<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b> </b>

<b>CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC </b>

<b>I. Định nghĩa </b>

Trên mặt phẳng Oxy cho đường trịn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M
trên đường tròn lượng giác mà sđAM= β với 0≤ β ≤ π2

Đặt α = β +k2 ,k Zπ ∈
Ta định nghóa:

sinα =OK
cosα =OH

sin
tg

cos
α
α =

α với cosα ≠0
cos

cot g

sin
α
α =

α với sinα ≠0

<b>II. Bảng giá trị lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt </b>

Góc α

Giá trị

( )

o

0 0

_{( )}

₃₀o
6

π

_{( )}

₄₅o

4

π

_{( )}

₆₀o

3

π

_{( )}

₉₀o

2
π

sinα 0 1

2 ₂2 ₂3

1

cosα 1 ₃

2

2
2

1
2

0

tgα ₀ ₃

3

1 3 ||

cot gα _|| ₃ ₁ ₃

3

0

<b>III. Hệ thức cơ bản </b>

2 2

sin α +cos α =1
2

2

1
1 tg

cos

+ α =

α với 2 k k Z

(

)

π

α ≠ + π ∈

2

2
1
t cot g

sin

+ =

α với α ≠ π ∈k k Z

(

)

<b>IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai </b>π<b>; phụ chéo) </b>
a. Đối nhau: và α −α

( )

sin −α = −sinα

( )

cos −α =cosα

( )

( )

tg −α = −tg α

( )

( )

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b. Bù nhau: và α π − α

(

)

(

)

(

)

(

)

sin sin

cos cos

tg tg

cot g cot g

π − α = α

π − α = − α

π − α = − α

π − α = − α

c. Sai nhau : vaø π α π +α

(

)

(

)

(

)

(

)

sin sin

cos cos

tg t g

cot g cot g

π + α = − α

π + α = − α

π + α = α

π + α = α

d. Phuï nhau: vaø α
2
π

− α

sin cos

2

cos sin

2

tg cot g

2

cot g tg

2
π

⎛ _{− α =}⎞ _α

⎜ ⎟

⎝ ⎠

π

⎛ _{− α =}⎞ _α

⎜ ⎟

⎝ ⎠

π

⎛ _{− α =}⎞ _α

⎜ ⎟

⎝ ⎠

π

⎛ _{− α = α}⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

e.Sai nhau
2

π_:_α_vaø
2

π_{+ α}

sin cos

2

cos sin

2

tg cot g

2

cot g tg

2
π

⎛ _{+ α =}⎞ _α

⎜ ⎟

⎝ ⎠

π

⎛ _{+ α = −}⎞ _α

⎜ ⎟

⎝ ⎠

π

⎛ _{+ α = −}⎞ _α

⎜ ⎟

⎝ ⎠

π

⎛ _{+ α = − α}⎞

⎜ ⎟

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

f.

(

) ( )

(

) ( )

(

)

(

)

+ π = − ∈

+ π = − ∈

+ π = ∈

+ π =
k

k

sin x k 1 sin x,k Z
cos x k 1 cosx,k Z
tg x k tgx,k Z

cot g x k cot gx
<b>V. Công thức cộng </b>

(

)

(

)

(

)

sin a b sinacos b sin b cosa
cos a b cosacos b sin asin b

tga tgb
tg a b

1 tgatgb

± = ±

± =

±

± =

m

m
VI. Công thức nhân đôi

=

= − = − =

=
−

−
=

2 2 2 2

2
2
sin2a 2sinacosa

cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1
2tga

tg2a

1 tg a
cot g a 1
cot g2a

2cot ga

−

<b>VII. Công thức nhân ba: </b>
3
3

sin3a 3sina 4sin a
cos3a 4 cos a 3cosa

= −

= −

<b>VIII. Công thức hạ bậc: </b>

(

)

(

)

2
2

2

1

sin a 1 cos2a
2

1

cos a 1 cos2a
2

1 cos2a
tg a

1 cos2a

= −

= +

−
=

+

<b>IX. Công thức chia đôi </b>
Đặt t tga

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2
2
2
2
2t
sin a

1 t
1 t
cosa

1 t
2t
tga

1 t
=

+
−
=

+
=

−

<b>X. Công thức biến đổi tổng thành tích </b>

(

)

(

)

a b a b
cosa cos b 2cos cos

2 2

a b a b
cosa cos b 2sin sin

2 2

a b a b
sina sin b 2cos sin

2 2

a b a b
sina sin b 2 cos sin

2 2

sin a b
tga tgb

cosacos b
sin b a
cot ga cot gb

sina.sin b

+ −

+ =

+ −

− = −

+ −

+ =

+ −

− =

±

± =

±

± =

<b>XI. Cơng thức biển đổi tích thành tổng </b>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

cosa.cos b cos a b cos a b
2

1

sina.sin b cos a b cos a b
2

1

sina.cos b sin a b sin a b
2

= ⎡_⎣ + + − ⎤_⎦

−

= ⎡_⎣ + − − _⎦

= ⎡_⎣ + + − ⎤_⎦

⎤

<b>Bài 1</b>: Chứng minh sin a cos a 1 24₆ 4₆
sin a cos a 1 3

+ − ₌

+ −

Ta coù:

(

)

2

4 4 2 2 2 2 2

sin a cos a 1+ − = sin a cos a+ −2sin acos a 1− = −2sin acos a2
Vaø:

(

)(

)

(

)

6 6 2 2 4 2 2 4

4 4 2 2

2 2 2 2

2 2

sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1
sin a cos a sin acos a 1

1 2sin acos a sin acos a 1
3sin acos a

+ − = + − +

= + − −

= − − −

= −

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Do đó: sin a cos a 14₆ 4₆ 2sin acos a 22₂ 2₂
sin a cos a 1 3sin acos a 3

