<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHƯƠNG</b>

<b>3</b>

<b>T</b>

<b>ÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ</b>

<b>.</b>

§

<b>1. T</b>

<b>ÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH PHỤ THUỘC THAM SỐ</b>

<b>.</b>

<b>1.1 Giới thiệu</b>

<i>Xét tích phân xác định phụ thuộc tham số: I</i>(<i>y</i>) =
<i>b</i>

Z

<i>a</i>

<i>f</i> (<i>x, y</i>)<i>dx, trong đó f</i> (<i>x, y</i>) khả

tích theo x trên [<i>a, b</i>] <i>với mỗi y</i> ∈ [<i>c, d</i>]. Trong bài học này chúng ta sẽ nghiên cứu một số

<i>tính chất của hàm số I</i>(<i>y</i>)như tính liên tục, khả vi, khả tích.

<b>1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc</b>

<b>tham số.</b>

<b>1) Tính liên tục.</b>

<b>Định lý 3.7.</b> Nếu <i>f</i> (<i>x, y</i>)là hàm số liên tục trên [<i>a, b</i>]× [<i>c, d</i>] thì <i>I</i>(<i>y</i>)là hàm số liên
tục trên [<i>c, d</i>]. Tức là:

lim

<i>y</i>→<i>y</i>0

<i>I</i>(<i>y</i>) = <i>I</i>(<i>y</i>0)⇔ lim

<i>y</i>→<i>y</i>0

<i>b</i>

Z

<i>a</i>

<i>f</i> (<i>x, y</i>)<i>dx</i>=
<i>b</i>

Z

<i>a</i>

<i>f</i> (<i>x, y</i>0)<i>dx</i>

<b>2) Tính khả vi.</b>

<b>Định lý 3.8.</b> Giả sử với mỗi<i>y</i> ∈ [<i>c, d</i>], <i>f</i> (<i>x, y</i>) là hàm số liên tục theo<i>x</i> trên [<i>a, b</i>] và

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>64</i> <i>Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.</i>

<i>I</i>0(<i>y</i>) =
<i>b</i>

Z

<i>a</i>

<i>f_y</i>0 (<i>x, y</i>)<i>dx</i>, hay nói cách khác chúng ta có thể đưa dấu đạo hàm vào trong

tích phân.

<b>3) Tính khả tích.</b>

<b>Định lý 3.9.</b> Nếu <i>f</i>(<i>x, y</i>) là hàm số liên tục trên [<i>a, b</i>]× [<i>c, d</i>] thì <i>I</i>(<i>y</i>)là hàm số khả
tích trên [<i>c, d</i>] , và:

<i>d</i>

Z

<i>c</i>

<i>I</i>(<i>y</i>)<i>dy :</i>=
<i>d</i>

Z

<i>c</i>




<i>b</i>

Z

<i>a</i>

<i>f</i> (<i>x, y</i>)<i>dx</i>


<i> dy</i> =

<i>b</i>

Z

<i>a</i>




<i>d</i>

Z

<i>c</i>

<i>f</i> (<i>x, y</i>)<i>dy</i>


<i> dx</i>

<b>Bài tập</b>

<i><b>Bài tập 3.1. Khảo sát sự liên tục của tích phân I</b></i>(<i>y</i>) =

1

Z

0

<i>y f</i>(<i>x</i>)

<i>x</i>2₊<i>_y</i>2<i>dx , với f</i> (<i>x</i>) là hàm số

dương, liên tục trên[0, 1].

<i>Lời giải. Nhận xét rằng hàm số g</i>(<i>x, y</i>) = <i>_xy f</i>2₊(<i>x_y</i>)2 liên tục trên mỗi hình chữ nhật[0, 1]× [<i>c, d</i>]

và [0, 1]× [−<i>d,</i>−<i>c</i>] với 0 < <i>_c</i> < <i>_{d bất kì, nên theo Định lý 3.7, I}</i>₍<i>_y</i>₎ liên tục trên mỗi
[<i>c, d</i>],[−<i>d,</i>−<i>c</i>]<i>, hay nói cách khác I</i>(<i>y</i>) <i>liên tục với mọi y</i>6= 0.

<i>Bây giờ ta xét tính liên tục của hàm số I</i>(<i>y</i>) <i>tại điểm y</i>=<i>0 . Do f</i> (<i>x</i>)là hàm số dương, liên

tục trên[0, 1]<i>nên tồn tại m</i>><i>_{0 sao cho f}</i> ₍<i>_x</i>_{) >}<i>_m</i>>₀_∀<i>_x</i> _{∈ [}_{0, 1}_]<i>. Khi đó với ε</i>>_{0 thì:}

<i>I</i>(<i>ε</i>) =

1

Z

0

<i>ε f</i> (<i>x</i>)

<i>x</i>2₊<i>_ε</i>2<i>dx</i>>
1

Z

0

<i>ε.m</i>

<i>x</i>2₊<i>_ε</i>2<i>dx</i>=<i>m.arctg</i>

<i>x</i>
<i>ε</i>

<i>I</i>(−<i>ε</i>) =

1

Z

0

−<i>ε f</i> (<i>x</i>)

