PHÒNG GD VÀ ĐT ……………….
TRƯỜNG THCS ………………

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU,
ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến: Một số kinh nghiệm hướng học sinh giải bài toán
bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.

Mơn/lĩnh vực: Tốn
Tác giả sáng kiến:………………………………

………………….., tháng 02 năm 2021


MỤC LỤC

Nội dung

Trang

1. Lời giới thiệu

2

2. Tên sáng kiến

2

3. Tác giả sáng kiến

2

4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến

2

5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

3

6. Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu

3

7. Mô tả bản chất của sáng kiến

3

8. Những thông tin cần được bảo mật của sáng kiến

21

9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

21

10. Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến

22

11. Danh sách các tổ chức cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến


24

Tài liệu tham khảo

25

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU,
ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Trong chương trình tốn THCS có một dạng tốn mà học sinh thường mất
điểm hoặc khơng đạt điểm tối đa đó là dạng toán: “Giải bài toán bằng cách lập
1


phương trình, hệ phương trình”. Dạng tốn này tương đối khó và mang tính trừu
tượng rất cao, địi hỏi học sinh phải có các kiến thức về số học, đại số, hình học,
vật lí, hóa học và phải biết tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán đã cho
với thực tiễn đời sống.
Về phía giáo viên, có thể một số giáo viên chưa có kinh nghiệm giảng dạy hoặc
không nắm được năng lực từng học sinh nên khi dạy dạng tốn này học sinh
khơng hiểu bài và khơng biết làm thế nào để giải được bài tốn đó.
Là một giáo viên dạy tốn, tham gia dạy ơn thi lớp 9 vào lớp 10 THPT,
Trong quá trình giảng dạy tại trường THCS Lũng Hịa, tơi thấy học sinh hay bị
nhầm hoặc mất điểm dạng toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình. Chính vì vậy tơi xin chia sẻ “MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN
HỌC SINH GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ
PHƯƠNG TRÌNH” hy vọng phần nào giải quyết được vấn đề trên.
2. Tên sáng kiến
“MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TỐN

BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH”
3. Tác giả sáng kiến
- Họ và tên:.......................
- Địa chỉ:
- Số điện thoại:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
- Giải pháp này được xây dựng, nghiên cứu và triển khai trong chương trình tốn
của trường THCS Lũng Hòa, giải pháp chủ yếu chú trọng hướng dẫn học sinh
giải được các dạng cơ bản của dạng tốn giải bài tốn bằng cách lập phương
trình, hệ phương trình. Từ đó nâng cao chất lượng đại trà cũng như chất lượng
thi vào lớp 10 trung học phổ thông.
2


- Áp dụng trực tiếp vào các tiết dạy của dạng tốn giải bằng cách lập phương
trình, hệ phương trình, vào chương trình ơn thi vào lớp 10 của học sinh.
6. Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
Từ tháng 04 năm 2020
7. Mô tả bản chất của sáng kiến
7.1. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu...
7.1.1. Mục đích nghiên cứu
- Đưa ra một số kinh nghiệm để hướng dẫn học sinh giải bài tốn bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình.
- Đưa ra một số dạng tốn giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình từ
đó có những bài tập minh họa cho dạng toán.
- Học sinh khi gặp dạng tốn này khơng bị lúng túng khi làm bài mà có hướng đi
phù hợp cho từng dạng tốn từ đó nâng cao chất lượng dạy học.
7.1.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Nắm được những khó khăn của vấn đề nghiên cứu

+ Nêu được các giải pháp để giải quyết các khó khăn
+ Tiến hành nghiên cứu và đối chiếu kết quả.
7.1.3. Địa điểm, thời gian, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Địa điểm: Lớp 8, lớp 9 Trường THCS
+ Thời gian: Từ tháng 03 năm 2019 đến tháng 02 năm 2020
+ Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 8, lớp 9
+ Phạm vi nghiên cứu qua các tiết dạy giải bài tốn bằng cách lập phương
trình lớp 8, hệ phương trình lớp 9, qua các buổi chuyên đề bồi dưỡng học sinh
giỏi.
7.1.4. Phương pháp nghiên cứu
3


1. Đọc tài liệu : Tham khảo thông qua các loại sách liên quan, các
chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
trên mạng. Đề thi vào lớp 10 của các tỉnh trong nước.
2. Điều tra:
a. Dự giờ:
- Dự giờ các đồng nghiệp trong tổ chuyên mơn từ đó trao đổi và học hỏi kinh
nghiệm.
-Thơng qua các buổi chuyên đề cấp cụm, cấp huyện .
b. Đàm thoại:
- Trong quá trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học sinh để biết học sinh
còn chưa hiểu phần nào, bị nhầm phần nào từ đó uốn nắm kịp thời và có thêm
kinh nghiệm dạy học lần sau..
- Trao đổi kinh nghiệm dạy học của các giáo viên trong tổ, nhóm chun mơn
từ đó đưa ra cách dạy học dạng tốn phù hợp nhất
c. Thực nghiệm:
- Trong q trình dạy học sau khi học sinh được nghe giảng bài tập mẫu thì
cần được củng cố kiến thức ngay tại lớp thông qua các bài tập trong SGK nhằm

giúp các em nắm chắc kiến thức từ đó có kĩ năng giải các dạng tốn đó.
d.Kiểm tra:
- Thơng qua các bài kiểm tra miệng, 15 phút, giữa kỳ, cuối kỳ, khảo sát, giáo
viên nắm được kết quả học tập của học sinh từ đó có hướng điều chỉnh phù hợp.
7.2. Các bước giải bài tốn bằng cách lập phương trình.
* Bước 1: Lập phương trình :
- Chọn ẩn số (ghi rõ đơn vị)và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
* Bước 2: Giải phương trình: Tuỳ từng phương trình mà chọn cách giải cho ngắn
gọn và phù hợp.
* Bước 3: Trả lời ( đối chiếu điều kiện của ẩn) rồi kết luận.
4


