Các bài Luyện tập

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (148.52 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Dạng 1: Tìm thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau:
Bài 1. Tìm a, b, c biết:

a) 3 8 5
a b c
 

và 3a + b – 2c = 14
b)

1 2 2

5 3 2

a b c

 

và a + 2b – c = 6
c) 10 6 21

a b c
 

và 5a + b – 2c = 28
d)

1 2 3

2 3 4

a b c

 

và 2a + 3b – c = 50
e)

12 15 20 12 15 20

7 9 11

a b c a b c

 

và a
+ b + c = 48

2 3 4

3 4 5

a b c

 

và a + b +c = 49
g) 2 3 5

a b c
 

và abc = 810

6 9 18

11a2b5 c và –a + b + c = –120

i) 3 4 ; 5 7

a b b c

 

và 2a + 3b – c = 186
k) 3 4 ; 3 5

a b b c

 

và 2a – 3b + c = 6
l)

10 3

;

9 4

a b

b  c  và a – b + c = 78

7 5

;

20 8

a b

b  c  và 2a + 5b – 2c = 100

2 1

;

3 2

a a

b  c  và a3 + b3 + c3 = 99
p) 3a = 2b ; 7b = 5c và a – b + c = 32
q) 5a = 8b = 20c và a – b – c = 3
Bài 2. Tìm x: y; z biết:

a) 5 4
x y


; x2 – y2 = 81 với x, y > 0
b)

16 25 9

9 16 25

x y z

 

và 2x3 – 1 = 1
c)

2
3
x

y  và x2 + y2 = 208

18 17

4 16

x x

 



 

72 3

18 5
x
x





2 2

9 16
x y



và x2 + y2 = 100;
g)

1 2 3

2x3y4z và x y15
h)

2 2 4

3 4 5

x y z

 

và x y z  49
Bài 3. Tìm x, y, z biết:

a)
x
10=

y
6=

z

21 và 5x+y−2z=28

b)
x
3=

y

4 ,

y
5=

z

7 và

2x+3y−z=124

d)
x
2=

y

3 và xy=54

e)
x
5=

y

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

c)
2x

3 =
3y

4 =
4z

5 và x+y+z=49

x

y

+

z

+

1 =

y

z+

x

+

1 =

z

x+

y−

2 =x+

y+

z

Bài 4: Tìm x, y, z biết:

a) 3x=2y ,7y=5z và x−y+z=32

x−1

2 =
y−2

3 =
z−3

4 và

2x+3y−z=50

c) 2x=3y=5z và x+y−z=95

x 7

y 3 và 5x – 2y = 87;

x y

19 21 và 2x – y = 34;

f) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594
g)

1+2y

18 =

1+4y
24 =

1+6y
6x 
h)

x

z

+

y

+

1 =

y

x+

z

+

1 =

z

x+

y−

2 =x+

y+

z

(x, y, z ¿0 )

i)
x
2=

y
3=

z

5 và xyz=810

y

+

z

+

1 x

=

z+

x

+

2 y

=

x

+

y−

3 z

=

1 x+

y+

z

l) 10x=6y và

2 x

−

y

=−

28

3 3 3

x y z

8 64 216 và x2 + y2 + z2 = 14.
n)

2x 1 3y 2 2x 3y 1

5 7 6x

   

 

o) x + y = x : y = 3.(x – y)



1+3y

1+5y

1+7y

12 5x

4x

q)
3x

8 =
3y
64 =

3z

216 và

2 x

+

2 y

−

z

=

1

Bài 5. Tìm số hữu tỉ x, y, z trong các tỉ lệ thức:

a) 4

0,81: : ( 0,9)
2

x
x

 