<i>x</i>2₊<i>_ε</i>2<i>dx</i> 6
1

Z

0

−<i>ε.m</i>

<i>x</i>2₊<i>_ε</i>2<i>dx</i> = −<i>m.arctg</i>

<i>x</i>
<i>ε</i>

Suy ra_|<i>I</i>(<i>ε</i>)−<i>I</i>(−<i>ε</i>)| ><i>2m.arctgx_ε</i> →<i>2m.π</i>₂ <i>khi ε</i>→0 , tức là|<i>I</i>(<i>ε</i>)−<i>I</i>(−<i>ε</i>)|không tiến tới

<i>0 khi ε</i> →<i>0 , I</i>(<i>y</i>)<i>gián đoạn tại y</i> =0 .

<b>Bài tập 3.2. Tính các tích phân sau:</b>

<i>a) In</i>(<i>α</i>) =

1

Z

0

<i>xα</i>ln<i>nxdx , n là số nguyên dương.</i>

<i>Lời giải</i>. <i><b>– Với mỗi α</b></i> > <i>_{0, hàm số f}_n</i>₍<i>_{x, α}</i>_{) =} <i>_xα</i>_ln<i>n_{x, n}</i> ₌ <i>_{0, 1, 2, ... liên tục theo x}</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số.</i> <i>65</i>
<b>– Vì lim</b>

<i>x</i>→0+<i>x</i>

<i>α</i>_ln<i>n</i>+1<i>_x</i>₌_{0 nên} <i>∂ fn</i>(<i>x,α</i>)

<i>∂α</i> = <i>xα</i>ln

<i>n</i>+1<i>_{x liên tục trên}</i>_[_{0, 1}_]_{× (}_0,₊_∞₎_.
<i>Nghĩa là hàm số fn</i>(<i>x, α</i>) = <i>xα</i>ln<i>nx thoả mãn các điều kiện của Định lý 3.8 nên:</i>

<i>I_n</i>0₋₁(<i>α</i>) = <i>d</i>

<i>dα</i>

1

Z

0

<i>xα</i>ln<i>n</i>−1<i>xdx</i> =

1

Z

0

<i>d</i>
<i>dα</i>



<i>xα</i>ln<i>n</i>−1<i>x</i><i>dx</i>=

1

Z

0

<i>xα</i>ln<i>nxdx</i> =<i>In</i>(<i>α</i>)

<i>Tương tự, I</i>0

<i>n</i>−2 = <i>In</i>−1<i>, ..., I</i>

0

2 = <i>I</i>1<i>, I</i>

0

1 = <i>I</i>0 <i>, suy ra In</i>(<i>α</i>) = [<i>I</i>0(<i>α</i>)]

(<i>n</i>)<i>_{. Mà I}</i>

0(<i>α</i>) =

1

Z

0

<i>xαdx</i>= <i>_α</i>₊1₁ ⇒ <i>In</i>(<i>α</i>) =

h
1

<i>α</i>+1
i(<i>n</i>)

= (−1)<i>nn!</i>

(<i>α</i>+1)<i>n+1</i>.

b)

<i>π</i>

2

Z

0

ln 1+y sin2<i>x</i>
<i>dx, với y</i>>_1.

<i>Lời giải. Xét hàm số f</i> (<i>x, y</i>) =ln 1+y sin2<i>_x</i>
thoả mãn các điều kiện sau:

• <i>f</i> (<i>x, y</i>) = ln 1+y sin2<i>x</i>
xác định trên 0, <i>π</i>₂× (1,+∞₎ <i>và với mỗi y</i> > ₋_{1 cho}

<i>trước, f</i> (<i>x, y</i>) <i>liên tục theo x trên</i>0, <i>π</i>₂ .

• <i>Tồn tại fy</i>0 (<i>x, y</i>) = sin

2<i>_x</i>

1+<i>y sin</i>2<i>x</i> xác định, liên tục trên 0,

<i>π</i>

2


× (1,+∞₎ .
<i>Theo Định lý 3.8, I</i>0₍<i>_y</i>_{) =}

<i>π</i>

2

Z

0

sin2<i>x</i>

1+<i>y sin</i>2<i>xdx</i> =

<i>π</i>

2

Z

0

<i>dx</i>

1
<i>sin2 x</i>+<i>y</i>

.
<i>Đặt t</i>=<i>tgx thì dx</i> = ₁₊<i>dt_t</i>2, 06<i>t</i>6+∞.

<i>I</i>0(<i>y</i>) =

+∞

Z

0

<i>t</i>2<i>dt</i>

(<i>t</i>2₊₁_{) (}₁₊<i>_t</i>2₊<i>_yt</i>2₎ =

+∞

Z

0
1

<i>y</i>


1

<i>t</i>2₊₁ −

1
1+ (<i>y</i>+1)<i>t</i>2



<i>dt</i>

= 1

<i>y</i>

"

<i>arctgt</i>|₀+∞−p 1

<i>y</i>+1arctg



<i>t</i>p<i>y</i>+1|₀+∞

#

<i>= π</i>

<i>2y</i> 1−
1
p

1+<i>y</i>

!

