dạng Tốn về tỉ lệ thức và tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau

3.Tác giả sáng kiến
- Họ và tên:
- Địa chỉ : Trường THCS
- Số điện thoại:
- Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
- Họ và tên:
- Địa chỉ : Trường THCS
- Số điện thoại:
- Email:
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
a.Phạm vi áp dụng sáng kiến
Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 7A, 7B, 7C của trường THCS
……….. năm học 2019-2020 và 2020-2021
Ý tưởng của đề tài rất phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng, nên
bản thân tôi chỉ nghiên cứu một số dạng tốn về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ
số bằng nhau ở chương trình SGK, SBT, một số sách tham khảo toán 7 hiện
hành và một số bài tập nâng cao dành cho học sinh khá giỏi thông qua các đề thi
giao lưu và khảo sát học sinh giỏi Toán 7 của huyện Vĩnh Tường.
b.Vấn đề mà sáng kiến cần giải quyết
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ
số bằng nhau
- Đưa ra nhiều cách giải ứng với các đơn vị kiến thức SGK, SBT
- Củng cố các kiến thức cơ bản và hồn thiện các kĩ năng thực hành.
- Tìm ra những cách giải hay, khai thác bài toán.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Từ tháng 10 năm 2019
7. Mô tả bản chất của sáng kiến
A.Về nội dung của sáng kiến

7.1.Kiến thức cơ bản.
7.1.1. Tỉ lệ thức.
4


a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
- Tỉ lệ thức

a c
=
b d

a c
= còn được viết a : b = c : d
b d

- Trong tỉ lệ thức a : b = c : d , các số a; b; c; d được gọi là các số hạng của tỉ
lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ; b và c là các số hạng trong
hay trung tỉ
b) Tính chất.
* Tính chất 1 (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
a c
= ⇒ a.d = b.c ( b, d ≠ 0)
b d

* Tính chất 2 (Tính chất hốn vị của tỉ lệ thức)
a
b

Nếu a.d = b.c và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức: =


c a b d c d b
, = , = , = .
d c d b a c a

7.1.2. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
* Tính chất 1: Từ dãy tỉ số bằng nhau
a c a+c a−c
= =
=
b d b+d b−d

a c
=
ta suy ra:
b d

(b ≠ d và b ≠ −d )
a

c

e

* Tính chất 2: Từ dãy tỉ số bằng nhau b = d = f ta suy ra:
a c e
a+c+e
a−c+e
= = =
=

( Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
b d
f b+d + f b−d + f

7.1.3. Chú ý
Khi nói các số x; y; z tỉ lệ với các số a; b; c ta có dãy tỉ số bằng nhau
x y z
= = . Ta cũng viết: x : y : z = a : b : c
a b c

7.2. Một số dạng toán và phương pháp giải.
7.2.1.Dạng 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC,
DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Ví dụ 1: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau :
x

−2

a) 27 = 3,6

b) − 0,52 : x = −9,36 : 16,38

1
x
4
c) 7 = 1,61
2
8
4


( Bài 46 SGK trang 26- Toán 7- Tập 1)
Phương pháp chung: Sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức
Từ

a c
= ⇒ a.d = b.c ( b, d ≠ 0 )
b d

5


x

−2

Giải

− 2.27

a) 27 = 3,6 ⇒ x.3,6 = −2.27 ⇒ x = 3,6 ⇒ x = −15
Vậy x = −15
b) − 0,52 : x = −9,36 : 16,38
⇒ −9,36 x = −0,52.16,38 ⇒ x =

− 0,52.16,38
⇒ x = 0,91
− 9,36

Vậy x = 0,91
1

1
4 .1,61
x
7
1
4
4
⇒ x = 2,38
c) 7 = 1,61 ⇒ 2 x = 4 .1,61 ⇒ x =
7
8
4
2
2
8
8
Vậy x = 2,38
4

Khai thác bài tốn:
Bài 1: Tìm x biết:
x
− 60
=
a)
− 15
x

−2 −x
=

8
b) x
25

( Bài 69 trang 20 SBT- Toán 7- Tập 1)
Giải

a)

x
− 60
=
⇒ x 2 = −15.(−60) ⇒ x 2 = 900 ⇒ x = ±30
− 15
x

Vậy x = ±30
−2 −x
2
x
=
⇒ =
8
16
4
⇒x=±
8
8 ⇒ x 2 = 2. ⇒ x 2 =
x
b) x

25
25
5
25
25
4
Vậy x = ±
5
3
−5
=
Bài 2: Tìm x biết:
1 − 2 x 3x − 2

( Đề thi giao lưu HSG Toán 7 huyện Vĩnh Tường năm học 2011-2012)
3
−5
1
2
=
Điều kiện: x ≠ và x ≠
1 − 2 x 3x − 2
2
3
⇒ 3.(3 x − 2) = −5.(1 − 2 x )
⇔ 9 x − 6 = −5 + 10 x
⇔ 9 x − 10 x = −5 + 6
⇔ −x = 1
⇔ x = −1 ( thỏa mãn điều kiện)


