loài chim âm nhạc 4 trần ngọc hiền thư viện tư liệu giáo dục

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (253.5 KB, 29 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN

Bảng cơng thức tích phân bất định :

∫

0 dx=C

∫

dx=x+C

∫

xndx=x

n+1

n+1+C n ≠ −1

∫

xdx=ln|x|+C

∫

exdx=ex+C

∫

axdx= a

x
lna C

∫

sin xdx=−cosx+C

∫

cos xdx=sinx+C

∫

cos2x dx=tanx+C

∫

sin2x dx=−cotx+C

∫

u
'

(x)

u(x)dx=ln|u(x)|+C

∫

x2− a2dx=
1
2aln

|

x − a
x+a

|

∫

√

x2

+adx=x

√

x
2

+a+a

2ln

|

x+

√

x

2+a

|

+C

Phương pháp biến số phụ :

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] có nguyên hàm là F(x) .

Giả sử u(x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α , β] và có miền giá trị là
[a ;b] thì ta có :

∫

f[u(x)].u '(x)dx=F(x)[u(x)]+C

BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :

a) I1=

∫

0
1

xdx

x2+1 b) I2=

∫

exdx

ex−1 c) I3=

∫

e

√1+lnxdx
x

Bài làm :

a) Đặt t=x2+1⇒dt=2 xdx⇒xdx=dt

2
Đổi cận :

¿
x=0→ t=1

x=1→t=2
¿{

Vậy :

xdx

x2+1=

1
2

∫

t =

2lnt∨¿1
2

2ln 2

I1=

∫

1
2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Đổi cận :

x=1→ t=e −1

x=2→t=e2−1

¿{
¿

Vậy :
dt

t =lnt∨¿e −1
e2−1

=ln(e+1)
I2=

∫

0
1

exdx

ex−1=

∫

e−1
e2−1

c) Đặt t=1+lnx⇒tdt=1
xdx

Đổi cận :

¿
x=1→ t=1
x=e → t=2

¿{
¿

√tdt=2

3t
3
2∨¿

1
2

3(2√2−1)

I3=

∫

1
e

√1+lnxdx

x =

∫

1

Tích phân lượng giác :
Dạng 1 : I=

∫

α
β

sin mx . cos nxdx

Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
Dạng 2 : I=

∫

α
β

sinmx. cosnx. dx
Cách làm :

Nếu m ,n chẵn . Đặt t=tanx

Nếu m chẵn n lẻ . Đặt t=sinx (trường hợp cịn lại thì ngược lại)
Dạng 3 : I=

∫

α
β

a. sinx+b. cosx+c

Cách làm :

Đặt :

t=tanx

2⇒
sinx= 2t

1+t2
cosx=1− t

2
1+t2
¿{

Dạng 4 : I=

∫

α
β

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Cách làm :

Đặt : ca. sin.sinxx++db. cos. cosxx=A+B(c. cosx − d. sinx)
c. sinx+d. cosx

Sau đó dùng đồng nhất thức .
Dạng 5: I=

∫

α
β

a. sinx+b. cosx+m
c.sinx+d.cosx+n . dx

Cách làm :

Đặt : ac. sin.sinxx+b. cosx+m

+d.cosx+n=A+

B(c. cosx − d. sinx)
c. sinx+d. cosx+n +

C

c. sinx+d. cosx+n

Sau đó dùng đồng nhất thức.

BÀI TẬP
Tính tích phân :

sinx+1¿4
¿
¿

cos xdx

¿
I1=

∫

0
π

b) I
2=

∫

0
π
2

cos5xdx c) I3=

∫

0
π
4

tan6xdx

Bài làm :

a) Đặt : t=sinx+1⇒dt=cos xdx

Đổi cận :

¿
x=0→ t=1
x=π

2 →t=2

¿{
¿

Vậy :

sinx+1¿4
¿
¿

cos xdx

¿
I1=

∫

0
π
2

b) Đặt : t=sinx⇒dt=cos xdx

Đổi cận :

¿
x=0→ t=0
x=π

2 →t=1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Vậy : I2=

∫

0
π
2

cos5xdx=

∫

0
1

(1−t2)2dt=

∫

0
1

(1+t4−2t2)dt

∫

0
1

(

t55−
2
3t

+t

)

¿01= 8

c) Đặt : t=tanx⇒dt=(tan2x+1)dx

Đổi cận :

¿
x=0→ t=0
x=π

4 →t=1

¿{
¿

Vậy :

I3=

∫

0
π
4

tan6xdx

∫

0
1

t6dt

t2

+1=

∫

0
1

(

t4−t2

+1− 1

t2

)

(

t55−

t3

3+t

)

¿0
1

−

∫

0
π
4

du=13

15 −

π

Tính các tích phân sau :
a) I

∫

0
π
2

sinx. cosx

√

a2. sin2x

+b2. cos2x

dx b) I2=

∫

0
π
3

cosx

√2+cos 2xdx

Bài làm :

a) Đặt : t=a2. sin2x+b2. cos2x⇒dt=2(− b2+a2)sinx.cos xdx

Đổi cận :

¿
x=0→ t=a2
x=π

2 →t=b
2

¿{
¿

Nếu |a|≠|b|

Vậy : I1=

∫

0
π

sinx. cosx

√

a2. sinx+b2. cosxdx=

1
2(b2− a2)

