Một số bài toán biên liên kết đối với phương trình điều hòa và song điều hòa
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (513.7 KB, 7 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
1
Mở đầu
Bài toán biên liên kết (coupling, transmission, interface problems) đối với các phương trình đạo
hàm riêng được hình thành khi nghiên cứu những vấn đề nào đó được mơ tả bởi các phương trình
đạo hàm riêng trong từng miền riêng biệt, tiếp giáp nhau. Đại lượng cần tìm trong một miền nào
đó có ảnh hưởng đến các đại lượng cần tìm khác trong những miền khác và ngược lại thông qua
các mặt phân cách giữa các miền ([1]-[4], [6] ,[7], v.v..).
So với các bài toán biên thơng thường của phương trình vật lý tốn, các bài tốn biên liên kết
ít được nghiên cứu hơn. Tuy nhiên, trong vài thập niên gần đây các bài toán liên kết được quan
tâm nhiều hơn, chủ yếu là các bài toán liên quan đến âm học, cơ học và tĩnh điện. Một số vấn đề
thuiicj lĩnh vực này thường được mơ tả bởi các phương trình đạo hàm riêng cấp hai ([1], [2], v.v..).
Một số vấn đề về nước ngầm có thể được đưa đến bài tốn biên liên kết đối với phương trình
điều hịa (mơ tả nước ngầm) và phương trình song điều hịa (mơ tả nền móng) ([3, [4], [6], [7],
v.v..).
Bài toán liên kết đối với các phương trình đạo hàm riêng đã và đang được nhiều người quan
tâm và có nhiều ứng dụng trong kỹ thuât. Tuy nhiện, theo như chúng tơi biết, thì các bài toán
trên đây phần nhiều mới chỉ được xét trong miền giới nội.
Ở đây, chúng tơi xét bài tốn biên liên kết kiểu Dirichlet và kiểu Neumann đối với các phương
trình điều hịa và song điều hịa trong miền hình dải bằng phương pháp biến đổi tích phân Fourier.
Các bài tốn này là hoàn toàn mới cả về cách đặt vấn đề cũng như phương pháp giải. Đã chứng
minh định lý tồn tại duy nhất nghiệm và tính trơn của nghiệm trong các khơng gian Sobolev thích
hợp.
2
Bài tốn biên kiểu Dirichlet
2.1 Phát biểu bài tốn
Chúng ta xét phương trình điều hòa:
∆Φ1(x, y) = 0, |x|<∞, −h < y <0, (2.1)
<b>Nguyễn Văn Ngọc, Tạ Quang Đơng</b>
<b>Tóm tắt:</b>
Mục đích của cơng trình này là xét một số bài tốn biên liên kết đối với phương trình điều
hịa và song điều hịa trong miền hình dải bằng phương pháp sử dụng biến đổi tích phân
Fourier. Đã thiết lập được các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, cũng như tính trơn của nghiệm
các bài tốn trong các khơng gian Sobolev thích hợp.
Từ khóa: Phương trình điều hồ, phương trình song điều hịa, bài tốn biên liên kết, biến
đổi tích phân Fourier.
MỘT
SỐ
BÀI
TỐN
BIÊN
LIÊN
KẾT
ĐỐI VỚI PHƯƠNG
TRÌNH
ĐIỀU
HÒA
VÀ
SONG
ĐIỀU
HÒA
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
với các điều kiện biên:
Φ1(x,−h) =u(x), x∈<sub>R</sub>, (2.3)
Φ2(x, h) =r1(x), |x|<∞, (2.4)
∂Φ2(x, h)
∂y =r2(x), |x|<∞, (2.5)
và các điều kiện liên kết trên đường thẳngy= 0 :
Φ1(x,0) = Φ2(x,0), |x|<∞, (2.6)
∂Φ1(x,0)
∂y =
∂Φ2(x,0)
∂y , |x|<∞, (2.7)
∂2<sub>Φ</sub>
1(x,0)
∂y2 =
∂2<sub>Φ</sub>
2(x,0)
∂y2 , |x|<∞. (2.8)
Ở đây,Φ1(x, y),Φ2(x, y)là các hàm cần tìm, cịn u(x), r1(x), r2(x) là các hàm đã cho.
