<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>I - Lý thuyết:</b>

<b>1 - Định lí Vi-et cho phơng trình bậc hai.</b>

Nếu phơng trình : ax2_{+ bx + c = 0 (a  0) cã hai nghiƯm x}

1; x2 th×

1 2

1 2

b

x

x

a

c

x .x

a

ìïï +

=-ïïï

íï

ï

₌

ïïïỵ

<b>2 - Định lí Vi-et cho phơng trình bậc ba.</b>

Nếu phơng tr×nh: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0 (a  0) cã ba nghiÖm x}

1; x2 ;x3 th×

1 2 3

1 2 2 3 3 1

1 2 3

b

x

x

x

a

c

x .x

x .x

x .x

a

d

x .x .x

a

ìïï + +

=-ïï

ïï

ïï

₊

₊

₌

íï

ïï

ïï



=-ïïïỵ

<b>3 - Tam thøc bËc hai.</b>

Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2_{+ bx + c = 0 (a  0) vµ hai sè thùc  , .}

a) x1 <  < x2  a.f() < 0.

b) x1 < x2 <  

0

a.f( )

0

S

2

ì D >

ïï

ïï

a >

ïí

ïï

ï <a

ïïỵ

c)  < x1 < x2 

0

a.f( )

0

S

2

ì D >

ïï

ïï

a >

ïí

ïï

ï >a

ïïỵ

d)  < x1 <  < x2 

a.f( )

0

a.f( )

0

ì

a >

ïï

íï

b <

ïỵ

e) x1 <  < x2 <  

a.f( )

0

a.f( )

0

ì

a <

ïï

íï

b >

ïỵ

f)

1 2

1 2

x

x

x

x

éa < <b<

ê

ê <a < <b

ë

_{ f().f() < 0.}

g)  < x1 < x2 <  

0

a.f( )

0

a.f( )

0

S

2

ì D >

ïï

ïï

_{a >}

ïïï

í

b >

ïï

ïï a < <b

ïïïỵ

<b>4 - TÝnh chÊt cña cÊp sè céng.</b>

a) Cho cấp số cộng (un) với cơng sai d. Khi đó ta có

n k n k

k

u

u

u

2

-

+

+

=

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b) Cho x1; x2; x3 khi đó ta có x1 + x3 = 2x2.

<b>5 - TÝnh chÊt cña cÊp sè nh©n.</b>

a) Cho cấp số nhân (un) với cơng bội q. Khi đó ta có

2

n k n k k

u

_-

.u

₊

=

u

.
b) Cho cấp số nhân x1; x2 ; x3 khi đó ta có x1.x3 = x22.

<b>6 - Cực trị của hàm số bậc ba.</b>

Cho hàm số bËc ba y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a 0).}

a) Hàm số không có cực trị Phơng trình f(x) = 0 vô ngiƯm hc cã nghiƯm kÐp.

b) Hàm số có cực trị (Gồm 1 cực đại và 1 cực tiểu)  Phơng trình f’(x) = 0 có hai nghiệm
phân biệt.

<b>7 - Tính cực trị của hàm số bậc ba.</b>

Cho hàm số bËc ba y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a  0).}

a) Nếu phơng trình f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 (x1 là hoành độ điểm cực đại; x2 là

hoành độ điểm cực tiểu) thì
yCĐ = f(x1).

yCT = f(x2).

b) Phơng trình f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 (x1 là hoành độ điểm cực đại; x2 là

hoành độ điểm cực tiểu). Lấy f(x) chia cho f’(x) ta phân tích đợc nh sau.
f(x) = q(x).f’(x) + x + .

Khi đó yCĐ = .x1 + .

yCT = .x2 + .

<b>8) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba.</b>

Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
<b>9</b>) Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba.

a > 0 a < 0

f’(x) = 0
cã hai
nghiƯm
ph©n biƯt

f’(x) = 0
cã
nghiƯm
kÐp

f’(x) = 0
v«
nghiƯm

<b>10 - Tơng giao của hai đồ thị:</b>

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), hàm số y = g(x) có đồ thị (C ’).
<b>x</b>

<b>O</b>

<b>y</b>

<b>x</b>

<b>O</b>

<b>y</b>

<b>x</b>

<b>O</b>

<b>y</b>

<b>x</b>

<b>O</b>

<b>y</b>

<b>x</b>

<b>O</b>

<b>y</b>

<b>x</b>

<b>O</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

a) Đồ thị (C) tiếp xúc với đồ thị (C ’) khi hệ phơng trình sau có nghiệm.

f(x)

g(x)

f '(x)

g'(x)

ì

=

ïï

íï

=

ïỵ

b) Số giao điểm của hai đồ thị (C) và (C ’) bằng số nghiệm của phơng trình
f(x) = g(x).

<b>II - Bài toán:</b>

<b>A - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.</b>

<b>Bi toán 1:</b> Cho (C m): y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a  0) . Tìm m để (}C_{m) cắt trục Ox ti}

ba điểm phân biệt.
<b>HD:</b>

<b>Cỏch 1:</b> (Nu phng trỡnh honh giao im nhm c nghim)

Bài toán Phơng trình: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt.}

Chuyển về giải bài toán phơng tr×nh bËc hai.

<b>Cách 2:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao im khụng nhm c nghim)

Bài toán CĐ CT

f'(x)=0 co' 2 nghiƯm ph©n biƯt

y

.y

0

ìïï

íï

<

ïỵ

<b>Cách 3:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm chuyển đợc tham số m sang một vế).
Phơng trình hồnh độ giao điểm tơng đơng với phơng trình: g(x) = h(m).

Bài tốn trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại ba điểm
phân biệt.

<b>Bài toán 2: </b>Cho (C m): y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a  0) . Tìm m để (}C_{m) cắt trục Ox tại}

ba điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 ;x3 thoả mãn  < x1< x2 < x3 .

<b>HD:</b>

<b>Cách 1:</b> (Nếu phng trỡnh honh giao im nhm c nghim)

Bài toán Phơng trình: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0 cã 3 nghiƯm ph©n biƯt x}

1; x2 ;x3 tho¶ m·n

 < x1< x2 < x3.

Chun về giải bài toán theo tam thức bậc hai bậc hai.

<b>Cách 2:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm khơng nhm c nghim)

Bài toán

CĐ CT

f'(x)=0 co' 2 nghiệm phân biệt lớn hơn

y

.y

0

a.f( )

0

ì

a

ïï

ïï

_<

íï

ïï

a <

ïỵ

<b>Cách 3:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm chuyển đợc tham số m sang một vế)
Phơng trình hồnh độ giao điểm tơng đơng với phơng trình: g(x) = h(m).

Bài tốn trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại ba điểm
phân biệt có hồnh độ x1; x2 ;x3 thoả mãn  < x1< x2 < x3 .

<b>Bài toán 3:</b> Cho (C m): y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a  0) . Tìm m để (}C_{m) cắt trục Ox tại}

ba điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1<  < x2 < x3 .

<b>HD:</b>

<b>Cách 1:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm nhẩm đợc nghiệm)

Bµi toán Phơng trình: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0 cã 3 nghiƯm ph©n biƯt x}

1; x2 ;x3 tho¶ m·n

x1<  < x2 < x3 .

Chuyển về giải bài toán theo tam thức bậc hai bËc hai.

<b>Cách 2:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm khụng nhm c nghim)

Bài toán

CĐ CT

f'(x)=0 co' 2 nghiƯm ph©n biƯt, nghiƯm lín nhÊt lín h¬n

y

.y

0

a.f( )

0

ì

a

ïï

ïï

_<

íï

ïï

a >

ïỵ

<b>Cách 3:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm chuyển đợc tham số m sang một vế)
Phơng trình hồnh độ giao điểm tơng đơng với phơng trình: g(x) = h(m).

Bài tốn trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại ba điểm
phân biệt có hồnh độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1<  < x2 < x3 .

<b>Bài toán 4: </b>Cho (C m): y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a  0) . Tìm m để (}C_{m) cắt trục Ox tại}

ba điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< x2 <  < x3 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Cách 1:</b> (Nếu phơng trỡnh honh giao im nhm c nghim)

Bài toán Phơng trình: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0 cã 3 nghiƯm ph©n biƯt x}

1; x2 ;x3 tho¶ m·n

x1< x2 <  < x3 .

Chun vỊ giải bài toán theo tam thức bậc hai bậc hai.

