<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân </b>

<b>1. Các giới hạn đặc biệt:</b>

a)
® =
x 0
sin x
lim 1
x
Hệ quả:
® =
x 0
x
lim 1

sin x u(x) 0® =

sin u(x)

lim 1

u(x) u(x) 0® =

u(x)
lim 1
sin u(x)
b)
x
x
1

lim 1 e, x R

x

đƠ

ổ ₊ ử ₌ _ẻ

ỗ ữ

ố ứ

Heọ quaỷ: 1x

x 0

lim (1 x) e.

® + = x 0

ln(1 x)
lim 1
x
®
+
= x
x 0
e 1
lim 1

x
®

-=

<b>2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: </b>

(c)’ = 0 (c là hằng số)

1

(x )'a _{= a}xa- _{(u )'}a _{= a}_{u u'}a-1

2

1 _' 1

x x

ổ ử =
-ỗ ữ

ố ứ 2

1 _' u'

u u

ổ ử =
-ỗ ữ

ố ứ

( )

x ' 1
2 x

=

( )

u ' u'

2 u

=

x x

(e )' e= _{(e )' u'.e}u ₌ u

x x

(a )' a .ln a= _{(a )' a .lna . u'}u ₌ u

1
(ln x )'

x

= (ln u )' u'

u

=

a 1

(log x ')

x.ln a

= (log u )'a = _{u.ln a}u'

(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu

2
2

1

(tgx)' 1 tg x

cos x

= = + 2

2

u'

(tgu)' (1 tg u).u'

cos u

= = +

2
2

1

(cot gx)' (1 cot g x)

sin x

-= = - + 2

2

u'

(cot gu)' (1 cot g u).u'

sin u

-= = - +

<b>3. Vi phaân: </b>

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x (a; b)Ỵ . Cho số
gia Dx tại x sao cho x+ D Ỵx (a; b). Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của

hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)).

dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx
Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y = x, thì

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN </b>

<b>1. Định nghóa: </b>

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x
thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x).

Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm:
F'(a ) f(x) và F'(b ) f(b)+ ₌ - ₌

<b>2. Định lý: </b>

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì :

a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng đó.

b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể
viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số.

Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là f(x)dx.

_ị

Do
đó viết:

f(x)dx F(x) C= +

ị

<i><b>Bổ đề</b></i>: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) khơng đổi trên khoảng đó.

<b>3. Các tính chất của nguyên hàm: </b>

·

(

ị

f(x)dx ' f(x)

)

=

·

_ị

af(x)dx a f(x)dx (a 0)=

_ị

¹

·

ò

[

f(x) g(x) dx+

]

=

ò

f(x)dx+

ò

g(x)dx

·

ò

f(t)dt F(t) C= + Þ

ò

f u(x) u'(x)dx F u(x) C F(u) C (u u(x))

[

]

=

[

]

+ = + =

<b>4. Sự tồn tại nguyên hàm: </b>

· <i><b>Định lý</b></i>: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có ngun hàm trên đoạn đó.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM </b>
<b>Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp </b>

<b>thường gặp </b> <b>Nguyên hàm của các hàm số hợp (dưới đây u = u(x)) </b>

dx x C= +

ò

ò

du u C= +

1

x

x dx C ( 1)

1

a+

a ₌ ₊ _{a ¹}

-a +

ị

u du u 1 C ( 1)

1

a+

a ₌ ₊ _{a ¹}

-a +

ị

dx ln x C (x 0)

x = + ¹

ị

du ln u C (u u(x) 0)

u = + = ¹

ị

x x

e dx e= +C

ò

_{e du e}u ₌ u₊_C

ò

x

x a

a dx C (0 a 1)

lna

= + < ¹

ị

_{a du}u au _C _{(0 a 1)}

lna

= + < ¹

ị

cosxdx sin x C= +

ò

ò

cos udu sin u C= +

sin xdx = -cosx C+

ò

ò

sin udu= -cos u C+

2
2

dx _{(1 tg x)dx tgx C}

cos x = + = +

ò

ò

2

2

du _{(1 tg u)du tgu C}

cos u = + = +

ò

ò

2
2

dx _{(1 cot g x)dx} _{cot gx C}

sin x = + = - +

ò

ò

2

2

du _{(1 cot g u)du} _{cot gu C}

sin u = + = - +

ò

ò

dx _{x C} _{(x 0)}

2 x = + >

ò

du u C (u 0)

