..

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

ĐỖ THỊ THU HIỀN

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH: CƠ SỞ TOÁN HỌC CHO TIN HỌC

Hà Nội- 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

ĐỖ THỊ THU HIỀN

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH: CƠ SỞ TOÁN HỌC CHO TIN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYỄN XUÂN THẢO

Hà Nội- 2019

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bài luận văn “Bất đẳng thức tích phân trên thang thời
gian” là do tơi thực hiện với sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo. Đây
không phải là bản sao chép của bất kỳ một luận văn nào khác.
Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm về những nội dung mà tơi đã trình bày
trong luận văn này.

Hà Nội, ngày

tháng

năm 2019

Tác giả

Đỗ Thị Thu Hiền

i


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến
thầy hướng dẫn, PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo
để luận văn này được hoàn thành, cũng như giúp tác giả có thêm kiến thức, niềm
đam mê nghiên cứu khoa học. Bên cạnh đó tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các
thầy cô trong Semina Tốn giải tích của Đại học Bách Khoa Hà Nội đã cho tác giả
những lời nhận xét và đóng góp quý báu để tác giả hoàn thiện luận văn này. Tác giả
cũng xin cảm ơn sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình và quan tâm của các thầy cơ trong Viện
Toán ứng dụng và Tin học trong suốt thời gian tác giả theo học và nghiên cứu.
Cuối cùng tác giả xin cảm ơn đồng nghiệp, gia đình và bạn bè đã ln động

viên, khích lệ tác giả trong suốt thời gian qua.
Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu, tác giả cũng khơng thể tránh
khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự thơng cảm và góp ý từ các thầy cô và
tất cả mọi người.
Xin trân trọng cảm ơn!

ii


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................i
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... ii
MỤC LỤC ......................................................................................................... iii
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ............................................................................. v
LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ..............................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................2
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ........................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................2
5. Đóng góp của luận văn ....................................................................................2

CHƢƠNG 1: THANG THỜI GIAN................................................................. 3
1.1. Định nghĩa thang thời gian.............................................................................3
1.2. Các khái niệm cơ bản.....................................................................................3

Kết luận chương 1 ................................................................................................ 7
CHƢƠNG : PH P T NH VI PH N VÀ T CH PH N TRÊN THANG
THỜI GIAN ........................................................................................................ 8
2.1. Phép tính vi phân trên thang thời gian ...........................................................8

2.1.1. Định nghĩa Δ- đạo hàm trên thang thời gian ................................................... 8
2.1.2. Một số tính chất của Δ- đạo hàm...................................................................... 9
2.1.3. Δ- Đạo hàm cấp cao. ...................................................................................... 17

2.2. Phép tính tích phân trên thang thời gian ......................................................18
2.2.1. Định nghĩa Δ-tích phân trên thang thời gian ................................................. 18
2.2.2. Một số tính chất của Δ- tích phân .................................................................. 20

Kết luận chương 2 .............................................................................................. 24
CHƢƠNG 3: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI
GIAN ................................................................................................................. 25
3.1. Bất đẳng thức Hӧlder và công thức Taylor..................................................25
3.2. Một số bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian ...................................27

iii


3.3. Một số hệ quả ...............................................................................................37
3.3.1 Trên thang thời gian

 q  q  0 ....................................................... 37

3.3.2. Trên thang thời gian rời rạc

 ............................................................... 38

3.3.3. Trên thang thời gian liên tục




.............................................................. 41

Kết luận chương 3 .............................................................................................. 44
KẾT LUẬN CHUNG ....................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 46

iv


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

 1, 2, 3, 4,... : Tập hợp các số tự nhiên khác 0
0



 0 : Tập hợp các số tự nhiên

: Tập hợp các số thực
: Thang thời gian
: Tập hợp các số nguyên
: Tập hợp các số hữu tỉ
 : Tập rỗng

q  q k : k 



q  q  0


  t  : Toán tử nhảy lùi
  t  : Toán tử nhảy tiến

  t  : Hàm hạt
sup: Cận trên đúng
inf: Cận dưới đúng
k


 \    sup  ,sup  , sup  
:

 , sup  .

