<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN</b>
<b>A-KIẾN THỨC CẦN NHỚ:</b>

<b>I. TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC TƠ</b>

<i><b>1. Tọa độ của điểm</b></i>: O(0; 0; 0)

<i><b>2. Toạ độ vectơ</b></i>:

<i><b>3. Các cơng thức tính toạ độ vectơ:</b></i>

Cho và

<i><b>4. Tích vơ hướng:</b><b> </b></i>

<i><b>5. Các cơng thức tính độ dài và góc</b></i>
;

<i><b>6. Cơng thức tích có hướng</b></i>

Cho và ;

<b>Nhận xét:</b>

<b>1.</b> cùng phương thì
<b>2.</b>

<b>3.</b>

<b>4.</b> Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi
<b>Bài 1: </b>Chocác vectơ

Tính tọa độ của vectơ ĐS:
<b>Bài 2:</b> Cho hìnhhộp ABCD.A’B’C’D’. Biết

A(2; -1; 3), B(0; 1; -1), C(-1; 2; 0), D’(3; 2; -1). Tính toạ độ các đỉnh cịn lại của hình hộp.
<b>Bài 3: </b>Cho tam giác ABC biết A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), C(4; 5; -5).

1)Xác định toạ độ của D để ABCD là hình bình hành.
2)Xác định toạ độ trọng tâm ABC.

<b>II. MẶT CẦU</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Chú ý : Để lập được phương trình mặt cầu ta phải tìm tọa độ tâm và tính bán kính sau đó thay
vào phương trình ( 1)

Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu ( S ) ; trong các trường hợp sau :

1)Khi biết mặt cầu có tâm I và đi qua một điểm M thì bán kính là : R = IM

2)Khi mặt cầu nhận MN làm đường kính thì tọa độ tâm I là trung điểm của MN ; và bán kính R
= 1₂MN

3) Khi biết mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = 0 ; thì bán
kính là : R bằng khoảng cách từ tâm I đển mặt phẳng (P). Ta có :

<i>R</i>=|Ax<i>I</i>+By<i>I</i>+Cz<i>I</i>+<i>D</i>|

√

<i>A</i>2+<i>B</i>2+<i>C</i>2
b) Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S ) :
<i>x</i>2+<i>y</i>2+<i>z</i>2<i>−</i>2 ax<i>−</i>2 by<i>−</i>2cz+<i>d</i>=0 ( 2 )

Trong đó : -Tọa độ tâm I ( a; b ; c )

-Bán kính R =

_√

<i>a</i>2+<i>b</i>2+<i>c</i>2<i>− d</i> ( với : <i>a</i>2+<i>b</i>2+<i>c</i>2<i>− d</i>>0)
Chú ý :

- Để lập được phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A; B ; C ; D cho trước ; ta thay tọa độ bốn
điểm đó vào phương trình ( 2) ; rồi giải hệ phương trình tìm : a; b ; c; d . Từ đó ta viết được
phương trình mặt cầu ( S )

- Từ phương trình ( 2) ta tìm được tọa độ tâm và tính bán kính
<b>III.</b>

<b> M ẶT PHẲNG:</b>

<i><b>Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 </b></i>
<i><b> với A</b><b>2</b><b>_+B</b><b>2</b><b>_+C</b><b>2 </b><b>_{≠ 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng}</b></i>

 Mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có véctơ pháp tuyến là
<i>Phương trình các mặt phẳng tọa độ :</i>

<i>a) Phương trình mặt phẳng (Oxy ) là : z = 0</i>
<i>b) Phương trình mặt phẳng (Oyz ) là : x = 0</i>
<i>c) Phương trình mặt phẳng (Oz x) là : y= 0</i>

 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận làm vectơ pháp tuyến có
phương trình dạng: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

 Nếu (P) có cặp vectơ khơng cùng phương và có giá song song
hoặc nằm trên (P) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định

*Phương pháp chung :Muốn viết phương trình của mặt phẳng ta phải tìm
vecto pháp tuyến <i>n</i>⃗=(<i>A ;B ;C</i>) và một điểm <i>M</i>(<i>x</i>0<i>; y</i>0<i>; z</i>0) mà mặt phẳng đi qua
Khi đó phương trình mặt phẳng được viết :<i>A</i>(<i>x − x</i>0)+<i>B</i>(<i>y − y</i>0)+<i>C</i>(<i>z − z</i>0)=0.
Từ đó khai triển và rút gọn đưa về phương trình dạng trên

