ức Anh Vũblack5



3

Lời Nói Đầu
Trong tốn học và trong vật lý chúng ta thường hay bắt gặp những phương
trình dạng
y = sin(ωx + ϕ)
hoặc nghiệm của một số phương trình vi phân sẽ có dạng
y = c1 sin(x) + c2 cos(x), (c1 , c2 ) ∈ (R)2 .
Rất nhiều những dạng như vậy, vì các hàm sin, cos có những tính chất đặc
biệt như liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2π, v.v... Nên việc tạo nên một chuỗi hàm từ
những hàm sin, cos là một công cụ mạnh để nghiên cứu về chuỗi hàm và có ứng
dụng rất nhiều trong thực tế.
Vào năm 1811, Joseph Fourier1.1 đã cơng bố cơng trình của mình về chuỗi
Fourier và đặc biệt sử dụng nó để giải quyết phương trình truyền nhiệt, chuỗi
Fourier được ơng nhắc đến trong quyển "Théorie analytique de la chaleur" công
bố vào năm 1822. Theo quan điểm của toán học hiện đại, các kết quả của chuỗi
Fourier có một số phần chưa hồn chỉnh vào đầu thế kỷ XIX. Vì thế Dirichlet
và Riemann đã diễn đạt lại cơng trình của Fourier một cách chính xác và hồn
chỉnh hơn. Tuy vậy, Fourier đã là người đầu tiên phát hiện và xây dựng lý thuyết
cho một chuỗi hàm, mà nó đã được đặt theo tên của ơng "Chuỗi Fourier ". Chuỗi
Fourier có dạng
∞

a0
[an cos (nx) + bn sin (nx)], a0 ∈ R, (an , bn ) ∈ (R)2 .
+
2

n=1
Chuỗi Fourier ra đời như bước ngoặc vĩ đại của toán học ứng dụng, đặc
biệt là trong vật lý. Ngay cả trong nội bộ toán học thì chuỗi Fourier khơng thể
thiếu vào việc nghiên cứu tính chất của hàm số liên tục thông qua chuỗi hàm, sự
hội tụ của chuỗi số bằng các hàm tuần hoàn cos, sin, v.v ... Ngay cả trong lĩnh
vực phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng. Hơn thế nữa, trong
kỹ thuật ngày nay những chuyên gia về xử lý tín hiệu số (lĩnh vực âm thanh và
hình ảnh) là những người hiểu hơn ai hết vai trò quan trọng của chuỗi Fourier.
Có thể nói rằng, hầu hết các thiết bị điện tử liên quan đến hình ảnh và âm thanh
mà chúng ta sử dụng hôm nay đều do con "chip" làm nhiệm vụ chuyển đổi hệ số
Fourier thành hàm số (tín hiệu số) và đơi khi nó cũng kiêm ln chức năng khử
nhiễu hay hiệu chỉnh tín hiệu dựa trên các phép biến đổi Fourier. Tuy đóng vai
trị quan trọng nhưng chuỗi Fourier chỉ được giới thiệu như một mảng nhỏ nằm
trong chuỗi hàm mà chưa được giảng dạy sâu vào những tính chất quan trọng và
ứng dụng rộng rãi của nó do thời gian của chương trình giảng dạy. Để làm rõ hơn
về chuỗi Fourier tôi đã nghiên cứu đề tài "Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng".
1.1

Jean Baptiste Joseph Fourier (21 tháng 3 măn 1768 - 16 tháng 5 năm 1830) là một nhà
toán học và nhà vật lý người Pháp.

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


4
Tuy đã rất nỗ lực và cố gắng nhưng vẫn cịn nhiều thiếu sót và hạn chế nên
tơi rất mong được sự đóng góp ý kiến của q thầy cơ và các bạn đọc.
An Giang, ngày 01 tháng 07 năm 2012

Người nghiên cứu
Dương Giao Kỵ

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


5

Lời Cảm Ơn
Trước hết tôi xin chân thành gửi lởi cảm ơn đến Ban giám hiệu và khoa Sư
phạm của trường Đại học An Giang đã tạo điều kiện cho tôi thực hiện bài nghiên
cứu này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn ThS Võ Thành Tài đã hướng dẫn và giúp đỡ
tận tình trong suốt q trình nghiên cứu.
Tơi cũng gửi lời cảm ơn sâu sắc đến ThS Phạm Thị Thu Hường và anh Nguyễn
Quốc Hưng đã đóng góp ý kiến cho bài nghiên cứu được hoàn chỉnh hơn.
Và cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp DH10A, nơi tôi đã học
suốt ba năm đại học và ủng hộ tin thần cho tôi thực hiện bài nghiên cứu này.
An Giang, ngày 01 tháng 07 năm 2012
Người nghiên cứu
Dương Giao Kỵ