2.2 Lời giải hình thức của bài tốn
Chúng ta sẽ tìm cơng thức nghiệm của bài tốn bằng phương pháp biến đổi Fourier và quy nó
về một hệ phương trình cặp liên quan đến phép biến đổi Fourier ngược. Nó được biết đến như một
hàm hình thức f(x), x∈R (ví dụ, f(x) ∈L1(R)), phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier
ngược được xác định bởi công thức sau:
ˆ
f(ξ) =F[f](ξ) =
Z ∞
−∞
f(x)eixξdx, (2.9)
˘
f(ξ) =F−1[f](ξ) = 1
2π
Z ∞
−∞
f(x)e−ixξdx. (2.10)
Phép biến đổi Fourier của hàm suy rộng đã được cho, ví dụ như trong [5,??]. Thực hiện biến
đổi Fourier tương ứng với biếnxcho các phương trình (2.1), (2.2) cùng với các điều kiện (2.4)-(2.8)
chúng ta có các điều kiện sau:
∂2Φ1(ˆ ξ, y)
∂y2 −ξ
2<sub>Φ</sub><sub>ˆ</sub>
1(ξ, y) = 0, (2.11)
∂4Φ2(ˆ ξ, y)
∂y4 −2ξ
2∂2Φ1(ˆ ξ, y)
∂y2 +ξ
4<sub>Φ2(</sub><sub>ˆ</sub> <sub>ξ, y</sub><sub>) = 0</sub><sub>,</sub> <sub>(2.12)</sub>
ˆ
Φ2(ξ, h) = ˆr1(ξ), ∂Φ2(ˆ ξ, h)
∂y = ˆr2(ξ), (2.13)
ˆ
Φ1(ξ,0) = ˆΦ2(ξ,0),
∂Φ1(ξ,0)
∂y =
∂Φ2(ξ,0)
dy ,
∂2Φ1(ξ,0)
∂y2 =
∂2Φ2(ξ,0)
∂y2 . (2.14)
Công thức nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân (2.1) và (2.2) được cho dưới dạng:
ˆ
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
ˆ
Φ2(ξ, y) =A2(ξ) cosh(|ξ|y) +B2(ξ)ycosh(|ξ|y) +C2(ξ) sinh(|ξ|y)
+D2(ξ)ysinh(|ξ|y), (2.16)
trong đóA1, B1, A2, B2, C2, D2 là các hàm số tùy ý của biếnξ ∈R.Từ (2.15) và (2.16), bằng cách
sử dụng phép biến đổi ngược F−1 , chúng ta có:
Φ1(x, y) =F−1[ ˆΦ1(ξ, y)](x), (2.17)
Φ2(x, y) =F−1[ ˆΦ2(ξ, y)](x). (2.18)
Rõ ràng là: các hàmΦ1(x, y),Φ2(x, y)xác định bởi các công thức (2.17) và (2.18) đều thỏa mãn
các phương trình (2.1), (2.2) và các điều kiện biên hỗn hợp với mọi hệ sốA1(ξ), B1(ξ), A2(ξ), B2(ξ), C2(ξ), D2(ξ).
Để thuận tiện, chúng ta đặt:
u(x) := Φ1(x,−h), 0< x < l.