∫

a2

b2

√t

¿ 1

b2− a2√t¿a2

b2

=|a|−|b|
b2− a2=

|a|+|b|

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vậy :

sinx. cosx

√

a2. sin2x+b2. cos2xdx=¿

∫

0
π
2

sinx. cos xdx

|a|

I1=

∫

0
π
2

¿ 1

2|a|

∫

0
π
2

sin 2 xdx=− 1

4|a|cos 2x¿0

π
2

= 1

2|a|

b) Đặt : t=sinx⇒dt=cos xdx

Đổi cận :

¿
x=0→t=0
x=π

3 →t=

√3
2

¿{
¿

Vậy : I2=

∫

0
π
3

cosx

√2+cos 2xdx=

∫

√3
2

√

3−2t2=

√2

∫

√3
2

√

32− t

Đặt : t=

√

2cosu⇒dt=−

√

2sin udu

Đổi cận :

¿
t=0→ u=π

t=√3

2 →u=

π

¿{
¿

Vậy :

¿
I2= 1

√2

∫

√3
2

√

32− t

= 1

√2

∫

π
4
π
2 √3

2 sin udu

√

32(1−cos

u)
1

√2

∫

π
4
π
4

du= 1

√2u∨¿π4
π
2

= π

4√2

Tính các tích phân sau :
a) I

∫

0
π
2

4 sinx+3 cosx+5dx b) I2=

∫

0
π
2

sinx+7 cosx+6

4 sinx+3 cosx+5dx

Bài làm :

a) Đặt : t=tan x

2⇒dt=

(

tan
2x

2+1

)

dx⇒dx=
2 dt

t2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Đổi cận :

¿
x=0→ t=0
x=π

2 →t=1

¿{
¿

Vậy :

I1=

∫

1 2

1+t2

4 2t
1+t2+3

1− t2
1+t2+5

dt=

∫

0
1

(t+1)2

− 1

t+2¿0

b)Đặt : sin4 sinx+x7 cos+3 cosx+x+65=A+B 4 cosx −3 sinx

4 sinx+3 cosx+5+

C

4 sinx+3 cosx+5

Dùng đồng nhất thức ta được: A=1, B=1, C=1

Vậy : I2=

∫

0
π

sinx+7 cosx+6

4 sinx+3 cosx+5dx=

∫

0
π
2

(

1+ 4 cosx −3 sinx

4 sinx+3 cosx+5+

4 sinx+3 cosx+5

)

dx
¿(x+ln|4 sinx+3 cosx+5|)¿0

π
2

+I1=π

2+ln
9
8+

1
6
Bạn đọc tự làm :

a) I1=

∫

π
6
π
2

cos3x

sinx dx b) I2=

∫

π
2

cos3x. sin xdx c) I3=

∫

0
π
2

dx
sinx+2

c) I
3=

∫

0
π
2

4 sin3x

cosx+1 dx d) I5=

∫

0
π
2

sinx+2 cosx+3 dx

d) I

∫

0
π
2

sinx −cosx+1
sinx+2cosx+3 dx
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ

Dạng 1 : I=

∫

(x −a)n=−

n−1.
1

(x − a)n−1+C với (a , n)∈C ×(N −{0,1}) ta có :

Nếu n=1, a∈R ta có : I=

∫

x −a=ln|x|+C

Dạng 2 : I=

∫

αx+β

(ax2

+bx+c)ndx trong đó :

α , β , a , b , c∈R
Δ=b2−4 ac<0

¿{
¿

* Giai đoạn 1 : α ≠0 ,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức ax2

+bx+c

, sai khác một số :

I= α

2a

∫

2 ax+b+2aβ

α −b

(ax2+bx+c)n dx=

α

2a

∫

2 ax+b

(ax2+bx+c)ndx+

α

2a

(

2aβ

α −b

)

∫

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

* Giai đoạn 2 :

Tính I=

∫

dx(ax2+bx+c)ndx=

(

4a
− Δ

)

n
.√− Δ

2a

∫

t=2 ax+b

√− Δ
dt

(1+t2)n

* Giai đoạn 3 :

Tính I=

∫

(t2+1)n

dt có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt
t=tanφ

Dạng 3 : I=

∫

Pm(x)

Qn(x)
dx 
Ta có : Pm(x)

Qn(x)=

amx
m

+.. .. ..+a1x+a0
bnxn+. . .. ..+b1x+b0

Nếu : deg(P)≥deg(Q) thì ta thực hiện phép chia Pm(x)
Qn(x)

=A(m −n)(x)+Rr(x)
Qn(x)

trong

đó phân số Rr(x)

Qn(x)

có deg(R)<deg(Q)

Nếu : deg(P)<deg(Q) ta có các qui tắc sau :

*Qt 1: Pm(x)

(x −a)n=
A1

(x −a)+. .. .. .+

An −1
(x − a)n −1+

An
(x − a)n

Vdụ 1a :

Pm(x)

∏

i=1

n

(x − ai)
i

∑

i=1

n A

i
(x −ai)

i

Vdụ 1b :

x − c¿2
¿
(x − a)(x − b)¿

Pm(x)
¿

*Qt 2': Pm(x)
(ax2+bx+c)n

= A1x+B1

(ax2

+bx+c)+. . .. ..+

An −1x+Bn−1

(ax2+bx+c)n −1

+ Anx+Bn

(ax2+bx+c)n với Δ<0

*Qt 3: Pt(x)

(x −α)m(ax2+bx+c)n

∑

i=1

m A

i

(x − α)i+

∑

k=1

n A

ix+B1
(ax2+bx+c)i

Vdụ 1 : Pt(x)

(x − α)(ax2+bx+c)=
A
x − α+

Bx+C

(ax2+bx+c)

Vdụ 2 : Pt(x)