Vậy x = −1
6

Giải


37 − x 3
=
Bài 3: Tìm x biết:
x + 13

7

( Đề thi giao lưu HSG Toán 7 huyện Vĩnh Tường năm học 2012-2013)
Giải

37 − x 3
=
Điều kiện: x ≠ −13
x + 13 7
⇒ 7.(37 − x) = 3.( x + 13)
⇔ 259 − 7 x = 3x + 39
⇔ −10 x = −220
⇔ x = 22 ( thỏa mãn điều kiện)

Vậy x = 22
x −1 x − 2
=
Bài 4: Tìm x biết
x+2


x+3

Giải
x −1 x − 2
=
Điều kiện: x ≠ −2 và x ≠ −3
x+2 x+3
x −1 x − 2
=
Cách 1:
x+2 x+3
⇒ ( x − 1)( x + 3) = ( x − 2)( x + 2)
⇔ x 2 + 3x − x − 3 = x 2 + 2 x − 2 x − 4
⇔ x 2 + 2 x − x 2 = −4 + 3
⇔ 2 x = −1
−1
⇔x=
( thỏa mãn điều kiện)
2
−1
Vậy x =
2

Cách 2:

x −1 x − 2
=
x+2 x+3
x −1

x−2
⇔
+1 =
+1
x+2
x+3
2x + 1 2x + 1
2x + 1 2x + 1
⇔
=
⇔
−
=0
x+2
x+3
x+2
x+3
1
1
⇔ (2 x + 1)(
−
)=0
x+2 x+3

⇔ 2 x + 1 = 0 ( vì x + 2 ≠ x + 3 )
−1
⇔x=
( thỏa mãn điều kiện)
2
−1

Vậy x =
2

7


x y
Ví dụ 2: Tìm x, y biết = và x + y = 16
3

5

( Bài 54 trang 30 SGK Tốn 7- Tập 1)
* Giáo viên xây dựng chương trình giải bằng cách gợi ý học sinh
+ Bài toán trên gồm mấy phần?( HS: Bài toán gồm 2 phần- Phần 1 là một dãy
các tỉ số bằng nhau

x y
=
và phần 2 là mối quan hệ giữa các biến x, y )
3 5

+Từ đó GV đưa ra phương pháp chung để giải
Cách 1: Đặt giá trị chung
x y
= =k
3 5
- Biểu diễn x, y theo k . Từ đó thay vào điều kiện 2 để tìm k
- Thay k vào biểu thức chứa x, y rồi tính


- Đặt

Cách 2: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Cách 3: Sử dụng phương pháp thế
* Trình bày lời giải
Cách 1: Đặt

x y
= =k
3 5

⇒ x = 3k ; y = 5k

Theo đề bài, x + y = 16
⇒ 3k + 5k = 16
⇒ 8k = 16 ⇒ k = 2

Với k = 2 thì x = 6 và y = 10
Vậy x = 6; y = 10
Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y x + y 16
= =
=
=2
3 5 3+5 8
⇒  x = 3.2 = 6
 y = 5.2 = 10

Vậy x = 6; y = 10
Cách 3:

Từ

x y
3
= ⇒x= y
3 5
5

Theo đề bài, x + y = 16
⇒

3
8
8
3
y + y = 16 ⇒ y = 16 ⇒ y = 16 : ⇒ y = 10 ⇒ x = .10 = 6
5
5
5
5

Vậy x = 6; y = 10
Chú ý: GV lưu ý cho HS khi gặp các bài tốn có dạng như trên nên lựa chọn
giải theo cách 2 sẽ nhanh và gọn hơn.
8


Khai thác bài tốn
Bài 1: Tìm hai số x và y biết:
x

=
2
x
b) =
3
x
c) =
2

a)

y
và x + y = −21
5
y
và x − y = 3
4
y
và 2 x − y = 3
5

Kết quả:
a) x = −6 và y = −15
b) x = −9 và y = −12
c) x = −6 và y = −15
Bài 2: Tìm hai số x và y biết:
x

3


a) y = 5 và x + y = −32
b) 5 x = 7 y và y − x = 18
3

2

c) y = x và 4 x − 3 y = −2
Kết quả :
a) x = −12 và y = −20
b) x = −63 và y = −45
c) x = 4 và y = 6
Bài 3: Cho tỉ lệ thức

x y
=
và biết x. y = 90 . Tìm x và y
2 5

Giải
x y
= =k
2 5
⇒ x = 2k ; y = 5k
Theo đề bài, xy = 90

Cách 1: Đặt

⇒ 2k .5k = 90

⇒ 10k 2 = 90 ⇒ k 2 = 9 ⇒ k = ±3

- Với k = 3 thì x = 6 ; y = 15

- Với k = −3 thì x = −6 ; y = −15
Vậy x = 6; y = 15 hoặc x = −6; y = −15
Cách 2:
Từ

x y
2
=
⇒x= y
2 5
5

Theo đề bài, x. y = 90
9


2 2
y = 90 ⇒ y 2 = 225 ⇒ y = ±15
5
- Với y = 15 thì x = 90 : 15 = 6
⇒

- Với y = −15 thì x = 90 : (−15) = −6
Vậy x = 6; y = 15 hoặc x = −6; y = −15
Cách 3:
2

x y

x y xy 90
x
=
= 9 ⇒ x 2 = 36 ⇒ x = ±6
Từ = ⇒   = . =
2 5
2 5 2.5 10
2
- Với x = 6 thì y = 90 : 6 = 15