Để giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình chúng ta cũng làm tương tự
các bước như giải bài tốn bằng cách lập phương trình.
7.3. Một số dạng tốn cơ bản của dạng toán giải bài toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình.
Theo kinh nghiệm giảng dạy của tơi thì có thể phân loại thành 8 dạng như sau:
- Dạng toán liên quan đến số học.
- Dạng toán liên quan đến chuyển động.
- Dạng tốn về cơng việc làm chung, làm riêng.
- Dạng toán về năng suất lao động.
- Dạng toán về tỉ lệ chia phần.
- Dạng toán có liên quan hình học.
- Dạng tốn có nội dung vật lí, hố học.
- Một số dạng tốn khác.
A. MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY DẠNG TỐN:
Khi dạy mỗi dạng tốn giáo viên nên đi theo các bước như sau:

Bước 1. Gv đưa ra các đại lượng của dạng toán, kèm theo công thức liên hệ giữa
các đại lượng. Một số đặc điểm nhận dạng dạng toán hoặc một số chú ý khi giải
dạng toán đang xét.
Bước 2. Khi vào giải bài tập cụ thể giáo viên hướng dẫn học sinh theo các bước
sau:
a. Cho học sinh đọc đề, tìm hiểu bài tốn, tìm hiểu mối quan hệ giữa các đại
lượng => nhận ra dạng toán để áp dụng cách giải của dạng toán phù hợp.
b. GV hướng dẫn học sinh kẻ bảng biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng,
đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. Rồi căn cứ dữ kiện của bài tốn lập ra phương
trình hoặc hệ phương trình.
c. Giáo viên hướng dẫn học sinh giải phương trình hoặc hệ phương trình
d. Đối chiếu điều kiện của ẩn rồi trả lời bài toán.

5


Bước 3. Mỗi dạng toán giáo viên cho học sinh làm 2 hoặc 3 bài tương tự tùy vào
mức độ khó của bài tốn để học sinh thành thạo dạng toán.
Bước 4. Mỗi dạng toán khi dạy xong giáo viên ra đề kiểm tra ngay tại lớp với
dạng bài tập tương tự và xây dựng nhiều đề khác nhau để kiểm tra xem học sinh
hiểu rõ dạng toán chưa đồng thời phát hiện các lỗi sai từ đó giáo viên điều chỉnh
cho học sinh. Ra đề về nhà cho học sinh theo từng dạng toán.
Bước 5. Khi học xong tất cả các dạng toán của giải bài toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình giáo viên cho học sinh kiểm tra dưới dạng tổng
hợp các dạng toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình mục đích để
học sinh biết phân loại dạng tốn và nắm được tồn bộ dạng tốn.
B. MỘT SỐ DẠNG TỐN GIẢI BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
B.1. DẠNG 1: DẠNG TỐN LIÊN QUAN TỚI SỐ HỌC.
Một số kiến thức liên quan như :

- Cách viết số trong hệ thập phân.
- Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm…;
- Nắm được sự thay đổi của số khi viết theo thứ tự ngược lại, khi xem chữ
số vào số đó,...
* BÀI TỐN ( Đề thi vào lớp 10 năm học 2013 – 2014 Vĩnh Phúc ):
Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết tổng hai chữ số của số đó bằng 11 và nếu
đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì ta được số mới lớn
hơn số ban đầu 27 đơn vị.
Học sinh phải hiểu đề tìm hiểu dữ kiện của đề xem số cần tìm có mấy chữ
số? Các chữ số đó có mối quan hệ như thế nào? Số đó có thay đổi gì khơng?
Bảng biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng
Chữ số hàng chục
Lúc đầu

x

Chữ số hàng đơn vị
y

Số
xy

6


Lúc sau

y

x


yx

Giải:
Gọi số cần tìm là xy  x, y �N ;0  x, y �9 
Số khi đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị là: yx
Vì tổng hai chữ số của số cần tìm là 11 nên ta có: x  y  11
Do số mới hơn số ban đầu 27 đơn vị, nên ta có: yx  xy  27

(1)
(2)

�x  y  11
�yx  xy  27

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: �

giáo viên hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình ra kết quả
x = 4 và y = 7( thỏa mãn điều kiện)
Vậy số cần tìm là 47.
*BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng 2 lần chữ số hàng chục lớn
hơn 5 lần chữ số hàng đơn vị là 1 và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng
đơn vị được thương là 2 và dư cũng là 2.
Bài 2: Chữ số hàng chục của một số có hai chữ số lớn hơn chữ số hàng đơn vị là
5. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng 3/8 số ban đầu. Tìm số
ban đầu.
Bài 3: Tìm một số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục kém chữ số hàng
đơn vị là 4 đơn vị và tổng các bình phương của hai chữ số bằng 80.