(x −α)(ax2

+bx+c)2

= A

(x −α)+

B1x+C1

(ax2+bx+c)+

B2x+C2

(ax2

+bx+c)2

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

a) I1=

∫

0
1

x2+3x+2 b) I2=

∫

0
1

dx
(x2

+3x+2)2

Bài làm :
a) I1=

∫

0
1

x2+3x+2=

∫

0
1

(x+1)(x+2)=

∫

0
1

(

x1+1−

x+2

)

¿[ln|x+1|−ln|x+2|]0
1

=ln4

3
b) I2=

∫

0
1

(x2+3x+2)2

dx=

∫

0
1

[

(x+11)2+

(x+2)2−

(x+1) (x+2)

]

dx
¿

[

− 1

x+1−
1

x+2−2(ln|x+1|−ln|x+2|)

]

0
1

=OK

Tính các tích phân sau :
a) I1=

∫

0
1

x4

+3x2+3 b) I2=

∫

0
1

4x −2
(x2

+1)(x+2)dx

Bài làm :

a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được I0=

∫

dx
x2+a2=

aarctan
x

a+C với a>0
I1=

∫

0
1

x4

+3x2+3=

∫

0
1

dx
(x2

+1) (x2+3)=

1
2

∫

0

(

x21

+1−

x2

)

dx
¿1

(

arctanx −
1

√3arctan

x

√3

)

¿0
1

=π

2(9−2√3)

b) Đặt : 4x −2

(x+2)(x2+1)=
A
x+2+

Bx+C
x2

+1 =

x2

(A+B)+x(2B+C)+2C+A
(x+2)(x2+1)

Do đó ta có hệ :

¿
A+B=0

2B+C=4
2C+A=0

⇔

¿A=−2

B=2

C=0

¿{ {
¿

Vậy : I2=

∫

0
1

4x −2

(x2+1)(x+2)dx=

∫

0
1

(

− 2
x+2+

2x
x2

)

dx
¿

[

−2 ln|x+2|+ln|x2+1|

]

01=−2 ln 3+ln 2+ln2−ln1=ln4

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bạn đọc tự làm :
a) I1=

∫

2
3

x+1
x2

(x −1)dx b) I2=

∫

2
5

x2

+2x −3

c) I3=

∫

1
2

x3−1

4x3− xdx d) I3=

∫

√3
2

x

x4−3x2+2dx

HD:

a) x2x(x −+11)=
A

x+
B
x2+

C

x −1 b)

x2

+2x −3=
A
x −1+

B
x+3
c) x

3−1
4x3− x=

1
4

(

x −4

x(2x+1) (2x −1)

)

x

x4−3x2+2=
A
x −1+

B
x+1+

C
x+√2+

D
x −√2
Đẳng thức tích phân :

Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận
xét một số đặc điểm sau .

* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….

Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
BÀI TẬP

Chứng minh rằng :

∫

0
1

xm(1− x)ndx=

∫

0
1

xn(1− x)mdx

Bài làm :
Xét I=

∫

0
1

xm(1− x)ndx

Đặt : t=1− x⇒dt=−dx⇒dx=−dt

Đổi cận :

¿
x=0→ t=1

x=1→ t=0
¿{

Vậy : I=

∫

0
1

xm(1− x)ndx=−

∫

1
0

(1−t)mtndt=

∫

0
1

(1−t)mtndt (đpcm)

Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [−a , a] thì :
I=

∫

−a
a

f(x)dx=0

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

I=

∫

−a
a

f(x)dx=

∫

− a
0

f(x)dx+

∫

0
a

f(x)dx(1)

Xét

∫

− a
0

f(x)dx . Đặt t=− x⇒dt=−dx⇒dx=−dt

Đổi cận :

x=− a→ t=a

x=0→ t=0
¿{

V ậy :

∫

− a
0

f(x)dx=

∫

0
a

f(− t)dt=−

∫

0
a

f (t)dt

Thế vào (1) ta được : I=0 (đpcm)

Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu f(x) là hàm chẳn và liên tục trên

đoạn [−a , a] thì I=

∫

−a
a

f(x)dx=2

∫

0
a

f(x)dx

Cho a>0 và f(x) là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R .

Chứng minh rằng :

∫

−α
α

f(x)

ax+1dx=

∫

0
α

f(x)dx

Bài làm :

∫

−α
α

f(x)
ax

+1dx=

∫

− α
0

f(x)
ax

+1dx+

∫

0
α

f(x)
ax

+1dx(1)

Xét

∫

−α
0

f(x)

ax+1dx . Đặt t=− x⇒dt=−dx⇒dx=−dt

Đổi cận :

x=− α →t=α

x=0→t=0
¿{

Vậy :

∫

−α
0

f(x)

ax+1dx=

∫

0
α

f(− t)
a− t+1dt=

∫

α

atf(t)
at+1

Thế vào (1) ta được :

∫

−α
α

f(x)

ax+1dx=

∫

− α
0

axf(x)
ax+1 dx+

∫

α

f(x)

ax+1dx=

∫

0
α

f(x)dx (đpcm)

Cho hàm số f(x) liên tục trên [0,1] . Chứng minh rằng :

∫

0
π

x.f(sinx)dx=π

∫

0
π

f(sinx)dx

Bài làm :
Xét

∫

0
π

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Đổi cận :

¿
x=0→ t=π
x=π → t=0

¿{
¿

Vậy :

∫

0
π

x.f(sinx)dx=

∫

0
π

(π − t).f[sin(π − t)]dt=

∫

0
π

(π −t).f (sint)dt
¿π

∫

0
π

f(sint)dt−

∫

0
π

t.f(sint)dt

⇒2

∫

0
π

x.f (sinx)dx=π

∫

0
π

f(sinx)dx

⇒

∫

0
π

x.f(sinx)dx=π

∫

0
π

f(sinx)dx

Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài tốn sau .

Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a , b] và f(a+b − x)=f (x) . Thì ta ln có :

∫

a
b

x.f(x)dx=a+b

∫

0
π

f(x)dx

Cho hàm số f(x) liên tục,xác định , tuần hồn trên R và có chu kì T .

Chứng minh rằng :

∫

a
a+T

f(x)dx=

∫

0
T

f (x)dx

Bài làm :

f(x)dx=¿

∫

a
0

f(x)dx+

∫

0
T

f(x)dx+

∫

T
a+T

f(x)dx

∫

a
a+T

f(x)dx=

∫

a
T

f(x)dx+

∫

T
a+T

Vậy ta cần chứng minh

∫

0
a

f(x)dx=

∫

T
a+T

f (x)dx

Xét

∫

0
a

f(x)dx . Đặt t=x+T⇒dt=dx

Đổi cận :

x=0→t=T

x=a → t=a+T

¿{
¿

Vậy :

∫

T
a+T

f(t −T)dt=

∫

T
a+T

f(t)dt

Hay :

∫

a

a+T

f(x)dx=

∫

0
T

f(x)dx (đpcm)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Nếu hàm số f(x) liên tục,xác định , tuần hồn trên R và có chu kì T , thì ta

ln có :

∫

0
T

f(x)dx=

∫

−T
2
T
2

f(x)dx

Bạn đọc tự làm :
a) I1=

∫

0
1

x(1− x)6dx b) I2=

∫

−1
1

sin2x. cosxln(x+

√

x2

+1)dx

c) I3=

∫

0
π

x. sinx

9+4 cos2xdx d) I4=

∫

0
π

x. sinx

1+cos2xdx

e) I5=

∫

−π
2
π
2

x2

|sinx|

1+2x dx f) I6=

∫

−1
1

x2+sinx

1+x2 dx

g) I❑7

∫

0
2π

ln(sinx+

√

1+sin2x)dx h) I❑8

∫

0
2009π

√1−cos 2xdx

Tích phân từng phần :

Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [a , b] , thì ta có :

∫

a
b

udv=[uv]¿ab−

∫

a
b

vdu

Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :

*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u=lnx hay u=logax .
*ưu tiên 2 : Đặt u=?? mà có thể hạ bậc.

BÀI TẬP

Tính các tích phân sau :
a) I1=

∫

0
1

x.exdx b)

I2=

∫

0
π
2

x2. cos xdx c) I3=

∫

1
e

ln xdx

Bài làm :
a) Đặt :

u=x⇒du=dx

dv=exdx⇒v=ex

{

Vậy : I1=

∫

0
1

x.exdx

=x.ex¿10−

∫

0
1

exdx=e −ex

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

b) Đặt :

¿
u=x2⇒du

=2 xdx

dv=cos xdx⇒v=sinx
¿

{
¿

Vậy :

 

1
sin

.
2
4

sin

.
2
cos

. 2

0
2

2
2

0
1

1

∫

 

∫

 

∫




 

xdx
x

x
x
dx
e
x

I x

Ta đi tính tích phân

∫

0
π
2

x. sin xdx

Đặt :

¿
u=x⇒du=dx

dv=sin xdx⇒v=−cosx
¿

{

Vậy :

∫

0
π
2

x. sin xdx=− x. cosx¿0

π
2

∫

0
π
2

cos xdx=− x. cosx¿0

π
2

+sin¿0

π
2

=1
Thế vào (1) ta được : I1=

∫

0
1

x.exdx=π

−8
4

c) Đặt :

¿
u=lnx⇒du=1

xdx

dv=dx⇒v=x
¿
{
¿

Vậy : I3=

∫

1
e

ln xdx=x. lnx¿1e−

∫

e

dx=x. lnx¿1e− x¿0e=1

Tính các tích phân sau :
a) I1=

∫

0
π

ex. sin xdx b) I
2=

∫

0
π
4

x

cos2x dx c)

I3=

∫

1
eπ

cos(lnx)dx

Bài làm :
a) Đặt :

u=ex⇒du=exdx
dv=sin xdx⇒v=−cosx

{

Vậy : I1=

∫

0
π

ex. sin xdx=− ex. cosx

¿0π+

∫

0
π

ex.cos xdx=eπ

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Đặt :

¿
u=ex⇒du

=exdx

dv=cos xdx⇒v=sinx
¿

{
¿

Vậy : J=

∫

0
π

ex. cos xdx=ex. sinx¿0π−

∫

0
π

ex. sin xdx=− I

Thế vào (1) ta được : 2I1=eπ+1⇒I1=e
π

b) Đặt :

¿
u=x⇒du=dx

dv= 1

cos2x dx⇒v=tanx
¿

{
¿

Vậy :

tan xdx=¿π

4+ln(cosx)¿0
π
4

=π

4+ln√
2
2

I2=

∫

0
π
4

x

cos2x dx=x. tanx¿0
π
4−

∫

0
π
4

c) Đặt :

¿
u=cos(lnx)⇒du=−1

xsin(lnx)dx

dv=dx⇒v=x
¿
{
¿

Vậy : I3=

∫

1
eπ

cos(lnx)dx=x. cos(lnx)¿1eπ+

∫

1
eπ

sin(lnx)dx=−(eπ+1)+J

Đặt :

