PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN VĨNH LỘC

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2016-2017
MÔN THI: TỐN
Ngày thi: 11/04/2017

Bài 1. (4,0 điểm)

1
 1
  1
a) Tính giá trị biểu thức A   2  3,5  :  4  3   7,5
7
 3
  6

2.84.27 2  4.69
b) Rút gọn biểu thức B  7 7
2 .6  27.40.94

c) Tìm đa thức M biết rằng: M   5x 2  2 xy   6 x 2  9 xy  y 2
Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn  2 x  5

2012

 3 y  4

2014

0

Bài 2. (4,0 điểm)

1
1 1
 x 
2
5 3
b) Tìm x, y, z biết: 2 x  3 y;4 y  5z và x  y  z  11
a) Tìm x :

c) Tìm x, biết :  x  2 

n1

  x  2

n11

với n là số tự nhiên

Bài 3. (4,0 điểm)

a) Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm. Biết độ dài 3 đường
cao tương ứng lần lượt là 2cm,3cm,4cm.
b) Tìm x, y nguyên biết : 2 xy  x  y  2

ABC ( AB  AC , B  600 ). Hai phân giác AD và CE của ABC

M của BC kẻ đường vng góc với đường phân giác AI tai H, cắt AB ở P,

Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác
cắt nhau ở I, từ trung điểm
cắt

AC ở K.
a) Tính AIC
b) Tính độ dài cạnh AK biết PK  6cm, AH  4cm.
c) Chứng minh IDE cân

Bài 5. (2,0 điểm) Chứng minh rằng

10 là số vô tỉ


ĐÁP ÁN
Bài 1.

1
 1
  1
a) A   2  3,5  :  4  3   7,5
7
 3
  6
 7 7   25 22  15
   :
 
7  2

3 2  6
35 43 15 245 15
 :
 

6 42
2
43
2
490 645 155



86
86
86

211.36. 22  33  2
2.84.272  4.69
213.36  211.39
b) B  7 7



2 .6  27.40.94 214.37  210.38.5 210.37. 24  3.5  3

c) M   5 x 2  2 xy   6 x 2  9 xy  y 2   5 x 2  2 xy 
 M  6 x 2  9 xy  y 2  5 x 2  2 xy  x 2  11xy  y 2
Ta có :  2 x  5


2012

 3 y  4

2014

0

 2 x  52012  0
2012
2014

2
x

5

3
y

4
0
Ta có: 




2014
 3 y  4   0
Mà  2 x  5


2012

 3 y  4

2014

 0   2 x  5

1

 2 x  5 2012  0  x  2
2
. Vậy



2014
1
 3 y  4   0  y  1

3

2012

 3 y  4 

2014

0


1

 x  2 2

 y  1 1

3

5  4   4  25 110 16 1159
5
Vậy M     11. .      

 
2  3  3 
4
3
9
36
2
2

Bài 2.
a)

1
1 1
 x 
2
5 3


2


x

1 1 1
1 1
   x 
5 2 3
5 6

TH1:

x

1 1
1
 x
5 6
30

TH2:

x

1
1
1 1
11

 x  
5
6
6 5
30

Vậy

 1 11 
x   ;  
 30 30 

x y
x
y
 hay

3 2
15 10
y z
y z
x
y z
4 y  5 z   hay
 . Vậy
  .
5 4
10 8
15 10 8
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x
y z
x  y  z 11 1
10
8
  

 , suy ra x  5, y  ; z 
15 10 8 15  10  8 33 3
3
3
b) Ta có : 2 x  3 y 

c)

 x  2   x  2
n 1
n 11
 x  2   x  2  0
n 1
10
  x  2  1   x  2    0



TH1:  x  2 

n1

n1


n11

 0  x  2

x  2 1
 x  1
10
10
TH2: 1   x  2    x  2   1  

 x  2  1  x  3
Vậy x  2; x  1; x  3
Bài 3.

a) Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x, y, z  cm  x, y, z  0 
Theo bài ra ta có: x  y  z  13

x y z
 
6 4 3
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Và 2 x  3 y  4 z  2S ABC 


x y z x  y  z 13
  
  1  x  6, y  4, z  3
6 4 3 6  4  3 13
b) 2 xy  x  y  2

4 xy  2 x  2 y  4

2 x  2 y  1  2 y  1  5
  2 y  1 2 x  1  5  5.1  1.5  5.  1  1.  5
Xét 4 trường hợp tìm ra  , y   1;3 ;  3;1 ;  2;0  ;  0; 2 
Bài 4.

A
F
E
K

I
B

D
H

M

P
a) Ta có ABC  600  BAC  BCA  1200
1
AD là phân giác của BAC suy ra IAC  BAC
2
1
CE là phân giác của ACB  ICA  BCA
2
1
Suy ra IAC  ICA  .1200  600

2
Vậy AIC  1200

C


b) Xét AHP và AHK có: PAH  KAH ( AH là phân giác của BAC )

AH chung; PHA  KHA  900
 AHP  AHK ( g.c.g )  PH  KH (hai cạnh tương ứng)
Vậy HK  3cm
Vì AHK vuông ở H , theo định lý Pytago ta có:
AK 2  AH 2  HK 2  42  32  25 . Suy ra AK  5cm
c) Vì AIC  1200 , do đó : AIE  DIC  600
Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF  AE
Xét EAI và FAI có: AE  AF , EAI  FAI , AI chung
Vậy EAI  FAI (c.g.c)  IE  IF (hai cạnh tương ứng ) (1)

AIE  AIF  600  FIC  AIC  AIF  600
Xét DIC và FIC có: DIC  FIC  600 ; IC chung; DIC  FIC

 DIC  FIC  g.c.g   ID  IF (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra IDE cân tại I.
Bài 5.
Giả sử

10 là số hữu tỷ

a
 10  (a, b là số tự nhiên, b

b

khác 0;

 a, b   1)

a2
 10  a 2  10b2
2
b
 a 2  a2 4  10b2 4  b2 2  b 2
Vậy

 a, b   1nên

10 là số vơ tỷ.

TRƯỜNG THCS HIỀN QUAN
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. Tìm các số

x, y, z biết:

ĐỀ CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU
NĂM HỌC : 2015-2016
Mơn thi: Tốn 7


a)  x  1  8


b)

c) x  3 x  0

d )12 x  15 y  20 z và x  y  z  48

3

9  7 x  5x  3

Câu 2.

a) Tìm số dư khi chia 22011 cho 31
b) Với a, b là các số nguyên dương sao cho a  1 và b  2007 chia hết cho 6.
Chứng minh rằng: 4a  a  b chia hết cho 6
c) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 6 x 2  5 y 2  74
Câu 3.

a 2  b2 a
a b

a) Cho tỉ lệ thức  . Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức 2
b  c2 c
b c
b) Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ 1 đến 2008, người ta làm như sau: lấy ra
hai số bất kỳ và thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi cịn
một số trên bảng thì dừng lại. Hỏi có thể làm để trên bảng chỉ cịn lại số 1
được khơng ? Giải thích ?
Câu 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH . Vẽ về phía ngồi tam giác ABC các tam

giác ABE và ACF vuông cân tại A. Từ E và F kẻ đường vng góc EK và FN với đường thẳng

HA
a) Chứng minh rằng: EK  FN
b) Gọi I là giao điểm của EF với đường thẳng HA. Tìm điều kiện của tam giác
ABC để EF  2 AI
Câu 5.

a) Cho bốn số không âm thỏa mãn điều kiện a  b  c  d  1. Gọi S là tổng các
giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ bốn số a, b, c, d . Hỏi S có thể
đạt được giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu
b) Cho tam giác nhọn ABC có BAC  600. Chứng minh rằng
BC 2  AB2  AC 2  AB. AC