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


6


Phần Tóm Tắt
Đề tài "Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng" đi từ việc xây dựng lại định
nghĩa chuỗi Fourier của hàm f khả tích trên [−π; π], sau đó tiếp theo là nghiên
cứu sự hội tụ, những tính chất quan trọng và những ứng dụng của chuỗi Fourier
vào các lĩnh vực khác nhau.
Sau phần mở đầu là phần nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Trình bày cách xây dựng chuỗi Fourier, cách xác định chuỗi
Fourier của hàm f khả tích trên [−π; π] và nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi Fourier.
Chương 2: Nghiên cứu sâu vào những tính chất của chuỗi Fourier, chuỗi
Fourier của tích hai hàm f, g có chuỗi Fourier cho trước, định lý Parseval’s,
xấp xỉ hàm f bằng chuỗi lượng giác hay là bằng đa thức và phần quan trọng nữa
là nghiên cứu chuỗi Fourier của hàm f dựa vào chuỗi Fourier của hàm f .
Chương 3: Là phần ứng dụng của chuỗi vào việc tính giá trị của một số chuỗi
số, tính tích phân, tìm tổng chuỗi hàm, giải quyết một số bài tốn truyền nhiệt,
bộ lọc điện, trong xử lý tín hiệu và âm nhạc.

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


MỤC LỤC

7

Mục lục
I

Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


11

1

Chuỗi lượng giác - Đa thức lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . .

11

2

Định nghĩa chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1

Cơ sở trực chuẩn của lớp hàm khả tích trên đoạn [−π; π]. .

12

2.2

Định nghĩa chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3

Chuỗi Fourier với hệ số phức. . . . . . . . . . . . . . . . .


18

Chuỗi Fourier của hàm f khả tích trên một đoạn bất kỳ [a; b]. . .

20

3.1

Chuỗi Fourier của hàm khả tích f trên đoạn [−l; l]. . . . .

20

3.2

Chuỗi Fourier của hàm f khả tích trên đoạn [a; b]. . . . . .

22

Thác triển thành hàm tuần hoàn. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3

4

4.1

Chuỗi Fourier của hàm số chẵn, hàm số lẻ và khả tích trên

[−π; π]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Thác triển chẵn, lẻ hàm số f khả tích trên [0; π].

. . . . .

25

Sự hội tụ của chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Tính chất của chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.2
5
II

1

Phép toán trên chuỗi Fourier - Định lý Parseval’s. . . . . . . . . .

38

1.1


Tổng và hiệu chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1.2

Tích hai chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

1.3

Xấp xỉ bởi đa thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Đạo hàm - Tích phân của chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . .

47

III Phần ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2

1

Xấp xỉ bởi đa thức lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


63

2

Sự hội tụ của chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.1

Tìm tổng của chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.2

Xét sự hội tụ của chuỗi hàm. . . . . . . . . . . . . . . . .

73

2.3

Tìm đạo hàm của chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . .

75

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A



MỤC LỤC

8

2.4

Tính tích phân thơng qua chuỗi. . . . . . . . . . . . . . . .

77

2.5

Tìm tổng của chuỗi hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3

Cực trị hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4

Phương trình truyền nhiệt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

4.1


Nhiệt lượng của thanh ngang với hai đầu được giữ ở không
độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

Nhiệt lượng của thanh trụ với hai đầu được giữ nhiệt độ
hằng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

Nhiệt lượng của thanh trụ với hai đầu có nhiệt độ thay đổi
theo thời gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

5

Bộ lọc điện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

6

Ứng dụng trong tín hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

7


Chuỗi Fourier với âm nhạc.

4.2
4.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

IV KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1

Kết quả đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2

Hướng mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


MỤC LỤC

9

Danh mục ký hiệu
N - Tập số tự nhiên.
N∗ - Tập số tự nhiên khác không.

Z - Tập số nguyên.
Z∗ - Tập số nguyên khác không.
Q - Tập số hữu tỉ.
R - Tập số thực.
R∗+ - Tập số thực dương.
R∗ - Tập số thực khác không.
C - Tập số phức.
C∗ - Tập số phức khác không.
℘ - Tập các hàm khả tích trên [−π; π].
℘∗ - Tập các hàm khả tích trên [−π; π] và tuần hồn chu kỳ 2π.
f (x+ ) =

lim f (u) .
u→x
u>x

f (x− ) =

lim f (u) .
u→x
u
Cho A là một tập hợp
(A)n = {(x1 , x2 , ..., xn ); xi ∈ A, ∀i = 1, n}.