Khi đó ta có:
b
u(ξ) =Φ1(b ξ,−h). (2.19)
A1(ξ) =ub(ξ).
sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h)− |ξ|h
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+<sub>b</sub>r1(ξ). |ξ|hsinh
2<sub>(</sub><sub>|</sub><sub>ξ</sub><sub>|</sub><sub>h</sub><sub>)</sub>
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+br2(ξ).
sinh2(|ξ|h)− |ξ|hsinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h)
|ξ|
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h), (2.20)
B1(ξ) =−ub(ξ)
sinh2(|ξ|h)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+r<sub>b</sub>1(ξ) |ξ|hcosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+rb2(ξ)
sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h)− |ξ|hcosh2(|ξ|h)
|ξ|
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h), (2.21)
B2(ξ) =bu(ξ)
|ξ|
[sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)]
+<sub>b</sub>r1(ξ)
−|ξ|cosh(2|ξ|h)
[sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)]
+<sub>b</sub>r2(ξ) sinh(2|ξ|h)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h), (2.22)
C2(ξ) =bu(ξ)
−cosh2(|ξ|h)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+<sub>b</sub>r1(ξ)
cosh(2|ξ|h) +|ξ|hcosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
−<sub>b</sub>r2(ξ) sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) +|ξ|hcosh
2<sub>(</sub><sub>|</sub><sub>ξ</sub><sub>|</sub><sub>h</sub><sub>)</sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
A2(ξ) =A1(ξ), D2(ξ) = 0. (2.24)
Thế các hệ sốA1(ξ), B1(ξ), A2(ξ), B2(ξ), C2(ξ), D2(ξ)vào biểu thức củaΦˆ1(ξ, y),Φˆ2(ξ, y)ta có:
b
Φ1(ξ, y) =ub(ξ)
sinh(|ξ|h) cosh|ξ|(h−y)− |ξ|hcosh(|ξ|y)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+rb1(ξ)
|ξ|hsinh(|ξ|h) sinh|ξ|(h+y)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+r<sub>b</sub>2(ξ)
[sinh(|ξ|h)− |ξ|h) cosh(|ξ|h)] sinh|ξ|(h+y)
|ξ|
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h), (2.25)
b
Φ2(ξ, y) =bu(ξ)
sinh|ξ|(h−y) cosh(|ξ|h)− |ξ|(h−y) cosh(|ξ|y)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+<sub>b</sub>r1(ξ)
n |ξ|hsinh|ξ|(h+y) sinh(|ξ|h)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
− cosh(2|ξ|h)[|ξ|ycosh(|ξ|y)−sinh(|ξ|y)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
o
+<sub>b</sub>r2(ξ)
nsinh|ξ|(h−y) sinh(|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h) sinh|ξ|(h+y)
|ξ|
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+ |ξ|ysinh(2|ξ|h) cosh(|ξ|y)
|ξ|
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
o
. (2.26)
Nghiệm của bài tốn bên trong miền được cho bởi các cơng thức
Φj(x, y) =F−1[bΦj(ξ, y)](x), (x, y)∈Πj,(j= 1,2).
3
Tính giải được và tính trơn của nghiệm bài tốn biên kiểu
Dirichlet
3.1 Tính giải được của bài toán
Định lý 1. Giả sử u(x)∈ H1/2(R), r1(x)∈ H3/2(R) và r2(x)∈ H1/2(R). Khi đó, trong lớp các
hàm tăng chậm, tồn tại duy nhất nghiệm {Φ1,Φ2} của bài toán (2.1)-(2.8). Nghiệm của bài toán
được cho bởi các cơng thức (2.17), (2.18), trong đó cácΦ1(b ξ, y) và Φ2(b ξ, y) tương ứng được cho bởi
các công thức (2.25) và (2.26).
Chứng minh. Đặt:
Π1 :={(x, y) :−∞< x <∞, −h < y <0},
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>
Vì Φb<sub>1</sub>(ξ, y) và Φb<sub>2</sub>(ξ, y) tương ứng là nghiệm của các phương trình vi phân (2.11) và (2.12), ngoài
ra theo biến ξ các hàm này giảm theo quy luật hàm mũ khi−h < y < h,nên ta có:
∆Φ1(x, y) =F−1
h∂2Φ1(<sub>b</sub> ξ, y)
∂y2 −ξ
2
b
Φ1(ξ, y)
i
= 0 trong Π1,
∆2Φ(x, y) =F−1h∂
4
b
Φ(ξ, y)
∂y4 −2ξ
2∂2Φ(b ξ, y)
∂y2 +ξ
4
b
Φ(ξ, y)i(x) = 0 trong Π2.