+ − −

= =

+ − −

<b>Bài 2:</b> Rút gọn biểu thức

(

)

2
2
1 cosx
1 cosx

A 1

sin x sin x

⎡ ₋ ⎤

+

= = +⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Tính giá trị A nếu cosx 1
2

= − vaø x

2
π

< < π

Ta coù: A 1 cosx sin x 1 2cosx cos x2 ₂ 2

sin x sin x

⎛ ⎞

+ + − +

= _⎜ _⎟

⎝ ⎠

(

)

2
2 1 cosx
1 cosx

A .

sin x sin x
−
+

⇔ =

(

2

)

₂

3 3

2 1 cos x _{2sin x} ₂
A

sin x sin x sin x
−

⇔ = = = (với sin x 0≠ )

Ta coù: _{sin x 1 cos x 1}2 2 1 3

4 4

= − = − =

Do: x

2

π_{< < π}_{nên sin}_{x 0}_>

Vậy sin x 3
2
=

Do đó A 2 4 4

sin x 3 3

= = = 3

<b>Bài 3</b>: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x:
a. _{A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x}₌ 4 ₋ 4 ₊ 2 2 ₊ 2

b. B 2 cot gx
tgx 1 cot gx 1

+

= +

− −

1

a. Ta coù:

4 4 2 2

A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x= − + + 2

(

) (

)

(

)

(

)

2

4 2 2 2 2

4 2 4 2 4

A 2 cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x
A 2 cos x 1 2 cos x cos x cos x cos x 3 3cos x

⇔ = − − + − + −

⇔ = − − + + − + − 2

A 2

⇔ = (không phụ thuộc x)

b. Với điều kiện sin x.cosx 0,tgx 1≠ ≠
Ta có: B 2 cot gx

tgx 1 cot gx 1
1
+

= +

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

1 ₁

2 tgx 2 1 tgx

B ₁

tgx 1 ₁ tgx 1 1 tgx
tgx

+

+

⇔ = + = +

− ₋ − −

(

)

2 1 tgx 1 tgx

B 1

tgx 1 tgx 1

− − −

⇔ = = = −

− − (không phụ thuộc vào x)
Bài 4: Chứng minh

(

)

2 ₂ ₂

2 2

2 2 2

1 cosa

1 cosa ₁ cos b sin c _{cot g bcot g c cot ga 1}
2sina sin a sin bsin c

⎡ ₋ ⎤

+ −

− + − =

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

−

Ta coù:

* 2 2 2 2

2 2

cos b sin c cotg b.cotg c
sin b.sin c

− ₋

2

2 2

2 2

cotg b 1 _{cot g b cot g c}
sin c sin b

= − −

(

) (

)

2 2 2 2 2

cot g b 1 cot g c 1 cot g b cot g b cot g c

= + − + − = −1 (1)

*

(

)

2
2
1 cosa
1 cosa 1

2sin a sin a

⎡ ₋ ⎤

+ _⎢ ₋ _⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(

)

2

2
1 cosa
1 cosa 1

2sin a 1 cos a

⎡ ₋ ⎤

+

= ⎢ − ⎥

−

⎢ ⎥

⎣ ⎦

1 cosa ₁ 1 cosa
2sin a 1 cosa

+ ⎡ − ⎤

= _⎢ − _⎥

+

⎣ ⎦

1 cosa 2 cosa_. _{cot ga}
2sin a 1 cosa

+

= =

+ (2)

Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong.
Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc đều là nhọn.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P tgA.tgB.tgC=

Ta có: A B+ = π −C
Nên: tg A B

(

+

)

= −tgC

tgA tgB _tgC
1 tgA.tgB

+

⇔ =

− −

tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC

⇔ + = − +

Vaäy: P tgA.tgB.tgC tgA tgB tgC= = + +

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB,tgC ta được
3

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

3

P 3 P
⇔ ≥

3 _P2 ₃
P 3 3

⇔ ≥

⇔ ≥

Daáu “=” xaûy ra

=

=

⎧

_π

⎪

⇔

_⎨

_π

⇔ =

<

<

⎪⎩

tgA tgB tgC

A B C

3

0 A,B,C

2

= =

Do đó:

MinP 3 3

A B C

3

π

=

⇔ = = =

<b>Bài 6 :</b> Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
a/ _{y 2sin x cos 2x}₌ 8 ₊ 4

b/ _y ₌ 4_{sin x} ₋ _cos_x

a/ Ta coù :

4

4

1 cos 2x

y 2 cos 2x

2
−

⎛ ⎞

= _⎜ _⎟ +

⎝ ⎠

Đặt t cos 2x= với − ≤ ≤1 t 1 thì

(

)

4 ₄

1

y 1 t

8

= − +t

=> _{y '} 1

(

_{1 t}

)

3 _4t3

2

= − − +

Ta coù : y ' 0= Ù

(

_{1 t}₋

)

3 ₌ _8t3

⇔ 1 t− =2t
⇔ t 1

3

=

Ta coù y(1) = 1; y(-1) = 3; y 1 1

3 2

⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ 7

Do đó :
∈

=

x y 3

Max vaø

∈ =

x

1
y

Min ₂₇

b/ Do điều kiện : sinx 0≥ và cos x 0≥ nên miền xác định

π

⎡ ⎤

= _⎢ π + π_⎥

⎣ ⎦

D k2 , k2

2 với k∈

Đặt t = cosx với 0 t 1≤ ≤ thì _t4 ₌ _{cos x 1 sin}2 _{= −} 2x

Nên _{sin x}₌ _{1 t}₋ 4

Vậy _y ₌ 8_{1 t}₋ 4 ₋_t_trên_{D '} ₌

[ ]