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A

MỤC LỤC

10

Mở Đầu
1. Mục tiêu và nội dụng nghiên cứu.
- Mục tiêu nghiên cứu: Trình bày cơ sở lý thuyết về chuỗi Fourier, những tính
chất quan trọng của chuỗi Fourier và dùng những tính chất đó giải quyết những
vấn đề thực tế như là trong lý thuyết chuỗi, hình học, vật lý, tín hiệu, v.v... Hơn
thế nữa nó cịn là tài liệu hữu ích cho sinh viên ngành Tốn và những ngành có
liên quan.
- Nội dung nghiên cứu: Trình bày định nghĩa của chuỗi Fourier, sự hội tụ của
chuỗi Fourier và một số tính chất khác của chuỗi Fourier. Bên cạnh đó, cịn sử
dụng những tính chất đã nghiên cứu về chuỗi Fourier của một hàm f liên tục
trên [−π; π], tuần hoàn chu kỳ 2π vào việc xấp xỉ nó bởi một chuỗi lượng giác
hoặc một đa thức với hệ số thực, tìm tổng của một số chuỗi đặc biệt, tìm tổng
của chuỗi hàm, giải quyết một số bài tốn về sự truyền nhiệt, bộ lọc, xử lý tín
hiệu.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Chuỗi hàm.
3. Cơ sở lý luận và phương pháp nghiên cứu.
- Cơ sở lý luận: Lý thuyết không gian vectơ, lý thuyết về chuỗi hàm, lý thuyết
tích phân, lý thuyết của phương trình truyền nhiệt, hình học vi phân, tín hiệu.
- Phương pháp nghiên cứu: Vận dụng lý thuyết của chuỗi hàm xây dựng nên
lý thuyết về chuỗi Fourier, từ đó vận dụng lý thuyết chuỗi Fourier và của các lĩnh
vực khác để giải quyết những vấn đề thực tế của lĩnh vực đó.

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A

11

Chương I
Chuỗi Fourier
1

Chuỗi lượng giác - Đa thức lượng giác.

Các hàm số lượng giác như cos, sin là những hàm lượng giác thường gặp trong
tốn học và có nhiều ứng dụng trong tốn học, vật lý, y học, v.v... Ví dụ: phương
trình dao động điều hịa của con lắc đơn
y = A cos(ωx + ϕ)
với ω là tần số góc đơn vị rad/s.
Mặt khác ta sử dụng công thức khai triển sau
A cos(ωx + ϕ) = A cos(ωx) cos(ϕ) − A sin(ωx) sin(ϕ) = a cos(ωx) + b sin(ωx)
ở đây
a = A cos(ϕ), b = −A sin(ϕ).
Từ chỗ
ω=

2π
T

nếu chu kỳ
T = 2l
ta suy ra được
ω=

π
.
l

Ta viết lại phương trình dao động của con lắc đơn như sau
a cos(

πx
πx
) + b sin( ).
l
l

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


2 Định nghĩa chuỗi Fourier.

12

Từ đó ta có được một dạng mới của phương trình dao động của con lắc đơn.
Vì cos, sin cũng là các hàm số nên từ đó ta xây dựng một chuỗi hàm các hàm
lượng giác thì sao ? Vì có nhiều tính chất quan trọng như: liên tục, tuần hoàn,
giới nội, v.v...
Định nghĩa 1.1. Cho dãy các hàm số sau
1, cos x, sin x, cos (2x) , sin (2x) , ..., cos (nx) , sin (nx) , ....
Thì chuỗi hàm sau
+∞

a0 +

[an cos (nx) + bn sin (nx)]
n=1

là một chuỗi lượng giác hay còn được gọi là đa thức lượng giác.
Hệ quả 1.1. Chuỗi có dạng
+∞

an cos

a0 +
n=1

nπx
nπx
+ bn sin
l
l

cũng là đa thức lượng giác theo định nghĩa 1.1.
πx
Chứng minh. Thật vậy ta chỉ cần đặt t =
. Thì ta được chuỗi mới có dạng
l
+∞

a0 +

[an cos (nt) + bn sin (nt)]
n=1

có dạng như định nghĩa 1.1.

2

Định nghĩa chuỗi Fourier.

Trong mục này, ta sẽ xây dựng một định nghĩa chân chính cho một chuỗi hàm
mà ta gọi là chuỗi Fourier. Trước hết ta gọi ℘ là tập hợp những hàm số khả tích
Riemann trên [−π; π] (sau này ta gọi tắt là khả tích trên [−π; π]).

2.1

Cơ sở trực chuẩn của lớp hàm khả tích trên đoạn
[−π; π].

Như ta đã biết thì một hàm khả tích trên [a; b] nếu nó bị chặn và gián đoạn tại
hữu hạn điểm trên đoạn [a; b]. Cho hệ vô hạn các hàm số
1
√ , cos x, sin x, cos (2x) , sin (2x) , ..., cos (nx) , sin (nx) , ...
2
Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


2 Định nghĩa chuỗi Fourier.