;

b) (17.16.12) : ( .12 . )z x y (3.51.32) : ( .6. )y z
c) 7 : (8 ) 10 : ; 9 : (2 ) 5 : (3 ); 10 :x  y y  z z9 : 4.
Bài 6. Tìm x, y, z biết: 1) 15x = 10y = 6z

và xyz = -1920

2) x2 + 3y2 – 2z2 = - 16 và 2 3 4
x y z
 

2 1 3 2 2 3 1

5 7 6

x y x y

x

   

 

1 2 1 4 1 6

18 24 6

y y y

x

  

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3) x3 + y3 + z3 = 792 và

2

3

4 x

y

z

 

4) 10 2

5
4

2
5
3
2





x
x
x
x

5) 5 34

3
25
5
40
1
3





x
x
x

x

6) 24

40
12
20
9
15





 y z

x và x.y =

1200.

1+3y 1+5y 1+7y

.

12 

5x



4x

10)

2 1 4 5 2 4 4

5 9 7

x y x y

x

   

 

11) 2 3 5

x y z

x y z

y z z x x y

    

     

12) 21

28
15
20
30

40





 y z

x và x.y.z = 22400;

13) 15x = -10y = 6z và xyz = -30000.
Bài 7: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:

a)
3
,
0
:
2
,
0
:
8
3
148
4
2

152  x








b)
4
:
01
,
0
3
2
2
:
18
5
83
30
7

85   x









c) 0,4:x=x:0,9
d) 3 26:(2 1)

1
1
:
3
1

13  x

e) x
x 60
15




f) 9:x

7
3
1
:
3
1
2 

g) 90
15
:
99
12
3
1
: 
x

h)





6
5
5
:
25
,
1
21
:
5
,
2
.
14
3
3
5
3

6   x














i)























84
25
44
63
10
45
:
31
9
1
1
3
1
2
:
4
3
4 x

k) 0,2: 3:(6 7)
2

5
1

1  x

l) 25
8
2 x
x




m) 7

3
13
37



x
x

n) 3:2,25
1
3
:

9
4

x

o) 90

75
:
99
41
:
4
3
x


Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức:

Bài tập 1. Tìm số hạng thứ 4 lập thành tỉ lệ thức với 3 số hạng sau:
a) 2; 6; 12;

b) 12; 16; 48

Bài tập 3. Cho tỉ lệ thức 
a c

b d (b, d khác 0); hãy chứng minh:
a)

a c

a b c d ; b)

2013 2014 2013 2014
2013 2014 2013 2014

a b c d

 



  ;

2 2 2 2

a b c d

ab cd
 

d)
3
3 3

3 3

a b a b

c d c d

   

 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài tập 4. a) Cho tỷ lệ thức

ab bc ca

b c a . Chứng minh: a = b = c

b) Cho tỉ lệ thức

ab bc bc ca ca ab

a b b c c a

  

 

   . Chứng minh: a = b = c

Bài tập 5. Tìm một phân số sao cho khi cùng cộng thêm vào tử và mẫu số với cùng một số
khác 0 vào tử và mẫu thì phân số đó vẫn khơng đổi?

Bài tập 6. Bớt đi ở số hạng trên và dưới của 2 tỉ số 
26
39 và

57 đi cùng một số tự nhiên để kết
quả còn lại lập thành một tỉ lệ thức?

Bài tập 7. Cho tỉ lệ thức

a b c d
b c d a

 



  (Với a, b, c, d > 0); tìm a và c biết a + c = 2014.

Bài tập 8. Cho tỉ lệ thức:

ab bc

a b b c   với c khác 0. Chứng minh tỉ lệ thức:

a b
bc

Bài tập 9. Cho tỉ lệ thức

abc bca

a bc b ca ; chứng minh tỉ lệ thức

bc a
ca b

Bài tập 10. Chứng minh rằng: Nếu

x
a+2b+c=

y
2a+b−c=

z
4a−4b+c

Thì

a

x

+

2 y

+

z

=

b

2 x+

y−

z

=

c

4 x

−

4 y

+

z

Bài tập 11. Cho

x

y

+

z

+t

=

y

z

+t

+

x

=

z

t

+x

+

y

=

t

x

+

y

+

z

Chứng minh rằng biểu thức:

P=

x+

y

z

+t

+

y

+

z

t+

x

+

z

+t

x+

y

+

t

+

x

y+

z

có giá trị nguyên.
Bài tập 10. Chứng minh rằng nếu có:

(a + b + c + d)(a – b – c+ d) = (a - b + c - d)(a + b – c - d)
Thì 4 số a, b, c, d lập thành 1 tỉ lệ thức

Bài tập 11. Chứng minh rằng nếu

3
1 2

2 3 4 1

... n
n

a a

a a a  a  . Thì

1 2 3 1

2 3 4 1 1

...
...

n
n

n n

a a a a a

a a a a a

     



 

  

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 4: Cho dãy tỉ số bằng nhau:

3 2008

1 2

2 3 4 2009

a a

...

a a a  a . CMR:

2008

1 2 3 2008

2009 2 3 4 2009

a a a ... a

a a a a ... a

     

 

   

 

Bài tập 12. Cho biết

1; 1

a c d e

b d  c  f  . Chứng minh: adf + bce = 0

Bài 1: Cho tỉ lệ thức: d

c
b
a



. Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số
đều có nghĩa).

1) c d

d
c
b
a
b
a
5
3
5
3
5
3
5
3






2) 2 2

2
2
2
d
c
b
a
d
c
b
a












3) c d
d
c
b

a
b
a





4)









2
d
c
b
a
cd
ab




5) c d

d
c
b
a

b
a
4
3
5
2
4
3
5
2






6) a b

d
c
d
c
b
a
2007
2006
2006
2005
2007
2006

2006
2005






7) c d

c
b
a
a




8) b bd

bd
b
ac
a
ac
a
5
7
5
7

5
7
5
7
2
2
2
2






9) c d
d
c
b
a
b
a





10)









2
d
c
b
a
cd
ab



13)

2008 2009 2008 2009
2009 2010 2009 2010

a b c d

c d a b

 



 

14) c d

c
b
a

a



 15) b bd

bd
b
ac
a
ac
a
5
7
5
7
5
7
5
7
2
2
2
2





16)

2 2

2 2 2 2

7a 3ab 7c 3cd

11a 8b 11c 8d

 



 

Bài 2: Cho d

c
c
b
b
a



. Chứng minh rằng: d

a
d
c
b

c
b
a










 3

Bài 3: Cho 2003 2004 2005
c
b

a




. Chứng minh rằng:

4 (

a



b

)(

b



c

)



(

c



a

)

Bài 5: Cho 1

9
9

8
3
2
2

1 ......

a
a
a
a
a
a
a
a





và

a



a



...



a



0

. Chứng minh rằng:
9

a

...

a



Bài 6: Chứng minh rằng nếu: d

b
b
a



thì d

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 7: CMR: Nếu a bc thì a b c a. Đảo lại có đúng khơng?
Bài 8. Cho tỉ lệ thức:

2 2
2 2

a b ab
c d cd




 . Chứng minh rằng:

a c

b d .

Bài 9: Chứng minh rằng nếu: 3
3
2

2






v
v
u

u

thì 2 3
v
u



Bài 10: CMR: Nếu a2 bc thì c a
a
c
b
a

b
a








. Đảo lại có đúng khơng?
Bài 11: CMR nếu a(yz)b(zx)c(xy)

trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì: ( ) ( ) c(a b)

y
x
a
c
b

x
z
c
b
a

z
y











Bài 12: Cho d
c
b
a



. Các số x, y, z, t thỏa mãn: xayb0 và zctd 0. CMR:
td

zc
yd
xc
tb
za

yb
xa







Bài 13: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn:

b



ac

;

c



bd

và b3c3d3 0

CMR: d

a
d
c
b

c
b
a








3
3
3

Bài 14: Cho 1 1

2
1

c
x
b
x
a

c
bx
ax
P








. Chứng minh rằng nếu 1 1 c1

c
b

b
a

a




thì giá trị của P không
phụ thuộc vào x.