<i><b>* - Cách tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng :</b></i>

<i>Cách 1: Nếu thấy mặt phẳng đã có một đường thẳng vng góc với mặt phẳng thì vectơ pháp </i>
<i>tuyến chính là vectơ nằm trên đường thẳng đó </i>

<i>Cách này ở các bài tập : </i>

<i>Bài 1:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB</i>
<i> HDG:</i>

<i>Bước 1: Theo đề bài Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là </i>⃗_AB

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>Bài 2: Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M và vng góc với đường thẳng AB</i>
<i> HDG:</i>

<i>Bước 1: Theo đề bài Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là </i>⃗_AB

<i>Bước 2: Mặt phẳng đi qua điểm M . Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập được </i>

<i>Bài 3: Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M và vng góc với đường thẳng (d) có </i>
<i>phương trình </i>{<i>x</i>=<i>x</i>₀+<i>a</i>₁<i>t</i>_|{<i>y</i>=<i>y</i>₀+<i>a</i>₂<i>t</i>_|

<i> HDG:</i>

<i>Bước 1: Theo đề bài Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vecto chỉ phương của </i>

<i>Phương của đường thẳng ta có :n</i>⃗=₍<i>a</i>₁<i>;a</i>₂<i>;a</i>₃₎

<i>Bước 2: Mặt phẳng đi qua điểm M . Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập được </i>

<i> Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua một điểm M và song song với mặt phẳng </i>
<i>(Q ) : Ax + By + Cz + D = 0</i>

<i> HDG:</i>

<i> Bước 1: Theo đề bài mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng ( Q ); nên véctơ</i>
<i> Pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) là : n</i>⃗=(<i>A</i>;;<i>B ;C</i>)

<i> Bước 2: Mặt phẳng đi qua điểm M . Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập được </i>
<i> Cách 2 : Nếu mặt phẳng đi qua các điểm A</i>(<i>x</i>0<i>;</i>0<i>;</i>0)<i> ; B</i>(0<i>; y</i>0<i>;</i>0)<i> ; C</i>(0<i>;</i>0<i>; z</i>0)

<i> ( Ba điểm này lần lượt nằm trên các trục tọa độ Ox ; Oy ; Oz)</i>
<i> thì phương trình mặt phẳng có dạng : _xx</i>

0
+ <i>y</i>

<i>y</i>₀+
<i>z</i>
<i>z</i>₀=1

<i>Cách 3: Ngoài các dạng bài tập đã nêu trên ; thì cịn lại ta giải như sau :</i>

<i> Bước 1: Gọi n</i>⃗<i> là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ; theo đề bài ta có :n=</i>⃗

[

⃗<i>a ;</i>⃗<i>b</i>

]

<i> ( vectơ tích có </i>
<i>hướng của hai vectơ)</i>

<i>Bước 2: Chọn một điểm mặt phẳng đi qua . Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập được </i>
<i><b>* Các vị trí tương đối của hai mặt phẳng :</b></i>

<i>Cho hai mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 và ( Q ) : A’x+ B’ y + C’z + D’= 0</i>
<i>Bước 1 : Viết ra các Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng </i>

<i>Bước 2: (lập luận )</i>

<i>-Để hai mặt phẳng cắt nhau ⇔</i> <i>_{A '}A</i> <i>≠_B'B</i> <i>≠_{C '}C</i>

<i>-Để hai mặt phẳng song song ⇔</i> <i>A</i>

<i>A '</i>=
<i>B</i>
<i>B '</i>=

<i>C</i>
<i>C '≠</i>

<i>D</i>
<i>D'</i>

<i>-Để hai mặt phẳng trùng nhau ⇔</i> <i>_{A '}A</i>= <i>B</i>

<i>B '</i>=
<i>C</i>
<i>C '</i>=

<i>D</i>
<i>D'</i>

Chú ý : Để hai mặt phẳng vng góc với nhau <i>⇔</i>⃗<i>n</i>₍<i>_P</i>₎<i>⊥</i>⃗<i>n</i>₍<i>_Q</i>₎<i>⇔</i>⃗<i>n</i>₍<i>_P</i>₎.⃗<i>n</i>₍<i>_Q</i>₎=0<i>⇔A</i>.<i>A '</i>+<i>B</i>.<i>B '</i>+<i>C</i>.<i>C '</i>=0
<i><b>* Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :</b></i>

