ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 – HK2
CHƯƠNG 3 : DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
TÌM CÁC SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ.

Câu 1:

Cho dãy số

Câu 2:

Cho dãy số

Câu 3:

Cho dãy số

Câu 4:

Cho dãy số

Câu 5:

Cho dãy số

Câu 6:

Cho dãy số

Câu 7:
Câu 8:
Câu 9:

u1  2
�
�
 un  xác định bởi �un1  2  un  1 . Tìm số hạng u4 .
u1  2
�
�
n
1
�

un 1 
un
 un  xác định bởi �
�
. Tìm số hạng u4 .
u1  2
�
�
n
2 
�

un 1 
un
 un  xác định bởi �
�
. Tìm số hạng u5 .
n 1

3
u

n
 un  , biết
2n  2 . Số 8 là số hạng thứ mấy của dãy số?
2n  5
7
 un  , biết un  5n  4 . Số 12 là số hạng thứ mấy của dãy số?

 un  , biết un  3n . Tìm số hạng u2n 1 .

Tìm số hạng tổng quát của dãy số có các số hạng đầu là: 1; 1;1; 1;1; 1;1... .
u1  2
�
�
u  2un
u 
Cho dãy số n xác định bởi �n 1
. Tìm số hạng tổng quát.
u1  2
�
�
u  2  un
u 
Cho dãy số n xác định bởi �n 1
. Tìm số hạng tổng qt.
TÍNH TĂNG GIẢM CỦA DÃY SỐ

Câu 1:


Xét tính tăng giảm của mỗi dãy số

a.
c.
Câu 2:

un 

2n  1
2n  1 ( n ��* ).
2

u n  2n  1

 un 
b.

d.

Tìm tất cả các giá trị của a

un 

với số hạng tổng quát un sau:

n

un 


3n ( n ��* )

3n  n
n

u 
để dãy số n

với

Câu 3:

u 
Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số n với

Câu 4:

Xét tính tăng giảm của mỗi dãy số
a.

un =

1
2n .

1
un = .
n
b.


c.

un 

na  2
n  1 là dãy số tăng?

un 

n2a  1
2n 2  3 là dãy số tăng?

un =

n +5
3n +1 .

d.

un =

2n - 1
n +1 .


2
3n .
đ.
1
un = n

2 .
i.
un =

e.
k

un =

3
n.

g.

un = 2 n

un =

3n - 1
n +1 .

l.

un = n 2

p.

un = n -

s.


un = ( - 1) ( 2n +1)

n 2 +1
un =
n .
n. un = sin n .
o.
1
n
un = - 2
un = ( - 1) .( 2n +1)
n
q.
. r.
n- 1
1
un =
un = 2n + cos
n +1
n
t.
u.

u n = ( - 2)

.

h.


.

m. un = n + 2 .

n- 1

.

n

un =

ư.

1- n
n .

n

v.

2

u n = 2n - 5

.

� 1�
un = �
1+ �

�
�
�
�
�
�
n
x.

y.

un = n + sin 2 n

TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ
Câu 1.

Xét tính bị chặn của mỗi dãy số được cho bởi số hạng tổng quát sau:

a.

un   1

b.

un  n  1 với n ��* .

n

*
với n �� .


un  5  2 n .
c.

3n  1
un 
3n  1 .
d.
n3
un 
n 1 .
e.
f.

Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.

u n  2n  1 .

g.

un  (2)n

h.

un  n 2  2 n  3

i.


n2  n  1
un  2
n  2n  2 .

j.

un 

.
.

3n 2  1
n5 .

k.

un   n 2  n  1

l.

un  n 3

.

�
u1  2
�
�
u  2  un , n �N *
u 

Xét tính bị chặn của dãy số n , biết �n 1
.
u
 
Xét tính bị chặn của dãy số n , biết un  n.cos n .
1
un1  un 
, n ��*
2
u 
 1 n
Xét tính bị chặn của dãy số n có u1  1 và
.
NHẬN DẠNG MỘT DÃY SỐ LÀ MỘT CẤP SỐ CỘNG

Câu 1.

n

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng ?
u 
v 
v  2n 2  1
a) Dãy số n với un  4n .
b) Dãy số n với n
.
n
wn   7
wn 


t 
t  5  5n .
3
b) Dãy số
với
.
d) Dãy số n với n

.


x1  x2  ...  xn 

Câu 4.

x 
Tìm công sai của cấp số cộng n thỏa mãn
Cho một cấp số cộng có u1  3; u6  27 . Tìm d ?
1
u1  ; u8  26
3
Cho một cấp số cộng có
Tìm d ?

Câu 5.

Cho cấp số cộng

Câu 2.
Câu 3.


Câu 6.

Câu 7.

3n  n  3
2
với mọi n ��* .

 un 

có: u1  0,1 và d  0,1 . Tìm số hạng thứ 7 của CSC.
Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình
phương của chúng bằng 120 .
Cho cấp số cộng
của cấp số cộng.

 un 

u2  u3  u5  10
�
�
u  u  26
thỏa mãn � 4 6
. Xác định công sai và cơng thức tổng qt

XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG VÀ CƠNG SAI CỦA CSC
Câu 1.

Cho cấp số cộng


 un 

Câu 2.

Cho cấp số cộng

 un 

Câu 3.

Cho cấp số cộng

 un  , biết u2  3

Câu 4.

u 
Xác định số hàng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng n có u9  5u2 và u13  2u6  5 .

Câu 5.

có u1  3 , u6  27 . Tính cơng sai d .
1
u1 
3 và u8  26 . Tìm cơng sai d
có số hạng đầu
và u4  7 . Tính u15 .

*

S  5n 2  3n  n �� 
Một cấp số cộng có tổng của n số hạng đầu S n tính theo cơng thức n
,
.
Tìm số hạng đầu u1 và cơng sai d của cấp số cộng đó.

 un 

có u5  15 , u20  60 . Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số

Câu 6.

Cho cấp số cộng
cộng này.

Câu 7.

Hãy viết ba số xen giữa 2 và 22 để ta được một cấp số cộng có 5 số hạng.

Câu 8.
Câu 9.

*
S n  5n 2  3n  n �� 
S
n
n
Một cấp số cộng có tổng của số hạng đầu
tính theo cơng thức
,

.
Tìm số hạng đầu u1 và cơng sai d của cấp số cộng đó.

Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình
phương của chúng bằng 120 .
u2  u3  u5  10
�
�
u  u  26
u 
thỏa mãn: � 4 6
. Xác định công sai của n

u 
Câu 10. Cho cấp số cộng n
u 
Câu 11. Cho dãy số n có d  2 và S8  72 . Tính u1 ?
XÁC ĐỊNH TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA CẤP SỐ CỘNG
Câu 1:

Cho cấp số cộng

Câu 2:

Cho cấp số

 un 

 un 


có u1  3 , u6  27 . Tính tổng S10 .
1
1
u1  ; d  
4
4 . Tính tổng 5 số hạng đầu của CSC.
có:


Câu 3:
Câu 4:

 un  có u1  1; d  2; Sn  483 . Tính số các số hạng của cấp số cộng?
u 
Cho cấp số cộng n có u5  15; u20  60 . Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số
Cho cấp số cộng
cộng.