Bài 16: Cho tỉ lệ thức:

2a 13b 2c 13d

3a 7b 3c 7d

 



  ; Chứng minh rằng:

a c

b d .
Bài 19: Biết

2 2
2 2

a b ab

c d cd




 với a, b, c, d



0. Chứng minh rằng:

a c
b d hoặc

a d
b c

Bài 20: Cho tỉ lệ thức d
c
b
a



. Chứng minh rằng: 2 2

2
2

d
c

b
a
cd

ab





và 2 2

2
2
2

d
c

b
a
d
c

b
a















Bài 21: Cho c

z
b

y
a
x
CMR
c

bx
ay
b

az
cx
a

cy
bz











</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

a) d
d
c
b
a
c

d
c
b
a
b

d
c
b
a
a

d
c
b

a 2 2 2

2   














. Tính
c

b
a
d
b
a

d
c
a
d

c
b
d
c

b
a
M















b) Ba số a, b, c khác nhau và khác số 0 thoả mãn điều kiện a b
c
c
a

b

c
b

a







Tính giá trị của biểu thức P = c
b
a
b

c
a
a

c

b 






Bài 2: Cho 3 số x, y, z khác 0 thỏa mãn điều kiện:

y z x z x y x y z

x y z

     

 

Hãy tính giá trị của biểu thức: B =

1 x 1 y 1 z

y z x

     

  

     

   

 

Bài 3: Cho dãy tỉ số bằng nhau:

2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d

a b c d

           

  

Tính b c

a
d
b
a

d
c
a
d

c
b
d
c

b
a
M
















Bài 4: Cho

a b c

b c a và a + b + c ≠ 0; a = 2012. Tính b, c?

Bài 5: a) Cho các số a,b,c,d khác 0. Tính T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 . Biết x, y, z, t thỏa mãn:
2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010

2 2 2 2 2 2 2 2

x y z t x y z t

a b c d a b c d

  

   

  

b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f
Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và

14
22
a
b  ;

11
13
c
d  ;

13
17

e

f 

Dạng: Tính giá trị biểu thức:
Bài tập 1. Cho 4 tỉ số bằng nhau:

a b c
d
 

;

b c d
a
 

;

c d a
b
 

;

d a b
c
 

. Tìm giá trị của mỗi tỉ số trên.
Bài tập 2. Cho dãy tỷ số bằng nhau:

2015 2015 2015 2015

a b c d

a b c d   a b c d  a b  c d a b c   d
Tính

a b b c c d d a
T

c d d a a b b c

   

   

   

Bài tập 3. Cho x, y, z thoả mãn: 2 5 7
x y z

 

với x, y, z khác 0. Tính: P = 2
x y z
x y z

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài tập 4. Tính giá trị của P biết

abc bca cab

P

ab c bc a ca b

  

  

Bài tập 5. Cho 3 số x, y, z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện:

y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt

x y z t

           

  

(Với n là số tự nhiên)
 và x + y + z + t = 2016.

Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t

Bài tập 6. Cho 3 số a, b, c thỏa mãn:2012 2013 2014

a b c

 

.
Tính giá trị của biểu thức: M = 4(a - b)( b – c) – ( c – a )2
Ví dụ 3. Cho biểu thức: P =

x y y z z t t x
z t t x x y y z

   

  

   

Tìm giá trị của biểu thức P biết:

x y z t

y z t  z t x  t x y  x y z  (*)

Bài 1. Cho A =

2 3

x y z
x y z

 

  . Tính A biết x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3.
Bài 2. Cho các số A, B, C tỉ lệ với a, b, c.