<i> Cho một điểm M</i>(<i>x</i>0<i>; y</i>0<i>;; z</i>0)<i> và một mặt phẳng (P): Ax +B y +Cz +D = 0 </i>
<i> thì khoảng cách từ điểm M</i>₍<i>x</i>₀<i>; y</i>₀<i>_;; z</i>₀₎<i>_{đến mặt phẳng ( P) được tính bằng}</i>

<i> cơng thức : d</i>¿

CÁC DẠNG TỐN ÁP DỤNG CÔNG THỨC KHOẢNG CÁCH
<i> DẠNG 1</i>

<i> Tính khoảng cách từ giữa hai mặt phẳng( P ) và ( Q ) song song :</i>
Ax +By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D’ = 0

HDG
<i> Thực hiện theo các bước sau :</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Tìm các điểm cách đều hai mặt phẳng ( P ) :Ax +By + Cz + D = 0 và
( Q ) : A’ x + B’ y +C’z + D’ = 0

HDG
<i> Thực hiện theo các bước sau :</i>

<i> Bước 1) Gọi điểm cần tìm là M (x ; y ; z ) </i>
<i> Bước 2) Theo đề bài ta có </i>

<i> : d</i>¿

<i> Bước 3) Khử dấu giá trị tuyệt đối (theo công thức : </i>|<i>A</i>|=|<i>B</i>|<i>⇔</i>¿_¿<i>)</i>

<i>từ đó kết luận các điểm M </i>
DẠNG 3

Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với một mặt phẳng
(P) Ax+By+Cz+D= 0

HDG:
<i>Thực hiện theo các bước :</i>

<i> Bước 1) Theo đề bài mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P) ; </i>
<i> nên bán kính của mặt cầu là : d</i>¿

<i>Bước 2 ) Vậy phương trình mặt cầu là : ………</i>
<i>DẠNG 4</i>

Viết phương trình mặt phẳng song song với một mặt phẳng Ax+By+Cz+D= 0
và tiếp xúc với một mặt cầu ( S ) <i>x</i>2+<i>y</i>2+<i>z</i>2<i>−</i>2 ax<i>−</i>2 by<i>−</i>2cz+<i>d</i>=0

HDG:
<i>Thực hiện theo các bước :</i>

<i> Bước 1 ) Gọi ( P ) là mặt phẳng cần tìm , theo đề bài mặt phẳng cần</i>
<i> tìm song song với mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 nên phương trình </i>
<i> mặt phẳng ( P ) : Ax + B y + Cz + D’ = 0(1) ( với D khác D’)</i>

<i> Bước 2 ) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S) </i>

<i> Bước 3 ) Theo đề bài mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) nên ta có :</i>
<i> Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P ) bằng bán kính R</i>

<i> d</i>¿<i> (2) ; giải ( 2)( theo cơng thức : </i>|<i>A</i>|=<i>B⇔</i>¿_¿<i>)từ đó </i>

<i> tìm D’ thay D’ vào (1) ta có phương trình ( P)</i>
<b>BÀI TẬP</b>

<b>Bài 1.</b> Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 4 điểm

<i>A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; –1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình:</i>
. Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A

¢, B, C, D.

a, Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B;
b, Viết phương trình mặt cầu đường kính AB;

c, Viết phương trình mặt cầu (S). Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường trịn (C) là giao
của (P) và (S).

<b>Bài 2.</b> Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P): và đường thẳng d: . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I
thuộc d, I cách (P) một khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường trịn (C) có bán kính bằng
3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

mặt phẳng (P) đi qua hai điểm và song song với đường thẳng .
<b>Bài 4.</b> Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

d: và mặt cầu (S): . Lập phương trình mặt phẳng (P)

song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

<b>Bài 5.</b> Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): và mặt
phẳng (P): . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm vng góc với
mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

<b>BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM</b>

<b>Câu 1:</b> Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (R) qua A(4;-1;2) và chứa Oz.
A. (R ): x-2z =0 B. (R ): x+4y =0

C. (R ): 2y +z =0 D. (R ): x –3z +2 =0
<b>Câu 2:</b> Định các giá trị của m và n để hai mặt phẳng sau song song với nhau:
(P): 2x +my +3z –5=0 và (Q): nx –6y –6z +2=0.

A. m=1; n=-2 B. m=3; n=4
C. m=-3; n=4 D. m=3; n=-4.
<b>Câu 3:</b> Định giá trị của m để hai mặt phẳng sau vng góc với nhau:
(P): 3x –5y +mz –3=0 và (Q): mx +3y +2z+ 5=0.

