<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>I – BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN.</b>

<b>Bài 1: Viết phương trình đường trịn đường kính AB, biết A(1; 3), B(- 3; 5).</b>

<b>Giải: Tâm của đường trịn đường kính AB là trung điểm I của đoạn thẳng AB. Ta có I(- 1; 4).</b>
Bán kính của đường trịn R = 2 5

<i>AB</i>



.

Phương trình đường tròn là: (x + 1)2_{+ (y – 4)}2_{= 5.}

<b>Bài 2: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I(3; - 1) tiếp xúc với đường thẳng : 4x – 3y + 5 = 0.</b>
<b>Giải: Bán kính của đường tròn bằng khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng . Ta có</b>

R = d(I;) = 4.

Phương trình đường tròn là : (x – 3)2_{+ (y + 1)}2_{= 16.}

<b>Bài 3: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I(2; 3), cắt đường thẳng  : x + 3y - 1 = 0 tại hai điểm E, F sao cho EF</b>
= 2 10.

<b>Giải: Gọi H là trung điểm của EF. Ta có IH  EF vì vậy tam giác IEH vng tại H.</b>
Ta có 2 10

<i>EF</i>



, Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng  là d(I, ) = 10.
Bán kính của đường tròn R = IE =

2 2

2 2_{( , )}

2 2

<i>EF</i> <i>EF</i>

<i>IH</i> <i>d I</i>

   

    

   

    20_.

Phương trình đường tròn là : (x – 2)2_{+ (y – 3)}2_{= 20.}

<b>Bài 4: Viết phương trình đường trịn (C) đi qua điểm A(3; 1) và tiếp xúc với đường thẳng : 3x + y – 14 = 0 tại điểm </b>
M(5; - 1).

<b>Giải: Gọi I(a;b) là tâm đường trịn. Ta có </b>

4 2

3 8 2

<i>IA IM</i> <i>a b</i> <i>a</i>

<i>IM</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i>

   

  

 

  

    

   _{. Suy ra I(2; - 2).}

Bán kính của đường trịn là R = IA = 10.

Phương trình đường trịn là : (x – 2)2_{+ (y + 2)}2_{= 10.}

<b>Bài 5: Viết phương trình đường trịn (C) đi qua A(1; - 1), B(0; 4) và tiếp xúc với đường thẳng : 2x – 3y – 13 = 0.</b>
<b>Giải: Gọi I(a; b) là tâm đường trịn. Ta có</b>

2

2 2

1733

5 7 0

3 ₂₈₉

| 2 3 13 |

( ; ) ( 4) 2 58

13 ₂₈₉

<i>a</i> <i>b</i> <i>_a</i>

<i>IA IB</i> <i>a</i>

<i>v</i>
<i>a</i> <i>b</i>

<i>IB d I</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>_b</i>


  
 _

 
   
 
       
     

     _{ }
 
 __

Với I(3; 2) ta có bán kính đường trịn R = IA = 13.
Phương trình đường trịn là: (x – 3)2_{+ (y – 2)}2_{= 13.}
Với

1733 58

( ; )

289 289
<i>I</i> 

ta có bán kính đường trịn R = IA =

4208893
289
Phương trình đường trịn là :

2 2

1733 58 4208893

289 289 83521

<i>x</i> <i>y</i>

   

   

   

    _.

<b>Bài 6: Viết phương trình đường trịn (C) đi qua điểm M(3; - 1) và tiếp xúc với hai đường thẳng 1: x + 2y – 17 = 0 , 2:</b>
2x + y – 15 = 0.

<b>Giải: Gọi tâm đường tròn là I(a; b). Ta có</b>

2

2 2

1

1 2

| 2 17 |
( 3) ( 1)

5

( , ) 1 79

2

( , ) ( , ) 3 77

32 3
2

<i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i>

<i>IM</i> <i>d I</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>v</i>
<i>a b</i>

<i>d I</i> <i>d I</i> <i>b</i> <i>b</i>

<i>a</i>
<i>b</i>
 _ _ _ _
   
 _ _
 

   
   
 
 _ _{ }  
   _  _ 
 _

 




</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Phương trình đường trịn là : (x – 1)2_{+ (y – 3)}2_{= 20.}
Với I(- 79; - 77) ta có bán kính R = IM = 50 5.

Phương trình đường tròn là : (x + 79)2_{+ (y + 77)}2_{= 12500.}

<b>Bài 7: Viết phương trình đường trịn (C) đi qua điểm M(- 4; - 1) và tiếp xúc với hai đường thẳng 1: 3x – y – 25 = 0 , </b>
2: 3x – y +15 = 0.