13

Định lý 1.1. ℘ là một không gian vectơ với (x, y) ∈ (℘)2 , α ∈ R với
x + y = x(t) + y(t), αx = αx(t), t ∈ [−π; π].
Chứng minh. Thật vậy dễ dàng chứng minh theo định nghĩa của không gian
vectơ.
Định lý 1.2. Với không gian vectơ ℘ và định nghĩa một phép tốn trên nó
như sau
π

1
f, g =
π

f (x)g(x)dx, ∀(f, g) ∈ (℘)2
−π

và phép tốn này là một tích vơ hướng trên ℘.
Chứng minh. Ta kiểm tra các điều kiện. Với (f, g, h) ∈ (℘)3 , λ ∈ R
1/ Dễ thấy f, g = g, f .
π

1
2/ f + g, h =
π

π

1
(f (x) + g(x))h(x)dx =

π
−π

π

1
f (x)h(x)dx+
π
−π

g(x)h(x)dx =
−π

f, h + g, h .
π

1
3/ λf, g =
π

π

λ
λf (x)g(x)dx =
π
−π

f (x)g(x)dx = λ f, g .
−π

π

1
4/ f, f =
π

f 2 (x)dx ≥ 0. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi f ≡ 0 trên
−π

[−π; π].
1
√ , cos x, sin x, cos (2x) , sin (2x) , ..., cos (nx) , sin (nx) , ...
2
là cơ sở trực chuẩn của không gian vectơ ℘.
Định lý 1.3. Cơ sở

Chứng minh. Rõ ràng các hàm số đã cho đều thuộc ℘ và lập thành hệ độc lập
tuyến tính. Ta lại có
π

a/

1 1
√ ,√
2 2

1
=
π
−π

1 1
√ . √ dx = 1.
2 2
π

1
b/ sin(nx), sin(nx) =
π

sin2 (nx)dx = 1, ∀n = 1, 2, 3...
−π
π

1
c/ cos(nx), cos(nx) =
π

cos2 (nx)dx = 1, ∀n = 1, 2, 3...
−π

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


2 Định nghĩa chuỗi Fourier.

14

π

d/

1
√ , sin(nx)
2

1
=
π

1
√ , cos(nx)
2

1
=
π

1
√ sin(nx)dx = 0, ∀n = 1, 2, ...
2

−π
π

e/

1

√ cos(nx)dx = 0, ∀n = 1, 2, 3...
2

−π

Mặt khác ta sử dụng công thức:

cos(mx) sin(nx) =

sin ((n + m)x) + sin ((n − m)x)
, ∀(m, n) ∈ (N)2 .
2
π

1
f / cos(mx), sin(nx) =
π

cos(mx) sin(nx)dx
−π

π

=

sin ((n + m)x) + sin ((n − m)x)
dx = 0, ∀(m, n) ∈ (N)2 .
2

1

π
−π

Mặt khác ta có
cos(mx) cos(nx) =

cos ((m + n)x) + cos ((m − n)x)
2

sin(mx) sin(nx) =

cos ((m − n)x) − cos ((m + n)x)
2

∀(m, n) ∈ (N)2 .
Từ đó ta dễ dàng ta chứng minh được rằng:
π

1
g/ cos(mx), cos(nx) =
π

cos(mx) cos(nx)dx
−π

π

cos ((m + n)x) + cos ((m − n)x)
dx = 0, ∀m = n, (m, n) ∈ N2 .
2

1
=
π
−π

π

1
h/ sin(mx), sin(nx) =
π

sin(mx) sin(nx)dx
−π

π

cos ((m − n)x) − cos ((m + n)x)
dx = 0, ∀m = n, (m, n) ∈ (N)2 .
2

1
=
π
−π

Vậy ta đã chứng minh rằng

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


2 Định nghĩa chuỗi Fourier.

15

1
√ , cos (x) , sin (x) , ...., cos (nx) , sin (nx) , ...
2
là một cơ sở trực chuẩn của ℘ với số chiều vơ hạn.
Như vậy với mọi f ∈ ℘ thì
∞

a0
f (x) ≈ √ +
[an cos (nx) + bn sin (nx)], (an , bn ) ∈ (R)2 , a0 ∈ R
2 n=1
trên [−π; π].
Ở đây ta chỉ được viết "≈" vì do tính chất lớp hàm mà ta đang xét thì những
phần tử thuộc vào ℘ chỉ là những hàm số khả tích trên [−π; π] cho nên nó chỉ bị
chặn trên [−π; π] và gián đoạn tại hữu hạn điểm trên đoạn đó, như vậy tại những
điểm gián đoạn thì chuỗi
∞

a
√0 +
[an cos (nx) + bn sin (nx)]
2 n=1
hội tụ tới một giá trị nào đó mà ta sẽ nghiên cứu ở phần sau, hơn nữa tại

những điểm gián đoạn thì ta không xác định được giá trị f (x). Một vấn đề quan
trọng được đặt ra là ta phải xác định các hệ số của chuỗi được xây dựng như
trên là gì ?