A. m=1 B. m=2
C. m=3 D. m=4

<b>Câu 4: </b>Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O và song song với mặt phẳng
(Q) ; 5x –3y +2z +10=0.

A. (P): 5x –3y +2z +2 =0 B. (P): 5x –3y +2z +1=0
C. (P): 5x -3y +2z =0 D. (P): 5x +3y -2z =0

<b>Câu 5: </b>Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O và vng góc với hai mặt
phẳng:

(R ): 2x –y +3z –1=0; (π): x +2y +z =0.

A. (P): 7x –y –5z =0 B. (P): 7x –y +5z =0
C. (P): 7x +y –5z =0 D. (P): 7x +y +5z =0

<b>Câu 6: </b>Cho mặt phẳng (P): 2x –y +2z –3 =0. Lập phương trình của mặt phẳng (Q) song song với
mặt phẳng (P) biết (Q) cách (P) một khoảng bằng 9.

A. (Q): 2x –y +2z +24=0 B. (Q): 2x –y +2z –30=0
C. (Q): 2x –y +2z –18=0 D. A, B đều đúng

<b>Câu 7.</b> Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) chứa Ox và vng góc với mặt phẳng
(Q): 3x –4y +5z -12 =0

A. (α): x-z =0 B. (α): x +y=0
C. (α): 5y –4z =0 D. (α):5y +4z =0

<b>Câu 8:</b> Xác định góc (φ) của hai mặt phẳng (P): x +2y +2z –3=0 và(Q): 16x +12y –15z +10=0.
A. φ= 30º B. φ= 45º

C. cosφ = 2/15 D. φ= 60º

<b>Câu 9:</b> Cho mặt phẳng (P) : 2x –3y +6z +19=0 và điểm A(-2;4;3). Lập phương trình tổng quát
của mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P).

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Câu 10:</b> Gọi A,B,C lần lượt là hình chiếu của điểm M(2;3;-5) xuống mp(Oxy) ,(Oyz) , (Ozx).
Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC)

A. 1 B. C. 5 D. Một đáp số khác

<b>Câu 11: </b>Cho m/c (S): và mp(P): 3x + 2y + 6z + 1 = 0. Gọi (C)

đường trịn giao tuyến của (P) và (S). Tính tọa độ tâm H của (C) là:

<b>A. </b> <b>B. </b> <b>C. </b> <b>D. </b>

<b>Câu 12: </b>Viết phương trình m/c (S) tiếp xúc với hai mp // (P): x – 2y + 2z – 6 = 0, (Q): x – 2y +
2z – 10 = 0 và có tâm I nằm trên trục y’Oy?

<b>A. </b> <b>B. </b>

<b>C. </b> <b>D. </b>

<b>Câu 13: </b>Phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; -3) tiếp xúc mp(P): 4x – 2y + 4z – 3 = 0 là?

<b>A. </b> <b>B. </b>

<b>C. </b> <b>D. </b>

<b>Câu 14: </b>Viết ph.trình m/c (S) qua 3 điểm A(2; 0; 1), B(1; 3; 2), C(3; 2; 0) và có tâm nằm trong
mp(Oxy):

<b>A. </b> <b>B. </b>

<b>C. </b> <b>D. </b>

<b>BT tự luyện</b>

<i><b>Bài 1 ( Đề thi TN năm 2006 - ban KHTN):</b></i> Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm

A(2;0;0); B(0;3;0); C(0;0;6). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu
đường kính OG.

<i><b>Bài 2 ( Đề thi TN năm 2007- lần 1 - ban KHXH & NV):</b></i> Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
cho mặt phẳng : x + 2y - 2z + 6 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O và
tiếp xúc với mặt phẳng .

<i><b>Bài 3 (NC):</b></i> Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4).Viết phương trình mặt
cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC.

Bài 4. Trong không gian cho A(-1;2;1), , .

a) Chứng minh ABC là tam giác vng.

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).

1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
Tính chiều cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.