ĐÁP ÁN
Câu 1.
3
a)  x  1  8  x  1  2  x  1
3
b) 9  7 x  5x  3 . Điều kiện x 
5
9  7 x  5 x  3 12 x  12
x 1



(tm)
9  7 x  3  5 x  2 x  6
x  3


x  3 x  0.DK : x  0
x  0
 x. x  3  0  
(tm)
x  9
x y z
x y z x  y  z 48
d )12 x  15 y  20 z       

4
5 4 3
5 4 3
12
12
 x  20; y  16; z  12

c)





Câu 2.

a) Ta có: 25  32  1 mod31   25 

402

 1 mod31


 22011  2  mod31. Vậy số dư khi chia 22011 cho 31 là 2

b) Vì a nguyên dương nên ta có 4a  1 mod3  4a  2  0  mod3
Mà 4a  2  0  mod 2   4a  2 6

Khi đó ta có 4a  a  b  4a  2  a  1  b  2007  2010 6
Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a  1 và b  2007 chia hết cho 6 thì
4a  a  b chia hết cho 6.
74
c) Từ 6 x 2  5 y 2  74  6 x 2  74  x 2 
mà x nguyên  x 2 0;1;4;9
6
 x 2  4  y 2  10(ktm)
2
2
2
Mặt khác ta có x  1  75  5 x  5 y 5   2
2
x  9  y  4
  x, y    3,2  ;  3, 2  ;  3;2  ,  3, 2 
Câu 3.

a a b
a  a   b  a 2 b2 a 2  b2
a) Ta có:  .         2  2  2
c b c
c c c b
c
b  c2

a 2  b2 a
a b

Vậy nếu có tỉ lệ thức  ta có tỉ lệ thức 2
b c
b  c2 c
2

2


b) Gọi S là tổng tất cả các số được ghi trên bảng
2008.2009
Ta có S  1  2  3  ....  2008 
 1004.2009 là một số chẵn. Khi lấy ra
2
hai số a, b và thay vào bằng hiệu của hai số thì tổng S bớt đi  a  b    a  b   2b
là số chẵn.
Nên tổng mới phải là một số chẵn
Vậy trên bảng khơng thể cịn lại số 1.
Câu 4.

N

F

I
E

K

A

B

H

a) Chứng minh KAF  HBA(ch  gn)  EK  AH
Chứng minh NFI  HCA(ch  gn)  FN  AH
Suy ra EK  FN
1
b) Chứng minh KEI  NFI (c.g.c)  EI  FI  EF
2

C


EF
( gt )  AI  EI  FI  IEA  IAE và IAF  IFA
2
 EAF  900  BAC  900
Vậy EF  2 AI khi tam giác ABC vuông tại A
Câu 5.
a) Giả sử a  b  c  d  0
Ta có: S  a  b  b  c  c  d  a  c  a  d  b  d
 S  a bbccd  a c a d bd
Mà AI 

 S  3a  b   c  3d 
Mà c  3d  0  S  3a  b
Mặt khác a  b  c  d  1  a  1

Suy ra S  3a  b  2a  a  b  2.1  1  3
c  3d  0
a  1

Dấu bằng xảy ra khi a  b  c  d  1  
b  c  d  0
a  1

Vậy S lớn nhất bằng 3 khi trong bốn số a, b, c, d có 1 số bằng 1 cịn 3 số bằng 0
b)

A
H

B

C

Kẻ BH  AC
Vì BAC  600  ABH  300  AH 

AB
2

Áp dụng định lý Pytago ta có:
AB2  AH 2  BH 2 và BC 2  BH 2  HC 2
 BC 2  AB 2  AH 2  AC 2  2. AC. AH  AH 2
 BC 2  AB 2  AC 2  2 AH . AC

(2)


(1)