Tính giá trị biểu thức: Q =

Ax By C
ax by c

 

Bài 3. Cho 4 tỉ số bằng nhau:

a b c
d
 

;

b c d
a
 

;

c d a
b
 

;

d a b
c
 

. Tìm giá trị mỗi tỉ số trên

Bài 6. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. Biết rằng số
học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó?

Bài 7: Người ta trả thù lao cho cả ba người thợ là 3.280.000 đồng. Người thứ nhất làm được 96
nông cụ, người thứ hai làm được 120 nông cụ, người thứ ba làm được 112 nông cụ. Hỏi mỗi
người nhận được bao nhiêu tiền? Biết rằng số tiền được chia tỉ lệ với số nông cụ mà mỗi người
làm được.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài 9: Tìm các số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu a - b bằng thương a : b và bằng hai lần tổng a + b.
Bài 10: Có 16 tờ giấy màu loại 2.000 đồng; 5.000 đồng và 10.000 đồng trị giá mỗi loại tiền trên
đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ?

Phiếu số 8

Bài 1: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:

Bài 5: Ba số a, b, c khác nhau và khác 0 thoả mãn điều kiện: 
Tính giá trị của biểu thức: P =

Bài 6: Các số a, b, c, x, y, z thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng:

Bài 7: Tỉ số chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật bằng 3/2. Nếu chiều dài hình chữ nhật
tăng thêm 3 (đơn vị) thì chiều rộng của hình chữ nhật phải tăng thêm mấy đơn vị để tỉ số của hai
cạnh khơng đổi.

Bài 8: Tổng kết học kì I lớp 7A có 11 học sinh giỏi, 14 học sinh khá và 25 học sinh trug bình,
khơng có học sinh kém. Hãy tính tỉ lệ phần trăm mỗi loại học sinh của cả lớp.

Bài 10: Cho tỉ lệ thức . Tìm giá trị của tỉ số .

Bài 11: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau (Giả thiết các tỉ lệ thức 
đề có nghĩa):

a) b) c)

Bài 12: Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức nếu có một trong các đẳng thức sau (Giả thiết 
các tỉ lệ thức đề có nghĩa):

a) b) (a + b + c + d)(a – b – c + d) = (a – b + c - d)(a + b – c - d)

Bài 13: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng (giả thiết a b, c d và mỗi số 
a, b, c, d khác 0)

b
a

c
c
a

b
c
b

a








c
b
a
b

c
a
a

c

b 






c
z
b

y
a
x




c
bx
ay
b

az
cx
a

cy

bz 






4
3
3






y
x

d
c
b
a



d
c

d
c
b
a

b
a

3
2

3
2
3
2

3
2







2
2

d
c

b
a
cd
ab




 2 2

2
2
2

d
c

b
a
d

c
b
a














d
c
b
a



.
d
c

d
c
b
a

b
a







d
c
b

a



d
c

c
b
a

a




</div>

Các bài Luyện tập

<i>x</i>

<i>y</i>

+

<i>z</i>

+

1

=

<i>y</i>

<i>z+</i>

<i>x</i>

+

1

=

<i>z</i>

<i>x+</i>

<i>y−</i>

2

=x+

<i>y+</i>

<i>z</i>

<i>x</i>

<i>z</i>

+

<i>y</i>

+

1

=

<i>y</i>

<i>x+</i>

<i>z</i>

+

1

=

<i>z</i>

<i>x+</i>

<i>y−</i>

2

=x+

<i>y+</i>

<i>z</i>

<i>y</i>

+

<i>z</i>

+

1

<i>x</i>

=

<i>z+</i>

<i>x</i>

+

2

<i>y</i>

=

<i>x</i>

+

<i>y−</i>

3

<i>z</i>

=

1

<i>x+</i>

<i>y+</i>

<i>z</i>

2

<i>x</i>

−

<i>y</i>

=−

28





1+3y

1+5y

1+7y

12

5x

4x

2

<i>x</i>