<b>Giải: Gọi tâm của đường trịn là I(a; b). Ta có</b>

2

2 2

1

1 2

2
| 3 25 |

( , ) ( 4) ( 1) 2 5

10

( , ) ( , ) 1 31

3 5 ₅

<i>a</i>
<i>a b</i>

<i>IM</i> <i>d I</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i>

<i>v</i>

<i>d I</i> <i>d I</i> <i>b</i>

<i>b</i>
<i>b</i> <i>a</i>



 _ _ _ _ _



  

     _ _  

 

  _ _  

   _ 

  _{ }

 

 _

Với I(2; 1) ta có bán kính đường trịn R = IM = 2 10.
Phương trình đường trịn là : (x – 2)2_{+ (y – 1)}2_{= 40.}
Với

2 31

( ; )

5 5

<i>I</i>  

ta có bán kính của đường trịn R = IM = 2 10.
Phương trình đường trịn là :

2 2

2 31

40

5 5

<i>x</i> <i>y</i>

   

   

   

    _.

<b>Bài 8: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 7 = 0 và đi qua điểm M(2; 2), N(3;1).</b>
<b>Giải: Gọi tâm đường tròn là I(a; 7 – a)  d . Ta có</b>

IM = IN  (a-2)2_{+ (5 – a)}2_{= (a – 3)}2_{+ (6- a)}2_{ a = 4.}
Ta có tâm I(4; 3), bán kính R = IM = 5.

Phương trình đường trịn là : (x – 4)2_{+ (y – 3)}2_{= 5.}

<b>Bài 9: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y + 1 = 0 , đi qua điểm M(3; 0) và tiếp xúc </b>
với đường thẳng : 3x + y – 13 = 0.

<b>Giải: Gọi tâm đường tròn là I(a; - a – 1)  d. Ta có</b>
IM = d(I; )  (a – 3)2_{+ (- a – 1)}2₌

2

| 3 1 13 |
10
<i>a a</i>

    

 

  _{ a= 2 v a = - 3.}

Với a = 2 ta có tâm I(2; - 3), bán kính R = 10
Phương trình đường trịn là : (x – 2)2 _{+ (y + 3)}2_{= 10.}
Với a = - 3 ta có tâm I(- 3; 2) , bán kính R = 85
Phương trình đường trịn là : (x + 3)2_{+ (y – 2)}2_{= 85.}

<b>Bài 10: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 2 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng </b>
1: x + 2y – 13 = 0, 2: x + 2y – 7 = 0.

<b>Giải: Gọi tâm đường tròn là I(a; 2 – a)  d. Ta có</b>

d(I, 1) = d(I, 2)  |a + 2(2 – a) – 13| = |a + 2(2 – a) – 7|  a = 1
Ta có tâm I(1; 1), bán kính R = d(I, 1) = 20.

Phương trình đường tròn là: (x – 1)2_{+ (y – 1)}2_{= 20}

<b>Bài 11: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng </b>
1: 4x + 3y – 24 = 0 , 2: 4x – 3y – 18 = 0.

<b>Giải: Gọi tâm của đường tròn là I(a; 2a + 3)  d. Ta có</b>

d(I, 1) = d(I, 2)  |4a + 3(2a + 3) – 24| = |4a – 3(2a + 3) – 18|  a = - 1 v a =
21

4 _.
Với a = - 1 ta có tâm I(- 1; 1), bán kính R = d(I, 1) = 5.

Phương trình đường trịn là : (x + 1)2_{+ (y – 1)}2_{= 25.}
Với a =

21

4 _{ta có tâm}

21 27
;
4 2
<i>I</i>_ _

 _{, bán kính R = d(I, 1) =}

15
2 _.

Phương trình đường tròn là :

2 2

21 27 15

4 2 2

<i>x</i> <i>y</i>

   

   

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 12: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y + 1 = 0 và tiếp xúc với đường thẳng : 3x</b>
– 4y – 15 – 0 tại điểm M(1; - 3).

<b>Giải: Gọi tâm của đường tròn là I(a; - a -1)  d. Ta có</b>
IM = d(I, )  (a – 1)2_{+ (- a + 2)}2₌

2

| 3 4( 1) 15 |
5

<i>a</i> <i>a</i> 

 

 

  _{ a = - 2}

Ta có tâm I(- 2; 1), bán kính R = IM = 5.

