..

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

NGUYỄN VĂN MỆN

SỐ HẠNG DỊ THƯỜNG CỦA ĐẠI SỐ DÂY
VÀ PHỔ KHỐI LƯỢNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

Cần Thơ - 2009


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

NGUYỄN VĂN MỆN

SỐ HẠNG DỊ THƯỜNG CỦA ĐẠI SỐ DÂY
VÀ PHỔ KHỐI LƯỢNG

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học:
GS.Ts. ĐÀO VỌNG ĐỨC

Cần Thơ - 2009


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Quản lý Khoa học và
Đào tạo sau đại học, Ban Chủ nhiệm và các Thầy cô Khoa Khoa học Trường Đại
học Cần Thơ đã tận tình giúp đỡ tôi trên con đường nghiên cứu khoa học và đã cho
tôi nhữmg ý kiến quý báu cho việc hồn thành luận văn.
Tơi xin gởi lời cảm ơn đến với Ban Giám Hiệu, các Phòng ban, Khoa Sư
phạm và bộ môn Vật lý Trường Đại học An Giang đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
trong suốt thời gian học tập.
Đặc biệt, em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự hướng dẫn
tận tình của GS.TS Đào Vọng Đức, người đã có những đóng góp quý báu, giúp đỡ
em trong suốt thời gian thực hiện và hồn thành luận văn.
Sau cùng, tơi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân và bạn bè đã
khích lệ và hỗ trợ cho tơi trên con đường khoa học.
Tất cả mọi người là nguồn động viên lớn đối với tôi trong cuộc sống!
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian và năng lực bản thân có hạn,
đề tài khơng tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của
quý độc giả.
Chân thành cảm ơn!
Cần Thơ, tháng 04 năm 2009
Học viên thực hiện
Nguyễn Văn Mện

1



Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU.....................................................................................................................3
Chương 1. Hạt dây và đại số Virasoro ........................................................................5
1.1. Chuyển động của hạt dây .................................................................................5
1.2. Các dao động tử tọa độ ....................................................................................7
1.3. Lượng tử hóa dây boson...................................................................................9
1.4. Đại số Virasoro ..............................................................................................11
1.5. Các trạng thái kích thích ................................................................................13
1.6. Tính số hạng dị thường ..................................................................................16
Chương 2. Siêu dây và siêu đại số ............................................................................19
2.1. Siêu đối xứng trên lá thế ................................................................................19
2.2. Điều kiện biên NS và R..................................................................................21
2.2.1. Siêu dây mở ...........................................................................................21
2.2.2. Siêu dây đóng ........................................................................................22
2.3. Khai triển mode siêu dây NS và R.................................................................22
2.4. Lượng tử hóa siêu dây....................................................................................24
2.5. Siêu đại số Neveu – Schwarz và siêu đại số Ramond....................................26
2.5.1. Siêu dây mở ...........................................................................................26
2.5.2. Siêu dây đóng ........................................................................................29
2.6. Số hạng dị thường của siêu đại số NS và R ...................................................30
Chương 3. Phổ khối lượng ........................................................................................34
3.1. Phiếm hàm trường dây ...................................................................................34
3.1.1. Phiếm hàm trường dây boson mở..........................................................34
3.1.2. Phiếm hàm trường dây boson đóng. ......................................................36
3.1.3. Phiếm hàm trường siêu dây mở .............................................................38
3.1.4. Phiếm hàm trường siêu dây đóng ..........................................................42
3.2. Tải BRST và phương trình chuyển động .......................................................47
3.2.1. Tải BRST cho dây boson.......................................................................47

3.2.2. Tải BTST cho siêu dây NS ....................................................................50
3.2.3. Tải BRST cho siêu dây R ......................................................................53
3.3. Khối lượng các trạng thái dây........................................................................56
3.4. Biểu thức tổng quát của số hạng dị thường....................................................60
KẾT LUẬN ...............................................................................................................64
U

2


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

MỞ ĐẦU
Khi vật lý học ngày càng phát triển, đối tượng nghiên cứu của nó cũng thay
đổi mạnh mẽ về bản chất. Vật lý học cổ điển nghiên cứu những quy luật vận động
của những vật thể có kích thước và khối lượng khá lớn. Cơ học cổ điển nghiên cứu
quy luật vận động của thế giới vĩ mô. Khi công cụ nghiên cứu ngày càng hiện đại,
đặc biệt là trong những thập kỷ qua, Vật lý học đã thực hiện những bước nhảy vọt
đầy ngoạn mục, tiến sâu vào miền vi mơ có kích thước cỡ 10-12 cm và bé hơn, vào
trong lòng các proton, neutron và các hạt cơ bản khác. Tìm hiểu được cấu trúc của
thế giới vi mô cùng với những qui luật tác dụng trong đó để tạo nên thế giới quanh
ta ra sao là những vấn đề cốt lõi của Vật lý học hiện đại.
Thực nghiệm và lý thuyết đã khẳng định được rằng các hạt vi mô tác động lẫn
nhau qua bốn loại tương tác: mạnh, yếu, điện từ và hấp dẫn. Đó là các loại tương tác
cơ bản nhất, tạo nên bức tranh của cả vũ trụ chúng ta. Bất kỳ một thể loại tương tác
nào, một hiện tượng nào, dù phức tạp đến mấy, từ vi mô đến vĩ mô, cũng đều bắt
nguồn từ các loại tương tác đó.
Xây dựng được một lý thuyết thống nhất các tương tác [1,10,] - có nghĩa là tìm
được một cơ cấu thiết kế chung gắn kết các thể loại tương tác lại với nhau trên cùng
một nền tảng - sẽ cho phép ta hiểu sâu sắc hơn về bản chất của các hiện tượng, các

mối quan hệ động lực, và cũng từ đó tiên đoán được hàng loạt các hệ quả mới.
Một hướng nghiên cứu hiện nay được xem là có nhiều triển vọng nhất để xây
dựng Lý thuyết Đại thống nhất là Lý thuyết Dây [2,5,8,9,10], được hình thành vào
những năm 1968 – 1973 như là một cách tiếp cận mới trong vật lý tương tác mạnh.
Sự ra đời của Lý thuyết Dây gắn liền với một loạt những phát hiện quan trọng trong
vật lý các hạt cơ bản. Người ta đã nhận thức được rằng Vật lý các hạt cơ bản cần
được mơ tả bằng lý thuyết Dây, trong đó các hạt cơ bản không được xem như là các
hạt điểm, mà như là những sợi dây chuyển động trong không - thời gian. Khi
chuyển động Dây quét nên một mặt gọi là "lá thế". Nền tảng của Lý thuyết Dây
chính là lý thuyết trường lượng tử mô tả động lực học của Dây trên lá thế [5,6,7].
Lý thuyết dây được xây dựng trên nền tảng là Đại số Virasoro, lý thuyết siêu
dây lấy siêu đại số Neveu – Schwarz và Ramond làm nền tảng. Trong cả đại số dây
và siêu đại số dây đều tồn tại các số hạng dị thường. Các số hạng này đóng một vai
trị quan trọng trong cấu trúc các mơ hình lý thuyết. Vì thế việc tính “Số hạng dị
thường trong đại số dây và phổ khối lượng” có một ý nghĩa đặc biệt quan trong
trong lý thuyết.