Câu 7:

Cho cấp số cộng: 2; 5; 8; 11; 14;... Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên?
u 
Cho cấp số cộng n , có số hạng tổng quát un  1  3n . Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của
cấp số cộng.
u 
Cho cấp số cộng n biết u5  18 và 4 Sn  S 2n . Tính u1 và d .

Câu 8:

Cho cấp số cộng


 un 

Câu 9:

Cho cấp số cộng

 un  , biết

Câu 5:
Câu 6:

và gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết S7  77 và S12  192 .
Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng đó
u1  5 , d  2 . Số 91 là tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp

u 
số cộng n ?
Câu 10: Bạn Hùng đang tiết kiệm để mua một cây guitar. Trong tuần đầu tiên, bạn ấy để dành 70.000
đồng, và trong mỗi tuần tiếp theo, bạn ấy thêm 20.000 đồng vào tài khoản tiết kiệm của mình.
Cây guitar Hùng cần mua có giá 1.650.000 đồng. Hỏi vào tuần thứ bao nhiêu thì bạn ấy có đủ
tiền để mua cây guitar đó?
Câu 11: Giải phương trình 1  8  15  22  �  x  12450
Câu 12: Người ta trồng 210 cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây,
hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây…. Hỏi trong khu vườn có bao nhiêu hàng cây?
Câu 13: Cho một cấp số cộng

 un 

có u1  3 và tổng của 60 số hạng đầu bằng 3360 . Tìm cơng thức


của số hạng tổng qt un .
u 
Câu 14: Cho cấp số cộng n có u2017  u4  10000 . Tính tổng của 2020 số hạng đầu tiên của CSC.
Câu 15: Người ta viết thêm 999 số thực vào giữa số 1 và số 2018 để được cấp số cộng có 1001 số
hạng. Tìm số hạng thứ 501 .
TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ CỘNG

Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
Câu 6.
Câu 7.
Câu 8.
Câu 9.

 un 
u 
Cho cấp số cộng n

có u1  1 và u3  3 . Tìm u2
có u1  1 và u3  3 . Tìm u4
Tìm x, y để các số hạng lần lượt 2; x;  8; y theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng.
Tìm x, y để các số hạng lần lượt  x; 1; y;3 theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng.
Xác định x để ba số 1; x;3  x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Cho cấp số cộng

2

Xác định x để ba số 1– x; x ; 1  x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
2
Xác định x để ba số 1  2 x; 2 x  1; 2 x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
2
Xác định x để ba số 1  3 x; x  5;1  x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
2
2
Với giá trị nào của x thì ta có cấp số cộng với ba số hạng là x  5; 5 x; x  7 (ba số hạng lấy
theo thứ tự đó)


Câu 10. Ba số hạng của một cấp số cộng lần lượt là x  5; 3x và y. Tìm x; y biết rằng công sai của cấp
số cộng là 3
HÀM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN CẤP SỐ CỘNG.

Câu 1:

Cho ba điểm

A  0;5 , B (2;3), C  a; b 

có tọa độ tạo thành cấp số cộng. Tìm a, b.

Câu 2:

Cho ba điểm

A  0;5 , B (a; b), C  4;  1

có tọa độ tạo thành cấp số cộng. Tìm a, b.


Câu 3:

A  1;5 , B(3; b)
Cho hàm số y  x  2 (d ) và hai điểm
không thuộc d, C là điểm thuộc đường
thẳng d sao cho tọa độ ba điểm A, B, C theo thứ tự tạo thành cấp số cộng. Tìm tọa độ điểm B.

B  2;0  , C (4; 3)
Câu 4: Cho hàm số y  ax  1 (d ) và hai điểm
không thuộc d, A là điểm thuộc
đường thẳng d sao cho tọa độ ba điểm theo thứ tự A, B, C tạo thành cấp số cộng. Tìm a.
Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:

A  3;  4  , C (1; 2)
Cho hàm số y  2 x  m (d ), ( m ��) và hai điểm
không thuộc d, B là điểm
thuộc đường thẳng d sao cho tọa độ ba điểm theo thứ tự A, B, C tạo thành cấp số cộng. Tìm m .
A  0;  1 , C (2;  1)
Cho hàm số y  2 x  m (d ), ( m ��) và hai điểm
không thuộc d, B là điểm
thuộc đường thẳng d sao cho tọa độ ba điểm theo thứ tự A, B, C tạo thành cấp số cộng. Viết
phương trình của đường thẳng d .
2

A  1;  1 , C (2; 2)
Cho hàm số y  x  2 (C ) và hai điểm
, B là điểm thuộc đường cong (C ) sao
cho hoành độ ba điểm theo thứ tự A, B, C tạo thành cấp số cộng. Tìm tọa độ điểm B.
2
A  2;  5  , C (4;1)
Cho hàm số y  x  2 x  2 (C ) và hai điểm
, B là điểm thuộc đường cong
(C ) thỏa mãn xB  0 và tung độ ba điểm theo thứ tự A, B, C tạo thành cấp số cộng. Tìm tọa độ

điểm B.
Câu 9:

2
A  2;  2  �(C ), B(0; 4) �(C )
Cho hàm số y  x  bx  c (C ) và hai điểm
. Điểm C thuộc đường
cong (C ) thỏa mãn tọa độ ba điểm theo thứ tự A, B, C tạo thành cấp số cộng. Viết phương
trình của đường cong (C).

2
A  a;  5 
Câu 10: Cho phương trình x  5 x  4  0 và điểm
. Tìm giá trị của a để hồnh độ của A và
hai nghiệm của phương trình tạo thành cấp số cộng.

NHẬN DẠNG MỘT DÃY SỐ LÀ MỘT CẤP SỐ NHÂN
Câu 7:

Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?


A.

u1  1
�
�
un 1  un  1, n �1
�

.

B.

u1  1
�
�
un 1  3un , n �1
�

.


C.
Câu 8:

u1  2
�
�
un 1  2un  3, n �1
�


Trong các dãy

 un 

un   1 3n 1

� 
u1 
�
� 2
�
� �
�
un  sin � �
, n �1
�
n

1
�
�
�
D.
.

.

sau, dãy số nào là cấp số nhân?


n

A.
Câu 9:

.

B.

un   1

n 3

n

.

C.

un  n 2

D. A và B .

.

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
� 1
u1 
�
� 2

�
u  un2 , n �1
A. �n 1
.

C.

u1  2
�
�
un 1  5un , n �1
�

B. un 1  nun , n �1 .

D. un 1  un  3, n �1 .

.

Câu 10: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A.

un 

1
n2

3


.

B.

un 

1
1
3n
.

Câu 11: Viết công thức số hạng tổng quát của dãy số

C.

 un 

un  n 

1
3.

D.

un  n 2 

1
3.

u1  3

�
�
�
1
un 1  un
�
2
xác định bởi hệ thức �
.

XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG VÀ CÔNG BỘI CỦA CÂP SỐ NHÂN

Câu 2.

u 
Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân n có u4  u2  54 và u5  u3  108 .
1
u2 
u
4 , u5  16 . Tìm cơng bội q và số hạng đầu u1 .
Cho cấp số nhân n có

Câu 3.