Crd 

 : Không gian các hàm rd- liên tục trên

f  :  - đạo hàm của hàm f

Crdn 

 : Khơng gian các hàm có

 - đạo hàm rd- liên tục đến cấp n trên

f g : Hàm hợp của f và g
f   f  : Hàm hợp của f và 
b


 f  t  t :  - tích phân của hàm f trên [a, b]
a

1

f

r

b
r
r
   f  t  t  : Chuẩn
a


r

của hàm f

v


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết về thang thời gian (time scales) được Hilger giới thiệu vào năm
1988 trong luận án Tiến sĩ khoa học của ông (dưới sự hướng dẫn của Bernd
Aulbach) nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các bài tốn mơ tả bởi các hệ liên
tục và rời rạc. Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho
phép nghiên cứu hai mặt bản chất của thực tế, đó là tính liên tục và rời rạc. Trong

tốn học, thang thời gian cho phép nghiên cứu thống nhất nhiều mơ hình khác nhau
(liên tục và rời rạc) dưới cùng một khái niệm và cơng cụ. Cho đến nay đã có một số
quyển sách, rất nhiều luận án Tiến sĩ và bài báo nghiên cứu về thang thời gian. Giải
tích (Phép tính vi phân và tích phân) trên thang thời gian đã được các tác giả nghiên
cứu khá sâu rộng và đầy đủ. Từ đó nhiều kết quả quen thuộc trong trường hợp liên
tục và rời rạc đã được “chuyển dịch” sang thang thời gian. Chẳng hạn đã có những
kết quả rất sâu sắc về tính ổn định, tính dao động, bài toán giá trị biên… của hệ
động lực trên thang thời gian.
Các bất đẳng thức đóng vai trị quan trọng trong tốn học nói chung, trong
nghiên cứu hệ động lực liên tục và hệ động lực rời rạc nói riêng. Hầu hết các bất
đẳng thức này đã được mở rộng sang cho thang thời gian.
Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề mà thời gian gần đây đang được nhiều
nhà toán học quan tâm là thang thời gian và các bất đẳng thức tích phân trên thang
thời gian, tác giả đã chọn đề tài “Bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian”
làm đề tài luận văn cao học của mình.
Luận văn gồm phần Mở đầu, ba chương, phần Kết luận và các Tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày khái niệm thang thời gian và các khái niệm cơ bản liên
quan như: toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lùi, hàm hạt, các điểm trù mật, các điểm
cô lập; hàm chính quy, hàm rd- liên tục, hàm hợp.
Chương 2 trình bày các khái niệm cơ bản về  - đạo hàm,  - tích phân và
một số tính chất của nó. Đồng thời tác giả cũng tham chiếu các khái niệm, tính chất
này đối với các thang thời gian liên tục và rời rạc.

1


Chương 3 trình bày các bất đẳng thức cơ bản trên thang thời gian: Bất đẳng
thức Hölder, bất đẳng thức kiểu Poincare, Sobolev, Opial, Ostrowski, HilbertPachpatte, … và các bất đẳng thức hệ quả trên một số thang thời gian cụ thể như

q ,


 ,

 .

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu, trình bày và chứng minh các bất đẳng thức tích phân trên thang
thời gian trong khn khổ một luận văn cao học.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian.
Phạm vi nghiên cứu: Thang thời gian, phép tính viphân và tích phân trên
thang thời gian, bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và cơng cụ của giải tích thơng thường và giải tích trên
thang thời gian để tiếp cận và giải quyết vấn đề.
5. Đóng góp của luận văn
Luận văn là một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và học
viên cao học về bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian.

2


CHƢƠNG 1: THANG THỜI GIAN
Chương này trình bày khái niệm thang thời gian và các khái niệm cơ bản trên
thang thời gian. Nội dung chủ yếu được lấy từ các tài liệu [7] và [8].
1.1. Định nghĩa thang thời gian
Định nghĩa 1.1. Một thang thời gian
số thực

là tập hợp con đóng khác rỗng của tập hợp


.

Ví dụ 1.1.
a. Tập số thực

, tập số nguyên

là các thang thời gian. Đây là các thang thời

gian cơ bản, quan trọng và thường gặp trong các chứng minh trước đây.
b. Tập các số tự nhiên

0



 0;

 1;2;

 1;2  3;4 là các thang

thời gian.
c. Tập h  hz : z 

 là một thang thời gian, trong đó

h là một số thực dương


cho trước.
d. Cho q  1 là số hữu tỉ cho trước. Tập q
e. Các tập

,

0

 q k : k 

0

 là một thang thời gian.