_0,1

Thì

(

)

−

= − <

−

3

7
4
8

t

y ' 1 0

2. 1 t ∀ ∈t

[

0; 1

)

Nên y giảm trên [ 0, 1 ]. Vậy :

( )

∈ = =

x D

max y y 0 1,

( )

∈ = = −

x D

min y y 1 1

<b>Baøi 7:</b> Cho hàm số _y ₌ _{sin x cos x 2msin x cos}4 ₊ 4 ₋ _x

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Xeùt _{f (x) sin x cos x 2m sin x cos x}₌ 4 ₊ 4 ₋

( )

(

₂ ₂

)

2 ₂

f x = sin x cos x+ −m sin 2x 2sin x cos x− 2

( )

1 2

f x 1 sin 2x msin 2x
2

= − −

Đặt : t sin 2x= với t∈ −

[

1,1

]

y xác định ∀x ⇔ f x

( )

≥ ∀ ∈0 x R

⇔ ₁ 1_t2 _{mt 0}

2

− − ≥ ∀ ∈t

[

−1,1

]

⇔ _{g t}

( )

₌ _t2 ₊_{2mt 2 0}_{− ≤} _{∀ ∈ −}_t

[

_1,₁

]

t

Do Δ =' m2 + >2 0 ∀m nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2
Lúc đó t t1 t2

g(t) + 0 - 0
Do đó : u cầu bài tốn ⇔ t1 ≤ − < ≤1 1 2

⇔

( )

⇔

( )

1g 1 0

1g 1 0

− ≤
⎧⎪

⎨

≤
⎪⎩

2m 1 0
2m 1 0

− − ≤

⎧

⎨ _{− ≤}

⎩
⇔

1
m

2
1
m

2
−
⎧ _≥
⎪⎪
⎨
⎪ _≤
⎪⎩

⇔ 1 m 1

2 2

− ≤ ≤

Caùch khaùc :

<b> </b>g t

( )

₌ _t2 ₊_{2mt 2 0}_{− ≤} _{∀ ∈}_t

[

₋_1,1

]

{

}

[ , ]

max ( ) max ( ), ( )

<i>t</i>∈ − <i>g t</i> <i>g</i> <i>g</i>

⇔ ≤ ⇔ − ≤

1 1 0 1 1 0

{

}

max <i>m</i> ), <i>m</i> )

⇔ −2 − −1 2 +1 ≤0⇔

1
m

2
1
m

2
−
⎧ _≥
⎪⎪
⎨
⎪ _≤
⎪⎩

<i>m</i>

⇔ − ≤ ≤1 1

2 2

<b>Bài 8 :</b> Chứng minh _{A sin}4 _sin43 _sin45 _sin4 7

16 16 16 16 2

π π π π

= + + + = 3

Ta coù : sin7 sin cos

16 2 16 16

π ₌ ⎛π ₋ π ⎞₌ π

⎜ ⎟

⎝ ⎠

π ₌ ⎛π ₋ π⎞ ₌

⎜ ⎟

⎝ ⎠

5 5

sin cos cos

16 2 16 16

π
3

Mặt khác : _sin4_{α +}_cos4_{α =}

(

_sin2_{α +}_cos2_{α −}

)

2 _2sin2_α_cos2_α

2 2

1 2sin cos

= − α α

2

1
1 sin 2

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Do đó : _{A sin}4 _sin4 7 _sin4 3 _sin4

16 16 16 16

π π π π

= + + + 5

4 4 4 3 4 3

sin cos sin cos

16 16 16 16

π π π

⎛ ⎞ ⎛

=_⎜ + _{⎟ ⎜}+ +

⎝ ⎠ ⎝

π ⎞
⎟
⎠

2 2

1 1

1 sin 1 sin

2 8 2 8

π π

⎛ ⎞ ⎛

=_⎜ − _{⎟ ⎜}+ −

⎝ ⎠ ⎝

3 ⎞
⎟
⎠

2 2

1 3

2 sin sin

2 8 8

π π

⎛ ⎞

= − _⎜ + _⎟

⎝ ⎠

2 2

1

2 sin cos

2 8 8

π π

⎛ ⎞

= − _⎜ + _⎟

⎝ ⎠

π ₌ π

⎝ ⎠

3

do sin cos

8 8

⎛ ⎞

⎜ ⎟

1 3
2

2 2

= − =

<b>Bài 9 :</b> Chứng minh :_{16sin10 .sin 30 .sin 50 .sin 70}o o o o ₌₁

Ta coù : A A cos10_oo 1
cos10 cos10

= = _o (16sin10o_cos10o_)sin30o_.sin50o_.sin70o

⇔

(

o

)

o

o

1 1 o

A 8 sin 20 cos 40 .cos 20

2
cos10

⎛ ⎞

= _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠

⇔

(

0 o

)

o

1 o

A 4 sin 20 cos 20 .cos 40
cos10

=

⇔

(

o

)

o

o

1

A 2sin 40 cos 40
cos10

=

⇔ o o

o o

1 cos10

A sin 80 1

cos10 cos10

= = =

<b>Bài 10 :</b> Cho ΔABC. Chứng minh :<b> </b>tg tgA B tg tgB C tg tgC A 1
2 2 + 2 2 + 2 2 =