<b>Cỏch 2:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm khơng nhẩm c nghim)

Bài toán

CĐ CT

f'(x)=0 co' 2 nghiƯm ph©n biƯt, nghiƯm nhá nhÊt nhá hơn

y

.y

0

a.f( )

0

ỡ

a

ùù

ùù

_<

ớù

ùù

a <

ùợ

<b>Cỏch 3:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm chuyển đợc tham số m sang một vế)
Phơng trình hồnh độ giao điểm tơng đơng với phơng trình: g(x) = h(m).

Bài tốn trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại ba điểm
phân biệt có hồnh độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< x2 <  < x3 .

<b>Bài toán 5:</b> Cho (C m): y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a  0) . Tìm m để (}C_{m) cắt trục Ox tại}

ba điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< x2 < x3<  .

<b>HD:</b>

<b>Cách 1:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm nhẩm c nghim)

Bài toán Phơng trình: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0 cã 3 nghiƯm ph©n biƯt x}

1; x2 ;x3 tho¶ m·n

x1< x2 < x3 < .

Chuyển về giải bài toán theo tam thøc bËc hai bËc hai.

<b>Cách 2:</b> (Nếu phơng trình hồnh giao im khụng nhm c nghim)

Bài toán

CĐ CT

f'(x)=0 co' 2 nghiƯm ph©n biƯt nhá h¬n

y

.y

0

a.f( )

0

ì

a

ïï

ïï

_<

íï

ïï

a >

ïỵ

<b>Cách 3:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm chuyển đợc tham số m sang một vế)
Phơng trình hồnh độ giao điểm tơng đơng với phơng trình: g(x) = h(m).

Bài tốn trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại ba điểm
phân biệt có hồnh độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< x2 < x3<  .

<b>Bài toán 6: :</b> Cho (C m): y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a  0) . Tìm m để (}C_{m) cắt trục Ox}

tại ba điểm phân biệt có hồnh lp thnh mt cp s cng.
<b>HD :</b>

<b>Cách 1:</b>

Bài toán

f '(x)

0 co' hai nghiệm phân biệt

Điểm uốn I thuộc trục Ox

ỡ

=

ùù

ớù

ùợ

<b>Cách 2:</b>

Phng trỡnh honh giao điểm: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0.}

Điều kiện cần: Giả sử phơng trình hồnh độ giao điểm có ba nghiệm phân biệt x1; x2 ;x3 lp

thành một cấp số cộng.

áp dụng Định lí Vi-Ðt vµ tÝnh chÊt cđa cÊp sè céng ta cã.

1 2 3

1 3 2

b

x

x

x

a

x

x

2.x

ìïï + +

=-ïí

ïï

₊

₌

ùợ

_{ x}₂_{= ? thay vào phơng trình hồnh độ giao điểm ta đợc m = ?}
Điều kiện đủ: Với m tìm đợc thay vào phơng trình hồnh độ giao điểm . Nếu phơng trình có
ba nghiệm phân biệt thì giá trị m tìm đợc thoả mãn bài toán.

KÕt luËn:

<b>Bài toán 7:</b> Cho (C m): y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a  0) . Tìm m để (}C_{m) cắt trục Ox tại}

ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành một cấp số nhân.
<b>HD :</b>

Phơng trình hồnh độ giao điểm: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0.}

Điều kiện cần: Giả sử phơng trình hồnh độ giao điểm có ba nghiệm phân bit x1; x2 ;x3 lp

thành một cấp số nhân.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

1 2 3

2

1 3 2

d

x .x .x

a

x .x

x

ìïï

=-ïïí

ïï

₌

ùùợ

_{ x}₂_{= ? thay vào phơng trình hồnh độ giao điểm ta đợc m = ?}

Điều kiện đủ: Với m tìm đợc thay vào phơng trình hồnh độ giao điểm . Nếu phơng trình có
ba nghiệm phân biệt khác 0 thì giá trị m tìm đợc thoả mãn bài tốn.

KÕt ln:

<b>B - §å thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại hai ®iĨm ph©n biƯt.</b>

<b>Bài tốn 8:</b> Cho (C m): y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a  0) . Tìm m để (}C_{m) ct trc Ox ti}

hai điểm phân biệt.
<b>HD:</b>

<b>Cỏch 1:</b> (Nu phng trỡnh honh giao im nhm c nghim)

Bài toán Phơng trình: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0 cã 2 nghiƯm ph©n biƯt.}

<b>Cách 2:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm khơng nhẩm đợc nghim)

Bài toán trở thành tìm m sao cho

'( ) 0

.

0

<i>C</i> <i>CT</i>

<i>f x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>











§

cã 2 nghiƯm ph©n biƯt

<b>Cách 3:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm chuyển đợc tham số m sang một vế).
Phơng trình hồnh độ giao điểm tơng đơng với phơng trình: g(x) = h(m).

Bài tốn trở thành tìm m sao cho đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại hai
điểm phân biệt.

<b>Bài toán 9:</b> Cho (C m): y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a  0) . Tìm m để (}C_{m) cắt trục Ox tại}

hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 thoả mãn  < x1< x2 .

<b>HD:</b>

<b>Cách 1:</b> (Nếu phơng trỡnh honh giao im nhm c nghim).

Bài toán Phơng trình: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0 có 2 nghiệm phân biệt x}

1; x2 thoả mÃn <

x1< x2 .

Chuyển về giải bài toán theo tam thøc bËc hai bËc hai.

<b>Cách 2:</b> (Nếu phơng trỡnh honh giao im khụng nhm c nghim)

Bài toán trở thành tìm m sao cho

'( ) 0

.

0

. ( ) 0

<i>CT</i>

<i>f x</i>

<i>y</i>

<i>a f</i>

















_



C

y

_Đ

có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn

<b>Cỏch 3:</b> (Nu phơng trình hồnh độ giao điểm chuyển đợc tham số m sang một vế)
Phơng trình hồnh độ giao điểm tơng đơng với phơng trình: g(x) = h(m).

Bài tốn trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại hai điểm
phân biệt có hồnh độ x1; x2 thoả mãn  < x1< x2 .

<b>Bài toán 10:</b> Cho (C m): y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a  0) . Tìm m để (}C_{m) cắt trục Ox}

tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 thoả mãn x1<  < x2 .

<b>HD:</b>

<b>Cách 1:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao im nhm c nghim)

Bài toán Phơng trình: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0 cã 2 nghiệm phân biệt x}

1; x2 thoả mÃn x1<

< x2 .

<b>Cách 2:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm khơng nhẩm đợc nghiệm)
Bài tốn trở thành tìm m sao cho

'( ) 0

.

<i>_CT</i>

0

<i>f x</i>

<i>y</i>















_



§

có 2 nghiệm phân biệt trong đó nghiệm lớn nhất lớn hơn

hoặc nghiệm nhỏ nhất nhỏ hơn

C

y

<b>Cách 3:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm chuyển đợc tham số m sang một vế)
Phơng trình hồnh độ giao điểm tơng đơng với phơng trình: g(x) = h(m).

Bài tốn trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại hai điểm
phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn x1<  < x2 .

<b>Bài toán 11:</b> Cho (C m): y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a  0) . Tìm m để (}C_{m) cắt trục Ox}

tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 thoả mãn x1 < x2 < .

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Cách 1:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao im nhm c nghim)

Bài toán Phơng trình: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0 cã 2 nghiệm phân biệt x}

1; x2 thoả mÃn x1

< x2 < .

<b>Cách 2:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm khụng nhm c nghim)

Bài toán trở thành tìm m sao cho

'( ) 0

.

0

. ( ) 0

<i>CT</i>

<i>f x</i>

<i>y</i>

<i>a f</i>



Đ

C

có 2 nghiệm phân biệt nhỏ h¬n

y

<b>Cách 3:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm chuyển đợc tham số m sang một vế)
Phơng trình hồnh độ giao điểm tơng đơng với phơng trình: g(x) = h(m).

Bài tốn trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại hai điểm
phân biệt có hồnh độ x1; x2 thoả mãn x1 < x2 < .

<b>C - Đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc với trục Ox. </b>

<b>Bài toán 12:</b> Cho (C m): y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a  0) . Tìm m để (}C_{m) tiếp xúc với}

trơc Ox.

<b>HD:</b> (C m) tiÕp xóc với trục Ox khi hệ phơng trình sau có nghiệm.