\ , 0,1 không phải là các thang thời gian vì chúng khơng

phải là tập đóng.
f. Mặt phẳng phức

là tập đóng nhưng khơng phải là thang thời gian vì nó

khơng phải là tập con của tập

.

1.2. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1. . Cho

là một thang thời gian, với mỗi t 


ta có các định nghĩa

sau:
i) Toán tử nhảy tiến là toán tử  :



được xác định bởi:

  t :  inf s  : s  t.
ii)Toán tử nhảy lùi là toán tử  :

 được xác định bởi:

  t  :  sups  : s  t.
iii) Hàm hạt  :

 0,   được xác định bởi:

  t  :    t   t.

3


Quy ước inf   sup và sup   inf .
Ví dụ 1.2.
a. Cho thang thời gian

 , với mỗi t 


ta có

  t : = inf s  : s  t  t ,

  t  :  sups  : s  t  t ,
  t  :    t   t  0.
b. Cho thang thời gian

 , với mỗi t 

ta có

  t : = inf s  : s  t  t  1,
  t  : sups  : s  t  t  1,

  t  :   t   t  1.
và t  . Khi đó ta có các định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.3. Cho thang thời gian

i) Điểm t được gọi là điểm cô lập phải nếu   t   t.
ii) Điểm t được gọi là điểm cô lập trái nếu   t   t.
iii) Điểm t được gọi là điểm cô lập nếu t vừa là điểm cô lập trái vừa là điểm cô
lập phải.
Định nghĩa 1.4. Cho thang thời gian

và t  . Khi đó ta có các định nghĩa sau:

i) Nếu t  sup


và   t   t thì t được gọi là điểm trù mật phải.

ii) Nếu t  inf

và   t   t thì t được gọi là điểm trù mật trái.

iii) Nếu t vừa là điểm trù mật phải vừa là điểm trù mật trái thì t được gọi là điểm
trù mật.
Ví dụ 1.4.
a. Với thang thời gian



thì mọi điểm t 

đều là điểm trù mật.

b. Với thang thời gian



thì mọi điểm t 

đều là điểm cô lập.

c. Cho thang thời gian






 2k , 2k  1.

k 0, k

Nếu t   2k ,2k  1 thì   t   t    t  . Do đó t là điểm trù mật .

4


Nếu t  2k  1 thì   t   t  1  2k  2  t và   t   t . Do đó t là điểm cơ lập
phải và là điểm trù mật trái.
Nếu t  2k thì   t   t  2k và   t   t  1  2k  1  t . Do đó t là điểm cơ lập
trái và là điểm trù mật phải.
Bảng dưới đây mơ tả hình học của các điểm cô lập và trù mật.
Bảng 1.1.

t1 là điểm trù mật
t2 là điểm trù mật trái và cô lập phải
t3 là điểm trù mật phải và cô lập trái
t4 là điểm cô lập

 ,  :  . Ta kí

Định nghĩa 1.5. Cho thang thời gian

và các hàm f :

hiệu hàm hợp của f và  là f  :


được xác định theo công thức:



f   t   f   t   .

Ví dụ 1.5.
thì với f   t   f  t  mọi t  .

i) Cho thang thời gian 
ii) Cho thang thời gian
Định nghĩa 1.6. Hàm f :

 thì f   t   f  t  1 với mọi t  .



được gọi là hàm chính quy nếu tồn tại giới hạn

phải của f tại mọi điểm trù mật phải trong
trù mật trái trong

và giới hạn trái của f tại mọi điểm

.

Ví dụ 1.6. Cho hàm f :

  1;1 được xác định bởi:
 1

nÕu t  0
sin
f  t     t 
0
nÕu t  0.


5


Ta thấy không tồn tại giới hạn trái và giới hạn phải của f tại 0 (vì limsin  x  và
x 

lim sin  x  không tồn tại). Do đó f là hàm khơng chính quy trên

x 

Tuy nhiên, hạn chế của f trên thang thời gian

0

.

là hàm chính quy vì

0

khơng

có bất kỳ điểm trù trái hoặc điểm trù mật phải nào.



Định nghĩa 1.7. Hàm f :

được gọi là hàm rd- liên tục tại điểm t0 

nếu f

là hàm chính quy và liên tục bên phải tại t0 .
Một hàm rd- liên tục tại tất cả các điểm t0 
trên

được gọi là một hàm rd- liên tục

.
được kí hiệu bởi một trong các kí hiệu

Khơng gian các hàm rd- liên tục trên
sau: Crd hc Crd 



hc Crd  ,

.

