Cơ học kết cấu: Chương 1 - Tấm mỏng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (106.62 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG 1

TẤM MỎNG

1. Tấm

Vỏ tàu thủy, máy bay, thân ô tô, các phương tiện giao thông khác thông
thường thuộc kết cấu vỏ, gia cường bằng các nẹp dọc, các nẹp ngang. Vì rằng độ cứng
các nẹp gia cường lớn hơn độ cứng các tấm, trong thực tế thường thấy các tấm tựa lên
các nẹp gia cường lúc làm việc. Trong một số trường hợp mép tấm có thể bị ngàm bởi
các kết cấu kiên cố.

Tấm trong thành phần vỏ tàu thủy, máy bay, ô tô chịu tải trọng trong mặt
phẳng tấm, trong trạng thái biến dạng phẳng hoặc ứng suất phẳng. Đó là trường hợp ở
các tấm sàn, tấm boong không chứa hàng tàu bay, ô tô, tàu thủy, là các vách, các sườn
khỏe tàu dầu vv... Trong những trường hợp khác tấm chịu tác động tải trọng theo
phương pháp tuyến gây uốn tấm. Tấm làm việc trong điều kiện kể sau thường gặp ở
tấm sàn, tấm đáy ngoài, tấm đáy trong tàu, sàn, boong chứa hàng, thành các két nước,
két dầu vv... trên các phương tiện vận tải.

θ θ

Tấm mỏng

Chuyển vị

x
x

z
z

y
y

u
v

w
x
v

p
O

Hình 1.1

Tấm mỏng được xét trong hệ tọa độ 0xyz, trục 0z vng góc với mặt trung hòa
của tấm, còn mặt 0xy song song với mặt phẳng của tấm. Những giả thiết dùng cho tấm
mỏng gọi là giả thiết Kirchhoff1 áp dụng cho tấm mỏng2:

1 Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1. Độ võng của tấm bị uốn w theo hướng trục 0z phân bố đều theo chiều dầy
tấm và là đại lượng nhỏ.

2. Chuyển vị u,v trong mặt x0y hết sức nhỏ nếu so với w.

3. Pháp tuyến mặt trung hòa tấm trước khi tấm bị biến dạng vẫn giữ ngun tư
thế vng góc với mặt trung hòa sau biến dạng. Chiều dài các đoạn thẳng vng góc
với mặt trung hịa, đi qua tấm, khơng thay đổi kích thước kể cả sau khi chịu tải trọng.

Từ lý thuyết đàn hồi, chúng ta nhận được quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị
bài toán phẳng dạng sau, được dùng cho tấm:

⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫

∂
∂
+
∂
∂
=

∂
∂
=

x
y
u

y
x
u

xy
y
x

v
v

γ
ε
ε

(1)

Các giả thiết Kirchhoff nêu trên cho phép diễn đạt phương trình chuyển vị

trong tấm u, v theo chuyển vị w và góc xoay

y
w
x

w

y
x

∂
∂
−
=
∂

∂
−

= θ

θ ; mặt trung

hòa theo cách sau:

x
x

z
y

zθ

Hình 1.2

⎭
⎬
⎫
×
=

×
=

y
x
z
z
u

θ
θ

v (2)

Thay biểu thức tính u, v từ (2) vào (1) chúng ta nhận được các biểu thức tính
biến dạng trong tấm. Từ giả thiết đảm bảo độ vng góc của pháp tuyến sau biến
dạng, các biểu thức γxz = γyz = 0, còn biến dạng εz = 0 và như vậy biến dạng tấm

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟⎟
⎠
⎞

⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
×
=
∂
∂
×
=
∂
∂
×
=
x
y
z
y
z
x
z
y
x
xy
y
y

x
x
θ
θ
γ
θ
ε
θ
ε
(3)

Nếu ký hiệu

x
y
y
x
y
x
xy
y
y
x
x ∂
∂
=
∂
∂
−
=

∂
∂
=
∂
∂
= θ κ θ κ θ θ

κ ; ; , phương trình (3)

trở thành:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
×
=
×
=
×
=
xy
xy
y
y
x
x
z
z
z

κ
γ
κ
ε
κ
ε
2
(3a)