2 u = + >

ò

1

cos(ax b)dx sin(ax b) C (a 0)

a

+ = + + ¹

ị

1

sin(ax b)dx cos(ax b) C (a 0)

a

+ = - + + ¹

ị

dx _{1 ln ax b C}

ax b a+ = + +

ò

ax b 1 ax b

e dx e C (a 0)

a

+ ₌ + ₊ _¹

ị

dx _{2 ax b C} _{(a 0)}

a

ax b+ = + + ¹

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Vấn đề 1</b>:

<b>XÁC ĐỊNH NGUYÊN HAØM BẰNG ĐỊNH NGHĨA </b>

<b>Bài toán 1:</b> CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b)

<b>PHƯƠNG PHÁP CHUNG </b>

Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b)

+ Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x) f(x) với x (a; b)= " Ỵ

<i>Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: </i>
+ Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b)

Xác định F’(a+₎

Xác định F’(b–₎

+ Bước 2: Chứng tỏ rằng

F'(x) f(x), x (a ; b)
F'(a ) f(a)

F'(b ) f(b)

+

-= " ẻ
ỡ

ù ₌

ớ

ù ₌

ợ

Vớ d 1: CMR hàm số: _{F(x) ln(x}₌ ₊ _x2₊_a)_{với a > 0}

là một nguyên hàm của hàm số

2

1
f(x)

x a

=

+ trên R.

<i>Giải: </i>

Ta có: 2 2 2

2 2

2x
1

(x x a)' _{2 x} _a

F'(x) [ln(x x a)]'

x x a x x a

+

+ + ₊

= + + = =

+ + + +

2

2 2 2

x a x 1 _f(x)

x a(x x a) x a

+ +

= = =

+ + + +

Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
Ví dụ 2: CMR hàm số:

x
2

e khi x 0

F(x)

x x 1 khi x 0

ì ³

ï
= í

+ + <

ïỵ

Là một nguyên hàm của hàm số f(x) ex khi x 0
2x 1 khi x 0

ì ³

= í

+ <

ỵ trên R.

<i>Giải: </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

· Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0.

2 0

x 0 x 0

F(x) F(0) x x 1 e

F'(0 ) lim lim 1.

x 0 x

-

-® ®

- + +

-= = =

-· Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0.

x 0

x 0 x 0

F(x) F(0) e e

F'(0 ) lim lim 1.

x 0 x

+ +

+

® ®

-

-= = =

Nhận xét rằng F'(0 ) F '(0 ) 1- ₌ + _{= Þ} F'(0) 1.₌
Tóm lại: F'(x) ex khi x 0 f(x)

2x 1 khi x 0

ì ³

= _í =

+ <
ỵ

Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.

<b>Bài tốn 2:</b> Xác định các giá trị của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
trên (a ; b).

<b>PHƯƠNG PHÁP CHUNG </b>

Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b)

+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:
F'(x) f(x) với x (a; b)= " Ỵ

Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trị tham số.

<i>Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: </i>
+ Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b)

Xác định F’(a+₎

Xác định F’(b–₎

+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:
F'(x) f(x), x (a ; b)

F'(a ) f(a)
F'(b ) f(b)

+

-= " Ỵ
ì

ï ₌

í

ï ₌

ợ

ị giaự trũ cuỷa tham soỏ.