- Với x = −6 thì y = 90 : (−6) = −15
Vậy x = 6; y = 15 hoặc x = −6; y = −15
Cách 4: Hiển nhiên x ≠ 0 .
x y
x 2 xy
x
=
=
Nhân cả hai vế của
với ta có:
2 5
2
5
2
x
90
⇒
=
= 18 ⇒ x 2 = 36 ⇒ x = ±6
2

5
- Với x = 6 thì y = 90 : 6 = 15

- Với x = −6 thì y = 90 : (−6) = −15
Vậy x = 6; y = 15 hoặc x = −6; y = −15
Chú ý : Cần tránh sai lầm áp dụng « tương tự » tính chất dãy tỉ số bằng nhau
x y xy 90
= =
=
=9
2 5 2.5 10
⇒  x = 2.9 = 18 là một kết quả sai
 y = 5.9 = 45

Qua bài 3 giáo viên cần củng cố lại tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y
=
=
Bài 4: Tìm x biết
18

24

6x

( Đề thi giao lưu HSG Tốn 7 huyện Vĩnh Tường năm học 2013-2014)
Giải

1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y
=

=
Điều kiện: x ≠ 0
18
24
6x

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1 + 2 y 1 + 4 y 1 + 6 y 1 + 2 y + 1 + 6 y 2 + 8 y 2(1 + 4 y ) 1 + 4 y
=
=
=
=
=
=
18
24
6x
18 + 6 x
18 + 6 x 2(9 + 3 x) 9 + 3x
1+ 4y 1+ 4y
=
⇒ 9 + 3 x = 24 ⇒ 3 x = 15 ⇒ x = 5 ( thỏa mãn điều kiện)
Từ
24
9 + 3x

Vậy x = 5

10



x y z
Ví dụ 3: Tìm x; y; z biết: = = và x − 3 y + 4 z = 62
4

3

9

Giải
Cách 1 (Đặt giá trị chung)
Đặt

x
y
z
= = =k
4
3
9

 x = 4k
⇒  y = 3k
 z = 9k

Mà x − 3 y + 4 z = 62 ⇒ 4k − 9k + 36k = 62
⇒ 31k = 62 ⇒ k = 2
 x = 4.2 = 8
⇒  y = 3.2 = 6

 z = 9.2 = 18

Vậy x = 8; y = 6 và z = 18
Cách 2 (Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z
x − 3 y + 4 z 62
= = =
=
=2
4 3 9 4 − 3.3 + 4.9 31
 x = 4.2 = 8
⇒  y = 3.2 = 6
 z = 9.2 = 18

Vậy x = 8; y = 6 và z = 18
Cách 3 (Phương pháp thế)
x z
4
= ⇒x= z
4 9
9
y z
3
1
= ⇒y= z= z
3 9
9
3
4

1
4
Mà x − 3 y + 4 z = 62 => z − 3. z + 4 z = 62 ⇒ z − z + 4 z = 62
9
3
9

Từ

⇒ 4 z − 9 z + 36 z = 558 ⇒ 31z = 558 ⇒ z = 18
4
1
⇒ x = .18 = 8 ; y = .18 = 6
9
3

Vậy x = 8; y = 6 và z = 18
Khai thác bài toán
Bài 1: Tìm x, y, z biết:
x

3

y

5

a) y = 4 ; =
và 2 x + 3 y − z = 186
z 7

b) 2 x = 3 y = 5 z và x + y − z = 95
Gợi ý:
x

3

x

y

x

y

a) Từ y = 4 ⇒ 3 = 4 ⇒ 15 = 20

11


y 5
y z
y
z
= ⇒ = ⇒
=
z 7
5 7
20 28
x
y

z
⇒
=
=
15 20 28

Làm tương tự như ví dụ 3 được kết quả x = 45; y = 60; z = 84
2 x 3 y 5z
x
y z
=
=
⇒
=
=
30 30 30
15 10 6
x + y − z = 95
Mà x + y − z = 95 ⇒  x + y − z = −95

b) Vì 2 x = 3 y = 5 z ⇒

+ Nếu x + y − z = 95 thì

 x = 15.5 = 75
x
y z
x+ y−z
95
=

= =
=
= 5 ⇒  y = 10.5 = 50
15 10 6 15 + 10 − 6 19
 z = 6.5 = 30

+ Nếu x + y − z = −95 thì

 x = 15.( −5) = −75
x
y z
x+ y−z
− 95
=
= =
=
= −5 ⇒  y = 10.(−5) = −50
15 10 6 15 + 10 − 6
19
 z = 6.(−5) = −30