Phương trình đường trịn là : (x + 2)2_{+ (y – 1)}2_{= 25.}

<b>Bài 13: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x + y – 4 = 0 , đi qua điểm M(1;- 3) và cắt </b>
đường thẳng : x + y + 4 = 0 tại hai điểm E, F sao cho EF = 2.

<b>Giải: Gọi tâm của đường tròn là I(a; 4 – 2a)  d.</b>
Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng EF.
Ta có IH  EF và IM = R, IH = d(I,  ), EH =

2
2
Ta có IH2_{+ HE}2_{= IM}2_

2

2 2

| 4 2 4 | 1

( 1) (7 2 )
2
2
<i>a</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>a</i>
  
 
    
 
 

 a = 1 v a =
35

9 _.

Với a = 1 ta có tâm I(1; 2), bán kính đường trịn R = IM = 5.
Phương trình đường trịn là: (x – 1)2_{+ (y – 2)}2_{= 25.}

Với a =
35

9 _{ta có tâm}

35 34
;

9 9

<i>I</i>_  _

 _{, bán kính R = IM =}

725
9 _.
Phương trình đường tròn là :

2 2

35 34 725

9 9 81

<i>x</i> <i>y</i>

   

   

   

    _.

<b>Bài 14: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 4 = 0 , có bán kính R = 5 và tiếp xúc với</b>
đường thẳng : 4x – 3y – 27 = 0.

<b>Giải: Gọi tâm của đường tròn là I(a; 4 – a)  d. Ta có</b>
d(I, ) = R 

| 4 3(4 ) 27 |
5
5

<i>a</i>  <i>a</i> 



 a = 2 v a =
64

7
Với a = 2 ta có tâm I(2; 2), bán kính R = 5.

Phương trình đường trịn là : (x – 2)2_{+ (y – 2)}2_{= 25.}
Với a =

64

7 _{ta có tâm}

64 36

( ; )

7 7

<i>I</i> 

, bán kính R = 5.
Phương trình đường trịn là :

2
64 36
25
7 7
<i>x</i> <i>y</i>
   
   
   
    _.

<b>Bài 15: Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC với A(- 2; 2), B(5; 3), C(2; 4).</b>

<b>Giải: Gọi phương trình đường trịn ngoại tiếp  ABC là (C): x</b>2_{+ y}2_{+ ax + by + c = 0 với a}2_{+ b}2_{– 4c > 0.Do A, B, C}
 (C) nên ta có hệ phương trình

4 4 2 2 0 4

25 9 5 3 0 2

4 16 2 4 0 20

<i>a</i> <i>b c</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>b c</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b c</i> <i>c</i>

     
 
 
      
 
 _ _ _ _{ }  _
 

Phương trình đường trịn là: x2_{+ y}2_{– 4x + 2y – 20 = 0.}

<b>Bài 16: Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp  ABC với A(- 1; 2), B(7; 2), C(- 1; 8).</b>
<b>Giải: Ta có </b><i>AB</i>(8;0),<i>AC</i>(0;6)

 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

và               <i>AB AC</i>. 0_{nên  ABC vng tại A.}

Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm cạnh huyền BC, I(3; 5)
Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là R = IB = 5.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Ta có phương trình cạnh AB là: y = 2.
Phương trình cạnh AC là: x = - 1.

Phương trình cạnh BC là: 3x + 4y – 29 = 0.

Phương trình hai đường phân giác góc A là: x + y – 1 = 0 và x– y + 3 = 0
Phương trình đường phân giác trong góc A là d1: x – y + 3 = 0 .

Phương trình hai đường phân giác góc B là : 3x – y – 19 = 0 và x + 3y – 13 = 0.
Phương trình đường phân giác trong góc B là d2: x + 3y – 13 = 0

Gọi J là tâm đường trịn nội tiếp  ABC ta có J = d1 d2.
Toạ độ điểm J là nghiệm của hệ phương trình

3 0 1

3 13 0 4

<i>x y</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>

   

 



 

   

  _{. Suy ra J(1; 4).}

Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác là r = d(J, AB) = 2.

Phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC là : (x – 1)2_{+ (y – 4)}2_{= 4.}

<b>Bài 17: Cho hai đường tròn (C1): x</b>2_{+ y}2_{+ 6x + 2y – 8 = 0 và (C2): x}2_{+ y}2_{+ 8x + 2y + 4 = 0 .}
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (C1), (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua giao điểm của (C1), (C2) và đi qua điểm M(2; 2).
<b>Giải: </b>

a) Đường trịn (C1) có tâm I1(- 3; - 1), Bán kính R1 = 3 2.