2.2

Định nghĩa chuỗi Fourier.

Trong khơng gian vectơ ℘ thì nếu f được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính
của một cơ sở nào đó của ℘ thì đó là biểu diễn duy nhất. Ta sẽ đồng nhất mỗi
f ∈ ℘ với bộ số (a0 ; a1 ; b1 ; a2 ; b2 ; ...; an ; bn ; ...) ta tạm sử dụng ký hiệu này nếu
không có gì nhầm lẫn f ≡ (a0 ; a1 ; b1 ; a2 ; b2 ; ...; an ; bn ; ...).
Giả sử
∞

a0
f (x) ≈ √ +
[an cos (nx) + bn sin (nx)], (an , bn ) ∈ (R)2 , a0 ∈ R.
2 n=1
trên [−π; π].
Đặt
e = (e0 ; eα1 ; eβ1 , ....; eαn ; eβn ; ...)
trong đó
Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


2 Định nghĩa chuỗi Fourier.

16

1
e0 = √ , eαn = cos(nx), eβn = sin(nx).
2
Từ đó ta suy ra
π

1
=
π

a0 = f, e0

−π

1
√ f (x)dx
2

π

an = f, eαn

1
=
π

f (x) cos(nx)dx, ∀n ≥ 1
−π

π

1
=
π

bn = f, eβn

f (x) sin(nx)dx, ∀n ≥ 1.
−π

Trong nghiên cứu, chúng ta thường sử dụng cơ sở sau:
1
, cos (x) , sin (x) , ...., cos (nx) , sin (nx) , ... .
2
Với cách xác định hệ số như sau
π

1
an =
π

f (x) cos(nx)dx, ∀n = 0, 1, ...
−π
π

1
bn =
π

f (x) sin(nx)dx, ∀n = 1, 2....
−π

Như vậy
∞

a0
f ∈ ℘, f (x) ≈
+
[an cos (nx) + bn sin (nx)]
2
n=1
thì
∞

a0
+
[an cos (nx) + bn sin (nx)]
2
n=1

(I.1)

được gọi là chuỗi Fourier của hàm f trên [−π; π]. Và nếu f được biểu diễn
dưới dạng tổ hợp tuyến tính thì đó là duy nhất nên ta có được chuỗi Fourier của
Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A

2 Định nghĩa chuỗi Fourier.

17

hàm f ∈ ℘ là duy nhất. Sau này, để cho tiện việc nghiên cứu ta có thể viết khai
triển Fourier của hàm f trên [−π; π]
∞

a0
+
[an cos (nx) + bn sin (nx)]
2
n=1
nếu khơng có chú gì thêm.
Bất đẳng thức Bessel’s

1.2

. Cho f ∈ ℘, thì ta có

π

1
π

∞

f 2 (x) dx ≥
−π

a0
+
a2n + b2n .
2
n=1

Chứng minh.
Ta xét độ lệch sau
π

n

a0
+
[an cos (nx) + bn sin (nx)]
2
k=1

f (x) −

∆n =
−π

2

dx ≥ 0, ∀n ≥ 1.

Suy ra
π

n

2

f (x)dx − π

∆n =
−π

a20
a2n + b2n
+
2
k=1

≥ 0, ∀n ≥ 1.

Cho n dần ra vô cùng ta được
π

1
π

∞

a0
f (x) dx ≥
+
a2n + b2n .
2

n=1
2

−π

Vậy ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.2.1. Tìm chuỗi Fourier của hàm f với
f (x) = 2x + 1, x ∈ [−π; π].
Giải.
Rõ ràng f là hàm liên tục trên [−π; π], vậy f đủ điều kiện khai triển thành
chuỗi Fourier trên [−π; π], hay chuỗi Fourier của f tồn tại mà sau này nếu không
1.2

Được giới thiệu trong quyển Fourier Series của Georgi P. Tolstov. Nó cho chúng ta thấy
sự khác biệt của chuỗi Fourier của hàm khả tích và hàm có đạo hàm khả tích (Bất đẳng thức
Parseval’s).

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


2 Định nghĩa chuỗi Fourier.

18

có gì thì việc nêu lên như thế ở những bài về sau là không cần thiết. Áp dụng
cơng thức ta có
π

1
a0 =
π

(2x + 1) dx =

1 2
x +x
π

π
−π

= 2.