Thay thế w

y
w
x y
x ∂
∂
−
=
∂
∂
−
= θ

θ ; vào (3) có thể thấy:

⎪
⎪
⎪
⎭
⎪

⎪
⎪
⎬
⎫
∂
∂
∂
×
−
=
∂
∂
×
−
=
∂
∂
×
−
=
y
x
w
z
y
w
z
x
w
z

xy
y
x
2
2
2
2
2
2
γ
ε
ε
(4)

Quan hệ biến dạng – ứng suất thể hiện tại định luật Hooke, trường hợp đang
xem xét có dạng:

(

)

⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥

⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
E
τ
σ

σ
υ
υ
υ
γ
ε
ε
1
2
0
0
0
1
0
1

1 (5)

Từ đó có thể tính vec tơ ứng suất trong trạng thái ứng suất phẳng:

⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
xy
y
x
xy
y
x
E

γ
ε
ε
υ
υ
υ
τ
σ
σ
υ
2
1
2
0
0
0
1
0
1

1 (6)

Trong nghiên cứu tấm mỏng, thay vì xem xét ứng suất σx, σy, τxy người ta

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

∫

−

=
=

2
/

2
/
2

2
/

;
;

;

t
t

xy
xy

t
t

y
y

t
t

x

x dz N dz N dz

N σ σ τ

Trường hợp trạng thái ứng suất phẳng quan hệ giữa hợp lực và biến dạng
tương tự phương trình trong định luật Hooke:

vaø

⎪
⎭

⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢

⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨

⎧

−

xy
y
x
xy

y
x

Et
N

N
N

γ
ε
ε
υ

υ υ

2
1
2

0
0

0
1

1 (7)

hoặc tính ngược lại:

⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤

⎢

⎢
⎢
⎣
⎡

+
−

−
=

⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

xy
y
x
xy

y

x

N
N
N
Et

)
1
(
2
0
0

0
1

υ
υ

υ
γ

ε
ε

(8)
Ứng suất và hợp lực trong phần tử tấm diễn tả tại hình tiếp theo.

Momen và lực

σ

τ

σ

τ

σ

τ

τ

σ

z

y

x

y

x

O

q

M

xy xy

xy xy
y

xz
xz

x
x

Hình 1.3
Momen uốn, momen xoắn và lực cắt liên quan ứng suất vừa trình bày được
biết dưới dạng:

Momen uốn, momen xoắn

∫

− ⎪

⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭

⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

t

zdz
M

M
M

xy
y
x
xy

y
x

τ
σ
σ

(9)

q ⎫ t ⎧ ⎫

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Thay thế các biểu thức tính ứng suất từ (6) vào biểu thức (9) có thể thấy rằng:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
xy
y
x
xy
y
x
Et
M
M
M
κ
κ
κ
υ
υ
υ υ
2

1
2
3
0
0
0
1
0
1
)
1
(

12 (11)

Đại lượng
)
1
(
12 2
3
υ
−
= Et

D trong cơng thức cuối có tên gọi độ cứng tấm.
Trường hợp biểu diễn các hệ số κx, κy, κxy trong quan hệ với w:

y
x

w
y
y
w
y
x
w
x
x
xy
y
y
x

x ∂ ∂

∂
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
=

∂
∂
−
=
∂
∂

= θ 22 ; κ θ 22 ; κ θ 2 2

κ quan hệ (11) được

hiểu theo cách khác như sau:

(

)

⎪⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∂

∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
y
x
w
x

w
y
w
y
w
x
w
Et
M
M
M
xy
y
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
)
1
(
12

υ
υ
υ

υ (11a)

Từ phương trình (11) có thể viết:

⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−

−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
M
M
M
Et
)
1
(
2
0
0
0
1

0
1
12
3
υ
υ
υ
κ
κ
κ
(12)

Thay thế các hệ số từ (12) vào phương trình (3a) và tiếp đó thay kết quả
vừa nhận được vào (6) sẽ nhận được biểu thức tính ứng suất của tấm trong
trạng thái ứng suất phẳng:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

( )

∑

∞

Φ
=
⎥⎦

⎤
⎢⎣

⎡ − +

2
4

2
''

2
)

( ,

sin
)
(
1

)
(
2

)
(

m

m
m

m m f m f m

f

α
η
ξ
πξ
η

π
α
η
π

α
β

η (q)

Hàm Airy có thể xác lập dưới dạng chuỗi lượng giác:

∑

∞

Φ
=

sin
)
(
)

,
(

m

m η mπξ

ξ (r )

trong đó (η) 2

( )

ξ,η sinmπξdξ (s)

∫

=
Φ

Thay (r ) vào (q) và cân bằng các hệ số trong phương trình lượng giác, sẽ nhận
được phương trình vi phân tiếp theo, cần thiết cho xác định fm(η).