Ví dụ 1.7. Ta xét thang thời gian
1

: 0  : n  

n


và hàm f :

2

1


2  : n  
n



 0,1 xác định bởi:
t nÕu t  2
f t   
.
0
nÕu
t

2


Dễ thấy f rd- liên tục tại các điểm cơ lập của

. Vì vậy ta chỉ cần xét tính rd-


liên tục của hàm f tại điểm trù mật phải t  0 và điểm trù mật trái t  2 . Giới hạn
phải của f tại 0 tồn tại và bằng f  0  . Vì vậy, f là rd- liên tục tại t  0 .
Mặt khác f rd- liên tục tại t  2 vì giới hạn trái của f tồn tại tại t  2 . Do đó
f là hàm rd-liên tục trên

Rõ ràng

.

 , tuy nhiên f không liên tục trên

.

Sau đây ta xét một số tính chất của hàm chính quy và rd- liên tục.
Định lý 1.8. Cho f :



và g :

 . Khi đó

i) Nếu f là hàm liên tục thì f là hàm rd-liên tục.
ii) Nếu f là hàm rd- liên tục thì f là hàm chính quy.

6


iii) Nếu f là hàm chính quy hoặc rd- liên tục thì f  cũng có tính chất đó.
iv) Nếu f là hàm liên tục và g là hàm chính quy hoặc rd-liên tục thì f g tương

ứng là hàm chính quy hoặc rd-liên tục.
Kết luận chƣơng 1
Nội dung chính của chương 1 là trình bày một số vấn đề cơ bản về thang thời
gian :
- Khái niệm thang thời gian.
- Toán tử nhảy tiến, nhảy lùi, hàm hạt; các điểm cơ lập, điểm trù mật.
- Hàm hợp, hàm chính quy, hàm rd- liên tục và một số tính chất của hàm rdliên tục và hàm chính quy.

7


CHƢƠNG : PH P T NH VI PH N VÀ T CH PH N TRÊN
THANG THỜI GIAN
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về phép tính vi phân và tích phân trên
thang thời gian. Nội dung của chương chủ yếu dựa vào các tài liệu [6] và [8].
2.1. Phép tính vi phân trên thang thời gian
2.1.1. Định nghĩa Δ- đạo hàm trên thang thời gian
Định nghĩa .1. Cho thang thời gian
k

. Ta kí hiệu tập


 \    sup
:



Định nghĩa . . Hàm f :


lim
s t



 ,sup

k

như sau:

 nÕu sup  
.
nÕu sup  

được gọi là Δ- khả vi tại t 

k

nếu tồn tại

f ( (t ))  f (s)
, với s  \  (t ) .
 (t )  s

Khi đó giới hạn trên được gọi là Δ- đạo hàm của f tại t và được kí hiệu là f  (t ).
Hàm f được gọi là Δ- khả vi trên

k


nếu f  (t ) tồn tại với mọi t 

f:

được gọi là Δ- đạo hàm của f trên

k

k

k

và hàm



.

Chú ý:
+ Ta quy ước s    t  , có thể s  t .
+ Khi t là điểm cô lập phải trên thang thời gian, Δ- đạo hàm tại t là hệ số góc
của đường thẳng đi qua các điểm  t , f t   và   t  , f   t    .
Ví dụ 2.2.
a. Cho f :



và f  t   t , t 

lim

s t

Suy ra f  (t )  1, t 
b. Cho f :



k

k

, ta có:

 t   s
f ( (t ))  f ( s)
 lim
 1.
s t  (t )  s
 (t )  s

.

và f  t   t 2 , t 

k

, ta có:

8



 t   s2

f ( (t ))  f (s)
lim
 lim
s t
 (t )  s
 (t )  s
s t
2

 lim
s t

  t   s    t   s   lim  (t )  s
 (t )  s

s t





  (t )  t.
Nếu



thì  (t )  t. Do đó f  (t )  2t  f '  t  .


Nếu



thì  (t )  t  1. Do đó f  (t )  2t  1.

Qua ví dụ trên ta thấy  - đạo hàm phụ thuộc vào hàm bước nhảy tiến   t  của
thang thời gian, tức là phụ thuộc vào cấu trúc của thang thời gian

.