( ) 0

'( ) 0

<i>f x</i>

<i>f x</i>

<b>D - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại một điểm.</b>

<b>Bi toỏn 13:</b> Cho (C m): y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a  0) . Tìm m để (}C_{m) cắt trục Ox}

tại một điểm.
<b>HD:</b>

<b>Cỏch 1:</b> (Nu phng trỡnh honh giao điểm nhẩm đợc nghiệm)
Bài tốn  Phơng trình: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0 có 1 nghiệm .}

<b>Cách 2:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao im khụng nhm c nghim)

Bài toán trở thành tìm m sao cho

'( ) 0

'( ) 0

.

0

<i>C</i> <i>CT</i>

<i>f x</i>

<i>f x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>





Đ

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

có 2 nghiệm phân biệt

<b>Cỏch 3:</b> (Nu phơng trình hồnh độ giao điểm chuyển đợc tham số m sang một vế)
Phơng trình hồnh độ giao điểm tơng đơng với phơng trình: g(x) = h(m).

Bài tốn trở thành tìm m sao cho đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại một
điểm.

<b>Bài toán 14:</b> Cho (C m): y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a  0) . Tìm m để (}C_{m) cắt trục Ox}

tại một điểm có hồnh độ x1 thoả mãn  < x1 .

<b>HD:</b>

<b>Cách 1:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm nhẩm đợc nghiệm)
Bài tốn  Phơng trình: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0 có 1 nghiệm x}

1 tho¶ m·n  < x1.

<b>Cách 2:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm khơng nhẩm c nghim)

Bài toán trở thành tìm m sao cho

'( ) 0

'( ) 0

.

0

( ) 0

<i>C</i> <i>CT</i>

<i>f x</i>

<i>f x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>af</i>





Đ

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

có 2 nghiệm phân biệt

<b>Cỏch 3:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm chuyển đợc tham số m sang một vế)
Phơng trình hồnh độ giao điểm tơng đơng với phơng trình: g(x) = h(m).

Bài tốn trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại hai điểm
phân biệt có hồnh độ x1 thoả mãn  < x1.

<b>Bài toán 15:</b> Cho (C m): y = f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (a  0) . Tìm m để (}C_{m) cắt trục Ox}

tại một điểm có hồnh độ x1 thoả mãn x1 <  .

<b>HD:</b>

<b>Cách 1:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm nhẩm đợc nghiệm)
Bài tốn  Phơng trình: ax3_{+ bx}2_{+ cx + d = 0 có 1 nghiệm x}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Cách 2:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm khơng nhẩm c nghim)

Bài toán trở thành tìm m sao cho

'( ) 0

'( ) 0

.

0

( ) 0

<i>C</i> <i>CT</i>

<i>f x</i>

<i>f x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>af</i>





Đ

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

có 2 nghiệm phân biệt

<b>Cỏch 3:</b> (Nếu phơng trình hồnh độ giao điểm chuyển đợc tham số m sang một vế)
Phơng trình hồnh độ giao điểm tơng đơng với phơng trình: g(x) = h(m).

Bài tốn trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại hai điểm
phân biệt có hồnh độ x1 thoả mãn x1 <  .

<b>III - Bµi tËp:</b>

<b>A - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.</b>
<b>Bài tập 1:</b> Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.

<b>a)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ (1 - 2m)x}2_{- (3m - 2)x - m + 2.}

<b>b)</b> (C m): y = f(x) = x3_+3x2_{- 9x + m.}

<b>c)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ x}2_{+ mx + 3.}

<b>d)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ mx}2_{- 7x - 4.}

<b>Gi¶i:</b>

<b>a) </b>Ta có phơng trình hồnh độ giao điểm (x2_{– 2mx – m + 2)(x + 1) = 0.}

Bài toán trở thành tìm m sao cho phơng trình x2_{2mx m + 2 = 0 cã hai nghiƯm ph©n}

biƯt kh¸c – 1.



2

1

'

2 0

2

2

3 0

3

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m m</i>

<i>m</i>







 







_



 







 





_



<b>b)</b> y’ = 3x2_{+6x – 9}

yC§ = y(- 3) = m + 27

yCT = y(1) = m 5

Bài toán trở thành tìm m sao cho yC§yCT < 0  (m + 27)(m - 5) < 0  - 27 < m < 5

<b>c)</b> Phơng trình hoành độ giao điểm x3_{+ x}2_{+ mx + 3 = 0  - m =}

3 2

₃

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =

3 2

₃

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; Ta cã g’(x) =

3 2

2

2

<i>x</i>

<i>x</i>

3

<i>x</i>

g(x) = 0 x = 1
Bảng biến thiên

x - 0 1 +

y’ - - 0 +

y + + +

- 5

Từ bảng biến thiên ta có giá trị của m lµ - m > 5  m < - 5

<b>d)</b> Ta có phơng trình hồnh độ giao điểm x3_{+ mx}2_{– 7x – 4 = 0  - m =}

3

2

7

4

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =
3

2

7

4

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =
3

3

7

8

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





g’(x) = 0 x = - 1
Bảng biến thiên

x _- _{- 1} ₀ _+

y’ + 0 - +

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

- - -
Từ bảng biến thiên ta có giá trị của m là - m < 2 m > - 2

<b>Bài tập 2:</b> Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 ;x3.

<b>a)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ (2 - 2m)x}2_{+ (3 - 6m)x - 4m + 6 víi - 3 < x}

1 < x2 < x3.

<b>b)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 3x}2_{- 24x + m víi - 4 < x}

1 < x2 < x3.

<b>c)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 3x}2_{+(m + 2)x + 4 víi - 2 < x}

1 < x2 < x3.

<b>d)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ (m + 1)x}2_{- 4x - 8 víi - 4 < x}

1 < x2 < x3.

<b>Gi¶i:</b>

<b>a)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm

(x2_{– 2mx – 2m + 3)(x + 2) = 0 }

2

2

2

2

3 0

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>mx</i>

<i>m</i>











 



Bài toán trở thành tìm m để PT: x2_{– 2mx – 2m + 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x}
1, x2

khác 2 thoả mÃn - 3 < x1 < x2.

2

₂

_{3 0}

4

12 0

1

3

2

7 0

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>























 





_{ }



<b>b)</b> y’ = 3x2_{– 6x – 24}

yC§ = y(- 2) = m + 28

yCT = y(4) = m – 80

af(- 4) = m 16

Bài toán trở thành tìm m sao cho

D

0

28

80

₁₆

₈₀

16

( 4) 0

<i>C</i> <i>CT</i>

<i>y y</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>af</i>































_



<b>c)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm – m =

3

₃

2

₂

₄

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>







XÐt hµm sè g(x) =

3

₃

2

₂

₄

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>







; g’(x) =

3 2

2

2

<i>x</i>

3

<i>x</i>

4

<i>x</i>





g’(x) = 0  x = 2
Bảng biến thiên

x - -2 0 2 +

y - - 0 +

y + + +

10

- 2

Từ bảng biến thiên ta có kết quả của m là 2 < - m < 10  - 10 < m < -2

<b>d)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =

3 2

2

4

8

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>







XÐt hµm sè g(x) =

3 2

2

4

8

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>







; g’(x) =
3

3

4

16

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





g’(x) = 0  x = -2
Ta có bảng biến thiên.

x - - 4 - 1 0 +

y’ + 0 - +

y -1 +

- 5/2

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Từ bảng biến thiên ta có kết quả - 5/ 2 < - m < - 1  1 < m < 5/2.

<b>Bài tập 3:</b> Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 ;x3.

<b>a)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ (2m - 3)x}2_{- (5m + 2)x - 3m + 6 víi x}

1 < 1 < x2 < x3.

<b>b)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ (3 - 2m)x}2_{- (5m -2)x + 3m +6 víi x}

1 < - 2 < x2 < x3.

<b>c)</b> (C m): y = f(x) = 2x3_{- 3x}2_{- 12x + m víi x}

1 < 1 < x2 < x3.

<b>d)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 2x}2_{+ mx - 4 víi x}

1 < - 3 < x2 < x3.

<b>e)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ (m + 1)x}2_{- 3x - 2 víi x}

1 < - 2 < x2 < x3.

<b>f)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ 2x}2_{+ mx - 8 víi x}

1 < - 1 < x2 < x3.