3


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

Có rất nhiều cách tính số hạng dị thường khác nhau tuy nhiên vẫn đi đến cùng
một kết quả, trong luận văn này chỉ trình bày một cách trong số đó. Trong cấu trúc
của các đại số và siêu đại số có những nét cơ bản tương tự nhau vì thế luận văn chỉ
tính số hạng dị thường và tìm phổ khối lượng trong một vài trường hợp điển hình
nhất, các trường hợp cịn lại cũng thực hiện tương tự.

4



Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

Chương 1. Hạt dây và đại số Virasoro
Tóm tắt
Chương này trình bày những khái niệm mở đầu về lý thuyết dây. Từ sự tương tự
trong cách thức nghiên cứu giữa hạt điểm và hạt dây, những khái niệm cơ bản mơ tả q
trình chuyển động của hạt dây được hình thành. Việc áp dụng phương trình Euler –
Lagrange tổng quát cho tác dụng của hạt dây dẫn đến phương trình chuyển động. Nghiệm
của phương trình chuyển động thỏa các điều kiện biên và điều kiện tuần hoàn cho ta biểu
thức khai triển của các tọa độ dây theo các dao động tử tọa độ. Các dao động tử này đóng
vai trị là các tốn tử sinh và tốn tử hủy khi ta lượng tử hóa dây. Các tốn tử sinh và hủy
thỏa các tính chất giao hốn tạo nên đại số Virasoro. Áp dụng đại số Virasoro vào các
trạng thái kích thích giúp ta tìm được phổ khối lượng của các hạt dây và số hạng dị thường
trong đại số này.

1.1. Chuyển động của hạt dây
Lý thuyết trường lượng tử và những lý thuyết vật lý trước đó quan niệm hạt
là đối tượng khơng kích thước – điểm theo nghĩa toán học. Để hiểu sâu hơn về khái
niệm hạt dây, ta hãy nhắc lại sơ lượt về hạt điểm.
Khi chuyển động trong khơng – thời gian từ vị trí 1 tới vị trí 2, hạt điểm vạch
nên một đường gọi là đường thế (hình 1).
Vị trí của hạt có thể mô tả bởi hàm vector
2
đường thế
x μ (τ ) phụ thuộc vào thơng số τ nào đó dọc theo
1
xμ (τ )
quỹ đạo, có thể hiểu là thời gian riêng của hạt, μ
Hình 1

là chỉ số Lorentz khái quát trong không – thời
gian D chiều, μ = 0, 1, 2,..., D – 1.
Chuyển động của hạt điểm trong không – thời gian Minkowski với metric.
η μν = diag (1, −1,..., −1)
được mô tả bởi tác dụng
S = ∫ dτ e −1 (τ )η μν ∂τ x μ .∂τ xν

(1.1)

trong đó e(τ ) là một hàm nào đó, đóng vai trị như metric dọc theo quỹ đạo và
d
∂τ ≡
.
dτ
Tác dụng (1.1) bất biến đối với phép biến đổi tổng quát.
τ → τ ′ = f (τ )
e (τ ) → e′ (τ ′ ) =

dτ
e (τ )
dτ '

Thật vậy, ta có:

5


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

S ′ = ∫ dτ ' e −1' (τ ')η μν ∂τ ' x μ .∂τ ' xν =

dτ '
⎛ dτ ⎞
= ∫ dτ ' e (τ )
η μν ∂τ x μ .∂τ xν . ⎜
⎟ =
dτ
⎝ dτ ' ⎠
2

−1

= ∫ dτ ' e −1 (τ )

dτ '
η μν ∂τ x μ .∂τ xν =
dτ

= ∫ dτ e −1 (τ )η μν ∂τ x μ .∂τ xν = S

Tính bất biến này có thể sử dụng để đặt e(τ) = 1. Lúc này ta nói rằng đã dùng
conformal gauge, và viết lại (1.1) thành:
S = ∫ dτη μν ∂τ x μ .∂τ xν

(1.2)

Hàm Lagrange của hạt có dạng:
L = η μν ∂τ x μ .∂τ xν
Thay biểu thức của Lagrange vào phương trình Euler – Lagrange áp dụng với

xμ :


δL
δL
− ∂τ
=0
μ
δx
δ ( ∂τ x μ )
Phương trình này dẫn tới phương trình:
d 2 xμ
=0
dτ 2
Nghiệm của phương trình này tương ứng với đường thẳng trong không – thời
gian Minkowski.
Khi xem hạt là đối tượng có kích thước một chiều – dây, thì cách tiếp cận cũng
tương tự. Khi chuyển động trong khơng – thời gian từ vị trí 1 tới vị trí 2, hạt dây sẽ
quét nên một mặt gọi là lá thế (xem hình 2).
Vị trí của dây trong không – thời gian
được xác định bởi hàm Xμ(τ,σ) phụ thuộc
2
lá thế
μ
hai thơng số τ và σ, τ có thể hiểu như thời
X (τ,σ)
1
gian riêng của dây ( −∞ ≤ τ ≤ +∞ ), σ có thể
hiểu như độ dài xác định vị trí từng điểm
Hình 2
trên dây, với các giá trị được chọn trong
khoảng 0 ≤ σ ≤ π .

Hai thông số này kết hợp lại thành một vector 2 chiều trên lá thế, ta viết:
λ α = (τ , σ ) , λ 0 = τ , λ 1 = σ

6


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

Đưa vào các metric tensor trên lá thế hαβ và hαβ với các tính chất.
hαβ = hβα, hαβ = hβα, hαγ, hαγ = δαβ
và biến đổi theo qui luật
∂λ γ ∂λ δ
hαβ (λ ) → h 'αβ (λ ') =
.
.hγδ (λ )
∂λ 'α ∂λ 'β
∂λ 'α ∂λ 'β γδ
hαβ (λ ) → h 'αβ (λ ') =
(1.3)
.
.h (λ )
∂λ γ ∂λ δ
dưới tác dụng của phép biến đổi tổng quát
λα → λ’α = f α (λ)
(1.4)
Chuyển động của hạt dây trong không – thời gian được mô tả bởi tác dụng
1
S=
d 2 λ − hhαβ ∂α X μ .∂ β X μ
(1.5)

∫
2π
trong đó:
∂X μ
h ≡ det hαβ = h00 h11 − h012 , ∂ α X μ ≡ α
∂λ
Tác dụng (1.5) không những chỉ bất biến đối với phép biến đổi tổng quát
(1.3), mà còn bất biến đối với phép biến đổi Weyl định xứ metric:
hαβ(λ) → ω(λ). hαβ(λ)
(1.6)
vì lúc này

