CHỨNG MINH HÌNH THOI
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa hình thoi
- Hình thoi là hình có hai cạnh kề bằng nhau.
Phương pháp 2:. Sử dụng định lí về sự nhận dạng hình thoi.
Định lí: Hình bình hành là hình thoi nếu:
- Có hai đường chéo vuông góc với nhau. Hoặc
- Có một đường chéo là đường phân giác của mợt góc.
CHỨNG MINH HÌNH VNG
Phương pháp: Sử dụng định nghĩa của hình vuông
- Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau
- Hình vuông là hình thoi có một góc vuông.
CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp 1: Sử dụng định lí về sự liên hệ giữa các cạnh trong một tam
giác.
- Trong một tam giác, độ dài mỗi cạnh nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu của
hai cạnh kia.
- Hệ quả: Mọi đường gấp khúc dài hơn đoạn thẳng có chung hai đầu mút.
- Trong một tam giác vuông, cạnh huyền dài hơn cạnh góc vuông.
Phương pháp 2: Sử dụng liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.
- Trong một tam giác, đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Phương pháp 3: Sử dụng liên hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.
Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta kẻ đường vuông góc và
đường xiên đến đường thẳng thì:
- Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.
- Hai đường xiên có hình chiếu bằng nhau thì bằng nhau và ngược lại.
- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.
CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GÓC
Phương pháp: Sử dụng các bất đẳng thức về góc trong tam giác.
- Trong một tam giác, mỗi góc ngoài đều lớn hơn các góc trong không kề
với nó.
- Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

2. Chú trọng việc rèn cho học sinh kĩ năng tìm lời giải.


Có thể nói rèn luyện giải toán cho học sinh là rèn cho học sinh hai kĩ
năng: Tìm lời giải và trình bày lời giải. Trong đó, kĩ năng tìm lời giải đóng một
vai trò hết sức quan trọng. Một học sinh yếu về khả năng tìm lời giải thì sẽ gặp
khó khăn trong việc giải bài toán. Hơn nữa, muốn tìm được nhiếu cách giải cho
một bài toán thì đòi hỏi khả năng tìm lời giải của học sinh phải thật tốt.
Nhưng tìm lời giải các bài toán bằng phương pháp nào? Có nhiều phương
pháp tìm lời giải của bài toán. Tuy nhiên, để phù hợp với đối tượng học sinh bậc
THCS tôi chỉ trình bày hai phương pháp sau:
2.1. Phương pháp khai thác triệt để các giả thiết của bài toán.
a. Nghiên cứu các đặc điểm của bài toán.
Đặc điểm của bài toán hình học thể hiện ở tính chất của hình, vị trí tương
đối của các đường, dạng của các biểu thức… có trong bài toán.
Ví dụ: : Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung
điểm của BC. Chứng minh rằng: BE = DF. ( Bài tập 44 trang 92/chương I,
Toán 8)

Nhận xét:
ABCD là hình bình hành ta nghĩ ngay đến:
AD = BC, AB = DC;
AD // BC, AB // DC;
�  BCD
�
�
�
DAB
; ABC  ADC
AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC ta nghĩ ngay đến:
AE = ED = BF = FC;
AE hay ED song song với BF hay FC.
và nghĩ đến đường trung bình trong tam giác, trong hình thang.
Từ những điều trên và từ các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng
bằng nhau ta nghĩ đến một số cách giải sau:
Cách 1:


ABCD là hình bình hành nên: AD = BC, AD//BC.
Mà: E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC nên ED = BF và
ED//BF.
Tứ giác DEBF có ED = BF và ED//BF nên là hình bình hành.
Do đó: BE = DF.
Cách 2:

�
�
ABCD là hình bình hành nên: AD = BC, AB = DC (1), DAB  BCD (2)

Vì AD = BC mà E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC nên AE = CF
(3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra:  AEB =  CFD (c-g-c)
Do đó: BE = DF.
Cách 3:
Gọi I là trung điểm của BD, ta có: EI là đường trung bình của  ADB.

1
1
EI  AB

FI  DC
2
2
Nên
và EI // AB. Tương tự ta có:
và FI // DC
Ngoài ra, AB = DC và AB // DC (Do ABCD là hình bình hành) nên EI =
FI và E, I, F thẳng hàng, hay I là trung điểm của EF
Tứ giác DEBF có BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường nên là hình
bình hành. Do đó: BE = DF.
Cách 4:
Tứ giác ABCD là hình bình hành nên:
AD = BC và AB = DC
Suy ra:  ADB =  CBD(c-c-c)
Do đó: BE = DF.
b. Nghiên cứu các điều kiện đặt ra cho các đại lượng có trong bài toán để
định hướng đường lối giải.
Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung
điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và
CE.
a. Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?
b. Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?