Cấp số nhân

Câu 1.

Câu 4.
Câu 5.


Câu 6.
Câu 7.
Câu 8.
Câu 9.

 un 

có công bội âm, biết u3  12 , u7  192 . Tìm u10 .
u 
Cho cấp số nhân n biết u6  2 và u9  6 . Tìm u21 .
u 
S  5n  1
Cho cấp số nhân n có tổng n số hạng đầu tiên là n
với n  1, 2,... . Tìm số hạng
đầu u1 và cơng bội q của cấp số nhân đó?

1
4 ; u5  16 . Tìm q và u1 .
Cho cấp số nhân có
u 
Cho cấp số nhân n với u1  1; u6  0, 00001 . Tìm q và un ?
u 
Tìm số hạng đầu u1 của cấp số nhân n biết rằng u1  u2  u3  168 và u4  u5  u6  21
u1  u3  u5  65
�
�
u  u  325
u 
Cho cấp số nhân n thỏa mãn �1 7

. Tính u3 .
XÁC ĐỊNH TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CSN
u2 


Câu 1.

Một cấp số nhân hữu hạn có cơng bội q  4 , số hạng thứ ba bằng 32 và số hạng cuối bằng
524288 . Tìm tổng của cấp số nhân đó.

1 1

1

S  1    ...  n  ...
3 9
3

Câu 2.

Tính

Câu 3.

Trong một cấp số nhân gồm các số hạng dương, hiệu số giữa số hạng thứ 5 và thứ 4 là 576 và
hiệu số giữa số hạng thứ 2 và số hạng đầu là 9 . Tìm tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Câu 4.
Câu 5.


Câu 6.

Câu 7.
Câu 8.

Cho CSN un biết S2  4; S3  13 . Tìm S5 .
u 
Cho cấp số nhân n biết hai số hạng đầu là số dương u1  5, u5  405 và tổng của n số hạng
đầu tiên của CSN bằng 5465 . Tìm n ?
Cho cấp số nhân
nhân đó.
Cho cấp số nhân

 un 

 un 

S  8n  1
có tổng n số hạng đầu tiên là n
Tìm số hạng thứ 10 của cấp số
u10  u1  39364
�
�
u7  u4  u1  1514
�

có
. Tính tổng của 30 số hạng đầu của CSN trên.
1 1
; ; 1; L ; 4096.

Cho cấp số nhân 4 2
có tổng của hai số hạng đầu tiên bằng 8 , tổng của ba số
hạng đầu tiên bằng 26 . Tính tổng của mười số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho, biết công
bội của cấp số nhân là một số dương.

1 1 1 1
; ; ; ; 1;L ; 2048.
Câu 9. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 16 8 4 2
Tính tổng S của tất cả
các số hạng của cấp số nhân đã cho.
S  5  55  555  ...  5555....5
14 2 43
2020 sè 5
Câu 10. Tính tổng
.
Câu 11. Một quả bóng tenis được thả từ độ cao 243m . Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần
ba độ cao của lần rơi trước. Tính chiều dài qng đường quả bóng tenis di chuyển từ khi thả
đến khi khơng nảy nữa.
TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ NHÂN
Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
Câu 6.
Câu 7.
Câu 8.
Câu 9.

Tìm x để các số 2; 8; x; 128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Với giá trị x nào dưới đây thì các số 4; x;  9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?
1
 b  0  để các số 2 ; b ; 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.?
Tìm b
Tìm tất cả giá trị của x để ba số 2 x  1; x; 2 x  1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Tìm x để ba số 1  x; 9  x; 33  x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Tìm x, y để các số hạng lần lượt là 2; x;  18; y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?

Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là x; 12; y; 192. Tìm x, y.
Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5; x; y; 320 theo
thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Tìm x, y.
Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x  6; x và y. Tìm y , biết rằng công bội của cấp số
nhân là 6.


2
Câu 10. Hai số hạng đầu của của một cấp số nhân là 2 x  1 và 4 x  1. Tìm số hạng thứ ba của cấp số
nhân.
HÀM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN CẤP SỐ NHÂN

Câu 1.
Câu 2.

x3   3m  1 x 2   5m  4  x  8  0
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có ba
nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân
Biết rằng tồn tại hai giá trị thực của tham số m1 và m2 để phương trình
2 x 3  2  m 2  2m  1 x 2  7  m 2  2m  2  x  54  0


có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp

số nhân. Tính giá trị của biểu thức P  m  m .
3
1

Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
Câu 6.

Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
Câu 6.

Câu 7.
Câu 8.

3
2

x 3   m 2  3  x 2   m 2  3 x  1  0
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
ln
có 3 nghiệm và ba nghiệm này lập thành cấp số nhân.
x 3   5  m  x 2   6  5m  x  6 m  0
Tìm tham số m để phương trình

có 3 nghiệm phân biệt lập
thành cấp số nhân ?
x 3  2 x 2   m  1 x  2  m  1  0
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình
có ba
nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân.
16 x 4  mx3   2m  17  x 2  mx  16  0
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình
có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân.

BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẢ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
Cho ba số x ; 5 ; 2 y theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số x ; 4 ; 2 y theo thứ tự lập thành
cấp số nhân. Tìm x, y.
Cho ba số x , 5 , 3y theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số x , 3 , 3y theo thứ tự lập thành
cấp số nhân. Tìm x, y.
Xét các số thực dương a , b sao cho 25 , 2a , 3b là cấp số cộng và 2 , a  2 , b  3 là cấp số
nhân. Tìm a, b.
Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số
x,2y,3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với cơng sai khác 0. Tìm q?
2
2
Tìm hai số x, y sao cho x; 2 x  3 y; y theo thứ tự lập thành CSC, các số x ; xy  6; y lập thành
CSN.
Cho ba số tạo thành một cấp số nhân mà tổng của chúng bằng 93. Ta có thể sắp đặt chúng
( theo thứ tự của cấp số nhân kể trên) như là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ bảy của một cấp
số cộng. Tìm cơng bội của cấp số nhân?
Cho a  b  c là ba số nguyên. Biết a , b , c theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng và a , c , b
theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân. Tìm giá trị nhỏ nhất của c .
Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có
thể coi là số hạng thứ 2 , thứ 9 , thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng

đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820 ?
TÍNH TỔNG CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN

Tính các tổng sau:
a)

S = 9+ 99+ 999+... + 999...9

b)

S = 1+11+111+... +111...1


c)

S = 1 + 2.3 + 3.32 + ... +11.310

d)

S  1    ...  n  ...
3 9
3

1 1

1


ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

1.1. Giới hạn của dãy số phân thức, dãy số chứa mũ n.

1:

Tính

L  lim

7 n 2  2n 3  1
.
3n3  2n 2  1

I  lim

2: Tính

L  lim

3: Tính

I  lim

4: Tính

n 3  2n
3n 2  n  2 .
4n 2  5  n
4n  n 2  1 .

