Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 3: Tối ưu hàm nhiều biến số không có ràng buộc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.14 MB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG 03:

TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

KHƠNG CĨ RÀNG BUỘC

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc

 

,

n

f

x x



x x

x

Tìm các điểm cực trị (Extreme points) và các điểm “Yên ngựa” 
(Saddle points) của hàm.

Giải hệ phương trình

Gradient = 0:

 

1 2

T

n

f

x























x

0

Giả sử có m nghiệm

       

1 1 1 1

1 2

T
n

T

m m m m

n

x x x

  

  






 



  



x

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Tính ma trận Hessian tại

một điểm bất kz

 

1 1 2 1

2 2 2

2 1 2 2

2 2 2

1 2

n

n n n

f f f

x x x x x

f f f

x x x x x

f f f

x x x x x

    

      

 

    

 

      

 

    

     

 

H

Tính ma trận Hessian tại m

điểm nghiệm ở bước 1.

 

 1 ;

 

 2 ; ;

 

 m

x x x

H H H

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc

Giả sử ma trận Hessian tại

điểm nghiệm i có dạng

 

 

11 12 1

21 22 2

1 2

; 1..

i

n
n

n n nn

a a a

i m

a a a

 
 
 
 
 
 
 
x
H

Tính định thức của n ma trận thành phần:

11 12
1 11 2

21 22
a a

A a A

a a

 

11 12 1

21 22 2

1 2

n
n
n

n n nn

a a a

A

a a a

 
 
 

 
 
 

1. Nếu tất cả A1, A2, …, An > 0 thì ma trận [H] > 0 x(i) – cực tiểu

2. Nếu dấu của Aj là (–1)j (j=1..n) thì [H] < 0 x(i) – cực đại

3. Nếu một vài Aj > 0 và 1 vài cái Aj < 0 hoặc = 0  x(i) – Điểm

yên

11 12 13
3 21 22 23
31 32 33

a a a

A a a a

a a a

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5></div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc

Cho 2 vật rắn không ma sát A, B liên 
kết bởi 3 lò xo đàn hồi với độ cứng 
lần lượt là k1, k2, k3. Các lò xo ở vị trí 
tự nhiên (khơng co – giãn) khi P=0. 
Với P≠0 hãy tìm các chuyển vị x1, x2

theo nguyên l{ cực tiểu thế năng.

Thế năng của hệ = Năng lượng biến dạng

của lị xo –

U



cơng của 
ngoại lực





2 2

1 2 2 1 3 2 1

1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Dưới tác dụng của lực P, 2 vật sẽ có chuyển vị x1, x2 để đến vị 
trí cân bằng. Tại vị trí cân bằng thì thế năng của hệ là cực tiểu. 
Do đó, để tìm x1, x2 ta có thể tìm cực trị hàm U.

 





2 2





1 2 1 2 2 1 3 2 1 2

1 1 1

2 2 2

U x U x x  k x  k x  k x  x  P x

 









3
1

1 2 2 3 3 1

1 2 1 3 2 1

1 2 3 2 1 2 3

2 1 2 2 3 3 1

k
U

x P

k k k k k k
x k x k x x

U

k x k x x P

U k k

x P

x k k k k k k




 
  

         
 
       
  
 
     
    
  
x

</div>

Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 3: Tối ưu hàm nhiều biến số không có ràng buộc

<b>CHƯƠNG 03: </b>

<b>TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ </b>

<b> KHƠNG CĨ RÀNG BUỘC </b>

<b>Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc </b>

 

,

,

,

,

<i>f</i>

<b>x x</b>



<i>x x</i>

<i>x</i>

 

<i>f</i>

<i>f</i>

<i>f</i>

<i>f</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>







<sub></sub>

<sub></sub>













<b>x</b>

<b>0</b>

 

 

 

 

<b>Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc </b>

 

<b>Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc </b>

<i>U</i>







1

1

1

 









 

<sub></sub>



<sub></sub>



Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về