Từ (1) và  2   dfcm
TRƯỜNG THCS ÂN TƯỜNG ĐƠNG

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2014-2015
Mơn Tốn 7

Bài 1. (2 điểm) Thực hiện phép tính:

a) A  

14
14
.34,8  .65,2
25
25

Bài 2. (4 điểm) Tìm

5 3  3
 :     (7)
4 4  2

x biết:

1

b)  
2

3 2
29
a)  x 
4 5
60

5 x

1
2



1
8

7
 2
d )  x  0,6  : 3  1
3
 5

2
 0,24
5

c) x 


b) B 

Bài 3. (4 điểm) Tìm các số

a, b, c biết:

a b c
  và a  b  c  10
3 5 7

Bài 4. (2 điểm)
Cho

S

Hãy tính

1 1 1
1
1
1
1
2
3
48 49
   ..... 

 và P 



 ..... 

2 3 4
48 49 50
49 48 47
2
1

S
P

Bài 5. (3 điểm)

ABC có AB  AC. Kẻ tia phân giác AD của BAC  D  BC . Trên cạnh AC lấy
E sao cho AE  AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF  AC. Chứng minh rằng:
Cho

điểm

a)ADB  ADE
b)BDF  EDC
Bài 6. (5 điểm)
Cho tam giác

E là trung điểm của

ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Vẽ điểm F sao cho
DF . Chứng minh rằng:


a) AD  FC và AB / / FC
b) BDC  FCD
1
c) DE / / BC và DE  BC
2


ĐÁP ÁN
Bài 1.

14
14
14
14
.34,8  .65,2   . 34,8  65,2    .100  56
25
25
25
25
5 3  3
5 3  2
b) B   :      7    .    7
4 4  2
4 4  3
5 1
31
  7
4 2
4
a) A  


Bài 2.

3 2
29
2
29 3
4 2
2
a)  x 
 x
 x : 
4 5
60
5
60 4
15 5
3

1
b)  
2

5 x

1
2

3


1
1
1
    5x   3  x 
2
2
2
24 2
16

x
 x

2
100 5
25
c) x   0,24  
5
 x   24  2  x  4

100 5
25

6  17
7
 2
7
d )  x  0,6  : 3  1   x   :  1
10  5
3

 5
3
7
3 17
7
17 3 20
 x   x  
4
3
5 5
3
5 5 5
7 12
 x  4: 
3 7
Bài 3.
Ta có:

a b c abc
  
 10
3 5 7 357



a
b
c
 10  a  30;  10  b  50;  10  c  70
3

5
7

Vậy

a  30, b  50, c  70


Bài 4.

P

1
2
3
48 49  1
  2
  3

 48 


 .... 

   1    1    1  .....    1  1
49 48 47
2
1  49   48   47 
 2



50 
50 50 50 50
50
 50 50 50
 

 .....    1 



 ....
2 
50 49 48 47
2
 49 48 47
1 1 1
1
1
   ...... 

1
1
1
S
 1
49 50  1
 50. 

 ....     2 3 4

1
1
1  50
2 P
 1
 50 49 48
50. 

 ....  
2
 50 49 48
Bài 5.

A

E
B

D

F
a) ADB  ADE (cgc)
b) BDF  EDC (cgc)
Bài 6.

C


A
D


F

E
C

B

a) Chứng minh được ADE  CFE (c.g.c)  AD  FC và DAE  ECF ,
mà 2 góc ở vị trí so le trong  AB / / FC
b)

BDC  FCD(c.g.c)( Do... AD  BD; AD  CF  BD  CF ; BDC  FCD(slt ); DC

chung)

BDC  FCD  BCD  EDC mà 2 góc này ở vị trí so le trong
1
1
 DE / / BC  DE  DF  BC
2
2

c)

UBND HUYỆN PHÚ THIỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 7 CẤP HUYỆN
MÔN: TỐN

Năm học 2009-2010

Bài 1.(6 điểm) Thực hiện phép tính:

3 2 5 9
a) :    
4 3 9 4
1 1
45  1  1  1   
b) 
   
19  2  3  4   



1

5.415.99  4.320.89
c) 10 19
5.2 .6  7.229.276
Bài 2. (6 điểm)

a) Tìm x, biết: 2  x  1  3 2 x  2   4. 2 x  3  16


1
21
b) Tìm x, biết: 3 : 2 x  1 
2
22

2x  y 3y  2z

c) Tìm x, y, z , biết:
và x  z  2 y
5
15
Bài 3. (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức :
Bài 4. (4,5 điểm) Cho tam giác
sao cho

KD  KA

a c

b d

. Chứng minh rằng:

 a  2c b  d    a  c b  2d 

ABC vuông tại A, K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D,

a) Chứng minh CD / / AB
b) Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N. Chứng
minh rằng ABH  CDH
c) Chứng minh : HMN cân
Bài 5. (2 điểm) Chứng minh rằng số có dạng

abcabc ln chia hết cho 11.



ĐÁP ÁN
Bài 1.

3 2 5 9 3 2 5 9 3 1 9
a) :      :      :   9
4 3 9 4 4 3 9 4 4 9 4
1

1 1
45  1  1  1   
45
1
45 26
b) 
   




1
19  2  3  4   
19 1  1
19 19


2 14
3
15 9
20 9

30 18
2 20 3.9
5.4 .9  4.3 .8
5.2 .3  2 .3 .2
c) 10 19
 10 19 19
29
6
5.2 .6  7.2 .27
5.2 .2 .3  7.229.33.6
229.318. 5.2  32  10  9 1
 29 18


2 .3 . 5.3  7  15  7 8

Bài 2.

a)2 x  2  6 x  6  8x  12  16  12 x  36  x  3
b) Nếu

x

1
, ta có:
2

1
21 7
21

7
3 : 2x 1 
 :  2 x  1 
 x  (tm)
2
22
2
22
3

x

Nếu

1
, ta có:
2

1
21 7
21
8
4
3 : 2x  1 
 : 1  2 x  
 2 x   x   (tm)
2
22
2
22

3
3
Vậy

x

c) Từ

7
4
x
3
3

x  z  2y

ta có:

x  2 y  z  0 hay 2 x  4 y  2 z  0 hay 2 x  y  3 y  2 z  0 hay 2 x  y  3 y  2 z


Vậy nếu

2x  y 3 y  2z

 2x  y  3 y  2z  0
5
15

1

y
2

Từ

2x  y  0  x 

Từ

3 y  2 z  0 và x  z  2 y  x  z  y  2 z  0 



1
y yz0
2

3
2
1
y z 0 y  z  x  z
2
3
3

1
2
1
3 




x, y, z cần tìn là:  x  z; y  z; z   hoặc  x  y; y  ; z  y  hoặc
3
3
2
2 



x  , y  2 x, z  3x

Vậy các giá trị

Bài 3.Ta có:

 a  2c  b  d    a  c  b  2d 
 ab  ad  2cb  2cd  ab  2ad  cb  2cd
cb  ad 

a c

b d


Bài 4.

B

D

K
N

M

A

H

C

a) Xét 2 tam giác ABK và DCK có: BK  CK ; BKA  CKD (đối đỉnh);

AK  DK ( gt )  ABK  DCK (c.g.c)  DCK  DBK
Mà ABC  ACB  900  ACD  ACB  BCD  900

 ACD  900  BAC  AB / /CD( AB  AC và CD  AC ).
b) Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có:
BA  CD  ABK  DCK  ; AH  CH  ABH  CDH (c.g.c)
c) Xét 2 tam giác vng: ABC và CDA có:
AB  CD; ACD  BAC  900 ; AC cạnh chung  ABC  CDA(c.g.c)