Đường trịn (C2) có tâm I2(- 4; - 1), Bán kính R2 = 13.
Ta có I1I2 = 1. Vì vậy |R1 – R2| < I1I2 < R1+ R2.

Suy ra hai đường tròn (C1), (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt .
b) Phương trình đường trịn (C) đi qua giao điểm (C1), (C2) có dạng:
m(x2_{+ y}2_{+ 6x + 2y – 8) + n(x}2_{+ y}2_{+ 8x + 2y + 4) = 0 , với m + n ≠ 0.}
Do M  (C) nên ta có 16m + 32n = 0. Suy ra chọn m = 2, n = - 1.
Ta có phương trình đường trịn (C) là: x2_{+ y}2_{+ 4x + 2y – 20 = 0.}

<b>Bài 18: Cho hai đường tròn (C1): x</b>2_{+ y}2_{- 4x – 2y – 5 = 0 và (C2): x}2_{+ y}2_{- 2x - 8y + 2 = 0 .}
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (C1), (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Viết phương trình đường trịn (C) đi qua giao điểm của (C1), (C2) và có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – 1 = 0.
<b>Giải: </b>

a) Đường tròn (C1) có tâm I1(2; 1), Bán kính R1 = 10.
Đường trịn (C2) có tâm I2(1; 4), Bán kính R2 = 15.
Ta có I1I2 = 10 . Vì vậy |R1 – R2| < I1I2 < R1+ R2.

Suy ra hai đường tròn (C1), (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt .
b) Phương trình đường trịn (C) đi qua giao điểm (C1), (C2) có dạng:
m(x2_{+ y}2_{- 4x – 2y – 5) + n(x}2_{+ y}2_{- 2x - 8y + 2 ) = 0 , với m + n ≠ 0.}
 (m + n)x2_{+ (m + n)y}2_{- 2(2m + n)x – 2(m + 4n)y -5m + 2n = 0}
Tâm của đường tròn là

2 4

( <i>m n m</i>; <i>n</i>)
<i>I</i>

<i>m n</i> <i>m n</i>

 

  _.

Do tâm I  d nên ta có 2m + 4n = 0 Chọn m = 2, n = - 1.

Ta có phương trình đường trịn (C) là: x2_{+ y}2_{– 6x + 4y – 12 = 0.}

<b>Bài 19: Cho hai đường tròn (C1): x</b>2_{+ y}2_{- 6x – 2y – 4 = 0 và (C2): x}2_{+ y}2_{- 4x - 8y - 3 = 0 .}
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (C1), (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Viết phương trình đường trịn (C) đi qua giao điểm của (C1), (C2) và có bán kính R = 5.
<b>Giải: </b>

a) Đường trịn (C1) có tâm I1(3; 1), Bán kính R1 = 14.
Đường trịn (C2) có tâm I2(2; 4), Bán kính R2 = 23.
Ta có I1I2 = 10 . Vì vậy |R1 – R2| < I1I2 < R1+ R2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Bán kính của đường tròn R = 5 

2 2

3 2 4 4 3

25

<i>m</i> <i>n</i> <i>m</i> <i>n</i> <i>m</i> <i>n</i>

<i>m n</i> <i>m n</i> <i>m n</i>

  

   

  

   

  

   

Chọn n = - 1. Ta có 4m3_-26m2_{+ 40m – 8 = 0  m = 2 v m =}
1
11

Với m = 2, n = - 1 .Ta có phương trình đường trịn (C) là: x2_{+ y}2_{– 6x + 4y – 12 = 0.}
Tương tự với m =

1

11_{, n = - 1. Ta có phương trình đường tròn (C) là:}
x2_{+ y}2_-

19
5 _{x -}

43

5 _{y -}

29
10 _{= 0.}

<b>Bài 20: Cho đường tròn (C): x</b>2_{+ y}2_{– 4x + 4y – 5 = 0 và đường thẳng : x + y – 5 = 0.}
a) Chứng minh rằng đường thẳng  cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt.

b) Viết phương trình đường trịn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng  và (C) và đi qua điểm M(1; 2).
<b>Giải: </b>

a) Đường trịn (C) có tâm I(2; - 2), bán kính R = 13.
Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng  là d(I, ) =

5
2 _.

