Hướng dẫn giải bài tập lý thuyết đàn hồi và cơ học kêt cấu

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (255.76 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TRẦN CÔNG NGHỊ

H

ƯỚ

NG D

Ẫ

N GI

Ả

I BÀI T

Ậ

P

LÝ THUY

Ế

T

Đ

ÀN H

Ồ

I

VÀ

C

Ơ

H

Ọ

C K

Ế

T C

Ấ

U

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2></div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ch

ươ

ng 1

LÝ THUY

Ế

T

Đ

ÀN H

Ồ

I

Tóm tắt

Phương trình cân bằng:

⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=
+
∂
∂
+

∂
∂
+
∂
∂
=
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
0
0
0
Z
y

x
z
Y
z
x
y
X
z
y
x
yz
zx
z
yz
yx
y
xz
xy
x
τ
τ
σ
τ
τ
σ
τ
τ
σ
(1.1)

trong đó X, Y, Z – lực khối.

Phương trình biến dạng:

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
=
=
=
x
w
z
u
y
w
z
v
x
v
y
u z
wy

v
x
u
zx
yz
xy
z
y
x
∂
∂
∂
∂
γ
∂
∂
∂
∂
γ
∂
∂
∂
∂
γ
∂
∂
ε
∂
∂
ε

∂
∂
ε
(1.2)

Điều kiện tương hợp (liên tục):

⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
=

∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
z
x
z
x
z
y
y
z
y
x
x
y
xz
x
z
yz

z
y
xy
y
x
γ
ε
ε
γ
ε
ε
γ
ε
ε
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
và

⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂

⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂

∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
z
y
x
z
y
x
z
y
x
y
z
x
z
y
x
x
z
y
xy

xz
yz
z
xy
xz
yz
y
xy
xz
yz
x
γ
γ
γ
ε
γ
γ
γ
ε
γ
γ
γ
ε
2
2
2
2
2
2
(1.3)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

với

[ ]

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢

⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢

⎢
⎢
⎣
⎡
=

z

yz
xz

yz
y
xy

xz
xy
x

zz
zy
zx

yz
yy
yx

xz
xy
xx

c
c
c

c
c
c
c

σ
τ
τ

τ
σ
τ

τ
τ
σ
σ

;

*
*
*

*
*

Ứng suất chính xác định từ phương trình:

⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
−
+
+

=
+

−
+

=
+

+
−

0
)
(

0
)

(

0
)

(

m
l

k

m
l

k

m
l

k

z
yz
xz

zy
y

xy

zx
yx
x

σ
σ
τ

τ
σ
σ
τ

τ
τ
σ
σ

(1.5)

hoặc dưới dạng ma trận:

}

0
{

=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢

⎢
⎢
⎣
⎡

−
−

−

m
l
k

z
zy

zx

yz
y

yx

xz
xy

x

σ
σ
τ

τ
σ
σ
τ

τ
τ

σ
σ

(1.6)

trong đó tổng bình phương các cosin bằng đơn vị k2 + l 2 + m2 = 1. Lời giải hệ phương
trình:

σ3 - σ2J

1 + σJ2 – J3 = 0. (1.7)

trong đó J1 = σx + σy + σz

J2 = σyσz + σzσx + σxσy - τyx2 - τzx2 - τxy2 (1.8)

J3 = σxσyσz + 2τxyτyzτxz - τxy2σz - τyz2σx - τzx2σy (1.9)

Các đại lượng J1, J2, J3 được gọi bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai, và bất biến thứ ba của

tenso ứng suất.

Trường hợp ứng suất phẳng, trong hệ tọa độ xOy ứng suất chính tính theo cơng thức:

2
2

1
2

1 ( )

2 x y xy

y

x σ σ σ τ

σ = + ± − + (1.10)

Hướng trục ứng suất chính tính từ cơng thức:
y

x
xy
n

tg

σ
σ

τ
θ

−

= 2

2 (1.11)

Ứng suất cắt lớn nhất:

2
1
min

max,

σ
σ

τ =± − (1.12)

xy
y
x
s

tg

τ
σ
σ

θ =2 −

2 (1.13)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2
2

2 ⎟⎟⎠

⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝

⎛ +

−σx σy τ σx σy

σ (1.14)

Định luật Hooke áp dụng cho vật liệu đẳng hướng với mô đun đàn hồi E, hệ số Poisson ν.