3.2n 1  2.3n 1

4  3n

lim

5: Tính

n 1
n3  3 .

u
6: Cho dãy số  n 

lim

Biết

với

1  2  3  ...  n
lim un .
n2  1
. Tính

2n  n  4 1

an 3  2
2 với a �0 là tham số. Tìm a.
3

7:


un 

2

 3n  1  3  n 
un 
3
4n  5 
un 


8: Tính giới hạn của dãy số
với

2

1.2. Giới hạn của dãy số bằng phương pháp nhân liên hợp

9: Tính
10: Tính
11: Tính
12: Tính

lim

3n 1  2n
5  3n .

lim


3n 2  n
4n 2  5 .

lim

(

lim

2 n3  3
.
1  2n 2

).

n 2 + 2n -

n 2 +1





lim n 2  4n  7  a  n  0
a
13: Tìm để
?
lim n n  4  n  3




14: Tính

15: Tính giới hạn
16: Tính

lim



17: Tính giá trị
18: Tính giá trị


19: Cho
lim 
20: Biết
lim

.



lim n  n 2  4n

n 2  4n  n

B  lim




M  lim

3



.

.

.

n3  9n2  n
3



1 n2  8n3  2n



a
a
, a, b ��,
b
b là phân số tối giản . Tính giá trị của a.b .
7
4n 2  kn  7  2n  1 

4 . Tìm k .

9n 2  4n  3n 




21: Biết

lim





n 2  an  5  n 2  bn  3.

Tính tổng a + b.

1.3. Cấp số nhân lùi vô hạn

22:

1 1
1
S   2  ...  n  ...
3 3
3
Tính tổng


23:

S  1  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  �   1 sin 2 n x  �
Cho sin x ��1 . Tính
.
n

25:

 1
1 1
S    ... 
3 9
3n .
Tính
1
1
S  9  3  1   ...  n 3  ...
9
3
Tính
.

26:

2 4
2n
S  1    ...  n  ...
3 9
3

Tính Gọi
.

n 1

24:

27:

Cho

0  


2
3
4 . Tính S  1  tan   tan   tan   ...
lim

1  a  a 2  ...  a n
1  b  b 2  ...  b n

28:

0  a , b 1
Cho hai số thực a, b biết
. Tính

29:


Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 0, 212121� dưới dạng số hữu tỉ.

30:

Tính tổng các số hạng của các dãy số sau :

 1
1 1 1
 , ,  ,..., n ,...
2
a. 2 4 8
.
n

n1

2 4
� 2�
1,  , ,..., �
 � ,...
3 9
� 3�
c.
.

31:

Tính tổng

M


 1
1 1 1
,  , ,..., n1 ,...
2
b. 2 4 8
.
n

n

1 1
� 1�
1, ,  ,..., � �,...
3 9
� 3� .
d.

2
7
2
7
 2  3  4  ...
10 10 10 10

1.4. Tốn thực tế, liên mơn liên quan đến giới hạn của dãy số

32:

33:


Hình vng có cạnh bằng 1, người ta nối trung điểm các cạnh liên tiếp để được một hình
vng, tiếp tục làm như thế đối với hình vng mới (như hình bên). Tổng diện tích tất cả các
các hình vng đó bằng bao nhiêu (đvdt)?.
0
1
2
n 1
Một đa giác lồi n cạnh có độ dài các cạnh là Cn 1 , Cn 1 , Cn 1 ,..., Cn 1 .(n  4) . Gọi P là chu vi của

đa giác đó. Tính

34:

lim

P
2 1 .
n

Xếp một tịa tháp thì Ơng A phải liên tục cắt ra các hình vuông từ giấy các-tông rồi xếp chồng
lên nhau như (tương tự như hình vẽ), Hình vng dưới cùng có cạnh bằng 4, hình vng xếp
1
liền trên sẽ có độ dài cạnh bằng 2 cạnh của hình vng liền dưới. Hỏi diện tích giấy các-tơng
Ơng A cần chuẩn bị là bao nhiêu (đvdt)?


35:

Mỗi ngày bỏ tiền tiết kiệm vào Heo đất một lần. Ngày thứ nhất bỏ vào 1000 VNĐ, và cứ ngày

sau số tiền bỏ vào Heo đất lại gấp đôi số tiền của ngày trước đó. Gọi S n là tổng số tiền tiết
Sn
un .
kiệm được đến ngày thứ n và un là số tiền ngày thứ n bỏ vào Heo đất. Tính
Mỗi ngày bỏ tiền tiết kiệm vào Heo đất một lần. Ngày thứ nhất bỏ vào 1000 VNĐ, và cứ
ngày sau số tiền bỏ vào Heo đất lại hơn số tiền của ngày trước đó 1000 VNĐ. Gọi S n là tổng
u
lim n
Sn
số tiền tiết kiệm được đến ngày thứ n và un là số tiền ngày thứ n bỏ vào Heo đất . Tính
lim

Câu 45:

.
Câu 46:

Cho một tam giác đều ABC cạnh bằng 3. Tam giác A1 B1C1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh
của tam giác ABC, Tam giác A2 B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1 B1C1
, ..., Tam giác An BnCn có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác An 1 Bn 1Cn 1 ,... . Gọi
S1 , S2 , S3 ,..., S n ,... lần lượt là diện tích của các tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,..., An Bn Cn ... .
Tính tổng S  S1  S2  S3  ...  Sn  ...

Câu 47:

1
1
H
,
H

,
H
,...
H
,...
n
Các hình chữ nhật 1 2 3
có độ dài các cạnh lần lượt bằng n và n  1 tương ứng
với n  1, 2,3...n,... . Tính tổng diện tích các hình chữ nhật này?

1
n
Câu 48: Một Rô-bốt leo lên cây mỗi ngày một cách khác nhau như sau. Ban ngày Rô-bốt sẽ leo lên 2
1
n
cm rồi trong đêm Rô-bốt lại tụt xuống một đoạn bằng 4 cm với n là số tự nhiên ứng với thứ
tự từng ngày mà chú leo (n = 1, 2, 3, 4, ...) . Tính quảng đường mà Rô-bốt di chuyển được
khi n � �.
Câu 49: Gọi C1 là đường trịn tâm O1 đường kính AB = R, C2 là đường trịn tâm O2 đường kính AO1 ,
C3 là đường trịn tâm O3 đường kính AO2 , ... Cn là nửa đường tròn tâm On đường kính
AOn 1 , Gọi pn là nửa chu vi của đường trịn Cn . Tính L  p1  p2  p3  ...  pn  ... .
Câu 50: Gọi C là nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R, C1 gồm hai nửa đường tròn đường kính
AB
AB
C
2 , 2 gồm bốn nửa đường trịn đường kính 4 , C3 gồm 8 nửa đường trịn đường kính
AB
AB
n
C

8 ... , n gồm 2 nửa đường trịn đường kính 2 n , Gọi pn là độ dài của Cn Tính lim pn .
1.5. Sử dụng nguyên lý kẹp
Câu 51:
Câu 52:
Câu 53:
Câu 54:
Câu 55:

3sin n
2n  1 .
Tính
3sin n  4 cos n
lim
n2  1
Tính
.
5
sin n  2
lim 3
n 1 .
Tính
lim

cos3 n
lim 2
n 1 .
Tính
5cos 2020 n
lim
n2  1 .