 ACB  CAD mà AH  CH ( gt ) và MHA  NHC  ABH  CDH 
 AMH  CNH ( g.c.g )  MH  NH  HMN cân tại H
Bài 5.
Ta có:

abcabc  abc.1001  abc.91.11 11



PHÒNG GD VÀ ĐT PHÙ YÊN
TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
LỚP 7 – NĂM HỌC 2010-2011

Bài 1. Thực hiện phép tính:

1 1 1 1
0,125  
  0,2
5
7
2
3
A

3 3 3
3
0,375  
 0,5 
5 7 4
10
1 1 1
1
   ...... 
100
B 2 3 4
99 98 97
1

 
 .... 
1
2
3
99
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau khi

x thay đổi:

B  x  2  3 x
Bài 3. Chứng minh rằng

a) 106  57 chia hết cho 59
b) 3135.229  3136.36 chia hết cho 7
Bài 4. Tìm các số hữu tỉ dương

1
x

1

1
y

1
z

x, y, z biết:


1
2

1
3

Bài 5. Cho tam giác cân ABC có
E , sao cho BD  CE.

AB  AC. Trên tia đối của các tia BA và CA lấy hai điểm D và

a) Chứng minh DE / / BC
b) Từ D kẻ DM vng góc với BC , từ E kẻ EN vng góc với BC. Chứng
minh DM  EN .
c) Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân
d) Từ B và C kẻ các đường vng góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I .
Chứng minh AI là tia phân giác chung của 2 góc BAC, MAN


ĐÁP ÁN
Bài 1.

1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
0,125  
  0,2
 
 
5
7

2
3
8
5
7
2
3 5
A



3 3 3
3 3 3 3 3 3 3
0,375  
 0,5 
 
 
5 7 4
10 8 5 7 4 6 10
1 1 1 
1 1 1
2   
 
4 6 10  1 2
 8 5 7  
  1
1 1 1
1 1 1  3 3
3.    3.   
8 5 7

 4 6 10 
1 1 1
1
1 1 1
1
   ..... 
   ..... 
100 
2 3 4
100
B 2 3 4
99 98 97
1 100  1 100  2 100  3
100  99
 
 ..... 


..... 
1
2
3
99
1
2
3
1
1 1 1
1
   ..... 

2 3 4
100

100   1 2 3
99 
 100 100 100


 ..... 

      .....  
2
3
99   1 2 3
99 
 1
1 1 1
1
1 1 1
1
   ..... 
   ..... 
2 3 4
100
2 3 4
100


1
1

1
1
1
1
1 



100     .....    99 1  100.    .....  
99 
99 
2 3
2 3 4
1 1 1
1
   ..... 
1
2 3 4
100


1  100
1 1 1
100.    ..... 

100 
2 3 4
Bài 2.
Ta xét các trường hợp:
+Nếu


x  2  x  2  0;3  x  0

Do đó:
Vì

x  2    x  2  ; 3  x  3  x  B    x  2  3  x  2 x  5

x  2   x  2 . Do đó B  2 x  5   2 .2  5  B  1  B

nhỏ nhất

2


+nếu

2  x  3  x  2  0;3  x  0  B  x  2  3  x  1  B  1

+Nếu

x  3  x  2  0;3  x  0  B  x  2   3  x   2x  5

Vì

x  3  B  2x  5  2.3  5  B  1  B  2

Từ 3 trường hợp trên ta đượcc

Bmin  1  2  x  3


Bài 3.

a )106  57   2.5   57  26.56  57
6

 56. 26  5   56.59 59

b)3135.229  3136.36  3135.229  3166. 1  35 
 3135.229  3136  3136.35
 3135. 229  313  3136.35
 3155. 14   3136.35

 7. 2.3135  3166.5  7
Bài 4. Biến đổi vế phải thành dạng tương tự vế trái

1

1

2

Suy ra
Bài 5.