= <i>π</i>

2p1+<i>y</i>.

1
1+p1+<i>y</i>

Suy ra

<i>I</i>(<i>y</i>) =

Z

<i>I</i>0(<i>y</i>)<i>dy</i> =

Z <i>_π</i>

2p1+<i>y</i>.

1

1+p1+<i>ydy</i> =<i>π ln</i>



1+p1+<i>y</i>+<i>C</i>

<i>Do I</i>(0) =<i>0 nên C</i> = −<i>π ln 2 và I</i>(<i>y</i>) =<i>π ln 1</i>+p1+<i>y</i>
−<i>π ln 2.</i>
<i><b>Bài tập 3.3. Xét tính liên tục của hàm số I</b></i>(<i>y</i>) =

1

Z

0

<i>y</i>2₋<i>_x</i>2

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i>66</i> <i>Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.</i>

<i>Lời giải. Tại y</i>=<i>0 , I</i>(0) =

1

Z

0

−<i>_x</i>12<i>dx</i>= −∞<i>, nên hàm số I</i>(<i>y</i>) <i>không xác định tại y</i>=0.

<i>Tại y</i> 6= <i>0 , I</i>(<i>y</i>) =

1

Z

0

(<i>x</i>2+<i>y</i>2)−<i>2x.x</i>

(<i>x</i>2₊<i>_y</i>2₎2 <i>dx</i> =

1

Z

0

<i>d</i><i>_x</i>2₊<i>x_y</i>2



= ₁₊1<i>_y</i>2<i>, nên I</i>(<i>y</i>) xác định và liên tục

<i>với mọi y</i>6=0 .

<b>1.3 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với</b>

<b>cận biến đổi.</b>

Xét tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi

<i>J</i>(<i>y</i>) =
<i>b</i>(<i>y</i>)

Z

<i>a</i>(<i>y</i>)

<i>f</i>(<i>x, y</i>)<i>dx, với y</i>∈ [<i>c, d</i>]<i>, a</i>6<i>a</i>(<i>y</i>)<i>, b</i>(<i>y</i>) 6<i>b</i> ∀<i>y</i> ∈ [<i>c, d</i>]

<b>1) Tính liên tục</b>

<b>Định lý 3.10.</b> Nếu hàm số <i>f</i> (<i>x, y</i>) liên tục trên [<i>a, b</i>]× [<i>c, d</i>] , các hàm số <i>a</i>(<i>y</i>)<i>, b</i>(<i>y</i>)
liên tục trên [<i>c, d</i>] và thoả mãn điều kiện <i>a</i> 6 <i>_a</i>₍<i>_y</i>₎<i>_{, b}</i>₍<i>_y</i>_{) 6} <i>_b</i>_∀<i>_y</i> _{∈ [}<i>_{c, d}</i>_{] thì} <i>_J</i>₍<i>_y</i>_{) là}
một hàm số liên tục đối với <i>y</i>trên [<i>c, d</i>] .

<b>2) Tính khả vi</b>

<b>Định lý 3.11.</b> Nếu hàm số <i>f</i> (<i>x, y</i>) liên tục trên [<i>a, b</i>]× [<i>c, d</i>] , <i>f_y</i>0 (<i>x, y</i>) liên tục trên
[<i>a, b</i>]× [<i>c, d</i>] , và <i>a</i>(<i>y</i>)<i>, b</i>(<i>y</i>) khả vi trên [<i>c, d</i>] và thoả mãn điều kiện<i>a</i> 6<i>_a</i>₍<i>_y</i>₎<i>_{, b}</i>₍<i>_y</i>_{) 6}

<i>b</i> ∀<i>y</i>∈ [<i>c, d</i>] thì <i>J</i>(<i>y</i>) là một hàm số khả vi đối với y trên [<i>c, d</i>], và ta có:

<i>J</i>0(<i>y</i>) =

<i>b</i>_Z(<i>y</i>)

<i>a</i>(<i>y</i>)

<i>f_y</i>0 (<i>x, y</i>)<i>dx</i>+ <i>f</i> (<i>b</i>(<i>y</i>)<i>, y</i>)<i>b_y</i>0 (<i>y</i>)− <i>f</i> (<i>a</i>(<i>y</i>)<i>, y</i>)<i>a</i>0<i>_y</i>(<i>y</i>)
.

<b>Bài tập</b>

<b>Bài tập 3.4. Tìm lim</b>

<i>y</i>→0
1_Z+<i>y</i>

<i>y</i>

<i>dx</i>

1+<i>x</i>2₊<i>_y</i>2.