Ta có d(I,) < R suy ra đường thẳng  cắt đường trịn (C) tại hai điểm phân biệt.
b) Phương trình đường tròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng  với (C) có dạng .
(C’): m(x2_{+ y}2_{– 4x + 4y – 5 ) + n(x + y – 5 ) = 0 với m ≠ 0.}

Do M  (C’) nên ta có 4m – 2n = 0 suy ra chọn m = 1, n = 2.
Phương trình đường trịn (C’) là : x2_{+ y}2_{– 2x + 6y – 15 = 0.}

<b>Bài 21: Cho đường tròn (C): x</b>2_{+ y}2_{– 2x + 4y – 10 = 0 và đường thẳng : x + y + 5 = 0.}
a) Chứng minh rằng đường thẳng  cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt.

b) Viết phương trình đường trịn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng  và (C) và có tâm thuộc đường thẳng d: 2x +
y - 3 = 0.

<b>Giải: </b>

a) Đường trịn (C) có tâm I(1; - 2), bán kính R = 15.
Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng  là d(I, ) = 2 2.

Ta có d(I,) < R suy ra đường thẳng  cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt.
b) Phương trình đường trịn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng  với (C) có dạng .
(C’): m(x2_{+ y}2_{– 2x + 4y – 10 ) + n(x + y + 5 ) = 0 với m ≠ 0.}

 mx2_{+ my}2_{+ (- 2m + n)x + (4m + n)y – 10m + 5n = 0.}
Tâm của đường tròn (C’) là

2 4

;

2 2

<i>m n</i> <i>m n</i>

<i>I</i>

<i>m</i> <i>m</i>

  

 

 

 

Do I  d nên ta có -6m - 3n = 0 suy ra chọn m = 1, n = - 2
Phương trình đường trịn (C’) là : x2_{+ y}2_{– 4x + 2y – 20 = 0.}

<b>Bài 22: Cho đường tròn (C): x</b>2_{+ y}2_{+ 2x - 4y – 8 = 0 và đường thẳng : x - y - 2 = 0.}
a) Chứng minh rằng đường thẳng  cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt.

b) Viết phương trình đường trịn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng  và (C) và bán kính bằng 5.
<b>Giải: </b>

a) Đường trịn (C) có tâm I(- 1; 2), bán kính R = 13.
Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng  là d(I, ) =

5
2 _.

Ta có d(I,) < R suy ra đường thẳng  cắt đường trịn (C) tại hai điểm phân biệt.
b) Phương trình đường tròn (C’) đi qua giao điểm của đường thẳng  với (C) có dạng .
(C’): m(x2_{+ y}2_{+ 2x - 4y – 8) + n(x - y - 2) = 0 với m ≠ 0.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Bán kính đường trịn (C’) là R’ = 5 

2 2

2 4 8 2

25

2 2

<i>m n</i> <i>m n</i> <i>m</i> <i>n</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

   

   

  

   

   

Chọn m = 1 ta có n = 2 v n = - 12

Với m = 1, n = 2 .Phương trình đường tròn (C’) là : x2_{+ y}2_{+ 4x - 6y – 12 = 0.}
Với m = 1 , n = - 12.Phương trình đường trịn (C’) là : x2_{+ y}2_{- 10x - 8y + 16 = 0.}

<b>Bài 23: Viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với đường tròn (C): x</b>2_{+ y}2_{– 8x + 2y – 8 = 0 qua trục Ox.}
<b>Giải: Đường tròn (C) có tâm I(4; - 1), bán kính R = 5.</b>

Đường trịn (C’) có tâm I’ đối xứng với I qua trục Ox, bán kính R’ = R.
Ta có I’(4; 1), bán kính R’ = 5.

Phương trình đường trịn (C’) là: (x – 4)2_{+ (y – 1)}2_{= 25.}

<b>Bài 24: Viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với đường tròn (C) : x</b>2_{+ y}2_{– 4x + 6y – 12 = 0 qua trục Oy.}
<b>Giải: Đường tròn (C) có tâm I(2; - 3), bán kính R = 5.</b>

Đường trịn (C’) có tâm I’ đối xứng với I qua trục Oy, bán kính R’ = R.
Ta có I’(- 2; - 3), bán kính R’ = 5.

Phương trình đường trịn (C’) là: (x + 2)2_{+ (y + 3)}2_{= 25.}

<b>Bài 25: Viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với đường tròn (C) : x</b>2_{+ y}2_{– 6x + 4y – 3 = 0 qua gốc toạ độ O.}
<b>Giải: Đường trịn (C) có tâm I(3; - 2), bán kính R = 4.</b>

Đường trịn (C’) có tâm I’ đối xứng với I gốc toạ độ O, bán kính R’ = R.
Ta có I’(- 3; 2), bán kính R’ = 4.