Nhận xét.
i) Nếu
lim
s t



thì f là  - khả vi tại t 

khi và chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạn

f (t )  f ( s)
và khi đó ta có:
ts

f   t   lim
s t


f (t )  f (s)
 f 't  ,
ts

tức là  - đạo hàm trùng với đạo hàm thơng thường.
ii) Nếu



thì f là  - khả vi tại mọi t 

f  t  

và ta có:

f ( (t ))  f (t) f  t  1  f  t 

 f  t  ,
 (t )
1

tức là  - đạo hàm trùng với sai phân của f tại t.
Như vậy trong trường hợp cụ thể, khái niệm  - đạo hàm trùng với hai khái niệm
đạo hàm và sai phân thông thường. Đây là kết quả hết sức quan trọng mà Hilger đã
đạt được nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động lực liên tục và hệ động
lực rời rạc. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất của  - đạo hàm.
2.1.2. Một số tính chất của Δ- đạo hàm
Định lý 2.3. Cho hàm f :




và t 

thì

i) f  (t )   f (t )   (t ) f  (t ).
ii) f liên tục tại t.

9

k

. Nếu hàm f là Δ- khả vi tại t 

k


Chứng minh.
i) Giả sử f là hàm Δ- khả vi tại t 

k

. Ta thấy khi t là trù mật phải thì

  t   0 và   t   t . Vì vậy ta có
f  (t )   f (t )  f (t )   (t ) f  (t ).
Khi t là điểm cô lập phải, do  (t )  t và f là Δ- khả vi tại t nên ta có thể viết lại
Δ- đạo hàm tại t thành:

f  (t ) 


f ( (t ))  f (t ) f ( (t ))  f (t )

.
 (t )  t
 (t )

Vì thế
f  (t )   f (t )   (t ) f  (t )
 f  (t )   f (t )   (t ) f  (t ).

ii) Ta thấy với bất kì s 

ta có:

 (t )  s  ( (t )  t )  (t  s)   (t )  (t  s) .

1.1

1

Cho 0    1 và đặt  '   1  f   t     t   thì 0   '  1 . Theo định nghĩa
của Δ- khả vi ta có: Với 0    1 tồn tại   0 sao cho t  s   , s    t  ta có:

f ( (t ))  f ( s)
 f  (t )   '
 (t )  s
f ( (t ))  f ( s)  ( (t )  s) f  (t )

'

 (t )  s
 f ( (t ))  f (s)  ( (t )  s) f  (t )   '  (t )  s .

Sử dụng (1.1) và (1.2) ta sẽ chỉ ra f (t )  f (s)   .
Cho t  s  min  ',  .

f (t )  f (s)
 f (t )  f (s)  f ( (t ))  f ( (t ))  f  (t )   t   s   f  (t )( (t )  s)

10

1.2 


Sử dụng (1.1) ta có

f (t )  f ( s )  f ( (t ))  f ( (t ))  f  (t )   t   s   f  (t )( (t )  s)
 f (t )  f ( s)  f ( (t ))  f ( (t ))  f  (t )   t   f  (t )  t  s   f  (t )( (t )  s)
  f ( (t ))  f ( s)  f  (t )( (t )  s)  f  (t )  t  s  .
Bởi vì theo i) ta có f   t    f  t     t  f   t   0.
 f  t   f  s    '  (t )  s  t  s f  (t )

  '  (t )  (t  s)  t  s f  (t )

  '  (t )   ' t  s  t  s f  (t )
  '  (t )   '   ' f  (t )

  ' 1  f  (t )   (t )    .
Do đó f  t   f  s    .
Kết quả ii ) của định lý tương tự như kết quả ta đã biết trong tập số thực. Kết quả


i ) chỉ có ý nghĩa khi t là điểm cơ lập phải, cịn trong các trường hợp khác nó trở
thành f  t   f  t  .
Định lý tiếp theo đưa ra một số tính chất khác của hàm Δ- khả vi.


Định lý 2.4. Cho hàm f , g :
i) Tổng f  g :
ii) Cho  
iii) Tích f g :



k

. Khi đó, ta có:

là Δ-khả vi tại t và ( f  g ) (t )  f  (t )  g  (t ).