Tính

Câu 56:
Câu 57:
Câu 58:
Câu 59:
Câu 60:

Tính

lim

n 2  5cos n
n2  1 .

cos n 2  3n 2
n2  1 .
Tính
sin n5  3n
lim
n2  1 .
Tính
lim

2sin n 2020  3n
lim
n2  1
Tính
.
2020

2sin n  3 n 4  1
lim
n2  1
Tính
.


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

0
Dạng 2.2. Giới hạn của hàm số dạng 0 và 0.�.

Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.

x2
.
x  3x  2

lim

2

x �2

Tính giới hạn

x 1
.

x 1

lim
lim

x �1

Tính giới hạn

Câu 7.

2 x5
.
x2 1

lim

x

2

 1  1

x 2

x� 2

Câu 8.

2


Câu 4.

Tính giới hạn

Câu 5.

x 1 1
lim
x �0
4 x 2 .
Tính giới hạn

Câu 9.

Câu 12.


C  lim 
Tìm giới hạn

Câu 13.

Tính

lim



x ��


Câu 15.
Câu 16.
Câu 17.
Câu 18.

Tính

lim



Tìm giới hạn

2

x 1  x  3

Câu 14. Tìm giới hạn
x ��

.
4x  x 1  2x 
.

B  lim 2 x  4 x 2  x  1
x ��






I  lim x  1  x 2  x  2
x ��

x2  4 x  2  x
I  lim




Tìm giới hạn
A  lim 
Tìm giới hạn
lim  x  x  x 
Tính
C  lim 
Tìm giới hạn
D  lim

x ��

x ��



x2  4x  1  x

x � �


3

.

.

x3  x 2  1  x 2  x  1
x2  x 1  x

.

.

2

Câu 19.
Câu 20.

x ��

x ���

x2  x  1  x2  x  1

.

Dạng 2.4. Giới hạn một bên.

Câu 21.
Câu 22.

Câu 23.

�x 2  3 khi x �2
f  x  �
lim f x
�x  1 khi x  2 . Tính x�2   .
Cho hàm số
x 3
lim
Tính x �3 x  3 .
Tính

lim
x �1

x2  x  1
x2 1

Tính

Tính

x
x 1
2

lim x

2
x  x3


lim x

2
x  x3

x �0

x �0

2

2

x �1

lim  x  1

Dạng 2.3. Giới hạn của hàm số dạng � �.
x ��

Tính

x �1

lim  x  1

Câu 10.

Tìm giới hạn


Tính

.

3

Câu 11.

Tính

2

x �1

Tính giới hạn

Câu 6.

lim  x  1

x �1

3  x  1

 x  1  x 2  3x  2 
3  x  1

 x  1  x 2  3x  2 



Câu 24.
Câu 25.
Câu 26.
Câu 27.
Câu 28.
Câu 29.

x2  4x  4
x2
Tìm x �2
.
x 3
f  x 
lim f x
x 2  9 . Tính x�3   .
Cho hàm số
x  15
lim
Tính x �2 x  2
lim

Tính
Tính
Tính

x2
x2

lim


x �2

lim 

x � 2 

lim

x �2

3x  6
x2

2 x
2 x  5x  2
2

� 2x
khi x  1
�
f  x  � 1 x
.
� 3x 2  1 khi x �1
�

Tính

lim f  x 


x �1

Câu 30.

Cho hàm số

Câu 31.

�x  1
khi x  1
�
f  x   �1  x
.
� 2 x  2 khi x �1
lim f  x 
�
Cho hàm số
Tính x�1
� x  2  3 khi x �2
f  x  �
.
lim f  x  .
ax  1
khi x  2
�
Cho hàm số
Tìm a để tồn tại x �2
2

Câu 32.


Dạng 2.5. Giới hạn bằng vô cùng
Câu 33.

Tính

lim  2020 x3  2019 x 

x�  �

:

A  lim  4 x  3 x 2  2 x  1
3

Câu 34.
Câu 35.
Câu 36.
Câu 37.

Tìm giới hạn

x ��


C  lim 
Tìm giới hạn
Tìm giới hạn

B = lim


x�  �

x ��

Tìm giới hạn

x �1

Câu 39.
Câu 40.
Câu 41.
Câu 42.

Tìm giới hạn
Tìm giới hạn

x �3

3

x 2  2 x3

5x  3
x 1 .
4x  3

D  lim

E  lim

Câu 38.

4 x  3x  1
2

 x  3

F  lim
x �1

.

2

.

5 x  3x  2
x 1
.
2

x10  2 x 5
x�  �
x2  2 .
Tìm giới hạn
2�
�1
H  lim � 2  3 �
x� 0 �
x

x �.
Tìm giới hạn
3x 6  1  x3
I  lim
x�  �
x 1
Tìm giới hạn
.
G  lim

�
Dạng 2.6. Giới hạn của hàm số dạng �.

.

.

.


Câu 43.
Câu 44.
Câu 45.
Câu 46.
Câu 47.
Câu 48.
Câu 49.

Câu 50.
Câu 51.


2 x 4  x3  2 x 2  3
x ��
x  2x4
lim

1  x2
f  x 
lim f  x 
x . Tính x ��
Cho hàm số
2 x2  3
lim
x �� x 6  5 x 5

lim

x ��

x8  2 x 5
2 x3  1

ax 2  4 x  5
 4
x �� 2 x 2  x  1
. Tìm a.
xm
lim
x ��
x2  1

lim

lim

3x 4  4 x5  2
9 x5  5 x 4  4

lim

4 x 2  7 x  12
3 x  17

lim

x2  x  2x
2x  3

x ��

x ��

x ��

Dạng 3.2. Hàm số liên tục tại một điểm

Câu 12:

� x 2
khi x �4
�

�x  4
f ( x)  �
�1
khi x  4
�
�4
Xét tính liên tục của hàm số
tại điểm x  4 .

Câu 13: Tìm giá trị của tham số m để hàm số

� 3x  1  2
khi x �1
�
f  x   � x 1
�m
khi x  1
�

liên tục tại điểm x0  1 .

�x 2  x  2
khi x �1
�
f  x   � x 1
�
3m
khi x  1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm
�
Câu 14: Cho hàm số

số gián đoạn tại x  1.
�x 2  x  12
khi x �4
�
� x4
y  f  x �
mx  1
khi x  4 liên tục tại điểm x0  4 .
�
Câu 15: Tìm tham số thực m để hàm số
�x 2  1
khi x �1
�
f  x   �x  1
�
3 x  m khi x  1 liên tục tại điểm x  1
�
Câu 16: Tìm m sao cho hàm số
�x 2  3 x  4
�
f  x   � x 1
�
2ax  1
�
Câu 17: Cho hàm số

khi x  1
.
khi x �1 Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x  1.