−π

Tính an , bn , n ≥ 1.
π

1
(2x + 1) cos (nx) dx =
π

1
an =
π

(2x + 1)
sin (nx)

n

−π

π

π

1
−
π
−π

2
= 0 + 2 [cos (nx)]|π−π = 0, ∀n ≥ 1.
πn
π

1
(2x + 1)
(2x + 1) sin (nx) dx =
−
cos (nx)
π
n

1
bn =
π
−π

4
= − (−1)n , ∀n ≥ 1.
n
Chuỗi Fourier của hàm f trên [−π; π] là
∞

1−4
n=1

2.3

2
sin (nx) dx
n
−π

π

π

1
+
π
−π

2
cos (nx) dx
n
−π

(−1)n
sin (nx) .
n

Chuỗi Fourier với hệ số phức.

Với f ∈ ℘, giả sử f có chuỗi Fourier trên [−π; π] là (I.1). Sử dụng công thức Ơ-le
ta được
cos (nx) =

1 inx
e + e−inx
2

sin (nx) =

1 inx
e − e−inx
2i

∀n ≥ 0. Từ (I.1) ta có
+∞

cn einx

f (x) ≈
n=−∞

ở đây

cn =

1
1
1
(an − ibn ) , c−n = (an + ibn ) , c0 = a0 , n = 1, 2, ...
2
2
2

Từ công thức xác định hệ số an , bn ta thu được
Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


2 Định nghĩa chuỗi Fourier.

19

π

1
cn =
2π

π

f (x) e

−inx

dx, c−n

1
=
2π

−π

f (x) einx dx, ∀n ≥ 0.
−π

Ví dụ 2.3.1. Tìm chuỗi Fourier của của hàm f trên [−π; π] với
f (x) = x2 + x, x ∈ [−π; π].
Giải.
Ta có

π

a0
1
c0 =
=
2
2π

x2 + x dx =

π2

.
3

−π

Ta đi xác định
c−n =

an + ibn
, n ≥ 1.
2

π

c−n

1
=
2π

x2 + x einx dx
−π

1
=
2π

2

x + x inx

e
in

π

1
−
2π
−π

π

2x + 1 inx
e dx
in
−π

π

1 x2 + x inx 2x + 1 inx
2 inx
=
e −
+
e
2 e
2π
in
(in)
(in)3

−π
1 π 2 + π π 2 − π 2π + 1 −2π + 1
=
−
+
−
(−1)n
2
2
2π
in
in
n
n
2
i
n
= (−1)
−
.
n2 n
Tương tự như vậy
cn = (−1)n

i
2
+
n2 n

.

Từ đó suy ra chuỗi Fourier của f trên [−π; π] với hệ số phức là
+∞

π2
+
(−1)n
3
n=−∞

2
i
+
2
n
n

einx .

Từ phép biến đổi ngược ta suy ra
an =

4
2
(−1)n , bn = (−1)n+1 , ∀n ≥ 1.
2
n
n

Vậy chuỗi Fourier của f trên [−π; π] với hệ số thực

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


3 Chuỗi Fourier của hàm f khả tích trên một đoạn bất kỳ [a; b].

20

∞

π2
4 cos (nx) 2 sin (nx)
+
(−1)n
.
−
3
n2
n
n=1

Chuỗi Fourier của hàm f khả tích trên một
đoạn bất kỳ [a; b].

3

3.1

Chuỗi Fourier của hàm khả tích f trên đoạn [−l; l].

Bây giờ, ta nghĩ đến việc khai triển hàm f khả tích trên [−l; l], l ∈ R∗+ thành
chuỗi Fourier mà không phải là đoạn [−π; π]. Nhưng từ cách xây dựng ta chỉ có
thể khai triển hàm f trên [−π; π], bằng một song ánh ta co dãn [−l; l] thành
[−π; π]. Xét song ánh sau:
u : [−l; l] → [−π; π]
πx
.
x → u (x) =
l
Giả sử f là hàm khả tích trên [−l; l], thì
g = f0 u
là hàm khả tích trên trên [−π; π]. Hay nói cách khác thì
g(u) = f

lu
π

.

Lúc này ta có thể khai triển hàm g thành chuỗi Fourier trên [−π; π].
Xác định an , bn , n ≥ 1
π

1
an =
π

g (u) cos (nu) du, ∀n ≥ 0
−π

π

1
bn =
π

g (u) sin (nu) du, ∀n ≥ 1.
−π

Sử dụng phép đổi biến x =

lu
ta được
π

l

1
an =
l

f (x) cos

nπx
dx, ∀n ≥ 0
l

−l

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


3 Chuỗi Fourier của hàm f khả tích trên một đoạn bất kỳ [a; b].

21

l

1
bn =
l

f (x) sin

nπx
dx, ∀n ≥ 1.
l

−l

Thì lúc này ta được
∞

a0
g (u) ≈
+
[an cos (nu) + bn sin (nu)], −π ≤ u ≤ π.
2

n=1
Bằng phép đổi về biến x bằng phép đổi biến u =

πx
ta được
l

∞

a0
nπx
nπx
πx
≈
+
an cos
+ bn sin
f (x) = g
l
2
l
l
n=1

, −l ≤ x ≤ l.