, khi đó  f :



là Δ- khả vi tại t 



là Δ-khả vi tại t và  f   t    f   t  .



là Δ-khả vi tại tại t và

( fg ) (t )  f  (t ) g   t    f (t ) g  (t )  f  (t ) g (t )  f ( (t )) g  (t ) .

iv) Nếu f  t  f   t    0 thì

1
là  - khả vi tại t 
f

f  t 
1
.
  t   
f  t  f   t  
f 


11

k

và


v) Nếu g  t  g   t    0 thì

f
là  - khả vi tại t 
g


k

và

f  t  g t   f t  g  t 
f 
.
  t  
g  t  .g   t  
g


Chứng minh. Ta chứng minh iii).
Cho   0 xác định và đặt  ' 


tồn tại   0 sao cho
1  f (t )  g ( (t ))  | g  (t ) |

t  s   ta có:
| f ( (t ))  f (s)  f  (t )( (t )  s) |  ' |  (t )  s |
| g ( (t ))  g (s)  g  (t )( (t )  s) |  ' |  (t )  s | .

Lại có f (t )  f (s)   ' .
Vì thế

 fg    t     fg  s    f   t  g  t    f t  g  t   t   s 
  f   t    f  s   f   t    t   s   g   t  
  g   t    g  s   g   t    t   s   f  t 


  g   t    g  s   g   t    t   s   f  s   f  t     t   s  g  t   f  s   f t 

  '   t   s g   t     '   t   s f  t 





  '    t   s   '   t   s g   t    '   t   s g   t    f  t    '  g  t  .
2

Giả sử ta đã chọn  đủ nhỏ để  '  1 ta có

 fg    t     fg  s    f   t  g  t    f t  g  t   t   s 
  ' |  (t )  s |  g ( (t )) |  | f (t ) | 1 | g  (t ) | 





  ' |  (t )  s | |1 | f (t ) |  g   t   |  | g  (t ) |   |  (t )  s | .

Từ đó ta có: ( fg ) (t )  f  (t ) g ( (t ))  f (t ) g  (t ) .

(1.3)

Để có được đẳng thức thứ hai, đổi vai trị f bởi g trong (1.3) .
Qua định lí trên, ta thấy tính chất i ) và ii ) giống như tính chất của đạo hàm của
hàm số thực mà ta đã biết. Cịn tính chất iii), iv), v) có sự khác biệt.


12


Để ý rằng, đối với các hàm f , g :

ta có ( f g )'(t )  f '( g (t )) g '(t ).



Tuy nhiên, với thang thời gian tùy ý, điều này khơng cịn đúng trong một vài trường
hợp.
Ví dụ 2.4. Cho





và hàm f , g :

được cho bởi f  t   g  t   t 2  t.t.

Ta có f   t   g   t   t    t   t  t  1  2t  1.
Mặt khác ( f g )(t )  (t 2 )2  t 4  f (t ) g (t ).
Ta lại có:
g ) (t )  ( f (t ) g (t ))   f  (t ) g (t )  f ( (t )) g  (t )

(f

 (2t  1)t 2  ( (t ))2 (2t  1)


 (2t  1)t 2  (t  1)2 (2t  1)

 2t 3  t 2  (t 2  2t  1)(2t  1)

 2t 3  t 2  2t 3  4t 2  2t  t 2  2t  1
 4t 3  6t 2  4t  1.

Hơn nữa f  ( g (t )) g  (t )  (2t 2  1)(2t  1)  4t 3  2t 2  2t  1.
Giả sử rằng ( f g ) (t )  f  ( g (t )) g  (t ) . Khi đó ta có:
4t 3  6t 2  4t  1  4t 3  2t 2  2t  1

 4t 2  2t  0

1
 t  {0,  }.
2

Như vậy ( f g )  (t )  f  ( g (t )) g (t) chỉ tại một điểm trong
Định lí 2.5. Cho  :
i)  



là t  0 .

là một hàm tăng ngặt. Khi đó

 là một thang thời gian nếu và chỉ nếu 


là liên tục.

ii)  bị chặn trên (tương ứng bị chặn dưới) chỉ khi

bị chặn trên (tương ứng bị

chặn dưới).
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử rằng  không liên tục và



 là một thang thời gian. Khi đó tồn tại một điểm

a

hoặc là điểm trù mật

trái, điểm trù mật phải, hoặc là điểm trù mật sao cho  không liên tục tại a . Không
mất tính tổng quát, giả sử a là điểm trù mật trái nhưng không phải là điểm trù mật

13


phải. Cho tn n , tn 

biểu thị một dãy tăng ngặt hội tụ tới a . Vì γ tăng ngặt nên

  a  là một bị chặn trên của dãy   tn n . Vì vậy   tn n phải hội tụ về một
cận trên hữu hạn, hơn nữa


1.4 

sup   tn n    a 

vì γ khơng liên tục tại a .
Tiếp tục sử dụng tính tăng ngặt của hàm  , ta có
sup   tn n    tn n .