¿
u=sin(lnx)⇒du=1

xcos(lnx)dx

dv=dx⇒v=x
¿
{
¿

Vậy : I3=

∫

1
eπ

sin(lnx)dx=x.sin(lnx)¿1eπ−

∫

1
eπ

cos(lnx)dx=0− I3

Thế vào (1) ta được : 2I3=−(e
π

+1)⇒I3=−e

π

2
Bạn đọc tự làm :

a) I1=

∫

0
ln 2

x.e− xdx b) I2=

∫

1
e

(1−lnx)2dx

c) I3=

∫

e
2

(

ln12x −

lnx

)

dx d) I4=

∫

0
1

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

e) I5=

∫

π
4
π
3

sinx. ln(tanx)dx f) I6=

∫

1
e

cos2(lnx)dx

g) I❑7

∫

0
π
4

x2cos 2x h) I❑7

∫

0
π
2

1+sinx

1+cosxe

x
dx

Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :
Muốn tính I=

∫

a
b

|f(x)|dx ta đi xét dấu f(x) trên đoạn [a , b] , khử trị tuyệt đối
Muốn tính I=

∫

a
b

max[f(x), g(x)]dx ta đi xét dấu f(x)− g(x) trên đoạn [a , b]
Muốn tính I=

∫

a

b

min[f(x), g(x)]dx ta đi xét dấu f(x)− g(x) trên đoạn [a , b]

Tính các tích phân sau :
a) I1=

∫

1
4

|x −2|dx b) I1=

∫

0
2

|x2

+2x −3|dx

Bài làm :

x 1 2 4
a)

x-2 - 0 +
Vậy : I1=

∫

1
4

|x −2|dx=

∫

1
2

(2− x)dx+

∫

2
4

(x+2)dx=

[

2x −x
2

]

1

2
+

[

x

2 −2x

]

2

[

(4−2)−

(

2−1

)

]

+[(8−8)−(2−4)]=
5
2
b) Lập bảng xét dấu x2

+2x −3, x∈[0,2] tương tự ta được
I1=

∫

0
2

|x2

+2x −3|dx=−

∫

0
1

(x2

+2x −3)dx+

∫

1
2

(x2

+2x −3)dx

I1=

[

3x − x
2

−x

]

0

[

−3x+x2+x

3
3

]

1

Tính Ia=

∫

0
1

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bài làm :

x − ∞ a +∞
x-a - 0 +

(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
Nếu a ≤0 .

Ia=

∫

0
1

x|x −a|dx=

∫

0
1

(x2−ax)dx

[

x

3
3 −

ax2
2

]

0

3−

a

2
Nếu 0<a<1 .

Ia=

∫

0
1

x|x −a|dx=−

∫

0
a

(x2−ax)dx+

∫

a
1

(x2−ax)dx

[

2
2 −

x3

]

0
a

[

−ax

2
2 +

x3

]

a
1

3−

a2

2 +

a3

2
Nếu a ≥1 .

Ia=

∫

0
1

x|x −a|dx=−

∫

0
1

(x2−ax)dx=−

[

x

3 −
ax2

]

0

1
=−1

a

Tính : a) I1=

∫

0
2

min(1, x2)dx I
2=

∫

0
3

max(x2, x)dx
Bài làm :

a) Xét hiệu số :



1 x2



x



0,2



Vậy : I1=

∫

0
2

min(1, x2)dx=

∫

0
1

x2dx+

∫

1
2

dx=x

3
3 ¿0

+x¿12=4

b) Xét hiệu số : x(x −1)∀x∈[0,3] tương tự như trên ta có .

I2=

∫

0
3

max(x2, x)dx=

∫

0
1

xdx+

∫

1
3

x2dx=x

2
2 ¿0

+x

3
3 ¿1

=55

6
Bạn đọc tự làm :

a) I1=

∫

−2
3

min(x , x2−3)dx b) I
2=

∫

0
π
2

max(sinx,cosx)dx c) I3=

∫

0
3π

|sinx −cosx|dx
d) I4=

∫

−2
3

max(x2,4x −3)dx d) I❑4

∫

(

√

x+2√x −1+

√

x −2√x −1)dx

Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

¿
a>0

Δ<0

→ax2

+bx+c=− Δ

4a

[

(

2 ax+b

√− Δ

)

]

¿{
¿

∫

R(x ,

√

ax2+bx+c)dx=

∫

t=2 ax+b

√− Δ

S(t ,

√

1+t2)dt

Tới đây , đặt t=tanu .

Dạng 2:

¿
a<0

Δ<0

→ax2

+bx+c=− Δ

4a

[

1−

(

2 ax+b

√− Δ

)

]

¿{
¿

∫

R(x ,

√

ax2+bx+c)dx=

∫

t=2 ax+b

√− Δ

S(t ,

√

1− t2)dt

Tới đây , đặt t=sinu .

Dạng 3:

¿
a>0

Δ>0

→ax2

+bx+c= Δ

4a

[

(

2 ax+b

√− Δ

)

−1

]

¿{
¿

∫

R(x ,

√

ax2+bx+c)dx=

∫

t=2 ax+b

√Δ

S(t ,

√

t2−1)dt

Tới đây, đặt t= 1

sinu .