Ví dụ 3.1.1. Xác định chuỗi Fourier của hàm f trên [−3; 3]
f (x) = |x|, −3 ≤ x ≤ 3.
Giải.
Áp dụng cơng thức ta có

3

1
a0 =
3

|x| dx = 3.
−3

3

3

2
nπx
|x| cos
dx =
3
3

1
an =
3
−3

x cos

nπx
dx
3

0

=

6
n
2 ((−1) − 1) , ∀n ≥ 1.
(nπ)
bn = 0, ∀n ≥ 1.

Vậy chuỗi Fourier của hàm f trên [−3; 3]
∞

3
12
nπx
−
.
2 cos
2 n=1 ((2n − 1) π)
3

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


3 Chuỗi Fourier của hàm f khả tích trên một đoạn bất kỳ [a; b].

3.2

22

Chuỗi Fourier của hàm f khả tích trên đoạn [a; b].

Bây giờ, ta lại quan tâm đến lớp hàm khả tích trên một đoạn bất kỳ [a; b], chúng
vốn không đối xứng như vậy nhờ một phép tịnh tiến biến đoạn [a; b] thành đoạn
đối xứng. Xét song ánh
t : [a; b] →

a−b b−a
;
2
2

x→x−

b+a
.
2

Rõ ràng ánh xạ trên là một song ánh.
Như vậy
g(t) = f (t +

b+a
a−b b−a
), t ∈ [
;

].
2
2
2

Như vậy g có thể khai triển thành chuỗi Fourier trên

an =

2
b−a

b−a
2

a−b b−a
;
.
2
2

g (t) cos

2πnt
b−a

dt, ∀n ≥ 0

g (t) sin

2πnt
b−a

dt, ∀n ≥ 1.

a−b
2

bn =

2
b−a

b−a
2
a−b
2

Như vậy
∞

a0
+
an cos
g(t) ≈
2
n=1

2nπt
b−a

+ bn sin

2nπt
b−a

,

a−b
b−a
≤t≤
.
2
2

Tiếp tục trả lại biến x
f (x) = g x −

b+a
2

.

Ta được

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A

4 Thác triển thành hàm tuần hoàn.

∞

a0
f (x) ≈
+
an cos
2
n=1

2nπ
b−a

x−

b+a
2

23

+ bn sin

2nπ
b−a

x−

b+a
2

với a ≤ x ≤ b.

4

Thác triển thành hàm tuần hoàn.

Ta trở lại với các hàm f ∈ ℘ vì những tính chất của chuỗi Fourier ở trên [−π; π]
ta có thể sử dụng cho đoạn [a; b]. Khơng cần phải mang tính tổng quát ta chỉ
nghiên cứu sâu ở lớp hàm ℘.
Giả sử ta có f ∈ ℘ . Ta sẽ tạo ra một hàm số f ∗ như sau
f ∗ (x) = f (x) , x ∈ [−π; π]
.
f ∗ (x) = f ∗ (2π + x) , x ∈ R
Mơ tả bằng hình học: Ta lấy phần đồ thị trên đoạn [−π; π], tiếp đó ta tịnh
tiến phần đồ thì này theo hai vectơ v1 = (2π; 0) và v2 = (−2π; 0). Thực hiện
tiếp việc tịnh tiến phần đồ thị vừa mới tạo ra theo hai vectơ tương ứng đã tạo ra
chúng, cứ như vậy tức là ta đã được f ∗ là hàm tuần hồn và khả tích trên [−π; π]
hơn nữa nó cũng khả tích trên R. Gọi ℘∗ là lớp hàm khả tích trên [−π; π], tuần
hồn với chu kỳ 2π được sinh ra bởi ℘. Hiển nhiên ℘∗ cũng là một không gian
vectơ.

4.1

Chuỗi Fourier của hàm số chẵn, hàm số lẻ và khả tích
trên [−π; π].