B.2. DẠNG 2: DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHUYỂN ĐỘNG.
2.1. GV cần cho học sinh nắm được các đại lượng trong dạng tốn chuyển động,
kèm theo cơng thức liên hệ.
- Các đại lượng: vận tốc(v)km/h, quãng đường(S)km, thời gian(t)h.
- Công thức liên hệ:

S  v.t ; v 

S
S
;t 
t
v

Riêng đối với chuyển động trên dịng nước thì :
7


vxi dịng = vThực + vdịng nước
vngược dịng = vThực - vdịng nước
2.2. Khi dạy dạng tốn này GV cần chia nhỏ từng dạng toán chuyển động cho
học sinh dễ tiếp cận dạng tốn hơn. Thơng thường tơi thường chia dạng toán này
thành hai loại là:
* Chuyển động trên cạn: Chia thành hai dạng:
+ Bài tốn có một chuyển động: Gồm: Chuyển động dự định và thực tế, chuyển
động mức đi và mức về, chuyển động trên các quãng đường với vận tốc khác
nhau...
+ Bài tốn có nhiều chuyển động: Gồm: Chuyển động cùng chiều, ngược
chiều...
* Chuyển động trên mặt nước: Gồm:

+ Bài tốn có một chuyển động: Chuyển động dự định và thực tế, chuyển động
mức đi và mức về, chuyển động trên các quãng đường với vận tốc khác nhau...
+ Bài tốn có nhiều chuyển động: Chia thành hai dạng nhỏ là chuyển động cùng
chiều, ngược chiều...
2.3. Khi giáo viên hướng dẫn một bài toán cụ thể nên theo các bước như sau:
Bước 1: Cho học sinh đọc đề, tìm hiểu bài tốn và u cầu trả lời các câu hỏi như:
Bài tốn mấy chuyển động: Nếu có một chuyển động thì chuyển động này được
chia thành các mức nào?
Nếu bài tốn có nhiều chuyển động( thơng thường là hai chuyển động) thì các
chuyển động đó cùng chiều hay ngược chiều? Mỗi chuyển động đi từ đâu đến
đâu? Mối quan hệ của các chuyển động ra sao?
Bước 2: Giáo viên hướng dẫn học sinh kẻ bảng biểu diễn mối quan hệ giữa các
đại lượng. Rồi căn cứ dữ kiện của bài tốn lập ra phương trình hoặc hệ phương
trình.
Bước 3: Giáo viên hướng dẫn học sinh giải phương trình hoặc hệ phương trình
8


Bước 4: Đối chiếu điều kiện của ẩn rồi trả lời bài tốn.
* Bài tốn có một chuyển động:(Đề thi vào 10 năm học 2009 – 2010 Vĩnh
Phúc).
Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc 4 km/h, rồi đi ô tô từ B đến C với
vận tốc 40 km/h. Lúc về, anh ta đi xe đạp trên cả quãng đường CA với vận tốc
16 km/h. Biết rằng, quãng đường AB ngắn hơn quãng đường BC là 24 km, và
thời gian lúc đi bằng thời gian lúc về. Tính độ dài qng đường AC.
Hướng dẫn:
-Bài tốn có một chuyển động.
-Chuyển động được chia thành các mức nào? (chia thành 3 mức là ba quãng
đường AB, BC,AC)
-Bảng biểu diễn các mối quan hệ của các đại lượng

x>0; y>24;y>x

Vậntốc(km/h)

Quãngđường(km)

Thời gian( h)

Quãng đường AB

4

x

x
4

Quãng đường BC

40

y

y
40

Quãng đường CA

16


x+y

x y
16

�x y x  y
20x  2 y  5x  5 y
5x  y  0

�
�
�
��
 Hệ Phương trình: �4 40 16 � �
�y  x  24
�y  x  24
�
�y  x  24

 Giải hệ phương trình ra nghiệm x = 6 km; y = 30 km( thỏa mãn điều kiện)
Quãng đường AC dài 6 + 30 = 36 km.
* Bài tốn có 2 chuyển động: (Đề thi vào 10 Vĩnh Phúc năm học 2019-2020)
Người thứ nhất đi đoạn đường từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 78 km.
Sau khi người thứ nhất đi được 1 giờ thì người thứ hai đi theo chiều ngược lại
vẫn trên đoạn đường đó từ B về A. Hai người gặp nhau ở địa điểm C cách B một
quãng đường 36 km. Tính vận tốc của mỗi người biết rằng vận tốc của người thứ
9


hai lớn hơn vận tốc của người thứ nhất là 4 km/h và vận tốc của mỗi người trên

suốt đoạn đường khơng thay đổi.
Hướng dẫn: - Bài tốn có mấy chuyển động? ( hai chuyển động)
- Mỗi chuyển động đi quãng đường từ địa điểm nào đến địa điểm nào?
- Các chuyển động có mối quan hệ gì?
- Bảng biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng
x>0; y>4; x
Vận tốc(km/h)

Thời gian( h)

Quãng đường(km)