( )

2
2

''
2
)

( ,

)
(
1

)
(
2

)
(

α
η
ξ
η

π
α
η
π

α
β

η − m + m = Φ

m m f m f

f (t)

Phương trình chung trên đây chứa bốn hằng số tích phân. Các hằng số này chỉ
được xác định theo điều kiện biên, ví dụ trên η = const. Điều kiện biên dạng này
không hạn chế.

Một trong các cách giải có thể như sau. Viết hàm (t) dưới dạng:

( )

∑

= 4

)
(

s
k
s
r

m
m

s
e
C
f

f η η (a*)

trong đó (r) - nghiệm riêng của phương trình vi phân,
m

f

Cs - hằng số tích phân, ks - nghiệm phương trình đặc trưng.

Phương trình đặc trưng có dạng:

( )

2 2 2 2 4

4 − + π =

α
π

α
β

m
k

m

k (b*)

Nghiệm phương trình đặc trưng sẽ là:

1
1
1

β
α

π ± −

±
= m

ks (c *)

Hàm fm(η) phụ thuộc vào dấu của biểu thức trong căn bậc hai biểu thức cuối.

Neáu 12 >1

β , điều này đúng cho vật liệu đẳng hướng, dấu của biểu thức dưới dấu căn

sẽ âm, và như vậy nghiệm thu được sẽ là nghiệm phức. Trong trường hợp này, tích
phân tổng qt có thể mang dạng:

( )

η mcosh πδηcos πϖη msinh πδηsin πϖη

m A m m B m m

f = + +

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

trong đó: 1 1 ;
2

1
;

1
1
2

⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛

−
=

⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛

+
=

β
α

β
ϖ
β

δ (e*)

Với 12 =1

β , nghiệm phương trình sẽ là số thực cịn α
π

m

ks =± và hàm fm(η)

sẽ bằng:

)
(
sinh

sinh

cosh
cosh

)
(

)

( η

η
α

π
η

α
π
η

α
π

η
α

π
η

α
π
η

r
m

m

m
m

m

f
m

m
D
m

C

m
m

B
m

A
f

+
+

(f*)

Với vật liệu đẳng hướng có thể viết: β = 1; α = γ2, hàm fm(η) tìm dưới dạng:

)
(
sinh

sinh

cosh
cosh

)
(

)

( η

η
γ

π
η

γ
π
η

γ
π

η
γ

π
η

γ
π
η

r
m
m

m

m
m

m

f
m

m
D
m

C

m
m

B
m

A
f

+
+

(g*)

Trường hợp còn lại 12 <1

β , nghiệm sẽ là số thực còn hàm fm(η) mang dạng:

)
(
sinh

cosh

sinh
cosh

)
(

)
(
2
2

1
1

η
η

πδ
η

πδ

η
πδ
η

πδ
η

r
m
m

m

m
m

m

f
m

D
m

C

m

B

m
A

f

+
+

(h*)

trong đó:

2
2

2
1

1
1
1
;

1
1
1

β
α

β
δ

β
α

δ = + − = − − (i*)

</div>

Cơ học kết cấu: Chương 1 - Tấm mỏng

<b>TẤM MỎNG </b>

Tấm mỏng

Chuyển vị

(

)

∫

∫

∫

σ

τ

σ

τ

τ

τ

τ

σ

τ

τ

<sub>τ</sub>

σ

z

y

x

y

x

O

q

q

M

M

M

M

<sub>∫</sub>

(

)

( )

( )

( )

∑

∑

( )

∫

( )

( )

( )

( )

<sub>∑</sub>

( )

( )

( )

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về