Vậy x = 75 ; y = 50 ; z = 30 hoặc x = −75 ; y = −50 ; z = −30
Bài 2: Tìm x, y, z biết:
6
9
18
x = y = z và − x + z = −196
11
2
5

x −1 y + 3 z − 5
=
=
b)
và 5 z − 3x − 4 y = 50
2
4
6
4
3
2
c) 3x − 2 y = 2 z − 4 x = 4 y − 3z và x + y − z = −10

a)

Giải
6
9
18
x= y= z
11
2
5
6 x 9 y 18 z
6x
9y
18 z
⇒
=
=

⇒
=
=
11
2
5
11 .18 2.18 5.18
x
y z
⇒
= =
33 4 5

a) Vì

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x
y z − x + z − 196
= = =
=
=7
33 4 5 − 33 + 5 − 28
 x = 33.7 = 231
⇒  y = 4.7 = 28
 z = 5.7 = 35

Vậy x = 231; y = 28 và z = 35
b)Ta có

x − 1 y + 3 z − 5 3( x − 1) 4( y + 3) 5( z − 5) 5( z − 5) − 3( x − 1) − 4( y + 3) 50 − 34

=
=
=
=
=
=
=
=2
2
4
6
6
16
30
30 − 6 − 16
8
 x − 1 = 4
 x = 5
⇒ y + 3 = 8 ⇒ y = 5
 z − 5 = 12  z = 17

Vậy x = 5 ; y = 5 và z = 17
12


4

3

2


c) Ta có : 3x − 2 y = 2 z − 4 x = 4 y − 3z
⇒

3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z
=
=
4
3
2
 x = −20

Làm tương tự câu b ta được  y = −30
 z = −40

Vậy x = −20 ; y = −30 và z = −40
Bài 3: Tìm x. y, z biết:
a) x : y : z = 2 : 3 : 5 và x. y.z = 810
x3 y3 z 3
=
=
b)
8
27 64

và x 2 + 2 y 2 − 3z 2 = −650

Gợi ý :
a) Làm tương tự bài 3 ( Trong phần ví dụ 2) ta được kết quả:
x = 6 ; y = 9 và z = 15

3

3

3

x3 y3 z 3
x y z
 x
 y
z
=
=
⇒  =  =  ⇒ = =
b) Từ
8
27 64
2 3 4
2
3
4

Làm tương tự như ví dụ 3 ta được
x = 10 ; y = 15; z = 20 hoặc x = −10 ; y = −15; z = −20
Bài 4: Tìm x, y, z biết:
x
y
z
=
=

= x + y + z (1)
y + z +1 x + z + 2 x + y − 3

Giải:
* Nếu x + y + z ≠ 0 thì

x
y
z
x+ y+z
x+ y+z
1
=
=
=
=
= (2)
y + z + 1 x + z + 2 x + y − 3 ( y + z + 1) + ( x + z + 2) + ( x + y + 3) 2( x + y + z ) 2

1

y + z = 2 − x
1
1

Từ (1) và (2) ta có x + y + z = ⇒  x + z = − y
2
2

1

x + y = − z
2

x
y
z
1
=
=
=
3
5
−5
Thay vào đề bài ta được:
2
−x
−y
−z
2
2
2
x
1
3
3
1
= ⇒ 2 x = − x ⇒ 3x = ⇒ x =
3
*) − x 2
2

2
2
2
y
1
5
5
5
= ⇒ 2 y = − y ⇒ 3y = ⇒ y =
*) 5 − y 2
2
2
6
2
13


z
1
−5
−5
−5
= ⇒ 2z =
− z ⇒ 3z =
⇒z=
−
5
*)
2
2

2
6
−z
2
* Nếu x + y + z = 0 thì
x
y
z
(1) => y + z + 1 = x + z + 2 = x + y − 3 = 0
⇒x= y=z=0
1

x = 2

5
Vậy  y =
hoặc x = y = z = 0
6

−5
z =

6

7.2.2.Dạng 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
Để chứng minh tỉ lệ thức

A C
=
ta thường dùng một số phương pháp sau:

B D

Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa ( Chứng tỏ rằng A.D = B.C )
Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số