1
3

1


3 4 1
1
1
1
  


7 7 7 1 3 1 1 1 1
4
1
4
4
1
3
3

x  1; y  1; z  1


A

K
H
M

N

C
B
E

D
I

a) Ta có: AB  AC  gt  và BD  CE ( gt )  AD  AE

ADE có AD  AE nên là tam giác cân
Hai tam giác cân ABC và ADE có chung góc ở đỉnh A nên các góc ở đáy bằng
nhau: ABC  ADE mà ABC; ADE là hai góc đồng vị  DE / / BC
b) ABC cân tại A: ABC  ACB
Mà MBD  ABC (đối đỉnh); NCE  ACB (đối đỉnh)  MBD  NCE
Xét 2 tam giác vuông DMB và ENC có:

MBD  NCE (cmt ); BD  CE ( gt )  DMB  ENC (ch  gn)  DM  EN
c) Xét AMD và ANE có: AD  AE (cmt ); ADM  AEN (DMB  ENC )


DM  EN (cmt )  AMD  ANE(c.g.c)  AM  AN  AMN cân tại A
d) AMD  ANE  cmt   HAB  KAC
Xét 2 tam giác vng: HAB và KAC có:

HAB  KAC; AB  AC ( gt )  HAB  KAC (ch  gn)  AH  AK
Mặt khác: Xét 2 tam giác vng AIH và AIK có:
AI cạnh chung; AH  AK (cmt )  AHI  AKI (ch  cgv)
Do đó IAH  IAK
Lại có: HAB  KAC nên IAB  IAC
Vậy AI là tia phân giác chung của BAC , MAN

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ


ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7
NĂM HỌC 2016-2017
MƠN : TỐN 7

Bài 1. (5 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
Tính

M

ab bc cd d a



cd d a ab bc

Bài 2. (3 điểm)
Cho các đa thức :

P( x)  3x4  x3  4 x 2  2 x  1 ; Q( x)  2 x 4  x 2  x  2

a) Tính P( x)  Q( x)

b) Tìm đa thức H ( x) biết Q( x)  H  x   2 x4  2
c) Tìm nghiệm của đa thức H ( x)
Bài 3. (3 điểm) Tìm

x biết:

a) x  2010  x  2012  x  2014  4


1
b) 2 x  3   
2

y

và

3 3
3
 
y  7 11 101 
5 5
5
 
7 11 101

1 1 1
 
2 3 4
5 5 5

 
4 6 8

Bài 4. (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A   x  2  y  x  3
2

ABC vuông tại A( AB  AC ). Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH
BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE  AB. Đường thẳng vng góc với AE tại E cắt

Bài 5. (7 điểm) Cho tam giác

vng góc với
tia DH ở K. Chứng minh rằng:

a) BA  BH
b)

DBK  450

c) Cho

AB  4cm, tính chu vi tam giác DEK


ĐÁP ÁN
Bài 1.
Từ


2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d

2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
1 
1 
1 
1
a
b
c
d
abcd abcd abcd abcd




a
b
c
d



Nếu

a  b  c  d  0  a  b    c  d ;b  c    a  d 

M

Nếu

ab bc cd d a



 4
cd d a ab bc

abcd  0a b c d  M 

ab bc cd d a



4
cd d a ab bc

Bài 2.

a) P( x)  Q( x)  x 4  x3  3x 2  3x  1
b) H ( x)  Q( x)  2 x 4  2  2 x 4  x 2  x  2  2 x 4  2   x 2  x

x  0
c) H  x    x 2  x  x 1  x   0  
x 1
Bài 3.

a)

x  2010  x  2012  x  2014  x  2010  2014  x  x  2012  4(*)

Mà x  2010  x  2012  x  2014  4 , nên (*) xảy ra dấu
 x  2012  0
"" 
 x  2012
2010  x  2014
1 
1 1
1 1 1
3  
 

7 11 101 

2
3 4  3  2 1
b) y 

1  5 1 1 1 5 5
1 1
5  
.   


 7 11 101  2  2 3 4 