Phương trình đường trịn (C’) là: (x + 3)2_{+ (y - 2)}2_{= 16.}

<b>Bài 26: Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x</b>2_{+ y}2_{+ 2x – 2y – 7 = 0 qua phép tịnh tiến theo}
vectơ <i>v</i>(2; 3)



.

<b>Giải: Đường tròn (C) có tâm I(- 1; 1), bán kính R = 3.</b>

Đường trịn (C’) có tâm I’ là ảnh của I qua phép tịnh tiến theo vectơ <i>v</i>, bán kính R’ = R.
Ta có I’(1; - 2), bán kính R’ = 3.

Phương trình đường trịn (C’) là: (x - 1)2_{+ (y + 2)}2_{= 9.}

<b>Bài 27: Viết phương trình đường trịn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x</b>2_{+ y}2_{– 4x + 8y – 5 = 0 qua phép quay tâm O}
góc quay 900_.

<b>Giải: Đường trịn (C) có tâm I(2; - 4), bán kính R = 5.</b>

Đường trịn (C’) có tâm I’ là ảnh của I qua phép quay tâm O, góc quay 900_,
bán kính R’ = R.

Ta có I’(4; 2), bán kính R’ = 5.

Phương trình đường tròn (C’) là: (x - 4)2_{+ (y - 2)}2_{= 25.}

<b>Bài 28: Viết phương trình đường trịn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x</b>2_{+ y}2_{+ 4x – 2y + 4 = 0 qua phép đối xứng trục}
 : 3x + y – 5 = 0.

<b>Giải: Đường trịn (C) có tâm I(- 2; 1), bán kính R = 1.</b>

Đường trịn (C’) có tâm I’ là ảnh của I đối xứng trục  , bán kính R’ = R.
Phương trình đường thẳng d đi qua I, vng góc với  là x – 3y + 5 = 0.
Gọi H =   d. Ta có H(1; 2) suy ra H là trung điểm của II’.

Ta có I’(4; 3), bán kính R’ = 1.

Phương trình đường tròn (C’) là: (x - 4)2_{+ (y - 3)}2_{= 1.}

<b>Bài 29: Viết phương trình đường trịn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x</b>2_{+ y}2_{– 6x + 2y + 6 = 0 qua điểm M(1; 4).}
<b>Giải: Đường trịn (C) có tâm I(3; - 1), bán kính R = 2.</b>

Đường trịn (C’) có tâm I’ , bán kính R’ = R.

Ta có M là trung điểm của II’ suy ra I’(- 1; 9), bán kính R’ = 2.
Phương trình đường trịn (C’) là: (x + 1)2_{+ (y - 9)}2_{= 4.}

<b>Bài 30: Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x</b>2_{+ y}2_{– 2x + 4y – 20 = 0 qua phép vị tự tâm O}
tỷ số k = 2.

<b>Giải: Đường trịn (C) có tâm I(1; - 2), bán kính R = 5.</b>
Đường trịn (C’) có tâm I’ thoả mãn <i>OI</i>'<i>kOI</i>

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Bài 31: Cho tam giác ABC có trung điểm của các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M, N, P và trọng tâm G(1; 2). Phương </b>
trình đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP là x2_{+ y}2_{– 4x – 2y -11 = 0. Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam}
giác ABC.

<b>Giải: Ta có tam giác ABC là ảnh của tam giác MNP qua phép vị tự tâm G(1; 2), tỷ số k = - 2.</b>
Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp  MNP, (C’) là đường tròn ngoại tiếp  ABC.
Ta có (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm G(1; 2), tỷ số k = - 2.

Đường trịn (C) có tâm I(2; 1), bán kính R = 4.
Đường trịn (C’) có tâm I’ thoả mãn <i>GI</i>'<i>kGI</i>

 

hay I’(- 1; 4)
Bán kính đường trịn (C’) là R’ = |k|R = 8.

Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là (C’): (x + 1)2_{+ (y – 4)}2_{= 64.}

<b>Bài 32: Cho tam giác ABC có B(1; - 3), C(- 3; 5), trực tâm H. Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác HBC là x</b>2
+ y2_{+ 6x – 16 = 0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.}

<b>Giải: Nhận xét: Đường tròn ngoại tiếp  ABC đối xứng với đường tròn ngoại tiếp  HBC qua đường thẳng BC.</b>
Gọi (C) là đường trịn ngoại tiếp  HBC. Đường trịn (C) có tâm I(- 3; 0), bán kính R = 5

Gọi (C’) là đường trịn ngoại tiếp  ABC.