(Bài tập 85 trang 109/ chương I- Hình học 8)

Nhận xét:
Dự đoán hình tứ giác ADFE.
Ta thấy đề bài cho hình chữ nhật ABCD như vậy trong tứ giác ADFE có
các góc vuông , và do đó ADFE có thể là hình chữ nhật hoặc hình thang vuông

hoặc hình vuông. Hơn nữa, đề bài cho đẳng thức về độ dài đoạn thẳng (AB =
2AD) nên ta đoán ADFE là hình vuông.
0
�
�
ABCD là hình chữ nhật ta nghĩ đến: DAB  ADC  90 .
E, F lần lượt là trung điểm của AB, DC ta nghĩ đến:
AB = 2AE, DC = 2DF và nghĩ đến đường trung bình của hình thang (Vì
hình chữ nhật cũng là hình thang).
Và từ giả thiết AB = 2AD, dựa vào dấu hiệu nhận biết hình vuông ta có
các cách giải câu a) như sau:
Cách 1:
ABCD là hình chữ nhật(1), nên AB = DC.
Vì E là trung điểm của AB, F là trung điểm của DC nên:

1
1
AE  AB  DC  DF
2
2
Ngoài ra AE // DF (do (1)) nên ADFE là hình bình hành.
1

0
�
Mặt khác: DAE  90 (do(1)) và AD = AE = 2 AB nên ADFE là hình vuông.

Cách 2:
ABCD là hình chữ nhật (1) nên AB = DC, AD = BC, BC // AD.



Vì E là trung điểm của AB, F là trung điểm của DC nên EF là đường
trung bình của hình thang ABCD ( BC // AD).
1
1
EF = 2 (AD+BC) = 2 .2AD = AD.
1
1
Ta có: EF = AD = AE = 2 AB = 2 DC = DF nên ABFE là hình thoi.
0
�
Mặt khác: DAE  90 ( do (1) ) nên ADFE là hình vuông.

Cách 3:
ABCD là hình chữ nhật (1), nên BC // AD, AD  AB, AD  DC.
Vì E là trung điểm của AB, F là trung điểm của DC nên EF là đường
trung bình của hình thang ABCD (BC // AD). Do đó: EF // AD.
0
�
�
�
Suy ra: EF  AB. Tứ giác ADFE có DAB  ADC  AEE  90 nên là
hình chữ nhật.
1
Mặt khác: AD = AE = 2 AB nên ADFE là hình vuông.

2.2. Phương pháp phân tích.
Theo phương pháp này, chúng ta bắt đầu từ kết luận của bài toán, tìm các
điều kiện cần phải có để dẫn tới kết luận đó.
Ví dụ: Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,

BC, CD, DA. Tứ giác EEGH là hình gì? Vì sao?.
(Bài tập 48 trang 93, chương I – Hình học 8)


Phân tích:
Bằng trực giác ta dự đoán tứ giác EEGH là hình bình hành.
1. Muốn có EFGH là hình bình hành, thì phải có một trong các điều kiện dưới
đây:
a. HF // GF và EH // HG;
b. HE = GF và EF = HG;
c. HE // GF và HE = GF hoặc EF // HG và EF = HG;
�
�
�
�
d. HEF  FHG và GHE  EEG
e. EG cắt HF tại trung điểm I của mỗi đường.
2. Nếu lấy c, của 1) để có HE // GF và HE // GF chẳng hạn thì phải có một trong
các điều kiện sau:
a. HE và GF cùng song song và bằng một đoạn thẳng nào đó ( có thể là HE //
BD,
1
1
GF // BD và HE = 2 BD, GF = 2 BD).

b. HE và GF tạo với một đường thẳng nào đó một cặp góc so le trong bằng nhau
hoặc cặp góc đồng vị bằng nhau,…
HE và GF là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau nào đó.
1
1

3. Nếu lấy a) của 2, để có HE // BD, GF // BD và HE = 2 BD, GF = 2 BD thì

cần có HE là đường trung bình của  ABD, GF là đường trung bình của  CBD.
4. Muốn có HE là đường trung bình của  ABD, GF là đường trung bình của 
CBD thì cần phải có E,F,G,H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Đến đây ta thấy điều ta cần có thì trong đề bài đã cho. Như vậy ta đã tìm ra
được một đường lối để giải bài toán.
Phần phân tích như trên ta có thể hướng dẫn học sinh ghi lại bằng sơ đồ như
sau:


EFGH là hình bình hành
EH // GF

EH = GF

HE // BD ; GF//BD;

1
HE = 2 BD;

1
GF = 2 BD

HE là đường trung bình của  ADB
CDB

GF là đường trung bình của 

E, H lần lượt là trung điểm của AB, DA.