Xe thứ nhất

x

42
x

78 – 36 = 42

Xe thứ hai

y

36
y

36

�42 36
1
� 
Căn cứ vào dữ kiện bài toán ta có hệ phương trình: �x y
�y  x  4
�

Kết quả ta được x = 14; y = 18(thỏa mãn điều kiện)
Vậy vận tốc của người thứ nhất, người thứ hai lần lượt là: 14 km/h ; 18 km/h.
=> Giáo viên trình bày lời giải mẫu.
* Bài tốn về chuyển động trên mặt nước:
Một ca nô chạy trên khúc sơng dài 30 km. Thời gian ca nơ xi dịng ít
hơn thời ca nơ ngược dịng là 1 giờ 30 phút. Tìm vận tốc của ca nơ biết vận tốc
dịng nước là 5 km/h.
Hướng dẫn: Dạng toán này nên lập phương trình
- Bài tốn chuyển động trên mặt nước nên vxi dịng = vThực + v dịng nước
vngược dịng = vThực - v dòng nước
-Bảng biểu diễn: Gọi vận tốc dòng nước là x(km/h), 510


5
Vận tốc(km/h)

Xi dịng

x+5

Ngược dịng

x–5

Thời gian(h)

Qng đường(km)

30
x5

30
x5
30
30
3


Căn cứ vào dữ kiện bài tốn ta có phương trình:
x5 x5 2

30
30

Giải phương trình ta được x = 15(nhận) hoặc x = -15 (loại)
Vậy vận tốc của ca nô là 15 km/h.
*BÀI TẬP ÁP DỤNG:
DẠNG TOÁN HAI CHUYỂN ĐỘNG
Bài 1: Một chiếc xe tải đi từ A đến B, quãng đường dài 189 km. Sau khi xe tải
xuất phát 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ B về A và gặp xe tải sau khi đã

đi được 1 giờ 48 phút . Tính vận tốc của mỗi xe , biết rằng mỗi giờ xe khách đi
nhanh hơn xe tải 13 km.
Bài 2: Hai người khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau
38 km. Họ đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 4 giờ. Tính vận tốc của mỗi
người, biết rằng khi gặp nhau người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai là
2 km.
Bài 3: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai địa điểm A và B cách nhau 85 km và đi
ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì chúng gặp nhau. Tính vận tốc thật của
mỗi ca nơ, biết rằng vận tốc của ca nơ đi xi dịng lớn hơn vận tốc của ca nơ
ngược đi dịng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h ( vận tốc thực của ca
nơ khơng thay đổi)
DẠNG TỐN MỘT CHUYỂN ĐỘNG
Bài 1: Một ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng với vận tốc 50 km/h, lúc về xe chạy
với vận tốc nhanh hơn lúc đi là 5 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 12
phút. Tính quãng đường xe chạy từ Hà Nội đến Hải Phòng.
11


Bài 2:Một xe tải dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe
tăng vận tốc thêm 10kmh thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu xe giảm
vận tốc đi 10 km thì đến chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu và chiều
dài quãng đường AB.
Bài 3: Một chiếc ca nô đi xuôi theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngược dịng
trong 4 giờ thì đi được 380 km. Một lần khác ca nô này xuôi dịng trong 1 giờ và
ngược dịng trong 30 phút thì đi được 85 km. Hãy tính vận tốc của ca nô khi
nước yên lặng( biết vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc của dịng nước khơng
thay đổi)
B.3.DẠNG 3: TỐN VỀ CƠNG VIỆC LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG.
-Ở dạng tốn này giáo viên phải đưa ra một số đặc điểm của dạng toán để học
sinh nhận dạng dạng toán từ đó có cách giải phù hợp của dạng tốn. Chẳng hạn

dạng tốn này thường có hai đối tượng tham gia vào bài toán, bài toán thường
cho thời gian hai đối tượng làm chung xong công việc và hỏi thời gian từng đối
tượng làm riêng xong cơng việc đó. Đặc biệt dạng tốn này là khối lượng cơng
việc làm khơng rõ ràng nên coi tồn bộ cơng việc là một đơn vị.
- Các đại lượng của dạng toán:
Năng suất: Số sản phẩm làm ra trên một đơn vị thời gian.
Thời gian: Thời gian hồn thành cơng việc
Khối lượng cơng việc: Lượng công việc cần làm ( quy ước bằng 1)
-Công thức: Năng suất . Thời gian = Khối lượng công việc(=1)
Ta xét bài tốn ví dụ sau:
* Bài tốn:

12


Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể nếu
mở vịi thứ nhất trong 9 giờ sau đó mở vịi thứ hai 1,2 giờ nữa thì đầy bể. Hỏi
nếu mỗi vịi chảy một mình sau bao lâu đầy bể?
- Hướng dẫn giải:
Bảng biểu diễn các đại lượng:
x>

24
24
; y>
5
5

Năng suất

Thời gian( giờ)

Khối lượng cơng việc

Vịi thứ nhất

1
x

x

1

Vịi thứ hai

1
y

y

1

24
5

1

Cả hai vịi

=> Hệ phương trình

1:

24 5

5 24

�1 1 5
�x  y  24
�
5
�1
9.  1, 2.  1
�
24
� x

- Lời giải:
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x( giờ)
Gọi thời gian vịi thứ hai chảy một mình đầy bể là y ( giờ),
x>