Đường trịn (C’) có tâm I’, I’ đối xứng với I qua đường thẳng BC, bán kính R’ = R = 5.
Phương trình cạnh BC là: 2x + y + 1 = 0.

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vng góc vơi BC. Phương trình đường thẳng d là:
x – 2y + 3 = 0.

Gọi M = d  BC. Ta có M(- 1; 1).

M là trung điểm của đoạn thẳng II’. Toạ độ điểm I’ (1; 2).
Phương trình đường trịn (C) là: (x – 1)2_{+ (y – 2)}2_{= 25.}
<b>Bài 33: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(</b>

8

3_{; 5) , phương trình đường trịn đi qua ba chân đường cao là x}2_{+ y}2_{– 10x}
– 18y + 81 = 0. Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.

<b>Giải: Gọi (C) là đường tròn đi qua ba chân đường cao. Ta có (C) là đường trịn Ơle đi qua 9 điểm. Vì vậy đường trịn </b>
(C) đi qua ba trung điểm của ba cạnh của  ABC.

Ta có đường trịn (C) có tâm I(5; 9), bán kính R = 5.

Gọi (C’) là đường trịn ngoại tiếp  ABC có tâm I’ , bán kính R’.

Đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm G tỷ số k = - 2.

Ta có <i>GI</i>'<i>kGI</i>

 

. Hay I’(- 2; - 3). Bán kính R’ = |k|R = 10.

Phương trình đường trịn ngoại tiếp của tam giác ABC là : (x + 2)2_{+ (y + 3)}2_{= 100.}
<b>II – BÀI TẬP VỀ DÂY CUNG.</b>

<b>Bài 1: Cho đường tròn (C): x</b>2_{+ y}2_{– 4x + 2y – 20 = 0 và điểm M(3; - 2). Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và}
cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt E, F sao cho ME = MF.

<b>Giải: Đường tròn (C) có tâm I(2; - 1) và bán kính R = 5.</b>

Phương tích của điểm M đối với đường trịn (C) là PM/(C) = -23 < 0.
Suy ra điểm M nằm trong đường trịn (C).

Theo tính chất về dây cung của đường trịn ta có đường thẳng  đi qua M và vng góc với IM.
Đường thẳng  đi qua M(3; - 2) có một vectơ pháp tuyến <i>n</i><i>IM</i> (1; 1)

 

. Phương trình đường thẳng  là: x –
y - 5 = 0.

<b>Bài 2: Cho đường tròn (C): x</b>2_{+ y}2_{– 2x – 4y – 20 = 0 và điểm M(3; 1). Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm}
M cắt đường tròn (C) theo một dây cung có độ dài.

a) lớn nhất.
b) nhỏ nhất.

<b>Giải: Đường trịn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5. </b>

a) Theo tính chất đường kính là dây cung lớn nhất. Suy ra đường thẳng  đi qua M và tâm I. Phương trình
đường thẳng  là : x + 2y – 5 = 0.

b) Ta có phương tích của điểm M đối với đường trịn (C) là PM/(C) = -20 < 0. Suy ra điểm M nằm trong đường
trịn (C).

Ta có IM ≥ IH nên EF ≤ CD. E C

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Áp dụng tính chất trong một đường tròn dây cung nào gần tâm hơn thì lớn hơn. Vì vậy dây cung đi qua M có độ
dài nhỏ nhất khi nó xa tâm nhất hay là dây cung đó vng góc với IM.

Đường thẳng  đi qua M(3; 1) có một vectơ pháp tuyến <i>n IM</i> (2; 1)

 

. Phương trình đường thẳng  là: 2x –
y – 5 = 0.

<b>Bài 3: Cho hai đường tròn (C1): x</b>2_{+ y}2_{– 4x + 6y – 12 = 0 và (C2): x}2_{+ y}2_{– 6x + 2y – 10 = 0.}
a) Chứng minh rằng đường tròn (C1) và đường tròn (C2) cắt nhau tại hai điểm A và B.

b) Viết phương trình đường thẳng  đi qua A và cắt đường tròn (C1) tại E, cắt (C2) tại F với E,F khác A sao cho EF lớn
nhất.

