Đề-Đáp án HSG Toán 8 Y.5
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (84.34 KB, 4 trang )
đề thi học sinh giỏi Toán 8 .5
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : (2đ)
Chứng minh rằng tổng:
A= 7
1
+7
2
+7
3
+7
4
+...+7
4k
(trong đó k là số tự nhiên) chia hết cho 400.
Bài 2: (2đ)
a) Phân tích biểu thức sau ra nhân tử:
A= x
3
(x
2
7)
2
36x
b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh biểu thức:
n
3
(n
2
7) 36n
luôn luôn chia hết cho 7 với mọi số nguyên n.
Bài 3: (2đ)
Chứng minh rằng nếu:
)1()1(
22
xzy
xzy
yzx
yzx
=
với x
y ; xyz
0 ; yz
1 ; xz
1.
thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
Bài 4: (2đ)
a) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất:
x
2
+ x + 1
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
(x)
= 2+x-x
2
Bài 5: (2đ)
Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. M, K và N lần lợt là
trung điểm của AH, CD và BH.
a. Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành.
b. Chứng minh BM
MK
-----------------------------Hết đề thi-------------------------------
Đáp án đề Toán 8 .5
Bài 1 : (2đ)
Ta nhóm các hạng tử của tổng theo cách:
A= (7
1
+7
2
+7
3
+7
4
+) + (7
5
+7
6
+7
7
+7
8
+) +...+(7
4k-3
+7
4k-2
+7
4k-1
+7
4k
) 0,5đ
= (7
1
+7
2
+7
3
+7
4
+) + 7
4
(7
1
+7
2
+7
3
+7
4
) +...+7
4k-4
(7
1
+7
2
+7
3
+7
4
)
= (7
1
+7
2
+7
3
+7
4
)(7
0
+7
4
+7
8
+7
12
+...+7
4k-4
)
= 7(1+7+7
2
+7
3
)(1+7
4
+7
8
+7
12
+...+7
4k-4
)
= 7(1+7+49+343)(1+7
4
+7
8
+7
12
+...+7
4k-4
)
= 7(1+7+49+343)(1+7
4
+7
8
+7
12
+...+7
4k-4
)
7(1+7+49+343)(1+7
4
+7
8
+7
12
+...+7
4k-4
) 0,5đ
Đặt 1+7
4
+7
8
+7
12
+...+7
4k-4
=M 0,5đ
A=7.400.M
Vậy A chia hết cho 400. 0,5đ
Bài 2: (2đ)
a) Phân tích biểu thức sau ra nhân tử:
A= x
3
(x
2
7)
2
36x
= x[x
2
(x
4
-14x
2
+ 49) 36]
= x(x
6
-14x
4
+ 49x
2
36)
= x[(x
6
- 9x
4
) (5x
4
- 45x
2
) + (4x
2
- 36)
= x[ x
4
(x
2
- 9) 5x
2
(x
2
- 9) + 4(x
2
- 9)] 0,5đ
= x(x
2
- 9)( x
4
5x
2
+ 4)
= x(x
2
- 9)( x
4
4x
2
- x
2
+ 4)
= x(x
2
- 9)( x
4
4x
2
- x
2
+ 4)
= x(x
2
- 9)[x
2
( x
2
4)
- (x
2
- 4)]
= x(x
2
- 9)(x
2
4)(x
2
-1)
= x(x+3) (x-3) (x+2) (x-2) (x+1) (x-1) 0,5đ
b) Theo kết quả trên ta có:
n
3
(n
2
7)
2
36n
= n(n+3) (n-3) (n+2) (n-2) (n+1) (n-1)
hay xếp theo thứ tự tăng dần các nhân tử nh sau:
(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) 0,5đ
§©y lµ tÝch cña 7 sè nguyªn liªn tiÕp, trong 7 sè nguyªn liªn tiÕp bao giê còng
cã mét sè chia hÕt cho 7, nªn tÝch chia hÕt cho 7, tøc lµ biÓu thøc n
3
(n
2
– 7)
2
– 36n chia hÕt cho 7 (®pcm) 0,5®
Bµi 3: (2®)
)1()1(
22
xzy
xzy
yzx
yzx
−
−
=
−
−
Ta biÕn ®æi tõ bµi ra:
⇒
(x
2
-yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y
2
- xz) 0,5®
⇔
x
2
y- x
3
yz-y
2
z+xy
2
z
2
= xy
2
-x
2
z - xy
3
z +x
2
yz
2
⇔
x
2
y- x
3
yz - y
2
z+ xy
2
z
2
- xy
2
+x
2
z + xy
3
z - x
2
yz
2
= 0
⇔
xy(x-y) +xyz(yz +y
2
- xz - x
2
)+z(x
2
- y
2
) = 0 0,5®
⇔
xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0 0,5®
⇔
(x -y)
[ ]
yzxzzyxxyzxy
++++−
)(
= 0
Do x - y
≠
0 nªn xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (®pcm) 0,5®
Bµi 4: (2®)
a) T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt:
x
2
+ x + 1
BiÕn ®æi biÓu thøc trªn thµnh:
x
2
+2 x
2
1
+ (
2
1
)
2
+
4
3
0,5®
= (x +
2
1
)
2
+
4
3
Do (x +
2
1
)
2
kh«ng ©m nªn nhá nhÊt khi (x +
2
1
)
2
= 0
tøc lµ x= -
2
1
th× biÓu thøc cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ
4
3
0,5®
b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
P
(x)
= 2+x-x
2
BiÕn ®æi:
P
(x)
= 2+x-x
2
= - (x
2
–x -2)
P
(x)
= - (x
2
–x +
4
1
-
4
1
-2)
P
(x)
= - [(x
2
–x +
4
1
) -
4
1
-2]
P
(x)
= - [(x –
2
1
)
2
-
4
9
]
0,5®
Vì biểu thức biến đổi trên mang dấu (-) nên P
(x)
lớn nhất khi [(x
2
1
)
2
-
4
9
]
nhỏ nhất tức là x=
2
1
, lúc đó P
(x)
=
4
9
0,5đ
Bài 5: (2đ) Vẽ hình 0.5 đ
a. Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành. 0,75đ
Xét tam giác AHB có:
NH = NB (gt)
MH = MA (gt) Suy ra MN là đờng trung bình nên
MN//AB
MN =AB/2
mà AB = CD
AB //CD nên MN//CK
CK=CD MN =CK
Suy ra tứ giác MNCK là hình bình hành.
b. Chứng minh BM
MK 0,75đ
Kéo dài MN cắt BC tại E ta thấy MN//CD và CD
BC nên ME
BC
Xét tam giác MBC có BH và ME là đờng cao, nên N là trực tâm, do đó
CN
BM mà CN//KM nên BM
MK (đpcm).
--------------------------Hết đáp án-------------------------------
Không phải là đáp án:
Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp v ít
truy cập trang đó), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp
tại trang
Cám ơn thầy (cô)!
Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh
B C
A
M
D
N
K
H
E