<b>Bi toỏn 3:</b> Tỡm hằng số tích phân

<b>PHƯƠNG PHÁP CHUNG </b>

· Dùng cơng thức đã học, tìm ngun hàm: F(x) = G(x) + C

· Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>ĐS: </i>CT : 1; 17 ; Đ.Uốn : 2; 4 ; 4 112;

12 3 3 81

ỉ _- ư ỉ _- ư ổ ử

ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ è ø

Bài 6. Đường thẳng (D): x – 3y + 5 = 0 chia đường tròn (C) : _x2₊_y2 ₌₅_{thành 2 phần,}

tính diện tích của mỗi phần.
<i>ÑS: </i>S₁ 5 5; S₂ 15 5.

4 2 4 2

p p

= - = +

Bài 7. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C): y 1; y 0
x

= = ; x = 1; x = 2. Tìm
toạ độ điểm M trên (C) mà tiếp tuyến tại M sẽ cắt từ (H) ra một hình thang có
diện tích lớn nhất.

<i>ĐS: </i>M 3 2; .
2 3

ổ ử

ỗ ữ

ố ứ

Baứi 8. Cho ủieồm A thuoọc (P): y = x2_{, (A khác gốc O); (}_D_{) là pháp tuyến tại A của (P)}

((D) vng góc với tiếp tuyến tại A với (P)). Định vị trí của A để diện tích giới
hạn đỉnh bởi (P) và (D) là nhỏ nhất.

<i>ÑS: </i>min S 4; A 1 1; hay A 1 1; .

3 2 4 2 4

ổ ử ổ ử

= _ỗ _ữ _ỗ- _ữ

ố ứ ố ø

Bài 9. Cho hình (H) giới hạn bởi:

2 2

x y ₁

16 4

x 4 2

ì

- =

ï
í
ï =
ỵ

.
Tính thể tích sinh ra khi (H) quay quanh Oy.
<i>ĐS: 128 .</i>

3

p

Bài 10. Cho hình (H) giới hạn bởi: y ax , a 02

y bx, b 0

ì = >
í

= - >

ỵ .

Quay hình (H) ở góc phần tư thứ hai của hệ toạ độ quanh trục Ox. Tìm hệ thức
giữa a và b để thể tích khối trịn xoay sinh ra là hằng số, khơng phụ thuộc vào a
và b.

<i>ĐS: b</i>5_{= K.a}3_{, với K là hằng số dương bất kỳ.}

Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

2

y x= -4x 3 , y x 3.+ = + <i>(Đề thi chung của Bộ GDĐT–khối A_2002) </i>
<i>ĐS: 109</i>

6 (đvdt).

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i>ĐS: </i>2 4
3

p + (đvdt).

Bài 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): y 3x 1
x 1

-=

- và hai trục

toạ độ. <i>(Đề thi... khối D_2002) </i>
<i>ĐS: </i>1 4 ln4

3

+ (đvdt).

Bài 14. Tính tích phân 2 3

2
5

dx

I .

x x 4

=

+

ò

<i>(Đề thi... khối A_2003) </i>
<i>ĐS: 1 5</i>ln .

4 3

Bài 15. Tính tích phân / 2 2

0

1 2sin x

I dx.

1 sin2x

p 

-=

+

ò

<i>(Đề thi... khối B_2003) </i>
<i>ĐS: 1 ln2.</i>

2

Bài 16. Tính tích phân 2 2
0

I=

_ị

x -x dx.

<i>(Đề thi... khối D_2003) </i>
<i>ĐS: 1. </i>

Bài 17. Tính tích phân 2

1

x

I dx.

1 x 1

=

+ +

ị

<i>(Đề thi... khối A_2004) </i>
<i>ĐS: 11 4 ln 2.</i>

3

-Bài 18. Tính tích phân e

1

1 3ln x.ln x

I dx

x

+

=

_ị

<i>(Đề thi... khối B_2004) </i>
<i>ĐS: 116 .</i>

135

Bài 19. Tính tích phân 3 2
2

I =

_ò

ln(x -x)dx.

</div>

<!--links-->