Ta có : A B C

2 2

+ π

2

= −

Vậy : tgA B cot gC

2 2

+ ₌

⇔

A B

tg tg ₁

2 2

A B C

1 tg .tg tg

2 2 2

+

=
−

⇔ tgA tgB tgC 1 tgA tg

2 2 2 2

⎡ ₊ ⎤ _{= −}

⎢ ⎥

⎣ ⎦

B
2
⇔ tg tgA C tg tgB C tg tgA B 1

2 2 + 2 2 + 2 2 =

<b>Bài 11 :</b> Chứng minh : 8 4tg+ π +2tg π +tg π = cot g π

( )

*

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Ta coù : (*) ⇔ 8 cot g tg 2tg 4tg

32 32 16 8

π π π

= − − − π

Maø : cot ga tga cos a sin a cos a sin a2 2
sin a cos a sin a cos a

−

− = − =

cos 2a _{2 cot g2a}
1 sin2a

2

= =

Do đó :

cot g tg 2tg 4tg 8

32 32 16 8

π
⎡

⎢ π − π ⎤⎥ − π − =

⎣ ⎦

(*) ⇔

2cot g 2tg 4tg 8

16 16 8

π π π

⎡ ₋ ⎤₋

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⇔ =

4 cot g 4tg 8

⇔

8 8

π π

=
−

8cot gπ 8

⇔ = (hiển nhiên đúng)

4

<b>Bài :12 :</b> Chứng minh :

2 2 2 2 2

cos x cos x cos x

3 3

π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ _⎜ + _⎟+ _⎜ − _⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3
2
=
a/

1 1 1 1 _{cot gx cot g16x}

b/

sin 2x sin 4x sin 8x sin16x+ + + = −

a/ Ta coù : _{cos x cos}2 2 2 _x _cos2 2 _x

3 3

π π

⎛ ⎞ ⎛

+ _⎜ + _⎟+ _⎜ −

⎝ ⎠ ⎝

⎞
⎟
⎠

(

)

1 _{1 cos 2x} 1 _{1 cos 2x} 4 1 _{1 cos} 4 _2x

2 2 3 2 3

⎡ ⎛ π ⎤⎞ ⎡ ⎛ π ⎞⎤

= + + _⎢ + _⎜ + _⎟_⎥+ _⎢ + _⎜ − _⎟_⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3 1 _{cos 2x cos 2x} 4 _cos 4 _2x

2 2 3 3

⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤

= + _⎢ + _⎜ + _⎟+ _⎜ − _⎟_⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

3 1 _{cos 2x 2 cos 2x cos}4

2 2 3

π

⎡ ⎤

= + _⎢ + _⎥

⎣ ⎦

3 1 _{cos 2x 2cos 2x} 1

2 2 2

⎡ ⎛ ⎞⎤

= + _⎢ + _⎜− _⎟_⎥

⎝ ⎠

⎣ ⎦

3

=

2

b/ Ta coù : cot ga cot gb cosa cos b sin b cosa sin a cos b
sin a sin b sin a sin b

−

− = − =

(

)

sin b a
sin a sin b

−
=

Do đó : cot gx cot g2x sin 2x x

(

)

1

( )

1
sin x sin 2x sin 2x

−

− = =

(

)

_{( )}

sin 4x 2x 1

cot g2x cot g4x 2

sin 2x sin 4x sin 4x

−

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

(

)

_{( )}

sin 8x 4x 1

cot g4x cot g8x 3

sin 4x sin 8x sin 8x

−

− = =

(

)

_{( )}

sin

cot g8x cot g16x− = 16x 8x 1 4
sin16x sin 8x sin16x

−
=
Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được

1 1 1 1

cot gx cot g16x

sin 2x sin 4x sin 8x sin16x

− = + + +

<b>Bài 13 :</b> Chứng minh : _{8sin 18}3 0 ₊_{8sin 18}2 0 ₌₁

Ta coù: sin180_{= cos72}0

⇔ sin180_{= 2cos}2₃₆0_{- 1}

⇔ sin180_{= 2(1 – 2sin}2₁₈0₎2_{– 1}

⇔ sin180_{= 2(1 – 4sin}2₁₈0_+4sin4₁₈0_)-1

⇔ 8sin4₁₈0_{– 8sin}2₁₈0_{– sin18}0_{+ 1 = 0 (1 )}

⇔ (sin180_{– 1)(8sin}3₁₈0_{+ 8sin}2₁₈0_{– 1) = 0}
0 _{< 1)}
Chia 2 vế của (1) cho ( sin180_{– 1 ) ta coù}

( sin180_{+ 1 ) – 1 = 0}
<b>Baøi 14 :</b>

⇔ 8sin3₁₈0_{+ 8sin}2₁₈0_{– 1 = 0 (do 0 < sin18}
Caùch khaùc :

( 1 ) ⇔ 8sin2₁₈0
Chứng minh :

(

)

a/ _si_{n x cos x}4 ₊ 4 ₌ 1 _{3 cos4x}

4 +

b/ sin 6x cos6x 1

(

5 3cos4x

)

8

+ = +

c/ _{sin x cos x}8 8 1

(

_{35 28cos4x cos8x}

)

64

+ = + +

(

)

2

4 4 2 2 2

sin x cos x+ = sin x cos x+ −2sin x cos x2

a/ Ta coù:

2

2
1 sin 2

4

= − x

(

)

1

1 1 cos4
4

= − − x

3 1 cos4x
4 4

= +

b/ Ta coù : sin6x + cos6x

)

(

_{sin x cos x sin x sin x cos x cos x}2 2

)(

4 2 2 4

= + − +

(

_{sin x cos x}4 4

)

1_{sin 2x}2

4

= + −

(

)

3 1_{cos 4x} 1 _{1 cos 4x}

4 4 8

⎛ ⎞

=_⎜ + _⎟− −

⎝ ⎠ ( do kết quả câu a )