− h .hαβ → ω 2 (λ )(−h).ω −1 (λ )hαβ = − h .hαβ
Như vậy, ở đây có hai đối xứng định xứ: đối xứng (1.4) với hai thơng số và
đối xứng Weyl (1.6). Do đó ta có thể chọn 3 thành phần độc lập của metric tensor
hαβ theo metric Minkowski ηαβ hai chiều:
hαβ = ηαβ = diag (1, - 1)
Ta nói rằng đã dùng conformal gauge, và lúc này tác dụng (1.5) sẽ thành:
1
S=
d 2 λη αβ ∂α X μ .∂ β X μ =
(1.7)
∫
2π
1
dτ dσ (∂τ X μ .∂τ X μ − ∂σ X μ .∂σ X μ )
∫
2π
1.2. Các dao động tử tọa độ
Áp dụng phương trình Euler – Lagrange

δL
δL
− ∂α
=0
μ
δX
δ ( ∂α X μ )
=

vào tác dụng (1.7), ta được phương trình chuyển động
∂α ∂α X μ ≡ ( ∂τ2 − ∂σ2 ) X μ = 0

7

(1.8)


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

Đó là phương trình sóng một chiều với nghiệm tổng quát có thể viết dưới
dạng:
X μ (λ ) = X Rμ (τ − σ ) + X Lμ (τ + σ )

(1.9)

Trong đó X Rμ mơ tả các mode
“chuyển động phải”, X Lμ mô tả các mode
“chuyển động trái” của dây.
dây mở
dây đóng

Cần phân biệt dây mở và dây đóng
− Với dây mở ta đặt điều kiện
Hình 3
biên:
∂X μ
μ
= 0 tại σ = 0, π
X′ ≡
(1.10)
∂σ
Biểu thức tổng quát của nghiệm (1.9) thoả mãn điều kiện (1.10) có dạng khai
triển như sau:
1
1
i
1 μ in(τ −σ )
αn e
X Rμ (τ − σ ) = x μ + p μ (τ − σ ) −
∑
2
2
2 n =±1,±2,... n
1 μ 1 μ
i
1
x + p (τ + σ ) − ∑ α nμ ein(τ +σ )
2
2
2 n n
1

X μ ( λ ) = x μ + p μτ − i ∑ α nμ einτ .cos nσ
(1.11)
n n
Ở đây có thể xem xμ và pμ như tọa độ và xung lượng của khối tâm của hạt dây,
α nμ được gọi là các dao động tử quỹ đạo.
X Lμ (τ + σ ) =

Vì Xμ phải là thực, nghĩa là:
X μ+ = X μ
1
1
x μ + + p μ +τ + i ∑ α nμ + e − inτ .cos nσ = x μ + p μτ − i ∑ α nμ einτ .cos nσ
n n
n n
Đẳng thức trên cho thấy:
xμ+ = xμ
pμ+ = pμ
1
1
i ∑ α nμ + e − inτ .cos nσ = −i ∑ α nμ einτ .cos nσ
n n
n n
μ
μ
Vì thế x và p cũng là thực. Biểu thức sau cùng có thể biến đổi tiếp như sau:
1
1
−i ∑ α nμ einτ .cos nσ = i ∑ α nμ + e − inτ .cos nσ
n n
n n

1 μ + imτ
= i∑
α − m e .cos mσ (thay n bởi – m)
− m −m

8


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

1 μ + imτ
α − m e .cos mσ
m m
1
= −i ∑ α −μn+ einτ .cos nσ
n n
So sánh vế đầu và vế cuối của đẳng thức trên ta thu được:
α nμ + = α −μn
= −i ∑

− Với dây đóng ta đặt điều kiện tuần hồn:
X μ (τ , σ ) = X μ (τ , σ + π )

(1.12)
(1.13)

Biểu thức tổng quát của nghiệm (1.9) thoả mãn điều kiện (1.13) có dạng khai
triển như sau:
1
1

i
1 μ 2 in(τ −σ )
αn e
X Rμ (τ − σ ) = x μ + p μ (τ − σ ) −
∑
2
2
2 n =±1,±2,... n
1 μ 1 μ
i
1
x + p (τ + σ ) − ∑ α nμ e 2 in(τ +σ )
2
2
2 n n
i 1
X μ ( λ ) = x μ + p μτ − ∑ e 2 inτ ⎡⎣α nμ e −2 inσ + α nμ e 2 inσ ⎤⎦
(1.14)
2 n n
Chú ý rằng trong trường hợp dây đóng ta phân biệt dao động tử quỹ đạo α nμ
X Lμ (τ + σ ) =

ứng với “chuyển động phải” và α nμ ứng với “chuyển động trái”.
Để tiện sử dụng về sau, ta viết ra các biểu thức khai triển của X μ ≡ ∂τ X μ và
X 'μ ≡ ∂σ X μ . Trong trường hợp dây mở, từ (1.11) ta có:
∞

∑α

Xμ =


n =−∞

μ
n

einτ cos nσ

∞

X 'μ = i ∑ α nμ einτ sin nσ

(1.15)

n =−∞

trong đó ta ký hiệu α 0μ ≡ p μ
Trong trường hợp dây đóng, từ (1.14) ta có:
∞

Xμ =

∑e

2 inτ

n =−∞

X 'μ =


∞

∑e

n =−∞

2 inτ

⎡⎣α nμ e −2 inσ + α nμ e 2 inσ ⎤⎦
μ 2 inσ
μ −2 inσ
⎣⎡α n e − α n e ⎦⎤

(1.16)

1 μ
p
2
1.3. Lượng tử hóa dây boson
Tiến hành lượng tử hoá dây, ta thừa nhận các hệ thức giao hốn đồng τ như
sau:

trong đó ta ký hiệu α 0μ ≡ α 0μ ≡

9


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

⎡⎣ X μ (τ , σ ) , Πν (τ ,σ ') ⎤⎦ = iδνμδ (σ − σ ')

μ
ν
⎣⎡ X (τ , σ ) , X (τ ,σ ') ⎦⎤ = 0

⎡Π
(1.17)
⎣ μ (τ ,σ ) , Πν (τ ,σ ') ⎤⎦ = 0
Trong đó X μ (τ , σ ) được xem là tọa độ chính tắc, Π μ (τ , σ ) là xung lượng

chính tắc tương ứng được định nghĩa bởi:
δL
Πμ ≡
δXμ
δ (σ − σ ') là hàm δ - Dirac tuần hồn thoả mãn tính chất
⎧ f (σ '), 0 < σ ' < π
d
σ
f
σ
δ
σ
σ
'
−
=
(
)
(
)
⎨

∫0
, σ ' ∉ (0, π )
⎩0
π

(1.18)