2. Viết phương trình mặt phẳng:

a) chứa trục Ox và điểm A b) chứa trục Oy và điểm B c) chứa trục Oz và điểm C
3. Viết phương trình mp chứa AB và song song CD

4. Viết phương trình các mp qua A và lần lượt song song các mp tọa độ.

5. Viết phương trình mp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của A lên các trục toạ độ.
6. Viết phương trình mp đi qua A và vng góc với đường thẳng BC

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i>Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương</i>

:

<i> Nếu a1, a2 , a3 đều khác khơng .Phương trình đường thẳng viết dưới dạng chính tắc như sau:</i>

<i> </i>

Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:

<i><b>1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.</b></i>
Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng

d cóvtcp đi qua Mo;d’ có vtcp đi quaMo’

 <i><b>, cùng phương </b></i>d // d’ d ≡ d’

 <i><b>, không cùng phương </b></i> (I)

 dcắtd’HệPtrình (I) có một nghiệm
 d chéo d’Hệ Ptrình (I) vơ nghiệm
<i> CÁC CHÚ Ý:</i>
<i>1)Hai đường thẳng vng góc</i> <i>⇔</i>⃗<i>a_⊥b</i>⃗<i>_⇔a</i>⃗.⃗<i>b</i>=0
<b> </b><i>3)Tìm giao điểm của hai đường thẳng:</i>

<i> Để tìm giao điểm của hai đường thẳng ta giải hệ phương trình tìm nghiệm ; nếu:</i>
-Hệ có một nghiệm duy nhất <i>⇔</i>hai đường thẳng cắt nhau

-Hệ có vơ số nghiệm <i>⇔</i>hai đường thẳng trùng nhau

-Hệ có vô nghiệm và hai vectơ chỉ phương cùng phương <i>⇔</i>hai đường thẳng

Song song

-Hệ có vơ nghiệm và hai vectơ chỉ phương không cùng phương <i>⇔</i>hai đường thẳng chéo nhau
<i><b> </b>7) CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA MỘT ĐIỂM </i>

<i>a) Tìm hình chiếu vng góc của điểm M</i>₍<i>x</i>₀<i>; y</i>₀<i>; z</i>₀₎<i>_{trên các trục tọa độ}</i>

<i>b) -Trên trục hoành Ox là điểm A</i>₍<i>x</i>₀<i>;</i>0<i>;</i>0₎
<i> -Trên trục hoành Oy là điểm B</i>₍0<i>; y</i>₀<i>;</i>0₎
<i> -Trên trục hoành Oz là điểm C</i>₍0<i>;</i>0<i>; z</i>₀₎

<i>c) Tìm hình chiếu vng góc của điểm M</i>₍<i>x</i>₀<i>; y</i>₀<i>; z</i>₀₎<i>_{trên các mặt phẳng tọa độ}</i>

<i>-Trên trục mp( Oxy) là điểm A</i>₍<i>x</i>₀<i>; y</i>₀<i>;</i>0₎
<i> -Trên trục mp(Oyz) là điểm B</i>₍0<i>; y</i>₀<i>; z</i>₀₎

<i> -Trên trục mp(Oz x) là điểm C</i>₍<i>x</i>₀<i>;</i>0<i>; z</i>₀₎

<i>d) Tìm hình chiếu vng góc của điểm M</i>₍<i>x</i>₀<i>; y</i>₀<i>; z</i>₀₎<i>_{lên mặt phẳng (P)}</i>

<i> Ax + By + C z + D = 0 </i>
<i> HDG:</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i> - Gọi (d) là đường thẳng đi qua M</i>₍<i>x</i>₀<i>; y</i>₀<i>; z</i>₀₎<i>_{và vng góc với mặt phẳng (P); nên}</i>

<i> vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) là a</i>⃗=(<i>A ;B ;C</i>)<i>; nên phương trình của (d) </i>
<i> là:</i>{<i>x=x</i>₀+At_|{<i>y</i>=<i>y</i>₀+Bt_|

<i> - Ta có H</i>=(<i>d</i>)<i>∩</i>(<i>P</i>)<i>. Do đó tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình</i>
<i> </i>{<i>x</i>=<i>x</i>₀+At(1)

_|

_{<i>y</i>=<i>y</i>₀+Bt(2)

_|

_{<i>z</i>=<i>z</i>₀+Ct(3)

_|

<i> ( giải hệ bằng phép thế)</i>
<i> d) Tìm hình chiếu vng góc của điểm M</i>₍<i>x</i>₀<i>; y</i>₀<i>; z</i>₀₎<i>_{lên đường thẳng}</i>

<i> </i>{<i>x=x</i>0+<i>a</i>1<i>t</i>|{<i>y=y</i>0+<i>a</i>2<i>t</i>|<i> </i>
<i> HDG:</i>

- <i>Gọi H (x; y ;z) là hình chiếu của M</i>₍<i>x</i>₀<i>; y</i>₀<i>; z</i>₀₎<i>_{lên đường thẳng . Ta có :}</i>