<i>Lời giải. Dễ dàng kiểm tra được hàm số I</i>(<i>y</i>) =

1_Z+<i>y</i>

<i>y</i>

<i>dx</i>

1+<i>x</i>2₊<i>_y</i>2 <i>liên tục tại y</i>=0 dựa vào định

lý 3.10, nên lim

<i>y</i>→0
1_Z+<i>y</i>

<i>y</i>

<i>dx</i>

1+<i>x</i>2₊<i>_y</i>2 = <i>I</i>(0) =

1

Z

0

<i>dx</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

§

<b>2. T</b>

<b>ÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ</b>

<b>.</b>

<b>2.1 Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc</b>

<b>tham số.</b>

<i>Xét tích phân suy rộng phụ thuộc tham số I</i>(<i>y</i>) =

+∞

Z

<i>a</i>

<i>f</i> (<i>x, y</i>)<i>dx, y</i> ∈ [<i>c, d</i>]. Các kết quả

dưới đây tuy phát biểu đối với tích phân suy rộng loại II (có cận bằng vơ cùng) nhưng đều
có thể áp dụng một cách thích hợp cho trường hợp tích phân suy rộng loại I (có hàm dưới
dấu tích phân khơng bị chặn).

<b>1) Dấu hiệu hội tụ Weierstrass</b>

<b>Định lý 3.12.</b> _{Nếu |}<i>f</i> (<i>x, y</i>)| 6 <i>g</i>(<i>x</i>)∀ (<i>x, y</i>) ∈ [<i>a,</i>+∞_]_{× [}<i>_{c, d}</i>_{] và nếu tích phân suy}

rộng

+∞

Z

<i>a</i>

<i>g</i>(<i>x</i>)<i>dx</i>hội tụ, thì tích phân suy rộng <i>I</i>(<i>y</i>) =

+∞

Z

<i>a</i>

<i>f</i>(<i>x, y</i>)<i>dx</i>hội tụ đều đối với
<i>y</i> ∈ [<i>c, d</i>].

<b>2) Tính liên tục</b>

<b>Định lý 3.13.</b> Nếu hàm số <i>f</i> (<i>x, y</i>) liên tục trên [<i>a,</i>+∞_]_{× [}<i>c, d</i>] và nếu tích phân suy
rộng <i>I</i>(<i>y</i>) =

+∞

Z

<i>a</i>

<i>f</i> (<i>x, y</i>)<i>dx</i> hội tụ đều đối với<i>y</i> ∈ [<i>c, d</i>] thì <i>I</i>(<i>y</i>) là một hàm số liên tục
trên [<i>c, d</i>].

<b>3) Tính khả vi</b>

<b>Định lý 3.14.</b> Giả sử hàm số <i>f</i> (<i>x, y</i>) xác định trên [<i>a,</i>+∞_]_{× [}<i>_{c, d}</i>_{] sao cho với mỗi}<i>_y</i> _∈

[<i>c, d</i>] , hàm số <i>f</i> (<i>x, y</i>) liên tục đối với<i>x</i> trên [<i>a,</i>+∞_{] và} <i>_f_y</i>0 ₍<i>_{x, y}</i>_{) liên tục trên [}<i>_a,</i>₊∞_]_×

[<i>c, d</i>]. Nếu tích phân suy rộng <i>I</i>(<i>y</i>) =

+∞

Z

<i>a</i>

<i>f</i>(<i>x, y</i>)<i>dx</i>hội tụ và

+∞

Z

<i>a</i>

<i>f_y</i>0 (<i>x, y</i>)<i>dx</i> hội tụ đều

đối với<i>y</i>∈ [<i>c, d</i>] thì <i>I</i>(<i>y</i>) là hàm số khả vi trên [<i>c, d</i>] và <i>I</i>0(<i>y</i>) =

+∞

Z

<i>a</i>

<i>f_y</i>0 (<i>x, y</i>)<i>dx</i>.

<b>4) Tính khả tích</b>

<b>Định lý 3.15.</b> Nếu hàm số <i>f</i> (<i>x, y</i>) liên tục trên [<i>a,</i>+∞_]_{× [}<i>_{c, d}</i>_{] và nếu tích phân suy}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>68</i> <i>Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.</i>

thể đổi thứ tự lấy tích phân theo công thức:
<i>d</i>

Z

<i>c</i>

<i>I</i>(<i>y</i>)<i>dy :</i>=
<i>d</i>

Z

<i>c</i>




+∞

Z

<i>a</i>

<i>f</i> (<i>x, y</i>)<i>dx</i>


<i> dy</i>=

+∞

Z

<i>a</i>





<i>d</i>

Z

<i>c</i>

<i>f</i> (<i>x, y</i>)<i>dy</i>


<i> dx.</i>

<b>2.2 Bài tập</b>

<b>Dạng 1. Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số bằng cách đổi thứ tự lấy</b>
<b>tích phân</b>

<i>Giả sử cần tính I</i>(<i>y</i>) =

+∞

Z

<i>a</i>

<i>f</i>(<i>x, y</i>)<i>dx.</i>

<i><b>B1. Biểu diễn f</b></i> (<i>x, y</i>) =
<i>d</i>

Z

<i>c</i>

<i>F</i>(<i>x, y</i>)<i>dy.</i>

<b>B2. Sử dụng tính chất đổi thứ tự lấy tích phân:</b>
<i>I</i>(<i>y</i>) =

+∞

Z

<i>a</i>

<i>f</i>(<i>x, y</i>)<i>dx</i>=

+∞

Z

<i>a</i>




<i>d</i>

Z

<i>c</i>

<i>F</i>(<i>x, y</i>)<i>dy</i>


<i>dx</i>=

<i>d</i>

Z

<i>c</i>




+∞

Z

<i>a</i>

<i>F</i>(<i>x, y</i>)<i>dx</i>


<i>dy</i>

<b>Chú ý: Phải kiểm tra điều kiện đổi thứ tự lấy tích phân trong Định lý 3.15 đối với tích</b>

<i>phân suy rộng của hàm số F</i>(<i>x, y</i>).