Ta có thể sử dụng các biểu thức khai triển khác nhau của δ (σ − σ ') như sau:
1 ∞ in(σ −σ ')
∑e
2π n =−∞
1 ∞
=
∑ cos n (σ − σ ')
2π n =−∞
1 ∞
= ∑ cos nσ .cos nσ '

δ (σ − σ ' ) =

π

=

1

π

n =−∞
∞


∑ sin nσ .sin nσ '

(1.19)

n =−∞

Với Lagrangian ở (1.7) ta có:
1
Πμ = X μ

(1.20)

π

và các hệ thức (1.17) sẽ thành:
⎡⎣ X μ (τ , σ ) , X ν (τ , σ ') ⎤⎦ = iπδνμ .δ (σ − σ ')
⎡⎣ X μ (τ , σ ) , X ν (τ ,σ ') ⎤⎦ = 0
Từ các hệ thức giao hốn chính tắc trên đây ta có thể tìm được các hệ thức
giao hốn giữa các dao động tử quỹ đạo α nμ như sau:

− Với dây mở:
μ
ν
μν
⎣⎡α m , α n ⎦⎤ = −m.η δ m + n ,0
− Với dây đóng:

(1.21)


⎡⎣α mμ , α nν ⎤⎦ = ⎡⎣α mμ ,α nν ⎤⎦ = − m.η μν δ m + n ,0
⎡⎣α mμ , α nν ⎤⎦ = 0

(1.22)

10


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

Ngồi ra, các hệ thức giao hốn với xμ, pμ là:
⎡⎣ p μ , xν ⎤⎦ = −iη μν

⎡⎣ x μ , xν ⎤⎦ = ⎡⎣ p μ , pν ⎤⎦ = 0

,

⎡⎣ x μ , α mν ⎤⎦ = ⎡⎣ x μ , α mν ⎤⎦ = ⎡⎣ p μ ,α mν ⎤⎦ = ⎡⎣ p μ ,α mν ⎤⎦ = 0
Xét tensor trên lá thế:
1
Tαβ ≡ ∂α X μ .∂ β X μ − ηαβ ∂ γ X μ .∂ γ X μ
2
Tensor này có thể thu được từ Lagrangian (1.7) với định nghĩa:
⎧⎪ δ L
⎪⎫
μ
Tαβ ≡ π ⎨
.
X
η

L
∂
−
⎬
β
αβ
α
μ
⎪⎩ δ ( ∂ X )
⎪⎭
Chú ý đến các tính chất sau đây của Tαβ

Tαβ = Tβα , η αβ Tαβ = 0 , ∂α Tαβ = 0

(1.23)

(1.24)

(1.25)

(1.26)

Từ tensor Tαβ ta lập vector trên lá thế:
Pα ≡

1

π

π


∫ dσ T

(1.27)

αo

0

Dùng hệ thức giao hốn chính tắc (1.17) dễ dàng chứng tỏ rằng:
(1.28)
⎡⎣ Pα , X μ ⎤⎦ = −i∂α X μ
Do có các hệ thức (1.25) – (1.27) cho nên tensor Tαβ định nghĩa ở (1.24) được
xem là tensor năng – xung lượng trên lá thế và vector Pα định nghĩa ở (1.27) là
vector năng – xung lượng trên lá thế.
1.4. Đại số Virasoro
Từ tensor năng – xung lượng Tαβ ta lập các toán tử
Ln ≡ −

1

π

π

e

− inτ

∫ dσ ( T


00

cos nσ − iT10 sin nσ ) , n ∈ Z

0

Đặc biệt
L0 ≡ −

1

π

π

∫ dσ T

00

= − P0

0

Hãy biểu diễn Ln qua các dao động tử quỹ đạo. Từ (1.24) ta có:
1
T00 = ( X μ X μ + X 'μ X 'μ )
2
1
T10 = X 'μ X μ

2
Thay vào đây các biểu thức khai triển (1.15) và (1.16), ta tính được:

11

(1.29)


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

Ln = −

1 ∞ μ
∑ α − kα μ , n + k
2 k =−∞

(1.30)

với dây mở, và
Ln = Ln + Ln

Ln ≡ −

1 ∞ μ
∑ α − kα μ , n + k
2 k =−∞

(1.31)

với dây đóng.

Từ định nghĩa (1.29), cũng như từ các biểu thức (1.30), (1.31), ta nhận thấy
rằng:

L+n = L− n , L+n = L− n
Bây giờ hãy xem α nμ , α nμ với n > 0 như các toán tử hủy, α −μn , α −μn như các toán tử
sinh, và định nghĩa lại Ln , Ln . Viết (1.30), (1.31) dưới dạng tích normal, trong đó
tốn tử sinh đứng trước tốn tử huỷ (tính từ trái), tức là:
1 ∞
Ln ≡ − ∑ : α −μkα μ ,n + k :
2 k =−∞
1 ∞
Ln ≡ − ∑ : α −μkα μ ,n + k :
2 k =−∞

(1.32)

Ta hãy tính giao hốn tử [ Ln , Lm ] .
Trước hết nhận xét rằng vì giao hoán tử giữa hai dao động tử quỹ đạo chỉ là
một số (do 1.22), nên tích normal chỉ khác tích thường bởi một hằng số cộng, hằng
số này sẽ triệt tiêu trong các biểu thức giao hoán tử. Nghĩa là với bất kỳ tốn tử F
nào ta đều có:
⎡⎣: α mμα nν :, F ⎤⎦ = ⎡⎣α mμα nν , F ⎤⎦
và do đó có thể viết:
1 ∞
[ Ln , Lm ] = ∑ ⎡⎣α −μkα μ ,n+ k ,α −ν lαν ,m+l ⎤⎦
4 k ,l =−∞
Áp dụng đồng nhất thức dạng

[ AB, CD ] = [ A, C ] DB + C [ A, D ] B + A[ B, C ] D + AC [ B, D ]


(1.33)

(1.34)

vào vế phải của (1.33) và sử dụng hệ thức (1.21) ta tính được
⎛ 1 ∞ μ
⎞
,
(
)
L
L
n
m
(1.35)
=
−
[ n m]
⎜ − ∑ α − kα μ , n + m + k ⎟
⎝ 2 k =−∞
⎠
Lại chú ý rằng ta cần phân biệt tích normal và tích bình thường chỉ với L0 mà
thơi, vì khi n ≠ 0 ta có
α −μkα μ , n + k = α μ ,n + kα −μk
(1.36)

12


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng


Như vậy, trong trường hợp n + m ≠ 0 phương trình (1.35) cho ta:

[ L , L ] = ( n − m) L
n

m

(1.37)

n+m

Trong trường hợp n + m = 0, ở vế phải (1.36) sẽ xuất hiện thêm một số hạng
gọi là số hạng dị thường, ký hiệu bởi A ( n ) (xem phần 1.6). Một cách tổng quát, ta
có thể viết:

[ L , L ] = ( n − m) L
n

m

n+ m

+ A(n).δ n + m ,0

(1.38)

1.5. Các trạng thái kích thích
Xét khơng gian Fock các trạng thái kích thích tạo nên do tác dụng các toán tử
sinh α nμ + và α nμ + , n > 0, lên trạng thái nền chân không 0 . Chuẩn của các trạng thái


này không phải tất cả đều > 0. Chẳng hạn, các trạng thái α n0+ 0 có chuẩn < 0:
0 α n0α n0 + 0 = 0 ⎡⎣α n0 ,α n0+ ⎤⎦ 0 = − n (do 1.21)

và do đó khơng thể xem là các trạng thái vật lý. Không gian các trạng thái vật lý chỉ
là một khơng gian con của tồn khơng gian Fock nói trên, thoả mãn một số điều
kiện nhất định. Trước hết, trạng thái vật lý phải có chuẩn > 0. Một trạng thái vật lý
φ cũng phải thoả mãn các phương trình suy ra từ phương trình chuyển động.
Các phương trình này có dạng:
( L0 − a0 ) φ = 0
Ln φ = 0 , n > 0

đối với dây mở, và

(L

0

(1.39)

(

− a0 ) φ = 0 , L0 − a0

)

Ln φ = 0 , Ln φ = 0 , n > 0

φ =0
(1.40)


đối với dây đóng.
Trong đó a0 là một thông số, được gọi là thông số Regge.
Các phương trình (1.39) và (1.40) cho phép xác định được phổ khối lượng của
các trạng thái kích thích.
Trước hết xét trường hợp dây mở. Ta có:
1 ∞
L0 = − ∑ : α −μkα μ k : =
2 k =−∞
1 −1
1
1 ∞
= − ∑ : α −μkα μ k : − : α 0μα μ 0 : − ∑ : α −μkα μ k : =
2 k =−∞
2
2 k =1
1
∞
1
1
1
= − ∑ : α lμα μ −l : − p 2 − ∑ : α −μkα μ k : =
2 l =∞
2
2 k =1

13


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng


1 1 μ
1 2 1 ∞ μ
α
α
−
α − kα μ k =
∑ − l μl 2 p − 2 ∑
2 l =∞
k =1
∞
1
L0 = − p 2 − ∑ α −μkα μ k
2
k =1
=−

(1.41)

∞
→ p 2 = −2 ⎛⎜ L0 + ∑ α −μkα μ k ⎞⎟
k =1
⎝
⎠

Cho hai vế phương trình này tác động lên trạng thái φ :

{

}


∞

p 2 φ = −2 L0 + ∑ α −μkα μ k φ
k =1

Chú ý tới (1.39) ta sẽ được:

{

}

∞

p 2 φ = −2 a0 + ∑ α −μkα μ k φ
k =1

(1.42)

Vì tốn tử p 2 mang ý nghĩa bình phương khối lượng của hạt dây nên phương
trình (1.42) cho thấy rằng toán tử

{

∞

M 2 ≡ −2 a0 + ∑ α −μkα μ k
k =1

}


(1.43)

có ý nghĩa là tốn tử bình phương khối lượng của dây.
Dùng hệ thức giao hốn (1.21) dễ dàng thấy rằng trạng thái kích thích

φ(

n1n2 ... n p

)

~ α nμ α nμ ...α n 0
+
1

+
2

1

μ +p

2

(1.44)

p

p

là trạng thái riêng của toán tử M 2 ứng với giá trị riêng 2 ⎛⎜ −a0 + ∑ ni ⎞⎟ , cụ thể là:
i =1
⎝
⎠

M 2 φ(

n1n2 ... n p

)

p
n ... n
= 2 ⎛⎜ −a0 + ∑ ni ⎞⎟ φ ( )
i =1
⎝
⎠
1

(1.45)

p

Thật vậy. Xét:

(L

0

− a0 ) φ (


n1n2 ... n p

)

= ( L0 − a0 ) α nμ α nμ ...α n 0
+
1

μ +p

+
2

1

2

p

∞
⎛ 1
μ ⎞
= ⎜ − p 2 − ∑ α −μkα μ kα nμ α nμ ...α n ⎟ 0
k =1
⎝ 2
⎠
+
1


+
2

1

2

+
p

p

Suy ra:
∞

p 2α nμ α nμ ...α n 0 = −2∑ α −μkα μ kα nμ α nμ ...α n 0 − 2a 0 0
+
1

1

+
2

2

μ +p
p

+

1

k =1

μ +p

+
2

1

2

p

Ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp. Với trạng thái kích thích đầu tiên:
∞

p 2α nμ 0 = −2∑ α −μkα μ kα nμ 0 − 2a 0 0
+
1

1

+
1

1

k =1

∞

(

)

= −2∑ α −μk ⎡⎣α μ k ,α nμ ⎤⎦ + α nμ α μ k 0 − 2a 0 0
k =1
+
1

1

14

+
1

1


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

∞

= −2∑ α −μk ⎡⎣α μ k ,α nμ ⎤⎦ 0 − 2a 0 0
k =1
+
1


1

∞

= −2∑ − kδ μμ δ k − n ,0α kμ + 0 − 2a 0 0
1

1

k =1

= 2n1α kμ + 0 − 2a 0 0

Vậy p 2 = 2n1 − 2a 0 .
Ta tiếp tục tính với trạng thái kích thích thứ hai:
∞

p 2α nμ α nμ 0 = −2∑ α −μkα μ kα nμ α nμ 0 − 2a 0 0
+
1

1

+
2

2

+
1


k =1
∞

+
2

1

2

(

)

= −2∑ α −μk ⎡⎣α μ k ,α nμ ⎤⎦ + α nμ α μ k α nμ 0 − 2a 0 0
k =1
+
1

+
1

1

1

+
2


2

= −2∑ α −μk ( − kδ μμ δ k − n ,0 ) 0 + α −μkα nμ α μ kα nμ 0 − 2a 0 0
∞

+
1

1

1

k =1

+
2

1

2

= −2 ( −n1α nμ +α nμ + 0 ) − 2a 0 0 −
1

2

1

2


∞

(

)

−2∑ α −μkα nμ + ⎡⎣α μ k ,α nμ + ⎤⎦ + α nμ +α μ k 0
k =1
1

1

2

2

2

2

= −2 ( −n1α nμ +α nμ + 0 ) − n2α nμ +α −μn + 0 − 2a 0 0
1

2

1

2

2


= 2 ( n1 + n2 ) α − n α n
μ1 +
1

1

2

μ2 +
2

1

0 − 2a 0 0

Vậy p 2 = 2 ( n1 + n2 ) − 2a 0 .
Tiếp tục tính tốn cho các trạng thái kích thích cao hơn ta suy ra:
p
p 2 = 2 ⎛⎜ −a0 + ∑ ni ⎞⎟
i =1
⎝
⎠
Trong trường hợp dây đóng, một cách hồn tồn tương tự như với dây mở và
1
chú ý rằng α 0μ ≡ α 0μ ≡ p μ ta sẽ được:
2
∞
1
(1.46)