A C
=
có cùng giá trị
B D

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức
* Một số kiến thức cần chú ý
a n.a
=
( n ≠ 0)
b n.b
n

n

a c
a
c
= ⇒   =   (n∈ N*)
b d
b
d 

Một số ví dụ minh họa ( với giả thiết tất cả các tỉ số đã cho đều có nghĩa)
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức


a c
= . Chứng minh rằng
b d

a+b c+d
=
b
d

( Bài 102a trang 50 SGK Toán 7- Tập 1)
Giải
Cách 1 (Phương pháp 1): Vì

a c
= nên a.d = b.c
b d

(a + b).d = a.d + b.d 
a+b c+d
=
Ta có : b.(c + d ) = b.c + b.d  ⇒
a.d = b.c



b

d


Cách 2 (Phương pháp 2):
14


Đặt

a c
a = bk
= = k ⇒ c = dk

b d

a + b bk + b b.( k + 1)

=
=
= k + 1
b
b
b
a+b c+d

=
⇒
b
d
c + d dk + d d .( k + 1)

=
=

= k +1 
d
d
d


⇒

Cách 3 ( Phương pháp 3) :
Từ

a c
a b
= ⇒ =
b d
c d

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
a b a+b
= =
c d c+d

Từ

a+b b
a+b c+d
= ⇒
=
c+d d
b

d

Cách 4 : Từ

a c
a
c
a+b c+d
=
⇒ +1 = +1 ⇒
=
b d
b
d
b
d

Khai thác bài toán
Bài 1( Bài 102b,c,d,e,f trang 50 SGK Toán 7- Tập 1)
Từ tỉ lệ thức

a c
= , hãy suy ra các tỉ lệ thức sau :
b d

b)

a−b c−d
=
b

d

c)

a+b c+d
=
a
c

e)

a
c
=
a+b c+d

f)

a
c
=
a−b c−d

Bài 2: Cho

a c
= . Chứng minh
b d

d)


a−b c−d
=
a
c

a
c
=
3a + b 3c + d

( Bài 8.3 trang 23 SBT Toán 7- Tập 1)
Bài 3: Cho

a c
= . Chứng minh rằng :
b d

a 2 − b 2 ab
=
a) 2
c − d 2 cd

(a − b) 2 ab
=
b)
(c − d ) 2 cd

( Bài 8.4 trang 23 SBT Toán 7- Tập 1)


15


Bài 4: Cho tỉ lệ thức

a b
a2 + b2 a
= . Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức: 2
=
b c
b + c2 c

( Đề thi giao lưu HSG Toán 7 huyện Vĩnh Tường năm học 2009-2010)
a c
a d
a 2 + b 2 ab
=
Bài 5: BiÕt
với a,b,c, d ≠ 0. Chứng minh rằng : = hoặc =
2
2
b d
b c
c +d
cd
2
2
2
2
2

( a + b)
a +b 2
a +b
ab
2ab a + 2ab + b
=(
) (1)
= 2
=
Gợi ý : Ta có 2 2 = =
2
2
(c + d )
c+d
c +d
cd
2cd c + 2cd + d
2
a −b 2
a 2 + b 2 ab
2ab a 2 − 2ab + b 2 ( a − b)
=(
) (2)
=
=
=
=
2
2
2

2
2
(c − d )
c−d
c +d
cd
2cd c − 2cd + d
a +b a −b
c + d = c − d
a+b 2
a −b 2
) =(
) ⇒
Từ (1) và (2) suy ra : (
c+d
c−d
a +b = b−a
 c + d d − c

Ví dụ 2: Cho

bz − cy cx − az ay − bx
x y z
=
=
. Chứng minh rằng : = =
a
b
c
a b c


( Đề thi giao lưu HSG Toán 7 huyện Vĩnh Tường năm học 2015-2016)
Giải
bz − cy cx − az ay − bx
=
=
Điều kiện: a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ 0
a
b
c
⇒

a.(bz − cy ) b(cx − az ) c (ay − bx)
=
=
a2
b2
c2

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a.(bz − cy ) b(cx − az ) c( ay − bx ) abz − acy + bcx − abz + acy − bcx
=
=
=
=0
a2
b2
c2
a2 + b2 + c2
z y

c = b
bz = cy
x y z
 x z
⇒ cx = az ⇒  = ⇒ = =
a b c
ay = bx  a c
y x
 =
 b a

Khai thác bài toán
3x − 2 y 2 z − 5 x 5 y − 3z
=
=
Bài 1: Tìm x, y, z thỏa mãn
và x + y + z = 100
5

3

2

( Đề thi giao lưu HSG Toán 7 huyện Vĩnh Tường năm học 2016-2017)

16


Giải
3x − 2 y 2 z − 5 x 5 y − 3z

=
=
5
3
2
⇒

5(3 x − 2 y ) 3(2 z − 5 x) 2(5 y − 3 z )
=
=
25
9
4

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
5(3 x − 2 y ) 3(2 z − 5 x) 2(5 y − 3 z ) 15 x − 10 y + 6 z − 15 x + 10 y − 6 z 0
=
=
=
=
=0
25
9
4
25 + 9 + 4
38
x y
2 = 3
3x = 2 y
 z x

x y z
⇒ 2 z = 5 x ⇒  = ⇒ = =
2 3 5
5 y = 3z
 5y 2z
 =
 3 5
⇒

x y z x + y + z 100
= = =
=
= 10
2 3 5 2 + 3 + 5 10

 x = 20
⇒  y = 30
 z = 50
 x = 20
Vậy  y = 30
 z = 50
3x − 2 y 2 z − 5 x 5 y − 3z
=
=
Bài 2: Tìm x, y, z thỏa mãn
và x 2 − 2 y 2 + z 2 = 100
5