Dạng 4 (dạng đặc biệt) :

∫

dx(αx+β)

√

ax2

+bx+c

∫

t=αx1
+β

√

αt2

+μt+ζ

Một số cách đặt thường gặp :

∫

S(x ,

√

a2− x2)dx đặt x=a. cost0≤ t ≤ π

∫

S(x ,

√

a2

+x2)dx đặt x=a. tant −π2<t<π2



x x a



dx

S

∫

, 2  2

đặt x=cosat t ≠π2+kπ

∫

S(x ,

√

ax2

+bx+c)dx đặt

√

ax2

+bx+c=xt±√c ; c>0
¿

√

ax2+bx+c=t(x − x0);ax0+bx0+c=0

√

ax2+bx+c=±√a.x ±t ;a>0

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

∫

S

(

x ,m

√

ax+b

cx+d

)

đặt t=

m

√

ax+b

cx+d;ad−cb≠0

Tính : I=

∫

√

(x2+4x+7)3

Bài làm :

∫

√

(x2+4x+7)3

∫

t=x+2
dt

√

(t2+3)3

Đặt : t=√3 tanu⇒dt=√3(tan2u+1)du

Ta có

√3(tan2u+1)du
3√3 .

√

(tan2u+1)3

=¿1

3√3 tan

∫

ucos udu

I=

∫

√3 tanu

¿
¿1

3sinu+C=
1
3

t

√

t2+1+C=

1
3

x+2

√

x2+4x+7+C

Tính : a) I=

∫

xdx

√

x2+x+1 b) I=

∫

x

√

x2−2x −1
Bài làm :

xdx

√

x2

+x+1=¿

∫

xdx

√

(

x+1

)

2
+3

∫

t=2x+1

√3

√3t −1

√

t2
+1 dt

∫

I=1

∫

t=2x+1

√3

√3t −1

√

t2+1

dt=√3

√

t
2

+1−1

2ln(t+

√

t
2

+1)+C
¿

√

x2+x+1−1

2+ln

(

x+
1
2+

√

x

+x+1

)

b)Đặt : x=1

t ⇒dx=−

t2

√

2−(t+1)2

=¿−arcsint+1

√2 +C

I=

∫

x

√

x2−2x −1=−x

∫

=1
t

¿−arcsin

x+1

√2 +C=−arcsin

x+1

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Tìm các nguyên hàm sau
a) I=

∫

√1+x+√31+x b) I=

∫

√x+1+√x+1

Bài làm :

a)Đặt : t=√61+x⇒t6=1+x⇒6t5dt=dx

Vậy : I=

∫

√1+x+√31+x=6t=

∫

6√1+x

t5dt

t3

+t2=6t=

∫

√1+x

(

t2−t+1− 1
t+1dt

)

¿2t3−3t2+6t −6 ln|t+1|+C

2√1+x −3√31+x+6√61+x −6 ln

|

√61+x+1

|

+C

b) I=

∫

√x+1+√x+1=

∫

1+√x −√x+1
2√x dx=

1
2

∫

(

x

−1
2

)

dx−1

∫

√

x+1

x dx

¿1

2x+√x −
1
2

∫

√

x+1

x dx(1)

Xét

∫

√

x+1

x dx Đặt : t=

√

x+1

x ⇒x=

t2−1⇒dx=−

2t

(t2−1)2dt
Vậy :

∫

√

x+x1dx=−2

∫

t=

√

x+1

x

t2dt

(t −1)2=OK

Tìm các nguyên hàm sau :
a) I=

∫

❑
❑

x2.

√

x2

+9 dx b) I=16

∫

❑
❑

x2.

√

x2

+4 dx

Bài làm :

a)Đặt :

√

x2+9=x − t⇒x=t

−9

2t ⇒dx=
t2+9

2t2 dt

Vậy :

I1=

∫

❑
❑

(

t2+9

2t2

)

(

− t2−9
2t

)

(t2−9)2
4t2 dt=−

1
16

∫

❑

❑ (t4−81)2

t5 dt

(

t3−162

t +

6561

t5

)

dt=¿−

1
16

(

t4

4 −162 ln|t|−
6561

4t4

)

− 1

∫

❑
❑

¿− 1

(

(x −

√

x2+9)4

4 −162 ln

|

x −

√

x
2

|

−6561

4(x −

√

x2+9)4

)

+C
¿

b)Đặt :

√

x2

+4=x −t⇒x=t

−4

2t ⇒dx=

t2+4

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

I=16

∫

❑
❑

(

t2+4

2t2

)

(

− t2−4
2t

)

(t2−4)2

4t2 dt=−

∫

❑

❑ (t4−16)2

t5 dt

(

t3−36

t +

256

t5

)

dt=¿−

(

t4

4 −36 ln|t|−
64

t4

)

+C

−

∫

❑
❑

¿−

(

(x −

√

x

+4)4

4 +36 ln

|

x −

√

x
2

|

−64

(x −

√

x2+4)4

)

Tính các tích phân sau :
a) I1=

∫

1
2

√

x − x2dx

b) I2=

∫

−3
−8

x√1− xdx

Bài làm :

√

x − x2dx

=¿1

∫

1
2
1

√

1−(2x −1)2dx
I1=

∫

1
2
1

Đặt : 2x −1=sint⇒dx=1

2cos tdt

Đổi cận :

¿
x=1

2→ t=0

x=1→ t=π

¿{
¿

Vậy :

(1+cos 2t)dt=¿1

(

1+
1

2sin 2t

)

¿0
π
2

cos2tdt

=¿1

∫

0
π
2

I1=1

∫

0
π
2

¿
¿1

[

(

π

2−0

)

−(0+0)

]