Bởi vì  

 đóng nên ta có
sup   tn n   

.

Cho b  sao cho   b   sup   tn n . Vì  tăng và b  sup tn n nên b  a .
Từ 1.4  , ta có b  a . Do đó b  a . Điều này mâu thuẫn giả thiết rằng tn n hội tụ
đến a . Vì vậy, khi  

 là một thang thời gian, 

Bây giờ giả sử rằng sup

  và sup  

chúng ta có thể tìm thấy một dãy tăng

là liên tục.

  M   với một số


tn n

, tn 

M

. Khi đó,

mà lim tn   . Ta sử dụng
n

hàm  là hàm tăng ngặt để xác định rằng   tn n hội tụ tới cận trên hữu hạn với

sup{ (t n )}n { (tn )}n .
Vì thế

sup{ (t n )}n  
và do đó  





khơng đóng. Bằng cách chứng minh phản chứng, khi  



là một


thang thời gian, ta có ii).
Giả sử rằng i) và ii) đúng và a là một điểm giới hạn của  

 . Khơng mất tính

tổng qt ta có thể giả sử rằng tồn tại một dãy tăng an n , an   

14



hội tụ đến






a . Cho   tn 

n

là một dãy mà   tn   an thì tn n cũng là một dãy tăng

tn 

và lim   tn   a . Giả sử sup
n

  , thì theo ii), sup  


lim tn  , trái lại thì a  . Cho t0  lim tn , vì
n

đóng nên t0  . Mặt khác,

n

hàm  liên tục suy ra   t0   a , do đó a   
Định lý 2.6 . Cho  :
thời gian. Cho  :

.
:  

 là một thang

và kí hiệu   là  -đạo hàm của  trên

. Nếu tồn tại





   . Như vậy ta có

là một hàm tăng ngặt sao cho

   t  và     t   tại t 


k

thì (  )  (



 )  .
1

Chứng minh. Cho 0    1 và  ' :  1     t       t    thì 0   '  1 .


Vì   t  là hàm Δ- khả vi nên tồn tại 1  0 sao cho cho t , s  , khi t  s  1 ta có

 ( (t )   (t )   (t )  s)  (t )   '  (t )  s .
Tương tự ,   t  là hàm Δ- khả vi nên tồn tại  2  0 sao cho r ,   t  

  t   r   2 , ta có


 ( ( (t )))   (r )  ( ( (t ))  r ) (t ) (t ))   '  ( (t ))  r .
Trong đó   t  biểu thị toán tử bước nhảy tiến trên

. Cho

 : min 1 , t   1 ( (t )   2 ),  1   t    2  t .

Vì  tăng nghiêm ngặt nên ta có


 (t )   (t )   2  t   1 ( (t )   2 )  t   1 ( (t )   2 )  0.
Tương tự như vậy  1   t    2   t  0 thì với s 

mà t  s   , ta có

t  s  1.
Với mỗi s như vậy ta có
t  s  t   1   t    2  ,

15

khi


suy ra t  s  t   1   t    2  . Dẫn đến

 t     s    2.
Tương tự, chúng ta có thể sử dụng t  s   1   t    2   t để chỉ ra rằng

 2   t     s .
Vì vậy t  s   nghĩa là   t     s    2 . Do đó

 ( ( (t )))    ( s)   ( (t )  s)[ ( (t ))  (t )]


  ( ( (t )))    ( s)   ( ( (t ))   ( s)) ( (t ) 





 [ ( (t ))   ( s)  ( (t )  s)  (t )] ( (t ))


  ( ( (t ))   ( ( s))  ( ( (t ))   ( s)) ( (t ))


  ( (t ))   ( s)  ( (t )  s)  (t )] ( (t ))


  '  ( (t ))   ( s)   '  (t )  s  ( (t ))


  '  ( (t ))   ( s)  ( (t )  s)  (t )  ( (t )  s)  (t )   '  (t )  s  ( (t ))


  '{  ( (t ))   ( s)  ( (t )  s)  (t )  ( (t )  s) ||   (t )  ( (t )  s)  ( (t )) }.