<b>Gi¶i:</b>

<b>a)</b> Phơng trình hoành độ giao điểm (x – 3)(x2_{+ 2mx + m - 2) = 0}

Bài toán trở thành tìm m sao cho pt x2_{+ 2mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x}
1; x2

khác 3 tho¶ m·n x1 < 1 < x2 .



7

7 0

₁

1

3

1 0

3

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

 



  











<b>b)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm (x + 3)(x2_{2mx +m + 2) = 0}

Bài toán thành tìm m sao cho PT: x2_{– 2mx +m + 2 = 0 cã hai nghiƯm ph©n biƯt x}

1, x2 sao

cho – 2 <x1 < x2.



2

_{2 0}

2

5

6 0

₆

1

2

5

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>_m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>









_

_



_

 





 



 



_{ }

_



<b>c) </b>y’ = 6x2_{– 6x – 12}

yC§ = y(-1) = m + 7

yCT = y(2) = m – 20

af(1) = m 13

Bài toán trở thành tìm m sao cho

0

7

20

13

20

13

(1) 0

<i>CD CT</i>

<i>y y</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>af</i>





























_



<b>d)</b> Phơng trình hoành đọ giao điểm – m =

3

₂

2

₄

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =

3

₂

2

₄

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =

3 2

2

2

<i>x</i>

2

<i>x</i>

4

<i>x</i>

g(x) = 0 x = -1
Bảng biến thiên

x _- _-3 _{- 1} ₀ _+

y’ - 0 + +

y _+ _+ _+

49/3

7 -

Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m > 49/3  m < - 49/3

<b>e)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =

3 2

2

3

2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>







XÐt hµm sè g(x) =

3 2

2

3

2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>







; g’(x) =
3

3

3

4

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





g’(x) = 0  x = - 1
B¶ng biÕn thiªn

x - - 2 - 1 0 +

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

y 1 +
0

- -  -

Tõ b¶ng biến thiên ta có kết quả - m < 0  m > 0.

<b>f)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =

3

₂

2

₈

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =

3

₂

2

₈

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =

3 2

2

2

<i>x</i>

2

<i>x</i>

8

<i>x</i>





g’(x) = 0 x = - 2
Bảng biến thiên

x _- _{- 2} _-1 ₀ _+

y’ - 0 + +

y _+ _+ _+

7

4 - 

Tõ b¶ng biÕn thiên ta có kết quả - m > 7  m < - 7

<b>Bài tập 4:</b> Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 ;x3.

<b>a)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- (2m + 3)x}2_{+ (8m + 3)x - 6m - 9 víi x}

1 < x2 < 2 < x3.

<b>b)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ (2m + 2)x}2_{+ (7m + 4)x + 6m + 8 víi x}

1 < x2 < 1 < x3.

<b>c)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 6x}2_{- 15x + m víi x}

1 < x2 < 3 < x3.

<b>d)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ 2x}2_{+ mx + 4 víi x}

1 < x2 < 2 < x3.

<b>e)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ mx}2_{- 3x + 18 víi x}

1 < x2 < 1 < x3.

<b>Gi¶i:</b>

<b>a)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm (x - 3)(x2_{– 2mx + 2m + 3) = 0}

Bài toán trở thành tìm m sao cho PT x2_{– 2mx + 2m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x}
1,

x2 thoả mÃn x1 < x2 < 2.


2

3

1

2

3 0

7

2

7 0

1

2

2

₂

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>_m</i>









_{ }





















 







 







_





_

_







<b>b)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm (x + 2)(x2_{+ 2mx + 3m + 4) = 0}

Bài toán trở thành tìm m sao cho PT x2_{+ 2mx + 3m + 4 = 0 cã hai nghiẹm phân biệt x}
1, x2

khác - 2thoả mÃn x1 < 1 < x2 .



5

5 0

1

8 0

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

 





 





 



<b>c)</b> y’ = 3x2_{-12x – 15}

yC§ = y(- 1) = m + 8

yCT = y(5) = m 100

af(3) = m 72

Bài toán trở thành tìm m sao cho

0

8

100

8

72

72

(3) 0

<i>CD CT</i>

<i>y y</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>af</i>



 









  











_



<b>d)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =

3

₂

2

₄

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

XÐt hµm sè g(x) =

3

₂

2

₄

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =

3 2

2

2

<i>x</i>

2

<i>x</i>

4

<i>x</i>





g’(x) = 0 x = 1
Bảng biến thiên

x _- ₀ ₁ ₂ _+

y’ - - 0 +

y _+ _+ _+

10

- 7

Tõ bảng biến thiên ta có kết quả - m > 10  m < - 10

<b>e)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm: - m =
3

2

3

18

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =
3

2

3

18

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =
3

3

3

36

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





g’(x) = 0  x = 3
B¶ng biÕn thiªn

x - 0 1 3 +

y’ - - 0 +

y ₊ ₊ ₊

16

- 4

Từ bảng biến thiên ta cã kÕt qu¶ - m > 16  m < - 16

<b>Bài tập 5:</b> Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3.

<b>a)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ (2m - 2)x}2_{- (6m - 8)x + 4m - 16 víi x}

1 < x2 < x3 < 3 .

<b>b)</b> (C m): y = f(x) = 2x3_{- 3x}2_{- 36x + m víi x}

1 < x2 < x3 < 5 .

<b>c)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 3x}2_{+ mx + 27 víi x}

1 < x2 < x3 < 4 .

<b>d)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ mx}2_{- 8x - 12 víi x}

1 < x2 < x3 < 2 .

<b>Gi¶i:</b>

<b>a)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm (x – 2)(x2_{+ 2mx – 2m + 8) = 0}

Bài toán trở thành tìm m sao cho PT x2_{+ 2mx – 2m + 8 = 0 có hai nghiệm phân biệt x}
1 ,

x2 khác 2 tho¶ m·n x1 < x2 < 3.


2

2

2

8 0

4

4

17 0

₁₇

2

3

4

3

2

12 0

3

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

















_

_

 













_{ }



















_

_



 









<b>b)</b> Ta cã y’ = 6x2_{– 6x – 36}

yC§ = y(- 2) = m + 44

yCT = y(3) = m 81

af(5) = m 5

Bài toán trở thành t×m m sao cho

0

44

81

5

81

5

(5) 0

<i>CD CT</i>

<i>y y</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>af</i>





























_



<b>c)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =

3

₃

2

₂₇

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

XÐt hµm sè g(x) =

3

₃

2

₂₇

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =

3 2

2

2

<i>x</i>

3

<i>x</i>

27

<i>x</i>





g’(x) = 0  x = 3

Bảng biến thiên

x - 0 3 4 +

y - - 0 +

y _+ _+ _+

43/4

- 9

Tõ b¶ng biÕn thiên ta có kết quả 9 < - m < 43/4  - 43/4 < m < - 9

<b>d)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =
3

2

8

12

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =
3

2

8

12

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =
3

3

8

24

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



g(x) = 0 x = - 2
Bảng biến thiên

x _- _{- 2} ₀ ₂ _+

y’ + 0 - +

y _-1 ₊

-5

- - -

Từ bảng biến thiên ta cã kÕt qu¶ - m < - 5  m > 5

<b>Bài tập 6:</b> Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành một cấp số
cộng.

<b>a)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 6x}2_{+ 11x + m.}

<b>b)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 6x}2_{+ (m + 6)x - 6.}

<b>c)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 6x}2_{+ (m}2_{+ m + 5)x - 3m.}

<b>d)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ mx}2_{- (3m + 7)x - 6.}

<b>e)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 9x}2_{+ 23x + m.}

<b>f)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 9x}2_{+ (m + 20)x - 4m - 3.}

<b>g)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 9x}2_{+ (m}2_{+ m + 3)x - 5m + 5.}

<b>h)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 3mx}2_{+ (3m + 14)x - 2m - 9.}

<b>Gi¶i:</b>

<b>a)</b> §iỊu kiƯn cÇn:

Giả sử phơng trình hồnh độ giao điểm x3_{- 6x}2_{+ 11x + m = 0 có ba nghiệm phân biệt x}
1,

x2, x3 lËp thành một cấp số cộng.

áp dụng Định lí Vi-ét và tÝnh chÊt cña cÊp sè céng ta cã.

1 2 3

1 2 3

1 3 2

1 3 2

b

x

x

x

6

x

x

x

a

x

x

2.x

x

x

2.x

ìï

_ì

ï

+

+

=-

ï

+

+

=

ï

_Û

ï

í

í

ï

ï

_ï

+

=

ï

₊

₌

ỵ

ùợ

_{ x}₂_{= 2 thay vào phơng trình hồnh độ}

giao điểm ta đợc m = - 6
iu kin :

Ta có phơng trình x3_{- 6x}2_{+ 11x - 6 = 0  x = 1 v x = 2 v x = 3 Tho¶ m·n yêu cầu bài}

toán.