π

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Đổi cận :

x=−3→ t=2

x=−8→ t=3

¿{
¿

Vậy : I2=

∫

−3
−8

x√1− xdx=2

∫

2
3

tdt

(1−t2)t=2

∫

2
3

dt
1−t2
¿−ln

|

t −1

t+1

|

¿2

3=−

(

ln1

2−ln 1

)

=ln 2

Bạn đọc tự làm :
a) I1=

∫

x

√

x2

+1 b) I2=

∫

√

4x − x

2dx c) I
3=

∫

√

(x2

+4)3

d) I4=

∫

√

1+x2dx d) I❑5

∫

√

x

−1

1−

√

x2−1dx d) I

❑6

= 1

√

x2+1dx
Bất đẳng thức tích phân :

Nếu f(x)≥0∀x∈[a ,b]⇒

∫

a
b

f (x)dx≥0

Nếu f(x)≥ g(x)∀x∈[a , b]⇒

∫

a
b

f(x)dx≥

∫

a
b

g(x)dx

Nếu m≤ f(x)≤∀x∈[a , b]⇒m(b − a)≤

∫

a
b

f (x)dx≤ M(b − a)

Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bước chặn sinx,cosx

BÀI TẬP
Chứng minh các bất đẳng thức sau :

∫

0
1

x(1− x)dx≤1

4 b)
2
5≤

∫

1

x
x2+1dx≤

2 c)

∫

0
1

(√1+x+√1− x)dx≤2

Bài làm:

a)Áp dụng AM-GM ta có :

x(1− x)≤

[

x+(1− x)

]

4∀x∈[0,1]
Vậy :

∫

0
1

x(1− x)dx≤1

∫

0
1

dx=1

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

b) Xét hàm số : f(x)= x
x2

+1∀x∈[1,2]

Đạo hàm :

x=1

x=−1

¿
¿
¿
¿
¿f

'

(x)= 1− x

(x2+1)2
f'(x)=0⇔

Ta có :

¿
f(1)=1

f(2)=2

¿{
¿

Vậy :
2
5≤

x
x2+1≤

2∀x∈[1,2]
⇒2

∫

1
2

dx≤

∫

1
2

x
x2

+1dx≤

1
2

∫

1

2
dx
⇒2

5≤

∫

1
2

x
x2

+1dx≤

1
2
Áp dụng Bunhicopxki ta có :

√1+x+√1− x ≤

√

12+12√1+x+1− x=2∀x∈[0,1]

Vậy :

∫

0
1

(√1+x+√1− x)dx≤2(1−0)

∫

0
1

(√1+x+√1− x)dx≤2 (đpcm)
Chứng minh rằng :

∫

√3

e− x. sinx

x2

+1 dx<
π

12e

Bài làm :

∀x∈[1,√3]⇒− x ≤ −1⇒e− x≤1

e

⇒e− x.sinx

x2

+1 <

e(x2+1) ⇒

∫

√3

e− x.sinx

x2+1 dx<

∫

√3
1

e(x2+1)dx

Xét

∫

√3
1

e(x2+1)dx

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Đổi cận :

¿
x=1→ t=π

x=√3→t=π

¿{
¿

Do đó :

∫

π
4
π
3

(tan2t+1)dt
e(tan2t+1) =

∫

π

4
π
3

e =

π

12
Từ đó ta được đpcm.

Bạn đọc tự làm :
Chứng minh rằng :
a) π

16 ≤

∫

0

π
2

5+3 cos2x≤
π

10 b)

√3
4 <

∫

π

6
π
3

sinx
x dx<

2 c)

π

6≤

∫

π
6
π
3

√

4− x2− x3≤

π√2
8
d*) Cho 2 hàm số liên tục : f:[0,1]→[0,1]; g:[0,1]→[0,1]

Chứng minh rằng :

[

∫

0
1

f(x).g(x)dx

]

≤

∫

0
1

f(x)dx .

∫

0
1

g(x)dx

Một số ứng dụng của tích phân thường gặp :
1)Tính diện tích :

Cho hai hàm số f(x)∧f (x) liên tục trên đoạn [a , b] . Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường là :

¿
x=a
y=f(x)

;
¿x=b
y=g(x)

¿{
¿

Được tính như sau :

S=

∫

a
b

|f(x)− g(x)|dx
2)Tính thể tích :

Nếu diện tích S(x) của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vng góc với trục tọa độ ,

là hàm số liên tục trên đoạn [a , b] thì thể tích vật thể được tính :

V=

∫

a
b

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a , b] và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các
đường:

¿
x=a , x=b

y=f(x)

¿{ {

Khi (H) quay quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay . Lúc đó thể tích được tính :

V=π

∫

a
b

[f (x)]2dx

Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy
3)Tính giới hạn :

lim
n →∞

∑

i=1

n

f(ξ).Δxi=

∫

a
b

f(x)dx trong đó

xi −1≤ ξi≤ x
Δx=xi− xi−1

¿{

Từ đó ta xây dựng bài tốn giới hạn như sau :
Viết dãy số thành dạng : Sn=

∑

i=1
n

nf

(

i

n

)

sau đó lập phân hoạch đều trên [0,1] , chọn
ξi=xi=i

n ta có n →∞lim

∑

i=1
n

nf

(

i
n

)

∫

f(x)dx

4)Tính độ dài cung đường cong trơn:

Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh y=f(x) thì độ dài đường cung nó được

tính như sau :

l=

∫

a
b

√

1+(y')2dx với a , b là hoành độ các điểm đầu cung .

4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton.

Tìm cơng thức tổng qt , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối
cùng là tính tích phân .