<b>Bài tập 3.5. Tính các tích phân sau:</b>

a)
1

Z

0

<i>xb</i>₋<i>_xa</i>

<i>ln x</i> <i>dx,</i> (0<<i>a</i> <<i>b</i>).

<i>Lời giải</i>. Ta có:
<i>xb</i>−<i>xa</i>

<i>ln x</i> = <i>F</i>(<i>x, b</i>)−<i>F</i>(<i>x, a</i>) =

<i>b</i>

Z

<i>a</i>

<i>F_y</i>0 (<i>x, y</i>)<i>dy =</i>

<i>b</i>

Z

<i>a</i>

<i>xydy;</i>



<i>F</i>(<i>x, y</i>) := <i>x</i>
<i>y</i>

<i>ln x</i>


nên:
1

Z

0

<i>xb</i>−<i>xa</i>

<i>ln x</i> <i>dx</i> =
1

Z

0




<i>b</i>

Z

<i>a</i>

<i>xydy</i>


<i> dx</i> =

<i>b</i>

Z

<i>a</i>




1

Z

0

<i>xydx</i>


<i> dy</i> =

<i>b</i>

Z

<i>a</i>

1

<i>y</i>+1<i>dy</i> =ln

<i>b</i>+1

<i>a</i>+1

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i>2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.</i> <i>69</i>

b)

+∞

Z

0

<i>e−αx</i>−<i>e−βx</i>

<i>x</i> <i>dx,</i> (<i>α, β</i>>0).

<i>Lời giải</i>. Ta có:

<i>e</i>−<i>αx</i>−<i>e</i>−<i>βx</i>
<i>x</i>



<i>F</i>(<i>x,y</i>):=<i>e−yx</i>
<i>x</i>



= <i>F</i>(<i>x, α</i>)−<i>F</i>(<i>x, β</i>) =
<i>α</i>

Z

<i>β</i>

<i>F_y</i>0 (<i>x, y</i>)=
<i>β</i>

Z

<i>α</i>

<i>e</i>−<i>yxdy</i>

nên:

+∞

Z

0

<i>e</i>−<i>αx</i>−<i>e</i>−<i>βx</i>

<i>x</i> <i>dx</i>=

+∞
Z
0


<i>β</i>
Z
<i>α</i>

<i>e</i>−<i>yxdy</i>


<i>dx</i> =
<i>β</i>
Z
<i>α</i>


+∞

Z
0

<i>e</i>−<i>yxdx</i>


<i>dy</i>=
<i>β</i>
Z
<i>α</i>
<i>dy</i>

<i>y</i> =ln

<i>β</i>
<i>α</i>.
<i>Kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân:</i>

c)

+∞

Z

0

<i>e−αx2</i>−<i>e−βx2</i>

<i>x</i>2 <i>dx,</i> (<i>α, β</i>>0).

<i>Lời giải</i>. Ta có:

<i>e</i>−<i>αx</i>2 −<i>e</i>−<i>βx</i>2
<i>x</i>2



<i>F</i>(<i>x,y</i>):=<i>e−yx</i>2
<i>x2</i>



= <i>F</i>(<i>x, α</i>)−<i>F</i>(<i>x, β</i>) =
<i>α</i>

Z

<i>β</i>

<i>F_y</i>0 (<i>x, y</i>)<i>dy =</i>

<i>β</i>

Z

<i>α</i>

<i>e</i>−<i>yx</i>2<i>dy</i>

nên:

+∞

Z

0

<i>e</i>−<i>αx</i>2−<i>e</i>−<i>βx</i>2

<i>x</i>2 <i>dx</i>=

+∞
Z
0


<i>β</i>
Z
<i>α</i>

<i>e</i>−<i>x</i>2<i>ydy</i>


<i> dx</i>=

<i>β</i>
Z
<i>α</i>



+∞
Z
0

<i>e</i>−<i>x</i>2<i>ydx</i>


<i> dy</i>
Với điều kiện đã biết

+∞

Z

0

<i>e</i>−<i>x</i>2<i>dx</i> = √₂<i>π</i> ta có

+∞

Z

0

<i>e</i>−<i>x</i>2<i>ydx</i>= ₂√√<i>π_y</i>.

<i>Suy ra I</i> =
<i>β</i>

Z

<i>α</i>

√

<i>π</i>

2√<i>ydy</i> =
√

<i>π</i> p<i>β</i>−√<i>α</i>
.