�x 2  4 x  3
khi x  1
�
f ( x)  � x  1
�
mx  2
khi x �1 liên tục tại điểm x  1 .
�
Câu 18: Tìm m để hàm số

Câu 19: Tìm m để hàm số

�x 2  1 khi x �1
f  x  �
�x  1 khi x  1 liên tục tại điểm x0  1

� x  2a khi x  0
f  x  � 2
�x  x  1 khi x �0 liên tục tại x  0 ?
Câu 20: Tìm a để các hàm số
� x4 2
khi x  0
�
� x
f  x  �
5
�
2m  x khi x �0
�

�
4
Câu 21: Tìm tham số m sao cho hàm số
liên tục tại x  0
Dạng 3.2. Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn
Câu 22: Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của nó:

x2  1
x2  5 x  6 .
a)
x2
f ( x)  2
x  x6 .
b)
1
f  x 
x2 1
c)
f  x 

d)

f  x  x  2

�x 2  3
,x� 3
�
f  x   �x  3
�
2 3

,x 3
�
e)
.
3
� x 1
khi x  1
�
� x 1
f ( x)  �
�3 1  x  2
khi x �1
�
� x2
f)
.
g) f ( x)  2sin x  3 tan 2 x .

h)

Câu 23:


�tan x
, x �0‫�ٹ‬
x
�
f  x  � x
2
�

0
,x0
�

Cho hàm số

k , k

�3  9  x
, 0 x9
�
x
�
�
f  x  �
m
,x0
�3
�
, x �9
�x

�
.

f  x
 0; � .
. Tìm m để
liên tục trên



Câu 24:

Tìm m để các hàm số

� x 1 1
khi x  0
�
f ( x)  � x
�
2 x 2  3m  1 khi x �0
�

liên tục trên �

Dạng 3.3. Bài tốn chứa tham số
Câu 25: Tìm các giá trị thực của tham số m để giới hạn

lim
x �1

x 2  mx  m  1
3
x 1
.

x2  5x  6
 1
xa
Câu 26: Tìm a để giới hạn x �2

.
ax
lim
2
x �1
2

x

1
a
Câu 27: Tìm để giới hạn
.
2
cx  a
lim
x �� x 2  b
Câu 28: Tính
lim

2 x  m khi x �0
�
f  x  �
mx  2
khi x  0
�
Câu 29: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số
liên tục trên �
.


Câu 30: Tìm giá trị của tham số m để hàm số

� 3x  1  2
khi x �1
�
f  x  � x 1
�m
khi x  1
�

liên tục tại điểm

x0  1 .

�x 2  x  2
khi x �1
�
f  x  � x 1
�
3m
khi x  1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián
�
Câu 31: Cho hàm số
đoạn tại x  1.
�x 2  ax  a  1
khi x �1
�
f  x   � x 1
�
2ax  1,

khi x  1 liên tục trên �. Tính
�
Câu 32: Cho a là hai số thực sao cho hàm số

a2  a  1 .
Câu 33: Cho hàm số

f  x 

x2 1
2
x  1 và f  2   m  2 với x �2 . Tìm tất cả các giá trị của m để f  x  liên tục

tại x  2 .

Câu 34: Cho hàm số

�sin 5 x
�
f  x   � 5x
�
a2
�

x �0
x0

f  x
. Tìm các giá trị thực của tham số a để
liên tục tại điểm


x  0.
Dạng 3.3. Chứng minh phương trình có nghiệm
Câu 35:
Câu 36:

2019
 8 x  4  0 có nghiệm trong khoảng  0;1 ?
Chứng minh phương trình 3 x

m

Chứng minh phương trình
nghiệm phân biệt với mọi m.

2

 3  x  1  x 2  4   x 3  3  0  1

, với m là tham số có ít nhất hai

Câu 37:

3
 2; 1 .
Chứng minh phương trình x  3x  1  0 chỉ có một nghiệm trong khoảng

Câu 38:

3

2
Tìm số nghiệm của phương trình x  2 x  x  1  0 .

Câu 39:

Cho hàm số
trình

f  x

f  x   5

liên tục trên đoạn

có nghiệm trên đoạn

 1;5

sao cho

 1;5 .

f  1  3 f  5   6
;

. Chứng minh phương


Câu 40:


Tìm tất các giá trị của tham số thực

m

 2m

.

2



 5m  2  x  1

2017

x

2018



 2  2x  3  0

sao cho phương trình sau có nghiệm:

GIẢI TÍCH 11
CHƯƠNG 5. ĐẠO HÀM
Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Dạng 1.1 Tìm số gia của đối số, số gia của hàm số

Câu 41:

Tìm số gia của hàm số

f  x   x3
f  x 

ứng với

x0  2 và x  1

x2
2 ứng với số gia x của đối số x tại x0  1

Câu 42:

Tìm số gia của hàm số

Câu 43:

Tìm số gia của hàm số

Câu 44:

x
Tính số gia của hàm số y  x  x  1 tại điểm 0 ứng với số gia x  1 .

Câu 45:

3

Cho hàm số y  x  1 gọi x là số gia của đối số tại x và y là số gia tương ứng của hàm số, tính

f  x   x2  4x  1
3

ứng với x và x

2

y
x .

Câu 46:
Câu 47:

y
Tính tỉ số x của hàm số y  2 x( x  1) theo x và x
f  x   x2  2x
x
Cho hàm số
Tìm y

Câu 48:

Cho hàm số

, có

f  x  x


là số gia của đối số tại x  1 , y là số gia tương ứng của hàm số.

, có x là số gia của đối số tại x  4 , y là số gia tương ứng của hàm số. Tìm

y
Câu 49:

Cho hàm số y  sin x gọi x là số gia của đối số tại điểm x bất kì thuộc tập xác định của hàm số và

Câu 53:

y
y là số gia tương ứng của hàm số, tính x ?
x 1
f  x 
x  1 , tìm số gia tương ứng của hàm số biết x0  2, x  1 ?
Cho hàm số

x

, x  
0
f  x   cos x
3
Cho hàm số
, tìm số gia tương ứng của hàm số biết
?
2
Tính số gia của hàm số hàm số y  x  1 tại điểm x ứng với số gia của đối số x  1 ?
1

f  x 
x . Gọi x là số gia của đối số tại x0  1 , tìm số gia tương ứng của hàm số.
Cho hàm số

Câu 54:

Cho hàm số

Câu 50:
Câu 51:
Câu 52:

f  x   x3  x

, gọi x là số gia của đối số tại x bất kì và y là số gia tương ứng của hàm

y
số. Tính tỉ số x
Câu 55:

Cho hàm số

f  x 

1
2 x  1 , gọi x là số gia của đối số tại x bất kì thuộc tập xác định và y là số gia

y
tương ứng của hàm số. Tính tỉ số x



Dạng 1.2 Tính đạo hàm của hàm số tại điểm

x0

cho trước

Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm
a)
b)

f  x   2 x2  x  1

tại

x0

cho trước

x0  1

y  f  x   x2  2x  1

tại

x0  1

tại điểm

x0  2


x 1
x  1 tại x0  2
c)
y  f  x   2sin x  1 x0  0
d)
tại
y  f  x 

e)

y  f  x  x  1

f)

�3  4  x
�
�
f  x  � 4
�1
�
�4

g)

y  f  x  x  x

khi x �0
khi x  0


. Tính giá trị

i)

1
f  x 
x tại x0  2 .
f  x   sin x
x0  

j)

1
y  f  x 
x  1 tại xo  2 .

h)

k)

Câu 56:

tại điểm

y  f  x   x2  2x
�x 2
�
f ( x )  �2
�
ax  b

�

. Tính

Câu 58:

Câu 59:

Câu 60:

f�
 0

f�
 0

(nếu có).