L0 = − p 2 − ∑ α −μkα μ k
8
k =1
∞
1
L0 = − p 2 − ∑ α −μkα μ k
8
k =1
và phương trình (1.40) cho:

{

∞

}

{

}

∞

p 2 φ = −8 a0 + ∑ α −μkα μ k φ = −8 a0 + ∑ α −μkα μ k φ

Lúc này ta có:

{

k =1


∞

} {

∞

k =1

M 2 ≡ −8 a0 + ∑ α −μkα μ k = −8 a0 + ∑ α −μkα μ k
k =1

15

k =1

}

(1.47)

(1.48)


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

và thấy rằng trạng thái kích thích

φ(

n1 ... n p , m1 ... mq


)

~ α nμ ...α n .α mν ...ν m 0
+
1

1

μ +p

+
1

ν q+

p

1

q

(1.49)

là trạng thái riêng của toán tử M2 ứng với giá trị riêng
8 ⎛⎜ − a0 + ∑ ni
i =1
⎝

⎞ = 8 ⎛ −a + q m ⎞
⎟

⎜ 0 ∑ i⎟
i =1
⎠
⎝
⎠

M 2 φ(

)

p

(1.50)

cụ thể là:
n1 ... n p , m1 ... mq

p
n ... n , m ... m )
= 8 ⎛⎜ − a0 + ∑ ni ⎞⎟ φ (
i =1
⎝
⎠
1

p

1

q


q
n ... n , m ... m )
= 8 ⎛⎜ − a0 + ∑ mi ⎞⎟ φ (
(1.51)
i =1
⎝
⎠
Cũng từ (1.50) ta suy ra rằng các trạng thái kích thích (1.49) khả dĩ phải thoả
mãn điều kiện

M 2 φ(

n1 ... n p , m1 ... mq

p

q

i =1

i =1

)

1

p

1


q

∑ ni = ∑ mi

(1.52)

Từ (1.45) và (1.52) ta chú ý rằng các trạng thái nền khơng kích thích ( p = 0 ,
q = 0 ) có bình phương khối lượng thấp nhất, m 2 = −2a0 trong trường hợp dây mở

và m 2 = −8a0 trong trường hợp dây đóng. Như vậy khi a0 > 0 (chẳng hạn a0 = 1 với
dây boson) thì các trạng thái này có m2 < 0 và các hạt tương ứng được gọi là
tachyon. Tìm một cơ chế để loại trừ các tachyon về mặt lý thuyết là một trong
những vấn đề trọng tâm được nhiều người quan tâm.
1.6. Tính số hạng dị thường
Bây giờ ta tính số hạng dị thường A ( n ) trong đại số Virasoro.
Giả sử 0 là trạng thái nền – chân không thoả mãn điều kiện

α nμ 0 = α nμ 0 = 0 ,

n >0

Lúc này, từ định nghĩa của Ln ta có:
Ln 0 = 0 , n > 0

(1.53)
(1.54)

Mặt khác, từ (1.38) ta có:


[ L , L ] = 2nL
n

−n

0

+ A(n)

(1.55)

Để xác định ta xem n > 0. Lấy trung bình hai vế của (1.55) theo trạng thái 0 :
0 [ Ln , L− n ] 0 = 0 [ 2nL0 + A(n) ] 0
0 Ln L− n 0 − 0 L− n Ln 0 = 2n 0 L0 0 + 0 A(n) 0

Chú ý tới (1.54), ta có:
0 Ln L− n 0 = 2n 0 L0 0 + A(n)

16

(1.56)


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

Để tính 0 Ln L− n 0 ta tiến hành như sau. Với n > 0 ta có:
L− n 0 = −

}


∞
1
α μ ,− nα 0μ + ∑ : α −μkα μ ,− n + k : 0
2
k =1
Số hạng thứ nhất ứng với k = 0 , các số hạng có k < 0 bị triệt tiêu do khi đó
0 = 0 . Đối với số hạng thứ hai, khi k ≥ n + 1 thì α −μn + k 0 = 0 vì thế có thể viết

=−

α −μk

{

1 ∞
: α −μkα μ ,− n + k : 0
∑
2 k =−∞

lại như sau:

{
1
= − {α
2

L− n 0 = −

}


n
1
α μ ,− nα 0μ + ∑ : α −μkα μ ,− n + k : 0
2
k =1
n −1

}

α μ + ∑ α −μkα μ ,− n + k + α −μnα μ 0 0
μ ,− n 0
k =1

Số hạng thứ 3 ứng với k = n .
Cuối cùng:
n −1
⎫
1⎧ p
L− n 0 = − ⎨2 μ α −μn + ∑ α −μkα μ ,− n + k ⎬ 0
2⎩ c
k =1
⎭
c = 1 với dây mở, và c = 2 với dây đóng.
Từ đây ta có:
1
1 n −1
ν
μ
0 Ln L− n 0 = 2 0 pν pμα n α − n 0 + ∑ 0 αν , n −lα lν α −μkα μ ,− n + k 0 (1.57)
c

4 k ,l =1
Các số hạng ở vế phải (1.57) tính như sau:

0 pν pμα nν α −μn 0 = pν pμ 0 ⎡⎣α nν ,α −μn ⎤⎦ 0 = pν pμ ( − nη νμ ) = − np 2

(do có (1.21))
n −1

∑

k , l =1

n −1

0 αν ,n −lα lν α −ν kα μ ,− n + k 0 = ∑ 0 ⎡⎣αν ,n −lα lν ,α −μkα μ ,− n + k ⎤⎦ 0
k , l =1
n −1

= −2∑ k 0 α nμ− kα μ ,− n + k 0
k =1
n −1

= −2∑ k 0 ⎡⎣α nμ− k , α μ , − n + k ⎤⎦ 0
k =1

1
= 2 D ∑ k ( n − k ) = Dn ( n 2 − 1)
3
k =1
Trong quá trình tính ta đã sử dụng tính chất (1.53), đồng nhất thức (1.34) và

n
n
1
1
1
,
k
=
n
n
+
k 2 = n ( n + 1)( 2n + 1)
(
)
∑
∑
2
6
k =1
k =1
Như vậy, ta tính được:
n −1

17


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

0 Ln L− n 0 = −


n 2 D
p + n ( n 2 − 1)
2
c
12

(1.58)

Tiếp theo, ta có:
1 ∞
1
1
0 : α −μkα μ k : 0 = − 0 α 0μα μ 0 0 = − 2 p 2 (1.59)
∑
2 k =−∞
2
2c
Thay (1.58) và (1.59) vào (1.56), ta có:
D
A ( n ) = n ( n 2 − 1)
(1.60)
12
Vậy:
D
(1.61)
[ Ln , Lm ] = ( n − m ) Ln+ m + n ( n 2 − 1) δ n+ m ,0
12
0 L0 0 = −

Với Ln cũng hoàn toàn như vậy:

D
⎡⎣ Ln , Lm ⎤⎦ = ( n − m ) Ln + m + n ( n 2 − 1) δ n + m ,0
12

(1.62)

Đại số tạo nên bởi các hệ thức giao hoán dạng (1.61) và (1.62) được gọi là đại
số Virasoro dị thường.