3_{cos 4x} 5

8 8

= +

(

)

+ = + 2 −

8 8 4 4 4

sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x4

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

(

)

= 1 _{3 cos4x}+ 2 − 2 _{sin 2x}4

16 16

(

)

⎡

(

)

⎤

= + + − _⎢ − _⎥

⎣ ⎦

2
2

1 _{9 6cos 4x cos 4x} 1 1 _{1 cos 4x}

16 8 2

(

)

(

2

)

9 3_cos4x 1 _{1 cos8x} 1 _{1 2cos4x cos 4x}

16 8 32 32

= + + + − − +

(

)

= 9 + 3cos4x+ 1 cos8x+ 1 cos4x− 1 1 cos8x+

16 8 32 16 64

35 7 _cos4x 1 _cos8x
64 16

= +

64

+

<b>Bài 15 :</b> Chứng minh : _{sin 3x.sin x cos3x.cos x cos 2x}3 ₊ 3 ₌ 3

<b>Caùch 1: </b>

Ta coù : _{sin 3x.sin x cos3x.cos x cos 2x}3 ₊ 3 ₌ 3

(

_{3sin x 4 sin x sin x}3

)

3

(

_{4 cos x 3cos x cos x}3

)

3

= − + −

4 6 6 _s4

3sin x 4sin x 4 cos x 3co x

= − + −

(

4 4

) (

6 6

)

3 sin x cos x 4 sin x cos x

= − − −

(

2 2

)(

2 2

)

3 sin x cos x sin x cos x

= − +

(

2 2

)(

4 2 2 4

)

4 sin x cos x sin x sin x cos x cos x

− − + +

2 2

3cos 2x 4 cos 2x 1 sin x cos x⎡ ⎤

= − + _⎣ − _⎦

2

1

3cos 2x 4 cos 2x 1 sin 2x
4

⎛ ⎞

= − + _⎜ − _⎟

⎝ ⎠

2

1

cos 2x 3 4 1 sin 2x
4

⎡ ⎛ ⎞⎤

= _⎢− + _⎜ − _⎟_⎥

⎝ ⎠

⎣ ⎦

(

2

)

cos 2x 1 sin 2x

= −

3

cos 2x

=
<b>Caùch 2 : </b>

Ta coù : _{sin 3x.sin x cos3x.cos x}3 ₊ 3

3sin x sin 3x 3cos x cos 3x

sin 3x cos 3x

4 4

− +

⎛ ⎞ ⎛

= _⎜ _⎟+ _⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞
⎟
⎠

(

)

(

2 2

)

3 _{sin 3x sin x cos3x cos x} 1 _{cos 3x sin 3x}

4 4

= + + −

(

)

3_{cos 3x x} 1_cos6x

4 4

= − +

(

1 3cos2x cos3.2x
4

= +

)

(

)

= 1 3cos2x 4cos 2x 3cos2x+ 3 − _{( bỏ dòng này cũng được)}

4

3

cos 2x

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

o o o o o 3 1

cos12 cos18 4 cos15 .co

<b>Baøi 16 :</b> s 21 cos 24

2
+

+ − = −

Chứng minh :

(

)

o o o o

cos12 ₊cos₁₈ ₋_{4 cos15 cos 21 cos 24}o

Ta coù :

(

)

o o o o

2cos15 cos 3 2cos15 cos 45 cos 3

= − + o

os3 2cos15 cos45 2cos15 cos3

= − −

− +

o o o o o o

2cos15 c

o o

2cos15 cos45

= −

(

_{cos 60}o _{cos 30}o

)

=

3 1
2
= − +

<b>Bài 17 :</b> Tính _{P sin 50}₌ 2 o ₊_{sin 70 cos50 cos70}2 ₋ o o

(

) (

) (

)

= 1 − o + 1 − o −1 o +

P 1 cos100 1 cos140 cos120 cos20

2 2 2

o

Ta coù :

(

o o

)

1 1 1

P 1 cos100 cos140 cos 20

2 2 2

⎛ ⎞

= − + − _⎜− + _⎟

⎝ ⎠

o

(

o o

)

1 1

P 1 cos120 cos20 cos20
4 2

= − + − o

o o

5 1

P cos20 1cos20 5

4 2 2 4

= + − =

<b>Bài 18 :</b> Chứng minh : _tg30o _tg40o _tg50o _tg60o 8 3_{cos 20}

3

+ + + = o

(

)

sin a b
tga tgb

cos a cos b

+

+ =

Áp dụng :

Ta có :

(

_tg50o ₊_tg40o

) (

₊ _tg30o ₊_tg60o

)

o o

o o o

sin 90 sin 90
cos50 cos 40 cos 30 cos60

= + _o

o o

o

1 1

1

sin 40 cos 40 _{cos 30}
2

= +

o o

2 2

sin 80 cos30

= +

o o

1 1

2

cos10 cos 30

⎛ ⎞

= _⎜ + _⎟

⎝ ⎠

o o

o o

cos30 cos10
2

cos10 cos 30

⎛ + ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

p o

o o

s 20 cos10
co

4

cos10 cos 30

=

o

8 3 cos20
3

=

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

a/ sin A sin B sin C 4 cos cos cosA B C

2 2

+ + =

2
A

b/ cA cosB cosC 1 4sin sin sinB C

2 2 2

+ + = +

so

c/ sin 2A sin 2B sin 2C 4 sin A sin B sin C+ + =
d/ _cos2_A ₊_{cos B cos C}2 ₊ 2 _{= −}_{2cos A cosBcosC}

e/ tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC+ + =

f/ cot gA.cot gB cot gB.cot gC cot gC.cot gA 1+ + =
g/ cot gA +cot gB +cot gC = cot g .cot g .cot gA B