.

f�
 0

khi x �1
khi

x 1

Cho hàm số


f  x  x  x

Cho hàm số

�x
�
f ( x)  �x
�
0
�

2

Câu 57:

. Tính

. Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x  1 ?

, tính đạo hàm của hàm số ứng với số gia x của đối số x tại x0.

khi x  0
khi x  0

. Tính đạo hàm của hàm số tại

Tính đạo hàm của hàm số

� x3  2 x 2  x  1  1
�

khi x �1
f ( x)  �
x 1
�
0
khi x  1
�

Tính đạo hàm của hàm số

1
�2
khi x �0
�x sin
f ( x)  �
x
�
0
khi x  0
�

tại x  0 .

Dạng 2. Tính đạo hàm bằng quy tắc
2.1 Tính đạo hàm của các hàm số cơ bản, hàm hợp
Câu 1:
Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng quy tắc tính đạo hàm
a)

y  x 2  3x  1


x4
 x2  x
4
b)
1
y  2 x  5
x
c)
y

x0  0 .

tại điểm

x0  1

.


d)
e)

y  3x5  8  3x 2 

y   x  1  x  2   x  3
a
3x  1
y�


2
y
 2 x  1 . Tìm a
2 x  1 có dạng
Biết đạo hàm của hàm số
ax  1
y�

y  x  x  1
b x , với a, b là 2 số nguyên dương. Tìm a,
Biết đạo hàm của hàm số
có dạng

Câu 2:
Câu 3:

b.

2020
 3 x2  6 x  2020 tại điểm x0  1 .
Tính đạo hàm của hàm số y  x

Câu 4:

Câu 6:

x
x2
 nx 2  2  mn 2
n

m
Tính đạo hàm của hàm số
( m, n là các hằng số khác 0)
ax 2  bx  c
y�

2
y   x  2 x  1
x 2  1 , với a, b, c là các số nguyên.
Biết đạo hàm của hàm số
có dạng

Câu 7:

Tìm a, b, c.
Tính đạo hàm của các hàm số sau

y

Câu 5:

a)

y   2  2x 

b) y 
c)

y


d) y 

20

x x4  2 x2  1
2
x  3x  1
2

3

x

e) y  2020 x  2 x
f)

f  x   x2  2 x  3

.

x  3x  2
x 1 .
g)
1 1
y 3 2
x
x là
h)
f  x 


i)

y

2

 2 x  1

2021

.

j)

y   2  x 2  x

k)

�mx 3
�
f  x   �  3 x 2  mx  5 �
�3
�

2020

l)
Câu 8:

y


x2  2 x  3
x

Cho hàm số
. Tính

g  x   xf  x   x

với

f  x

g�
 3  2 , f �
 3   1
là hàm số có đạo hàm trên �. Biết

g  3

Dạng 2.2
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:

  ;  
�
Cho hàm số y  sin 2 x . Giải phương trình y  0 trên
�

Cho hàm số y  cos x  x . Giải phương trình y  0

�
Cho hàm số y  tan x  1 . Giải phương trình y  0
Cho hàm số

y  f  x 

1 3
x  x2  3
f�
 x  0
3
. Giải bất phương trình


Câu 5:
Câu 6:

Cho hai hàm số
Cho hàm số

y  f  x   2 x2  1

y  f  x 

y  g  x   x3  x

và hàm số


f�
 x   g�
 x

. GPT

x4
x
f�
 x  0
24
. Giải phương trình

Câu 9:

x3
 2mx 2  x
f�
 x   0 x ��.
3
Cho hàm số
. Tìm m để
2
�
Cho hàm số y  x  1 . Giải phương trình y . y  2 x  1
3
2
�
Cho hàm số y  3 x  x  1 . Tìm tập hợp các giá trị x thỏa mãn y �0 .


Câu 10:

Cho hàm số y  2 x  3x . Tập nghiệm S của bất phương trình y '  0 .

Câu 7:
Câu 8:

y  f  x 

Câu 11:

3
2
 C  . Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của
Cho hàm số y  2 x  3 x  4 x  5 có đồ thị là

Câu 12:

2
�
�
Cho hàm số y  sin 2 x  x . Tập nghiệm S của bất phương trình y  0 .

Câu 14:

x3
 x  0 .
x  1 . Giải phương trình f �
Cho hàm số
y  f  x   x2  2x

f�
 x  �f  x 

Câu 15:

Cho hàm số y  sin x  cos x . Giải phương trình

Câu 13:

Câu 16:

 C ,

y  f  x 

Cho hàm số

Cho

. Giải bất phương trình

y  f  x   3x 

.

2 y�
1  0

60 64
 5

f�
 x  0 .
x x3
. Giải phương trình

Dạng 3. Ý nghĩa của đạo hàm trong hình học (Phương trình tiếp tuyến)
Dạng 3.1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm
Câu 1:
Câu 2:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

f  x   x3  x  1

tại điểm

M  1;1

.

2x  4
y
x  3 có đồ thị là (H) . Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục
Cho hàm số
hồnh.

y

2x - 4
x - 3 có đồ thị là  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  tại giao điểm của  C 


Câu 3:

Cho hàm số
với trục tung.

Câu 4:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Câu 5:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
bằng 2

Câu 6:

Cho đồ thị

Cho hàm số

x0  1 .

tại điểm có tung độ tiếp điểm

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

với đường thẳng y  7 x  4 :

y  f  x   x 3  3x  2


có đồ thị

 C  . Đường thẳng  d  : y  x  2 cắt đồ thị  C 

tại ba

Câu 10:

k1 , k2 lần lượt là hệ số góc các tiếp tuyến của  C  tại A và B . Tính k1.k2 .
2x 1
y
x  1 tại giao điểm có tung độ y0  1 .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x 1
y
x  2 tại điểm có hồnh độ bằng 3
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x 1
y
x  1 tại điểm M  2;3 .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Câu 11:

2
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  x  2 tại giao điểm của đồ thị và trục tung.

điểm
Câu 8:

Câu 9:

A, B, C  0; 2 

tại điểm có hồnh độ

y  f  x   x4  2 x2  1

 C  : y  f  x   2 x3  3 x 2  9 x  4

 C  tại giao điểm của  C 
Câu 7:

f  x   x 3  2 x 2  3x

. Gọi


Câu 12:

Cho hàm số

y  x2  8x  5

hoành độ bằng 1
Câu 13:

Cho hàm số

y


có đồ thị là

 C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C 

tại điểm có

x2
x  3 có đồ thị là  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm có tung độ

bằng 2
Câu 14:
Câu 15:
Câu 16:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  2 x  1 tại điểm có hồnh độ bằng 4

x 1
x  1 tại điểm có tung độ bằng 2
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2x 1
y
x  1 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y

tung
Câu 17:

Cho hàm số


f  x 

1
x có đồ thị  C  . Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  tại điểm có hồnh

độ x  2 .

Dạng 3.2 Phương trình tiếp tuyến cho trước hệ số góc (cho hsg k , song song, vng góc)

Câu 1:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Câu 2:

3
2
Hàm số y   x  3x  1

y

x3
 3x 2  2
3
, biết tiếp tuyến có hệ số góc k  9 .