24
24
; y>
5
5

Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được

1
(bể).
x
1

Trong một giờ vòi thứ thứ hai chảy được y (bể)
Trong một giờ cả hai vòi chảy được 1:

24
5
=
(bể)
5
24

13


�1 1 5
�x  y  24
Theo bài ra ta có hệ phương trình: �
5
�1
9.  1, 2.  1
�
24
� x

Giải hệ ta được x = 12( nhận), y = 8( nhận)
Vậy nếu chảy một mình, vịi thứ nhất cần 12 giờ đầy bể, vòi thứ hai cần 8

giờ đầy bể.
* BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Hai công nhân cùng sơn sửa cho một cơng trình trong 4 ngày thì xong
việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng
làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc. Hỏi thời gian làm riêng để xong cơng
việc của mỗi người?
Bài 2: Hai vịi nước cùng chảy chung vào một bể khơng có nước trong 12 giờ
đầy bể. Nếu để vòi thứ nhất cháy một mình trong 5 giờ rồi khóa lại và mở tiếp
vịi thứ hai chảy một mình trong 15 giờ thì cả hai vịi chảy được 75% thể tích bể.
Hỏi mỗi vịi chảy một mình trong bao lâu đầy bể?
Bài 3: Để chuẩn bị cho một xe hàng từ thiện chống dịch COVID – 19, hai thanh
niên cần chuyển một số lượng thực phẩm lên xe. Nếu người thứ nhất chuyển
xong một nửa số lượng thực phẩm, và sau đó người thứ hai chuyển hết số cịn lại
lên xe thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu hơn người thứ nhất là 1 giờ.
Nếu cả hai cùng làm chung thì thời gian chuyển hết số lượng thực phẩm lên xe
là 4/3 giờ. Hỏi nếu làm riêng một mình thì mỗi người chuyển hết số lượng thực
phẩm đó trong bao lâu?
B.4. DẠNG 4: TOÁN VỀ NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG.
Các đại lượng liên quan tới dạng toán:
Năng suất: Số sản phẩm làm ra trên một đơn vị thời gian.
Thời gian: Thời gian hoàn thành công việc
14


Khối lượng công việc: Lượng công việc cần làm
-Công thức: Năng suất . Thời gian = Khối lượng công việc
* Bài tốn:
Theo kế hoạch, một xí nghiệp may phải may xong 360 bộ quần áo trong một
thời gian quy định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xí nghiệp đã may nhiều hơn 4
bộ quần áo so với số bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch.Vì thế

xí nghiệp đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày xí
nghiệp phải may bao nhiêu bộ quần áo?
Hướng dẫn: Bài tốn tìm hiểu số bộ quần áo may được của xí nghiệp ở
hai mức là mức kế hoạch và mức thực tế vậy theo mối quan hệ giữa các đại
lượng trong đề bài ta có bảng sau :
Số bộ quần áo
x  N*

làm trong một

Số bộ quần áo may

Số ngày làm

được

ngày
Theo kế hoạch

x

Theo thực tế

x+4

360
x
360
x4

360
360

Cơ sở để lập phương trình là xưởng đã hồn thành kế hoạch trước một ngày
nên:

360 360

1
x
x4

Giải :
Gọi số bộ quần áo may được trong một ngày theo kế hoạch là x(bộ/ngày),
x  N*
Số bộ quần áo may được trong một ngày theo thực tế là x + 4 ( bộ / ngày)
Thời gian xí nghiệp may quần áo theo kế hoạch là
Thời gian xí nghiệp may quần áo theo thực tế là

360
(ngày)
x

360
(ngày)
x4

15

Do thực tế xí nghiệp hồn thành trước kế hoạch 1 ngày nên ta có phương
trình:

360 360

1
x
x4
� ( x  4).360  360 x  x( x  4)
� x 2  4 x  1440  0

Giải phương trình trên ra x = 36 (nhận) hoặc x = -40(loại)
Vậy số bộ quần áo xí nghiệp làm được trong một ngày theo kế hoạch là 36
bộ/ngày.
* BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: một công nhân dự định làm 150 sản phẩm trong một thời gian nhất định.
Sau khi làm được 2 giờ với năng suất dự kiến người đó đã tăng năng suất thêm 2
sản phẩm mỗi giờ vì vậy đã hoàn thành 150 sản phẩm sớm hơn dự kiến 30 phút.
Hãy tính năng suất dự kiến ban đầu?
Bài 2: ( Đề thi vào lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2020- 2021)
Một đội xe theo kế hoạch mỗi ngày chở số tấn hàng như nhau và dự định chở
140 tấn hàng trong một số ngày. Do mỗi ngày đội xe đó chở vượt mức 5 tấn nên
đội xe đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn
hàng. Hỏi số ngày dự định theo kế hoạch là bao nhiêu?
Bài 3: Hưởng ứng phong trào tết trồng cây một chi đoàn thanh niên dự định
trồng 80 cây trong một thời gian nhất định. Do mỗi giờ chi đoàn trồng nhiều hơn
dự định 5 cây nên đã hồn thành cơng việc trước dự định 12 phút và trồng thêm
được 10 cây. Tính số cây mà cho đoàn dự định trồng trong một giờ.
B.5. DẠNG 5: DẠNG TỐN VỀ TỈ LỆ CHIA PHẦN.
* Bài tốn:

Hai đội cơng nhân cùng tham gia lao động trên một công trường xây
dựng. Số người của đội I gấp hai lần số người của đội II. Nếu chuyển 10 người
từ đội I sang đội II thì số người ở đội II bằng

4
số người còn lại ở đội I. Hỏi lúc
5

đầu mỗi đội có bao nhiêu người?
Giải : Gọi số người của đội II lúc đầu là x( người). ĐK : x nguyên dương
16


Số người của đội I lúc đầu là 2.x ( người)
Sau khi chuyển 10 người từ đội I sang đội II thì số người cịn lại của đội I
là 2x - 10 (người), số người của đội II là x + 10 (người).
Theo đề bài khi đó số người ở đội II bằng
phương trình :

x + 10 =

4
số người của đội I nên ta có
5

4
(2x - 10)
5

Giải phương trình, tìm được x = 30 (thỏa mãn điều kiện)

Trả lời : Lúc đầu đội I có 60 người, đội II có 30 người.
* BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Hai tổ học sinh trồng được một số cây trong sân trường. Nếu lấy 5 cây
của tổ 2 chuyển cho tổ một thì số cây trồng được của cả hai tổ sẽ bằng nhau.
Nếu lấy 10 cây của tổ một chuyển cho tổ hai thì số cây trồng được của tổ hai sẽ
gấp đôi số cây của tổ một. Hỏi mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây?
Bài 2: Có ba thùng chứa tất cả 80 lít dầu. Thùng thứ nhất chứa nhiều hơn thùng
thứ hai 10 lít. Nếu đổ 26 lít từ thùng thứ nhất sang thùng thứ ba thì số dầu ở
thùng thứ hai và thùng thứ ba bằng nhau. Hỏi số dầu ban đầu ở thùng thứ nhất
và thùng thứ hai?
B.6. DẠNG 6: DẠNG TỐN CĨ LIÊN QUAN HÌNH HỌC.
- Ở các bài toán cơ bản dạng toán này thường khai thác về hình chữ nhật và tam
giác. Giáo viên yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức về hình chữ nhật và tam
giác như: Chu vi, diện tích hình chữ nhật, chu vi diện tích tam giác, định lý
pitago,...
Với dạng toán này giáo viên khi dạy học sinh nên chia thành hai dạng là: Bài
toán về tam giác và bài tốn về hình chữ nhật. Trong dạng tốn tam giác nên
chia nhỏ hơn nữa là tốn về tam giác vng và tam giác thường, làm như vậy
học sinh nhớ kỹ từng dạng hơn và khơng bị rối từ đó tránh nhầm lẫn.
* Với dạng tốn hình chữ nhật:
Thơng thường hai đại lượng ẩn chính là chiều dài và chiều rộng.
Chu vi hình chữ nhật = (a+b) . 2
17


Diện tích hình chữ nhật = a .b
a là chiều dài của hình chữ nhật
b là chiều rộng của hình chữ nhật
* Với dạng tốn tam giác:
Thơng thường nếu tam giác thường ẩn chính là chiều cao và cạnh đáy

tương ứng. Nếu tam giác vng ẩn chính là hai cạnh góc vng
Diện tích tam giác tính bằng nửa tích chiều cao và cạnh đáy tương ứng
Diện tích tam giác vng tính bằng nửa tích hai cạnh góc vng.
Ngồi ra ta còn dùng định lý Py ta go để biểu diễn các đại lượng.
* Bài tốn hình chữ nhật:( Đề thi vào 10 Vĩnh Phúc năm học 2015-2016)
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 360m 2. Nếu tăng chiều dài
thêm 1m và tăng chiều rộng thêm 1m thì diện tích mảnh vườn đó là 400m 2. Xác
định chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lúc đầu.
Hướng dẫn:
Giáo viên hướng dẫn học sinh điền bảng biểu diễn :
ĐK : 0 < x
0Lúc đầu
Lúc sau

Chiều dài(m)

Chiều rộng(m)

x
x+1

y
y+1
�xy  360
( x  1).( y  1)  400
�

Căn cứ đề bài ta có hệ phương trình : �

Gọi chiều dài của hình chữ nhật dài x(m),
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật dài y(m), 0 < x ; 0 < y ; x < y
Do hình chữ nhật có diện tích là 400 m2 nên ta có phương trình xy  360 (1)
Do tăng chiều dài thêm 1m, tăng chiều rộng thêm 1m thì diện tích của mảnh
vườn là 400m2 nên ta có phương trình ( x  1).( y  1)  400 � x  y  39 (2)
�xy  360
�x  24
��
(thỏa mãn điều kiện)
�x  y  39
�y  15

Tự (1) và (2) ta có hệ phương trình : �

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt dài : 24m, 15m.
* Bài toán tam giác(Đề thi vào 10 Vĩnh Phúc năm học 2010-2011)

18


Cho một tam giác có chiều cao bằng

3
cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng
4

thêm 3m và cạnh đáy giảm đi 2m thì diện tích tam giác đó tăng thêm 9m 2. Tính
cạnh đáy và chiều cao tương ứng của tam giác đã cho.
Hướng dẫn :
-Bảng biểu diễn :

x>2

Cạnh đáy(m)

Chiều cao tương ứng(m)

Lúc đầu

x

3
.x
4

Lúc sau

x–2

3
.x + 3
4

Do chiều cao tăng thêm 3m và cạnh đáy giảm đi 2m thì diện tích tam giác đó
tăng thêm 9m2 nên ta có phương trình :
1
3
�1 3
 x  2 .�
� x  3 � x. x  9 � x  16 ( thỏa mãn điều kiện)
2

�4
�2 4

Chiều cao của tam giác là 16.