2 2 2

C

2 2

2

a/ Ta coù : sin A sin B sin C 2sinA BcosA B sin A B

(

)

2 2

+ −

+ + = + +

A B A B A B

2sin

= cos cos

2 2 2

+ ⎛ − ₊ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ π

⎛ ⎞

= _⎜ = _⎟

⎝ ⎠

C A B A B C

4 cos cos cos do

2 2 2 2 2 2−

b/ Ta coù : cos A cosB cosC 2cosA BcosA B cos A B

(

)

2 2

+ −

+ + = − +

2

A B A B A B

2 cos cos 2cos 1

2 2 2

+ − ⎛ + ⎞

= _{− ⎜} _⎟

⎝ − ⎠

A B A B A B

2 cos cos cos 1

2 2 2

+ ⎡ − + ⎤

= _⎢ − _⎥

⎣ ⎦+

A B A B

4 cos sin sin 1

2 2 2

+ ⎛₋ ⎞₊
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −

C A B

4sin sin sin 1

2 2 2

= +

(

)

(

)

sin 2A sin 2B sin 2C 2sin A B cos A B+ = + − +2sin C cosC

c/

=2sin C cos(A B) 2sin C cosC− +
=2sinC[cos(A B) cos(A B) ]− − +

d/ 2

= −4sinCsin A sin( B)−

=4 sin C sin A sin B

+ +

2 2

cos A cos B cos C

(

)

2

1

1 cos2A cos2B cos C
2

= + + +

(

)

(

)

2

1 cos A B cos A B cos C

= + + − +

(

)

1 B

= −cosC cos A_⎣⎡ − −cosC_⎦⎤ do

(

cos A B

(

+

)

= −cosC

)

(

)

(

)

1 cosC cos A B cos A B

= − ⎡_⎣ − + + ⎤_⎦
1 2 cos C.cos A.cos B

= −

e/ Do nên ta có

g A B+ = −tgC

a b+ = π −C

(

)

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

tgA tgB _tgC
1 tgAtgB

+

= −
−

⇔

⇔ tgA tgB+ = −tgC tgAtgB+ tgC

⇔

a coù : cotg(A+B) = - cotgC

tgA tgB tgC tgAtgBtgC+ + =
f/ T

1 tgAtgB _{cot gC}

⇔

tgA+tgB

−

= −

⇔ cot gA cot gB 1 cot gC
cot gB cot gA

−
= −

+ (nhân tử và mẫu cho cotgA.cotgB)

⇔ =

g/ Ta coù :

cot gA cot gB 1− = −cot gCcot gB cot gA cot gC−
⇔

cot gA cot gB cot gBcot gC cot gA cot gC 1+ +

A B C

tg cot g

2 2

+
=
⇔

A B

tg tg _C

2 2 _{cot g}

A B ₂

1 tg tg
2 2

+

=
−

A B

cot g cot g _C

2 2 _{cot g}

A B 2

cot g .cot g 1

2 2

+

=
−

.cotgB

2

<i>A</i>

2

⇔ (nhân tử và mẫu cho cotg )

⇔ cot gA B A B C C

2 +cot g 2 = cot g cot g cot g2 2 2 −cot g2

A B C A B

⇔ .cot g .cot gC

2 2 2

<b>Baøi 20 :</b>

cot g cot g cot g cot g
2 + 2 + 2 =

ABC. Chứng minh :
Cho Δ

cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0
Ta coù : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1)

= 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos2_C
= - 2cosCcos(A - B) + 2cos2_C

= - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC
Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0

<b>Bài 21 :</b> Cho ΔABC. Chứng minh :

3A 3B 3C

4sin sin sin

2 2

cos3A + cos3B + cos3C = 1 -

2

Ta coù : (cos3A + cos3B) + cos3C

2

3 3

2cos (A B) cos (A B) 1 2sin

2 2

= + − + − 3C

2

Maø : A B+ = π −C neân 3

(

A B

)

3

2 + = π −2

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

=> cos3

(

A B+

)

= cos 3 3C

2 2 2

π

⎛ ₋ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

3C
cos

2 2

π

⎛ ⎞

= − _⎜ − _⎟

⎝ ⎠

3C
sin

2

= −

Do đó : cos3A + cos3B + cos3C

(

)

2

3 A B

3C 3C

2sin cos 2sin 1

2 2 2

−

= − − +

(

)

3 A B

3C 3C

2sin cos sin 1

2 2 2

−

⎡ ⎤

= − _⎢ + _⎥+

⎣ ⎦

(

)

₍

₎

3 A B

3C 3

2sin cos cos A B 1

2 2 2

= − _⎢ − +

⎣

−

⎡ ⎤

+
⎥
⎦
−

=4sin3Csin3Asin( 3B) 1+

2 2 2

3C 3A 3B

4sin sin sin 1

2 2 2

= − +

<b>Bài 22 :</b> A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh :

sin A sin B sin C _tgA _{tg cot g}B C
cos A cosB cosC 1 2 2 2

+ − ₌

+ − +

2

A B A B C C

2sin cos 2sin cos

sin A sin B sin C ₂ ₂ ₂

A B A B C

cos A cos B cosC 1 _2cos _cos _2sin

2 2 2

2

+ − ₋

+ − ₌

+ −

+ − + ₊

Ta coù :

C A B C _{A B} _A

2cos cos sin _cos _cos

C

2 2 2 _{cot g .} ₂ ₂ B

A B A

C A B C _{2 cos} _cos

2sin cos sin ₂ ₂

2 2 2

−

⎡ ⎤

B

− +

− ₋

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= = ₋ ₊

−

⎡ ₊ ⎤ ₊

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A B

2sin

C − 2 .sin 2

cot g . _A _B

2 _{2cos .cos}

2 2

⎛₋ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

C A B

cot g .tg .tg
2 2

=

2

<b>Bài 23 :</b> Cho ΔABC. Chứng minh :