18


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

Chương 2. Siêu dây và siêu đại số
Tóm tắt:

Lý thuyết dây như đã trình bày ở chương 1 chưa có khả năng mơ tả các hạt có
spin bán ngun. Để mô tả được các hạt loại này cần đưa thêm các siêu tọa độ thỏa
điều kiện siêu đối xứng trên lá thế, và dây được gọi là siêu dây. Đối với siêu dây ta
cần phân biệt siêu dây mở thỏa các điều kiện biên và siêu dây đóng thỏa các điều
kiện tuần hoàn. Sự khác biệt về điều kiện của các siêu tọa độ dẫn đến dạng khai
triển khác nhau của chúng và hai dòng siêu đại số khác nhau – siêu đại số Neveu –
Schwarz và siêu đại số Ramond. Khác với đại số Virasoro được xây dựng trên các
hệ thức giao hoán, các siêu đại số được xây dựng trên cả các hệ thức phản giao
hoán và vì thế các siêu dao động tử tọa độ của chúng cũng thỏa các hệ thức phản
giao hốn (thay vì là giao hoán). Điểm giống nhau cơ bản giữa siêu đại số NS – R
so với đại số Virasoro là trong siêu đại số cũng tồn tại các số hạng dị thường và
việc tính các số hạng này là một điều có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết.
2.1. Siêu đối xứng trên lá thế

Lý thuyết dây boson có những hạn chế, chẳng hạn sự tồn tại các hạt có bình
phương khối lượng âm, số chiều khơng – thời gian ngoại phụ quá nhiều. Ngoài ra,
như đã thấy từ cấu trúc lý thuyết, dây boson khơng có khả năng mơ tả các trạng thái
có spin bán nguyên. Nhằm khắc phục các nhược điểm này, người ta đã đưa vào siêu
đối xứng trên lá thế, thể hiện qua sự biến đổi qua lại giữa các tọa độ không – thời
gian X μ (τ , σ ) và các “đối tác” của chúng – các siêu tọa độ phản giao hoán

ψ μ (τ , σ ) . Đối với không – thời gian của dây đó là các vector, cịn đối với lá thế đó
là các spinor hai thành phần ψ Aμ (τ , σ ) , A = 1,2. Ngoài ra, chúng là những đại lượng
thực (Majorana):

(ψ )
μ

A

+

≡ (ψ μ + ) = ψ Aμ
A

Lúc này vị trí của dây trong không – thời gian được xác định bởi cả X μ (τ , σ )
và ψ μ (τ , σ ) , và dây được gọi là siêu dây. Chuyển động của siêu dây được mô tả
bởi tác dụng dạng:
S = S ( x ) + S (ψ )

(2.1)

trong đó S ( x ) vẫn là biểu thức (1.7)
1

S ( x) =
d 2 λη αβ ∂α X μ .∂ β X μ
∫
2π
và

(2.2)

19


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

i
d 2 λη αβψ μ ρα ∂ βψ μ
∫
2π

S (ψ ) =

(2.3)

ψ μ ≡ ψ μ + ρ 0 , ρ α là các ma trận Dirac 2 x 2 có dạng:
⎛ 0 −i ⎞ 1 ⎛ 0 i ⎞
, ρ =⎜
⎟
0 ⎟⎠
⎝ i 0⎠
Các ma trận ρα có các tính chất sau:
ρ α + = − ρ αT = η αα ρ α = ρα


ρ0 = ⎜
⎝i

(2.4)

⎛η αα 0 ⎞
, ρ α , ρ β } = 2η αβ
ρ ρ =⎜
ββ ⎟ {
⎝ 0 η ⎠

(2.5)

α

β

Dùng các tính chất này dễ dàng chứng minh rằng với hai spinor Majorana bất
kỳ ψ (1) và ψ ( 2) ta có hệ thức:

ψ (1) ρ α ρ α ...ρ α ψ ( 2) = (−1) nψ ( 2) ρ α ...ρ α ρ α ψ (1)

(2.6)

ψ (1) ρ αψ ( 2) = −ψ ( 2) ρ αψ (1)

(2.7)

1


2

n

n

2

1

đặc biệt là:
Từ (2.7) ta thấy ngay S(ψ)+ = S(ψ).
Bây giờ ta hãy chứng tỏ rằng tác dụng (2.1) bất biến đối với các phép biến đổi
siêu đối xứng như sau:
X μ → X μ + ε Aψ Aμ

ψ Aμ → ψ Aμ − i∂α X μ .( ρ α ε ) A
ψ μ A → ψ μ A + i∂α X μ .( ερ α )

A

(2.8)

trong đó ε là thơng số spinor Majorana cực vi .
Thật vậy, dưới tác dụng của phép biến đổi (2.8) các số hạng trong (2.1) biến
đổi như sau:

∫ d λ∂
2


α

X μ .∂α X μ → ∫ d 2 λ∂α X μ .∂α X μ + 2∫ d 2 λε∂αψ μ .∂ α X μ

(2.9)

i ∫ d 2 λψ μ ρ α ∂αψ μ → i ∫ d 2 λψ μ ρ α ∂αψ μ +
+ ∫ d 2 λψ μ ρ α ρ γ ε .∂α ∂ γ X μ − ∫ d 2λερ β ρ α ∂αψ μ .∂ β X μ

Số hạng cuối ở (2.10) có thể biến đổi như sau:
− ∫ d 2 λε μ ρ β ρ α ∂αψ μ .∂ β X μ = −2∫ d 2λε∂αψ μ .∂α X μ +

20

(2.10)


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

+ ∫ d 2 λερ α ρ β ∂αψ μ .∂ β X μ = −2∫ d 2λε∂αψ μ .∂α X μ +
+ ∫ d 2 λ∂α ⎡⎣ερ α ρ βψ μ .∂ β X μ ⎤⎦ − ∫ d 2 λε ρ α ρ βψ μ .∂α ∂ β X μ

(2.11)

Thay (2.11) vào (2.10), bỏ qua số hạng dạng ∫ d 2 λ∂α F α và chú ý đến tính chất
(2.6), ta có:
i ∫ d 2 λψ μ ρ α ∂αψ μ → i ∫ d 2 λψ μ ρ α ∂αψ μ − 2∫ d 2 λε∂αψ μ .∂α X μ

(2.12)


Từ (2.9) và (2.12) suy ra ngay tính bất biến của tác dụng (2.1).
Ta hãy tìm phương trình chuyển động cho ψ Aμ . Từ tác dụng (2.3) ta có:

δL
i
0
α B
=
ρ
ρ
(
) A ∂αψ μ B
δψ Aμ 2π
δL
i
i
i
α A
0
α A
0
α B
=
−
ψρ
=
−
ψ
ρ

ρ
=
−
ρ
ρ
(
)
(
)
(
)Aψ μB
μ
B
B
δ ( ∂αψ Aμ )
2π
2π
2π
Thay các kết quả này vào phương trình Euler – Lagrange
δL
δL
− ∂α
=0
μ
δψ A
δ ( ∂αψ Aμ )
ta được phương trình chuyển động:
ρ α ∂αψ μ = 0

(2.13)


Viết phương trình cho từng thành phần sẽ là:
( ∂τ + ∂σ ) ψ 1μ = 0 , ( ∂τ − ∂σ ) ψ 2μ = 0

(2.14)

2.2. Điều kiện biên NS và R
Cũng như dây boson, đối với siêu dây mở ta đặt điều kiện biên, đối với siêu
dây đóng ta đặt điều kiện tuần hồn.
2.2.1. Siêu dây mở
Vì dấu tương đối giữa các thành phần ψ 1μ và ψ 2μ chỉ là vấn đề qui ước, cho

nên sẽ khơng mất tính tổng qt nếu ta đặt điều kiện tại σ = 0 là:
ψ 1μ (τ ,0 ) = ψ 2μ (τ ,0 )

(2.15)

Khi đã buộc điều kiện (2.15) thì dấu tương đối giữa ψ 1μ và ψ 2μ tại σ = π lại trở
nên có ý nghĩa. Lúc này ta phân biệt hai trường hợp
1. Điều kiện biên Neveu – Schwarz (miền NS):
ψ 1μ (τ , π ) = −ψ 2μ (τ , π )
2. Điều kiện biên Ramond (miền R):

21

(2.16)


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng


ψ 1μ (τ , π ) = ψ 2μ (τ , π )

(2.17)

2.2.2. Siêu dây đóng
Với siêu dây đóng thì điều kiện biên có thể là tuần hồn
ψ Aμ (τ , σ + π ) = ψ Aμ (τ ,σ )

(2.18)

hoặc phản tuần hoàn

ψ Aμ (τ ,σ + π ) = −ψ Aμ (τ ,σ )

(2.19)

Do đó ta phân biệt bốn miền như sau:
1. Miền NS - NS
ψ 1μ (τ ,σ + π ) = −ψ 1μ (τ ,σ )

ψ 2μ (τ ,σ + π ) = −ψ 2μ (τ ,σ )

(2.20)

2. Miền NS - R

ψ 1μ (τ ,σ + π ) = −ψ 1μ (τ ,σ )
ψ 2μ (τ , σ + π ) = ψ 2μ (τ ,σ )

(2.21)


3. Miền R - NS

ψ 1μ (τ , σ + π ) = ψ 1μ (τ ,σ )
ψ 2μ (τ ,σ + π ) = −ψ 2μ (τ ,σ )

(2.22)

4. Miền R - R
ψ 1μ (τ , σ + π ) = ψ 1μ (τ ,σ )

ψ 2μ (τ , σ + π ) = ψ 2μ (τ ,σ )

(2.23)

2.3. Khai triển mode siêu dây NS và R
Ta có thể kiểm tra lại rằng, nghiệm của các phương trình (2.14) thoả mãn các
điều kiện biên (2.15) - (2.17) có biểu thức khai triển tổng quát như sau:
1. Miền NS
1
ψ 1μ (τ ,σ ) =
brμ eir (τ −σ )
∑
1
2 r∈Z +
2

ψ 2μ (τ ,σ ) =

1

brμ eir (τ +σ )
∑
1
2 r∈Z +

(2.24)

2

Thật vậy, tính các đạo hàm của ψ 1 (τ , σ ) rồi thay vào (2.14) ta được:
∂τψ 1 (τ , σ ) =

1
1
brα ireir (τ −σ ) , ∂τψ 2 (τ , σ ) =
brα ireir (τ +σ )
∑
∑
2 r∈Z + 1
2 r∈Z + 1
2

∂σψ 1 (τ , σ ) = −

2

1
1
brα ireir (τ −σ ) , ∂σψ 2 (τ , σ ) =
brα ireir (τ +σ )

∑
∑
2 r∈Z + 1
2 r∈Z + 1
2

2

22


Số hạng dị thường của đại số dây và phổ khối lượng

∂τψ 1 (τ , σ ) + ∂σψ 1 (τ , σ ) = 0 , ∂τψ 2 (τ , σ ) − ∂σψ 2 (τ , σ ) = 0

Các điều kiện (2.15) và (2.16) cũng dễ dàng kiểm tra lại như sau:
1
1
ψ 1μ (τ ,0 ) =
brμ eirτ và ψ 2μ (τ ,0 ) =
brμ eirτ
∑
∑
2 r∈Z + 1
2 r∈Z + 1
2

2

Từ đây suy ra điều kiện (2.15). Với điều kiện (2.16) ta có:

1
ψ 1μ (τ , π ) =
brμ eir (τ −π )
∑
2 r∈Z + 1
2

=

1
brμ eirτ eirπ
∑
2 r∈Z + 1
2

=

1
brμ eirτ ( cos rπ + i sin rπ )
∑
2 r∈Z + 1
2

Vì r là bán nguyên nên cos rπ = 0 và sin rπ = ±1 nên:
1
ψ 1μ (τ , π ) =
±ibrμ eirτ
∑
2 r∈Z + 1
2


Cũng hoàn toàn tương tự cho ψ 2μ (τ , σ )

ψ 2μ (τ ,σ ) =

1
∓ibrμ eirτ
∑
1
2 r∈Z +
2

So sánh hai đẳng thức trên ta suy ra điều kiện (2.16).
2. Miền R
1
ψ 1μ (τ ,σ ) =
d nμ ein (τ −σ )
∑
2 n∈Z −0

ψ 2μ (τ ,σ ) =

1
d nμ ein (τ +σ )
∑
2 n∈Z −0

(2.25)

brμ , d nμ được gọi là siêu dao động tử.


Từ điều kiện Majorana củaψ Aμ :

ψ Aμ + = ψ Aμ
Ta suy ra một tính chất quan trọng của các siêu dao động tử. Chẳng hạn:
1
ψ 1μ + (τ ,σ ) =
brμ + e − ir (τ −σ )
∑
2 r∈Z + 1
2

ψ 1μ (τ ,σ ) =

1
1
1
brμ eir (τ −σ ) =
b−μr e − ir (τ −σ ) =
b−μr e − ir (τ −σ )
∑
∑
∑
2 r ∈Z + 1
2 − r∈Z + 1
2 r∈Z + 1
2

2


So sánh hai biểu thức trên ta rút ra:

23

2