 C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C 

song song với đường thẳng


y  3x  2020

Câu 3:

Tìm tất cả các phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y

2x 1
x  1 song song với đường thẳng

y  3x  2021 .

Câu 4:

4
2
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  2 x  1 , biết tiếp tuyến song song với trục
hoành.

Câu 5:

Cho hàm số

 C
Câu 6:
Câu 7:

y  cos x  m sin 2 x  C 


tại điểm có hoành độ x   ,

( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị m để tiếp tuyến của

x

 C :
Viết phương trình tiếp tuyến của


3 song song hoặc trùng nhau.

y

x 1
x  2 song song với đường thẳng d : 3x  y  15  0 .

3
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  3 x  2 vng góc với đường thẳng

1
y x
9

Câu 8:

Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
thẳng


Câu 9:

y

y

x2
x  1 , biết tiếp tuyến vng góc với đường

1
x 5
3
và tiếp điểm có hồnh độ dương.

3
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  x biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 11


2
Câu 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  3 x  2 vng góc với đường thẳng
y  x 1.
3
2
Câu 11: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  3x  20 song song với đường thẳng
y  24 x  5 .

y

Câu 12: Cho hàm số


x
x  1 có đồ thị  C  . Tìm tiếp tuyến của  C  song song với đường thẳng

:x y  0

Câu 13: Tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 C :y 

2x 1
x  2 vng góc với đường thẳng  :y  3 x  2

Dạng 3.3 Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm cho trước
Câu 1:

4
2
 C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp tuyến
Cho hàm số y  2 x  4 x  1 có đồ thị là

đi qua
Câu 2:

A  1; 3

3
2
 C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp
Cho hàm số y  x  3x  6 x  1 có đồ thị là


N  0;1

tuyến đi qua
Câu 3:

4
2
 C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp tuyến đi
Cho hàm số y  x  x  1 có đồ thị là

qua
Câu 4:

A  1;3

Cho hàm số

y

2x  2
x  1 có đồ thị là  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp tuyến đi qua

A  4;3

Câu 5:

3
 C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp tuyến đi
Cho hàm số y  x  x  6 có đồ thị là


qua
Câu 6:

A  2;0 

Cho hàm số

A  6;5 
Câu 7:

x2
x  2 có đồ thị là  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp tuyến đi qua

y

2x  1
x  1 có đồ thị là  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp tuyến đi qua

.

3
2
 C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp
Cho hàm số y  x  3 x  9 x  1 có đồ thị là

tuyến đi qua
Câu 9:

y


.

Cho hàm số

A  7;5 
Câu 8:

.

Cho hàm số
qua

A  1;0 

A  1;6 
y
.

x2  x  1
x  1 có đồ thị là  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp tuyến đi


Câu 10:

Câu 11:

Câu 12:
Câu 13:

Cho hàm số

qua

A  3; 0 

qua

A  1;6 

1 3
x  2x2
 C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp tuyến đi
3
có đồ thị là

y

2
 C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp tuyến đi
Cho hàm số y  x  2 x  3 có đồ thị là

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

f  x 

Cho hàm số

 C  : y  x3 biết nó đi qua điểm M (2; 0) .

x2
 x 1

 C  . Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm M  2;  1 đến
4
, có đồ thị

 C
Câu 14:

3
2
Cho hàm số y  4 x  6 x  1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm

M  1;  9  .
Câu 15:

y

Cho hàm số

x 1
.
2 x  2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm

� 1 �
I�
1; �
.
� 2 �

Câu 16:
Câu 17:


x2
.
x  1 Hãy tìm m để từ điểm A  0; m  kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số.
Cho hàm số
2x  2
y
.
x  5 Hãy tìm m để từ điểm A  m;0  kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số và
Cho hàm số
y

hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục tung.
Câu 18:

Cho hàm số

y

2x  2
.
x  5 Có bao nhiêu giá trị m để từ điểm A  m;0  kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị

1
.
hàm số mà tích hai hệ số góc của hai tiếp tuyến bằng 144
Dạng 3.4 Tiếp tuyến
Câu 1:

Câu 2:


 C  . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C 
�
 C  có hồnh độ là nghiệm phương trình 2 f �
 x   x. f �
 x  6  0 ?
điểm thuộc đồ thị
 C  : y  x3  3x , biết tiếp tuyến với  C  tại M cắt  C 
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
Cho hàm số

f  x   x3  6 x 2  9 x  1

có đồ thị

tại

tai

điểm thứ hai N thỏa mãn MN  333 .
Câu 3:

Câu 4:

x4 x2
y
 2
 C  . Viết phương trình tiếp tuyến  d  của  C  biết khoảng
4 2
Cho hàm số

có đồ thị
9
A  0;3
 d  bằng 4 5 .
cách từ điểm
đến
Cho hai hàm số

f  x g  x
,

Câu 5:

f  x 

1
x 2 và

g  x 

x2
2 . Gọi d1 , d 2 lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số

đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến trên.

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

cos   
sao cho


2
5 theo chiều dương.

y

2x
x  1 , biết tiếp tuyến tạo với trục hồnh một góc 


x 3 mx 2

1
3
2
Cho hàm số
và A là một điểm trên đồ thị có hồnh độ bằng 1 . Viết phương trình
tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A và song song với đường thẳng y  5 x  2020
2x  2
y
x  1 có đồ thị  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết biết tiếp tuyến tạo
Cho hàm số
y

Câu 6:

Câu 7:

với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

3x

x  2 có điểm M  x0 ; y0   x0  0  sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các
Trên đồ thị của hàm số
3
trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 . Tìm tọa độ điểm M.
ax  b
y
x  2 , có đồ thị là  C  . Tìm a, b biết tiếp tuyến của đồ thị  C  tại giao điểm của
Cho hàm số
y

Câu 8:

Câu 9:

 C
Câu 10:

1
y   x2
2
và trục Ox có phương trình là
.
3
 C
y  x  3x  1

Cho hàm số

có đồ thị là


. Giả sử

 d  là tiếp tuyến của  C 

tại điểm có hồnh độ

x  2 , đồng thời  d  cắt đồ thị  C  tại N , tìm tọa độ N .
2x  m 1
y
 Cm  tại điểm có hồnh độ x0  2
x 1
Câu 11:
Cho hàm số
(Cm). Tìm m để tiếp tuyến của
25
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2 .
 1;3
y  4  x2

Câu 12:
Tiếp tuyến của parabol
diện tích của tam giác vng đó

tại điểm

tạo với hai trục tọa độ một tam giác vng. Tính

1
x  1 có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ
Câu 13:

Trên đồ thị của hàm số
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tìm tọa độ M
 Cm 
y  x 4  8 x 2  m  1 (Cm )
y

Câu 14:

Cho hàm số

tại điểm có

x0  1 luôn cắt đồ thị  Cm  tại ba điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm.
2x  m 1
y
 Cm  . Tìm m để tiếp tuyến của  Cm  tại điểm có hồnh độ x0  0 đi
x 1
Cho hàm số

hoành độ
Câu 15:

. Giả sử rằng tiếp tuyến của đồ thị

qua

A  4;3

.