3


2

( Đề thi giao lưu HSG Toán 7 huyện Vĩnh Tường năm học 2018-2019)
Làm tương tự bài 1. Kết quả: x = 4; y = 6; z = 10 hoặc x = −4; y = −6; z = −10
Bài 3: Chứng minh rằng : Nếu a( y + z ) = b( z + x) = c( x + y ) Trong đó a, b, c là các
y−z

z−x

x− y

số khác nhau và khác 0 thì: a(b − c) = b(c − a) = c(a − b)
Giải
Vì a, b, c ≠ 0 nên chia các số của a( y + z ) = b( z + x) = c( x + y ) cho abc ta được:
a ( y + z ) b( z + x ) c ( x + y )
=
=
abc
abc
abc
⇒

y+z z+x x+ y
=
=
bc
ac
ab

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

17


⇒

y + z z + x x + y ( x + y ) − ( x + z ) ( y + z ) − ( x + y ) ( z + x) − ( y + z )
=
=
=
=
=
bc
ac
ab
ab − ac
bc − ab
ac − bc

⇒

y−z
z−x
x− y
=
=
a (b − c) b(c − a ) c(a − b)

7.2.3.Dạng 3 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
3x − y


3

x

Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức x + y = 4 .Tính giá trị của tỉ số y
Giải
Cách 1:
3x − y

3

Từ x + y = 4 ⇒ 4(3x − y ) = 3( x + y ) ⇒ 12 x − 4 y = 3x + 3 y ⇒ 12 x − 3x = 3 y + 4 y
⇒ 9x = 7 y
x

7

Vậy y = 9
Cách 2:
3x
−1
3x − y 3
x
3
y
3a − 1 3
= ⇒
=
Từ x + y = 4 ⇒ x
( với a = y )

4
a +1 4
+1
y
⇒ 12a − 4 = 3a + 3 ⇒ 12a − 3a = 3 + 4 ⇒ 9a = 7 ⇒ a =
x

7
9

7

Vậy y = 9
Ví dụ 2: Cho

y+z−x
x y z
= = . Tính giá trị của biểu thức P =
x− y+z
2 3 4

Phương pháp giải:
Cách 1: Đặt giá trị chung
x y z
( k ≠ 0)
= = =k
2 3 4
- Biểu diễn x, y, z theo k . Từ đó thay vào P

- Đặt


Cách 2: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Giải
18


Cách 1:
x y z
= = = k ( k ≠ 0) ⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 4k
2 3 4

Đặt

⇒P =

3k + 4k − 2k 5k 5
=
=
2k − 3k + 4k 3k 3

Vậy P =

5
3

Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z y+z−x x− y+z
= = =
=
2 3 4 3+ 4− 2 2−3+ 4

y+z−x x− y+z
y+z−x 5
=
⇒
=
5
3
x− y+z 3

⇒

Vậy P =

5
3

Khai thác bài toán:
Cho 4 x = 3 y và 6 y = 5 z . Tính giá trị của biểu thức

A=

2x + 3y − 4z
3x + 4 y − 5z

Gợi ý :
- Từ 4 x = 3 y ⇒

x y
x
y

= ⇒
=
3 4
15 20

6 y = 5z ⇒

y z
y
z
= ⇒
=
5 6
20 24

⇒

x
y
z
=
=
15 20 24

Làm tương tự ví dụ 2, ta được A =

Ví dụ 3: Cho dãy tỉ số bằng nhau
Tính giá trị của biểu thức M =

a

b
c
d
=
=
=
b+c+d a+c+d a+b+d b+c+a

a+b b+c c+d d +a
+
+
+
c+d a+d a+b b+c

Giải
Từ

−6
5

a
b
c
d
=
=
=
b+c+d a+c+d a+b+d b+c+a

19



(*)
- Nếu a + b + c + d = 0 ⇒ a + b = −(c + d ); b + c = −(a + d )

- Nếu a + b + c + d ≠ 0 . Từ (*) ta có :

Vậy M = 4 nếu a + b + c + d = 0
hoặc M = −4 nếu a + b + c + d ≠ 0
Khai thác bài toán:
Bài 1: Cho các số a, b, c, d thỏa mãn

a
b
c
d
=
=
=
b+c+d a+c+d a+b+d b+c+a

a+b b+c c+d d +a
=
=
=
c+d a+d a+b b+c

Tính giá trị của biểu thức P =

( Đề thi giao lưu HSG Toán 7 huyện Vĩnh Tường năm học 20082009)