DC

F, G lần lượt là trung điểm của BC,

Khi phân tích ta thấy có rất nhiều lựa chọn. Không phải lựa chọn nào
cũng giúp ta tìm ra lời giải, nhưng rõ ràng với phương pháp phân tích này ta có
thể tìm được rất nhiều lời giải cho một bài toán.
Với bài toán trên ta còn có một số hướng giải như sau:
Tứ giáo ABCDC có
E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA

HE là đường trung
trung
bình của  ABD
ADC

HE // BD

GF là đường trung

EF là đường trung

HG là đường

bình của  CBD

bình của  ABC

bình của 


GF // BD

FE // AC

HE // GF ;

FE // HG

EFGH là hình bình hành

HG // AC


Trong giảng dạy, tuỳ theo từng bài tập, từng định lí mà tôi hướng dẫn học
sinh tìm lời giải theo một phương pháp thích hợp.
3. Dạy học sinh giải bài tập hình học bằng nhiều cách “sát đối tượng”
Tôi chia việc giải bài tập bằng nhiếu cách làm hai hình thức:
Hình thức chủ động, tức là học sinh vận dụng vốn kiến thức của mình chủ
động đi tìm nhiều lời giải cho bài toán.
Hình thức thụ động, tức là học sinh rèn luyện trình bày nhiều cách giải
một bài toán mà trước đó giáo viên đã chỉ ra các đường lối giải.
Trong giảng dạy, tuỳ theo đối tượng học sinh mà tôi có những yêu cầu
khác nhau đối với các em.
- Đối với đối tượng học sinh chưa khá, tôi chỉ yêu cầu học sinh giải ở hình
thức thụ động. Giáo viên chuẩn bị sẵn các bảng phụ, trong đó nêu tóm tắt các
cách giải một bài toán và yêu cầu học sinh viết nhanh vào vở nháp để về trình
bày lại vào vở bài tập.
- Đối với học sinh khá giỏi, tôi khuyến khích các em chủ động tìm thêm
những lời giải khác nhau khi giải một bài toán nào đó.
Với thời gian chỉ 45 phút trên lớp, thì không thể nào vừa giải quyết hết

lượng bài tập yêu cầu, mà còn giải bằng nhiều cách. Theo tôi thì giáo viên nên
hướng dẫn học sinh phân tích bài toán và ghi lời giải cụ thể cho một phương
pháp( cách mà giáo viên dự tính là học sinh sẽ phát hiện ra sớm nhất), còn các
cách khác giáo viên sẽ gợi ý cho học sinh để học sinh tự phát hiện ra, và dĩ nhiên
những điều này giáo viên đã chuẩn bị ở bảng phụ, ghi sẵn sơ đồ phân tích đi lên
kèm theoo một vài ý chính của phương pháp đó. Sau đó yêu cầu học sinh có thể
ghi vắn tắt vào giấy nháp rồi về nhà trình bày lại các cách đó với lời giải cụ thể
vào vở bài tập.
Ngoài ra, tôi tôi luôn tìm những bài toán tương đối dễ, những bài mà học
sinh chưa khá có thể tự tìm thêm được những lời giải khác để khuyến khích các
em, giupa học sinh tự tin hơn khi làm quen với phương pháp giải bài tập hình
học bằng nhiều cách.
4. Dạy học sinh cách trình bày lời giải ( tổng hợp ) theo sơ đồ phần tích đi
lên.
Để trình bày lời giải của bài toán sau khi đã tìm được hướng đi đối với
học sinh là một vấn đề khó. Nhiều học sinh hiểu được bài nhưng không biết
trình bày bài toán như thế nào? Nhiệm vụ của giáo viên là giúp các em biết cách
trình bày lại lời giải của bài toán sao cho khoa học, súc tích, ngắn gọn. Từ kinh
nghiệm giảng dạy, tôi thấy giáo viên nên tập cho học sinh trong quá trình phân
tích bài toán tìm hướng đi, nên khi giải dưới dạng sơ đồ phân tích đi lên, sau khi


tìm được đường đi đến kết quả học sinh chỉ việc dựa vào sơ đồ trình bày lại bài
toán.
Giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào sơ đồ đó để trình bày lời giải. Ta
có thể dùng các từ: vì, nên, do đó, mặt khác, mà, suy ra, … thay thế cho các dấu
mũi tên, một cách thích hợp để kết hợp các ý đã phân tích từ dưới lên, viết thành
lời giải hoàn chỉnh.
Ví dụ: Qua sơ đồ phân tích tìm lời giải của bài 48 trang 93.
EFGH là hình bình hành


EH // GF

HE // BD ; GF//BD;

EH = GF

1
HE = 2 BD;

HE là đường trung bình của  ADB

1
GF = 2 BD

GF là đường trung bình của 

CDB
E, H lần lượt là trung điểm của AB, DA.
DC

F, G lần lượt là trung điểm của BC,

Ta có thể trình bày lời giải bài toán này như sau:
Ta có: E, H lần lượt là trung điểm của AB, DA
nên HE là đường trung bình của tam giác ADB.
1
Suy ra: HE // BD; HE = 2 BD (1)
1
Tương tự ta có: GF // BD; GF = 2 BD (2)


Từ (1) và (2), suy ra: HE // GF; HE = GF.
Vậy EFGH là hình bình hành.