(

)

[

]

(

)

[

]

(

)

[

]

⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
+
−
=
+
−
=
+
−
=
y
x

z
z
z
x
y
y
z
y
x
x
E
E
E
σ
σ
ν
σ
ε
σ
σ
ν
σ
ε
σ
σ
ν
σ
ε
1
1

1
và
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
=
zx
zx
yz
yz
xy
xy
G
G
G
τ
γ
τ
γ
τ
γ
1
1

1
(1.15)

trong đó

)
1
(
2 +ν

= E

G (1.16)

Nếu ký hiệu: e=εx +εy +εz có thể viết:

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

⎪⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
+
+
−
+

=
+
+
−
+
=
+
+
−
+
=
z
z
y
y
x
x
E
e
E
E
e
E
E
e
E
ε
ν
ν
ν

ν
σ
ε
ν
ν
ν
ν
σ
ε
ν
ν
ν
ν
σ
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
(1.17)
⎪
⎭
⎪

⎬
⎫
+
=
+
=
+
=
z
z
y
y
x
x
G
e
G
e
G
e
ε
λ
σ
ε
λ
σ
ε
λ
σ
2

2
2
(1.18)

trong đó

(

)(

)

ν
ν
ν
λ
2
1

1+ −

= E mang tên gọi hằng số Lamé.
Hàm ứng suất Airy Φ(x,y) : ∇4Φ(x,y) = 0.

;
;
;
2
2
2
2
2
y
x
y

x y xy

x ∂ ∂

Φ
∂
−
=
∂
Φ
∂
=
∂
Φ
∂
= σ τ
σ

Ví dụ 1: Thành lập hàm ứng suất cho dầm dài L, hình 1.1, mặt cắt ngang hình chữ nhật cạnh đứng 2c,
chiều rộng b, chịu tác động tải phân bốđều q = const.

Điều kiện biên như sau:
a) Tại x = 0:

σx = 0; τxy = 0.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ứng suất:

⎪
⎪

⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫

⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜

⎝
⎛

+
−

−
=

⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜

⎝

⎛

+
−

−
=

0
1
1

2
2
2

z
r

dr
w
d
dr
dw

r
z
E

dr
dw
r
dr

w
d
z
E

ν
ν

θ (c)

Nếu ký hiệu M – momen uốn phân bố trên đơn vị chiều dài, cơng thức cuối có thể viết
thành:

⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=

3
3

12
12

t
z
Mt

z
Mr

r

θ
θ

σ
σ

(d)

với

⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜

⎝
⎛

+
−

⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜

⎝
⎛

+
−

2
2
2

dr
w
d
dr
dw
r
D
M

dr
dw
r
dr

w
d
D
Mr

ν
ν

với

(

2

)

1
12 −ν

= Et

D (e)

Cơng thức trình bày tại (d) dùng cho tấm dày t có dạng:
⎪

⎭
⎪
⎬
⎫
±
=

±
=

3
min

max,

3
min

max,

6
)

(

6
)

(

t
Mt
Mr

x

θ
θ

σ
σ

Phương trình vi phân bậc bốn uốn tấm, chịu tác động lực pháp tuyến p(r) được viết thành:

D
r
p
dr
dw
r
dr

w
d
dr

d
r
dr

d
r

w( ) 1 2 1 ( )

4 =

⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜

⎝
⎛

+
⎟⎟

⎠
⎞
⎜⎜

⎝
⎛

+
=

∇

7. Xác định chiều dày t tấm thép hình chữ nhật nhằm tránh mất ổn định tấm trong trường hợp chịu

lực nén P=30kN phân bốđều dọc cạnh ngắn tấm. Tấm tựa tự do bốn cạnh. Biết rằng cạnh tấm a =
35cm, b = 10cm, E = 2.105MPa, ν = 0,28.

8. Tấm thép hình vuông cạnh b = 25cm, tựa bốn mép trên gối, chịu lực nén cường độ q cả hai
chiều, hình 5.6. Xác định ứng suất giới hạn (ứng suất Euler) của tấm, biết rằng chiều dày tấm t =
0,40cm, E = 7.104MPa, ν = 0,3.

Trường hợp lực nén cường độ như trên chỉ tác động theo một hướng, kết quả tính sẽ như thế

nào?

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Hình 5.6 Hình 5.7

9. Tấm làm từ hợp kim nhơm, hình chữ nhật cạnh a = 40cm, b = 25cm, tựa tư do trên bốn cạnh,
chịu tác động lực cắt τ, hình 5.7. Xác định tải giới hạn, biết rằng E = 7,2.104MPa, [τ] = 120MPa.
10. Tấm hình chữ nhật cạnh nhật cạnh a = 36cm, b = 20cm, tựa tư do trên bốn cạnh, chịu tác động
lực cắt τ, và lực nén T = 2τ, hình 5.8. Xác định τcr để tấm không bị mất ổn định.

τ
τ

</div>

Hướng dẫn giải bài tập lý thuyết đàn hồi và cơ học kêt cấu

H

ƯỚ

NG D

Ẫ

N GI

Ả

I BÀI T

Ậ

P

LÝ THUY

Ế

T

Đ

ÀN H

Ồ

I

VÀ

C

Ơ

H

Ọ

C K

Ế

T C

Ấ

U

<b>Ch</b>

<b>ươ</b>

<b>ng 1 </b>

<b>LÝ THUY</b>

<b>Ế</b>

<b>T </b>

<b>Đ</b>

<b>ÀN H</b>

<b>Ồ</b>

<b>I </b>

[ ]

[ ]

(

)

[

]

(

)

[

]

(

)

[

]

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

<sub>(</sub>

<sub>)(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về