Gợi ý:
Làm tương tự ví dụ 3 ta được:
P = −1 nếu a + b + c + d = 0 hoặc P = 1 nếu a + b + c + d ≠ 0

Bài 2: Cho a, b, c đôi một khác nhau và thỏa mãn

a+b b+c c+a
=
=
c
a
b

 a  b  c 
Tính giá trị của biểu thức Q = 1 + 1 + 1 + 


b 

c 

a

Gợi ý
Làm tương tự ví dụ 3 ta được Q = −1 nếu a + b + c = 0 hoặc Q = 8 nếu a + b + c ≠ 0
Bài 3: Cho các số a, b, c khác 0 thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức N =

ab
bc

ca
=
=
a+b b+c c+a

ab 2 + bc 2 + ca 2
a3 + b3 + c3

Giải
Với a; b; c ≠ 0 ta có :

ab
bc
ca
=
=
a+b b+c c+a
20


⇒

1 1 1
= = ⇒ a = b = c ⇒ N =1
a b c

7.2.4.Dạng 4: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ
BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI TỐN CHIA TỈ LỆ
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các
chữ số của nó tỉ lệ với 1; 2; 3.

Giải
Vì vai trị của a, b, c như nhau nên giả sử a, b, c là các chữ số của số phải tìm xếp
theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ( a, b, c ∈ N * ;1 ≤ a, b, c ≤ 9)
Theo đề bài,

a b c
= =
1 2 3

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a +b +c a +b +c
= = =
=
(1)
1 2 3 1+ 2 + 3
6

Vì số phải tìm chia hết cho 18 nên (a + b + c) 9 mà 3 ≤ a + b + c ≤ 27 nên
a + b + c ∈ { 9;18}

Từ(1) ⇒ (a + b + c) 6 ⇒ a + b + c = 18 .
Khi đó:

a b c a + b + c a + b + c 18
= = =
=
=
=3
1 2 3 1+ 2 + 3
6

6

a = 3
⇒ b = 6 ( thỏa mãn điều kiện)
c = 9

Vì số phải tìm chia hết cho 2 nên chữ số tận cùng là 6
Vây số tự nhiên có ba chữ số cần tìm là 396 và 936
Ví dụ 2: Số M được chia thành ba số tỉ lệ theo
phương của ba số đó là 24309. Tìm số M
Giải
Giả sử số M được chia thành ba số là a; b; c
a b c
= =
Theo đề bài ta có: 2 3 1 và a 2 + b 2 + c 2 = 24309
5 4 6
2

a = 5 k
a b c

3
= = =k
⇒ b = k
Cách 1: Đặt 2 3 1
4

5 4 6
1
c = k


6
21

2 3 1
: : . Biết tổng các bình
5 4 6


4 2 9 2 1 2
k + k + k = 24309
25
16
36
2701 2
⇒
k = 24309 ⇒ k 2 = 32400 ⇒ k = ±180
3600
2

a
=
.180 = 72

5

3
- Với k = 180 thì b = .180 = 135 ⇒ M = 72 + 135 + 30 = 237
4


1
c = .180 = 30

6
⇒

2

a
=
.(−180) = −72

5

3
- Với k = −180 thì b = .(−180) = −135 ⇒ M = −72 − 135 − 30 = −237
4

1
c = .( −180) = −30

6

Vậy M = 237 hoặc M = −237
a b c
5a 4b 6c
5a
4b
6c
a

b
c
= = ⇒
=
=
⇒
=
=
⇒
=
=
2
3
1
2.60 3.60 60
24 45 10
Cách 2: 2 3 1
5 4 6
a = 24k
a
b
c
⇒
=
=
=k
Đặt
b = 45k
24 45 10
c = 10k

⇒ 576k 2 + 2025k 2 + 100k 2 = 24309
⇒ 2701k 2 = 24309 ⇒ k 2 = 9 ⇒ k = ±3
a = 24.3 = 72
- Với k = 3 thì b = 45.3 = 135 ⇒ M = 72 + 135 + 30 = 237
c = 10.3 = 30
a = 24.(−3) = −72
- Với k = −3 thì b = 45.(−3) = −135 ⇒ M = −72 − 135 − 30 = −237
c = 10.(−3) = −30

Vậy M = 237 hoặc M = −237
Khai thác bài toán : Một số M được chia thành ba phần, sao cho phần thứ nhất
và phần thứ hai tỉ lệ với 5 và 6 ; phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 8 và 9.
Biết phần thứ ba hơn phần thứ hai là 150. Tìm số M
( Đề thi giao lưu HSG Toán 7 huyện Vĩnh Tường năm học 2014-2015)
Đáp số: M = 3550
Ví dụ 3: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương
ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào?
Giải
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và ha ; hb ; hc lần lượt là các chiều
cao tương ứng.
22


1
1
1
a.ha = b.hb = c.hc ⇒ a.ha = b.hb = c.hc
2
2
2

a b c
Vì độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2 ; 3 ; 4 nên = =
2 3 4
a b c
Đặt = = = k ( k ≠ 0 )
2 3 4