Lại vì  tăng ngặt, ta có  ( (t ))   ( (t )) . Vì vậy

 ( ( (t )))    ( s)   ( (t )  s)[ ( (t ))  (t )]


  '{  ( (t ))   ( s)  ( (t )  s)  (t )  ( (t )  s) ||   (t )  ( (t )  s)   ( (t )) }
  '{ '  (t )  s   (t )  s    (t )   (t )  s   ( (t )) }

  '{ '   (t )    ( (t )) }  (t )  s)
  '{1    (t )    ( (t )) }  (t )  s)

   (t )  s .


16


Bây giờ chúng ta xét lại ví dụ 2.4 và kiểm tra rằng ( f g ) (t )  ( f  g )(t ) g  (t ) .
Để ý là g ( )  {t 2 : t  } . Vì thế


(f


g )(t ) 

f ( ( g (t )))  f ( g (t )) f ( (t 2 )  f (t 2 ) f ((t  1) 2 )  f (t 2 )


(t  1) 2 )  t 2
 ( g (t ))  g (t )
 (t 2 )  t 2

(t  1) 4  t 4 (t 4  4t 3  6t 2  4t  1)  t 4 4t 3  6t 2  4t  1


.
(t  1) 2 )  t 2
(t 2  2t  1)  t 2
2t  1

Mà g   t   2t  1 , ta có ( f  g )(t ) g  (t )  4t 3  6t 2  4t  1   f g  t  .



Nhận xét.
Ta có bảng so sánh   đạo hàm trên thang thời gian

bất kì và một số thang

thời gian đặc biệt.
Bảng 1.2




 f  '   f '

  f    .f

( f  g )  f   g 

( f  g )'  f ' g '

  f  g   f  g

( f .g )   f  . g  f .g 

( fg )'  f '.g  f .g '

  fg   f .g  f .g  t  1

bất kì

 f 




 f 



 f  f .g  f .g
  
g.g  t  1
g

'

f 
f  .g  f .g 
  
g .g 
g

 f  f ' g  fg '
  
g2
g

2.1.3. Δ- Đạo hàm cấp cao.
Định nghĩa .13. Giả sử hàm f :

f:


k2



k

là  - khả vi trên

là hàm  - khả vi trên



k2

với

k2



 . Khi đó

k k

k

và hàm

 - đạo hàm cấp hai


của hàm f được kí hiệu là f  với f    f   .


Ví dụ 2.13. Cho thang thời gian
Theo ví dụ 2.2 ta có f   t   1, t 

 , f  t   t . Tính f  .

và f :
k

. Do đó

f   t    f   t    1  0, t 


17



k

.


Ví dụ 2.14. Cho thang thời gian
Ta có f   t   t    t  , t 
Mặt khác   t   t 

k


n
  ,n
2

0


2
 và f  t   t .


.

1
1
. Do đó f   t   2t  .
2
2


f



1
 t    2t    2.1  0  2.
2



Định nghĩa .14. Giả sử hàm f :
n 1

f :

k n 1



k

có  - đạo hàm đến cấp n-1 và



k n 1

là hàm  - khả vi trên

với

kn





k n 1

.

k

 - đạo hàm cấp n của hàm f được kí hiệu là f  và được định nghĩa như sau:
n



f  f
n

n 1

.


Tương tự, ta định nghĩa  2  t      t   ,..., n  t     n1  t   , n  .
Quy ước  0  t    0  t  , f   f ,
0

Kí hiệu Crdn 



k0

 .

là không gian tất cả các hàm f  Crd 




có f   Crd 
i



với

i  1, 2,..., n  .

2.2. Phép tính tích phân trên thang thời gian
2.2.1. Định nghĩa Δ-tích phân trên thang thời gian
Định nghĩa .6. Cho

là một thang thời gian và cho a, b 

sao cho a  b .

Một phân hoạch của  a, b là tập con tùy ý hữu hạn sắp thứ tự P :  t0 , t1 ,..., tn 
trong đó a  t0  t1  ...  tn  b, ti  .
thành một tập các tập con: t0 , t1 

Nói cách khác P tách khoảng  a, b

t1, t2 

,..., tn2 , tn1 

, tn1 , tn 


.

Ký hiệu tập hợp tất cả các phân hoạch như thế là P  a, b  .

18

,