<i> </i>⃗_MH₌₍<i>_{x − x}</i>₀<i>_{; y − y}</i>₀<i>_{; z− z}</i>₀₎<i>_{vng góc với vecto chỉ phương}a</i>⃗=₍<i>a</i>₁<i>;a</i>₂<i>;a</i>₃₎<i>; nên : </i>
<i> </i>⃗_MH<i>_⊥</i>_⃗<i>_a_⇔</i>⃗_MH._⃗<i>_a</i>₌₀<i>_⇔_a</i>₁₍<i>_{x − x}</i>₀₎₊<i>_a</i>₂₍<i>_{y − y}</i>₀₎₊<i>_a</i>₃₍<i>_{z − z}</i>₎₌₀<i>₍₁₎</i>

<i> Mặt khác H ( x;y;z ) nằm trên đường thẳng . Nên x;y;z là nghiệm của hệ phương trình</i>
<i> (1) và phương trình của đường thẳng </i>

<i>8) BÀI TỐN TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐIỂM QUA ; MẶT </i>
<i>PHẲNG ;ĐƯỜNG THẲNG </i>

 <i>Tìm tọa độ của một điểm đối xứng với một điểm M qua mặt phẳng (P)</i>
Ta thực hiện theo các bước sau :

<i>Bước 1: Tìm tọa độ H là hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng ( P)</i>
<i>Bước 2: Gọi N là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( P) . Ta có H là trung </i>
<i> Điểm MN ; tử đó tìm tọa độ điểm N</i>

 <i>Tìm tọa độ của một điểm đối xứng với một điểm M qua đường thẳng (d)</i>
Ta thực hiện theo các bước sau :

<i>Bước 1: Tìm tọa độ H là hình chiếu vng góc của M trên đường thẳng (d)</i>

<i>Bước 2: Gọi N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng (d) . Ta có H là trung </i>
<i> Điểm MN ; tử đó tìm tọa độ điểm N</i>

<i>9)CÁC CƠNG THỨC VỀ KHOẢNG CÁCH: </i>
<i>- Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng :</i>

Chú ý : khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song bằng khoảng cách
từ một điểm M trên đường thẳngnày đến đường thẳng kia

<i>- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau </i>

<i>10)BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG </i>
<i>LÊN MẶT PHẲNG </i>

<i>Cho đường thẳng ( d ) : </i>{<i>x</i>=x0+a1<i>t</i>|{<i>y=y</i>0+a2<i>t</i>|<i> và mặt phẳng ( P ) :Ax + By + Cz + D = 0</i>
<i>Để viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng ( d ) lên mặt phẳng ( P) ta thực </i>
hiện theo các bước sau:

<i>Bước 1: Đường thẳng ( d) đi qua điểm M</i>₍<i>x</i>₀<i>; y</i>₀<i>; z</i>₀₎<i>_{và có vecto chỉ phương}a</i>⃗=₍<i>a</i>₁<i>;a</i>₂<i>;a</i>₃₎<i> . Mặt </i>
<i>phẳng ( P ) có vecto pháp tuyến n</i>⃗=(<i>A ;B ;C</i>)

<i>Bước 2: Xét vị trí tương đối của (d ) và ( P ). Bằng cách tính a</i>⃗.⃗<i>n</i>=<i>a</i>₁.<i>A</i>+<i>a</i>₂.<i>B</i>+<i>a</i>₃.<i>C</i>

<i>-TH1: Nếu a</i>⃗.⃗<i>n</i>=<i>a</i>₁.<i>A</i>+<i>a</i>₂.<i>B</i>+<i>a</i>₃.<i>C</i>=0<i>; thi ( d ) song song ( P). Trong trường hợp này ta giải như </i>
<i>sau:</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i><b>b)</b></i> <i>Đường thẳng ( d’) đi qua H và song song với ( d) ; đó chính là đường thẳng cần tìm </i>
<i>-TH2:Nếu a</i>⃗.⃗<i>n</i>=<i>a</i>₁.<i>A</i>+<i>a</i>₂.<i>B</i>+<i>a</i>₃.<i>C ≠</i>0<i>; thi ( d ) cắt ( P). Trong trường hợp này ta giải như sau : </i>
<i> a)Tìm tọa độ giao điểm N của ( d ) và ( P) ; </i>

<i> b)Tìm tọa độ H là hình chiếu vng góc của M trên ( P ) . </i>
<i> c) Đường thẳng đi qua hai điểm N và H là đường thẳng cần tìm</i>
<i> </i>

<b>B-BÀI TẬP:</b>

<b>Bài 1</b>. Trong không gian Oxyz cho A(2; 0; 3), :

<i>x</i>

2=

<i>y</i>

4=

<i>z</i>+3
1 ,
và 2x -3y + 5z - 4 = 0.