3
= 12m
4

Vậy chiều cao, cạnh đáy tương ứng của tam giác là 12m, 16m.
*BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Một tam giác có chiều cao bằng 2/5 cạnh đáy. Nếu chiều cao giảm đi
2dm và cạnh đáy tăng thêm 3dm thì diện tích tam giác giảm đi 14dm 2. Tính
chiều cao và cạnh đáy tương ứng của tam giác.
Bài 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật có nửa chu vi là 40m, nếu tăng chiều dài
thêm 3m, tăng chiều rộng thêm 5m thì diện tích của mảnh vườn tăng thêm
195cm2.Tính diện tích mảnh vườn.
Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có nửa chu vi là 140 m. Người ta làm một
lối đi xung quanh vườn( thuộc đất cảu vườn) rộng 2m, diện tích cịn lại là 4256
m2. Tính diện tích khu vườn.
B.7. DẠNG 7. DẠNG TỐN CĨ NỘI DUNG VẬT LÝ, HĨA HỌC.
m

ct
- Công thức: Nồng độ phần trăm của chất: C %  m .100%
dd

Trong đó: mct là khối lượng chất tan
mdd là khối lượng dung dịch
19

C% là nồng độ phần trăm của chất
Khối lượng riêng của chất : D 

m
v

Trong đó: D là khối lượng riêng của chất
m là khối lượng của chất
v là thể tích của chất
*Bài tốn:
Biết rằng 200 g một dung dịch chứa 50 g muối. Hỏi phải pha thêm bao
nhiêu gam nước vào dung dịch đó để được một dung dịch chứa 20 % muối?
Giải : Gọi x là lượng nước cần pha thêm vào dung dịch đã cho (x > 0, gam)
Khi đó khối lượng dung dịch muối là 200 + x (gam)
Nồng độ dung dịch là

50
.100%
200  x

Do dung dịch thu được chứa 20% muối nên ta có phương trình:
50
20

200  x 100

=> 20(150 + x) = 5000
x = 100( nhận)

Vậy : Lượng nước cần pha thêm là 100 g
*BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Người ta trộn 6 g chất lỏng I với 8 g chất lỏng II, chất lỏng II có khối
lượng riêng lớn hơn chất lỏng I là 0,2g/cm3 thu được một hỗn hợp có khối lượng
riêng là 0,7 g/cm3. Tìm khối lượng riêng của chất lỏng I.
Bài 2: Người ta đổ thêm 100 g nước vào một dung dịch chứa 20 g muối thì
nồng độ của dung dịch giảm đi 10 %. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch
chứa bao nhiêu nước?
Bài 3: Có hai dung dịch muối, người ta hòa tan 200 g dung dịch muối I vào
300g dung dịch muối II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33 %. Tính
nồng độ muối của mỗi dung dịch, biết rằng nồng độ muối trong dung dịch I lớn
hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20%.
B.8.DẠNG 8. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC
20


Khi tìm hiểu một sơ đề khảo sát, đề thi vào lớp 10 của các huyện, các tỉnh tơi
thấy có một số dạng tốn khơng nằm trong các dạng tốn cơ bản mà những dạng
tốn này có tính thực tế cao nên tơi đưa ra dạng tốn này để khi học sinh gặp bài
tốn dạng này khơng bị lúng túng.
Bài 1: Hôm nay Bà Hoa đi chợ mua 5 quả cam và 5 quả ổi hết 10 000 đồng .
Hôm sau Hoa mua 3 quả cam và 7 quả ổi hết 9600 đồng và giá quả cam và ổi
thì vẫn như cũ . Hỏi giá một quả mỗi loại là bao nhiêu.
Bài 2: Một phịng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế ở
mỗi dãy bằng nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi dãy tăng thêm 1 thì
trong phịng có 400 ghế. Hỏi có bao nhiêu dãy, mỗi dãy có bao nhiêu ghế
Bài 3: Hai đội bóng bàn của hai trường phổ thông thi đấu với nhau. Mỗi đấu thủ
của đội này phải đấu với mỗi đấu thủ của đội kia một trận. Biết rằng tổng số trận
đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của 2 đội và số đấu thủ của ít nhất một trong hai
đội là số lẻ. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ?