<i>Kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân:</i>

e)

+∞

Z

0

<i>e</i>−<i>ax sin bx</i>−<i>_xsin cx</i>, (<i>a, b, c</i> >₀₎.

<i>Lời giải</i>. Ta có:

<i>eaxsin bx</i>−<i>sin cx</i>
<i>x</i>



<i>F</i>(<i>x,y</i>)=<i>e−ax sin yx_x</i>



= <i>F</i>(<i>x, b</i>)−<i>F</i>(<i>x, c</i>) =
<i>b</i>

Z

<i>c</i>

<i>F_y</i>0 (<i>x, y</i>)<i>dy</i> =
<i>b</i>

Z

<i>c</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i>70</i> <i>Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.</i>

nên:

<i>I</i> =

+∞

Z

0




<i>b</i>

Z

<i>c</i>

<i>e</i>−<i>axcos yxdy</i>

<i>dx</i> =

<i>b</i>

Z

<i>c</i>




+∞

Z

0

<i>e</i>−<i>axcos yxdx</i>


<i> dy</i>
MàZ <i>e</i>−<i>axcos yxdx</i> = −<i>_a</i>2₊<i>a_y</i>2<i>e</i>−<i>axcos yx</i>+

<i>y</i>

<i>a</i>2₊<i>_y</i>2<i>e</i>−<i>axsin yx, suy ra</i>

+∞

Z

0

<i>e</i>−<i>axcos yxdx</i> = <i>_a</i>2₊<i>a_y</i>2,

<i>và I</i> =
<i>b</i>

Z

<i>c</i>
<i>a</i>

<i>a</i>2₊<i>_y</i>2<i>dy</i> =arctg<i>b_a</i> −arctg <i>c_a</i>.

<i>Kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân:</i>

<b>Dạng 2. Tính tích phân bằng cách đạo hàm qua dấu tích phân.</b>

<i>Giả sử cần tính I</i>(<i>y</i>) =

+∞

Z

<i>a</i>

<i>f</i>(<i>x, y</i>)<i>dx.</i>

<i><b>B1. Tính I</b></i>0₍<i>_y</i>₎ <i>_{bằng cách I}</i>0₍<i>_y</i>_{) =}
+∞

Z

<i>a</i>

<i>f_y</i>0 (<i>x, y</i>)<i>dx.</i>

<i><b>B2. Dùng công thức Newton-Leibniz để khôi phục lại I</b></i>(<i>y</i>) <i>bằng cách I</i>(<i>y</i>) =

Z

<i>I</i>0(<i>y</i>)<i>dy.</i>

<b>Chú ý: Phải kiểm tra điều kiện chuyển dấu đạo hàm qua tích phân trong Định lý 3.14.</b>
<i><b>Bài tập 3.6. Chứng minh rằng tích phân phụ thuộc tham số I</b></i>(<i>y</i>) =

+∞

Z

−∞

arctg(<i>x</i>+<i>y</i>)

1+<i>x</i>2 <i>dx là một</i>

<i>hàm số liên tục khả vi đối với biến y. Tính I</i>0₍<i>_y</i>₎<i>_{rồi suy ra biểu thức của I}</i>₍<i>_y</i>₎_.

<i>Lời giải</i>. Ta có:

<i>• f</i> (<i>x, y</i>) = arctg₁₊(<i>_xx</i>2+<i>y</i>) liờn tc trờn[,+]ì [,+].

ã


arctg₁₊(<i>_xx</i>2+<i>y</i>)

6 <i>π</i>

2.1+1<i>x</i>2 , mà

+∞

Z

−∞
1

1+<i>x</i>2 = <i>π hội tụ, nên I</i>(<i>y</i>) =

+∞

Z

−∞

arctg(<i>x</i>+<i>y</i>)

1+<i>x</i>2 <i>dx hội tụ đều</i>

trên[−∞,+∞_].

<i>Theo Định lý 3.13, I</i>(<i>y</i>) liên tục trên[−∞,+∞_].
Hơn nữa

<i>_f</i>0

<i>y</i>(<i>x, y</i>)

= 1

(1+<i>x</i>2₎_[₁₊₍<i>_x</i>₊<i>_y</i>₎2_] 6 ₁₊1<i>_x</i>2, ∀y; do đó

+∞

Z

−∞

<i>f_y</i>0 (<i>x, y</i>)<i>dx hội tụ đều trên</i>

[−∞,+∞_]<i>. Theo Định lý 3.14, I</i>₍<i>y</i>)khả vi trên[−∞,+∞_]<i>, và: I</i>0₍<i>y</i>) =

+∞

Z

−∞

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i>2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.</i> <i>71</i>

Đặt 1

(1+<i>x</i>2₎_[₁₊₍<i>_x</i>₊<i>_y</i>₎2_] =

Ax+<i>B</i>

1+<i>x</i>2 +₁₊₍<i>Cx_x</i>+₊<i>D_y</i>₎2<i>, dùng phương pháp đồng nhất hệ số ta thu được:A</i>=