Như vậy, các phương trình đạo hàm riêng (2.1) và (2.2) được thỏa mãn. Bằng cách chuyển qua giới
hạn cũng có thể dễ dàng được được kiểm tra. Như vậy sự tồn tạo nghiệm của bài tốn đã được
chứng minh.
Tính duy nhất nghiệm của bài tốn trong lớp các hàm tăng chậm (các khơng gian Sobolev)
được suy ra từ tính duy nhất của biến đổi Fourier trong lớp các hàm tăng chậm.
3.2 Tính trơn của nghiệm bài tốn
Xét các khơng gian SobolevH1(Πj), Hm(Πj,ε),(∀m≥2,∀ε >0, j= 1,2),trong đó:
Π1,ε :={(x, y) :−∞< x <∞, −h+ε < y <0},
Π2,ε :={(x, y) :−∞< x <∞, 0< y < h−ε}.
Định lý 2. Giả sử các điều kiện của Định lý 1 được thỏa mãn. Khi đó ta cóΦj(x, y)∈H1(Πj), Φj(x, y)∈
Hm(Πj, ε), j = 1,2.m≥2.
4
Bài toán biên kiểu Neumann
4.1 Phát biểu bài toán
Trong bài toán này, điều kiện Dirichlet (2.3) được thay bởi điều kiện Neumann sau đây
∂Φ1(x,−h)
∂y =v(x), x∈R. (4.1)
4.2 Lời giải hình thức của bài tốn
Chúng ta cũng sẽ tìm cơng thức nghiệm của bài tốn này bằng phương pháp biến đổi Fourier.
Thực hiện biến đổi Fourier tương ứng với biếnxcho các phương trình (2.1), (2.2) cùng với các điều
kiện (2.4)-(2.8), ta được các công thức (2.11)-(2.16).
Tác động biến đổi Fourier lên điều kiện (4.1), ta có
b
v(ξ) =−iξΦb<sub>1</sub>(ξ,−h).
Suy ra
b
v(ξ) =−iξ(A1cosh|ξ|h−B1sinh|ξ|h) =−iξ.ub(ξ),
trong đó <sub>b</sub>u(ξ) = F[u(x)](ξ) =F[Φ(x,−h)](ξ) đã được biết đến trong mục trước. Vì vậy: u<sub>b</sub>= <sub>ξ</sub>i<sub>b</sub>v.
Thay biểu thức này vào các công thức của Aj(ξ), Bj(ξ), Cj(ξ), Dj(ξ),(j = 1,2) trong bài toán
</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>
A1(ξ) =bv(ξ).
i
ξ.
sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h)− |ξ|h
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+<sub>b</sub>r1(ξ).
|ξ|hsinh2(|ξ|h)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+br2(ξ).
sinh2(|ξ|h)− |ξ|hsinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h)
|ξ|
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h), (4.2)
B1(ξ) =−<sub>b</sub>v(ξ).i
ξ.
sinh2(|ξ|h)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+rb1(ξ)
|ξ|hcosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+r<sub>b</sub>2(ξ)
sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h)− |ξ|hcosh2(|ξ|h)
|ξ|
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h), (4.3)
B2(ξ) =vb(ξ).
i
ξ.
|ξ|
[sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)]
+<sub>b</sub>r1(ξ)
−|ξ|cosh(2|ξ|h)
[sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)]
+<sub>b</sub>r2(ξ)
sinh(2|ξ|h)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h), (4.4)
C2(ξ) =bv(ξ).
i
ξ.