Kết luận : m = - 6.
<b>b) </b>

Điều kiện cần : Giả sử phơng trình hồnh độ giao điểm x3_{- 6x}2_{+ (m + 6)x - 6 = 0 có ba}

nghiƯm ph©n biƯt x1, x2, x3 lËp thµnh mét cÊp sè céng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

1 2 3

1 2 3

1 3 2

1 3 2

b

x

x

x

6

x

x

x

a

x

x

2.x

x

x

2.x

ìï

_ì

ï

+

+

=-

ï

+

+

=

ï

_Û

ï

í

í

ï

ï

_ï

₊

₌

ï

₊

₌

ỵ

ùợ

_{ x}₂_{= 2 thay vào phơng trình hồnh độ giao}

điểm ta đợc m = 5
iu kin :

Ta có phơng trình x3_{- 6x}2_{+ 11x - 6 = 0  x = 1 v x = 2 v x = 3 Tho¶ mÃn yêu cầu bài}

toán.

Kết luận : m = 5.
<b>c) </b>

Điều kiện cần :Giả sử phơng trình hồnh độ giao điểm x3_{- 6x}2_{+ (m}2_{+ m + 5)x – 3m = 0}

cã ba nghiƯm ph©n biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng.

áp dụng Định lí Vi-ét và tính chất của cấp số céng ta cã.

1 2 3

1 2 3

1 3 2

1 3 2

b

x

x

x

6

x

x

x

a

x

x

2.x

x

x

2.x

ìï

_ì

ï

+

+

=-

ï

+

+

=

ï

_Û

ï

í

í

ï

ï

_ï

+

=

ï

₊

₌

ỵ

ùợ

_{ x}2 = 2 thay vào phơng trình hồnh độ giao

điểm ta đợc m = 2 v m = - 3/2
Điều kin :

Khi m = 2 Ta có phơng trình x3_{- 6x}2_{+ 11x - 6 = 0  x = 1 v x = 2 v x = 3 Thoả mÃn yêu}

cầu bài toán.

Khi m = - 3/ 2 Ta có phơng trình x3_{- 6x}2₊

23

4

_{x +}

9

2

_{= 0  x =}

1

2



v x = 2 v x =

9

2

Thoả mÃn yêu cầu bài toán.
Kết luận : m = 2 và m = - 3/2.
<b>d) </b>

Điều kiện cần :Giả sử phơng trình hồnh độ giao điểm x3_{- 6x}2_{+ (m}2_{+ m + 5)x – 3m = 0}

cã ba nghiÖm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng.

áp dụng Định lí Vi-ét và tính chất của cấp sè céng ta cã.

1 2 3

1 2 3

1 3 2

1 3 2

b

x

x

x

m

x

x

x

a

x

x

2.x

x

x

2.x

ìï

_ì

ï

+

+

=-

ï

+

+

=-ï

_Û

ï

í

í

ï

ï

_ï

+

=

ï

₊

₌

ỵ

ïỵ

_{ x}₂_{= -}

3

<i>m</i>

thay vào phơng trình hoành
độ giao điểm ta đợc m = - 6 v m = - 9 v m = 3/ 2.

Điều kiện đủ:

Khi m = - 6 Ta cã ph¬ng tr×nh x3_{- 6x}2_{+ 11x - 6 = 0  x = 1 v x = 2 v x = 3 Thoả mÃn yêu}

cầu bài toán.

Khi m = - 9 Ta có phơng trình x3_9x2_{+ 20x – 6 = 0  x = 3 v x = 3}

7

_{Thoả mÃn}

yêu cầu bài toán.

Khi m = 3/2 Ta có phơng trình x3₊

3

2

_x2_-

23

2

_{x - 6 = 0  x = - 4 v x = 3 v x = -}

1

2

_Thoả

mÃn yêu cầu bài toán.

Kết luận : m = - 6 , m = - 9 vµ m = 3/ 2

<b>e) </b>Ta<b> cã </b>y’ = 3x2_{18x + 23 Phơng trình luôn cã hai nghiƯm ph©n biƯt.}

y’’ = 6x – 18; y’’ = 0  x = 3
Ta cã ®iĨm n I(3; m + 15)

Bài toán

f '(x)

0 co' hai nghiệm phân biệt

Điểm uốn I thuộc trục Ox

ỡ

=

ïï

íï

ïỵ

_{ m = - 15}

<b>f)</b> Ta cã y’ = 3x2_{18x + m + 20}

Phơng trình y = 0 cã hai nghiƯm ph©n biƯt  ’> 0  21 – 3m > 0  m < 7
Ta cã y’’ = 6x – 18; y’’ = 0  x = 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Bài toán

f '(x)

0 co' hai nghiệm phân biệt

m

7

Điểm n I thc trơc Ox

m

3

0

ì

₌

ì

_<

ï

ï

ï

_Û

ï

í

í

ï

_{ï -}

+ =

ï

ï

ỵ

ỵ

_{ m = 3}

<b>g)</b> Ta cã y’ = 3x2_{– 18x + m}2_{+ m + 3}

Phơng trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt  ’ > 0  m2_{+ m – 24 < 0}

y’’ = 6x – 18 ; y’’ = 0  x = 3
§iĨm uốn I (3; 3m2_{2m - 40)}

Bài toán 

2

2

f '(x)

0 co ' hai nghiƯm ph©n biƯt

m

m

24

0

§iĨm n I thc trơc Ox

_3m

_2m

₄₀

₀

ìï

ì

=

+ -

<

ï

_ï

ï

_Û

í

í

ï

ï

_-

_-

₌

ïỵ

_ïỵ

_{ m = 4 v}

m = -

10

3

<b>h)</b> Ta cã y’ = 3x2_{– 6mx + 3m + 14}

Phơng trình y = 0 có hai nghiƯm ph©n biƯt  ’ > 0  3m2_{- 3m – 14 > 0}

Ta cã y’’ = 6x - 6m ; y’’ = 0  x = m
§iĨm n I(m ;- 2m3_{+ 3m}2_{+ 12m - 9 )}

Bài toán

2

3 2

f '(x)

0 co ' hai nghiệm phân biệt

3m

3m

14

0

Điểm n I thc trơc Ox

_2m

_3m

_12m

₉

₀

ìï

ì

=

-

-

>

ï

_ï

ï

_Û

í

í

ï

_{ï -}

₊

₊

_-

₌

ïỵ

_ïỵ

_

m = 3 v m =

3

33

4

 

<b>Bài tập 7:</b> Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành một cấp số
nhân.

<b>a)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 7x}2_{+ mx - 8.}

<b>b)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- (3m + 1)x}2_{+ (8m - 2)x - 8.}

<b>c)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- (m}2_{- m + 1)x}2_{+ (m}2_{+ m + 2)x - 8.}

<b>d)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- (3m + 1)x}2_{+ (m + 12)x - m}3_.

<b>e)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 7x}2_{+ mx + 27.}

<b>f)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ (3m - 1)x}2_{+ (8m - 5)x + 27.}

<b>g)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- (m + 3)x}2_{- (m}2_{+ m +1)x + 27.}

<b>h)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- (m + 4)x}2_{- (5m + 6)x + m}3_.

<b>Gi¶i:</b>

<b>a)</b> Điều kiện cần: Giả sử phơng trình hồnh độ giao điểm x3_{– 7x}2_{+ mx - 8 = 0 có 3 nghiệm}

ph©n biƯt x1, x2, x3 lËp thành một cấp số nhân.

ỏp dng nh lớ Viột v tính chất của cấp số nhân ta có hệ phơng trình

1 2 3
1 2 3

2

2 ₁ ₃ ₂

1 3 2

d

x .x .x

8

x .x .x

a

x .x

x

x .x

x

ìï

_ì

ï

=-

ï

=

ïï

_Û

ï

í

í

ï

ï

₌

ï

₌

_ïỵ

ùùợ

_{ x}₂_{= 2 thay vào phơng trình hoành độ giao điểm ta}
đợc m = 14

Điều kiện đủ:

Khi m = 14 ta có phơng trình x3_7x2_{+ 14x – 8 = 0  x = 1 v x = 4v x = 2 tho¶ m·n}

KÕt luËn: m = 14

<b>b) </b>Điều kiện cần: Giả sử phơng trình hồnh độ giao điểm x3_{– (3m + 1)x}2_{+ (8m - 2)x -8 =}

0 cã 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cÊp sè nh©n.

áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phơng trình

1 2 3
1 2 3

2

2 ₁ ₃ ₂

1 3 2

d

x .x .x

8

x .x .x

a

x .x

x

x .x

x

ìï

_ì

ï

=-

ï

=

ïï

_Û

ï

í

í

ï

ï

₌

ï

₌

_ïỵ

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Điều kiện đủ:

Khi m = 2 ta cã ph¬ng tr×nh x3_{– 7x}2_{+ 14x – 8 = 0  x = 1 v x = 4 v x = 2 tho¶ m·n}

KÕt luËn: m = 2

<b>c) </b>Điều kiện cần: Giả sử phơng trình hồnh độ giao điểm

x3_{– (m}2_{– m + 1)x}2_{+ (m}2_{+ m + 2)x - 8 = 0 cã 3 nghiệm phân biệt x}

1, x2, x3 lập thành

một cÊp sè nh©n.

áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phơng trình

1 2 3
1 2 3

2

2 ₁ ₃ ₂

1 3 2

d

x .x .x

8

x .x .x

a

x .x

x

x .x

x

ìï

_ì

ï

=-

ï

=

ïï

_Û

ï

í

í

ï

ï

₌

ï

₌

_ïỵ

ùùợ

_{ x}₂_{= 2 thay vào phơng trình hồnh độ giao điểm ta}
đợc m = 3 v m = 0

Điều kin :

Khi m = 3 ta có phơng trình x3_{– 7x}2_{+ 14x – 8 = 0  x = 1 v x = 4 v x = 2 thoả mÃn}

Khi m = 0 ta có phơng trình x3_{– x}2_{+ 2x – 8 = 0  x = 2 không thoả mÃn}

Kết luận: m = 3

<b>d) </b>Điều kiện cần: Giả sử phơng trình hồnh độ giao điểm

x3_{– (3m + 1)x}2_{+ ( m + 12)x – m}3_{= 0 cã 3 nghiệm phân biệt x}

1, x2, x3 lập thành một

cấp sè nh©n.

áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phơng trình
3

1 2 3 1 2 3

2

2 ₁ ₃ ₂

1 3 2

d

x .x .x

x .x .x

m

a

x .x

x

x .x

x

ìï

_ì

ï

=-

ï

=

ï

ï

ï

_Û

ï

í

í

ï

ï

₌

ï

₌

_ïïỵ

ùùợ

_{ x}₂_{= m thay vào phơng trình hồnh độ giao}
điểm ta đợc m = 2 v m = - 2 v m = 0

Điều kin :

Khi m = 2 ta có phơng trình x3_{– 7x}2_{+ 14x – 8 = 0  x = 1 v x = 4 v x = 2 thoả mÃn}

Khi m = - 2 ta có phơng tr×nh x3_{+ 5x}2_{+ 10x + 8 = 0 x = - 2 không thoả mÃn}

Khi m = 0 ta có phơng trình x3_x2_{+ 12x = 0 x = 0 không thoả m·n}

KÕt luËn: m = 2

<b>e) </b>Điều kiện cần: Giả sử phơng trình hồnh độ giao điểm x3_{– 7x}2_{+ mx + 27 = 0 có 3}

nghiƯm ph©n biƯt x1, x2, x3 lập thành một cấp số nhân.

ỏp dng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phơng trình

1 2 3
1 2 3

2

2 ₁ ₃ ₂

1 3 2

d

x .x .x

27

x .x .x

a

x .x

x

x .x

x

ìï

_ì

ï

=-

ï

=

ïï

_Û

ï

í

í

ï

ï

₌

ï

₌

_ïỵ

ùùợ

_{ x}₂_{= - 3 thay vào phơng trình hồnh độ giao điểm}
ta đợc m = - 21

Điều kiện đủ:

Khi m = -21 ta có phơng trình x3_7x2_{- 21x + 27 = 0  x = 1 v x = 9 v x = -3 tho¶ m·n}

KÕt luËn: m = - 21

<b>f) </b>Điều kiện cần: Giả sử phơng trình hoành độ giao điểm x3_{+ (3m - 1)x}2_{+ (8m - 5)x - 27 = 0}

cã 3 nghiÖm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số nh©n.

áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phơng trình

1 2 3
1 2 3

2

2 ₁ ₃ ₂

1 3 2

d

x .x .x

27

x .x .x

a

x .x

x

x .x

x

ìï

_ì

ï

=-

ï

=

ïï

_Û

ï

í

í

ï

ï

₌

ï

₌

_ïỵ

ùùợ

_{ x}₂_{= - 3 thay vào phơng trình hồnh độ giao điểm}
ta đợc m = - 2

Điều kiện đủ:

Khi m = - 2 ta có phơng trình x3_7x2_{- 21x + 27 = 0  x = 1 v x = 9 v x = - 3 tho¶ m·n}

KÕt luËn: m = - 2

<b>g) </b>Điều kiện cần: Giả sử phơng trình hồnh độ giao điểm

x3_{– (m + 3)x}2_{- (m}2_{+ m + 1)x + 27 = 0 cã 3 nghiƯm ph©n biệt x}

1, x2, x3 lập thành một

cấp số nhân.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

1 2 3
1 2 3

2

2 ₁ ₃ ₂

1 3 2

d

x .x .x

27

x .x .x

a

x .x

x

x .x

x

ìï

_ì

ï

=-

ï

=

ïï

_Û

ï

í

í

ï

ï

₌

ï

₌

_ïỵ

ùùợ

_{ x}₂_{= - 3 thay vào phơng trình hồnh độ giao điểm}
ta đợc m = 4 v m = -2

Điều kiện đủ:

Khi m = 4 ta có phơng trình x3_7x2_{- 21x + 27 = 0  x = 1 v x = 9 v x = - 3 tho¶ m·n}

Khi m = - 2 ta có phơng trình x3_{+ x}2_{+ 3x + 27 = 0  x = -3 không thoả mÃn}

Kết luận: m = 4

<b>h) </b>Điều kiện cần: Giả sử phơng trình hồnh độ giao điểm

x3_{– (3m + 1)x}2_{+ ( m + 12)x – m}3_{= 0 cã 3 nghiÖm phân biệt x}

1, x2, x3 lập thành một

cấp số nh©n.

áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phơng trình
3

1 2 3 1 2 3

2

2 ₁ ₃ ₂

1 3 2

d

x .x .x

x .x .x

m

a

x .x

x

x .x

x

ìï

_ì

ï

=-

ï

=-ï

ï

ï

_Û

ï

í

í

ï

ï

₌

ï

₌

_ïïỵ

ùùợ

_{ x}₂_{= - m thay vào phơng trình hồnh độ giao}
điểm ta đợc m = 3 v m = - 2 v m = 0

Điều kin :

Khi m = 3 ta có phơng trình x3_{– 7x}2_{- 21x + 27 = 0  x = 1 v x = 9 v x = - 3 tho¶ m·n}

Khi m = - 2 ta cã phơng trình x3_{- 2x}2_{+ 4x - 8 = 0 x = 2 không thoả mÃn}

Khi m = 0 ta có phơng trình x3_4x2_{- 6x = 0  x = 0 v x =}

2

10

_{không thoả mÃn}

Kết luận: m = 3

<b>B - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt.</b>
<b>Bài tập 8: </b>Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt.