−2

<i>y</i>(<i>y</i>2₊₄₎<i>, B</i> = <i>_y</i>₍<i>_y</i>22₊₄₎<i>, C</i> = <i>_y</i>21₊₄<i>, D</i> = <i>_y</i>23₊₄. Do đó:

<i>I</i>0(<i>y</i>) = 1

<i>y</i>2₊₄

+∞

Z

−∞
"

−<i>2x</i>+<i>y</i>

1+<i>x</i>2 +

<i>2x</i>+<i>3y</i>
1+ (<i>x</i>+<i>y</i>)2

#

= 1

<i>y</i>2₊₄
h

−ln1+<i>x</i>2+<i>y arctg x</i>+ln1+ (<i>x</i>+<i>y</i>)2+<i>y arctg</i>(<i>x</i>+<i>y</i>)i|+<i>_x</i>₌₋∞ ∞

= <i>4π</i>

<i>y</i>2₊₄
<i>Suy ra I</i>(<i>y</i>) =

Z

<i>I</i>0(<i>y</i>)<i>dy</i> =2 arctg<i>y</i>₂ +<i>C, mặt khác I</i>(0) =

+∞

Z

−∞
<i>arctg x</i>

1+<i>x</i>2 <i>dx</i> = <i>0 nên C</i> = 0 và

<i>I</i>(<i>y</i>) = 2 arctg<i>y</i>₂

<b>Bài tập 3.7. Tính các tích phân sau:</b>

a)
1

Z

0

<i>xb</i>−<i>xa</i>

<i>ln x</i> <i>dx,</i> (0<<i>a</i> <<i>b</i>).

<i>Lời giải. Đặt I</i>(<i>a</i>) =

1

Z

0

<i>xb</i>−<i>xa</i>

<i>ln x</i> <i>dx, f</i> (<i>x, a</i>) = <i>x</i>

<i>b</i>₋<i>_xa</i>

<i>ln x</i> . Ta có:

• <i>f</i> (<i>x, a</i>) = <i>xb_{ln x}</i>−<i>xa</i> <i>liên tục trên theo x trên</i> [0, 1] với mỗi 0<<i>_a</i> <<i>_b.</i>
• <i>f_a</i>0(<i>x, a</i>) = <i>xa</i>liờn tc trờn [0, 1]ì (0,+₎.

ã

1

Z

0

<i>f_a</i>0 (<i>x, a</i>)<i>dx</i>=

1

Z

0

<i>xadx</i>= <i>_a</i>₊1₁ hi tụ đều trên [0, 1]vì nó là TPXĐ.

Do đó theo Định lý 3.14,

<i>I</i>0(<i>a</i>) =

1

Z

0

<i>f_a</i>0 (<i>x, a</i>)<i>dx</i>= − 1

<i>a</i>+1 ⇒ <i>I</i>(<i>a</i>) =

Z

<i>I</i>0(<i>a</i>)<i>da</i>= −ln(<i>a</i>+1) +<i>C.</i>

<i>Mặt khác I</i>(<i>b</i>) =<i>0 nên C</i> =ln(<i>b</i>+1)<i>và do đó I</i>(<i>a</i>) = ln<i>b_a</i>+₊₁1.
b)

+∞

Z

0

<i>e−αx</i>−<i>e−βx</i>

<i>x</i> <i>dx,</i> (<i>α, β</i>>0).

<i>Lời giải. Đặt I</i>(<i>α</i>) =

+∞

Z

0

<i>e−αx</i>−<i>e−βx</i>

<i>x</i> <i>dx, f</i> (<i>x, α</i>) = <i>e</i>

<i>−αx</i>₋<i>_e−βx</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i>72</i> <i>Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.</i>

• <i>f</i> (<i>x, α</i>) = <i>e−αx</i>−<i>_xe−βx</i> <i>liên tục theo x trên</i>[0,+∞₎ <i>với mỗi , </i>>_0.
ã <i>f</i>0 (<i>x, </i>) = <i>e</i><i>x</i> liờn tc trờn[0,+₎_{ì (}_0,₊∞₎.

•

+∞

Z

0

<i>f_α</i>0 (<i>x, α</i>)<i>dx</i>=

+∞

Z

0

−<i>e</i>−<i>αxdx</i> = −1<i>_α</i> <i>hội tụ đều đối với α trên mỗi khoảng</i>[<i>ε,</i>+∞₎
theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy, _|−<i>e</i>−<i>αx</i>| 6<i>e</i>−<i>εx</i>, mà

+∞

Z

0

<i>e</i>−<i>εxdx</i> = 1

<i>ε</i> hội tụ.

Do đó theo Định lý 3.14,

<i>I</i>0(<i>α</i>) =

+∞

Z

0

<i>f_α</i>0 (<i>x, α</i>)<i>dx</i>= −1

<i>α</i> ⇒ <i>I</i>(<i>α</i>) =

Z

<i>I</i>0(<i>α</i>)<i>dα</i>= −<i>ln α</i>+<i>C.</i>

<i>Mặt khác, I</i>(<i>β</i>) =<i>0 nên C</i> =<i>ln β và I</i>=ln<i>β_α</i>.
c)

+∞

Z

0

<i>e−αx2</i>−<i>e−βx2</i>

<i>x</i>2 <i>dx,</i> (<i>α, β</i>>0).