Viết phương trình đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

1) đi qua A và // với ; 2) qua A, vng góc với ;
3) qua A, vng góc với 4) qua A, cắt

5) qua A, vng góc , cắt

<b>Bài 2</b>: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1) và mp(P): 2x - y + z + 3= 0

và đường thẳng .

1, Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vng góc với mặt phẳng .
2, Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vng góc với đường thẳng d.
3, Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng .

4, Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vng góc của A trên đường thẳng d.
5, Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua đường thẳng d.

<b>Bài tập trắc nghiệm</b>
<b>C©u 1 </b>

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu và đường

thẳng . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(4;3;4), song song với đường

thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S)
<b>A. </b>

2x+y+2z-19=0 <b>B.</b>2x+y-2z-12=0<b> C. </b>x-2y+2z-1=0<b> D. </b>2x+y-2z-10=0

<b>C©u 2 : </b>

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng và

điểm A(2;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và (d). Cosin của góc giữa
mặt phẳng (P) và mặt phẳng tọa độ (Oxy) là:

<b>A.</b> <b>B.</b> <b>C.</b> <b>D.</b>

<b>C©u 3 : </b>

Cho mặt phẳng và điểm . Hình chiếu vng góc của

A lên mặt phẳng là:

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>C©u 4 : </b>

Cho điểm A(1;1;1) và đường thẳng .

Hình chiếu của A trên d có tọa
độ:

<b>A.</b> <b>B.</b> <b>C.</b> <b>D.</b>

<b>C©u 5: </b>

Trong hệ trục Oxyz , M’ là hình chiếu vng góc của trên Ox . M’ có toạ

độ

<b>A.</b> <b>B.</b> <b>C.</b> <b>D.</b>

<b>C©u 6: </b> _{Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A(3; -4; 0), B(0; 2; 4), C(4; 2; 1). Tọa độ điểm}

D trên trục Ox sao cho AD = BC là:
<b>A.</b>

D(0;0;0)
hoặc
D(0;0;6)

<b>B.</b>

D(0;0;2) hoặc D(0;0;8)

<b>C.</b>

D(0;0;-3)
hoặc
D(0;0;3)

<b>D.</b>

D(0;0;0) hoặc D(0;0;-6)

<b>C©u 7 : </b> _{Gọi H là hình chiếu vng góc của A(2; -1; -1) đến mặt phẳng (P) có phương trình}

16x – 12y – 15z – 4 = 0. Độ dài của đoạn thẳng AH là:

<b>A.</b> <b>B.</b> <b>C.</b> <b>D.</b>

<b>C©u 8 : </b> _{Trong khơng gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 2x+y-z-3=0 và}

(Q): x+y+x-1=0. Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt
phẳng (P) và (Q) là:

<b>A.</b> <b>B.</b>

<b>C.</b> <b>D.</b>

<b>C©u 9 : </b> _{Trong không gian Oxyz mp (P) đi}<i><b>_qua</b></i>_{B(0;-2;3) ,}<i><b>_{song song}</b></i>_{với đường thẳng d:}

và <i><b>vng góc</b></i> với mặt phẳng (Q):x+y-z=0 có phương trình ?

<b>A.</b>

2x-3y+5z-9=0 <b>B.</b>

2x-3y+5z-9=0 <b>C.</b>

2x+3y-5z-9=0 <b>D.</b>

2x+3y+5z-9=0

<b>C©u 10 : </b>

Cho hai đường thẳng và

Khẳng định nào sau đây là đúng?
<b>A.</b>

cắt <b>B.</b> <b>C.</b>

;

<b>D.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

nhau; trùng

nhau; nhau.