Bây giờ ta sẽ xét đến chuỗi Fourier của những hàm số khả tích trên [−π; π] có
tính chất đặc biệt hơn.
a/ Hàm số f được gọi là chẵn trên [−π; π] khi và chỉ khi

∀x ∈ [−π; π] ⇒ −x ∈ [−π; π]
(ở đây hiểu là x làm cho f xác định) và
f (x) = f (−x), ∀x ∈ [−π; π].
Ví dụ: 4.1.1. Cho hàm số
f (x) =

x2 + x, 0 < x ≤ π
x2 − x, −π ≤ x ≤ 0

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


4 Thác triển thành hàm tuần hoàn.

24

là hàm số chẵn trên [−π; π].
Nếu f là hàm chẵn và khả tích trên [−π; π] thì hệ số Fourier bn = 0, ∀n ≥ 1.
Vì
π

1
bn =
π

f (x) sin (nx) dx
−π

mà hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ nên bn = 0, ∀n ≥ 1.
b/ Hàm số f được gọi là hàm số lẻ trên [−π; π] khi và chỉ khi
∀x ∈ [−π; π] ⇒ −x ∈ [−π; π]
và
−f (x) = f (−x), ∀x ∈ [−π; π].
Ví dụ 4.1.2. Cho hàm số f với
f (x) = x3 , x ∈ [−π; π]
là hàm số lẻ trên [−π; π].
Nếu f là hàm số lẻ và khả tích trên [−π; π] thì hệ số Fourier an = 0, ∀n ≥ 0.
Vì
π

1
an =
π

f (x) cos (nx) dx
−π

mà hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ nên an = 0, ∀n ≥ 0.
Ví dụ 4.1.3. Tìm chuỗi Fourier của hàm số
f (x) =

x2 + x, 0 < x ≤ π
.
x2 − x, −π ≤ x ≤ 0

Giải. Rõ ràng thì f là hàm chẵn và khả tích trên [−π; π].
Suy ra
bn = 0, ∀n ≥ 1.

Tính an
π

π

2
2
π
x + x cos (nx) dx =
x2 + x sin (nx) 0 −
nπ
nπ
0


π
2  1
1
π
=−
− (2x + 1) cos (nx)|0 +
2 cos (nx) dx
nπ
n
n
2
an =
π

2

4π + 2
2
= (−1)
− 2 , ∀n ≥ 1.
2
nπ
πn

(2x + 1) sin (nx)dx
0

0

n

Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A


4 Thác triển thành hàm tuần hoàn.
π

2
a0 =
π

(2x + x) dx = 2

25

π2 π
a0
π2 π
+
⇒
=
+
.
3
2
2
3
2

0

Vậy chuỗi Fourier của f trên [−π; π] là
∞

π2 π
2
+
+
3
2
π
n=1

4.2

(−1)n

2π + 1
1
− 2
2
n
n

cos (nx).

Thác triển chẵn, lẻ hàm số f khả tích trên [0; π].

Giả sử f khả tích trên [0; π]. Ta xây dựng hàm f ∗ theo hai cách sau:
1/
 ∗
 f (x) = f (x) , x ∈ [0; π]
f ∗ (x) = f ∗ (−x) , x ∈ [−π; π] .
 ∗
f (x) = f ∗ (2π + x) , x ∈ R
Mơ tả bằng hình học: Ta giữ ngun phần đồ thị của f trên [0; π] và lấy
đối xứng phần đồ thị của f trên [0; π] qua trục tung ta thu được đồ thị trên
[−π; π]. Từ đó, thác triển phần đồ thị ra toàn trục số theo hai vectơ như đã xác
định ở phần đầu mục này.
Ta thu được hàm số f ∗ ∈ ℘∗ , đặc biệt f ∗ là hàm chẵn trên [−π; π]. Cách làm
như vậy gọi là thác triển chẵn hàm f trên [0; π].
2/.
 ∗

 f (x) = f (x) , x ∈ [0; π]
f ∗ (x) = −f ∗ (−x) , x ∈ [−π; π] .
 ∗
f (x) = f ∗ (2π + x) , x ∈ R
Mơ tả bằng hình học: Ta giữ nguyên phần đồ thị của f trên [0; π] và lấy
đối xứng phần đồ thị của f trên [0; π] qua gốc tọa độ ta thu được phần đồ thị
trên [−π; π]. Từ đó, thác triển phần đồ thị của f ∗ trên [−π; π] ra toàn trục số
theo hai vectơ như đã xác định ở phần đầu mục này.
Ta thu được hàm số f ∗ ∈ ℘∗ , đặc biệt f ∗ là hàm lẻ trên [−π; π]. Cách làm
như vậy gọi là thác triển lẻ hàm f trên [0; π].
Ví dụ 4.2.1. Ta xét lại hàm f
f (x) = x2 + x, x ∈ [0; π].
1/. Tìm chuỗi Fourier của f ∗ trên [−π; π] khi thác triển chẵn hàm f .
Nếu như ta xem đây là thác triển f thành hàm chẵn f ∗ trên [−π; π] thỏa mãn
f ∗ (x) = f (x), ∀x ∈ [0; π].
Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng

Lớp DH10A