−cosh2(|ξ|h)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+br1(ξ)
cosh(2|ξ|h) +|ξ|hcosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
−<sub>b</sub>r2(ξ)
sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) +|ξ|hcosh2(|ξ|h)
|ξ|[sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)], (4.5)
A2(ξ) =A1(ξ), D2(ξ) = 0. (4.6)
Thế các hệ sốA1(ξ), B1(ξ), A2(ξ), B2(ξ), C2(ξ), D2(ξ)vào biểu thức củaΦ1(ˆ ξ, y),Φ2(ˆ ξ, y)ta có:
b
Φ1(ξ, y) =bv(ξ).
i
ξ.
sinh(|ξ|h) cosh|ξ|(h−y)− |ξ|hcosh(|ξ|y)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+r<sub>b</sub>1(ξ) |ξ|hsinh(|ξ|h) sinh|ξ|(h+y)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+r<sub>b</sub>2(ξ)
[sinh(|ξ|h)− |ξ|h) cosh(|ξ|h)] sinh|ξ|(h+y)
|ξ|
</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>
b
Φ2(ξ, y) =bv(ξ).
i
ξ.
sinh|ξ|(h−y) cosh(|ξ|h)− |ξ|(h−y) cosh(|ξ|y)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+<sub>b</sub>r1(ξ)
|ξ|hsinh|ξ|(h+y) sinh(|ξ|h)
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
− cosh(2|ξ|h)[|ξ|ycosh(|ξ|y)−sinh(|ξ|y)]
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+<sub>b</sub>r2(ξ)
nsinh|ξ|(h−y) sinh(|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h) sinh|ξ|(h+y)
|ξ|
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
+ |ξ|ysinh(2|ξ|h) cosh(|ξ|y)
|ξ|
sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)
o
. (4.8)
Nghiệm của bài toán bên trong miền được cho bởi các công thức
Φj(x, y) =F[bΦj(ξ, y)](x), (x, y)∈Πj,(j= 1,2).
5
Tính giải được và tính trơn của nghiệm bài tốn biên kiểu
Neu-mann.
Có các kết quả sau đây.
Định lý 3. Giả sử v(x) ∈ H−1/2(R), r1(x) ∈ H3/2(R) và r2(x) ∈ H1/2(R). Khi đó, trong lớp
các hàm tăng chậm, tồn tại duy nhất nghiệm {Φ1,Φ2} của bài toán (2.1)-(2.8)(trong đó điều kiện
(2.3)được thay bởi điều kiện (4.1)). Nghiệm của bài tốn được cho bởi các cơng thức (2.17),(2.18),
trong đó các Φb<sub>1</sub>(ξ, y) và Φb<sub>2</sub>(ξ, y) tương ứng được cho bởi các công thức (4.7)và (4.8).
Định lý 4. Giả sử các điều kiện của Định lý 3 được thỏa mãn. Khi đó ta cóΦj(x, y)∈H1(Πj), Φj(x, y)∈
Hm(Πj, ε), j = 1,2.m≥2.
Các định lý này được chứng minh hoàn toàn tương tự như các định lý 1 và 2.
Tài liệu
[1] A.S.Bonnet-Ben Dhia, J.F.Mercier, F.Millot, S.Perner and E.Peynaud,Time-Harmonic
Acous-tic Scattering in a complex Flow: A full coupling between AcousAcous-tics and Hydrodynamics.
Com-mun.comput.Phys. Vol11, No 2, 555-572, 2012
[2] I.L. Chem and Y.C. Shu, A coupling interface method for elliptic interface problems, Journal
ò Computational Physics,225 (2), 2138-2174, 2007.
[3] Igor Mozolevski, Endrei Suli , Discontinuous Galerkin Method for Interface problems of
cou-pling different elliptic equations, 5th European Finite Element Fair Methods, Marseille, 17-19
May 2007.
</div>
<!--links-->