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

hình1c hình1d
BÀI TẬP

Tính diện tích hình trịn , tâm O , bán kính R.
Bài làm : (hình 1a)

Phương trình đường trịn có dạng :

x2+y2=R2⇔y=±

√

R2− x2

Do tính đối xứng của đồ thị nên : S=4

∫

0
R

√

R2− x2dx

Đặt : x=Rsint⇒dx=Rcos tdt

Đổi cận :

x=0→t=0

x=R →t=π

¿{
¿

¿
x=0→t=0

x=R →t=π

¿{
¿

Vậy : S=4

∫

0
π
2

√

R2−sin2t Rcos tdt=2R2

∫

0
π
2

(1+cos 2t)dt
¿2R2

(

x+1

2sin 2t

)

¿0
π
2

=πR2(dvdt)

Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol y=x2 , phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm

A(1,4) và hệ số góc là k . Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .
Bài làm (hình 1b)

Phương trình đường thẳng có dạng.
y=k(x −1)+4

Phương trình hồnh độ giao điểm .

x2=k(x −1

)+4⇔x2−kx

+k −4=0

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

[

k(x −1)+4− x2

]

dx=

[

−x

3
3 +

k

2 x
2

+(4− k)x

]

∨¿x1

x2

S=

∫

x1
x2

¿=(x2− x1)

[

−1

(

x22+x1x2+x1

)

2k(x2+x1)+(4− k)

]

()
Với :

¿
x2+x1=k

x2.x1=k −4
(x2− x1)

=(x22

+x21)2−4x

2.x1=k2−4(k −4)

¿{ {
¿

Thế vào ( ) ta được :
S=

√

k2−4k

+16

[

−1

3(k
2−4k

+4)+1

2k
2

+(4− k)

]

¿1

√

k
2−4k

+16(k2−4k+16)
¿1

√

(k
2

−4k+16)3=1

√

[

(k −2)
2

+12

]

3≥4√3
Vậy : minS=4√3 khi k=2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

ax=y2

ay=x2

¿{
¿

Bài làm : (hình 1c)

Do tính chất đối xứng của đồ thị mà ta chỉ cần xét a>0

Xét :

ax=y2

ay=x2
a>0

⇔

¿(x − y)(x+y+a)=0

ay=x2
a>0

¿{ {
¿

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

x=y

ay=x2
a>0

⇔

x=a(n)
¿
x=0(l)

¿
¿
¿{{

¿
¿
¿ ¿

Với x+y+a=0 ta được :

x+y+a=0

ay=x2
a>0

⇔

¿x2+ax+a2=0

ay=x2

a>0

⇔

x=a(n)
¿
x=0(l)

¿
¿{ {

¿
¿
¿¿

Ta lại có :

ax=y2

ay=x2
a>0

⇔

¿y=±√ax

y=x2
a
a>0
¿{{

Vậy diện tích cần tính là :

S=

∫

0
a

[

√ax−x

a

]

dx=

∫

0

a

[

√a x

2−x2

a

]

dx
¿

[

2√a x
3
2− x3

3a

]

¿0

a

3a
2

(dvtt)

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
a)

¿
x − y3+1=0

x+y −1=0
x=2

¿{ {

¿
y=x2
y=4x

y=4

¿{ {
¿

¿
x=√y
x+y −2=¿y=0

¿{ {
¿

¿
x2
a2+

y2
b2=1

a , b ≠0

¿{
¿

Hình vẽ tương ứng ↓↓↓

hình a hình b

hình c hình d
Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :

Sn=1
5

+25+35+.. .+n5
n6

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Sn=1
n

[

(

n

)

(

2
n

)

(

3
n

)

+.. .. . ..+

(

n
n

)

]

∑

i=1
n

n.

(

i

n

)

Xét hàm số f(x)=x5∀ ∈[0,1] .

Ta lập phân hoạch đều trên [0,1] với các điểm chia :

0=x0<x1<x2<.. .. .xn −1<xn=1 và chiều dài phân hoạch l=xi− xi −1=1
n

Chọn ξi=xi=

i

n ta có n →∞lim

∑

i=1
n

(xi− xi−1)f(ζi)=

∑

i=1

n
1

n.

(

i
n

)

x5dx=¿1

⇒lim S

l →0n=limn →∞S n=

∫

0
1

Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :
Sn= 1

n+1+

n+2+
1

n+3+.. . .. .+
1

n+n

Tính limn →∞S n.
Bài làm :

Sn=1

n

(

1
1

n+1

+ 1

n+1

+ 1

n+1

+.. . .. .+ 1
n
n+1

)

∑

i=1
n

n.

(

i
n+1

)

Xét hàm số f(x)= 1

x+1∀ ∈[0,1] .

Ta lập phân hoạch đều trên [0,1] với các điểm chia :

Chọn

ξi=xi=i
n

ta có



  



































1
1
.
1
lim

1
1

n
i
n
f

x

x n

i
n

i

i
i
i

n 

⇒lim S

l →0n=limn →∞S n=

∫

0
1

x+1=ln|x+1|¿0

</div>

loài chim âm nhạc 4 trần ngọc hiền thư viện tư liệu giáo dục

∫

<sub>∫</sub>

∫

∫

∫

<sub>∫</sub>

∫

<sub>∫</sub>

∫

∫

∫

∫

|

|

∫

√

√

|

√

<sub>|</sub>

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

(

)

∫

∫

∫

(

)

(

)

<sub>∫</sub>

∫

√

∫

∫

√

∫

√

∫

∫

∫

∫

∫

√

∫

√

√

√

∫

√

∫

√

∫

∫

∫

(

)