<b>Giải: </b>

a) Đường trịn (C1) có tâm I1(2; - 3) và bán kính R1 = 5. Đường trịn (C2) có tâm I2(3; - 1) và bán kính R2 = 20.

Ta có I1I2 = 5 và |R1 – R2| < I1I2 < R1 + R2. Suy ra đường tròn (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b) Toạ độ giao điểm của hai đường trịn (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình.

2 2

2 2

4 6 12 0 1 7

1 3

6 2 10 0

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>v</i>

<i>y</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

         





  

 

    

  

 _.

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của dây cung AE, AF. Ta có EF = 2HK.
Xét tam giác vng KLH ta có HK ≤ KL

Vì vậy EF lớn nhất khi HK  KL.
Hay đường thẳng  // I1I2.

1 2 (1; 2)

<i>I I</i> 


TH1: A(- 1; 1).

Phương trình đường thẳng  là:
2x – y +3 = 0.

TH2: A(7; - 3).

Phương trình đường thẳng  là:
2x – y – 17 = 0.

<b>I – BÀI TẬP VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN.</b>

<b>Bài 1: Cho đường tròn (C): x</b>2_{+ y}2_{+ 4x – 2y – 20 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C).}
a) Đi qua M(2; 4).

b) Đi qua N(3; 7).
c) Đi qua P(- 1; - 6).

d) Song song với đường thẳng d1: 3x + y – 6 = 0.
e) Vng góc với đường thẳng d2: 4x + 3y – 2 = 0.
<b>Giải: Đường trịn (C) có tâm I(- 2; 1) bán kính R = 5.</b>

a) Ta có PM/(C)= 0 nên điểm M thuộc đường tròn (C). Tiếp tuyến đi qua M có một vectơ pháp tuyến
(4;3)

<i>n</i><i>IM</i> 

 

. Phương trình tiếp tuyến là : 4x + 3y – 20 = 0.
b) Ta có PN/(C) > 0 nên điểm N nằm ngồi đường trịn (C).

Phương trình tiếp tuyến của đường trịn (C) có dạng : A(x – 3) + B(y – 7) = 0, A2_{+ B}2_{≠ 0.}
Ta có d(I; ) = R  2 2

| 5 6 |
5

<i>A</i> <i>B</i>

<i>A</i> <i>B</i>

 



 _{ 25A}2_{– 60AB + 36B}2_{= 25A}2_{+ 25B}2
 B(11B – 60A) = 0  B = 0 v 11B – 60A = 0.

Với B = 0 chọn A = 1. Phương trình tiếp tuyến là: x – 3 = 0.

Với 11B – 60A= 0 chọn A = 11, B = 60. Phương trình tiếp tuyến là 11x + 60y - 453 = 0.
F

D
M

I

A

B

I
2
I1

E

F
H

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

c) Ta có PP/(C) > 0 nên điểm N nằm ngồi đường trịn (C).

Phương trình tiếp tuyến của đường trịn (C) có dạng : A(x + 1) + B(y + 6) = 0, A2_{+ B}2_{≠ 0.}
Ta có d(I; ) = R  2 2

| 7 |

5

<i>A</i> <i>B</i>

<i>A</i> <i>B</i>

 



 _{ A}2_{- 14AB + 49B}2_{= 25A}2_{+ 25B}2
 24A2_{+ 14AB – 24B}2_{= 0 }

3
4
<i>A</i>

<i>B</i>  _v

4
3
<i>A</i>
<i>B</i> 

Với

3
4
<i>A</i>

<i>B</i>  _{chọn A = 3, B = 4. Phương trình tiếp tuyến là: 3x + 4y + 27 = 0.}
Với

4
3
<i>A</i>

<i>B</i>  _{chọn A = 4, B = - 3. Phương trình tiếp tuyến là 4x - 3y - 14 = 0.}

d) Tiếp tuyến  song song với đường thẳng d1: 3x + y – 6 = 0 nên phương trình đường thẳng : 3x + y + m = 0.
Ta có d(I, ) = 5  2

| 6 1 |
5
3 1

<i>m</i>

  


 _{ m = 5 ± 5} 10_.

Phương trình hai tiếp tuyến là: 3x + y 5 ± 5 10.

e) Tiếp tuyến  vng góc với đường thẳng d2: 4x + 3y – 2 = 0 nên phương trình đường thẳng : 3x - 4y + m =
0.

Ta có d(I,) = R  2 2
| 6 4 |

5

3 4

<i>m</i>

  



 _{ m = 35 v m = - 15.}

</div>

<!--links-->