<b>a)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ (2m - 2)x}2_{- (m - 4)x - 6m - 8.}

<b>b)</b> (C m): y = f(x) = 2x3_+3x2_{- 72x + m.}

<b>c)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- x}2_{+ mx - 20.}

<b>d)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ mx}2_{- 20x + 24.}

<b>Gi¶i:</b>

<b>a)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm (x - 2)(x2_{+ 2mx + 3m + 4) = 0}

Bài tốn trở thành tìm m để phơng trình x2_{+ 2mx + 3m + 4 = 0 có nghiệm kép khác 2}

hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x = 2



2

2

3

4 0

1

2

4

3

4 0

₈

8

₇

7

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

  









 













_



_

_

_

_







_





 







 





<b>b)</b> Ta cã y’ = 6(x2_{+ x - 12)}

y’ = 0  x = - 4 v x = 3
yC§ = y(- 4) = m + 208

yCT = y(3) = m 135

Bài toán trở thành tìm m sao cho yCĐ.yCT = 0 m = 135 v m = - 208

<b>c)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm – m =

3 2

₂₀

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =

3 2

₂₀

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =

3 2

2

2

<i>x</i>

<i>x</i>

20

<i>x</i>





g’(x) = 0 x = - 2
Bảng biến thiên

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

y’ - 0 + +

y + + +

16 -

Từ bảng biến thiên ta có kết qu¶ - m = 16  m = - 16

<b>d) </b>Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =
3

2

20

24

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =
3

2

20

24

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =
3

3

20

48

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





g’(x) = 0 x = 2

Bảng biến thiên

x - 0 2 +

y’ - - 0 +

y + + +

- -2

Tõ bảng biến thiên ta có kết quả - m = -2  m = 2

<b>Bài tập 9:</b> Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2.

<b>a)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- (2m + 3)x}2_{+ (9m + 4)x - 9m - 12 víi 1 < x}
1 < x2

<b>b)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 6x}2_{+9x + m víi - 1 < x}
1 < x2

<b>c)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 2x}2_{+ mx - 4 víi - 2 < x}
1 < x2

<b>d)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ mx}2_{- 20x - 24 víi - 3 < x}
1 < x2

<b>Gi¶i:</b>

<b>a)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm : x3_{- (2m + 3)x}2_{+ (9m + 4)x - 9m - 12 = 0}

 (x - 3)(x2_{2mx + 3m + 4) = 0}

Bài toán trở thành tìm m sao cho

TH1: PT x2_{– 2mx + 3m + 4 = 0 cã nghiÖm kép khác 3 và lớn hơn 1}

2

₃

_{4 0}

0

4

1

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>





















_



TH2: PT x2_{– 2mx + 3m + 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 trong đó có một}

nghiƯm x = 3.



2

₃

_{4 0}

5 0

13

3

1

3

13 0

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>











 





















KÕt luËn : m = 4 vµ m = 13/3
<b>b)</b> y’ = 3x2_{– 12x + 9}

yC§ = y(1) = m + 4

yCT = y(3) = m

af(- 1) = m 16

Bài toán trở thành tìm m sao cho

0

0

0

4

4

( 1) 0

16

<i>CD CT</i>

<i>m</i>

<i>y y</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>af</i>

<i>m</i>













_















_





_



_





<b>c)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =

3

₂

2

₄

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

XÐt hµm sè g(x) =

3

₂

2

₄

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =

3 2

2

2

<i>x</i>

2

<i>x</i>

4

<i>x</i>





g’(x) = 0  x = - 1
Bảng biến thiên

x _- _-2 _{- 1} ₀ _+

y’ - 0 + +

y _+ _+ _+

10

7 -

Từ bảng biến thiên ta có – m = 7  m = - 7

<b>d)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =
3

2

20

24

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =

3

2

20

24

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =
3

3

20

48

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





g’(x) = 0  x = - 2
Bảng biến thiên

x - -3 - 2 0 +

y’ + 0 - +

y ₂ +

1

- - -

Từ bảng biến thiên ta có m = 2  m = - 2

<b>Bài tập 10:</b> Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2.

<b>a)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- (3 + 2m)x}2_{+ (5m + 6)x + 3m - 18 víi x}

1 < 2 < x2

<b>b)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 6x}2_{- 15x + m víi x}

1 < 3 < x2

<b>c)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 3x}2_{+ m x - 28 víi x}

1 < - 1 < x2

<b>d)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ mx}2_{- 15x + 36 víi x}

1 < 1 < x2

<b>Gi¶i:</b>

<b>a)</b> Phơng trình hoành độ giao điểm (x - 3)(x2_{– 2mx m + 6) = 0}

Bài toán trở thành t×m m sao cho

TH1 : PT x2_{– 2mx – m + 6 = 0 cã nghiÖm kÐp nhá h¬n 2}



2

_{6 0}

3

2

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>



















TH 2: PT g(x) = x2_{– 2mx – m + 6 = 0 cã 2 nghiƯm ph©n biƯt cã 1 nghiÖm x = 3, mét}

nghiÖm x <3



(2) 0

5

10 0

15

(3) 0

7

15 0

7

<i>ag</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>g</i>

<i>m</i>



































KÕt luËn : m = - 3 vµ m = 15/7
<b>b)</b> y’ = 3(x2_{– 4x - 5)}

yC§ = y(- 1) = m + 8

yCT = y(5) = m 100

af(3) = m 72

Bài toán trở thành tìm m sao cho yCĐyCT = 0 m = - 8 v m = 100

<b>c)</b> Phơng trình hoành độ giao điểm - m =

3

₃

2

₂₈

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =

3

₃

2

₂₈

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =

3 2

2

2

<i>x</i>

3

<i>x</i>

28

<i>x</i>





g’(x) = 0  x = - 2
B¶ng biÕn thiªn

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

y’ - 0 + +

y + + +

32

24 - 

Tõ b¶ng biÕn thiên ta có kết quả : - m = 24  m = - 24

<b>d)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =
3

2

15

36

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =
3

2

15

36

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =
3

3

15

72

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





g’(x) = 0  x = 3

Bảng biến thiên

x - 0 1 3 +

y - - 0 +

y + + +

22

- 2

Từ bảng biến thiên ta cã kÕt qu¶ - m = 2  m = - 2

<b>Bài tập 11:</b> Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2.

<b>a)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- (2 - 2m)x}2_{- (2m - 8)x - 4m - 16 víi x}

1 < x2 < 3.

<b>b)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ 6x}2_{+ 9x + m víi x}

1 < x2 < 4.

<b>c)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ 7x}2_{+ mx - 16 víi x}

1 < x2 < 2.

<b>d)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ mx}2_{- 15x - 36 víi x}

1 < x2 < 5.

<b>Gi¶i:</b>

<b>a)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm (x - 2)(x2_{+ 2mx + 2m + 8) = 0}

Bài toán trở thành tìm m sao cho

TH1 : PT x2_{+ 2mx + 2m + 8 = 0 cã nghiÖm kép khác 2 và nhỏ hơn 3}

2

₂

_{8 0}

4

₄

2

2

3

3

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

















_















_





_





_{ }



TH 2: PT x2_{+ 2mx + 2m + 8 = 0 có 2 nghiệm phân biệt nhỏ haon 3 trong đó có 1 nghiệm}

x = 2



2

₂

_{8 0}

8

17 0

3

6

12 0

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

























_{Không có giá trị của m thoả m·n.}
<b>b)</b> y’ = 3x2_{+ 12x + 9}

yC§ = y(- 3) = m

yCT = y(- 1) = m – 4

af(4) = m + 196

Bài toán trở thành tìm m sao cho

0

0

4

(4) 0

<i>CD CT</i>

<i>y y</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>af</i>













_





_



<b>c)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =

3

₇

2

₁₆

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =

3

₇

2

₁₆

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g'(x) =

3 2

2

2

<i>x</i>

7

<i>x</i>

16

<i>x</i>





</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

x - -4 0 2 +

y’ - 0 + +

y + + +

10

- 8 -

Từ bảng biến thiên ta cã – m = - 8  m = 8

<b>d)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =
3

2

15

36

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =
3

2

15

36

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =
3

3

15

72

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





g’(x) = 0 x = - 3
Bảng biến thiên

x - - 3 0 5 +

y’ + 0 - +

y -2 +

14/25

- - -

Từ bảng biến thiên ta cã – m = - 2  m = 2
<b>C - Đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc víi trơc Ox.</b>

<b>Bài tập 12:</b> Tìm m để (C m) tiếp xúc với trục Ox.
<b>a)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ x}2_{- x + m}

<b>b)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ 4x}2_{+ mx + 90.}

<b>c)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ mx}2_{- 7x + 4.}

<b>Giải:</b>

<b>a) H</b>ệ phơng tr×nh
3 2

2

8

0 (1)

(2)

3

2

8 0

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x m</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

























_{cã nghiÖm}

Tõ (2) ta cã x = - 2v x = 4/3

ThÕ vµo (1) ta cã m = - 12 v m = 176/ 27
<b>b) H</b>ệ phơng trình

3 2 3 2

2 3 2

4

90 0

4

90 0 (1)

(2)

3

8

0

3

8

0

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>mx</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>mx</i>

<i>x</i>

<i>x m</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>mx</i>



















































_{cã nghiÖm}

LÊy (1) trõ (2) theo vÕ ta cã PT 2x3_{+ 4x}2_{– 90 = 0  x = 3}

Khi x = 3 tõ (2) ta có m = - 51
<b>c)H</b>ệ phơng trình

3 2 3 2

2 3 2

7

4 0

7

4 0 (1)

(2)

3

2

7 0

3

2

7

0

<i>x</i>

<i>mx</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>mx</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>mx</i>

<i>x</i>

<i>mx</i>

<i>x</i>







 







 































_{cã nghiÖm}

LÊy (1) trõ (2) theo vÕ ta cã PT x3_{+ 7x}2_{– 8 = 0  x = 1}

Khi x = 1 tõ (2) ta cã m = 2

<b>D - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại một điểm.</b>
<b>Bài tập 13:</b> Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại một điểm.