A B C B C A C A B

sin cos cos sin cos cos sin cos cos

2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2

( )

A B C A B B C A C

sin sin sin tg tg tg tg tg tg *

2 2 2 2 2 2 2 2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

A

Ta coù : B C

2 2 2

+ ₌ π ₋ _vaäy_tg A B _{cot g}C

2 2 2

⎛ ₊ ⎞ ₌

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇔

A B

tg tg ₁

2 2

A B C

1 tg tg tg

2 2 2

+

=
−

⇔ tgA tgB tgC 1 tgAtg

2 2 2 2

⎡ ₊ ⎤ _{= −}

⎢ ⎥

⎣ ⎦

B
2
⇔tg tgA C tg tgB C tg tgA B 1 1

( )

2 2 + 2 2 + 2 2 =

A_c B C _{sin cos cos}B C A C A B

sin os cos sin cos cos

2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2

Do đó : (*) Ù

A B C

sin sin sin 1

2 2 2

= + (do (1))

A B C B C A B C C B

sin
2

⇔ cos cos sin sin cos sin cos sin cos 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

⎡ ₋ ⎤₊ ⎡ ₊ ⎤₌

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⇔ sin cosA B C cos sinA B C 1

2 2 2 2

+ +

+ =

⇔ sinA B C 1
2

+ +

= ⇔sinπ =1

2 ( hiển nhiên đúng)

<b>Baøi 24 :</b> tgA tgB tgC 3 cos A cosB cosC

( )

*
2 2 2 sin A sin B sin C

+ + +

+ + =

+ +

Chứng minh :
Ta có :

2

A B A B C

cos A cos B cosC 3 2cos cos ⎡1 2sin 3

2 2 2

+ − ⎤

+ + = + _⎥ +

⎣ − ⎦

⎢
+

2

C A B

2sin cos 4 2s C

2 2 2

− _in

= + −

C A B C

2sin cos sin 4

2 2 2

−

⎡ ₋ ⎤₊

⎢ ⎥

⎣ ⎦

=

C A B A B

2sin cos cos 4

2 2 2

− +

⎡ ₋ ⎤₊

⎢ ⎥

⎣ ⎦

=

C A _inB
4 sin sin .s 4

2 2 2 + (1)

=

A B A B

sin A sin B sin C 2sin cos sin C

2 2

+ −

+ + = +

C A B C

2cos cos 2sin cos

2 2 2

C
2

−

= +

C A B A B

2cos cos cos

2 2 2

− +

⎡ ⎤

= _⎢ + _⎥

⎣ ⎦

C A B

Từ (1) và (2) ta có :

4 cos cos cos

2 2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

(*) ⇔

A B C A B C

sin sin sin sin sin sin 1

2 2 2 2 2 2

A B C A B C

cos cos cos cos co

+

s cos

2 2 2 2 2 2

+ + =

A B C B A C C A B

sin cos cos sin cos cos sin cos cos

2 2 2 2 2 2 2 2 2

⎡ ⎤₊ ⎡ ⎤₊ ⎡

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎤
⎥⎦

⇔

A B C

sin sin sin 1

2 2 2

= +

⇔ sinA cos cosB C sin sinB C cosA sin cosB C sin cosC B 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

⎡ ₋ ⎤₊ ⎡ ₊

⎢ ⎥ ⎢

⎣ ⎦ ⎣ ⎤ =⎥⎦

⇔ sin .cosA B C+ cos sinA B C 1

2 2 2 2

+

+ =

A

⇔ B C 1

2

+ _{+ ⎤ =}

⎢ ⎥

⎣ ⎦

sin⎡
⇔ sinπ 1

2 = ( hiển nhiên đúng)

<b>Bài 25 :</b> . Chứng minh:

A B C

sin sin sin

2 2 2 ₂

B C C A A B

cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2 2

+ + =

ABC

Δ
Cho

<b>Caùch 1 : </b>

Ta coù :

A B A A B

sin sin sin cos sin cos

2 2 2 2 2

B C C A

B
2

B C

cos cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2 2 2

+

+ = _A

A B A

sin cos B

sin A sin B ₂+ ₂
1

A B C A B C

2 cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2 2

−

+ ₌

=

−

⎛ ⎞

−

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= =

A B

C A B _cos

cos .cos ₂

2 2

A B C A

cos .cos .cos cos cos

2 2 2 2

B
2

Do đó : Vế trái

A B _C _{A B} _A

cos _sin _cos _cos

2 ₂ ₂

A B A B A B

cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2

B
2
2

−

⎛ ⎞ − ₊ +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + =

2

A B

2cos cos

2 2 ₂

A B

cos cos

2 2

= =

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

B C A C A B

cos cos cos

2 2

B C C A A B

cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2

+ + +

= + + 2

2

Ta có vế traùi

B C B C A C A C

cos cos sin sin cos cos sin sin

2 2 2 2 2 2 2

B C C A

cos cos cos cos

2 2 2 2

− −

= + 2

A B A

cos cos sin sin

2 2 2

A B

cos cos

2 2

−
+

B
2

B C A C A B

3 tg tg tg tg tg tg

2 2 2 2 2 2

⎡ ⎤

= −_⎢ + + _⎥

⎣ ⎦

Maø : tg tgA B tg tgB C tg tgA B 1
2 2 + 2 2 + 2 2 =

(đã chứng minh tại b
Do đó : Vế trái = 3 – 1 = 2
<b>Bài 26 :</b>

ài 10 )

. Có cot g ,cot g ,cot gA B C

2 2

ABC
Δ
Cho

2 theo tứ tự tạo cấp số cộng.