8. Những thông tin cần được bảo mật của sáng kiến
Không
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến
Phòng học, bảng, bàn ghế,máy tính, máy chiếu, học sinh,tài liệu tham khảo
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng sáng kiến
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng sáng kiến
theo ý kiến của tác giả
Chất lượng đại trà, hơn nữa chất lượng thi vào lớp 10 luôn là một nhiệm vụ
hết sức khó khăn đối với giáo viên đứng lớp và đặc biệt là giáo viên dạy tốn nói
riêng. Trong q trình giảng dạy tại trường THCS Lũng Hịa khi chưa áp dụng
giải pháp này thì điểm các bài kiểm tra, các bài khảo sát, điểm thi vào lớp 10 của
các em chưa cao và cụ thể là mất điểm dạng toán giải bài toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình.
21


Cụ thể năm học 2018 - 2019 khi chưa áp dụng giải pháp, Tơi có kết quả điểm
kiểm tra một tiết như sau:
Điểm
Sĩ số

Giỏi

Khá

T. Bình

Yếu

Kém

80 = 64 %

20 = 16 %

0

Lớp
Khối 9

125

10 = 8 % 15 = 12 %

-Qua kết quả khảo sát đó, sang năm học 2019 – 2020 tôi đã áp dụng giải pháp
này để dạy cho các em, và dần dần tôi đã thấy được sự tiến bộ của học sinh qua
việc giải bài tập.Tôi nhận thấy hầu hết các em đã biết trình bày bài tốn dạng
này.Phần lớn học sinh đã có hứng thú giải những bài tốn bằng cách lập phương
trình, các em khơng cịn lúng túng khi lập phương trình, hệ phương trình nữa.
Các em đã biết chuyển đổi các vấn đề từ ngôn ngữ văn học sang ngơn ngữ tốn
học thơng qua các phép tốn, biểu thức, phương trình.... Nhiều em khá giỏi đã
tìm ra được cách giải hay và ngắn gọn phù hợp. Tôi đã thống kê bài kiểm tra
một tiết như sau:
Điểm

Sĩ

Lớp

số

Khối 9

120

Giỏi

Khá

T. Bình

Yếu

Kém

30 = 25 %

55 = 45,83 %

30 = 25 %

5 =4 ,17 %

0

- Khi tôi áp dụng giải pháp thì chất lượng các bài kiểm tra một tiết của học sinh
dạng toán này tốt và ổn định, đặc biệt trong quá trình tham gia bồi dưỡng học
sinh thi vào lớp 10 THPT và tôi cũng đã đạt được một số thành công nhất định
như:

Năm học 2019 – 2020: Mơn tốn tơi giảng dạy cả khối 9 thi vào lớp 10 xếp thứ
2 trong huyện và thứ 14 trong tỉnh với điểm trung bình 7,66.
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng sáng kiến
theo ý kiến tổ chức cá nhân
- Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình đã được tổ chuyên mơn góp ý đánh giá là phù
22


hợp với thực tế dạy học và đạt được kết quả tốt khi đưa vào sử dụng trong các
tiết dạy của giáo viên.
- Các đồng chí trong cùng nhóm chun mơn tốn đã tham khảo và sử
dụng một số kinh nghiệm này trong quá trình dạy học các dạng bài tập liên quan
và kết quả dạt được rất tốt.
10.3. Kết luận
1)Bài học kinh nghiệm:
- Đối với giáo viên: Có kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải dạng bài tập
giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. Đảm bảo chất lượng
học tập của học sinh sau khi học xong dạng toán.
- Đối với học sinh: Học sinh khi gặp dạng tốn giải bằng cách lập phương
trình, hệ phương trình đầu tiên biết nhận ra dạng tốn sau đó nắm được cách
giải của dạng toán để áp dụng vào bài tập cho phù hợp. Tránh trường hợp học
sinh lúng túng khơng biết xử lí bài tốn ra sao. Từ việc xử lí tốt bài tốn thì chất
lượng học tập của học sinh được nâng lên.
2)Hướng phổ biến, áp dụng và nghiên cứu tiếp của đề tài:
- Đề tài này có thể áp dụng thực hiện trong các tiết dạy chính khóa, chun
đề của các nhà trường, tổ chun mơn, khối 8, khối 9 đồng thời làm tài liệu tham
khảo cho học sinh. Với đề tài này, tơi có thể áp dụng nghiên cứu tiếp trong các
năm học sau và tự tìm tịi rút ra những kinh nghiệm thực tiễn để nâng cao chất
lượng dạy và học.

- Đề tài nghiên cứu, rút kinh nghiệm của bản thân tôi, thông qua thực trạng
học sinh của lớp 8 và lớp 9 mà tôi xây dựng để cho tiết học đạt hiệu quả. Song
vẫn cịn một số thiếu sót, hạn chế của nó rất mong sự góp ý của các bạn đồng
nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.
11. Danh sách những tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp
dụng sáng kiến lần đầu
TT

Tên tổ chức/ cá nhân

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng
23


1
2
3
4
............, ngày 18 tháng 02 năm 2021

..............., ngày 08 tháng 02 năm 2021

Thủ trưởng đơn vị

Tác giả sáng kiến

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa đại số 8 tập 2 – Nhà xuất bản giáo dục
2. Sách giáo viên đại số 8 tập 2 – Nhà xuất bản giáo dục
3. Thực hành dạy toán THCS – Nhà xuất bản giáo dục
4. Các phương pháp đổi mới dạy học toán – Nhà xuất bản giáo dục
5. Tổng hợp kiến thức Toán 8 THCS – Phạm Phu – Nhà xuất bản đại học
sư phạm – Xuất bản năm 2005.
6. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8 – Bùi Văn Tuyên – Nhà xuất
bản giáo dục – Xuất bản năm 2004.
7. Sách bồi dưỡng năng lực tự học toán 8 – Nhà xuất bản ĐHQG TP HCM

24