Diện tích của tam giác đó là:

(1)

⇒ a = 2k ; b = 3k ; c = 4k
2h
3h
4h
Từ (1) ⇒ 2k .ha = 3k .hb = 4k .hc ⇒ 2.ha = 3.hb = 4.hc ⇒ a = b = c
12

12

12

h
h
h
⇒ a = b = c
6
4
3


Vậy độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4 thì ba chiều cao tương tứng
với ba cạnh đó tỉ lệ với 6; 4; 3.
Khai thác bài tốn :
Bài 1: Nếu một tam giác có độ dài hai đường cao là 3 2 ; 52 và đường cao thứ ba
cũng là số chính phương thì đường cao thứ ba là bao nhiêu ?
( Đề thi giao lưu HSG Toán 7 huyện Vĩnh Tường năm học 2013-2014)
Giải
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là a; b; c và đường cao thứ ba có độ dài
là x ( Điều kiện a; b; c; x > 0 )
1
2

1
2

1
2

Diện tích của tam giác là: S = a.3 2 = .b.5 2 = .c.x ⇒ 2S = 9a = 25b = cx
2S

a = 9


2S
⇒ b =
25


c = 2 S


x

Áp dụng bất đẳng thức tam giác có: a − b < c < a + b
2 S 2 S 2S 2 S 2 S
−
<
<
+
9
25
x
9
25
1 1 1 1 1
16
1 34
225
225
⇒ −
< < +
⇒
< <
⇒
9 25 x 9 25
225 x 225
34
16
⇒

Mà x là số chính phương nên x = 9
Vậy độ dài đường cao thứ ba của tam giác là 9
Bài 2: Ba đường cao của tam giác có độ dài lần lượt là 4; 12; x . Biết rằng x là
một số tự nhiên. Tìm x ?
( Đề thi giao lưu HSG Toán 7 huyện Vĩnh Tường năm học 2016-2017)
23


Gợi ý
Làm tương tự bài 1 ta được x = 4 hoặc x = 5
7.2.5.Dạng 5: TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT
ĐẲNG THỨC
Tính chất 1: Cho 2 số hữu tỉ

a
c
a c
và với b > 0; d > 0 thì < ⇔ a.d < b.c
b
d
b d

( Bài 5 trang 5 SBT Tốn 7- Tập 1)
Tính chất 2: Nếu b > 0; d > 0 thì từ

a c
a a+c c
< ⇒ <
<

b d
b b+d d

( Bài 6 trang 6 SBT Tốn 7- Tập 1)
Tính chất 3: a; b; c là các số dương
a. Nếu

a
a a+c
< 1 thì
<
b
b b+c

b. Nếu

a
a a+c
> 1 thì
>
b
b b+c

Ví dụ 1: Cho a; b; c; d > 0 .Chứng minh rằng:
1<

a
b
c
d

+
+
+
<2
a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b

Giải
Từ

a
a
a+d
< 1 theo tính chất 3 ta có:
<
(vì d > 0 ) (1)
a+b+c
a+b+c a+b+c+d

Mặt khác:

a
a
>
(2)
a+b+c a+b+c+d

Từ (1) và (2) ta có:

a
a

a+d
<
<
(3)
a+b+c+d a+b+c a+b+c+d

Tương tự ta có:

24


Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế ta được:

Ví dụ 2. Cho

a c
a ab + cd c
< và b; d > 0. Chứng minh rằng: < 2
<
b d
b b +d2 d

Giải
Ta có

a c
a.b c.d
ab cd
< và b; d > 0 nên
<

⇒ 2 < 2
b d
b.b d .d
b
d

Theo tính chất 2 ta có:

ab ab + cd cd
a ab + cd c
< 2
< 2 ⇒ < 2
<
2
2
b b +d2 d
b
b +d
d

B.Về khả năng áp dụng của sáng kiến
Trong chương trình Đại số 7 giáo viên cần chú ý dạy cho học sinh nắm
vững chắc kiến thức về tỉ lệ thức ( định nghĩa, tính chất), tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau, yêu cầu học sinh hiểu bản chất chứ khơng phải thuộc các tính chất
một cách máy móc.
Khi gặp bài tốn về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, học
sinh cần: Quan sát đặc điểm của bài toán, nhận dạng bài tốn.Từ đó, chọn lựa
phương pháp giải cho phù hợp.
Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận xét, đánh giá bài
tốn theo quy trình nhất định, sử dụng thành thạo kĩ năng giải toán trong thực

hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tịi sáng tạo.
Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những
cách giải hay, cách giải khác.
Để giải quyết được vấn đề trên tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên
cứu:
Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 7, tài liệu có liên quan.
Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra.
Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.
8. Những thông tin cần được bảo mật
Không
9.Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến
Phòng học, bảng, bàn ghế, học sinh, đồ dùng học tập…
10.Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả
25