<i>Lời giải. Đặt I</i>(<i>α</i>) =

+∞

Z

0

<i>e−αx2</i>−<i>e−βx2</i>

<i>x</i>2 <i>dx, f</i> (<i>x, α</i>) = <i>e</i>

<i>−αx2</i>₋<i>_e−βx2</i>

<i>x</i>2 . Ta có:

• <i>f</i> (<i>x, α</i>) = <i>e−αx2_x</i>−2<i>e−βx2</i> <i>liên tục theo x trên</i>[0,+∞) <i>với mỗi α, β</i>>0.

• <i>f_α</i>0 (<i>x, </i>) = <i>e</i><i>x</i>2 liờn tc trờn[0,+₎_{ì (}0,+₎.

ã

+

Z

0

<i>f</i>0 (<i>x, </i>)<i>dx</i> =

+∞

Z

0

−<i>e</i>−<i>αx</i>2<i>dxx</i>

√

<i>α</i>=<i>y</i>
= −

+∞

Z

0

<i>e</i>−<i>y</i>2√<i>dy</i>

<i>α</i> = −

√

<i>π</i>

2 .√1<i>α</i> <i>hội tụ đều theo α</i>

trên mỗi [<i>ε,</i>+∞₎ theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy,

₋<i>e</i>−<i>αx</i>2

 6 <i>e</i>−<i>εx</i>2 mà

+∞

Z

0

<i>e</i>−<i>εx</i>2<i>dx hội tụ.</i>

Do đó theo Định lý 3.14,

<i>I</i>0(<i>α</i>) =

+∞

Z

0

<i>f_α</i>0 (<i>x, α</i>)<i>dx</i>= −
√

<i>π</i>

2 .
1

√

<i>α</i> ⇒ <i>I</i>(<i>α</i>) =

Z

<i>I</i>0(<i>α</i>)<i>dα</i>= −√<i>π.</i>√<i>α</i>+<i>C.</i>

<i>Mặt khác, I</i>(<i>β</i>) =<i>0 nên C</i> =√<i>π.</i>p<i>β và I</i>(<i>α</i>) = √<i>π</i> p<i>β</i>−√<i>α</i>
.

d)

+∞

Z

0

<i>dx</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<i>2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.</i> <i>73</i>

<i>Lời giải. Đặt In</i>(<i>y</i>) =

+∞

Z

0

<i>dx</i>

(<i>x</i>2₊<i>_y</i>₎<i>n+1, fn</i>(<i>x, y</i>) =

1

(<i>x</i>2₊<i>_y</i>₎<i>n+1</i>. Khi đó:

[<i>I_n</i>₋₁(<i>y</i>)]0<i>_y</i> =



+∞
Z
0
<i>dx</i>

(<i>x</i>2₊<i>_y</i>₎<i>n</i>



0

<i>y</i>
= −<i>n</i>

+∞

Z

0

<i>dx</i>

(<i>x</i>2₊<i>_y</i>₎<i>n</i>+1 = −<i>n.In</i>(<i>y</i>) ⇒ <i>In</i> = −
1

<i>n</i>(<i>In</i>−1)

0

.
<i>Tương tự, In</i>−1 = −<i>_n</i>₋1₁(<i>In</i>−2)

0

<i>, In</i>−2 = −<i>_n</i>₋1₂(<i>In</i>−3)

0

<i>, ..., I</i>₁ = − (<i>I</i>0)

0

.
<i>Do đó, In</i>(<i>y</i>) = (−1)

<i>n</i>

<i>n!</i> [<i>I</i>0(<i>y</i>)]

(<i>n</i>)<i>_{. Mà I}</i>

0(<i>y</i>) =

+∞

Z

0
1

<i>x</i>2₊<i>_ydx</i>= √1<i>_yarctg</i>√<i>x_y</i>|+

∞

0 = 2√<i>πy</i> nên

<i>In</i>(<i>y</i>) = <i>π</i>₂.(<i>2n</i>₍<i>_2n</i>−₎1_!!)!!.√1
<i>y2n+1</i>.

Vấn đề còn lại là việc kiểm tra điều kiện chuyển đạo hàm qua dấu tích phân.

• <i>Các hàm số f</i> (<i>x, y</i>) = <i>_x</i>21₊<i>_y, f</i>
0

<i>y</i>(<i>x, y</i>) = ₍<i>_x</i>2−₊1<i>_y</i>₎2<i>, ..., f</i>

(<i>n</i>)

<i>yn</i> (<i>x, y</i>) = (−1)

<i>n</i>

(<i>x</i>2₊<i>_y</i>₎<i>n+1</i> liờn tc

trong[0,+₎_{ì [}<i>_,</i>₊₎<i>vi mi </i> >_{0 cho trc.}
ã 1

<i>x</i>2₊<i>_y</i> 6 <i>_x</i>21₊<i>_ε</i>,

(<i>x</i>2−₊1<i>_y</i>₎2