Sau một thời gian, khi đã rèn cho các em có kĩ năng dựa vào sơ đồ phân
tích đi lên để trình bày bài toán thì giáo viên chỉ cần định hướng cho các em tự
phân tích bài toán theo nhóm, giáo viên kiểm tra lại và cho các em nhận xét rồi
yêu cầu học sinh tự trình bày lời giải.
5. Kiểm tra việc thực hiện những công việc giáo viên đã giao cho học sinh.
Thường xuyên kiểm tra vở bài tập của học sinh, vở ghi chép các phương
pháp chứng minh hình học để xem học sing có ghi chép, trình bày những cách
giải mà giáo viên đã hướng dẫn ở lớp (đối với học sinh chưa khá), và kiểm tra
việc tìm thêm những hướng giải khác (đối với học sinh khá giỏi).


PHẦN III: KẾT LUẬN.
1. Kết quả.
Sau khi thực hiện đề tài này, tôi thấy nhiều em ưa thích học môn hình học
hơn trước. Trước đây tâm lí của các em có lẽ là sợ môn hình học, hay học hình
học chỉ để đối phó với thầy cô và nhất là các em rất e ngại khi học tiết luyện tập
giải bài tập hình, thì nay có thể các em tự tin hơn, ham thích học hình học hơn
và có sự tiến bộ hơn rất nhiều.
Kết quả kiểm tra 1 tiết cuối chương I – Hình học 8 đạt được như sau:
Xếp loại

Số lượng

Tỉ lệ


Giỏi

12

10%

Khá

25

22%

Trung bình

50

44%

Yếu

19

17%

Kém

8

7%


Tổng cộng

114

100%

Như vậy, đã có 87/114 học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên, chiếm tỉ
lệ 76.3% . So với đầu năm thì chỉ có 69/114 học sinh đạt từ trung bình trở lên,
chiếm tỉ lệ 60.5%, kết quả này làm tôi rất phấn khởi.
2. Bài học kinh nghiệm.
Qua những tiết học dạy cho học sinh theo từng bước giải bài tập hình học
như trên, tôi thấy số học sinh tham gia xây dựng bài cho các tiết luyện tập hình
học ngày càng nhiều, các em đã mạnh dạn trình bày suy nghĩ của mình khi tìm
cách giải bài toán. Từ những tiết học trên lớp có thêm sự hướng dẫ của giáo viên
khi về nhà các em có thể tự tìm ra cách chứng minh những bài tập dễ tuỳ theo
khả năng của các em, không còn thụ động như trước nữa.
Hơn nữa tôi nhận thấy, sau khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy thì một
học rất hứng thú, say mê học hình học hơn trước, vì với nhiều cách giải áp dụng
lí thuyết từ cơ bản đến nâng cao, từ cái vừa mới học đến những kiến thức từ
trước đây sẽ giúp cho các em có cơ hội sẽ giúp ch các em có cơ hội để ôn lại
kiến thức cũ rất nhiều. Giải bài tập bằng nhiều cách sẽ đáp ứng cho nhiều đối
tượng học sinh, học sinh chưa khá thì thích thú vì mình hiểu được bài và làm
được bài tập, còn học sinh khá giỏi thì không bị nhàm chán, vì qua đó các em có
điều kiện để ôn luyện lại kiến thức cũ và phát hiện ra có nhiều phương pháp, áp
dụng những kiến thức nào để giải bài tập đó. Sau đó, các em sẽ có được kinh
nghiệm giải bài tập qua việc cập nhật các phương pháp giải các dạng toán hình
học bằng nhiếu cách hằng ngày trên lớp.


Và một lần nữa tôi muốn nói rằng, việc giải bài tập hình học bằng nhiếu cách

thật là có lợi.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân về Dạy học sinh giải một số
bài tập chương I – Hình học 8 bằng nhiều cách. Qua việc tham khảo tài liệu và
các tiết dạy trên lớp trong quá trình giảng dạy, chắc chắn là còn nhiều thiếu sót.
Rất mong được sự giúp đỡ, góp ý của đồng nghiệp và hội đồng khoa học
nghành để tôi có thêm được nhiều kinh nghiệm hơn và làm tốt hơn trong công
tác giảng dạy của mình.
Xin chân thành cảm ơn!