A C

cot g .cot g 3

2 2 =

Chứng minh

A B C

cot g ,cot g ,cot g

2 2

Ta có :

2 là cấp số coäng

⇔ cot gA cot gC 2cot gB

2 + 2 = 2

⇔

+
=

A C

sin 2cos

2 2

B

A C B

sin sin sin

2 2 2

⇔

B

cos 2cos

2 2

B

A C B

sin sin sin

2 2 2

=

neân cosB 0
2 >

⇔ =

+

1 2

A C A C

sin sin cos

2 2 2

(do 0<B<π )

⇔

A C A C

cos cos sin sin

2 2 2 2 ₂

A C

sin .sin

2 2

−

⇔ cot g cot gA C 3

=

2 2 =

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

1 ₊ 1 1 1 _tgA _tgB _tgC _{cot g}A _{co g}_t B _{cot g}C

sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 2

⎡ ⎤

+ = _⎢ + + + + + _⎥

⎣ ⎦

A B C A B

cot g cot g cot g cot g .cot g .cot g

2 + 2 + 2 = 2 2

Ta coù : C

2

<i>(Xem chứng minh bài 19g ) </i>

Mặt khác :tg cot g sin cos 2

cos sin sin 2

α α

α + α = + =

α α α

1 _tgA _tgB _tgC _cotg A _cotgB _cotgC

2 2 2 2 2 2 2

⎡ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Do đó :

1 A B C 1⎡_cotgA ₊

⎢ B C

tg tg tg cotg cotg

2 2 2 2 2 2

⎡ ⎤ ⎤

= _⎢ + + _⎥+ + _⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2

1 _tgA _{cot g}A 1 _tgB _{cot g}B 1 _tgC _{cot g}C

2 2 2 2 2 2 2 2 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡

= _⎢ + _⎥+ _⎢ + _⎥+ _⎢ +

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎤
⎥⎦

1 1 1

sin A sin B sin C

= + +

<b>BAØI TẬP </b>

<b>1. Chứng minh : </b>

a/ cos cos2 1

5 5

π ₋ π ₌

2

b/ cos15o_o sin15_oo 3
cos15 sin15

+ ₌

−

2 4 6

cos cos cos

7 7 7

π π π

+ + =

c/ 1

2

−

d/ _{sin 2xsin 6x cos 2x.cos6x cos 4x}3 ₊ 3 ₌ 3

o o o o

tg20 .tg40 .tg60 .tg80 =3

e/

π π π π

+tg2 +tg5 +tg = 3cosπ

6 9 18 3 3 9

8
tg

f/

7

2 3 4 5 6 7 1

os .cos .cos .cos .cos .cos .cos

15 15 15 15 15 15 15 2

π π π π π π ₌

c π

g/

h/ tgx.tg⎡_⎢π−x .tg⎤_⎥ x tg3x

3 3

π

⎡ ₊ ⎤ ₌
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦

k/ _tg20o ₊_tg40o ₊ _{3tg20 .tg40}o o ₌ ₃

o o o 3

sin 20 .sin 40 .sin 80
e/

8
=
m/ _{tg5 .tg55 .tg65 .tg75}o o o o ₌₁

(

)

<b>2. Chứng minh rằng nếu </b>

(

) (

x y 2k 1 k z

2
π

+ ≠ + ∈

⎪⎩

)

x y+

<b> thì </b>

sin x 2sin=
⎧

⎪
⎨
sin

( )

cos

<i>y</i>

<i>tg x</i> <i>y</i>

<i>y</i>

+ =

−2

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
b/ Đ

Chứng minh (p-1)(q-1)ặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q 4

<b>4. Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc x : </b>
a/

≥

(

)

(

)

4 2 4 2 2 2

A sin x 1 sin x= + +cos x 1 cos x+ +5sin x cos x 1+

(

8 8

) (

6 6

)

B 3 sin x cos x= − +4 cos x 2sin x− +6sin x

b/ 4

c/ _{C cos x a}₌ 2

(

₋

)

₊_{sin x b}2

(

₋

)

₋_{2cos x a sin x b sin a b}

(

₋

)

(

₋

)

(

₋

)

<b>5. Cho </b>ΔABC<b>, chứng minh : </b>

cosC cosB

cot

a/ gB cot gC

sin Bcos A sin Ccos A

+ = +

b/ 3 3 3_{C 3cos cos cos}A B C _{co 3A}_s _cos3B_cos3C

2 2 2 2 2 2

= +

sin A sin B sin+ +

A B C B A C

sin A sin B si

c/ n C cos .cos cos .cos

2 2 2 2

− −

+ + = +

C A

cos .co B

2 2

−

s

+

otgAcotgB + cotgBcotgC + cotgC otgA = 1

s C 1 2cos A cosBcosC= −
in3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = 0
<b>6. Tìm giá trị nhỏ nhất của : </b>

d/ c c

e/ _{cos A cos B co}2 ₊ 2 ₊ 2

f/ s

1 1

y

sin x cos x

= + với 0 x

2

π
< <
a/

π

= + 9 +

y 4x sin x

x với 0 x< < ∞

b/

2

y 2sin x 4 sin x cos x= + + 5
c/

<b>7. Tìm giá trị lớn nhất của : </b>

a/ y sin x cos x cos x sin x= +
b/ y = sinx + 3sin2x

c/ _{y cos x}₌ ₊ _{2 cos x}₋ 2

</div>

<!--links-->