<b>C©u 11 : </b>

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng và

điểm A(2;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và (d). Cosin của góc giữa
mặt phẳng (P) và mặt phẳng tọa độ (Oxy) là:

<b>A.</b> <b>B.</b> <b>C.</b> <b>D.</b>

<b>C©u 12 : </b>

Cho đường thẳng d đi qua M(2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương . Phương

trình tham số của đường thẳng d là:

<b>A.</b> <b>B.</b> <b>C.</b> <b>D.</b>

<b>C©u 12 : </b> _{Trong không gian Oxyz}<i><b>_{mặt phẳng trung trực}</b></i>_{của đoạn thẳng AB có phương}

trình là ,với A(1;2;-3),B(-3;2;9)

<b>A.</b>

-x-3z-10=0 <b>B.</b>

-4x+12z-10=0 <b>C.</b>

-x-3z-10=0 <b>D.</b>

-x+3z-10=0
<b>C©u 13 : </b>

Cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng D: . Đ ường thẳng d<b>đi qua </b>

<b>điểm M, cắt </b>và <b>vng góc</b> với D có vec tơ chỉ phương

<b>A.</b> <i><b>B.</b></i> <b>C.</b> <i><b>D.</b></i>

<b>Bài tập tự luyện</b>
<b>Bài 1:</b>Viết pt mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau

a/ Đi qua điểm A(3;1;-1). B(2;-1;4) và vng góc với mặt phẳng (P): 2x-y+3z-4=0

b/ Đi qua điểm M(2,-1,2) song song với trục Oy và vng góc với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0
c/ Đi qua điểm M(-2;3;1) và vng góc với hai mặt phẳng (P): 2x+y+2z-5 =0 và (Q): 3x+2y+z
-3 =0

d/ Cho mặt cầu (S): x2_+y2_{+ z}2_{-6x -2y +4z +5 =0 và điểm M (4;3;0). Viết pt mặt phẳng (P) tiếp}
xúc với mặt cầu (S) tại điểm M

<b>Bài 2</b>: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1),D(-1;1;2)
a/Viết pt mặt phẳng (BCD) và mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)

b/ Viết pt mặt cầu đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và có tâm I nằm trên mặt phẳng
x+y+z - 3=0

<b>Bài 3:</b> Trong không gian Oxyz cho A(2; 0; 3), :

<i>x</i>

2=

<i>y</i>

4=

<i>z</i>+3
1 ,
và 2x -3y + 5z - 4 = 0.

Viết phương trình đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

3) qua A, vng góc với 4) qua A, cắt
5) qua A, vuông góc , cắt

<b>Bài 4</b>: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1) và mp(P): 2x - y + z + 3= 0

và đường thẳng .

1, Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vng góc với mặt phẳng .
2, Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vng góc với đường thẳng d.
3, Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng .

4, Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vng góc của A trên đường thẳng d.
5, Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua đường thẳng d.

<b>Bài 5</b>: Tìm giao điểm của đường thẳng (d) và mp (P): - x+2y-z+3=0

<b>Bài 6</b>: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1) và mp(P): 2x - y + z + 3= 0

và đường thẳng .

1, Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vng góc với mặt phẳng .
2, Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d.
3, Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng .

4, Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vng góc của A trên đường thẳng d.
5, Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua đường thẳng d.

<b>Bài 7. </b>(TN 2013): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho M(-1; 2; 1) và
1, Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và vng góc với .
2, Viết phương trình mặt cầu tâm là gốc toạ độ và tiếp xúc với .

<b>Bài 8.</b> (TN 2013): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(-1; 1; 0) và đường thẳng

1, Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và vng góc với d
2, Tìm toạ độ điểm M thuộc d sao cho .

<b>Bài 9.(ĐHKD – 2013).</b> Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(-1; -1; -2), B(0; 1; 1) và

mặt phẳng . Tìm toạ độ hình chiếu của A trên . Viết ptmp đi qua A, B và
vng góc với .

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Bài 11. (D 2014)</b> Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z – 1 = 0
và mặt cầu (S): x² + y² + z² – 6x – 4y – 2z – 11 = 0. Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S)
theo giao tuyến là một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm của (C).

<b>Bài 12. (B 2014)</b> Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 0; –1) và đường thẳng d:
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua và vng góc với d. Tìm tọa độ hình chiếu
vng góc của A trên d.

<b>Bài 13. (CĐ 2014)</b> Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 1; –1), B(1; 2; 3) và
mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 3 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của A trên (P). Viết
phương trình mặt phẳng chứa A, B và vng góc với mặt phẳng (P).

<b>Bài 14. (TN 2014)</b> Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –1; 0) và mặt phẳng (P)
có phương trình 2x – 2y + z – 1 = 0.

a. Viết phương trình tham số đường thẳng đi qua A và vng góc với (P).

b. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM vng góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần khoảng
cách từ A đến (P).

</div>

<!--links-->