<b>a)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- ( 3 + 2m)x}2_{+ (8m + 8)x - 6m - 24.}

<b>b)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ 6x}2_{- 15x + m.}

<b>c)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 6x}2_{+ (m - 2)x + 32.}

<b>d)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ mx}2_{- 21x + 45.}

<b>e)</b> (C m): y = f(x) = (m - 1)x3_{- 3mx}2_{+ 3mx - m + 4.}

<b>Gi¶i:</b>

<b>a)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm (x - 3)(x 2_{– 2m x + 2m + 8) = 0}

T×m m sao cho

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>



2

₂

_{8 0}

3

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>















_{Không có giá trị của m}

TH 2: x 2_{2m x + 2m + 8 = 0 v« nghiÖm  - 2 < m < 4}

<b>b)</b> y’ = 3(x2_{+ 4x - 5)}

y’ = 0  x = 1 v x = - 5
yC§ = y(- 5) = m + 100

yCT = y(1) = m – 8

Bµi toán trở thành tìm m sao cho yCĐyCT > 0 

8

100

<i>m</i>

<i>m</i>







_



<b>c)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =

3

₆

2

₂

₃₂

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>







XÐt hµm sè g(x) =

3

₆

2

₂

₃₂

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>







; g’(x) =

3 2

2

2

<i>x</i>

6

<i>x</i>

32

<i>x</i>





g’(x) = 0  x = 4
B¶ng biÕn thiªn

x - 0 4 +

y’ - - 0 +

y ₊ ₊ ₊

- -2

Từ bảng biến thiên ta có - m < - 2  m > 2

<b>d)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =
3

2

21

45

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =
3

2

21

45

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g'(x) =
3

3

21

90

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





g’(x) = 0 x = 3
Bảng biến thiên

x _- ₀ ₃ _+

y’ + - 0 +

y _+ _+ _+

- 1

Từ bảng biến thiên ta có m < 1  m > - 1

<b>e)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm m =
3

3

4

(

1)

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =
3

3

4

(

1)

<i>x</i>

<i>x</i>





_{; g’(x) =}

2

4

3(4

)

(

1)

<i>x</i>

<i>x</i>





g’(x) = 0 x = 2
Bảng biến thiên

x _- _-2 ₀ ₂ _+

y’ - 0 + + 0

-y ₁ + 4

4/9 -  1

Từ bảng biến thiên ta có

4

4 / 9

<i>m</i>

<i>m</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>a)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ (2 - 2m)x}2_{- (3m - 6)x + 2m + 12 víi - 3 < x}
1 .

<b>b)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 3x}2_{- 24x + m víi - 4 < x}
1 .

<b>c)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 4x}2_{+ mx - 6 víi - 2 < x}
1 .

<b>d)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ mx}2_{- 4x - 8 víi - 3 < x}
1 .

<b>Gi¶i:</b>

<b>a)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm (x + 2)(x2_{2mx + m + 6) = 0}

Bài toán trở thành tìm m sao cho PT x2_{2mx + m + 6 = 0 cã nghiÖm kÐp b»ng – 2}



2

_{6 0}

2

2

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>



















<b>b)</b> y’ = 3(x2_{– 2x - 8); y’ = 0  x = 4 v x = - 2}

yC§ = y(- 2) = m + 28

yCT = y(4) = m – 8

af(- 4) = m – 16

Bài toán trở thành tìm m để

80

0

80

28

( 4) 0

16

<i>CD CT</i>

<i>m</i>

<i>y y</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>af</i>

<i>m</i>











_



 















_





<b>c)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =

3

₄

2

₆

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =

3

₄

2

₆

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =

3 2

2

2

<i>x</i>

4

<i>x</i>

6

<i>x</i>





g’(x) = 0  x = -1
B¶ng biÕn thiªn

x _- _-2 _{- 1} ₀ _+

y’ - 0 + +

y _+ _+ _+

15

11 -

Từ bảng biến thiên ta có - m = 11  m = - 11

<b>d)</b> Phơng trình hoành độ giao điểm - m =
3

2

4

8

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =
3

2

4

8

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =
3

3

4

16

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





g’(x) = 0 x = - 2
Bảng biến thiên

x _- _{- 3} _{- 2} ₀ _+

y’ + 0 - +

y _-2 ₊

- 23/9

- - -

Từ bảng biến thiên ta cã kÕt qu¶ - m = - 2  m = 2

<b>Bài tập 15:</b> Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại một điểm có hồnh độ x1 .

<b>a)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- (2m + 1)x}2_{+ (m + 2)x + m - 2 víi x}
1 < 2 .

<b>b)</b> (C m): y = f(x) = x3_{- 6x}2_{- 36x + m víi x}
1 < 3 .

<b>c)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ 4x}2_{+ mx + 32 víi x}
1 < 4 .

<b>d)</b> (C m): y = f(x) = x3_{+ mx}2_{+ 3x + 9 víi x}

1 < 2 .

<b>Gi¶i:</b>

<b>a)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm (x - 1)(x2_{– 2m x – m + 2) = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>



2

_{2 0}

1

1

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>



















<b>b)</b> y’ = 3(x2_{– 4x - 12) ; y’ = 0  x = - 2v x = 6}

yC§ = y(- 2) = m + 40

yCT = y(6) = m – 216

af(3) = m – 135

Bµi toán trở thành tìm m sao cho

216

0

216

40

(3) 0

135

<i>CD CT</i>

<i>m</i>

<i>y y</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>af</i>

<i>m</i>











_



 















_



<b>c)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =

3

₄

2

₃₂

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =

3

₄

2

₃₂

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =

3 2

2

2

<i>x</i>

4

<i>x</i>

32

<i>x</i>





g’(x) = 0  x = 2
Bảng biến thiên

x _- ₀ ₂ ₄ ₊

y - - 0 +

y ₊ ₊ ₊

40

- 28

Từ bảng biến thiên ta cã - m = 28  m = - 28

<b>d)</b> Phơng trình hồnh độ giao điểm - m =
3

2

3

9

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





XÐt hµm sè g(x) =
3

2

3

9

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





; g’(x) =

3 2

3

3

18

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

g(x) = 0 x = 3
Bảng biến thiên

x - 0 2 3 +

y’ + - 0 +

y + + +

23/4

- 5

Từ bảng biến thiên suy ra không có giá trị m thoả mÃn.

<b>Bài tập 16:</b>

<b>a)</b> (C m): y = f(x) =
<b>b)</b> (C m): y = f(x) =
<b>c)</b> (C m): y = f(x) =
<b>d)</b> (C m): y = f(x) =
<b>Giải:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<b>d)</b>

<b>Bài tập 17:</b>

<b>a)</b> (C m): y = f(x) =
<b>b)</b> (C m): y = f(x) =
<b>c)</b> (C m): y = f(x) =

<b>d)</b> (C m): y = f(x) =
<b>Giải:</b>

<b>a)</b>
<b>b)</b>
<b>c)</b>
<b>d)</b>

<b>Bài tập 18:</b>

<b>a)</b> (C m): y = f(x) =
<b>b)</b> (C m): y = f(x) =
<b>c)</b> (C m): y = f(x) =
<b>d)</b> (C m): y = f(x) =
<b>Giải:</b>

<b>a)</b>
<b>b)</b>
<b>c)</b>
<b>d)</b>

<b>Bài tập 19:</b>

<b>a)</b> (C m): y = f(x) =
<b>b)</b> (C m): y = f(x) =
<b>c)</b> (C m): y = f(x) =
<b>d)</b> (C m): y = f(x) =
<b>Gi¶i:</b>

</div>


<!--links-->